Ο τύπος για την εύρεση του μικρότερου ύψους ορθογωνίου τριγώνου. Ορθογώνιο τρίγωνο

Ορθογώνιο τρίγωνοείναι ένα τρίγωνο στο οποίο μία από τις γωνίες είναι ορθή, δηλαδή ίση με 90 μοίρες.

Η πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα. ντοή ΑΒ)
Η πλευρά που βρίσκεται δίπλα στη σωστή γωνία ονομάζεται πόδι. Κάθε ορθογώνιο τρίγωνο έχει δύο σκέλη (που υποδεικνύονται ως ένακαι β ή AC και BC)

Τύποι και ιδιότητες ορθογωνίου τριγώνου

Ονομασίες φόρμουλας:

(δείτε την παραπάνω εικόνα)

α, β- σκέλη ορθογώνιου τριγώνου

ντο- υποτείνουσα

α, β - οξείες γωνίες τριγώνου

μικρό- περιοχή

η- το ύψος που έπεσε από την κορυφή της ορθής γωνίας στην υποτείνουσα

μ α ένααπό την απέναντι γωνία ( α )

μ β- διάμεσος τραβηγμένος στο πλάι σιαπό την απέναντι γωνία ( β )

mc- διάμεσος τραβηγμένος στο πλάι ντοαπό την απέναντι γωνία ( γ )

ΣΕ ορθογώνιο τρίγωνο οποιοδήποτε πόδι είναι μικρότερο από την υποτείνουσα(Φόρμουλα 1 και 2). Αυτή η ιδιότητα είναι συνέπεια του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Συνημίτονο οποιασδήποτε από τις οξείες γωνίεςλιγότερο από ένα (Formula 3 και 4). Αυτή η ιδιότητα προκύπτει από την προηγούμενη. Δεδομένου ότι οποιοδήποτε από τα πόδια είναι μικρότερο από την υποτείνουσα, η αναλογία του ποδιού προς την υποτείνουσα είναι πάντα μικρότερη από ένα.

Το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών (το Πυθαγόρειο θεώρημα). (Φόρμουλα 5). Αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιείται συνεχώς για την επίλυση προβλημάτων.

Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνουίσο με το μισό γινόμενο των ποδιών (Formula 6)

Άθροισμα τετραγωνικών διαμέσουστα πόδια ισούται με πέντε τετράγωνα της διάμεσης προς την υποτείνουσα και πέντε τετράγωνα της υποτείνουσας διαιρούμενα με τέσσερα (Τύπος 7). Εκτός από τα παραπάνω, εκεί 5 ακόμη φόρμουλες, γι 'αυτό συνιστάται να εξοικειωθείτε και με το μάθημα " Διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου", το οποίο περιγράφει τις ιδιότητες της διάμεσης τιμής με περισσότερες λεπτομέρειες.

Υψοςενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το γινόμενο των ποδιών διαιρούμενο με την υποτείνουσα (Τύπος 8)

Τα τετράγωνα των ποδιών είναι αντιστρόφως ανάλογα με το τετράγωνο του ύψους που έπεσε στην υποτείνουσα (Τύπος 9). Αυτή η ταυτότητα είναι επίσης μια από τις συνέπειες του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Μήκος της υποτείνουσαςίση με τη διάμετρο (δύο ακτίνες) του περιγεγραμμένου κύκλου (Τύπος 10). Υποτείνουσα ορθογώνιου τριγώνου είναι η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου. Αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιείται συχνά στην επίλυση προβλημάτων.

Εγγεγραμμένη ακτίνασε ορθογώνιο τρίγωνο κύκλουςμπορεί να βρεθεί ως το ήμισυ της έκφρασης, η οποία περιλαμβάνει το άθροισμα των σκελών αυτού του τριγώνου μείον το μήκος της υποτείνουσας. Ή ως το γινόμενο των σκελών διαιρούμενο με το άθροισμα όλων των πλευρών (περίμετρος) ενός δεδομένου τριγώνου. (Φόρμουλα 11)
Ημίτονο γωνίας απεναντι αποαυτή η γωνία πόδι σε υπόταση(εξ ορισμού ημιτονοειδούς). (Φόρμουλα 12). Αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιείται κατά την επίλυση προβλημάτων. Γνωρίζοντας τις διαστάσεις των πλευρών, μπορείτε να βρείτε τη γωνία που σχηματίζουν.

Το συνημίτονο της γωνίας Α (α, άλφα) σε ορθογώνιο τρίγωνο θα είναι ίσο με σχέση γειτονικόςαυτή η γωνία πόδι σε υπόταση(εξ ορισμού ημιτονοειδούς). (Φόρμουλα 13)

Τρίγωνα.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ.

Τρίγωνο- αυτό είναι ένα σχήμα που αποτελείται από τρία τμήματα και τρία σημεία που δεν βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή.

Τα τμήματα καλούνται κόμματα, και τα σημεία κορυφές.

Άθροισμα γωνιώντρίγωνο είναι ίσο με 180 º.

Το ύψος του τριγώνου.

Ύψος τριγώνουείναι μια κάθετη που σύρεται από μια κορυφή στην αντίθετη πλευρά.

Σε ένα τρίγωνο με οξεία γωνία, το ύψος περιέχεται μέσα στο τρίγωνο (Εικ. 1).

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τα σκέλη είναι τα ύψη του τριγώνου (Εικ. 2).

Σε ένα αμβλύ τρίγωνο, το ύψος περνά έξω από το τρίγωνο (Εικ. 3).

Ιδιότητες ύψους τριγώνου:

Διχοτόμος τριγώνου.

Διχοτόμος τριγώνου- αυτό είναι ένα τμήμα που διχοτομεί τη γωνία της κορυφής και συνδέει την κορυφή με ένα σημείο στην απέναντι πλευρά (Εικ. 5).

Ιδιότητες διχοτόμου:

Η διάμεσος ενός τριγώνου.

Τρίγωνο διάμεσος- αυτό είναι ένα τμήμα που συνδέει την κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς (Εικ. 9α).

Το μήκος της διάμεσης τιμής μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

2σι 2 + 2ντο 2 - ένα 2
μ α 2 = ——————
4

όπου μ α- διάμεσος τραβηγμένος στο πλάι αλλά.

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος που σύρεται στην υποτείνουσα είναι η μισή της υποτείνουσας:

ντο
mc = —
2

όπου mcείναι η διάμεσος που τραβιέται στην υποτείνουσα ντο(Εικ. 9γ)

Οι διάμεσοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο (στο κέντρο μάζας του τριγώνου) και διαιρούνται με αυτό το σημείο σε αναλογία 2:1, μετρώντας από την κορυφή. Δηλαδή, το τμήμα από την κορυφή προς το κέντρο είναι διπλάσιο από το τμήμα από το κέντρο προς την πλευρά του τριγώνου (Εικ. 9γ).

Οι τρεις διάμεσοι ενός τριγώνου το χωρίζουν σε έξι τρίγωνα ίσου εμβαδού.

Η μεσαία γραμμή του τριγώνου.

Μέση γραμμή του τριγώνου- αυτό είναι ένα τμήμα που συνδέει τα μεσαία σημεία των δύο πλευρών του (Εικ. 10).

Η μέση γραμμή ενός τριγώνου είναι παράλληλη προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.

Η εξωτερική γωνία του τριγώνου.

εξωτερική γωνίατρίγωνο είναι ίσο με το άθροισμα δύο μη γειτονικών εσωτερικών γωνιών (Εικ. 11).

Η εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από οποιαδήποτε μη γειτονική γωνία.

Ορθογώνιο τρίγωνο.

Ορθογώνιο τρίγωνο- αυτό είναι ένα τρίγωνο που έχει ορθή γωνία (Εικ. 12).

Η πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου απέναντι από τη σωστή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα.

Οι άλλες δύο πλευρές καλούνται πόδια.

Αναλογικά τμήματα σε ορθογώνιο τρίγωνο.

1) Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το ύψος που τραβιέται από τη σωστή γωνία σχηματίζει τρία παρόμοια τρίγωνα: ABC, ACH και HCB (Εικ. 14α). Αντίστοιχα, οι γωνίες που σχηματίζονται από το ύψος είναι ίσες με τις γωνίες Α και Β.

Εικ.14α

Ισοσκελές τρίγωνο.

Ισοσκελές τρίγωνο- αυτό είναι ένα τρίγωνο στο οποίο οι δύο πλευρές είναι ίσες (Εικ. 13).

Αυτές οι ίσες πλευρές ονομάζονται πλευρές, και το τρίτο βάσητρίγωνο.

Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι γωνίες στη βάση είναι ίσες. (Στο τρίγωνό μας η γωνία Α είναι ίση με τη γωνία Γ).

Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, η διάμεσος που τραβιέται στη βάση είναι και η διχοτόμος και το ύψος του τριγώνου.

Ισόπλευρο τρίγωνο.

Ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες (Εικ. 14).

Ιδιότητες ισόπλευρου τριγώνου:

Αξιοσημείωτες ιδιότητες τριγώνων.

Τα τρίγωνα έχουν πρωτότυπες ιδιότητες που θα σας βοηθήσουν να λύσετε με επιτυχία προβλήματα που σχετίζονται με αυτά τα σχήματα. Μερικές από αυτές τις ιδιότητες περιγράφονται παραπάνω. Αλλά τα επαναλαμβάνουμε ξανά, προσθέτοντας μερικά άλλα εξαιρετικά χαρακτηριστικά σε αυτά:

1) Σε ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες 90º, 30º και 60º, το σκέλος σι, που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία των 30º, ισούται με το ήμισυ της υποτείνουσας. Ενα πόδιένα περισσότερο πόδισι√3 φορές (Εικ. 15 αλλά). Για παράδειγμα, αν το σκέλος του b είναι 5, τότε η υποτείνουσα ντοαναγκαστικά ίσο με 10, και το πόδι αλλάισούται με 5√3.

2) Σε ένα ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο με γωνίες 90º, 45º και 45º, η υποτείνουσα είναι √2 φορές το σκέλος (Εικ. 15 σι). Για παράδειγμα, αν τα σκέλη είναι 5, τότε η υποτείνουσα είναι 5√2.

3) Η μεσαία γραμμή του τριγώνου είναι ίση με το μισό της παράλληλης πλευράς (Εικ. 15 από). Για παράδειγμα, αν η πλευρά ενός τριγώνου είναι 10, τότε η μέση γραμμή που είναι παράλληλη σε αυτό είναι 5.

4) Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος που σύρεται στην υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας (Εικ. 9γ): mc= γ/2.

5) Οι διάμεσοι ενός τριγώνου, που τέμνονται σε ένα σημείο, διαιρούνται με αυτό το σημείο σε αναλογία 2:1. Δηλαδή, το τμήμα από την κορυφή έως το σημείο τομής των διαμέσου είναι διπλάσιο από το τμήμα από το σημείο τομής των διαμέσου προς την πλευρά του τριγώνου (Εικ. 9γ)

6) Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το μέσο της υποτείνουσας είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου (Εικ. 15 ρε).

Σημάδια ισότητας τριγώνων.

Το πρώτο σημάδι ισότητας: Αν δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία ενός τριγώνου είναι ίσες με δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.

Το δεύτερο σημάδι ισότητας: αν η πλευρά και οι γωνίες που γειτνιάζουν με αυτό ενός τριγώνου είναι ίσες με την πλευρά και οι γειτονικές γωνίες ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.

Το τρίτο σημάδι της ισότητας: Αν τρεις πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες με τρεις πλευρές ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.

Ανισότητα τριγώνου.

Σε οποιοδήποτε τρίγωνο, κάθε πλευρά είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο πλευρών.

Πυθαγόρειο θεώρημα.

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών:

ντο 2 = ένα 2 + σι 2 .

Εμβαδόν τριγώνου.

1) Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό γινόμενο της πλευράς του και το ύψος που τραβιέται σε αυτήν την πλευρά:

Αχ
μικρό = ——
2

2) Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό γινόμενο οποιωνδήποτε δύο πλευρών του και το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας:

1
μικρό = — AB · ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ · αμαρτία ΕΝΑ
2

Ένα τρίγωνο περιγεγραμμένο γύρω από έναν κύκλο.

Ένας κύκλος ονομάζεται εγγεγραμμένος σε ένα τρίγωνο εάν αγγίζει όλες τις πλευρές του (Εικ. 16 αλλά).

Τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο.

Ένα τρίγωνο ονομάζεται εγγεγραμμένο σε κύκλο εάν το αγγίζει με όλες τις κορυφές (Εικ. 17 ένα).

Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου (Εικ. 18).

Κόλποςοξεία γωνία Χ απεναντι αποκαθετήρα στην υπόταση.
Συμβολίζεται ως εξής: αμαρτίαΧ.

Συνημίτονοοξεία γωνία Χορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος γειτονικόςκαθετήρα στην υπόταση.
Συμβολίζεται ως εξής: cos Χ.

Εφαπτομένοςοξεία γωνία Χείναι η αναλογία του απέναντι σκέλους προς το διπλανό πόδι.
Συμβολίζεται ως εξής: tgΧ.

Συνεφαπτομένηοξεία γωνία Χείναι η αναλογία του διπλανού σκέλους προς το αντίθετο σκέλος.
Συμβολίζεται ως εξής: ctgΧ.

Κανόνες:

Πόδι απέναντι γωνία Χ, ισούται με το γινόμενο της υποτείνουσας και της αμαρτίας Χ:

b=cαμαρτία Χ

Πόδι δίπλα στη γωνία Χ, ισούται με το γινόμενο της υποτείνουσας και του συν Χ:

α = γσυν Χ

Πόδι απέναντι γωνία Χ, ισούται με το γινόμενο του δεύτερου σκέλους και του tg Χ:

β = α tg Χ

Πόδι δίπλα στη γωνία Χ, ισούται με το γινόμενο του δεύτερου σκέλους και ctg Χ:

α = β ctg Χ.

Για οποιαδήποτε οξεία γωνία Χ:

αμαρτία (90° - Χ) = κοσ Χ

cos (90° - Χ) = αμαρτία Χ

(ΑΛΦΑΒΗΤΟ)και τις ιδιότητές του, που φαίνεται στο σχήμα. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει μια υποτείνουσα, την πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία.

Συμβουλή 1: Πώς να βρείτε το ύψος σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

Οι πλευρές που σχηματίζουν ορθή γωνία ονομάζονται πόδια. Πλαϊνό σχέδιο AD, DC και BD, DC- πόδια και πλαϊνά ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝΚαι ΝΔ- υποτείνουσα.

Θεώρημα 1. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία 30°, το σκέλος απέναντι από αυτή τη γωνία θα σχιστεί στο μισό της υποτείνουσας.

ΑΒ- υποτείνουσα;

ΕΝΑ ΔΚαι DB

Τρίγωνο
Υπάρχει ένα θεώρημα:
σύστημα σχολιασμού CACKLμι

Λύση: 1) Οι διαγώνιοι οποιουδήποτε παραλληλογράμμου είναι ίσες Σωστό 2) Αν υπάρχει μία οξεία γωνία σε ένα τρίγωνο, τότε αυτό το τρίγωνο είναι οξείας γωνίας. Δεν είναι αλήθεια. Τύποι τριγώνων. Ένα τρίγωνο ονομάζεται οξεία γωνία εάν και οι τρεις γωνίες του είναι οξείες, δηλαδή μικρότερες από 90 ° 3) Εάν το σημείο βρίσκεται επάνω.

Ή σε άλλη ανάρτηση,

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα

Ποιο είναι το ύψος σε έναν τύπο ορθογώνιου τριγώνου

Ύψος ορθογωνίου τριγώνου

Το ύψος ενός ορθογωνίου τριγώνου που τραβιέται στην υποτείνουσα μπορεί να βρεθεί με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, ανάλογα με τα δεδομένα στη δήλωση προβλήματος.

Ή σε άλλη ανάρτηση,

Όπου BK και KC είναι οι προβολές των ποδιών στην υποτείνουσα (τα τμήματα στα οποία το υψόμετρο χωρίζει την υποτείνουσα).

Το υψόμετρο που τραβιέται στην υποτείνουσα μπορεί να βρεθεί μέσα από την περιοχή ενός ορθογωνίου τριγώνου. Αν εφαρμόσουμε τον τύπο για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου

(το μισό γινόμενο μιας πλευράς και το ύψος που τραβιέται σε αυτήν την πλευρά) στην υποτείνουσα και το ύψος που τραβιέται στην υποτείνουσα, παίρνουμε:

Από εδώ μπορούμε να βρούμε το ύψος ως λόγο διπλάσιο του εμβαδού του τριγώνου προς το μήκος της υποτείνουσας:

Δεδομένου ότι το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι το μισό του γινόμενου των ποδιών:

Δηλαδή, το μήκος του ύψους που τραβιέται στην υποτείνουσα είναι ίσο με την αναλογία του γινομένου των ποδιών προς την υποτείνουσα. Αν υποδηλώσουμε τα μήκη των ποδιών από το a και το b, το μήκος της υποτείνουσας έως το c, ο τύπος μπορεί να ξαναγραφτεί ως

Δεδομένου ότι η ακτίνα ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας, το μήκος του ύψους μπορεί να εκφραστεί ως προς τα σκέλη και την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου:

Δεδομένου ότι το ύψος που τραβιέται στην υποτείνουσα σχηματίζει δύο ακόμη ορθογώνια τρίγωνα, το μήκος του μπορεί να βρεθεί μέσω των αναλογιών στο ορθογώνιο τρίγωνο.

Από ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΚ

Από ορθογώνιο τρίγωνο ACK

Το μήκος του ύψους ενός ορθογώνιου τριγώνου μπορεί να εκφραστεί σε σχέση με τα μήκη των σκελών. Επειδή

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα

Αν τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης:

Μπορείτε να πάρετε έναν άλλο τύπο για τη σχέση του ύψους ενός ορθογωνίου τριγώνου με τα σκέλη:

Ποιο είναι το ύψος σε έναν τύπο ορθογώνιου τριγώνου

Ορθογώνιο τρίγωνο. Μέσο επίπεδο.

Θέλετε να δοκιμάσετε τις δυνάμεις σας και να μάθετε το αποτέλεσμα του πόσο έτοιμοι είστε για την Ενιαία Κρατική Εξέταση ή την OGE;

Το θεώρημα του κύριου ορθογωνίου τριγώνου είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Πυθαγόρειο θεώρημα

Παρεμπιπτόντως, θυμάσαι καλά τι είναι τα πόδια και η υποτείνουσα; Αν όχι, τότε κοιτάξτε την εικόνα - ανανεώστε τις γνώσεις σας

Είναι πιθανό να έχετε ήδη χρησιμοποιήσει το Πυθαγόρειο θεώρημα πολλές φορές, αλλά έχετε αναρωτηθεί ποτέ γιατί ισχύει ένα τέτοιο θεώρημα. Πώς θα το αποδείξεις; Ας κάνουμε όπως οι αρχαίοι Έλληνες. Ας σχεδιάσουμε ένα τετράγωνο με μια πλευρά.

Βλέπετε πόσο πονηρά χωρίσαμε τις πλευρές του σε τμήματα μήκους και!

Τώρα ας συνδέσουμε τα σημειωμένα σημεία

Εδώ, ωστόσο, σημειώσαμε κάτι άλλο, αλλά εσείς οι ίδιοι δείτε την εικόνα και σκεφτείτε γιατί.

Ποιο είναι το εμβαδόν του μεγαλύτερου τετραγώνου; Σωστά, . Τι γίνεται με τη μικρότερη περιοχή; Σίγουρα,. Η συνολική έκταση των τεσσάρων γωνιών παραμένει. Φανταστείτε ότι πήραμε δύο από αυτά και ακουμπήσαμε ο ένας στον άλλο με υποτείνουσες. Τι συνέβη? Δύο ορθογώνια. Έτσι, η περιοχή των "μοσχευμάτων" είναι ίση.

Ας τα βάλουμε όλα μαζί τώρα.

Επισκεφτήκαμε λοιπόν τον Πυθαγόρα - αποδείξαμε το θεώρημά του με αρχαίο τρόπο.

Ορθογώνιο τρίγωνο και τριγωνομετρία

Για ένα ορθογώνιο τρίγωνο ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:

Το ημίτονο μιας οξείας γωνίας είναι ίσο με την αναλογία του απέναντι σκέλους προς την υποτείνουσα

Το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας ισούται με την αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.

Η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ίση με την αναλογία του απέναντι σκέλους προς το διπλανό σκέλος.

Η συνεφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ίση με την αναλογία του διπλανού σκέλους προς το αντίθετο σκέλος.

Και για άλλη μια φορά, όλα αυτά με τη μορφή ενός πιάτου:

Έχετε παρατηρήσει κάτι πολύ βολικό; Κοιτάξτε προσεκτικά το πιάτο.

Είναι πολύ βολικό!

Σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

II. Με το πόδι και την υπόταση

III. Με υποτείνουσα και οξεία γωνία

IV. Κατά μήκος του ποδιού και οξεία γωνία

Προσοχή! Εδώ είναι πολύ σημαντικό τα πόδια να είναι «αντίστοιχα». Για παράδειγμα, αν πάει ως εξής:

ΤΟΤΕ ΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΙΣΑ, παρά το γεγονός ότι έχουν μια ίδια οξεία γωνία.

Πρέπει να Και στα δύο τρίγωνα, το πόδι ήταν γειτονικό ή και στα δύο - απέναντι.

Έχετε παρατηρήσει πώς διαφέρουν τα σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων από τα συνηθισμένα σημάδια ισότητας τριγώνων; Ρίξτε μια ματιά στο θέμα «Τρίγωνο» και δώστε προσοχή στο γεγονός ότι για την ισότητα των «συνηθισμένων» τριγώνων, χρειάζεστε την ισότητα των τριών στοιχείων τους: δύο πλευρές και μια γωνία μεταξύ τους, δύο γωνίες και μια πλευρά μεταξύ τους, ή τρεις πλευρές. Για την ισότητα όμως των ορθογώνιων τριγώνων αρκούν μόνο δύο αντίστοιχα στοιχεία. Είναι υπέροχο, σωστά;

Περίπου η ίδια κατάσταση με σημάδια ομοιότητας ορθογωνίων τριγώνων.

Σημάδια ομοιότητας ορθογωνίων τριγώνων

III. Με το πόδι και την υπόταση

Διάμεσος σε ορθογώνιο τρίγωνο

Θεωρήστε ένα ολόκληρο ορθογώνιο αντί για ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

Σχεδιάστε μια διαγώνιο και σκεφτείτε το σημείο όπου τέμνονται οι διαγώνιοι. Τι γνωρίζετε για τις διαγώνιες ενός ορθογωνίου;

Διαγώνιο σημείο τομής διχοτομείται Οι διαγώνιοι είναι ίσες

Και τι προκύπτει από αυτό;

Έγινε λοιπόν αυτό

Θυμηθείτε αυτό το γεγονός! Βοηθάει πολύ!

Αυτό που προκαλεί ακόμη μεγαλύτερη έκπληξη είναι ότι ισχύει και το αντίστροφο.

Τι ωφέλιμο μπορεί να ωφεληθεί από το γεγονός ότι η διάμεσος που σύρεται στην υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας; Ας δούμε την εικόνα

Κοίτα προσεκτικά. Έχουμε: , δηλαδή, οι αποστάσεις από το σημείο και στις τρεις κορυφές του τριγώνου αποδείχθηκαν ίσες. Αλλά σε ένα τρίγωνο υπάρχει μόνο ένα σημείο, οι αποστάσεις από το οποίο περίπου και οι τρεις κορυφές του τριγώνου είναι ίσες, και αυτό είναι το ΚΕΝΤΡΟ ΤΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΥ. Λοιπόν τι έγινε?

Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με αυτό «άλλωστε. ".

Αλλά σε παρόμοια τρίγωνα όλες οι γωνίες είναι ίσες!

Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για και

Τώρα ας το σχεδιάσουμε μαζί:

Και τα δύο έχουν τις ίδιες έντονες γωνίες!

Τι χρήση μπορεί να αντλήσει από αυτή την «τριπλή» ομοιότητα.

Λοιπόν, για παράδειγμα - Δύο τύποι για το ύψος ενός ορθογώνιου τριγώνου.

Γράφουμε τις σχέσεις των αντίστοιχων μερών:

Για να βρούμε το ύψος, λύνουμε την αναλογία και παίρνουμε Ο πρώτος τύπος "Ύψος σε ορθογώνιο τρίγωνο":

Πώς να πάρετε ένα δεύτερο;

Και τώρα εφαρμόζουμε την ομοιότητα των τριγώνων και.

Ας εφαρμόσουμε λοιπόν την ομοιότητα: .

Τι θα γίνει τώρα;

Και πάλι λύνουμε την αναλογία και παίρνουμε τον δεύτερο τύπο "Ύψος σε ορθογώνιο τρίγωνο":

Και οι δύο αυτοί τύποι πρέπει να θυμόμαστε πολύ καλά και αυτός που είναι πιο βολικό να εφαρμοστεί. Ας τα ξαναγράψουμε.

Λοιπόν, τώρα, εφαρμόζοντας και συνδυάζοντας αυτή τη γνώση με άλλες, θα λύσετε οποιοδήποτε πρόβλημα με ένα ορθογώνιο τρίγωνο!

Σχόλια

Η διανομή υλικού χωρίς έγκριση επιτρέπεται εάν υπάρχει σύνδεσμος dofollow προς την αρχική σελίδα.

Πολιτική Απορρήτου

Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

Η ιδιότητα ύψους ενός ορθογωνίου τριγώνου έπεσε στην υποτείνουσα

Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτα μέρη.

Σε περίπτωση που είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική τάξη, σε δικαστικές διαδικασίες και / ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κρατικούς φορείς στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημοσίου συμφέροντος. Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε στους υπαλλήλους μας πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Ευχαριστώ για το μήνυμα!

Το σχόλιό σας έγινε δεκτό, μετά από εποπτεία θα δημοσιευτεί σε αυτή τη σελίδα.

Θέλετε να μάθετε τι κρύβεται κάτω από το κόψιμο και να λάβετε αποκλειστικά υλικά για την προετοιμασία για το OGE και τη ΧΡΗΣΗ; Αφήστε ένα e-mail

Ιδιότητες ορθογωνίου τριγώνου

Θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο (ΑΛΦΑΒΗΤΟ)και τις ιδιότητές του, που φαίνεται στο σχήμα. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει μια υποτείνουσα, την πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία. Οι πλευρές που σχηματίζουν ορθή γωνία ονομάζονται πόδια. Πλαϊνό σχέδιο AD, DC και BD, DC- πόδια και πλαϊνά ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝΚαι ΝΔ- υποτείνουσα.

Σημάδια ισότητας ορθογωνίου τριγώνου:

Θεώρημα 1. Εάν η υποτείνουσα και το σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι παρόμοια με την υποτείνουσα και το σκέλος ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.

Θεώρημα 2. Αν δύο σκέλη ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσα με δύο σκέλη ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.

Θεώρημα 3. Αν η υποτείνουσα και μια οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι παρόμοια με την υποτείνουσα και μια οξεία γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.

Θεώρημα 4. Αν το σκέλος και η διπλανή (απέναντι) οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσα με το σκέλος και η γειτονική (απέναντι) οξεία γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.

Ιδιότητες ενός σκέλους απέναντι από γωνία 30 °:

Θεώρημα 1.

Ύψος σε ορθογώνιο τρίγωνο

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία 30°, το σκέλος απέναντι από αυτή τη γωνία θα σχιστεί στο μισό της υποτείνουσας.

Θεώρημα 2. Αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το σκέλος είναι ίσο με το μισό της υποτείνουσας, τότε η αντίθετη γωνία είναι 30°.

Εάν το ύψος τραβηχτεί από την κορυφή της ορθής γωνίας προς την υποτείνουσα, τότε ένα τέτοιο τρίγωνο χωρίζεται σε δύο μικρότερα, παρόμοια με την εξερχόμενη και παρόμοια με το άλλο. Από αυτό προκύπτουν τα ακόλουθα συμπεράσματα:

Το ύψος είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος (μέση αναλογία) των δύο τμημάτων της υποτείνουσας.
Κάθε σκέλος του τριγώνου είναι ο μέσος όρος ανάλογος της υποτείνουσας και των παρακείμενων τμημάτων.

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τα πόδια λειτουργούν ως ύψη. Το ορθόκεντρο είναι το σημείο όπου τέμνονται τα ύψη του τριγώνου. Συμπίπτει με την κορυφή της ορθής γωνίας του σχήματος.

hC- το ύψος που βγαίνει από τη σωστή γωνία του τριγώνου.

ΑΒ- υποτείνουσα;

ΕΝΑ ΔΚαι DB- τα τμήματα που προέκυψαν κατά τη διαίρεση της υποτείνουσας με το ύψος.

Επιστροφή στην προβολή αναφορών για τον κλάδο "Γεωμετρία"

Τρίγωνοείναι ένα γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από τρία σημεία (κορυφές) που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία και τρία τμήματα που συνδέουν αυτά τα σημεία. Ορθογώνιο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο που έχει μία από τις 90° γωνίες (μια ορθή γωνία).
Υπάρχει ένα θεώρημα:το άθροισμα των οξειών γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 90°.
σύστημα σχολιασμού CACKLμι

Λέξεις-κλειδιά:τρίγωνο, ορθογώνιο, σκέλος, υποτείνουσα, Πυθαγόρειο θεώρημα, κύκλος

Τρίγωνο που ονομάζεται ορθογώνιοςαν έχει ορθή γωνία.
Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει δύο κάθετες πλευρές που ονομάζονται πόδια; ονομάζεται η τρίτη πλευρά υποτείνουσα.

Σύμφωνα με τις ιδιότητες της κάθετης και της λοξής υποτείνουσας, κάθε ένα από τα πόδια είναι μακρύτερο (αλλά μικρότερο από το άθροισμά τους).
Το άθροισμα δύο οξειών γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με τη σωστή γωνία.
Δύο ύψη ενός ορθογωνίου τριγώνου συμπίπτουν με τα σκέλη του. Επομένως, ένα από τα τέσσερα αξιοσημείωτα σημεία πέφτει στις κορυφές της ορθής γωνίας του τριγώνου.
Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου ενός ορθογωνίου τριγώνου βρίσκεται στο μέσο της υποτείνουσας.
Η διάμεσος ενός ορθογωνίου τριγώνου που τραβιέται από την κορυφή της ορθής γωνίας προς την υποτείνουσα είναι η ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω από αυτό το τρίγωνο.

Θεωρήστε ένα αυθαίρετο ορθογώνιο τρίγωνο ABC και σχεδιάστε ένα ύψος CD = hc από την κορυφή C της ορθής του γωνίας.

Θα χωρίσει το δεδομένο τρίγωνο σε δύο ορθογώνια τρίγωνα ACD και BCD. καθένα από αυτά τα τρίγωνα έχει κοινή οξεία γωνία με το τρίγωνο ABC και επομένως είναι παρόμοιο με το τρίγωνο ABC.

Και τα τρία τρίγωνα ABC, ACD και BCD είναι παρόμοια μεταξύ τους.

Από την ομοιότητα των τριγώνων προσδιορίζονται οι ακόλουθες σχέσεις:

$$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
c = ac + bc;
$$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
$$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Πυθαγόρειο θεώρημαένα από τα θεμελιώδη θεωρήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας, που καθιερώνει τη σχέση μεταξύ των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Γεωμετρική διατύπωση.Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το εμβαδόν του τετραγώνου που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα σκέλη.

Αλγεβρική διατύπωση.Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών.
Δηλαδή, δηλώνοντας το μήκος της υποτείνουσας του τριγώνου έως το c, και τα μήκη των σκελών από το a και το b:
a2 + b2 = c2

Το αντίστροφο Πυθαγόρειο θεώρημα.

Ύψος ορθογωνίου τριγώνου

Για κάθε τριπλό θετικών αριθμών a, b και c τέτοιοι ώστε
a2 + b2 = c2,
υπάρχει ένα ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη α και β και υποτείνουσα γ.

Σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων:

κατά μήκος του ποδιού και της υποτείνουσας?
σε δύο πόδια?
κατά μήκος του ποδιού και οξεία γωνία.
υποτείνουσα και οξεία γωνία.

Δείτε επίσης:
Εμβαδόν Τριγώνου, Ισοσκελές Τρίγωνο, Ισόπλευρο Τρίγωνο

Γεωμετρία. 8 Τάξη. Δοκιμή 4. Επιλογή 1 .

ΕΝΑ Δ : CD=CD : B.D. Ως εκ τούτου CD2 = AD ∙ B.D. Λένε:

ΕΝΑ Δ : AC=AC : ΑΒ. Ως εκ τούτου AC2 = AB ∙ ΕΝΑ Δ. Λένε:

BD : π.Χ.=π.Χ : ΑΒ. Επομένως BC2 = AB ∙ B.D.

Λύνω προβλήματα:

ΕΝΑ) 70 cm; σι) 55 cm; ντο) 65 cm; ΡΕ) 45 cm; μι) 53 εκ

2. Το ύψος ενός ορθογωνίου τριγώνου που τραβιέται στην υποτείνουσα χωρίζει την υποτείνουσα στα τμήματα 9 και 36.

Προσδιορίστε το μήκος αυτού του ύψους.

ΕΝΑ) 22,5; σι) 19; ντο) 9; ΡΕ) 12; μι) 18.

ΕΝΑ) 30,25; σι) 24,5; ντο) 18,45; ΡΕ) 32; μι) 32,25.

ΕΝΑ) 25; σι) 24; ντο) 27; ΡΕ) 26; μι) 21.

ΕΝΑ) 8; σι) 7; ντο) 6; ΡΕ) 5; μι) 4.

8. Το σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 30.

Πώς να βρείτε το ύψος σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο;

Βρείτε την απόσταση από την κορυφή της ορθής γωνίας έως την υποτείνουσα αν η ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω από αυτό το τρίγωνο είναι 17.

ΕΝΑ) 17; σι) 16; ντο) 15; ΡΕ) 14; μι) 12.

10.

ΕΝΑ) 15; σι) 18; ντο) 20; ΡΕ) 16; μι) 12.

ΕΝΑ) 80; σι) 72; ντο) 64; ΡΕ) 81; μι) 75.

12.

ΕΝΑ) 7,5; σι) 8; ντο) 6,25; ΡΕ) 8,5; μι) 7.

Ελεγξε τις απαντήσεις!

G8.04.1. Αναλογικά τμήματα σε ορθογώνιο τρίγωνο

Γεωμετρία. 8 Τάξη. Δοκιμή 4. Επιλογή 1 .

Σε Δ ABC ∠ACV = 90°. AC και BC πόδια, AB υποτείνουσα.

Το CD είναι το υψόμετρο του τριγώνου που σύρεται στην υποτείνουσα.

AD προβολή του ποδιού AC στην υποτείνουσα,

Προβολή BD του σκέλους BC στην υποτείνουσα.

Το υψόμετρο CD διαιρεί το τρίγωνο ABC σε δύο τρίγωνα παρόμοια με αυτό (και μεταξύ τους): Δ ADC και Δ CDB.

Από την αναλογικότητα των πλευρών παρόμοιων Δ ADC και Δ CDB προκύπτει:

ΕΝΑ Δ : CD=CD : B.D.

Η ιδιότητα του ύψους ενός ορθογωνίου τριγώνου έπεσε στην υποτείνουσα.

Ως εκ τούτου CD2 = AD ∙ B.D. Λένε: το ύψος ενός ορθογωνίου τριγώνου που σύρεται στην υποτείνουσα,είναι η μέση αναλογική τιμή μεταξύ των προβολών των ποδιών στην υποτείνουσα.

Από την ομοιότητα των Δ ADC και Δ ACB προκύπτει:

ΕΝΑ Δ : AC=AC : ΑΒ. Ως εκ τούτου AC2 = AB ∙ ΕΝΑ Δ. Λένε: κάθε σκέλος είναι η μέση αναλογική τιμή μεταξύ ολόκληρης της υποτείνουσας και της προβολής αυτού του σκέλους στην υποτείνουσα.

Ομοίως, από την ομοιότητα των Δ CDB και Δ ACB προκύπτει:

BD : π.Χ.=π.Χ : ΑΒ. Επομένως BC2 = AB ∙ B.D.

Λύνω προβλήματα:

1. Να βρείτε το ύψος ενός ορθογωνίου τριγώνου που σύρεται στην υποτείνουσα αν χωρίζει την υποτείνουσα σε τμήματα 25 cm και 81 cm.

ΕΝΑ) 70 cm; σι) 55 cm; ντο) 65 cm; ΡΕ) 45 cm; μι) 53 εκ

2. Το ύψος ενός ορθογωνίου τριγώνου που τραβιέται στην υποτείνουσα χωρίζει την υποτείνουσα στα τμήματα 9 και 36. Προσδιορίστε το μήκος αυτού του ύψους.

ΕΝΑ) 22,5; σι) 19; ντο) 9; ΡΕ) 12; μι) 18.

4. Το ύψος ενός ορθογωνίου τριγώνου που σύρεται στην υποτείνουσα είναι 22, η προβολή του ενός σκέλους είναι 16. Βρείτε την προβολή του άλλου σκέλους.

ΕΝΑ) 30,25; σι) 24,5; ντο) 18,45; ΡΕ) 32; μι) 32,25.

5. Το σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 18 και η προβολή του στην υποτείνουσα είναι 12. Βρείτε την υποτείνουσα.

ΕΝΑ) 25; σι) 24; ντο) 27; ΡΕ) 26; μι) 21.

6. Η υποτείνουσα είναι 32. Βρείτε το σκέλος του οποίου η προβολή πάνω στην υποτείνουσα είναι 2.

ΕΝΑ) 8; σι) 7; ντο) 6; ΡΕ) 5; μι) 4.

7. Η υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι 45. Βρείτε το σκέλος του οποίου η προβολή στην υποτείνουσα είναι 9.

8. Το σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 30. Βρείτε την απόσταση από την κορυφή της ορθής γωνίας έως την υποτείνουσα αν η ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω από αυτό το τρίγωνο είναι 17.

ΕΝΑ) 17; σι) 16; ντο) 15; ΡΕ) 14; μι) 12.

10. Η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 41 και η προβολή ενός από τα σκέλη είναι 16. Βρείτε το μήκος του υψομέτρου που τραβιέται από την κορυφή της ορθής γωνίας προς την υποτείνουσα.

ΕΝΑ) 15; σι) 18; ντο) 20; ΡΕ) 16; μι) 12.

ΕΝΑ) 80; σι) 72; ντο) 64; ΡΕ) 81; μι) 75.

12. Η διαφορά στις προβολές των ποδιών στην υποτείνουσα είναι 15 και η απόσταση από την κορυφή της ορθής γωνίας έως την υποτείνουσα είναι 4. Βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

ΕΝΑ) 7,5; σι) 8; ντο) 6,25; ΡΕ) 8,5; μι) 7.

Στην πραγματικότητα, δεν είναι όλα τόσο τρομακτικά. Φυσικά, ο "πραγματικός" ορισμός του ημιτονοειδούς, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης θα πρέπει να εξεταστεί στο άρθρο. Αλλά πραγματικά δεν θέλετε, έτσι δεν είναι; Μπορούμε να χαρούμε: για να λύσετε προβλήματα σχετικά με ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μπορείτε απλά να συμπληρώσετε τα ακόλουθα απλά πράγματα:

Τι γίνεται με τη γωνία; Υπάρχει ένα πόδι που είναι απέναντι από τη γωνία, δηλαδή το αντίθετο πόδι (για τη γωνία); Φυσικά και έχουν! Αυτός είναι ένας καθετήρας!

Τι γίνεται όμως με τη γωνία; Κοίτα προσεκτικά. Ποιο πόδι είναι δίπλα στη γωνία; Φυσικά, η γάτα. Έτσι, για τη γωνία, το πόδι είναι γειτονικό, και

Και τώρα, προσοχή! Δείτε τι έχουμε:

Δείτε πόσο υπέροχο είναι:

Τώρα ας περάσουμε στην εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη.

Πώς να το εκφράσω με λέξεις τώρα; Τι είναι το πόδι σε σχέση με τη γωνία; Απέναντι, φυσικά - «βρίσκεται» απέναντι από τη γωνία. Και ο καθετήρας; Δίπλα στη γωνία. Τι πήραμε λοιπόν;

Δείτε πώς αντιστρέφονται ο αριθμητής και ο παρονομαστής;

Και τώρα πάλι οι γωνίες και έγινε η ανταλλαγή:

Περίληψη

Ας γράψουμε εν συντομία όσα μάθαμε.

Πυθαγόρειο θεώρημα:

Το θεώρημα του κύριου ορθογωνίου τριγώνου είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Πυθαγόρειο θεώρημα

Βλέπετε πόσο πονηρά χωρίσαμε τις πλευρές του σε τμήματα μήκους και!

Τώρα ας συνδέσουμε τα σημειωμένα σημεία

Εδώ, ωστόσο, σημειώσαμε κάτι άλλο, αλλά εσείς οι ίδιοι δείτε την εικόνα και σκεφτείτε γιατί.

Ποιο είναι το εμβαδόν του μεγαλύτερου τετραγώνου;

Σωστά, .

Τι γίνεται με τη μικρότερη περιοχή;

Σίγουρα,.

Η συνολική έκταση των τεσσάρων γωνιών παραμένει. Φανταστείτε ότι πήραμε δύο από αυτά και ακουμπήσαμε ο ένας στον άλλο με υποτείνουσες.

Τι συνέβη? Δύο ορθογώνια. Έτσι, η περιοχή των "μοσχευμάτων" είναι ίση.

Ας τα βάλουμε όλα μαζί τώρα.

Ας μεταμορφώσουμε:

Επισκεφτήκαμε λοιπόν τον Πυθαγόρα - αποδείξαμε το θεώρημά του με αρχαίο τρόπο.

Ορθογώνιο τρίγωνο και τριγωνομετρία

Για ένα ορθογώνιο τρίγωνο ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:

Το ημίτονο μιας οξείας γωνίας είναι ίσο με την αναλογία του απέναντι σκέλους προς την υποτείνουσα

Το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας ισούται με την αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.

Η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ίση με την αναλογία του απέναντι σκέλους προς το διπλανό σκέλος.

Η συνεφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ίση με την αναλογία του διπλανού σκέλους προς το αντίθετο σκέλος.

Και για άλλη μια φορά, όλα αυτά με τη μορφή ενός πιάτου:

Είναι πολύ βολικό!

Σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

I. Σε δύο πόδια

II. Με το πόδι και την υπόταση

III. Με υποτείνουσα και οξεία γωνία

IV. Κατά μήκος του ποδιού και οξεία γωνία

ένα)

σι)

Προσοχή! Εδώ είναι πολύ σημαντικό τα πόδια να είναι «αντίστοιχα». Για παράδειγμα, αν πάει ως εξής:

ΤΟΤΕ ΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΙΣΑ, παρά το γεγονός ότι έχουν μια ίδια οξεία γωνία.

Πρέπει να και στα δύο τρίγωνα το πόδι ήταν γειτονικό, ή και στα δύο - απέναντι.

Έχετε παρατηρήσει πώς διαφέρουν τα σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων από τα συνηθισμένα σημάδια ισότητας τριγώνων;

Κοιτάξτε το θέμα «και δώστε προσοχή στο γεγονός ότι για την ισότητα των «συνηθισμένων» τριγώνων, χρειάζεστε την ισότητα των τριών στοιχείων τους: δύο πλευρές και μια γωνία μεταξύ τους, δύο γωνίες και μια πλευρά μεταξύ τους ή τρεις πλευρές.

Για την ισότητα όμως των ορθογώνιων τριγώνων αρκούν μόνο δύο αντίστοιχα στοιχεία. Είναι υπέροχο, σωστά;

Περίπου η ίδια κατάσταση με σημάδια ομοιότητας ορθογωνίων τριγώνων.

Σημάδια ομοιότητας ορθογωνίων τριγώνων

Ι. Οξεία γωνία

II. Σε δύο πόδια

III. Με το πόδι και την υπόταση

Διάμεσος σε ορθογώνιο τρίγωνο

Γιατί έτσι?

Θεωρήστε ένα ολόκληρο ορθογώνιο αντί για ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

Ας σχεδιάσουμε μια διαγώνιο και ας εξετάσουμε ένα σημείο - το σημείο τομής των διαγωνίων. Τι γνωρίζετε για τις διαγώνιες ενός ορθογωνίου;

Και τι προκύπτει από αυτό;

Έγινε λοιπόν αυτό

- διάμεσος:

Θυμηθείτε αυτό το γεγονός! Βοηθάει πολύ!

Αυτό που προκαλεί ακόμη μεγαλύτερη έκπληξη είναι ότι ισχύει και το αντίστροφο.

Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με αυτό το «άλλωστε...».

Ας δούμε το i.

Αλλά σε παρόμοια τρίγωνα όλες οι γωνίες είναι ίσες!

Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για και

Τώρα ας το σχεδιάσουμε μαζί:

Τι χρήση μπορεί να αντλήσει από αυτή την «τριπλή» ομοιότητα.

Λοιπόν, για παράδειγμα - δύο τύποι για το ύψος ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Γράφουμε τις σχέσεις των αντίστοιχων μερών:

Για να βρούμε το ύψος, λύνουμε την αναλογία και παίρνουμε πρώτος τύπος "Ύψος σε ορθογώνιο τρίγωνο":

Ας εφαρμόσουμε λοιπόν την ομοιότητα: .

Τι θα γίνει τώρα;

Και πάλι λύνουμε την αναλογία και παίρνουμε τον δεύτερο τύπο:

Και οι δύο αυτοί τύποι πρέπει να θυμόμαστε πολύ καλά και αυτός που είναι πιο βολικό να εφαρμοστεί.

Ας τα ξαναγράψουμε.

Πυθαγόρειο θεώρημα:

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών:.

Σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων:

σε δύο πόδια:
κατά μήκος του ποδιού και της υποτείνουσας: ή
κατά μήκος του σκέλους και της παρακείμενης οξείας γωνίας: ή
κατά μήκος του σκέλους και της αντίθετης οξείας γωνίας: ή
κατά υποτείνουσα και οξεία γωνία: ή.

Σημάδια ομοιότητας ορθογωνίων τριγώνων:

μια αιχμηρή γωνία: ή
από την αναλογικότητα των δύο ποδιών:
από την αναλογικότητα του ποδιού και της υποτείνουσας: ή.

Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη σε ορθογώνιο τρίγωνο

Το ημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος του αντίθετου σκέλους προς την υποτείνουσα:
Το συνημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα:
Η εφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς το διπλανό:
Η συνεφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς το αντίθετο:.

Ύψος ορθογωνίου τριγώνου: ή.

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος που αντλείται από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας: .

Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου:

μέσω των καθετήρων:

Ιδιοκτησία: 1.Σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο, το υψόμετρο που πέφτει από τη σωστή γωνία (προς την υποτείνουσα) χωρίζει το ορθογώνιο τρίγωνο σε τρία παρόμοια τρίγωνα.

Ιδιοκτησία: 2.Το ύψος ενός ορθογώνιου τριγώνου, χαμηλωμένο στην υποτείνουσα, είναι ίσο με το γεωμετρικό μέσο των προβολών των σκελών στην υποτείνουσα (ή το γεωμετρικό μέσο των τμημάτων στα οποία το ύψος διαιρεί την υποτείνουσα).

Ιδιοκτησία: 3.Το σκέλος είναι ίσο με το γεωμετρικό μέσο της υποτείνουσας και την προβολή αυτού του σκέλους στην υποτείνουσα.

Ιδιοκτησία: 4.Το πόδι σε γωνία 30 μοιρών είναι ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας.

Φόρμουλα 1.

Φόρμουλα 2.που είναι η υποτείνουσα? , πατίνια.

Ιδιοκτησία: 5.Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος που σύρεται στην υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της και ίση με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Ιδιότητα: 6. Εξάρτηση μεταξύ πλευρών και γωνιών ορθογωνίου τριγώνου:

44. Θεώρημα συνημιτονίου. Συνέπειες: σύνδεση μεταξύ διαγωνίων και πλευρών ενός παραλληλογράμμου. προσδιορισμός του τύπου του τριγώνου. τύπος για τον υπολογισμό του μήκους της μέσης ενός τριγώνου. υπολογισμός του συνημιτόνου της γωνίας ενός τριγώνου.

Τέλος εργασίας -

Αυτό το θέμα ανήκει σε:

Τάξη. Πρόγραμμα Συνεδρίου Βασικές Αρχές Πλανιμετρίας

Η ιδιότητα των διπλανών γωνιών.. ο ορισμός των δύο γωνιών είναι γειτονικές αν η μία πλευρά έχουν κοινή στις άλλες δύο σχηματίζουν ευθεία γραμμή..

Εάν χρειάζεστε επιπλέον υλικό για αυτό το θέμα ή δεν βρήκατε αυτό που αναζητούσατε, συνιστούμε να χρησιμοποιήσετε την αναζήτηση στη βάση δεδομένων των έργων μας:

Τι θα κάνουμε με το υλικό που λάβαμε:

Εάν αυτό το υλικό αποδείχθηκε χρήσιμο για εσάς, μπορείτε να το αποθηκεύσετε στη σελίδα σας στα κοινωνικά δίκτυα: