สูตรการหาความสูงน้อยที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉาก สามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมฉากหนึ่งคือ เท่ากับ 90 องศา

• ด้านตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก คหรือเอบี)
• ด้านที่อยู่ติดกับมุมฉากเรียกว่าขา สามเหลี่ยมมุมฉากแต่ละอันมีสองขา (ระบุเป็น เอและ b หรือ AC และ BC)

สูตรและคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก

การกำหนดสูตร:

(ดูภาพด้านบน)

ก, ข- ขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ค- ด้านตรงข้ามมุมฉาก

α, β - มุมแหลมของสามเหลี่ยม

ส- พื้นที่

ชม- ความสูงลดลงจากจุดยอดของมุมฉากถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก

ม เอจากมุมตรงข้าม ( α )

m b- ค่ามัธยฐานลากไปด้านข้าง ขจากมุมตรงข้าม ( β )

mc- ค่ามัธยฐานลากไปด้านข้าง คจากมุมตรงข้าม ( γ )

ใน สามเหลี่ยมมุมฉาก ขาทั้งสองข้างน้อยกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก(สูตร 1 และ 2). คุณสมบัตินี้เป็นผลมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

โคไซน์ของมุมแหลมใดๆน้อยกว่าหนึ่ง (สูตร 3 และ 4) คุณสมบัตินี้ต่อจากคุณสมบัติก่อนหน้านี้ เนื่องจากขาใดขาหนึ่งน้อยกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก อัตราส่วนของขาต่อด้านตรงข้ามมุมฉากจึงน้อยกว่าหนึ่งเสมอ

กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) (สูตรที่ 5). คุณสมบัตินี้ถูกใช้อย่างต่อเนื่องในการแก้ปัญหา

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของขา (สูตร 6)

ผลรวมของค่ามัธยฐานกำลังสองถึงขาเท่ากับห้าสี่เหลี่ยมของค่ามัธยฐานของด้านตรงข้ามมุมฉากและห้าสี่เหลี่ยมของด้านตรงข้ามมุมฉากหารด้วยสี่ (สูตร 7) นอกจากที่กล่าวมาแล้วยังมี อีก 5 สูตรดังนั้น ขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับบทเรียน " ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมมุมฉาก" ซึ่งอธิบายคุณสมบัติของค่ามัธยฐานโดยละเอียดยิ่งขึ้น

ส่วนสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลคูณของขาหารด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก (สูตร 8)

สี่เหลี่ยมจัตุรัสของขาเป็นสัดส่วนผกผันกับกำลังสองของความสูงที่ลดลงถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก (สูตร 9) เอกลักษณ์นี้เป็นหนึ่งในผลที่ตามมาของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลาง (สองรัศมี) ของวงกลมที่ล้อมรอบ (สูตร 10) ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก คือ เส้นผ่านศูนย์กลางของเส้นรอบวง. คุณสมบัตินี้มักใช้ในการแก้ปัญหา

รัศมีที่จารึกไว้ใน สามเหลี่ยมมุมฉาก วงกลมสามารถหาได้เป็นครึ่งหนึ่งของนิพจน์ ซึ่งรวมถึงผลรวมของขาของสามเหลี่ยมนี้ ลบด้วยความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือเป็นผลคูณของขาหารด้วยผลรวมของทุกด้าน (ปริมณฑล) ของสามเหลี่ยมที่กำหนด (สูตร 11)
ไซน์ของมุม ตรงข้ามมุมนี้ ขาถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก(ตามนิยามของไซน์). (สูตร 12). คุณสมบัตินี้ใช้เมื่อแก้ปัญหา เมื่อทราบขนาดของด้านแล้ว คุณจะพบมุมที่เกิดขึ้นได้

โคไซน์ของมุม A (α, อัลฟา) ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับ ความสัมพันธ์ ที่อยู่ติดกันมุมนี้ ขาถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก(ตามนิยามของไซน์). (สูตร 13)

สามเหลี่ยม.

แนวคิดพื้นฐาน.

สามเหลี่ยม- นี่คือตัวเลขที่ประกอบด้วยสามส่วนและสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียว

ส่วนที่เรียกว่า ปาร์ตี้และจุด ยอด.

ผลรวมของมุมสามเหลี่ยมเท่ากับ 180 º

ความสูงของสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมสูงเป็นเส้นตั้งฉากจากจุดยอดไปด้านตรงข้าม

ในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ความสูงจะอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 1)

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ขาคือความสูงของสามเหลี่ยม (รูปที่ 2)

ในรูปสามเหลี่ยมป้าน ความสูงจะผ่านออกนอกสามเหลี่ยม (รูปที่ 3)

คุณสมบัติความสูงของสามเหลี่ยม:

แบ่งครึ่งของรูปสามเหลี่ยม

แบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม- นี่คือส่วนที่แบ่งครึ่งมุมของจุดยอดและเชื่อมต่อจุดยอดกับจุดที่อยู่ฝั่งตรงข้าม (รูปที่ 5)

คุณสมบัติ Bisector:

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม- นี่คือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดกับตรงกลางของฝั่งตรงข้าม (รูปที่ 9a)

ความยาวของค่ามัธยฐานสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร: 2ข 2 + 2ค 2 - เอ 2 ม 2 = —————— 4 ที่ไหน ม- ค่ามัธยฐานลากไปด้านข้าง แต่. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ค่ามัธยฐานที่วาดไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากคือครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก: ค mc = — 2 ที่ไหน mcเป็นค่ามัธยฐานของด้านตรงข้ามมุมฉาก ค(รูปที่ 9c) ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง (ที่จุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยม) และหารด้วยจุดนี้ในอัตราส่วน 2:1 นับจากด้านบน นั่นคือ ส่วนที่จากจุดยอดถึงกึ่งกลางเป็นส่วนสองเท่าจากจุดศูนย์กลางไปด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 9c) ค่ามัธยฐานสามของรูปสามเหลี่ยมแบ่งออกเป็นหกรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากัน

เส้นกลางของสามเหลี่ยม

เส้นกลางของสามเหลี่ยม- นี่คือส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของทั้งสองด้าน (รูปที่ 10)

เส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยมขนานกับด้านที่สามและเท่ากับครึ่งหนึ่งของมัน

มุมด้านนอกของรูปสามเหลี่ยม

มุมด้านนอกสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมภายในที่ไม่ติดกันสองมุม (รูปที่ 11)

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมมีค่ามากกว่ามุมที่ไม่อยู่ติดกันใดๆ

สามเหลี่ยมมุมฉาก.

สามเหลี่ยมมุมฉาก- นี่คือสามเหลี่ยมที่มีมุมฉาก (รูปที่ 12)

ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากตรงข้ามมุมฉากเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก.

อีกสองด้านเรียกว่า ขา.

ส่วนตามสัดส่วนในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

1) ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสูงที่ลากจากมุมฉากจะสร้างสามเหลี่ยมที่คล้ายกันสามรูป: ABC, ACH และ HCB (รูปที่ 14a) ดังนั้น มุมที่เกิดจากความสูงจึงเท่ากับมุม A และ B

รูปที่ 14a

สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

สามเหลี่ยมหน้าจั่ว- นี่คือสามเหลี่ยมที่มีสองด้านเท่ากัน (รูปที่ 13)

เรียกว่าด้านเท่ากันนี้ ข้างและที่สาม พื้นฐานสามเหลี่ยม.

ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมที่ฐานเท่ากัน (ในรูปสามเหลี่ยมของเรา มุม A เท่ากับมุม C)

ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ค่ามัธยฐานที่ลากไปที่ฐานจะเป็นทั้งเส้นแบ่งครึ่งและความสูงของสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมด้านเท่า

สามเหลี่ยมด้านเท่าคือสามเหลี่ยมที่ด้านทุกด้านเท่ากัน (รูปที่ 14)

คุณสมบัติของสามเหลี่ยมด้านเท่า:

คุณสมบัติเด่นของสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมมีคุณสมบัติดั้งเดิมที่จะช่วยให้คุณแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับรูปร่างเหล่านี้ได้สำเร็จ คุณสมบัติเหล่านี้บางส่วนได้ระบุไว้ข้างต้น แต่เราทำซ้ำอีกครั้งโดยเพิ่มคุณสมบัติที่ยอดเยี่ยมอีกสองสามอย่างให้กับพวกเขา:

1) ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม 90º, 30º และ 60º ขา ขนอนตรงข้ามมุม 30º เท่ากับ ครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก ขาเอ ขามากขึ้นข√3 ครั้ง (รูปที่ 15 แต่). ตัวอย่างเช่น ถ้าขาของ b เป็น 5 แล้วด้านตรงข้ามมุมฉาก คจำเป็นต้องเท่ากับ 10 และขา แต่เท่ากับ5√3 2) ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมฉากที่มีมุม90º, 45º และ 45º ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ √2 คูณขา (รูปที่ 15) ข). ตัวอย่างเช่น หากขาเป็น 5 ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 5√2 3) เส้นกลางของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านขนาน (รูปที่ 15 จาก). ตัวอย่างเช่น หากด้านของสามเหลี่ยมคือ 10 เส้นกึ่งกลางขนานกับมันคือ 5 4) ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ค่ามัธยฐานที่วาดไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก (รูปที่ 9c): mc= ค/2. 5) ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมที่ตัดกันที่จุดหนึ่ง หารด้วยจุดนี้ในอัตราส่วน 2:1 นั่นคือ ส่วนจากจุดยอดถึงจุดตัดของค่ามัธยฐานนั้นเป็นส่วนสองเท่าจากจุดตัดของค่ามัธยฐานไปยังด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 9c) 6) ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉากคือศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกล้อมรอบ (รูปที่ 15) d).

สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม.

สัญญาณแรกของความเท่าเทียมกัน: หากด้านสองด้านและมุมระหว่างทั้งสองข้างของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับสองด้านและมุมระหว่างพวกมันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากัน

สัญญาณที่สองของความเท่าเทียมกัน: หากด้านและมุมที่อยู่ติดกับมันของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับด้านและมุมที่อยู่ติดกับมันของอีกสามเหลี่ยมหนึ่ง สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากัน

เครื่องหมายที่สามของความเท่าเทียมกัน: หากด้านสามด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับสามด้านของอีกรูปหนึ่ง สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากันทุกประการ

ความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ แต่ละด้านจะน้อยกว่าผลรวมของอีกสองด้านที่เหลือ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา:

ค 2 = เอ 2 + ข 2 .

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

1) พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของด้านนั้นและส่วนสูงที่ลากมาด้านนี้:

อา
ส = ——
2

2) พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของสองด้านใด ๆ และไซน์ของมุมระหว่างพวกเขา:

1
ส = — เอบี · AC · บาป อา
2

สามเหลี่ยมล้อมรอบเป็นวงกลม

วงกลมเรียกว่าจารึกในรูปสามเหลี่ยมหากมันสัมผัสทุกด้านของมัน (รูปที่ 16 แต่).

สามเหลี่ยมจารึกไว้ในวงกลม

สามเหลี่ยมจะเรียกว่าจารึกในวงกลมถ้าสัมผัสกับจุดยอดทั้งหมด (รูปที่ 17 เอ).

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก (รูปที่ 18)

ไซนัสมุมแหลม x ตรงข้ามสายสวนไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก
ระบุเช่นนี้: บาปx.

โคไซน์มุมแหลม xสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วน ที่อยู่ติดกันสายสวนไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก
มันแสดงดังต่อไปนี้: cos x.

แทนเจนต์มุมแหลม xคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาข้างเคียง
แสดงเช่นนี้: tgx.

โคแทนเจนต์มุมแหลม xคืออัตราส่วนของขาข้างเคียงกับขาตรงข้าม
แสดงเช่นนี้: ctgx.

กฎ:

ขาตรงข้ามมุม x, เท่ากับผลคูณของด้านตรงข้ามมุมฉากและบาป x:

b=cบาป x

ขาติดกับมุม x, เท่ากับผลคูณของด้านตรงข้ามมุมฉากและ cos x:

ก = ค cos x

ขาตรงข้ามมุม xเท่ากับผลคูณของเลกที่สองและ tg x:

ข = เป็ tg x

ขาติดกับมุม xเท่ากับผลคูณของขาที่สองและ ctg x:

ก = ข ctg x.

สำหรับมุมแหลมใด ๆ x:

บาป (90° - x) = cos x

คอส (90° - x) = บาป x

(เอบีซี)และคุณสมบัติของมันซึ่งแสดงในรูป สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากด้านตรงข้ามมุมฉาก

เคล็ดลับ 1: วิธีหาความสูงในสามเหลี่ยมมุมฉาก

ด้านที่เป็นมุมฉากเรียกว่าขา วาดด้านข้าง AD, DC และ BD, DC- ขาและข้าง ACและ SW- ด้านตรงข้ามมุมฉาก

ทฤษฎีบทที่ 1 ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม 30° ขาที่อยู่ตรงข้ามกับมุมนี้จะฉีกครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก

hC

AB- ด้านตรงข้ามมุมฉาก;

ADและ DB

สามเหลี่ยม
มีทฤษฎีบท:
ระบบแสดงความคิดเห็น CACKLอี

วิธีแก้ไข: 1) เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าใดๆ เท่ากัน จริง 2) หากมีมุมแหลมหนึ่งมุมในสามเหลี่ยม ไม่จริง. ประเภทของสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมเรียกว่ามุมแหลม ถ้ามุมทั้งสามของมันเป็นมุมแหลม นั่นคือน้อยกว่า 90 ° 3) หากจุดอยู่บน

หรือในอีกรายการหนึ่ง

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ความสูงในสูตรสามเหลี่ยมมุมฉากคือเท่าไหร่

ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากสามารถพบได้ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ขึ้นอยู่กับข้อมูลในข้อความแจ้งปัญหา

หรือในอีกรายการหนึ่ง

โดยที่ BK และ KC เป็นเส้นโครงของขาบนด้านตรงข้ามมุมฉาก (ส่วนที่ระดับความสูงแบ่งด้านตรงข้ามมุมฉาก)

ระดับความสูงที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากสามารถพบได้ผ่านพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก หากเราใช้สูตรการหาพื้นที่สามเหลี่ยม

(ครึ่งหนึ่งของผลคูณของด้านหนึ่งและความสูงที่ลากมาด้านนี้) ถึงด้านตรงข้ามมุมฉากและความสูงที่วาดไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก เราได้:

จากที่นี่ เราสามารถหาความสูงเป็นอัตราส่วนสองเท่าของพื้นที่สามเหลี่ยมต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก:

เนื่องจากพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของขา:

นั่นคือ ความยาวของความสูงที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นเท่ากับอัตราส่วนของผลิตภัณฑ์ของขาต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก หากเราแทนความยาวของขาผ่าน a และ b ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากผ่าน c สูตรสามารถเขียนใหม่ได้เป็น

เนื่องจากรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก ความยาวของความสูงสามารถแสดงในรูปของขาและรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ:

เนื่องจากความสูงที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากทำให้เกิดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากอีกสองรูป ดังนั้นความยาวของมันจึงสามารถหาได้จากอัตราส่วนในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากสามเหลี่ยมมุมฉากABK

จากสามเหลี่ยมมุมฉาก ACK

ความยาวของความสูงของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสามารถแสดงเป็นความยาวของขาได้ เพราะ

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ถ้าเรายกกำลังสองข้างของสมการ:

คุณสามารถหาสูตรที่เกี่ยวข้องกับความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากกับขาอื่นได้:

ความสูงในสูตรสามเหลี่ยมมุมฉากคือเท่าไหร่

สามเหลี่ยมมุมฉาก. ระดับกลาง.

คุณต้องการทดสอบจุดแข็งของคุณและค้นหาผลลัพธ์ว่าคุณพร้อมสำหรับการสอบ Unified State หรือ OGE แค่ไหน?

ทฤษฎีบทสามเหลี่ยมมุมฉากหลักคือทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

อ้อ ยังจำได้ไหมว่าขาและด้านตรงข้ามมุมฉากคืออะไร? ถ้าไม่เช่นนั้นให้ดูภาพ - รีเฟรชความรู้ของคุณ

เป็นไปได้ว่าคุณเคยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาหลายครั้งแล้ว แต่คุณเคยสงสัยไหมว่าทำไมทฤษฎีบทดังกล่าวถึงเป็นจริง คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไร? มาทำเหมือนชาวกรีกโบราณกันเถอะ ลองวาดสี่เหลี่ยมที่มีด้าน

คุณเห็นว่าเราแบ่งด้านของมันออกเป็นส่วน ๆ ของความยาวได้อย่างไรและ!

ตอนนี้มาเชื่อมต่อจุดที่ทำเครื่องหมายไว้

อย่างไรก็ตามที่นี่เราสังเกตเห็นอย่างอื่น แต่คุณดูภาพและคิดว่าทำไม

สี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่มีพื้นที่เท่าไร? ใช่ไหม, . แล้วพื้นที่ที่เล็กกว่าล่ะ? แน่นอน, . พื้นที่ทั้งหมดของมุมทั้งสี่ยังคงอยู่ ลองนึกภาพว่าเราเอาสองตัวมาพิงกันด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก เกิดอะไรขึ้น? สองสี่เหลี่ยม ดังนั้นพื้นที่ของ "การตัด" จึงเท่ากัน

มารวมกันตอนนี้เลย

ดังนั้นเราจึงไปเยี่ยมชมพีทาโกรัส - เราพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาในสมัยโบราณ

สามเหลี่ยมมุมฉากกับตรีโกณมิติ

สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ถือเป็น:

ไซน์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนเจนต์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน

โคแทนเจนต์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับขาตรงข้าม

และอีกครั้ง ทั้งหมดนี้อยู่ในรูปของจาน:

คุณสังเกตเห็นสิ่งหนึ่งที่มีประโยชน์มากหรือไม่? ดูจานอย่างระมัดระวัง

สะดวกมาก!

เครื่องหมายความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ครั้งที่สอง ตามขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก

สาม. โดยด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม

IV. ตามขาและมุมแหลม

ความสนใจ! นี่เป็นสิ่งสำคัญมากที่ขาจะ "สอดคล้อง" ตัวอย่างเช่น ถ้ามันขึ้นแบบนี้:

แล้วสามเหลี่ยมก็ไม่เท่ากันแม้ว่าจะมีมุมแหลมที่เหมือนกันเพียงมุมเดียว

จำเป็นต้อง ในรูปสามเหลี่ยมทั้งสองขาอยู่ติดกันหรือทั้งสอง - ตรงข้าม.

คุณเคยสังเกตหรือไม่ว่าเครื่องหมายความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉากแตกต่างจากเครื่องหมายปกติของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมหรือไม่? ดูหัวข้อ "สามเหลี่ยม" และให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าเพื่อความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม "ธรรมดา" คุณต้องมีความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบทั้งสาม: สองด้านและมุมระหว่างพวกเขา สองมุมและด้านระหว่างพวกเขา หรือสามด้าน แต่เพื่อความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก มีเพียงสององค์ประกอบที่สอดคล้องกันเท่านั้นก็เพียงพอแล้ว มันเยี่ยมมากใช่มั้ย?

ประมาณสถานการณ์เดียวกันกับสัญญาณของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สัญญาณความคล้ายคลึงของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สาม. ตามขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก

ค่ามัธยฐานในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

พิจารณาสี่เหลี่ยมทั้งหมดแทนที่จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

วาดเส้นทแยงมุมและพิจารณาจุดที่เส้นทแยงมุมตัดกัน คุณรู้อะไรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าบ้าง?

จุดตัดในแนวทแยง ผ่าครึ่ง เส้นทแยงมุมเท่ากัน

และจากนี้ไปจะเป็นอย่างไร

มันเลยเกิดขึ้นว่า

จำข้อเท็จจริงนี้ไว้! ช่วยได้เยอะ!

ที่น่าประหลาดใจไปกว่านั้นก็คือ บทสนทนานั้นก็เป็นความจริงเช่นกัน

ได้อะไรที่ดีจากการที่ค่ามัธยฐานที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก? มาดูรูปกันจ้า

มองดูดีๆ. เรามี: นั่นคือระยะทางจากจุดไปยังจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมกลับกลายเป็นว่าเท่ากัน แต่ในรูปสามเหลี่ยมมีจุดเดียว ระยะทางจากจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยมนั้นเท่ากัน และนี่คือจุดศูนย์กลางของวงจรที่อธิบายไว้ แล้วเกิดอะไรขึ้น?

เรามาเริ่มกันที่ "นอกจากนี้ ".

แต่ในรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันทุกมุมเท่ากัน!

เดียวกันสามารถพูดเกี่ยวกับและ

ทีนี้มาวาดกัน:

ทั้งสองมีมุมคมเหมือนกัน!

สามารถใช้อะไรได้บ้างจากความคล้ายคลึงกัน "สามประการ" นี้

ตัวอย่างเช่น - สองสูตรสำหรับความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉาก

เราเขียนความสัมพันธ์ของฝ่ายที่เกี่ยวข้อง:

ในการหาความสูง ให้แก้สัดส่วนแล้วได้ สูตรแรก "ความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก":

จะรับอันที่สองได้อย่างไร?

และตอนนี้เราใช้ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมและ

ลองใช้ความคล้ายคลึงกัน:

จะเกิดอะไรขึ้นตอนนี้?

อีกครั้งเราแก้สัดส่วนและรับสูตรที่สอง "ความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก":

ทั้งสองสูตรนี้ต้องจำไว้ให้ดีและสูตรไหนสะดวกกว่ากัน มาเขียนมันลงไปอีกครั้ง

ทีนี้ การนำความรู้นี้ไปประยุกต์ใช้ร่วมกับผู้อื่น คุณจะแก้ปัญหาด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากได้!

ความคิดเห็น

อนุญาตให้แจกจ่ายวัสดุโดยไม่ได้รับการอนุมัติหากมีลิงก์ dofollow ไปยังหน้าแหล่งที่มา

นโยบายความเป็นส่วนตัว

ความเป็นส่วนตัวของคุณมีความสำคัญต่อเรา ด้วยเหตุผลนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุตัวบุคคลหรือติดต่อเขาได้

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเมื่อใดก็ได้เมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เรารวบรวม:

เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ ของคุณ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและข้อความที่สำคัญถึงคุณ เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เราให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ

สมบัติความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากตกลงไปที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก

หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายคลึงกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้มาเพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณไปยังบุคคลที่สาม

ในกรณีที่มีความจำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาล ในกระบวนการทางกฎหมาย และ / หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณด้วย หากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ด้านสาธารณประโยชน์อื่นๆ ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การปกป้องข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมทั้งการบริหาร เทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้ในทางที่ผิด ตลอดจนจากการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

รักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราแจ้งหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

ขอบคุณสำหรับข้อความ!

ความคิดเห็นของคุณได้รับการยอมรับแล้ว หลังจากการกลั่นกรองแล้ว ความคิดเห็นของคุณจะถูกเผยแพร่ในหน้านี้

คุณต้องการที่จะรู้ว่าสิ่งที่ซ่อนอยู่ภายใต้การตัดและรับวัสดุพิเศษในการเตรียมการสำหรับ OGE และการใช้งาน? ทิ้งอีเมล

คุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก

พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก (เอบีซี)และคุณสมบัติของมันซึ่งแสดงในรูป สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านที่เป็นมุมฉากเรียกว่าขา วาดด้านข้าง AD, DC และ BD, DC- ขาและข้าง ACและ SW- ด้านตรงข้ามมุมฉาก

สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

ทฤษฎีบทที่ 1 หากด้านตรงข้ามมุมฉากและขาของสามเหลี่ยมมุมฉากคล้ายกับด้านตรงข้ามมุมฉากและขาของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากัน

ทฤษฎีบทที่ 2 หากสองขาของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับสองขาของอีกสามเหลี่ยมหนึ่ง สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากันทุกประการ

ทฤษฎีบทที่ 3 หากด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคล้ายกับด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากัน

ทฤษฎีบทที่ 4 หากขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกัน (ตรงข้าม) ของสามเหลี่ยมมุมฉากมีค่าเท่ากับขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกัน (ตรงข้าม) ของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากัน

คุณสมบัติของขาตรงข้ามมุม 30 °:

ทฤษฎีบทที่ 1

ความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม 30° ขาที่อยู่ตรงข้ามกับมุมนี้จะฉีกครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก

ทฤษฎีบทที่ 2 ถ้าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ขาเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก แล้วมุมตรงข้ามจะเป็น 30°

หากความสูงดึงจากจุดยอดของมุมฉากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก สามเหลี่ยมดังกล่าวจะถูกแบ่งออกเป็นสองอันที่เล็กกว่า คล้ายกับส่วนขาออกและคล้ายกันอีกอันหนึ่ง ข้อสรุปต่อไปนี้ติดตามจากนี้:

1. ความสูงคือค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (สัดส่วนเฉลี่ย) ของด้านตรงข้ามมุมฉากทั้งสองส่วน
2. ขาแต่ละข้างของสามเหลี่ยมเป็นสัดส่วนเฉลี่ยกับด้านตรงข้ามมุมฉากและส่วนที่อยู่ติดกัน

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ขาทำหน้าที่เป็นส่วนสูง orthocenter คือจุดที่ความสูงของสามเหลี่ยมตัดกัน ตรงกับส่วนบนของมุมฉากของรูป

hC- ความสูงที่ออกมาจากมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม

AB- ด้านตรงข้ามมุมฉาก;

ADและ DB- ส่วนที่เกิดขึ้นเมื่อหารด้านตรงข้ามมุมฉากด้วยความสูง.

กลับไปดูอ้างอิงในสาขาวิชา "เรขาคณิต"

สามเหลี่ยมเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยจุดสามจุด (จุดยอด) ที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและมีสามส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดเหล่านี้ สามเหลี่ยมมุมฉากคือสามเหลี่ยมที่มีมุม 90° มุมใดมุมหนึ่ง (มุมฉาก)
มีทฤษฎีบท:ผลรวมของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 90°
ระบบแสดงความคิดเห็น CACKLอี

คำสำคัญ:สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ขา ด้านตรงข้ามมุมฉาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัส วงกลม

สามเหลี่ยมที่เรียกว่า สี่เหลี่ยมหากมีมุมฉาก
สามเหลี่ยมมุมฉากมีสองด้านตั้งฉากกันเรียกว่า ขา; ด้านที่สามเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก

• ตามคุณสมบัติของด้านตรงข้ามมุมฉากตั้งฉากและเฉียง ขาแต่ละข้างจะยาวกว่า (แต่น้อยกว่าผลรวมของขาทั้งสองข้าง)
• ผลรวมของมุมแหลมสองมุมของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับมุมฉาก
• สามเหลี่ยมมุมฉากสูงสองส่วนตรงกับขาของมัน ดังนั้น หนึ่งในสี่จุดที่น่าทึ่งจึงอยู่บนจุดยอดของมุมฉากของสามเหลี่ยม
• จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบของสามเหลี่ยมมุมฉากอยู่ที่จุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉาก
• ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากจากจุดยอดของมุมฉากถึงด้านตรงข้ามมุมฉากคือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมนี้

พิจารณา ABC สามเหลี่ยมมุมฉากตามอำเภอใจแล้ววาดความสูง CD = hc จากจุดยอด C ของมุมฉาก

มันจะแยกสามเหลี่ยมที่กำหนดออกเป็นสองสามเหลี่ยมมุมฉาก ACD และ BCD; สามเหลี่ยมแต่ละรูปเหล่านี้มีมุมแหลมร่วมกับสามเหลี่ยม ABC ดังนั้นจึงคล้ายกับสามเหลี่ยม ABC

สามเหลี่ยมทั้งสาม ABC, ACD และ BCD มีความคล้ายคลึงกัน

จากความคล้ายคลึงของรูปสามเหลี่ยม ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ถูกกำหนด:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• c = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตแบบยุคลิด ซึ่งสร้างความสัมพันธ์ระหว่างด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้อยคำทางเรขาคณิตในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างบนขา

สูตรพีชคณิตในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา
นั่นคือแสดงความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมผ่าน c และความยาวของขาผ่าน a และ b:
a2 + b2 = c2

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสผกผัน

ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สำหรับจำนวนบวกสามเท่า a, b และ c เช่นนั้น
a2 + b2 = c2,
มีสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา a และ b และด้านตรงข้ามมุมฉาก c

สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

• ตามขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก
• บนสองขา
• ตามขาและมุมแหลม
• ด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม

ดูสิ่งนี้ด้วย:
พื้นที่สามเหลี่ยม สามเหลี่ยมหน้าจั่ว สามเหลี่ยมด้านเท่า

เรขาคณิต. 8 ระดับ. ทดสอบ 4. ตัวเลือก 1 .

AD : ซีดี=ซีดี : วท.บ. ดังนั้น CD2 = AD ∙ วท.บ. พวกเขาพูดว่า:

AD : AC=AC : เอบี. ดังนั้น AC2 = AB ∙ โฆษณา พวกเขาพูดว่า:

BD : BC=BC : เอบี. ดังนั้น BC2 = AB ∙ วท.บ.

แก้ปัญหา:

1.

ก) 70 ซม. ข) 55 ซม. ค) 65 ซม. ง) 45 ซม. จ) 53 ซม.

2. ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากไปที่ด้านตรงข้ามมุมฉากแบ่งด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นส่วนที่ 9 และ 36

กำหนดความยาวของความสูงนี้

ก) 22,5; ข) 19; ค) 9; ง) 12; จ) 18.

4.

ก) 30,25; ข) 24,5; ค) 18,45; ง) 32; จ) 32,25.

5.

ก) 25; ข) 24; ค) 27; ง) 26; จ) 21.

6.

ก) 8; ข) 7; ค) 6; ง) 5; จ) 4.

7.

8. ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 30

จะหาความสูงในสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างไร?

จงหาระยะทางจากจุดยอดของมุมฉากถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก ถ้ารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมนี้เท่ากับ 17

ก) 17; ข) 16; ค) 15; ง) 14; จ) 12.

10.

ก) 15; ข) 18; ค) 20; ง) 16; จ) 12.

ก) 80; ข) 72; ค) 64; ง) 81; จ) 75.

12.

ก) 7,5; ข) 8; ค) 6,25; ง) 8,5; จ) 7.

ตรวจคำตอบ!

G8.04.1. ส่วนสัดส่วนในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

เรขาคณิต. 8 ระดับ. ทดสอบ 4. ตัวเลือก 1 .

ใน Δ ABC ∠ACV = 90° ขา AC และ BC, ด้านตรงข้ามมุมฉาก AB

CD คือความสูงของสามเหลี่ยมที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก

การฉาย AD ของขา AC บนด้านตรงข้ามมุมฉาก

การฉายภาพ BD ของขา BC บนด้านตรงข้ามมุมฉาก

ซีดีระดับความสูงแบ่งสามเหลี่ยม ABC ออกเป็นสองสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน (และซึ่งกันและกัน): Δ ADC และ Δ CDB

จากสัดส่วนของด้านที่คล้ายกัน Δ ADC และ Δ CDB จะมีลักษณะดังนี้:

AD : ซีดี=ซีดี : วท.บ.

คุณสมบัติของความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากตกอยู่ที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก

ดังนั้น CD2 = AD ∙ วท.บ. พวกเขาพูดว่า: ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากไปที่ด้านตรงข้ามมุมฉากคือค่าสัดส่วนเฉลี่ยระหว่างส่วนยื่นของขาด้านตรงข้ามมุมฉาก

จากความคล้ายคลึงกันของ Δ ADC และ Δ ACB เป็นดังนี้:

AD : AC=AC : เอบี. ดังนั้น AC2 = AB ∙ โฆษณา พวกเขาพูดว่า: แต่ละขาคือค่าสัดส่วนเฉลี่ยระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากทั้งหมดกับการฉายภาพของขานี้บนด้านตรงข้ามมุมฉาก

จากความคล้ายคลึงกันของ Δ CDB และ Δ ACB เป็นดังนี้:

BD : BC=BC : เอบี. ดังนั้น BC2 = AB ∙ วท.บ.

แก้ปัญหา:

1. จงหาความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากไปที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก หากมันแบ่งด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นส่วนๆ 25 ซม. และ 81 ซม.

ก) 70 ซม. ข) 55 ซม. ค) 65 ซม. ง) 45 ซม. จ) 53 ซม.

2. ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากไปที่ด้านตรงข้ามมุมฉากแบ่งด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นส่วนที่ 9 และ 36 กำหนดความยาวของความสูงนี้

ก) 22,5; ข) 19; ค) 9; ง) 12; จ) 18.

4. ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากไปที่ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 22 การฉายภาพของขาข้างหนึ่งคือ 16 หาเส้นโครงของขาอีกข้าง

ก) 30,25; ข) 24,5; ค) 18,45; ง) 32; จ) 32,25.

5. ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 18 และเส้นโครงบนด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 12 หาด้านตรงข้ามมุมฉาก

ก) 25; ข) 24; ค) 27; ง) 26; จ) 21.

6. ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 32. หาขาที่มีส่วนยื่นของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 2

ก) 8; ข) 7; ค) 6; ง) 5; จ) 4.

7. ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 45. หาขาที่มีเส้นโครงบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 9

8. ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 30 จงหาระยะทางจากจุดยอดของมุมฉากถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก ถ้ารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมนี้คือ 17

ก) 17; ข) 16; ค) 15; ง) 14; จ) 12.

10. ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 41 และการฉายภาพของขาข้างหนึ่งคือ 16 หาความยาวของความสูงที่ลากจากจุดยอดของมุมฉากถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก

ก) 15; ข) 18; ค) 20; ง) 16; จ) 12.

ก) 80; ข) 72; ค) 64; ง) 81; จ) 75.

12. ความแตกต่างในการคาดคะเนของขาบนด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 15 และระยะห่างจากจุดยอดของมุมฉากถึงด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 4 หารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

ก) 7,5; ข) 8; ค) 6,25; ง) 8,5; จ) 7.

อันที่จริงทุกอย่างไม่ได้น่ากลัวเลย แน่นอน คำจำกัดความ "ของจริง" ของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ควรได้รับการพิจารณาในบทความ แต่คุณไม่ต้องการจริงๆ ใช่ไหม เราสามารถชื่นชมยินดี: ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณสามารถกรอกข้อมูลง่ายๆ ต่อไปนี้:

แล้วมุมล่ะ? มีขาที่อยู่ตรงข้ามมุมนั่นคือขาตรงข้าม (สำหรับมุม) หรือไม่? มีแน่นอน! นี่คือสายสวน!

แต่แล้วมุมล่ะ? มองดูดีๆ. ขาไหนอยู่ติดกับมุม? แน่นอนว่าแมว ดังนั้น สำหรับมุม ขาอยู่ชิดกัน และ

และตอนนี้ให้ความสนใจ! ดูสิ่งที่เราได้รับ:

ดูว่ามันยอดเยี่ยมแค่ไหน:

ทีนี้มาดูแทนเจนต์และโคแทนเจนต์กัน

ตอนนี้จะเขียนเป็นคำพูดได้อย่างไร? ขาเทียบกับมุมคืออะไร? ตรงข้ามแน่นอน - มัน "โกหก" ตรงข้ามกับมุม และสายสวน? ติดตรงหัวมุม. แล้วเราได้อะไร?

ดูว่าตัวเศษและตัวส่วนกลับกันอย่างไร?

และตอนนี้มุมและทำการแลกเปลี่ยนอีกครั้ง:

สรุป

มาเขียนสิ่งที่เราได้เรียนรู้โดยสังเขปกัน

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ทฤษฎีบทสามเหลี่ยมมุมฉากหลักคือทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

อ้อ ยังจำได้ไหมว่าขาและด้านตรงข้ามมุมฉากคืออะไร? ถ้าไม่เช่นนั้นให้ดูภาพ - รีเฟรชความรู้ของคุณ

เป็นไปได้ว่าคุณเคยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาหลายครั้งแล้ว แต่คุณเคยสงสัยไหมว่าทำไมทฤษฎีบทดังกล่าวถึงเป็นจริง คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไร? มาทำเหมือนชาวกรีกโบราณกันเถอะ ลองวาดสี่เหลี่ยมที่มีด้าน

คุณเห็นว่าเราแบ่งด้านของมันออกเป็นส่วน ๆ ของความยาวได้อย่างไรและ!

ตอนนี้มาเชื่อมต่อจุดที่ทำเครื่องหมายไว้

อย่างไรก็ตามที่นี่เราสังเกตเห็นอย่างอื่น แต่คุณดูภาพและคิดว่าทำไม

สี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่มีพื้นที่เท่าไร?

ใช่ไหม, .

แล้วพื้นที่ที่เล็กกว่าล่ะ?

แน่นอน, .

พื้นที่ทั้งหมดของมุมทั้งสี่ยังคงอยู่ ลองนึกภาพว่าเราเอาสองตัวมาพิงกันด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก

เกิดอะไรขึ้น? สองสี่เหลี่ยม ดังนั้นพื้นที่ของ "การตัด" จึงเท่ากัน

มารวมกันตอนนี้เลย

มาแปลงร่างกันเถอะ:

ดังนั้นเราจึงไปเยี่ยมชมพีทาโกรัส - เราพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาในสมัยโบราณ

สามเหลี่ยมมุมฉากกับตรีโกณมิติ

สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ถือเป็น:

ไซน์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนเจนต์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน

โคแทนเจนต์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับขาตรงข้าม

และอีกครั้ง ทั้งหมดนี้อยู่ในรูปของจาน:

สะดวกมาก!

เครื่องหมายความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

I. สองขา

ครั้งที่สอง ตามขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก

สาม. โดยด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม

IV. ตามขาและมุมแหลม

ก)

ข)

ความสนใจ! นี่เป็นสิ่งสำคัญมากที่ขาจะ "สอดคล้อง" ตัวอย่างเช่น ถ้ามันขึ้นแบบนี้:

แล้วสามเหลี่ยมก็ไม่เท่ากันแม้ว่าจะมีมุมแหลมที่เหมือนกันเพียงมุมเดียว

จำเป็นต้อง ในรูปสามเหลี่ยมทั้งสองขาอยู่ติดกันหรือทั้งสอง - ตรงข้าม.

คุณเคยสังเกตหรือไม่ว่าเครื่องหมายความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉากแตกต่างจากเครื่องหมายปกติของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมหรือไม่?

ดูหัวข้อ "และให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าสำหรับความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม "ธรรมดา" คุณต้องมีความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบทั้งสาม: สองด้านและมุมระหว่างพวกเขา สองมุมและด้านระหว่างพวกเขาหรือสามด้าน

แต่เพื่อความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก มีเพียงสององค์ประกอบที่สอดคล้องกันเท่านั้นก็เพียงพอแล้ว มันเยี่ยมมากใช่มั้ย?

ประมาณสถานการณ์เดียวกันกับสัญญาณของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สัญญาณความคล้ายคลึงของสามเหลี่ยมมุมฉาก

I. มุมเฉียบพลัน

ครั้งที่สอง สองขา

สาม. ตามขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก

ค่ามัธยฐานในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ทำไมจึงเป็นเช่นนั้น?

พิจารณาสี่เหลี่ยมทั้งหมดแทนที่จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

ลองวาดเส้นทแยงมุมแล้วพิจารณาจุด - จุดตัดของเส้นทแยงมุม คุณรู้อะไรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าบ้าง?

และจากนี้ไปจะเป็นอย่างไร

มันเลยเกิดขึ้นว่า

1. - ค่ามัธยฐาน:

จำข้อเท็จจริงนี้ไว้! ช่วยได้เยอะ!

ที่น่าประหลาดใจไปกว่านั้นก็คือ บทสนทนานั้นก็เป็นความจริงเช่นกัน

ได้อะไรที่ดีจากการที่ค่ามัธยฐานที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก? มาดูรูปกันจ้า

มองดูดีๆ. เรามี: นั่นคือระยะทางจากจุดไปยังจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมกลับกลายเป็นว่าเท่ากัน แต่ในรูปสามเหลี่ยมมีจุดเดียว ระยะทางจากจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยมนั้นเท่ากัน และนี่คือจุดศูนย์กลางของวงจรที่อธิบายไว้ แล้วเกิดอะไรขึ้น?

เริ่มจาก "นอกจาก..." นี้ก่อน

ลองดูที่ไอ

แต่ในรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันทุกมุมเท่ากัน!

เดียวกันสามารถพูดเกี่ยวกับและ

ทีนี้มาวาดกัน:

สามารถใช้อะไรได้บ้างจากความคล้ายคลึงกัน "สามประการ" นี้

ตัวอย่างเช่น - สองสูตรสำหรับความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉาก

เราเขียนความสัมพันธ์ของฝ่ายที่เกี่ยวข้อง:

ในการหาความสูง ให้แก้สัดส่วนแล้วได้ สูตรแรก "ความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก":

ทีนี้ การนำความรู้นี้ไปประยุกต์ใช้ร่วมกับผู้อื่น คุณจะแก้ปัญหาด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากได้!

ลองใช้ความคล้ายคลึงกัน:

จะเกิดอะไรขึ้นตอนนี้?

อีกครั้งเราแก้สัดส่วนและรับสูตรที่สอง:

ทั้งสองสูตรนี้ต้องจำไว้ให้ดีและสูตรไหนสะดวกกว่ากัน

มาเขียนมันลงไปอีกครั้ง

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา:.

สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

• บนสองขา:
• ตามขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก: หรือ
• ตามขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกัน: หรือ
• ตามขาและมุมแหลมตรงข้าม: หรือ
• โดยด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม: หรือ.

สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

• มุมคมหนึ่ง: หรือ
• จากสัดส่วนของขาทั้งสองข้าง:
• จากสัดส่วนของขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก: หรือ

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

• ไซน์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก:
• โคไซน์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก:
• แทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน:
• โคแทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับด้านตรงข้าม:

ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉาก: หรือ

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ค่ามัธยฐานที่ลากจากจุดยอดของมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก: .

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

• ผ่านสายสวน:

ทรัพย์สิน: 1.ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ระดับความสูงที่ลดลงจากมุมฉาก (ถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก) จะแบ่งสามเหลี่ยมมุมฉากออกเป็นสามเหลี่ยมที่คล้ายกันสามรูป

ทรัพย์สิน: 2.ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลดระดับลงไปที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของขาที่ยื่นต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

ทรัพย์สิน: 3.ขาเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของด้านตรงข้ามมุมฉากและการฉายภาพของขานี้ลงบนด้านตรงข้ามมุมฉาก

ทรัพย์สิน: 4.ขาทำมุม 30 องศา เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก

สูตร 1.

สูตรที่ 2ด้านตรงข้ามมุมฉากอยู่ที่ไหน , รองเท้าสเก็ต

ทรัพย์สิน: 5.ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ค่ามัธยฐานที่วาดไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งและเท่ากับรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

คุณสมบัติ: 6. การพึ่งพากันระหว่างด้านและมุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

44. ทฤษฎีบทโคไซน์ ผลที่ตามมา: การเชื่อมต่อระหว่างเส้นทแยงมุมและด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านขนาน กำหนดประเภทของสามเหลี่ยม สูตรคำนวณความยาวของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม การคำนวณโคไซน์ของมุมของสามเหลี่ยม

สิ้นสุดการทำงาน -

หัวข้อนี้เป็นของ:

ระดับ. โปรแกรมของ Colloquium Fundamentals of Planimetry

คุณสมบัติของมุมประชิด.. นิยามของมุมสองมุมอยู่ชิดกัน ถ้าด้านหนึ่งมีมุมร่วมกันในอีกสองมุมเป็นเส้นตรง..

หากคุณต้องการเนื้อหาเพิ่มเติมในหัวข้อนี้ หรือคุณไม่พบสิ่งที่คุณกำลังมองหา เราขอแนะนำให้ใช้การค้นหาในฐานข้อมูลผลงานของเรา:

เราจะทำอย่างไรกับวัสดุที่ได้รับ:

หากเนื้อหานี้มีประโยชน์สำหรับคุณ คุณสามารถบันทึกลงในเพจของคุณบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก: