Координаты концов отрезка. Разработка урока:"Введение декартовых координат в пространстве

  • Координаты середины отрезка.

Цели урока

  • Расширить кругозор понятий.
  • Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
  • Научиться применять свойства фигур при решении задач.
  • Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
  • Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

  • Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока

  1. Вступительное слово.
  2. Повторение ранее изученного материала.
  3. Координаты середины отрезка.
  4. Логические задачи.

Вступительное слово

Перед тем как перейти к самому материалу по теме хотелось бы немного поговорить о отрезке не только как о математическим определении. Много ученых старались посмотреть на отрезок как то по другому , видели в нем нечто необычное. Некоторые талантливые художники заставляли геометрические фигуры передавать настроение и эмоции .

Есть множество теорий как цвет влияет на наше настроение и почему.

Цвет можно чувствовать, он тесно связан с нашими эмоциями. Окружающий нас цвет природы, архитектуры, растений, одежды исподволь влияет на наше настроение.

Как утверждают специалисты цветовая гама может воздействовать человека.

  • Красный цвет может поднять настроение, придать сил.
  • Розовый цвет символизируют мир и покой.
  • Оранжевый - это теплый, беспокойный цвет, дающий энергию и поднимающий настроение.
  • В императорском Китае желтый считался настолько священным цветом, что носить желтую одежду мог только император. Египтяне и майя считали желтый цветом Солнца и почитали его силу, поддерживающую жизнь. Желтые цветы могут взбодрить и порадовать, когда вы чувствуете себя неважно.
  • Зеленый - целительный цвет. Вызывает ощущение равновесия и гармонии.
  • Синий усиливает творческое начало.
  • Фиолетовый - цвет задумчивости, духовности и покоя. Он связан с интуицией и заботой о других.
  • Белый обычно считается цветом чистоты и невинности. Он также связан с вдохновением, озарением, духовностью и любовью.

Но сколько людей столько и мнений. У каждого своя правда.

Так же есть интересная теория как связана форма линии или отрезка с ее характером .

Форма, как и цвет, является свойством предмета. Форма – это внешние очертания видимого предмета, отражающие его пространственные аспекты (forma, в переводе с латинского, - наружный вид). Все, что окружает нас, имеет определенную форму. Понять и изобразить ее конструктивное строение и смысловую наполненность - задача художника. А нам, как зрителям, необходимо уметь читать изображение, расшифровывать характер и смысл различных форм. На листе бумаги и экране компьютера форма образуется при замыкании линии. Поэтому характер формы зависит от характера линии, которой она образована.

Какой из этих линий можно выразить спокойствие, злость, равнодушие, волнение, радость?

Однозначного ответа в данном случае быть не может. Например, колючая линия может выражать злость, злорадство или бурную радость, граничащую с безрассудством.

Какое настроение или эмоция соответствует каждой из этих линий?

Как форма зависит от характера линии, которой она образована?

Повторение ранее изученного материала

В пространстве

Есть две произвольные точки A1(x 1 ;y 1 ;z 1) и A2(x 2 ;y 2 ;z 2). Тогда серединой отрезка A1A2 будет точка С с координатами x, y, z, где


Деление отрезка в заданном отношении

Если x 1 и y 1 - координаты точки A, а x 2 и y 2 - координаты точки B, то координаты x и y точки C, делящей отрезок AB в отношении , определяются по формулам

Площадь треугольника по известным координатам его вершин A(x 1 , y 1), B(x 2 , y 2), C(x 3 , y 3) вычисляется по формуле.

Полученное с помощью этой формулы число следует взять по абсолютной величине.

Пример №1

Найдите середину отрезка АВ.


Ответ: Координаты середины отрезка равны (1.5;2)

Пример №2.

Найдите середину отрезка АВ.

Ответ: Координаты середины отрезка равны (21;0)

Пример №3.

Найдите координаты точки С, если АС=5,5 а СВ=19,5.

А(1;7), В(43;-4)


Ответ: Координаты точки С(10,24;4,58)

Задачи

Задача №1

Найдите середину отрезка DB.


Задача №2.

Найдите середину отрезка CD.


Как делают статуи.

Про многих знаменитых скульпторов рассказывают, что на вопрос, как удается делать столь замечательные статуи, следовал ответ: “Я беру глыбу мрамора и отсекаю от нее все лишнее”. В разных книгах это можно прочитать о Микеланджело, о Торвальдсене, о Родене.

Тем же самым способом можно получить любую ограниченную плоскую геометрическую фигуру: надо взять какой-нибудь квадрат, в котором она лежит, а потом отсечь все лишнее. Однако отсекать надо не сразу, а постепенно, на каждом шагу отбрасывая кусочек, имеющий форму круга. При этом сам круг выбрасывается, а его граница – окружность – остается в фигуре.

На первый взгляд кажется, что так можно получить лишь фигуры определенного вида. Но все дело в том, что отбрасывают не один и не два круга, а бесконечное, точнее говоря, счетное множество кругов. Таким путем можно получить любую фигуру. Чтобы убедиться в этом достаточно принять во внимание, что множество кругов, у которых рациональны и радиус и обе координаты центра, счетное.

А теперь чтобы получить любую фигуру, достаточно взять содержащий ее квадрат (глыбу мрамора) и обросить все круги указанного выше вида, которые не содержат ни одной точки нужной нам фигуры. Если же выбрасывать круги не из квадрата, а из всей плоскости, то описанным приемом можно получить и неограниченные фигуры.

Вопросы

  1. Что такое отрезок?
  2. С чего состоит отрезок?
  3. Как можно найти середину отрезка?

Список использованных источников

  1. Кузнецов А. В., учитель математики (5-9 класс), г. Киев
  2. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
  3. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
  4. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»

Над уроком работали

Кузнецов А. В.

Потурнак С.А.

Татьяна Проснякова

Введение декартовых координат в пространстве. Расстояние между точками. Координаты середины отрезка.

Цели урока:

Образовательные: Рассмотреть понятие системы координат и координаты точки в пространстве; вывести формулу расстояния в координатах; вывести формулу координат середины отрезка.

Развивающие: Способствовать развитию пространственного воображения учащихся; способствовать выработке решения задач и развития логического мышления учащихся.

Воспитательные: Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.

Оборудование: Чертежные принадлежности, презентация, ЦОР

Тип урока: Урок изучения нового материала

Структура урока:

    Организационный момент.

    Актуализация опорных знаний.

    Изучение нового материала.

    Актуализация новых знаний

    Итог урока.

Ход урока

    Сообщение из истории « Декартовая система координат» (Обучающийся)

Решая геометрическую, физическую, химическую задачу можно использовать различные координатные системы: прямоугольную, полярную, цилиндрическую, сферическую.

В общеобразовательном курсе изучается прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Иначе её называют Декартовой системой координат по имени французского ученого философа Рене Декарта (1596 – 1650) впервые введшего координаты в геометрию.

(Рассказ ученика об Рене Декарте.)

Рене Декарт родился в 1596 г. в городе Лаэ на юге Франции, в дворянской семье. Отец хотел сделать из Рене офицера. Для этого в 1613 г. он отправил Рене в Париж. Много лет пришлось Декарту пробыть в армии, участвовать в военных походах в Голландии, Германии, Венгрии, Чехии, Италии, в осаде крепости гугенотов Ла-Рошали. Но Рене интересовала философия, физика и математика. Вскоре по приезде в Париж он познакомился с учеником Виета, видным математиком того времени - Мерсеном, а затем и с другими математиками Франции. Будучи в армии, Декарт все свое свободное время отдавал занятиям математикой. Он изучил алгебру немецких, математику французских и греческих ученых.

После взятия Ла-Рошали в 1628 г. Декарт уходит из армии. Он ведет уединенный образ жизни с тем, чтобы реализовать намеченные обширные планы научных работ.

Декарт был крупнейшим философом и математиком своего времени. Самым известным трудом Декарта является его “Геометрия”. Декарт ввел систему координат, которой пользуются все и в настоящее время. Он установил соответствие между числами и отрезками прямой и таким образом ввел алгебраический метод в геометрию. Эти открытия Декарта дали огромный толчок развитию как геометрии, так и другим разделам математики, оптики. Появилась возможность изображать зависимость величин графически на координатной плоскости, числа - отрезками и выполнять арифметические действия над отрезками и другими геометрическими величинами, а также различными функциями. Это был совершенно новый метод, отличавшийся красотой, изяществом и простотой.

    Повторение. Прямоугольная система координат на плоскости.

Вопросы:

    Что называют системой координат на плоскости?

    Как определяются координаты точки на плоскости?

    Назовите координаты начала координат?

    Назовите формулу координат середины отрезка и расстояния между точками на плоскости?

    Изучение нового материала:

Прямоугольной системой координат в пространстве называется тройка взаимно перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат. Общее начало координат обозначается буквой O .

Ох – ось абсцисс,

Оу – ось ординат,

О z – ось аппликат

Три плоскости, проходящие через оси координат Ох и Оу, Оу и О z , О z и Ох, называются координатными плоскостями: Оху, Оу z , О z х.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел – её координаты.

М (х,у, z ), где х – абсцисса, у – ордината, z - аппликата.

Система координат в пространстве

Коордиаты точки

Расстояние между точками

1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ) и A 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 )

Тогда расстояние между точками A 1 и A 2 вычисляется так:

Координаты середины отрезка в пространстве

Есть две произвольные точки A 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ) и A 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ). Тогда серединой отрезка A 1 A 2 будет точка С с координатами x, y, z, где

    Получение навыков решения:

1) Найдите координаты ортогональных проекций точек A (1, 3, 4) и

B (5, -6, 2) на:

а) плоскость Oxy ; б) плоскость Oyz ; в) ось Ox ; г) ось Oz .

Ответ: а) (1, 3, 0), (5, -6, 0); б) (0, 3, 4), (0, -6, 2); в) (1, 0, 0), (5, 0, 0);

г) (0, 0, 4), (0, 0, 2).

2) На каком расстоянии находится точка A (1, -2, 3) от координатной плоскости:

а) Oxy ; б) Oxz ; в) Oyz ?

Ответ: а) 3; б) 2; в) 1

3)Найдите координаты середины отрезка:

а) AB , если A (1, 2, 3) и B (-1, 0, 1); б) CD , если C (3, 3, 0) и D (3, -1, 2).

Ответ: а) (1, 1, 2); б) (3, 1, 1).

5. Домашнее задание: учебник А.В.Погорелова «Геометрия 10-11» п. 23 – 25, стр.53 ответить на вопросы № 1 – 3; №7, №10(1)

6.Итог урока.

Таблица

На плоскости

В пространстве

Определение. Системой координат называется совокупность двух пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей

Определение. Системой координат называется совокупность трех координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей

2 оси,

ОУ- ось ординат,

ОХ- ось абсцисс

3 оси,

ОХ - ось абсцисс,

ОУ – ось ординат,

ОZ - ось аппликат.

ОХ перпендикулярна ОУ

ОХ перпендикулярна ОУ,

ОХ перпендикулярна ОZ ,

ОУ перпендикулярна ОZ

(О;О)

(О;О;О)

Направление, единичный отрезок

Расстояние между точками.

Расстояние между точками

Координаты середины отрезка.

Координаты середины отрезка

Вопросы:

    Как вводится, декартова система координат? Из чего она состоит?

    Как определяются координаты точки в пространстве?

    Чему равна координата точки пересечения координатных осей?

    Чему равно расстояние от начала координат до заданной точки?

    Назовите формулу координат середины отрезка и расстояния между точками в пространстве?

Оценивание обучающихся

7.Рефлексия

На уроке

Я узнал …

Я научился…

Мне понравилось…

Я затруднялся…

Моё настроение…

Литература.

    А.В. Погорелов. Учебник 10-11. М. “Просвещение”, 2010г.

    И.С. Петраков. Математические кружки в 8-10 классах. М, “Просвещение”, 1987 г.

Существует целая группа заданий (входящих в экзаменационные типы задач), связанная с координатной плоскостью. Это задачи начиная с самых элементарных, которые решаются устно (определение ординаты или абсциссы заданной точки, либо точки симметричной заданной и другие), заканчивая задачами в которых требуется качественное знание, понимание и хорошие навыки (задачи связанные с угловым коэффициентом прямой).

Постепенно мы с вами рассмотрим все их. В этой статье начнём с элементарных. Это простые задачи на определение: абсциссы и ординаты точки, длинны отрезка, середины отрезка, синуса или косинуса угла наклона прямой. Большинству эти задания будут не интересны. Но изложить их считаю необходимым.

Дело в том, что не все учатся в школе. Очень многие сдают ЕГЭ спустя 3-4 и более лет после её окончания и что такое абсцисса и ордината помнят смутно. Будем разбирать и другие задачи, связанные с координатной плоскостью, не пропустите, подпишитесь, на обновление блога. Теперь н емного теории.

Построим на координатной плоскости точку А с координатами х= 6, y=3.


Говорят, что абсцисса точки А равна шести, ордината точки А равна трём.

Если выразиться просто, то ось ох это ось абсцисс, ось оу это ость ординат.

То есть, абсцисса это точка на оси ох в которую проецируется точка заданная на координатной плоскости; ордината это точка на оси оу в которую проецируется оговоренная точка.

Длина отрезка на координатной плоскости

Формула для определения длины отрезка, если известны координаты его концов:

Как вы видите, длина отрезка — это длина гипотенузы в прямоугольными треугольнике с катетами равными

Х В – Х А и У В – У А

* * *

Середина отрезка. Её Координаты.


Формула для нахождения координат середины отрезка:

Уравнение прямой проходящей через две данные точки


Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

где (х 1 ;у 1 ) и (х 2 ;у 2 ) координаты заданных точек.

Подставив значения координат в формулу, она приводится к виду:

y = kx + b , где k — это угловой коэффициент прямой

Эта информация нам понадобиться при решении другой группы задач связанных с координатной плоскостью. Статья об этом будет, не пропустите!

Что ещё можно добавить?

Угол наклона прямой (или отрезка) это угол между осью оХ и этой прямой, лежит в пределах от 0 до 180 градусов.


Рассмотрим задачи.

Из точки (6;8) опущен перпендикуляр на ось ординат. Найдите ординату основания перпендикуляра.

Основание перпендикуляра опущенного на ось ординат будет иметь координаты (0;8). Ордината равна восьми.

Ответ: 8

Найдите расстояние от точки A с координатами (6;8) до оси ординат.

Расстояние от точки А до оси ординат равно абсциссе точки А.

Ответ: 6.

A (6;8) относительно оси Ox .

Точка симметричная точке А относительно оси оХ имеет координаты (6;– 8).

Ордината равна минус восьми.

Ответ: – 8

Найдите ординату точки, симметричной точке A (6;8) относительно начала координат.

Точка симметричная точке А относительно начала координат имеет координаты (– 6;– 8).

Её ордината равна – 8.


Ответ: –8

Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки O (0;0) и A (6;8).


Для того, решить поставленную задачу необходимо найти координаты середины отрезка. Координаты концов нашего отрезка (0;0) и (6;8).

Вычисляем по формуле:

Получили (3;4). Абсцисса равна трём.

Ответ: 3

*Абсциссу середины отрезка можно определить без вычисления по формуле, построив данный отрезок на координатной плоскости на листе в клетку. Середину отрезка несложно будет определить по клеткам.

Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки A (6;8) и B (–2;2).


Для того, решить поставленную задачу необходимо найти координаты середины отрезка. Координаты концов нашего отрезка (–2;2) и (6;8).

Вычисляем по формуле:

Получили (2;5). Абсцисса равна двум.

Ответ: 2

*Абсциссу середины отрезка можно определить без вычисления по формуле, построив данный отрезок на координатной плоскости на листе в клетку.

Найдите длину отрезка, соединяющего точки (0;0) и (6;8).


Длина отрезка при данных координатах его концов вычисляется по формуле:

в нашем случае имеем О(0;0) и А(6;8). Значит,

*Порядок координат при вычитании не имеет значения. Можно из абсциссы и ординаты точки О вычесть абсциссу и ординату точки А:

Ответ:10

Найдите косинус угла наклона отрезка, соединяющего точки O (0;0) и A (6;8), с осью абсцисс.


Угол наклона отрезка – это угол между этим отрезком и осью оХ.

Из точки А опустим перпендикуляр на ось оХ:


То есть, угол наклона отрезка это угол ВОА в прямоугольном треугольнике АВО.

Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике является

отношение прилежащего катета к гипотенузе

Необходимо найти гипотенузу ОА.

По теореме Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Таким образом, косинус угла наклона равен 0,6

Ответ: 0,6

Из точки (6;8) опущен перпендикуляр на ось абсцисс. Найдите абсциссу основания перпендикуляра.

Через точку (6;8) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Найдите ординату ее точки пересечения с осью оУ .

Найдите расстояние от точки A с координатами (6;8) до оси абсцисс.

Найдите расстояние от точки A с координатами (6;8) до начала координат.

Пусть А(Х 1 ; у 1) и В(х 2 ; у 2) — две произвольные точки и С (х; у) — середина отрезка АВ. Найдем координаты х, у точки С.

Рассмотрим сначала случай, когда отрезок АВ не параллелен оси у, т. е. Х 1 Х 2 . Проведем через точки А, В, С прямые, параллельные оси у (рис. 173). Они пересекут ось х в точках A 1 (X 1 ; 0), B 1 (X 2 ; 0), C 1 (х; 0). По теореме Фалеса точка С 1 будет серединой отрезка A 1 B 1 .

Так как точка С 1 —середина отрезка AiBi, то A 1 C 1 =B 1 C 1 , а значит, Ix — X 1 I = Iх — Х 2 I. Отсюда следует, что либо x —x 1 = x — x 2 , либо (x — x 1) = —(x-x 2).
Первое равенство невозможно, так как x 1 x 2 . Поэтому верно второе. А из него получается формула

Если x 1 =x 2 , т. е. отрезок АВ параллелен оси у, то все три точки A 1 , B 1 , C 1 имеют одну и ту же абсциссу. Значит, формула остается верной и в этом случае.
Ордината точки С находится аналогично. Через точки А, В, С проводятся прямые, параллельные оси х. Получается формула

Задача (15). Даны три вершины параллелограмма ABCD: А (1; 0), В (2; 3), С (3; 2). Найдите координаты четвертой вершины D и точки пересечения диагоналей.

Решение. Точка пересечения диагоналей является серединой каждой из них. Поэтому она является серединой отрезка АС, a значит, имеет координаты

Теперь, зная координаты точки пересечения диагоналей, находим координаты х, у четвертой вершины D. Пользуясь тем, что точка пересечения диагоналей является серединой отрезка BD, имеем:

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

После кропотливого труда я вдруг заметил, что размеры веб страниц достаточно велики, и если так пойдёт дальше, то можно тихо мирно озвереть =) Поэтому предлагаю вашему вниманию небольшое эссе, посвященное очень распространённой геометрической задаче – о делении отрезка в данном отношении , и, как частный случай, о делении отрезка пополам .

Данная задача по тем или иным причинам не вписалась в другие уроки, но зато сейчас есть прекрасная возможность рассмотреть её подробно и неторопливо. Приятная новость состоит в том, что мы немного отдохнём от векторов и сконцентрируем внимание на точках и отрезках.

Формулы деления отрезка в данном отношении

Понятие деления отрезка в данном отношении

Нередко обещанного вовсе ждать не приходится, сразу рассмотрим пару точек и, очевидное невероятное – отрезок :

Рассматриваемая задача справедлива, как для отрезков плоскости, так и для отрезков пространства. То есть, демонстрационный отрезок можно как угодно разместить на плоскости или в пространстве. Для удобства объяснений я нарисовал его горизонтально.

Что будем делать с данным отрезком? На этот раз пилить. Кто-то пилит бюджет, кто-то пилит супруга, кто-то пилит дрова, а мы начнём пилить отрезок на две части. Отрезок делится на две части с помощью некоторой точки , которая, понятно, расположена прямо на нём:

В данном примере точка делит отрезок ТАКИМ образом, что отрезок в два раза короче отрезка . ЕЩЁ можно сказать, что точка делит отрезок в отношении («один к двум»), считая от вершины .

На сухом математическом языке этот факт записывают следующим образом: , или чаще в виде привычной пропорции: . Отношение отрезков принято стандартно обозначать греческой буквой «лямбда», в данном случае: .

Пропорцию несложно составить и в другом порядке: – сия запись означает, что отрезок в два раза длиннее отрезка , но какого-то принципиального значения для решения задач это не имеет. Можно так, а можно так.

Разумеется, отрезок легко разделить в каком-нибудь другом отношении, и в качестве закрепления понятия второй пример:

Здесь справедливо соотношение: . Если составить пропорцию наоборот, тогда получаем: .

После того, как мы разобрались, что значит разделить отрезок в данном отношении, перейдём к рассмотрению практических задач.

Если известны две точки плоскости , то координаты точки , которая делит отрезок в отношении , выражаются формулами:

Откуда взялись данные формулы? В курсе аналитической геометрии эти формулы строго выводятся с помощью векторов (куда ж без них? =)). Кроме того, они справедливы не только для декартовой системы координат, но и для произвольной аффинной системы координат (см. урок Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов ). Такая вот универсальная задача.

Пример 1

Найти координаты точки , делящей отрезок в отношении , если известны точки

Решение : В данной задаче . По формулам деления отрезка в данном отношении, найдём точку :

Ответ :

Обратите внимание на технику вычислений: сначала нужно отдельно вычислить числитель и отдельно знаменатель. В результате часто (но далеко не всегда) получается трёх- или четырёхэтажная дробь. После этого избавляемся от многоэтажности дроби и проводим окончательные упрощения.

В задаче не требуется строить чертежа, но его всегда полезно выполнить на черновике:



Действительно, соотношение выполняется, то есть отрезок в три раза короче отрезка . Если пропорция не очевидна, то отрезки всегда можно тупо измерить обычной линейкой.

Равноценен второй способ решения : в нём отсчёт начинается с точки и справедливым является отношение: (человеческими словами, отрезок в три раза длиннее отрезка ). По формулам деления отрезка в данном отношении:

Ответ :

Заметьте, что в формулах необходимо переместить координаты точки на первое место, поскольку маленький триллер начинался именно с неё.

Также видно, что второй способ рациональнее ввиду более простых вычислений. Но всё-таки данную задачу чаще решают в «традиционном» порядке. Например, если по условию дан отрезок , то предполагается, что вы составите пропорцию , если дан отрезок , то «негласно» подразумевается пропорция .

А 2-ой способ я привёл по той причине, что частенько условие задачи пытаются намеренно подзапутать. Именно поэтому очень важно выполнять черновой чертёж чтобы, во-первых, правильно проанализировать условие, а, во-вторых, в целях проверки. Обидно допускать ошибки в такой простой задаче.

Пример 2

Даны точки . Найти:

а) точку , делящую отрезок в отношении ;
б) точку , делящую отрезок в отношении .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Иногда встречаются задачи, где неизвестен один из концов отрезка:

Пример 3

Точка принадлежит отрезку . Известно, что отрезок в два раза длиннее отрезка . Найти точку , если .

Решение : Из условия следует, что точка делит отрезок в отношении , считая от вершины , то есть, справедлива пропорция: . По формулам деления отрезка в данном отношении:

Сейчас нам неизвестны координаты точки : , но это не является особой проблемой, так как их легко выразить из вышеприведённых формул. В общем виде выражать ничего не стОит, гораздо проще подставить конкретные числа и аккуратно разобраться с вычислениями:

Ответ :

Для проверки можно взять концы отрезка и, пользуясь формулами в прямом порядке, убедиться, что при соотношении действительно получится точка . И, конечно же, конечно же, не лишним будет чертёж. А чтобы окончательно убедить вас в пользе клетчатой тетради, простого карандаша да линейки, предлагаю хитрую задачу для самостоятельного решения:

Пример 4

Точка . Отрезок в полтора раза короче отрезка . Найти точку , если известны координат точек .

Решение в конце урока. Оно, кстати, не единственное, если пойдёте отличным от образца путём, то это не будет ошибкой, главное, чтобы совпали ответы.

Для пространственных отрезков всё будет точно так же, только добавится ещё одна координата.

Если известны две точки пространства , то координаты точки , которая делит отрезок в отношении , выражаются формулами:
.

Пример 5

Даны точки . Найти координаты точки , принадлежащей отрезку , если известно, что .

Решение : Из условия следует отношение: . Данный пример взят из реальной контрольной работы, и его автор позволил себе небольшую шалость (вдруг кто споткнётся) – пропорцию в условии рациональнее было записать так: .

По формулам координат середины отрезка:

Ответ :

Трёхмерные чертежи в целях проверки выполнять значительно сложнее. Однако всегда можно сделать схематический рисунок, чтобы разобраться хотя бы в условии – какие отрезки необходимо соотносить.

Что касается дробей в ответе, не удивляйтесь, обычное дело. Много раз говорил, но повторюсь: в высшей математике принято орудовать обыкновенными правильными и неправильными дробями. Ответ в виде пойдёт, но вариант с неправильными дробями более стандартен.

Разминочная задача для самостоятельного решения:

Пример 6

Даны точки . Найти координаты точки , если известно, что она делит отрезок в отношении .

Решение и ответ в конце урока. Если трудно сориентироваться в пропорциях, выполните схематический чертёж.

В самостоятельных и контрольных работах рассмотренные примеры встречаются как сами по себе, так и составной частью более крупных задач. В этом смысле типична задача нахождения центра тяжести треугольника.

Разновидность задания, где неизвестен один из концов отрезка, разбирать не вижу особого смысла, так как всё будет похоже на плоский случай, разве что вычислений чуть больше. Лучше вспомним годы школьные:

Формулы координат середины отрезка

Даже неподготовленные читатели могут помнить, как разделить отрезок пополам. Задача деления отрезка на две равные части – это частный случай деления отрезка в данном отношении. Двуручная пила работает самым демократичным образом, и каждому соседу за партой достаётся по одинаковой палке:

В этот торжественный час стучат барабаны, приветствуя знаменательную пропорцию . И общие формулы чудесным образом преображаются в нечто знакомое и простое:

Удобным моментом является тот факт, что координаты концов отрезка можно безболезненно переставить:

В общих формулах такой роскошный номер, как понимаете, не проходит. Да и здесь в нём нет особой надобности, так, приятная мелочь.

Для пространственного случая справедлива очевидная аналогия. Если даны концы отрезка , то координаты его середины выражаются формулами:

Пример 7

Параллелограмм задан координатами своих вершин . Найти точку пересечения его диагоналей.

Решение : Желающие могут выполнить чертёж. Граффити особенно рекомендую тем, кто капитально забыл школьный курс геометрии.

По известному свойству, диагонали параллелограмма своей точкой пересечения делятся пополам, поэтому задачу можно решить двумя способами.

Способ первый : Рассмотрим противоположные вершины . По формулам деления отрезка пополам найдём середину диагонали :

Похожие статьи