La formule pour trouver la plus petite hauteur d'un triangle rectangle. Triangle rectangle

Triangle rectangle est un triangle dont l'un des angles est droit, c'est-à-dire égal à 90 degrés.

Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. c ou AB)
Le côté adjacent à l'angle droit s'appelle la jambe. Chaque triangle rectangle a deux branches (indiquées par une et b ou AC et BC)

Formules et propriétés d'un triangle rectangle

Désignations des formules :

(voir photo ci-dessus)

un B- jambes d'un triangle rectangle

c- hypoténuse

α, β - angles aigus d'un triangle

S- carré

h- la hauteur décrochée du sommet de l'angle droit à l'hypoténuse

ma une du coin opposé ( α )

m b- médiane tirée sur le côté b du coin opposé ( β )

Mc- médiane tirée sur le côté c du coin opposé ( γ )

V triangle rectangle chaque jambe est inférieure à l'hypoténuse(Formule 1 et 2). Cette propriété est une conséquence du théorème de Pythagore.

Cosinus de l'un des angles aigus moins d'un (Formules 3 et 4). Cette propriété découle de la précédente. Étant donné que l'une des jambes est inférieure à l'hypoténuse, le rapport de la jambe à l'hypoténuse est toujours inférieur à un.

Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes (théorème de Pythagore). (Formule 5). Cette propriété est constamment utilisée pour résoudre des problèmes.

Aire d'un triangle rectangleégal à la moitié du produit des jambes (Formule 6)

Somme des médianes au carré aux jambes est égal à cinq carrés de la médiane à l'hypoténuse et cinq carrés de l'hypoténuse divisés par quatre (Formule 7). En plus de ce qui précède, il y a 5 autres formules, il est donc recommandé de vous familiariser également avec la leçon " Médiane d'un triangle rectangle", qui décrit plus en détail les propriétés de la médiane.

Hauteur d'un triangle rectangle est égal au produit des jambes divisé par l'hypoténuse (Formule 8)

Les carrés des jambes sont inversement proportionnels au carré de la hauteur lâchée jusqu'à l'hypoténuse (Formule 9). Cette identité est aussi une des conséquences du théorème de Pythagore.

Longueur de l'hypoténuseégal au diamètre (deux rayons) du cercle circonscrit (Formule 10). Hypoténuse d'un triangle rectangle est le diamètre du cercle circonscrit. Cette propriété est souvent utilisée dans la résolution de problèmes.

Rayon inscrit v triangle rectangle cercles peut être trouvé comme la moitié de l'expression, qui comprend la somme des jambes de ce triangle moins la longueur de l'hypoténuse. Ou comme le produit des jambes divisé par la somme de tous les côtés (périmètre) d'un triangle donné. (Formule 11)
Sinus d'un angle opposé ce coin jambe à l'hypoténuse(par définition d'un sinus). (Formule 12). Cette propriété est utilisée lors de la résolution de problèmes. Connaissant les dimensions des côtés, vous pouvez trouver l'angle qu'ils forment.

Le cosinus de l'angle A (α, alpha) dans un triangle rectangle sera égal à relation adjacent ce coin jambe à l'hypoténuse(par définition d'un sinus). (Formule 13)

Triangles.

Concepts de base.

Triangle- c'est une figure composée de trois segments et de trois points qui ne se trouvent pas sur une ligne droite.

Les segments sont appelés des soirées, et les pointes pics.

Somme des angles triangle est égal à 180 º.

La hauteur du triangle.

Hauteur du triangle est une perpendiculaire tirée d'un sommet vers le côté opposé.

Dans un triangle à angle aigu, la hauteur est contenue à l'intérieur du triangle (Fig. 1).

Dans un triangle rectangle, les jambes sont les hauteurs du triangle (Fig. 2).

Dans un triangle obtus, la hauteur passe à l'extérieur du triangle (Fig. 3).

Propriétés de la hauteur du triangle :

Bissectrice d'un triangle.

Bissectrice d'un triangle- c'est un segment qui coupe en deux le coin du sommet et relie le sommet à un point du côté opposé (Fig. 5).

Propriétés bissectrices :

La médiane d'un triangle.

Médiane triangulaire- c'est un segment reliant le sommet au milieu du côté opposé (Fig. 9a).

La longueur de la médiane peut être calculée à l'aide de la formule :

2b 2 + 2c 2 - une 2
ma 2 = ——————
4

où ma- médiane tirée sur le côté une.

Dans un triangle rectangle, la médiane tirée vers l'hypoténuse est la moitié de l'hypoténuse :

c
Mc = —
2

où Mc est la médiane tirée vers l'hypoténuse c(Fig. 9c)

Les médianes d'un triangle se coupent en un point (au centre de masse du triangle) et sont divisées par ce point dans un rapport de 2:1, en partant du haut. Autrement dit, le segment du sommet au centre est le double du segment du centre au côté du triangle (Fig. 9c).

Les trois médianes d'un triangle le divisent en six triangles d'aire égale.

La ligne médiane du triangle.

Ligne médiane du triangle- c'est un segment reliant les milieux de ses deux côtés (Fig. 10).

La ligne médiane d'un triangle est parallèle au troisième côté et égale à la moitié de celui-ci.

Le coin extérieur du triangle.

coin extérieur triangle est égal à la somme de deux angles intérieurs non adjacents (Fig. 11).

L'angle extérieur d'un triangle est supérieur à tout angle non adjacent.

Triangle rectangle.

Triangle rectangle- c'est un triangle qui a un angle droit (Fig. 12).

Le côté d'un triangle rectangle opposé à l'angle droit s'appelle hypoténuse.

Les deux autres côtés sont appelés jambes.

Segments proportionnels dans un triangle rectangle.

1) Dans un triangle rectangle, la hauteur tirée de l'angle droit forme trois triangles semblables : ABC, ACH et HCB (Fig. 14a). Par conséquent, les angles formés par la hauteur sont égaux aux angles A et B.

Fig.14a

Triangle isocèle.

Triangle isocèle- c'est un triangle dont les deux côtés sont égaux (Fig. 13).

Ces côtés égaux sont appelés côtés, et le troisième base Triangle.

Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux. (Dans notre triangle, l'angle A est égal à l'angle C).

Dans un triangle isocèle, la médiane tracée à la base est à la fois la bissectrice et la hauteur du triangle.

Triangle équilatéral.

Un triangle équilatéral est un triangle dont tous les côtés sont égaux (Fig. 14).

Propriétés d'un triangle équilatéral :

Propriétés remarquables des triangles.

Les triangles ont des propriétés originales qui vous aideront à résoudre avec succès les problèmes liés à ces formes. Certaines de ces propriétés sont décrites ci-dessus. Mais nous les répétons à nouveau, en y ajoutant quelques autres fonctionnalités intéressantes :

1) Dans un triangle rectangle avec des angles de 90º, 30º et 60º, la jambe b, située à l'opposé de l'angle de 30º, est égale à moitié de l'hypoténuse. Une jambeune plus de jambeb√3 fois (Fig. 15 une). Par exemple, si la jambe de b est 5, alors l'hypoténuse c nécessairement égal à 10, et la jambe une est égal à 5√3.

2) Dans un triangle rectangle isocèle avec des angles de 90º, 45º et 45º, l'hypoténuse est √2 fois la jambe (Fig. 15 b). Par exemple, si les jambes sont 5, alors l'hypoténuse est 5√2.

3) La ligne médiane du triangle est égale à la moitié du côté parallèle (Fig. 15 Avec). Par exemple, si le côté d'un triangle est 10, alors la ligne médiane qui lui est parallèle est 5.

4) Dans un triangle rectangle, la médiane tracée à l'hypoténuse est égale à la moitié de l'hypoténuse (Fig. 9c) : Mc= c/2.

5) Les médianes d'un triangle, se coupant en un point, sont divisées par ce point dans un rapport de 2:1. Autrement dit, le segment du sommet au point d'intersection des médianes est le double du segment du point d'intersection des médianes au côté du triangle (Fig. 9c)

6) Dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit (Fig. 15 ré).

Signes d'égalité des triangles.

Le premier signe d'égalité: Si deux côtés et l'angle entre eux d'un triangle sont égaux à deux côtés et l'angle entre eux d'un autre triangle, alors ces triangles sont congruents.

Le deuxième signe d'égalité: si le côté et les angles qui lui sont adjacents d'un triangle sont égaux au côté et aux angles qui lui sont adjacents d'un autre triangle, alors ces triangles sont congruents.

Le troisième signe d'égalité: Si trois côtés d'un triangle sont égaux à trois côtés d'un autre triangle, alors ces triangles sont congruents.

Inégalité triangulaire.

Dans tout triangle, chaque côté est inférieur à la somme des deux autres côtés.

Théorème de Pythagore.

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes :

c 2 = une 2 + b 2 .

Aire d'un triangle.

1) L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de son côté et de la hauteur tirée de ce côté :

Ah
S = ——
2

2) L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de deux de ses côtés et du sinus de l'angle qui les sépare :

1
S = — UN B · CA · péché UNE
2

Un triangle circonscrit à un cercle.

Un cercle est dit inscrit dans un triangle s'il touche tous ses côtés (Fig. 16 une).

Triangle inscrit dans un cercle.

Un triangle est dit inscrit dans un cercle s'il le touche de tous ses sommets (Fig. 17 une).

Sinus, cosinus, tangente, cotangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle (Fig. 18).

Sinus angle aigu X opposé cathéter à l'hypoténuse.
Dénoté ainsi : péchéX.

Cosinus angle aigu X le triangle rectangle est le rapport adjacent cathéter à l'hypoténuse.
Il est noté comme suit : cos X.

Tangente angle aigu X est le rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente.
Noté comme ceci : tgX.

Cotangente angle aigu X est le rapport de la jambe adjacente à la jambe opposée.
Noté comme ceci : ctgX.

Des règles:

Coin opposé de la jambe X, est égal au produit de l'hypoténuse par le sin X:

b=c péché X

Jambe adjacente au coin X, est égal au produit de l'hypoténuse par cos X:

un = c parce que X

Coin opposé de la jambe X, est égal au produit de la seconde jambe par tg X:

b = un TG X

Jambe adjacente au coin X, est égal au produit de la deuxième jambe et de ctg X:

un = b CTG X.

Pour tout angle aigu X:

péché (90° - X) = cos X

cos (90° - X) = péché X

(ABC) et ses propriétés, qui est montré dans la figure. Un triangle rectangle a une hypoténuse, le côté opposé à l'angle droit.

Astuce 1 : Comment trouver la hauteur dans un triangle rectangle

Les côtés qui forment un angle droit sont appelés jambes. Dessin de côté AD, DC et BD, DC- jambes et côtés CA et SW- hypoténuse.

Théorème 1. Dans un triangle rectangle avec un angle de 30°, la jambe opposée à cet angle se déchire à la moitié de l'hypoténuse.

UN B- hypoténuse ;

UN D et BD

Triangle
Il existe un théorème :
système de commentaires CACKLE

Solution : 1) Les diagonales de tout rectangle sont égales Vrai 2) S'il y a un angle aigu dans un triangle, alors ce triangle est à angle aigu. Pas vrai. Types de triangles. Un triangle est dit à angle aigu si ses trois angles sont aigus, c'est-à-dire inférieurs à 90° 3) Si le point repose dessus.

Ou, dans un autre post,

D'après le théorème de Pythagore

Quelle est la hauteur dans une formule de triangle rectangle

Hauteur d'un triangle rectangle

La hauteur d'un triangle rectangle tracé jusqu'à l'hypoténuse peut être trouvée d'une manière ou d'une autre, selon les données de l'énoncé du problème.

Ou, dans un autre post,

Où BK et KC sont les projections des jambes sur l'hypoténuse (les segments en lesquels l'altitude divise l'hypoténuse).

L'altitude tirée de l'hypoténuse peut être trouvée à travers l'aire d'un triangle rectangle. Si nous appliquons la formule pour trouver l'aire d'un triangle

(la moitié du produit d'un côté par la hauteur tracée à ce côté) à l'hypoténuse et la hauteur tracée à l'hypoténuse, on obtient :

De là, nous pouvons trouver la hauteur comme le rapport de deux fois l'aire du triangle à la longueur de l'hypoténuse :

Puisque l'aire d'un triangle rectangle est la moitié du produit des jambes :

C'est-à-dire que la longueur de la hauteur dessinée à l'hypoténuse est égale au rapport du produit des jambes à l'hypoténuse. Si nous notons les longueurs des jambes passant par a et b, la longueur de l'hypoténuse passant par c, la formule peut être réécrite comme

Puisque le rayon d'un cercle circonscrit à un triangle rectangle est égal à la moitié de l'hypoténuse, la longueur de la hauteur peut être exprimée en fonction des jambes et du rayon du cercle circonscrit :

Puisque la hauteur dessinée à l'hypoténuse forme deux autres triangles rectangles, sa longueur peut être trouvée à travers les rapports dans le triangle rectangle.

Du triangle rectangle ABK

Du triangle rectangle ACK

La longueur de la hauteur d'un triangle rectangle peut être exprimée en termes de longueurs des jambes. Parce que

D'après le théorème de Pythagore

Si on place les deux côtés de l'équation au carré :

Vous pouvez obtenir une autre formule pour relier la hauteur d'un triangle rectangle aux jambes :

Quelle est la hauteur dans une formule de triangle rectangle

Triangle rectangle. Niveau moyen.

Voulez-vous tester votre force et connaître le résultat de votre degré de préparation à l'examen d'État unifié ou à l'OGE ?

Le théorème principal du triangle rectangle est le théorème de Pythagore.

théorème de Pythagore

Au fait, vous souvenez-vous bien de ce que sont les jambes et l'hypoténuse ? Si ce n'est pas le cas, regardez l'image - rafraîchissez vos connaissances

Il est possible que vous ayez déjà utilisé le théorème de Pythagore à plusieurs reprises, mais vous êtes-vous déjà demandé pourquoi un tel théorème est vrai. Comment le prouveriez-vous ? Faisons comme les anciens Grecs. Dessinons un carré avec un côté.

Vous voyez avec quelle ruse nous avons divisé ses côtés en segments de longueurs et !

Relions maintenant les points marqués

Ici, cependant, nous avons noté quelque chose d'autre, mais vous-même regardez l'image et réfléchissez à la raison.

Quelle est l'aire du plus grand carré ? À droite, . Qu'en est-il de la plus petite zone ? Assurément, . La surface totale des quatre coins reste. Imaginez que nous en ayons pris deux et que nous nous appuyions l'un contre l'autre avec des hypoténuses. Que s'est-il passé? Deux rectangles. Ainsi, la zone de "boutures" est égale.

Mettons tout cela ensemble maintenant.

Nous avons donc visité Pythagore - nous avons prouvé son théorème d'une manière ancienne.

Triangle rectangle et trigonométrie

Pour un triangle rectangle, les relations suivantes s'appliquent :

Le sinus d'un angle aigu est égal au rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse

Le cosinus d'un angle aigu est égal au rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.

La tangente d'un angle aigu est égale au rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente.

La cotangente d'un angle aigu est égale au rapport de la jambe adjacente à la jambe opposée.

Et encore une fois, tout cela sous forme d'assiette :

Avez-vous remarqué une chose très pratique ? Regardez attentivement la plaque.

C'est très confortable !

Signes d'égalité des triangles rectangles

II. Par jambe et hypoténuse

III. Par hypoténuse et angle aigu

IV. Le long de la jambe et angle aigu

Attention! Ici, il est très important que les jambes soient "correspondantes". Par exemple, si ça se passe comme ça :

ALORS LES TRIANGLES NE SONT PAS ÉGAUX, malgré le fait qu'ils ont un angle aigu identique.

Besoin de Dans les deux triangles, la jambe était adjacente, ou dans les deux - opposée.

Avez-vous remarqué à quel point les signes d'égalité des triangles rectangles diffèrent des signes habituels d'égalité des triangles ? Jetez un œil au sujet "Triangle" et faites attention au fait que pour l'égalité des triangles "ordinaires", vous avez besoin de l'égalité de leurs trois éléments : deux côtés et un angle entre eux, deux angles et un côté entre eux, ou trois côtés. Mais pour l'égalité des triangles rectangles, seuls deux éléments correspondants suffisent. C'est génial, non ?

Approximativement la même situation avec des signes de similitude de triangles rectangles.

Signes de similitude des triangles rectangles

III. Par jambe et hypoténuse

Médiane dans un triangle rectangle

Considérez un rectangle entier au lieu d'un triangle rectangle.

Dessinez une diagonale et considérez le point où les diagonales se croisent. Que savez-vous des diagonales d'un rectangle ?

Le point d'intersection diagonale bissectrice Les diagonales sont égales

Et qu'en découle-t-il ?

Alors il est arrivé que

Souvenez-vous de ce fait ! Aide beaucoup !

Ce qui est encore plus surprenant, c'est que l'inverse est également vrai.

A quoi bon tirer du fait que la médiane tirée vers l'hypoténuse est égale à la moitié de l'hypoténuse ? Regardons l'image

Regarder attentivement. Nous avons : , c'est-à-dire que les distances entre le point et les trois sommets du triangle se sont avérées égales. Mais dans un triangle il n'y a qu'un seul point, les distances à partir desquelles environ les trois sommets du triangle sont égaux, et c'est le CENTRE DU CIRQUE DÉCRIT. Alors, qu'est-ce-qu'il s'est passé?

Alors commençons par ce « en plus ». ".

Mais dans les triangles semblables tous les angles sont égaux !

On peut en dire autant de et

Maintenant, dessinons-le ensemble :

Les deux ont les mêmes angles vifs !

Quelle utilité peut-on tirer de cette "triple" similitude.

Eh bien, par exemple - Deux formules pour la hauteur d'un triangle rectangle.

On écrit les relations des parties correspondantes :

Pour trouver la hauteur, nous résolvons la proportion et obtenons La première formule "Hauteur dans un triangle rectangle":

Comment en obtenir un deuxième ?

Et maintenant, nous appliquons la similitude des triangles et.

Alors, appliquons la similarité : .

Ce qui va se passer maintenant?

Encore une fois, nous résolvons la proportion et obtenons la deuxième formule "Hauteur dans un triangle rectangle":

Ces deux formules doivent être très bien mémorisées et celle qui est la plus pratique à appliquer. Ecrivons-les à nouveau.

Eh bien, maintenant, en appliquant et en combinant ces connaissances avec d'autres, vous résoudrez n'importe quel problème avec un triangle rectangle !

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Propriété de hauteur d'un triangle rectangle tombé à l'hypoténuse

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Propriétés d'un triangle rectangle

Considérez un triangle rectangle (ABC) et ses propriétés, qui est montré dans la figure. Un triangle rectangle a une hypoténuse, le côté opposé à l'angle droit. Les côtés qui forment un angle droit sont appelés jambes. Dessin de côté AD, DC et BD, DC- jambes et côtés CA et SW- hypoténuse.

Signes d'égalité d'un triangle rectangle :

Théorème 1. Si l'hypoténuse et la jambe d'un triangle rectangle sont similaires à l'hypoténuse et à la jambe d'un autre triangle, alors ces triangles sont égaux.

Théorème 2. Si deux jambes d'un triangle rectangle sont égales à deux jambes d'un autre triangle, alors ces triangles sont congruents.

Théorème 3. Si l'hypoténuse et un angle aigu d'un triangle rectangle sont semblables à l'hypoténuse et à un angle aigu d'un autre triangle, alors ces triangles sont congruents.

Théorème 4. Si la jambe et l'angle aigu adjacent (opposé) d'un triangle rectangle sont égaux à la jambe et à l'angle aigu adjacent (opposé) d'un autre triangle, alors ces triangles sont congruents.

Propriétés d'une jambe opposée à un angle de 30° :

Théorème 1.

Hauteur dans un triangle rectangle

Dans un triangle rectangle avec un angle de 30°, la jambe opposée à cet angle se déchire à la moitié de l'hypoténuse.

Théorème 2. Si dans un triangle rectangle la jambe est égale à la moitié de l'hypoténuse, alors l'angle opposé est de 30°.

Si la hauteur est tirée du sommet de l'angle droit à l'hypoténuse, alors un tel triangle est divisé en deux plus petits, similaires au sortant et similaires l'un à l'autre. Les conclusions suivantes en découlent :

La hauteur est la moyenne géométrique (moyenne proportionnelle) des deux segments d'hypoténuse.
Chaque jambe du triangle est la moyenne proportionnelle à l'hypoténuse et aux segments adjacents.

Dans un triangle rectangle, les jambes agissent comme des hauteurs. L'orthocentre est le point d'intersection des hauteurs du triangle. Il coïncide avec le haut de l'angle droit de la figure.

hc- la hauteur sortant de l'angle droit du triangle ;

UN B- hypoténuse ;

UN D et BD- les segments apparus lors de la division de l'hypoténuse par la hauteur.

Retour aux références de visualisation sur la discipline "Géométrie"

Triangle est une figure géométrique composée de trois points (sommets) qui ne sont pas sur la même ligne droite et de trois segments reliant ces points. Un triangle rectangle est un triangle qui a un des angles à 90° (un angle droit).
Il existe un théorème : la somme des angles aigus d'un triangle rectangle vaut 90°.
système de commentaires CACKLE

Mots clés: triangle, rectangle, jambe, hypoténuse, théorème de Pythagore, cercle

Triangle appelé rectangulaire s'il a un angle droit.
Un triangle rectangle a deux côtés perpendiculaires appelés jambes; le troisième côté s'appelle hypoténuse.

Selon les propriétés de l'hypoténuse perpendiculaire et oblique, chacune des jambes est plus longue (mais inférieure à leur somme).
La somme de deux angles aigus d'un triangle rectangle est égale à l'angle droit.
Deux hauteurs d'un triangle rectangle coïncident avec ses jambes. Par conséquent, l'un des quatre points remarquables tombe sur les sommets de l'angle droit du triangle.
Le centre du cercle circonscrit d'un triangle rectangle est situé au milieu de l'hypoténuse.
La médiane d'un triangle rectangle tiré du sommet de l'angle droit à l'hypoténuse est le rayon du cercle circonscrit à ce triangle.

Considérons un triangle rectangle quelconque ABC et dessinons une hauteur CD = hc à partir du sommet C de son angle droit.

Il divisera le triangle donné en deux triangles rectangles ACD et BCD ; chacun de ces triangles a un angle aigu commun avec le triangle ABC et est donc semblable au triangle ABC.

Les trois triangles ABC, ACD et BCD sont similaires.

A partir de la similarité des triangles, les relations suivantes sont déterminées :

$$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
c = ac + bc ;
$$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$ ;
$$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

théorème de Pythagore l'un des théorèmes fondamentaux de la géométrie euclidienne, établissant la relation entre les côtés d'un triangle rectangle.

Libellé géométrique. Dans un triangle rectangle, l'aire du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les jambes.

Formulation algébrique. Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes.
Autrement dit, en désignant la longueur de l'hypoténuse du triangle passant par c et les longueurs des jambes passant par a et b :
a2 + b2 = c2

Le théorème inverse de Pythagore.

Hauteur d'un triangle rectangle

Pour tout triplet de nombres positifs a, b et c tel que
a2 + b2 = c2,
il y a un triangle rectangle avec les jambes a et b et l'hypoténuse c.

Signes d'égalité des triangles rectangles :

le long de la jambe et de l'hypoténuse;
sur deux jambes;
le long de la jambe et de l'angle aigu ;
hypoténuse et angle aigu.

Voir également:
Zone triangulaire, triangle isocèle, triangle équilatéral

Géométrie. 8 Classer. Test 4. Option 1 .

UN D : CD=CD : BD D'où CD2 = AD ∙ BD Ils disent:

UN D : CA=CA : UN B. Donc AC2 = AB ∙ UN D. Ils disent:

BD : BC=BC : UN B. Donc BC2 = AB ∙ BD

Résoudre des problèmes:

UNE) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; RÉ) 45 cm; e) 53cm

2. La hauteur d'un triangle rectangle tiré vers l'hypoténuse divise l'hypoténuse en segments 9 et 36.

Déterminez la longueur de cette hauteur.

UNE) 22,5; b) 19; c) 9; RÉ) 12; e) 18.

UNE) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; RÉ) 32; e) 32,25.

UNE) 25; b) 24; c) 27; RÉ) 26; e) 21.

UNE) 8; b) 7; c) 6; RÉ) 5; e) 4.

8. La jambe d'un triangle rectangle est 30.

Comment trouver la hauteur dans un triangle rectangle ?

Trouver la distance du sommet de l'angle droit à l'hypoténuse si le rayon du cercle circonscrit à ce triangle est 17.

UNE) 17; b) 16; c) 15; RÉ) 14; e) 12.

10.

UNE) 15; b) 18; c) 20; RÉ) 16; e) 12.

UNE) 80; b) 72; c) 64; RÉ) 81; e) 75.

12.

UNE) 7,5; b) 8; c) 6,25; RÉ) 8,5; e) 7.

Vérifier les réponses!

D8.04.1. Segments proportionnels dans un triangle rectangle

Géométrie. 8 Classer. Test 4. Option 1 .

Dans Δ ABC ∠ACV = 90°. Jambes AC et BC, hypoténuse AB.

CD est la hauteur du triangle tiré vers l'hypoténuse.

Projection AD de la jambe AC sur l'hypoténuse,

Projection BD de la jambe BC sur l'hypoténuse.

L'altitude CD divise le triangle ABC en deux triangles semblables à lui (et entre eux) : Δ ADC et Δ CDB.

De la proportionnalité des côtés de Δ ADC et Δ CDB similaires suit :

UN D : CD=CD : BD

Propriété de la hauteur d'un triangle rectangle tombé à l'hypoténuse.

D'où CD2 = AD ∙ BD Ils disent: la hauteur d'un triangle rectangle tracé jusqu'à l'hypoténuse,est la valeur proportionnelle moyenne entre les projections des jambes sur l'hypoténuse.

De la similitude de Δ ADC et Δ ACB, il s'ensuit :

UN D : CA=CA : UN B. Donc AC2 = AB ∙ UN D. Ils disent: chaque jambe est la valeur proportionnelle moyenne entre l'ensemble de l'hypoténuse et la projection de cette jambe sur l'hypoténuse.

De même, de la similitude de Δ CDB et Δ ACB, il s'ensuit :

BD : BC=BC : UN B. Donc BC2 = AB ∙ BD

Résoudre des problèmes:

1. Trouver la hauteur d'un triangle rectangle tracé jusqu'à l'hypoténuse s'il divise l'hypoténuse en segments de 25 cm et 81 cm.

UNE) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; RÉ) 45 cm; e) 53cm

2. La hauteur d'un triangle rectangle tracé jusqu'à l'hypoténuse divise l'hypoténuse en segments 9 et 36. Déterminez la longueur de cette hauteur.

UNE) 22,5; b) 19; c) 9; RÉ) 12; e) 18.

4. La hauteur d'un triangle rectangle tiré vers l'hypoténuse est de 22, la projection de l'une des jambes est de 16. Trouvez la projection de l'autre jambe.

UNE) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; RÉ) 32; e) 32,25.

5. La jambe d'un triangle rectangle est 18 et sa projection sur l'hypoténuse est 12. Trouvez l'hypoténuse.

UNE) 25; b) 24; c) 27; RÉ) 26; e) 21.

6. L'hypoténuse est 32. Trouvez la jambe dont la projection sur l'hypoténuse est 2.

UNE) 8; b) 7; c) 6; RÉ) 5; e) 4.

7. L'hypoténuse d'un triangle rectangle est 45. Trouvez la jambe dont la projection sur l'hypoténuse est 9.

8. La jambe d'un triangle rectangle est 30. Trouver la distance du sommet de l'angle droit à l'hypoténuse si le rayon du cercle circonscrit à ce triangle est 17.

UNE) 17; b) 16; c) 15; RÉ) 14; e) 12.

10. L'hypoténuse d'un triangle rectangle est 41 et la projection de l'une des jambes est 16. Trouvez la longueur de l'altitude tirée du sommet de l'angle droit à l'hypoténuse.

UNE) 15; b) 18; c) 20; RÉ) 16; e) 12.

UNE) 80; b) 72; c) 64; RÉ) 81; e) 75.

12. La différence entre les projections des jambes sur l'hypoténuse est de 15 et la distance entre le sommet de l'angle droit et l'hypoténuse est de 4. Trouvez le rayon du cercle circonscrit.

UNE) 7,5; b) 8; c) 6,25; RÉ) 8,5; e) 7.

En fait, tout n'est pas si effrayant du tout. Bien sûr, la "vraie" définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente doit être examinée dans l'article. Mais tu ne veux vraiment pas, n'est-ce pas ? On peut se réjouir : pour résoudre des problèmes sur un triangle rectangle, il suffit de remplir les simples choses suivantes :

Qu'en est-il de l'angle ? Y a-t-il une jambe opposée au coin, c'est-à-dire la jambe opposée (pour le coin) ? Bien sûr ! C'est un cathéter !

Mais qu'en est-il de l'angle ? Regarder attentivement. Quelle jambe est adjacente au coin ? Bien sûr, le chat. Donc, pour l'angle, la jambe est adjacente, et

Et maintenant, attention ! Regardez ce que nous avons :

Voyez comme c'est génial :

Passons maintenant à la tangente et à la cotangente.

Comment le mettre en mots maintenant ? Quelle est la jambe par rapport au coin? En face, bien sûr - il "se trouve" en face du coin. Et le cathéter ? Adjacent au coin. Alors qu'avons-nous obtenu?

Voyez comment le numérateur et le dénominateur sont inversés ?

Et maintenant encore les coins et fait l'échange :

Résumé

Écrivons brièvement ce que nous avons appris.

Théorème de Pythagore:

Le théorème principal du triangle rectangle est le théorème de Pythagore.

théorème de Pythagore

Au fait, vous souvenez-vous bien de ce que sont les jambes et l'hypoténuse ? Si ce n'est pas le cas, regardez l'image - rafraîchissez vos connaissances

Vous voyez avec quelle ruse nous avons divisé ses côtés en segments de longueurs et !

Relions maintenant les points marqués

Ici, cependant, nous avons noté quelque chose d'autre, mais vous-même regardez l'image et réfléchissez à la raison.

Quelle est l'aire du plus grand carré ?

À droite, .

Qu'en est-il de la plus petite zone ?

Assurément, .

La surface totale des quatre coins reste. Imaginez que nous en ayons pris deux et que nous nous appuyions l'un contre l'autre avec des hypoténuses.

Que s'est-il passé? Deux rectangles. Ainsi, la zone de "boutures" est égale.

Mettons tout cela ensemble maintenant.

Transformons :

Nous avons donc visité Pythagore - nous avons prouvé son théorème d'une manière ancienne.

Triangle rectangle et trigonométrie

Pour un triangle rectangle, les relations suivantes s'appliquent :

Le sinus d'un angle aigu est égal au rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse

Le cosinus d'un angle aigu est égal au rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.

La tangente d'un angle aigu est égale au rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente.

La cotangente d'un angle aigu est égale au rapport de la jambe adjacente à la jambe opposée.

Et encore une fois, tout cela sous forme d'assiette :

C'est très confortable !

Signes d'égalité des triangles rectangles

I. Sur deux jambes

II. Par jambe et hypoténuse

III. Par hypoténuse et angle aigu

IV. Le long de la jambe et angle aigu

une)

Attention! Ici, il est très important que les jambes soient "correspondantes". Par exemple, si ça se passe comme ça :

ALORS LES TRIANGLES NE SONT PAS ÉGAUX, malgré le fait qu'ils ont un angle aigu identique.

Besoin de dans les deux triangles, la jambe était adjacente, ou dans les deux - opposée.

Avez-vous remarqué à quel point les signes d'égalité des triangles rectangles diffèrent des signes habituels d'égalité des triangles ?

Regardez le sujet "et faites attention au fait que pour l'égalité des triangles" ordinaires ", vous avez besoin de l'égalité de leurs trois éléments : deux côtés et un angle entre eux, deux angles et un côté entre eux, ou trois côtés.

Mais pour l'égalité des triangles rectangles, seuls deux éléments correspondants suffisent. C'est génial, non ?

Approximativement la même situation avec des signes de similitude de triangles rectangles.

Signes de similitude des triangles rectangles

I. Coin aigu

II. Sur deux pattes

III. Par jambe et hypoténuse

Médiane dans un triangle rectangle

Pourquoi en est-il ainsi ?

Considérez un rectangle entier au lieu d'un triangle rectangle.

Traçons une diagonale et considérons un point - le point d'intersection des diagonales. Que savez-vous des diagonales d'un rectangle ?

Et qu'en découle-t-il ?

Alors il est arrivé que

- médiane :

Souvenez-vous de ce fait ! Aide beaucoup !

Ce qui est encore plus surprenant, c'est que l'inverse est également vrai.

A quoi bon tirer du fait que la médiane tirée vers l'hypoténuse est égale à la moitié de l'hypoténuse ? Regardons l'image

Alors commençons par ce "en plus...".

Regardons i.

Mais dans les triangles semblables tous les angles sont égaux !

On peut en dire autant de et

Maintenant, dessinons-le ensemble :

Quelle utilité peut-on tirer de cette "triple" similitude.

Eh bien, par exemple - deux formules pour la hauteur d'un triangle rectangle.

On écrit les relations des parties correspondantes :

Pour trouver la hauteur, nous résolvons la proportion et obtenons première formule "Hauteur dans un triangle rectangle":

Eh bien, maintenant, en appliquant et en combinant ces connaissances avec d'autres, vous résoudrez n'importe quel problème avec un triangle rectangle !

Alors, appliquons la similarité : .

Ce qui va se passer maintenant?

Encore une fois, nous résolvons la proportion et obtenons la deuxième formule :

Ces deux formules doivent être très bien mémorisées et celle qui est la plus pratique à appliquer.

Ecrivons-les à nouveau.

Théorème de Pythagore:

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes :.

Signes d'égalité des triangles rectangles :

sur deux pattes :
le long de la jambe et de l'hypoténuse : ou
le long de la jambe et de l'angle aigu adjacent : ou
le long de la jambe et l'angle aigu opposé : ou
par hypoténuse et angle aigu : ou.

Signes de similitude des triangles rectangles :

un coin pointu : ou
de la proportionnalité des deux jambes :
de la proportionnalité de la jambe et de l'hypoténuse : ou.

Sinus, cosinus, tangente, cotangente dans un triangle rectangle

Le sinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse :
Le cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :
La tangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente :
La cotangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe adjacente à l'opposé :.

Hauteur d'un triangle rectangle : ou.

Dans un triangle rectangle, la médiane tirée du sommet de l'angle droit est égale à la moitié de l'hypoténuse : .

Aire d'un triangle rectangle :

à travers les cathéters :

Propriété : 1. Dans tout triangle rectangle, l'altitude descendue de l'angle droit (jusqu'à l'hypoténuse) divise le triangle rectangle en trois triangles similaires.

Propriété : 2. La hauteur d'un triangle rectangle, abaissé à l'hypoténuse, est égale à la moyenne géométrique des projections des jambes sur l'hypoténuse (ou la moyenne géométrique des segments en lesquels la hauteur divise l'hypoténuse).

Propriété : 3. La jambe est égale à la moyenne géométrique de l'hypoténuse et à la projection de cette jambe sur l'hypoténuse.

Propriété : 4. La jambe contre un angle de 30 degrés est égale à la moitié de l'hypoténuse.

Formule 1.

Formule 2. où est l'hypoténuse; , patins.

Propriété : 5. Dans un triangle rectangle, la médiane tracée à l'hypoténuse est égale à la moitié de celle-ci et égale au rayon du cercle circonscrit.

Propriété : 6. Dépendance entre les côtés et les angles d'un triangle rectangle :

44. Théorème du cosinus. Conséquences : liaison entre diagonales et côtés d'un parallélogramme ; déterminer le type de triangle ; formule pour calculer la longueur de la médiane d'un triangle; calculer le cosinus de l'angle d'un triangle.

Fin du travail -

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Classer. Programme du Colloque Fondamentaux de la planimétrie

La propriété des angles adjacents.. la définition de deux angles sont adjacents si un côté qu'ils ont en commun dans les deux autres forment une ligne droite..

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