Координати на краищата на сегмента. Разработка на урока: „Въведение в декартовите координати в пространството

  • Координати на средата на отсечката.

Цели на урока

  • Разширете хоризонтите си от понятия.
  • Запознайте се с нови дефиниции и си припомнете някои вече изучени.
  • Научете се да прилагате свойствата на формите при решаване на задачи.
  • Развитие - развива вниманието, постоянството, постоянството, логическото мислене, математическата реч на учениците.
  • Образователни - чрез урока култивирайте внимателно отношение един към друг, внушавайте способността да слушате другарите, взаимопомощта и независимостта.

Цели на урока

  • Проверете уменията на учениците за решаване на проблеми.

План на урока

  1. Въведение.
  2. Повторение на предварително изучен материал.
  3. Координати на средата на отсечката.
  4. Логически проблеми.

Въведение

Преди да премина към материала по самата тема, бих искал да поговоря малко за сегмент не само като математическо определение. Много учени са опитвали погледнете сегмента по различен начин, видя нещо необичайно в него. Някои талантливи художниците направиха геометрични фигури, които предават настроение и емоции.

Има много теории за това как цветът влияе на настроението ни и защо.

Цветът може да бъде усетен и е тясно свързан с нашите емоции. Цветът на природата, архитектурата, растенията, облеклото, което ни заобикаля, постепенно влияе на настроението ни.

Според специалистите цветовете могат да повлияят на човека.

  • червенцветът може да повдигне настроението ви и да ви даде сила.
  • Розовоцветът символизира мир и спокойствие.
  • портокале топъл, неспокоен цвят, който дава енергия и повдига настроението.
  • В императорски Китай жълтосе смяташе за толкова свещен цвят, че само императорът можеше да носи жълти дрехи. Египтяните и маите смятали жълтото за цвета на Слънцето и почитали неговата животоподдържаща сила. Жълтите цветя могат да ободрят и да донесат радост, когато не се чувствате добре.
  • Зелено- лечебен цвят. Предизвиква усещане за баланс и хармония.
  • Синзасилва креативността.
  • Виолетово- цветът на замислеността, духовността и мира. Свързва се с интуицията и грижата за другите.
  • Бялообикновено се счита за цвета на чистотата и невинността. Също така се свързва с вдъхновение, прозрение, духовност и любов.

Но има толкова много хора и толкова много мнения. Всеки има своята истина.

Има и интересна теория за това как е свързана формата на линия или сегмент с неговия характер.

Формата, подобно на цвета, е свойство на обекта. Форма- това са външните очертания на видим обект, отразяващи неговите пространствени аспекти (forma, в превод от латински - външен вид). Всичко, което ни заобикаля, има определена форма. Разбирането и изобразяването на неговата структурна структура и семантично съдържание е задача на художника. И ние, като зрители, трябва да можем да разчетем образа, да дешифрираме същността и значението на различните форми. Върху лист хартия и компютърен екран се образува форма, когато се затвори линия. Следователно естеството на формата зависи от естеството на линията, чрез която е оформена.

Кой от тези редове може да изрази спокойствие, гняв, безразличие, вълнение, радост?

В този случай не може да има ясен отговор. Например, бодлива линия може да изрази гняв, злорадство или дива радост, граничеща с безразсъдство.

Какво настроение или емоция съответства на всеки от тези редове?

Как една форма зависи от естеството на линията, от която е образувана?

Повторение на предварително изучен материал

В космоса

Има две произволни точки A1(x 1 ;y 1 ;z 1) и A2(x 2 ;y 2 ;z 2). Тогава средата на сегмент A1A2 ще бъде точката СЪСс координати x, y, z, където


Разделяне на сегмент в дадено съотношение

Ако x 1 и y 1 са координатите на точка A, а x 2 и y 2 са координатите на точка B, то координатите x и y на точка C, разделяща отсечката AB спрямо , се определят по формулите

Площта на триъгълник въз основа на известните координати на неговите върхове A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), C(x 3, y 3) се изчислява по формулата.

Числото, получено с помощта на тази формула, трябва да се приема като абсолютна стойност.

Пример №1

Намерете средата на отсечката AB.


Отговор:Координатите на средата на сегмента са (1,5;2)

Пример №2.

Намерете средата на отсечката AB.

Отговор:Координатите на средата на сегмента са равни на (21;0)

Пример №3.

Намерете координатите на точка C, ако AC=5,5 и CB=19,5.

A(1;7), B(43;-4)


Отговор:Координати на точка C(10.24;4.58)

Задачи

Задача No1

Намерете средата на отсечката DB.


Задача No2.

Намерете средата на сегмента CD.


Как се правят статуи.

За много известни скулптори се казва, че на въпроса как успяват да направят толкова прекрасни статуи, отговорът бил: „Вземам един мраморен блок и отрязвам всичко ненужно от него“. Можете да прочетете това в различни книги за Микеланджело, за Торвалдсен, за Роден.

По същия начин можете да получите всяка ограничена плоска геометрична фигура: трябва да вземете някакъв квадрат, в който се намира, и след това да отрежете всичко, което е ненужно. Необходимо е обаче да се отреже не веднага, а постепенно, като на всяка стъпка изхвърляте парче, оформено като кръг. В този случай самият кръг се изхвърля и неговата граница - кръгът - остава във фигурата.

На пръв поглед изглежда, че по този начин могат да се получат само фигури от определен тип. Но цялата работа е в това, че те изхвърлят не един или два кръга, а безкраен, или по-точно изброим набор от кръгове. По този начин можете да получите всяка фигура. За да се убедим в това, достатъчно е да вземем предвид, че множеството от окръжности, за които и радиусът, и двете координати на центъра са рационални, са изброими.

И сега, за да получите всяка фигура, достатъчно е да вземете квадрата, който я съдържа (мраморен блок) и да нарисувате всички кръгове от горния тип, които не съдържат нито една точка от фигурата, от която се нуждаем. Ако хвърляте кръгове не от квадрат, а от цялата равнина, тогава с помощта на описаната техника можете да получите неограничени фигури.

Въпроси

  1. Какво е сегмент?
  2. От какво се състои сегментът?
  3. Как можете да намерите средата на отсечка?

Списък на използваните източници

  1. Кузнецов А.В., учител по математика (5-9 клас), Киев
  2. „Единен държавен изпит 2006 г. Математика. Образователни и обучителни материали за подготовка на студенти / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006"
  3. Мазур К. И. „Решаване на основните състезателни проблеми по математика на колекцията, редактирана от М. И. Сканави“
  4. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Е. Г. Позняк, И. И. Юдина „Геометрия, 7 – 9: учебник за образователни институции“

Работихме върху урока

Кузнецов А.В.

Потурнак С.А.

Татяна Проснякова

Въвеждане на декартови координати в пространството. Разстояние между точките. Координати на средата на отсечката.

Цели на урока:

Образователни: Разгледайте концепцията за координатна система и координатите на точка в пространството; изведете формулата за разстоянието в координати; изведете формулата за координатите на средата на отсечката.

Образователни: Да насърчава развитието на пространственото въображение на учениците; допринасят за развитието на решаването на проблеми и развитието на логическото мислене на учениците.

Образователни: Възпитаване на познавателна активност, чувство за отговорност, култура на общуване, култура на диалог.

Оборудване: Пособия за рисуване, презентация, център за дигитален дизайн

Тип урок: Урок за изучаване на нов материал

Структура на урока:

    Организиране на времето.

    Актуализиране на основни знания.

    Учене на нов материал.

    Актуализиране на нови знания

    Обобщение на урока.

По време на часовете

    Съобщение от историята " декартова координатна система"(ученик)

Когато решавате геометрична, физическа, химическа задача, можете да използвате различни координатни системи: правоъгълна, полярна, цилиндрична, сферична.

В общообразователния курс се изучава правоъгълната координатна система в равнината и в пространството. В противен случай тя се нарича декартова координатна система на името на френския учен философ Рене Декарт (1596 - 1650), който пръв въвежда координатите в геометрията.

(Разказ на ученик за Рене Декарт.)

Рене Декарт е роден през 1596 г. в град Лае в южната част на Франция, в благородническо семейство. Баща ми искаше да направи Рене офицер. За целта през 1613 г. той изпраща Рене в Париж. Декарт трябва да прекара много години в армията, участвайки във военни кампании в Холандия, Германия, Унгария, Чехия, Италия и в обсадата на хугенотската крепост Ла Рошали. Но Рене се интересуваше от философия, физика и математика. Скоро след пристигането си в Париж той се запознава с ученика на Виета, виден математик от онова време - Мерсен, а след това и с други математици във Франция. Докато е в армията, Декарт посвещава цялото си свободно време на математиката. Учи немска алгебра и френска и гръцка математика.

След превземането на Ла Рошали през 1628 г. Декарт напуска армията. Той води самотен живот, за да осъществи обширните си планове за научна работа.

Декарт е най-великият философ и математик на своето време. Най-известната творба на Декарт е неговата Геометрия. Декарт въвежда координатна система, която всички използват днес. Той установява съответствие между числата и отсечките и така въвежда алгебричния метод в геометрията. Тези открития на Декарт дадоха огромен тласък на развитието както на геометрията, така и на други клонове на математиката и оптиката. Стана възможно да се изобрази графично зависимостта на величините от координатната равнина, числата - като сегменти и да се извършват аритметични операции върху сегменти и други геометрични величини, както и различни функции. Това беше напълно нов метод, отличаващ се с красота, изящество и простота.

    Повторение. Правоъгълна координатна система на равнина.

Въпроси:

    Какво се нарича координатна система на равнина?

    Как се определят координатите на точка в равнина?

    Какви са координатите на началото?

    Каква е формулата за координатите на средата на отсечка и разстоянието между точките в равнината?

    Учене на нов материал:

Правоъгълна координатна система в пространството е трио взаимно перпендикулярни координатни линии с общ произход. Общият произход се обозначава с букватаО.

О - абсцисната ос,

Oy – ординатната ос,

ОТНОСНОz– приложна ос

Три равнини, минаващи през координатните оси Ox и Oy, Oy и Oz, ОТНОСНОzи Ox се наричат ​​координатни равнини: Oxy, Oyz, ОТНОСНОzХ.

В правоъгълна координатна система всяка точка M в пространството е свързана с тройка числа - нейните координати.

M(x,y,z), където x е абсцисата, y е ординатата,z- прилагам.

Координатна система в пространството

Координати на точки

Разстояние между точките

1 (х 1 ;г 1 ;з 1 ) и А 2 (х 2 ;г 2 ;з 2 )

След това разстоянието между точките А 1 и А 2 се изчислява по следния начин:

Координати на средата на отсечката в пространството

Има две произволни точки А 1 (х 1 ;г 1 ;з 1 ) и А 2 (х 2 ;г 2 ;з 2 ). След това средата на сегмента A 1 А 2 ще има точка C с координати x, y, z, където

    Придобиване на умения за решаване на проблеми:

1) Намерете координатите на ортогоналните проекции на точкитеА (1, 3, 4) и

Б (5, -6, 2) към:

самолетОкси ; б) равнинаОйз ; в) освол ; г) осОз .

Отговор: а) (1, 3, 0), (5, -6, 0); б) (0, 3, 4), (0, -6, 2); в) (1, 0, 0), (5, 0, 0);

г) (0, 0, 4), (0, 0, 2).

2) На какво разстояние е точкатаА (1, -2, 3) от координатната равнина:

а)Окси ; б)Oxz ; V)Ойз ?

Отговор: а) 3; б) 2; в 1

3) Намерете координатите на средата на сегмента:

а)AB , АкоА (1, 2, 3) иБ (-1, 0, 1); б)CD , Ако° С (3, 3, 0) ид (3, -1, 2).

Отговор: а) (1, 1, 2); б) (3, 1, 1).

5. Домашна работа: учебник на А. В. Погорелов „Геометрия 10-11” стр. 23 – 25, стр. 53 отговор на въпроси № 1 – 3; №7, №10(1)

6. Обобщение на урока.

Таблица

На повърхността

В космоса

Определение. Координатната система е набор от две пресичащи се координатни оси, точката, в която тези оси се пресичат - началото - и единични сегменти на всяка от осите

Определение. Координатната система е набор от три координатни оси, точката, в която тези оси се пресичат - началото на координатите - и единични сегменти на всяка от осите

2 оси,

OU - ординатна ос,

OX - абсцисната ос

3 оси,

OX - абсцисната ос,

OU – ординатна ос,

OZ - ос на апликатора.

OX е перпендикулярна на OA

OX е перпендикулярна на OU,

OX е перпендикулярна на OZ,

Операционният усилвател е перпендикулярен на OZ

(O;O)

(ООО)

Посока, единичен сегмент

Разстояние между точките.

Разстояние между точките

Координати на средата на отсечката.

Координати на средата на отсечката

Въпроси:

    Как се въвежда декартовата координатна система? В какво се състои?

    Как се определят координатите на точка в пространството?

    Каква е координатата на пресечната точка на координатните оси?

    Какво е разстоянието от началото до дадена точка?

    Каква е формулата за координатите на средата на отсечка и разстоянието между точките в пространството?

Оценяване на учениците

7.Отражение

На урока

Аз разбрах …

Научих…

Харесва ми…

Стана ми трудно...

Моето настроение…

Литература.

    А.В. Погорелов. Учебник 10-11. М. „Просвещение“, 2010 г.

    И.С. Петраков. Математически клубове за 8-10 клас. М, „Просвещение”, 1987 г

Има цяла група задачи (включени в изпитни типове задачи), свързани с координатната равнина. Това са задачи, вариращи от най-елементарни, които се решават устно (определяне на ординатата или абсцисата на дадена точка, или симетрична точка на дадена точка и други), завършващи със задачи, които изискват висококачествени знания, разбиране и добри умения (задачи, свързани с ъгловия коефициент на права линия).

Постепенно ще разгледаме всички тях. В тази статия ще започнем с основите. Това са прости задачи за определяне на: абсцисата и ординатата на точка, дължината на отсечка, средата на отсечка, синус или косинус от наклона на права линия.Повечето хора няма да се интересуват от тези задачи. Но смятам за необходимо да ги представя.

Факт е, че не всички ходят на училище. Много хора полагат Единния държавен изпит 3-4 или повече години след дипломирането си и смътно си спомнят какво е абсцисата и ординатата. Ще анализираме и други задачи, свързани с координатната равнина, не го пропускайте, абонирайте се за актуализации на блога. Сега nмалко теория.

Да построим точка А на координатната равнина с координати x=6, y=3.


Казват, че абсцисата на точка А е равна на шест, ординатата на точка А е равна на три.

Казано по-просто, оста вол е абсцисната ос, оста y е ординатната ос.

Тоест, абсцисата е точка на оста x, в която се проектира точка, дадена на координатната равнина; Ординатата е точката на оста y, към която се проектира посочената точка.

Дължина на отсечка в координатната равнина

Формула за определяне на дължината на сегмент, ако са известни координатите на краищата му:

Както можете да видите, дължината на сегмент е дължината на хипотенузата в правоъгълен триъгълник с равни катети

X B - X A и U B - U A

* * *

Средата на сегмента. Нейните координати.


Формула за намиране на координатите на средата на отсечка:

Уравнение на права, минаваща през две дадени точки


Формулата за уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки, има формата:

където (x 1; y 1) и (x 2; y 2 ) координати на дадени точки.

Замествайки стойностите на координатите във формулата, тя се редуцира до формата:

y = kx + b, където k е наклонът на правата

Тази информация ще ни е необходима при решаването на друга група задачи, свързани с координатната равнина. Ще има статия за това, не я пропускайте!

Какво друго можете да добавите?

Ъгълът на наклона на права линия (или сегмент) е ъгълът между оста oX и тази права линия, вариращ от 0 до 180 градуса.


Да разгледаме задачите.

От точката (6;8) се пуска перпендикуляр върху ординатната ос. Намерете ординатата на основата на перпендикуляра.

Основата на перпендикуляра, спуснат върху ординатната ос, ще има координати (0;8). Ординатата е равна на осем.

Отговор: 8

Намерете разстоянието от точката Ас координати (6;8) спрямо ординатата.

Разстоянието от точка А до ординатната ос е равно на абсцисата на точка А.

Отговор: 6.

А(6;8) спрямо оста вол.

Точка, симетрична на точка A спрямо оста oX, има координати (6;– 8).

Ординатата е равна на минус осем.

Отговор: – 8

Намерете ординатата на точка, симетрична на точката А(6;8) спрямо произхода.

Точка, симетрична на точка А спрямо началото, има координати (– 6;– 8).

Нейната ордината е – 8.


Отговор: –8

Намерете абсцисата на средата на отсечката, свързваща точкитеО(0;0) и А(6;8).


За да се реши задачата, е необходимо да се намерят координатите на средата на сегмента. Координатите на краищата на нашия сегмент са (0;0) и (6;8).

Изчисляваме по формулата:

Получихме (3;4). Абсцисата е равна на три.

Отговор: 3

*Абсцисата на средата на сегмент може да се определи без изчисление с помощта на формула, като се построи този сегмент върху координатна равнина върху лист хартия в квадрат. Средата на сегмента ще бъде лесна за определяне от клетките.

Намерете абсцисата на средата на отсечката, свързваща точките А(6;8) и Б(–2;2).


За да се реши задачата, е необходимо да се намерят координатите на средата на сегмента. Координатите на краищата на нашия сегмент са (–2;2) и (6;8).

Изчисляваме по формулата:

Получихме (2;5). Абсцисата е равна на две.

Отговор: 2

*Абсцисата на средата на сегмент може да се определи без изчисление с помощта на формула, като се построи този сегмент върху координатна равнина върху лист хартия в квадрат.

Намерете дължината на отсечката, свързваща точките (0;0) и (6;8).


Дължината на отсечката при дадените координати на нейните краища се изчислява по формулата:

в нашия случай имаме O(0;0) и A(6;8). означава,

*Редът на координатите при изваждане няма значение. Можете да извадите абсцисата и ординатата на точка A от абсцисата и ординатата на точка O:

Отговор:10

Намерете косинуса на наклона на отсечката, свързваща точките О(0;0) и А(6;8), с ос x.


Ъгълът на наклона на сегмент е ъгълът между този сегмент и оста oX.

От точка А спускаме перпендикуляр към оста oX:


Тоест ъгълът на наклона на сегмента е ъгълътВОИв правоъгълен триъгълник ABO.

Косинусът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е

отношение на съседния катет към хипотенузата

Трябва да намерим хипотенузатаОА.

Според теоремата на Питагор:В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.

Така косинусът на ъгъла на наклона е 0,6

Отговор: 0,6

От точка (6;8) се пуска перпендикуляр върху абсцисната ос. Намерете абсцисата на основата на перпендикуляра.

През точката (6;8) се прекарва права линия, успоредна на абсцисната ос. Намерете ординатата на пресечната му точка с оста OU.

Намерете разстоянието от точката Ас координати (6;8) спрямо абсцисната ос.

Намерете разстоянието от точката Ас координати (6;8) до началото.

Нека A(X 1; y 1) и B(x 2; y 2) са две произволни точки и C (x; y) е средата на отсечката AB. Нека намерим координатите x, y на точка C.

Нека първо разгледаме случая, когато сегментът AB не е успореден на оста y, т.е. X 1 X 2. Нека начертаем прави линии през точки A, B, C, успоредни на оста y (фиг. 173). Те ще пресичат оста x в точки A 1 (X 1; 0), B 1 (X 2; 0), C 1 (x; 0). Според теоремата на Талес точка C 1 ще бъде средата на сегмента A 1 B 1.

Тъй като точка C 1 е средата на отсечката AiBi, тогава A 1 C 1 = B 1 C 1, което означава Ix - X 1 I = Ix - X 2 I. Следва, че или x - x 1 = x - x 2 , или (x - x 1) = -(x-x 2).
Първото равенство е невъзможно, тъй като x 1 x 2. Следователно второто е вярно. И от това получаваме формулата

Ако x 1 = x 2, тоест отсечката AB е успоредна на оста y, тогава и трите точки A 1, B 1, C 1 имат една и съща абциса. Това означава, че формулата остава вярна в този случай.
По подобен начин се намира ординатата на точка C. През точки A, B, C са начертани прави линии, успоредни на оста x. Формулата се оказва

Проблем (15). Дадени са три върха на успоредника ABCD: A (1; 0), B (2; 3), C (3; 2). Намерете координатите на четвъртия връх D и пресечните точки на диагоналите.

Решение. Пресечната точка на диагоналите е средата на всеки от тях. Следователно това е средата на сегмента AC, което означава, че има координати

Сега, знаейки координатите на точката на пресичане на диагоналите, намираме координатите x, y на четвъртия връх D. Използвайки факта, че точката на пресичане на диагоналите е средата на сегмента BD, имаме:

А. В. Погорелов, Геометрия за 7-11 клас, Учебник за учебни заведения

След усърдна работа изведнъж забелязах, че размерът на уеб страниците е доста голям и ако нещата продължат така, тогава мога тихо да се развихря =) Затова предлагам на вашето внимание кратко есе, посветено на много често срещан геометричен проблем - относно разделянето на сегмент в това отношение, и като специален случай, относно разделянето на сегмент наполовина.

По една или друга причина тази задача не се вписва в други уроци, но сега има чудесна възможност да я разгледаме подробно и спокойно. Добрата новина е, че ще си вземем почивка от векторите и ще се съсредоточим върху точките и сегментите.

Формули за разделяне на сегмент в това отношение

Концепцията за разделяне на сегмент в това отношение

Често изобщо не е нужно да чакате обещаното; нека веднага да разгледаме няколко точки и, очевидно, невероятното - сегмента:

Разглежданата задача е валидна както за сегменти от равнината, така и за сегменти от пространството. Тоест демонстрационният сегмент може да се постави по желание в самолет или в космоса. За по-лесно обяснение го начертах хоризонтално.

Какво ще правим с този сегмент? Този път да режа. Някой съкращава бюджет, някой съкращава съпруга, някой сече дърва за огрев и ще започнем да разделяме сегмента на две части. Сегментът е разделен на две части с помощта на определена точка, която, разбира се, се намира директно върху него:

В този пример точката разделя сегмента по такъв начин, че сегментът е наполовина по-дълъг от сегмента. Можете СЪЩО ДА кажете, че точка разделя сегмент в съотношение („едно към две“), като се брои от върха.

На сух математически език този факт се записва по следния начин: , или по-често под формата на обичайната пропорция: . Съотношението на сегментите обикновено се обозначава с гръцката буква "ламбда", в този случай: .

Лесно е пропорцията да се състави в различен ред: - това обозначение означава, че отсечката е два пъти по-дълга от отсечката, но това няма фундаментално значение за решаването на задачи. Може да е така, а може и така.

Разбира се, сегментът може лесно да бъде разделен в някакво друго отношение и за засилване на концепцията, вторият пример:

Тук е валидно следното съотношение: . Ако направим пропорцията обратно, тогава получаваме: .

След като разбрахме какво означава да разделим сегмент в това отношение, преминаваме към разглеждане на практически проблеми.

Ако са известни две точки на равнината, тогава координатите на точката, която разделя сегмента по отношение на, се изразяват с формулите:

Откъде идват тези формули? В курса на аналитичната геометрия тези формули са строго получени с помощта на вектори (къде бихме били без тях? =)). Освен това те са валидни не само за декартова координатна система, но и за произволна афинна координатна система (виж урока Линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторите). Това е толкова универсална задача.

Пример 1

Намерете координатите на точката, разделяща отсечката в релацията, ако точките са известни

Решение: В този проблем. Използвайки формулите за разделяне на сегмент в тази връзка, намираме точката:

Отговор:

Обърнете внимание на техниката на изчисление: първо трябва отделно да изчислите числителя и знаменателя отделно. Резултатът често (но не винаги) е три- или четириетажна фракция. След това се отърваваме от многоетажната структура на фракцията и извършваме окончателните опростявания.

Задачата не изисква рисуване, но винаги е полезно да я направите в чернова:



Наистина, връзката е изпълнена, т.е. отсечката е три пъти по-къса от отсечката . Ако пропорцията не е очевидна, тогава сегментите винаги могат да бъдат глупаво измерени с обикновена линийка.

Еднакво ценен второ решение: при него обратното броене започва от точка и следната връзка е справедлива: (с човешки думи сегментът е три пъти по-дълъг от сегмента). Съгласно формулите за разделяне на сегмент в това отношение:

Отговор:

Моля, обърнете внимание, че във формулите е необходимо да преместите координатите на точката на първо място, тъй като малкият трилър започна с нея.

Също така е ясно, че вторият метод е по-рационален поради по-прости изчисления. Но все пак този проблем често се решава по „традиционния“ начин. Например, ако според условието е даден сегмент, тогава се предполага, че ще съставите пропорция; ако е даден сегмент, тогава пропорцията е „мълчаливо“ загатната.

И дадох втория метод поради причината, че често се опитват умишлено да объркат условията на проблема. Ето защо е много важно да се извърши груб чертеж, за да се анализира, първо, правилно състоянието и, второ, за целите на проверката. Жалко е да правите грешки в такава проста задача.

Пример 2

Дават се точки . Намирам:

а) точка, разделяща сегмента по отношение на ;
б) точка, разделяща сегмента спрямо .

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока.

Понякога има проблеми, при които един от краищата на сегмента е неизвестен:

Пример 3

Точката принадлежи на сегмента. Известно е, че сегментът е два пъти по-дълъг от сегмента. Намерете точката ако .

Решение: От условието следва, че точката дели отсечката в съотношение , считано от върха, тоест пропорцията е валидна: . Съгласно формулите за разделяне на сегмент в това отношение:

Сега не знаем координатите на точката :, но това не е особен проблем, тъй като те могат лесно да бъдат изразени от горните формули. Изразяването с общи думи не струва нищо; много по-лесно е да замените конкретни числа и внимателно да разберете изчисленията:

Отговор:

За да проверите, можете да вземете краищата на сегмента и като използвате формули в директен ред, се уверете, че връзката действително води до точка. И, разбира се, разбира се, рисунка няма да бъде излишна. И за да ви убедя окончателно в ползите от карирана тетрадка, обикновен молив и линийка, ви предлагам една сложна задача, която да решите сами:

Пример 4

Точка . Отсечката е един път и половина по-къса от отсечката. Намерете точка, ако координатите на точките са известни .

Решението е в края на урока. Между другото, не е единственият, ако следвате различен път от извадката, няма да е грешка, важното е отговорите да съвпадат.

За пространствените сегменти всичко ще бъде абсолютно същото, само ще се добави още една координата.

Ако са известни две точки в пространството, тогава координатите на точката, която разделя сегмента по отношение на, се изразяват с формулите:
.

Пример 5

Дават се точки. Намерете координатите на точка, принадлежаща на отсечката, ако е известно, че .

Решение: Условието предполага отношението: . Този пример е взет от реален тест, като авторът му си е позволил малка шега (ако някой се спъне) - по-рационално би било пропорцията да се напише в условието така: .

Според формулите за координатите на средата на сегмента:

Отговор:

3D чертежи за целите на проверката са много по-трудни за създаване. Винаги обаче можете да направите схематичен чертеж, за да разберете поне условието - кои сегменти трябва да бъдат съпоставени.

Що се отнася до дробите в отговора, не се изненадвайте, това е нещо обичайно. Много пъти съм го казвал, но ще го повторя: във висшата математика е прието да се използват обикновени правилни и неправилни дроби. Отговорът е във формата ще свърши работа, но опцията с неправилни дроби е по-стандартна.

Подгряваща задача за самостоятелно решение:

Пример 6

Дават се точки. Намерете координатите на точката, ако е известно, че тя разделя отсечката в отношението.

Решението и отговорът са в края на урока. Ако е трудно да се ориентирате в пропорциите, направете схематичен чертеж.

При самостоятелна и контролна работа разглежданите примери се срещат както самостоятелно, така и като неразделна част от по-големи задачи. В този смисъл проблемът за намиране на центъра на тежестта на триъгълник е типичен.

Не виждам много смисъл да анализирам типа задача, при която един от краищата на сегмента е неизвестен, тъй като всичко ще бъде подобно на плоския случай, с изключение на това, че има малко повече изчисления. Нека си спомним по-добре нашите ученически години:

Формули за координатите на средата на отсечка

Дори необучени читатели могат да си спомнят как да разделят сегмент наполовина. Задачата за разделяне на отсечка на две равни части е частен случай на разделяне на отсечка в това отношение. Трионът с две ръце работи по най-демократичния начин и всеки съсед по бюрото получава една и съща пръчка:

В този тържествен час барабаните биеха, приветствайки значителната част. И общи формули като по чудо се превърна в нещо познато и просто:

Удобен момент е фактът, че координатите на краищата на сегмента могат да бъдат пренаредени безболезнено:

В общите формули такава луксозна стая, както разбирате, не работи. И тук няма особена нужда от това, така че е хубаво малко нещо.

За пространствения случай има очевидна аналогия. Ако са дадени краищата на сегмент, тогава координатите на неговата среда се изразяват с формулите:

Пример 7

Паралелограмът се определя от координатите на неговите върхове. Намерете пресечната точка на неговите диагонали.

Решение: Желаещите могат да допълнят рисунката. Особено препоръчвам графити на тези, които напълно са забравили училищния курс по геометрия.

Според добре известното свойство диагоналите на успоредник се делят наполовина от пресечната си точка, така че задачата може да се реши по два начина.

Метод първи: Разгледайте противоположните върхове . Използвайки формулите за разделяне на сегмент наполовина, намираме средата на диагонала:

Подобни статии