Addition et soustraction de racines- l'une des "pierres d'achoppement" les plus courantes pour ceux qui suivent un cours de mathématiques (algèbre) au lycée. Cependant, apprendre à les additionner et à les soustraire correctement est très important, car des exemples pour la somme ou la différence des racines sont inclus dans le programme de l'examen d'État unifié de base dans la discipline "mathématiques".
Afin de maîtriser la solution de tels exemples, vous avez besoin de deux choses - comprendre les règles et acquérir de la pratique. Après avoir résolu une ou deux douzaines d'exemples typiques, l'étudiant apportera cette compétence à l'automatisme, puis il n'aura rien à craindre à l'examen. Il est recommandé de commencer à maîtriser les opérations arithmétiques par addition, car les additionner est un peu plus facile que de les soustraire.
Qu'est-ce qu'une racine
La façon la plus simple d'expliquer cela est avec l'exemple d'une racine carrée. En mathématiques, il existe un terme bien établi "carré". "Carré" signifie multiplier un nombre spécifique par lui-même une fois.. Par exemple, si vous mettez au carré 2, vous obtenez 4. Si vous mettez 7 au carré, vous obtenez 49. Le carré de 9 est 81. Ainsi, la racine carrée de 4 est 2, de 49 est 7 et de 81 est 9.
En règle générale, l'enseignement de ce sujet en mathématiques commence par les racines carrées. Afin de le déterminer immédiatement, un lycéen doit connaître par cœur la table de multiplication. Pour ceux qui ne connaissent pas bien ce tableau, il faut utiliser des indices. Habituellement, le processus d'extraction de la racine carrée d'un nombre est donné sous la forme d'un tableau sur les couvertures de nombreux cahiers scolaires en mathématiques.
Les racines sont des types suivants :
- carré;
- cubique (ou le soi-disant troisième degré);
- quatrième degré;
- cinquième degré.
Règles d'ajout
Afin de résoudre avec succès un exemple typique, il faut garder à l'esprit que tous les nombres racines peuvent être empilés les uns avec les autres. Pour pouvoir les assembler, il faut les ramener à un seul patron. Si ce n'est pas possible, alors le problème n'a pas de solution. De tels problèmes se retrouvent aussi souvent dans les manuels de mathématiques comme une sorte de piège pour les élèves.
L'addition n'est pas autorisée dans les affectations lorsque les expressions radicales diffèrent les unes des autres. Ceci peut être illustré par un exemple illustratif :
- l'élève est confronté à la tâche : additionner la racine carrée de 4 et de 9 ;
- un étudiant inexpérimenté qui ne connaît pas la règle écrit généralement: "racine de 4 + racine de 9 \u003d racine de 13".
- il est très facile de prouver que cette façon de résoudre est fausse. Pour ce faire, vous devez trouver la racine carrée de 13 et vérifier si l'exemple est résolu correctement.
- à l'aide d'une microcalculatrice, vous pouvez déterminer qu'il est d'environ 3,6. Il reste maintenant à vérifier la solution ;
- racine de 4=2, et de 9=3 ;
- La somme de deux et trois est cinq. Ainsi, cet algorithme de résolution peut être considéré comme incorrect.
Si les racines ont le même degré, mais des expressions numériques différentes, il est sorti des parenthèses, et la somme de deux expressions radicales. Ainsi, il est déjà extrait de ce montant.
Algorithme d'addition
Pour résoudre correctement le problème le plus simple, il faut :
- Déterminez exactement ce qui doit être ajouté.
- Découvrez s'il est possible d'additionner des valeurs les unes aux autres, guidé par les règles existantes en mathématiques.
- S'ils ne peuvent pas être ajoutés, vous devez les transformer de manière à pouvoir les ajouter.
- Après avoir effectué toutes les transformations nécessaires, il est nécessaire d'effectuer l'addition et d'écrire la réponse finale. L'addition peut être faite mentalement ou avec une calculatrice, selon la complexité de l'exemple.
Quelles sont les racines similaires
Afin de résoudre correctement un exemple d'addition, il est nécessaire, tout d'abord, de réfléchir à la manière dont il peut être simplifié. Pour ce faire, vous devez avoir une connaissance de base de ce qu'est la similarité.
La possibilité d'identifier des exemples similaires aide à résoudre rapidement le même type d'exemples d'addition, en les ramenant sous une forme simplifiée. Pour simplifier un exemple d'ajout typique, vous devez :
- Trouvez-en des similaires et attribuez-les à un groupe (ou plusieurs groupes).
- Réécrivez l'exemple existant de manière à ce que les racines qui ont le même indicateur se suivent clairement (c'est ce qu'on appelle le "regroupement").
- Ensuite, vous devez réécrire l'expression, cette fois de manière à ce que les expressions similaires (qui ont le même indicateur et la même racine) se suivent également.
Après cela, un exemple simplifié est généralement facile à résoudre.
Afin de résoudre correctement tout exemple d'addition, vous devez comprendre clairement les règles de base de l'addition, et également savoir ce qu'est une racine et comment cela se produit.
Parfois, ces tâches semblent très compliquées à première vue, mais elles sont généralement facilement résolues en regroupant des tâches similaires. La chose la plus importante est la pratique, puis l'élève commencera à "cliquer sur des tâches comme des noix". L'addition de racine est l'une des branches les plus importantes des mathématiques, les enseignants doivent donc allouer suffisamment de temps pour l'étudier.
Vidéo
Cette vidéo vous aidera à comprendre les équations aux racines carrées.
Fait 1.
\(\bullet\) Prenez un nombre non négatif \(a\) (c'est-à-dire \(a\geqslant 0\) ). Alors (arithmétique) racine carréeà partir du nombre \(a\) un tel nombre non négatif \(b\) est appelé, en le mettant au carré nous obtenons le nombre \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(identique à )\quad a=b^2\] Il découle de la définition que \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ces restrictions sont une condition importante pour l'existence d'une racine carrée et doivent être rappelées !
Rappelez-vous que tout nombre au carré donne un résultat non négatif. Autrement dit, \(100^2=10000\geqslant 0\) et \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Qu'est-ce que \(\sqrt(25)\) ? Nous savons que \(5^2=25\) et \((-5)^2=25\) . Puisque par définition on doit trouver un nombre non négatif, \(-5\) ne convient pas, donc \(\sqrt(25)=5\) (puisque \(25=5^2\) ).
Trouver la valeur \(\sqrt a\) s'appelle prendre la racine carrée du nombre \(a\) , et le nombre \(a\) s'appelle l'expression racine.
\(\bullet\) Basé sur la définition, les expressions \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , etc. n'a pas de sens.
Fait 2.
Pour des calculs rapides, il sera utile de connaître le tableau des carrés des entiers naturels de \(1\) à \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(tableau)\]
Fait 3.
Que peut-on faire avec des racines carrées ?
\(\balle\) La somme ou la différence des racines carrées N'EST PAS ÉGALE à la racine carrée de la somme ou de la différence, c'est-à-dire \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Ainsi, si vous avez besoin de calculer, par exemple, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , alors vous devez d'abord trouver les valeurs \(\sqrt(25)\) et \(\sqrt (49)\ ) puis additionnez-les. D'où, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Si les valeurs \(\sqrt a\) ou \(\sqrt b\) ne peuvent pas être trouvées lors de l'ajout de \(\sqrt a+\sqrt b\), alors une telle expression n'est pas davantage convertie et reste telle quelle. Par exemple, dans la somme \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) nous pouvons trouver \(\sqrt(49)\) - c'est \(7\) , mais \(\sqrt 2\) ne peut pas être converti de quelque manière que ce soit, c'est pourquoi \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). De plus, cette expression, malheureusement, ne peut en aucun cas être simplifiée.\(\bullet\) Le produit/quotient des racines carrées est égal à la racine carrée du produit/quotient, c'est-à-dire \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (à condition que les deux parties des égalités aient un sens)
Exemple: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) En utilisant ces propriétés, il est pratique de trouver les racines carrées de grands nombres en les factorisant.
Prenons un exemple. Trouvez \(\sqrt(44100)\) . Puisque \(44100:100=441\) , alors \(44100=100\cdot 441\) . Selon le critère de divisibilité, le nombre \(441\) est divisible par \(9\) (puisque la somme de ses chiffres est 9 et est divisible par 9), donc, \(441:9=49\) , c'est-à-dire \(441=9\ cdot 49\) .
Ainsi, nous avons obtenu : \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Prenons un autre exemple : \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Montrons comment saisir des nombres sous le signe de la racine carrée en utilisant l'exemple de l'expression \(5\sqrt2\) (abréviation de l'expression \(5\cdot \sqrt2\) ). Puisque \(5=\sqrt(25)\) , alors \
Notez également que, par exemple,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
Pourquoi donc? Expliquons avec l'exemple 1). Comme vous l'avez déjà compris, nous ne pouvons pas en quelque sorte convertir le nombre \(\sqrt2\) . Imaginez que \(\sqrt2\) est un certain nombre \(a\) . En conséquence, l'expression \(\sqrt2+3\sqrt2\) n'est rien d'autre que \(a+3a\) (un nombre \(a\) plus trois autres des mêmes nombres \(a\) ). Et nous savons que cela est égal à quatre de ces nombres \(a\) , c'est-à-dire \(4\sqrt2\) .
Fait 4.
\(\bullet\) On dit souvent "ne peut pas extraire la racine" lorsqu'il n'est pas possible de se débarrasser du signe \(\sqrt () \ \) de la racine (radical) lors de la recherche de la valeur d'un certain nombre. Par exemple, vous pouvez rooter le nombre \(16\) car \(16=4^2\) , donc \(\sqrt(16)=4\) . Mais extraire la racine du nombre \(3\) , c'est-à-dire trouver \(\sqrt3\) , c'est impossible, car il n'y a pas de nombre tel que le carré donne \(3\) .
De tels nombres (ou expressions avec de tels nombres) sont irrationnels. Par exemple, les nombres \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) etc. sont irrationnels.
Aussi irrationnels sont les nombres \(\pi\) (le nombre "pi", approximativement égal à \(3,14\) ), \(e\) (ce nombre est appelé le nombre d'Euler, approximativement égal à \(2 ,7\) ) etc.
\(\bullet\) Veuillez noter que tout nombre sera rationnel ou irrationnel. Et ensemble, tous les nombres rationnels et tous les nombres irrationnels forment un ensemble appelé ensemble de nombres réels (réels). Cet ensemble est désigné par la lettre \(\mathbb(R)\) .
Cela signifie que tous les nombres que nous connaissons actuellement sont appelés nombres réels.
Fait 5.
\(\bullet\) Le module d'un nombre réel \(a\) est un nombre non négatif \(|a|\) égal à la distance entre le point \(a\) et \(0\) sur le réel ligne. Par exemple, \(|3|\) et \(|-3|\) sont égaux à 3, puisque les distances des points \(3\) et \(-3\) à \(0\) sont les identique et égal à \(3 \) .
\(\bullet\) Si \(a\) est un nombre non négatif, alors \(|a|=a\) .
Exemple : \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Si \(a\) est un nombre négatif, alors \(|a|=-a\) .
Exemple : \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Ils disent que pour les nombres négatifs, le module "mange" le moins, et les nombres positifs, ainsi que le nombre \(0\) , le module reste inchangé.
MAIS cette règle ne s'applique qu'aux nombres. Si vous avez un \(x\) inconnu (ou un autre inconnu) sous le signe du module, par exemple, \(|x|\) , dont nous ne savons pas s'il est positif, égal à zéro ou négatif, alors se débarrasser du module, nous ne pouvons pas. Dans ce cas, cette expression reste donc : \(|x|\) . \(\bullet\) Les formules suivantes sont valables : \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(fourni) a\geqslant 0\] L'erreur suivante est souvent commise : ils disent que \(\sqrt(a^2)\) et \((\sqrt a)^2\) sont la même chose. Ceci n'est vrai que lorsque \(a\) est un nombre positif ou zéro. Mais si \(a\) est un nombre négatif, alors ce n'est pas vrai. Il suffit de considérer un tel exemple. Prenons le nombre \(-1\) au lieu de \(a\). Alors \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , mais l'expression \((\sqrt (-1))^2\) n'existe pas du tout (car c'est impossible sous le signe racine de mettre des nombres négatifs !).
Par conséquent, nous attirons votre attention sur le fait que \(\sqrt(a^2)\) n'est pas égal à \((\sqrt a)^2\) ! Exemple 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), car \(-\sqrt2<0\)
;
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Puisque \(\sqrt(a^2)=|a|\) , alors \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (l'expression \(2n\) désigne un nombre pair)
Autrement dit, lors de l'extraction de la racine d'un nombre qui est dans un certain degré, ce degré est divisé par deux.
Exemple:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (notez que si le module n'est pas défini, alors il s'avère que la racine du nombre est égale à \(-25 \) ; mais rappelons-nous que, par définition de la racine, cela ne peut pas être : lors de l'extraction de la racine, nous devrions toujours obtenir un nombre positif ou zéro)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (puisque tout nombre à une puissance paire est non négatif)
Fait 6.
Comment comparer deux racines carrées ?
\(\bullet\) Vrai pour les racines carrées : si \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) comparer \(\sqrt(50)\) et \(6\sqrt2\) . Tout d'abord, nous transformons la deuxième expression en \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Ainsi, puisque \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) Entre quels entiers est \(\sqrt(50)\) ?
Puisque \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) et \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) Comparez \(\sqrt 2-1\) et \(0,5\) . Supposons \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((ajouter un aux deux côtés))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((carré des deux parties))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Nous voyons que nous avons obtenu une inégalité incorrecte. Par conséquent, notre hypothèse était erronée et \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
Notez que l'ajout d'un certain nombre aux deux côtés de l'inégalité n'affecte pas son signe. Multiplier/diviser les deux parties de l'inégalité par un nombre positif n'affecte pas non plus son signe, mais multiplier/diviser par un nombre négatif inverse le signe de l'inégalité !
Les deux côtés d'une équation/inégalité peuvent être élevés au carré UNIQUEMENT SI les deux côtés sont non négatifs. Par exemple, dans l'inégalité de l'exemple précédent, vous pouvez élever au carré les deux côtés, dans l'inégalité \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) Notez que \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\] Connaître la signification approximative de ces nombres vous aidera à comparer les nombres ! \(\bullet\) Afin d'extraire la racine (si elle est extraite) d'un grand nombre qui n'est pas dans le tableau des carrés, vous devez d'abord déterminer entre quelles "centaines" elle se trouve, puis entre quelles "dizaines", puis déterminez le dernier chiffre de ce nombre. Montrons comment cela fonctionne avec un exemple.
Prenez \(\sqrt(28224)\) . Nous savons que \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) et ainsi de suite. Notez que \(28224\) est compris entre \(10\,000\) et \(40\,000\) . Par conséquent, \(\sqrt(28224)\) est compris entre \(100\) et \(200\) .
Déterminons maintenant entre quelles "dizaines" se situe notre nombre (c'est-à-dire, par exemple, entre \(120\) et \(130\) ). Nous savons également par la table des carrés que \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., puis \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Nous voyons donc que \(28224\) est compris entre \(160^2\) et \(170^2\) . Par conséquent, le nombre \(\sqrt(28224)\) est compris entre \(160\) et \(170\) .
Essayons de déterminer le dernier chiffre. Rappelons-nous ce que les nombres à un chiffre lors de la mise au carré donnent à la fin \ (4 \) ? Ce sont \(2^2\) et \(8^2\) . Par conséquent, \(\sqrt(28224)\) se terminera par 2 ou 8. Vérifions cela. Trouvez \(162^2\) et \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
D'où \(\sqrt(28224)=168\) . Voila !
Afin de résoudre correctement l'examen en mathématiques, il est tout d'abord nécessaire d'étudier le matériel théorique, qui introduit de nombreux théorèmes, formules, algorithmes, etc. À première vue, cela peut sembler assez simple. Cependant, trouver une source dans laquelle la théorie de l'examen d'État unifié en mathématiques est présentée facilement et de manière compréhensible pour les étudiants de tout niveau de formation est, en fait, une tâche plutôt difficile. Les manuels scolaires ne sont pas toujours à portée de main. Et trouver les formules de base pour l'examen de mathématiques peut être difficile même sur Internet.
Pourquoi est-il si important d'étudier la théorie en mathématiques, pas seulement pour ceux qui passent l'examen ?
- Parce que cela élargit vos horizons. L'étude du matériel théorique en mathématiques est utile pour quiconque souhaite obtenir des réponses à un large éventail de questions liées à la connaissance du monde. Tout dans la nature est ordonné et a une logique claire. C'est précisément ce qui se reflète dans la science, à travers laquelle il est possible de comprendre le monde.
- Parce que ça développe l'intellect. En étudiant des documents de référence pour l'examen de mathématiques, ainsi qu'en résolvant divers problèmes, une personne apprend à penser et à raisonner logiquement, à formuler ses pensées correctement et clairement. Il développe la capacité d'analyser, de généraliser, de tirer des conclusions.
Nous vous invitons à évaluer personnellement tous les avantages de notre approche de la systématisation et de la présentation du matériel pédagogique.
Extraire la racine carrée d'un nombre n'est pas la seule opération réalisable avec ce phénomène mathématique. Tout comme les nombres ordinaires, les racines carrées peuvent être additionnées et soustraites.
Règles d'addition et de soustraction de racines carrées
Définition 1Des actions telles que l'ajout et la soustraction d'une racine carrée ne sont possibles que si l'expression de la racine est la même.
Exemple 1
Vous pouvez ajouter ou soustraire des expressions 2 3 et 6 3, mais pas 5 6 et 9 4 . S'il est possible de simplifier l'expression et de l'amener aux racines avec le même numéro de racine, alors simplifiez, puis ajoutez ou soustrayez.
Actions racine : les bases
Exemple 26 50 - 2 8 + 5 12
Algorithme d'action :
- Simplifier l'expression racine. Pour ce faire, il faut décomposer l'expression racine en 2 facteurs dont l'un est un nombre carré (le nombre dont on extrait toute la racine carrée, par exemple 25 ou 9).
- Ensuite, vous devez prendre la racine du nombre carré et écrivez la valeur résultante avant le signe racine. Veuillez noter que le deuxième facteur est entré sous le signe racine.
- Après le processus de simplification, il est nécessaire de souligner les racines avec les mêmes expressions de racine - seules elles peuvent être ajoutées et soustraites.
- Pour les racines avec les mêmes expressions radicales, il est nécessaire d'ajouter ou de soustraire les facteurs qui précèdent le signe racine. L'expression racine reste inchangée. N'ajoutez ni ne soustrayez pas de nombres racine !
Astuce 1
Si vous avez un exemple avec un grand nombre d'expressions radicales identiques, soulignez ces expressions avec des lignes simples, doubles et triples pour faciliter le processus de calcul.
Exemple 3
Essayons cet exemple :
6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Vous devez d'abord décomposer 50 en 2 facteurs 25 et 2, puis prendre la racine de 25, qui est 5, et retirer 5 sous la racine. Après cela, vous devez multiplier 5 par 6 (le multiplicateur à la racine) et obtenir 30 2 .
2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Tout d'abord, vous devez décomposer 8 en 2 facteurs : 4 et 2. Ensuite, à partir de 4, extrayez la racine, qui est égale à 2, et retirez 2 sous la racine. Après cela, vous devez multiplier 2 par 2 (le facteur à la racine) et obtenir 4 2 .
5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Tout d'abord, vous devez décomposer 12 en 2 facteurs : 4 et 3. Ensuite, extrayez la racine de 4, qui est 2, et sortez-la de sous la racine. Après cela, vous devez multiplier 2 par 5 (le facteur à la racine) et obtenir 10 3 .
Résultat simplifié : 30 2 - 4 2 + 10 3
30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .
En conséquence, nous avons vu combien d'expressions radicales identiques sont contenues dans cet exemple. Pratiquons maintenant avec d'autres exemples.
Exemple 4
- Simplifier (45) . Nous factorisons 45 : (45) = (9 × 5) ;
- Nous retirons 3 sous la racine (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
- Nous additionnons les facteurs aux racines : 3 5 + 4 5 = 7 5 .
Exemple 5
6 40 - 3 10 + 5:
- Simplification 6 40 . Nous factorisons 40 : 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
- Nous retirons 2 sous la racine (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
- Nous multiplions les facteurs qui sont devant la racine : 12 10 ;
- On écrit l'expression sous une forme simplifiée : 12 10 - 3 10 + 5 ;
- Puisque les deux premiers termes ont les mêmes nombres racines, nous pouvons les soustraire : (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.
Exemple 6
Comme nous pouvons le voir, il n'est pas possible de simplifier les nombres radicaux, nous recherchons donc des membres avec les mêmes nombres radicaux dans l'exemple, effectuons des opérations mathématiques (addition, soustraction, etc.) et écrivons le résultat :
(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .
Conseils:
- Avant d'additionner ou de soustraire, il est impératif de simplifier (si possible) les expressions radicales.
- L'ajout et la soustraction de racines avec des expressions de racine différentes sont strictement interdits.
- Ne pas ajouter ou soustraire un nombre entier ou une racine carrée : 3 + (2 x) 1 / 2 .
- Lorsque vous effectuez des actions avec des fractions, vous devez trouver un nombre entièrement divisible par chaque dénominateur, puis amener les fractions à un dénominateur commun, puis ajouter les numérateurs et laisser les dénominateurs inchangés.
Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez le mettre en surbrillance et appuyer sur Ctrl+Entrée
Je regardai à nouveau l'assiette... Et, c'est parti !
Commençons par un simple :
Attends une minute. this, ce qui signifie que nous pouvons l'écrire comme ceci:
J'ai compris? Voici le suivant pour vous :
Les racines des nombres résultants ne sont pas exactement extraites ? Ne vous inquiétez pas, voici quelques exemples :
Mais que se passe-t-il s'il n'y a pas deux multiplicateurs, mais plus ? Le même! La formule de multiplication racine fonctionne avec n'importe quel nombre de facteurs :
Maintenant complètement indépendant :
Réponses: Bien joué! D'accord, tout est très simple, l'essentiel est de connaître la table de multiplication !
division racine
Nous avons compris la multiplication des racines, passons maintenant à la propriété de division.
Permettez-moi de vous rappeler que la formule en général ressemble à ceci:
Et cela signifie que la racine du quotient est égale au quotient des racines.
Eh bien, regardons des exemples :
C'est toute la science. Et voici un exemple :
Tout n'est pas aussi fluide que dans le premier exemple, mais comme vous pouvez le voir, il n'y a rien de compliqué.
Et si l'expression ressemble à ceci :
Il suffit d'appliquer la formule à l'envers :
Et voici un exemple :
Vous pouvez également voir cette expression :
Tout est pareil, seulement ici, vous devez vous rappeler comment traduire les fractions (si vous ne vous en souvenez pas, regardez le sujet et revenez!). Rappelé ? Maintenant, nous décidons!
Je suis sûr que vous avez fait face à tout, tout, essayons maintenant de nous enraciner dans un diplôme.
Exponentation
Que se passe-t-il si la racine carrée est au carré ? C'est simple, souvenez-vous de la signification de la racine carrée d'un nombre - c'est un nombre dont la racine carrée est égale à.
Donc, si nous mettons au carré un nombre dont la racine carrée est égale, alors qu'obtenons-nous ?
Oui bien sur, !
Regardons des exemples :
Tout est simple, non ? Et si la racine est à un degré différent? Rien de mal!
Tenez-vous en à la même logique et souvenez-vous des propriétés et des actions possibles avec des pouvoirs.
Lisez la théorie sur le sujet "" et tout deviendra extrêmement clair pour vous.
Par exemple, voici une expression :
Dans cet exemple, le degré est pair, mais que se passe-t-il s'il est impair ? Encore une fois, appliquez les propriétés de puissance et factorisez tout :
Avec cela, tout semble clair, mais comment extraire la racine d'un nombre en un degré ? Voici par exemple ceci :
Assez simple, non? Que faire si le degré est supérieur à deux ? Nous suivons la même logique en utilisant les propriétés des degrés :
Eh bien, est-ce que tout est clair? Résolvez ensuite vos propres exemples :
Et voici les réponses :
Introduction sous le signe de la racine
Ce que nous n'avons tout simplement pas appris à faire avec les racines ! Il ne reste plus qu'à s'entraîner à saisir le nombre sous le signe racine !
C'est assez facile !
Disons que nous avons un nombre
Que pouvons-nous en faire ? Eh bien, bien sûr, cachez le triple sous la racine, tout en vous rappelant que le triple est la racine carrée de !
Pourquoi en avons-nous besoin? Oui, juste pour étendre nos capacités lors de la résolution d'exemples :
Comment aimez-vous cette propriété des racines? Rend la vie beaucoup plus facile? Pour moi, c'est vrai ! Seul nous devons nous rappeler que nous ne pouvons entrer que des nombres positifs sous le signe de la racine carrée.
Essayez cet exemple par vous-même :
Avez-vous réussi? Voyons ce que vous devriez obtenir :
Bien joué! Vous avez réussi à entrer un nombre sous le signe racine ! Passons à quelque chose d'aussi important - réfléchissez à la façon de comparer des nombres contenant une racine carrée !
Comparaison racine
Pourquoi devrions-nous apprendre à comparer des nombres contenant une racine carrée ?
Très simple. Souvent, dans les grandes et longues expressions rencontrées à l'examen, on obtient une réponse irrationnelle (souvenez-vous de quoi il s'agit ? Nous en avons déjà parlé aujourd'hui !)
Nous devons placer les réponses reçues sur la ligne de coordonnées, par exemple, pour déterminer quel intervalle convient à la résolution de l'équation. Et c'est là que le hic se pose : il n'y a pas de calculatrice à l'examen, et sans elle, comment imaginer quel nombre est le plus grand et lequel est le plus petit ? C'est ça!
Par exemple, déterminez lequel est le plus grand : ou ?
Vous ne direz pas tout de suite. Eh bien, utilisons la propriété analysée d'ajouter un nombre sous le signe racine ?
Puis en avant :
Eh bien, évidemment, plus le nombre sous le signe de la racine est grand, plus la racine elle-même est grande !
Celles. si signifie.
De cela nous concluons fermement que Et personne ne nous convaincra du contraire !
Extraire les racines d'un grand nombre
Avant cela, nous avons introduit un facteur sous le signe de la racine, mais comment le supprimer ? Il vous suffit de le factoriser et d'extraire ce qui est extrait !
Il était possible d'aller dans l'autre sens et de se décomposer en d'autres facteurs :
Pas mal, non ? Chacune de ces approches est correcte, décidez comment vous vous sentez à l'aise.
La factorisation est très utile lors de la résolution de tâches non standard telles que celle-ci :
On n'a pas peur, on agit ! Nous décomposons chaque facteur sous la racine en facteurs distincts :
Et maintenant, essayez-le vous-même (sans calculatrice ! Ce ne sera pas à l'examen) :
Est-ce la fin? On ne s'arrête pas à mi-chemin !
C'est tout, ce n'est pas si effrayant que ça, n'est-ce pas ?
Arrivé? Bravo, tu as raison !
Essayez maintenant cet exemple :
Et un exemple est un écrou difficile à casser, vous ne pouvez donc pas immédiatement comprendre comment l'aborder. Mais nous, bien sûr, sommes dans les dents.
Eh bien, commençons à factoriser, d'accord ? Immédiatement, nous notons que vous pouvez diviser un nombre par (rappelez les signes de divisibilité) :
Et maintenant, essayez-le vous-même (encore une fois, sans calculatrice !) :
Eh bien, cela a-t-il fonctionné ? Bravo, tu as raison !
Résumé
- La racine carrée (racine carrée arithmétique) d'un nombre non négatif est un nombre non négatif dont le carré est égal.
. - Si nous prenons simplement la racine carrée de quelque chose, nous obtenons toujours un résultat non négatif.
- Propriétés des racines arithmétiques :
- Lorsque l'on compare des racines carrées, il faut se rappeler que plus le nombre sous le signe de la racine est grand, plus la racine elle-même est grande.
Comment aimez-vous la racine carrée? Tout est clair?
Nous avons essayé de vous expliquer sans eau tout ce que vous devez savoir à l'examen sur la racine carrée.
Maintenant à votre tour. Écrivez-nous si ce sujet est difficile pour vous ou non.
Avez-vous appris quelque chose de nouveau ou tout était déjà si clair.
Écrivez dans les commentaires et bonne chance pour les examens!
À notre époque d'ordinateurs électroniques modernes, calculer la racine d'un nombre n'est pas une tâche difficile. Par exemple, √2704=52, n'importe quelle calculatrice le calculera pour vous. Heureusement, la calculatrice n'est pas seulement sous Windows, mais aussi dans un téléphone ordinaire, même le plus simple. Certes, si soudainement (avec un faible degré de probabilité, dont le calcul inclut d'ailleurs l'ajout de racines) vous vous retrouvez sans fonds disponibles, alors, hélas, vous ne devrez compter que sur votre cerveau.
L'entraînement mental n'échoue jamais. Surtout pour ceux qui ne travaillent pas si souvent avec les chiffres, et encore plus avec les racines. Ajouter et soustraire des racines est un bon entraînement pour un esprit ennuyé. Et je vais vous montrer l'ajout de racines étape par étape. Des exemples d'expressions peuvent être les suivants.
L'équation à simplifier est la suivante :
√2+3√48-4×√27+√128
C'est une expression irrationnelle. Afin de le simplifier, vous devez amener toutes les expressions radicales à une forme commune. Nous procédons par étapes :
Le premier numéro ne peut plus être simplifié. Passons au deuxième terme.
3√48 on factorise 48 : 48=2×24 ou 48=3×16. sur 24 n'est pas un entier, c'est-à-dire a un reste fractionnaire. Comme nous avons besoin d'une valeur exacte, les racines approximatives ne nous conviennent pas. La racine carrée de 16 est 4, sortez-la de dessous Nous obtenons : 3×4×√3=12×√3
Notre expression suivante est négative, c'est-à-dire écrit avec un signe moins -4×√(27.) Factoriser 27. Nous obtenons 27=3×9. Nous n'utilisons pas de facteurs fractionnaires, car il est plus difficile de calculer la racine carrée à partir de fractions. Nous en retirons 9 sous le signe, c'est-à-dire calculer la racine carrée. On obtient l'expression suivante : -4×3×√3 = -12×√3
Le terme suivant √128 calcule la partie qui peut être extraite de sous la racine. 128=64×2 où √64=8. Si cela vous facilite la tâche, vous pouvez représenter cette expression comme ceci : √128=√(8^2×2)
Nous réécrivons l'expression avec des termes simplifiés :
√2+12×√3-12×√3+8×√2
Maintenant, nous additionnons les nombres avec la même expression radicale. Vous ne pouvez pas ajouter ou soustraire des expressions avec des expressions radicales différentes. L'ajout de racines nécessite le respect de cette règle.
Nous obtenons la réponse suivante :
√2+12√3-12√3+8√2=9√2
√2=1×√2 - J'espère qu'il est d'usage en algèbre d'omettre de tels éléments ne vous sera pas inconnu.
Les expressions peuvent être représentées non seulement par des racines carrées, mais également par des racines cubiques ou nièmes.
L'addition et la soustraction de racines avec des exposants différents, mais avec une expression de racine équivalente, se produisent comme suit :
Si nous avons une expression comme √a+∛b+∜b, alors nous pouvons simplifier cette expression comme ceci :
∛b+∜b=12×√b4 +12×√b3
12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3
Nous avons ramené deux termes semblables à l'exposant commun de la racine. La propriété des racines a été utilisée ici, qui dit: si le nombre du degré de l'expression radicale et le nombre de l'exposant racine sont multipliés par le même nombre, alors son calcul restera inchangé.
Remarque : les exposants ne sont ajoutés que lorsqu'ils sont multipliés.
Prenons un exemple où des fractions sont présentes dans une expression.
5√8-4×√(1/4)+√72-4×√2
Résolvons-le étape par étape :
5√8=5*2√2 - nous retirons la partie extraite sous la racine.
4√(1/4)=-4 √1/(√4)= - 4 *1/2= - 2
Si le corps de la racine est représenté par une fraction, alors souvent cette fraction ne changera pas si la racine carrée du dividende et du diviseur est prise. En conséquence, nous avons obtenu l'égalité décrite ci-dessus.
√72-4√2=√(36×2)- 4√2=2√2
10√2+2√2-2=12√2-2
Voici la réponse.
La principale chose à retenir est qu'une racine avec un exposant pair n'est pas extraite des nombres négatifs. Si une expression radicale de degré pair est négative, alors l'expression est insoluble.
L'addition des racines n'est possible que si les expressions radicales coïncident, puisqu'il s'agit de termes similaires. Il en va de même pour la différence.
L'addition de racines avec des exposants numériques différents s'effectue en réduisant les deux termes à un degré racine commun. Cette loi fonctionne de la même manière que la réduction à un dénominateur commun lors de l'addition ou de la soustraction de fractions.
Si l'expression radicale contient un nombre élevé à une puissance, alors cette expression peut être simplifiée à condition qu'il y ait un dénominateur commun entre la racine et l'exposant.
