การเพิ่มตัวอย่างรากที่เหมือนกัน วิธีการบวกรากที่สอง

การบวกและการลบราก- หนึ่งใน "สิ่งกีดขวาง" ที่พบบ่อยที่สุดสำหรับผู้ที่เรียนวิชาคณิตศาสตร์ (พีชคณิต) ในโรงเรียนมัธยม อย่างไรก็ตาม การเรียนรู้วิธีการบวกและลบอย่างถูกต้องเป็นสิ่งสำคัญมาก เนื่องจากตัวอย่างสำหรับผลรวมหรือความแตกต่างของรากจะรวมอยู่ในโปรแกรมของการสอบ Unified State ขั้นพื้นฐานในสาขาวิชา "คณิตศาสตร์"

เพื่อที่จะเชี่ยวชาญในการแก้ปัญหาของตัวอย่างดังกล่าว คุณต้องมีสองสิ่ง - เพื่อให้เข้าใจกฎเกณฑ์เช่นเดียวกับการฝึกฝน หลังจากแก้ไขตัวอย่างทั่วไปแล้วหนึ่งหรือสองโหล นักเรียนจะนำทักษะนี้ไปสู่การทำงานอัตโนมัติ จากนั้นเขาจะไม่มีอะไรต้องกลัวในการสอบ ขอแนะนำให้เริ่มต้นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างเชี่ยวชาญด้วยการบวก เนื่องจากการเพิ่มนั้นง่ายกว่าการลบเล็กน้อย

รูตคืออะไร

วิธีที่ง่ายที่สุดในการอธิบายสิ่งนี้คือการใช้ตัวอย่างรากที่สอง ในวิชาคณิตศาสตร์มีคำว่า "สี่เหลี่ยม" ที่มั่นคง “สี่เหลี่ยม” หมายถึง การคูณจำนวนเฉพาะด้วยตัวมันเองครั้งเดียว. ตัวอย่างเช่น หากคุณยกกำลัง 2 คุณจะได้ 4 หากคุณยกกำลังสอง 7 คุณจะได้ 49 ยกกำลังสองของ 9 คือ 81 ดังนั้นสแควร์รูทของ 4 คือ 2 ของ 49 คือ 7 และของ 81 คือ 9

ตามกฎแล้ว การสอนหัวข้อนี้ในวิชาคณิตศาสตร์จะเริ่มต้นด้วยรากที่สอง เพื่อที่จะตัดสินได้ทันที นักเรียนมัธยมปลายต้องรู้ตารางสูตรคูณด้วยใจ ส่วนใครที่ไม่รู้จักตารางนี้ดีพอต้องใช้คำใบ้ โดยปกติกระบวนการแยกรากที่สองออกจากตัวเลขจะได้รับในรูปแบบของตารางบนหน้าปกของสมุดบันทึกของโรงเรียนจำนวนมากในวิชาคณิตศาสตร์

รากเป็นประเภทต่อไปนี้:

สี่เหลี่ยม;
ลูกบาศก์ (หรือระดับที่สามที่เรียกว่า);
ระดับที่สี่;
องศาที่ห้า

กฎการเพิ่ม

เพื่อที่จะแก้ปัญหาตัวอย่างทั่วไปได้สำเร็จ ต้องคำนึงว่าไม่ใช่ตัวเลขรูททั้งหมด สามารถวางซ้อนกันได้. เพื่อให้สามารถนำมารวมกันได้จะต้องนำมาเป็นแบบเดียว หากไม่สามารถทำได้แสดงว่าปัญหาไม่มีวิธีแก้ไข ปัญหาดังกล่าวมักพบในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์เพื่อเป็นกับดักสำหรับนักเรียน

ไม่อนุญาตให้เพิ่มในการมอบหมายเมื่อนิพจน์รากแตกต่างจากกัน สิ่งนี้สามารถอธิบายได้ด้วยตัวอย่าง:

นักเรียนต้องเผชิญกับภารกิจ: การเพิ่มสแควร์รูทของ 4 และ 9;
นักเรียนที่ไม่มีประสบการณ์ซึ่งไม่ทราบกฎมักจะเขียนว่า: "รากของ 4 + รากของ 9 \u003d รากของ 13"
มันง่ายมากที่จะพิสูจน์ว่าวิธีแก้ปัญหานี้ผิด ในการทำเช่นนี้ คุณต้องหารากที่สองของ 13 และตรวจสอบว่าตัวอย่างได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้องหรือไม่
โดยใช้ไมโครเครื่องคิดเลข คุณสามารถระบุได้ว่ามีค่าประมาณ 3.6 ตอนนี้ยังคงตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา
รากของ 4=2 และ 9=3;
ผลรวมของสองและสามคือห้า ดังนั้นอัลกอริธึมโซลูชันนี้จึงถือได้ว่าไม่ถูกต้อง

ถ้ารากมีดีกรีเท่ากัน แต่มีนิพจน์ตัวเลขต่างกัน ให้นำออกจากวงเล็บและ ผลรวมของนิพจน์รากที่สอง. จึงได้สกัดจากจำนวนนี้ไปแล้ว

อัลกอริธึมเพิ่มเติม

เพื่อแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดอย่างถูกต้องมีความจำเป็น:

กำหนดสิ่งที่ต้องการเพิ่มเติมอย่างแน่นอน
ค้นหาว่ามีความเป็นไปได้ที่จะเพิ่มค่าให้กันและกันโดยได้รับคำแนะนำจากกฎที่มีอยู่ในวิชาคณิตศาสตร์
หากไม่สามารถเพิ่มได้ คุณต้องแปลงในลักษณะที่สามารถเพิ่มได้
เมื่อทำการเปลี่ยนแปลงที่จำเป็นทั้งหมดแล้วจึงจำเป็นต้องทำการบวกและจดคำตอบที่เสร็จแล้ว การบวกสามารถทำได้ด้วยความคิดหรือด้วยเครื่องคิดเลข ขึ้นอยู่กับความซับซ้อนของตัวอย่าง

รากที่คล้ายกันคืออะไร

เพื่อที่จะแก้ตัวอย่างการบวกได้อย่างถูกต้อง ก่อนอื่นต้องคิดว่าจะลดความซับซ้อนได้อย่างไร ในการทำเช่นนี้ คุณต้องมีความรู้พื้นฐานว่าความคล้ายคลึงคืออะไร

ความสามารถในการระบุสิ่งที่คล้ายคลึงกันช่วยแก้ตัวอย่างการเพิ่มประเภทเดียวกันได้อย่างรวดเร็ว โดยนำตัวอย่างเหล่านี้มาอยู่ในรูปแบบที่เรียบง่าย ในการทำให้ตัวอย่างการเติมทั่วไปง่ายขึ้น คุณต้อง:

ค้นหากลุ่มที่คล้ายกันและจัดสรรให้กับกลุ่มเดียว (หรือหลายกลุ่ม)
เขียนตัวอย่างที่มีอยู่ใหม่ในลักษณะที่รากที่มีตัวบ่งชี้เดียวกันติดตามกันอย่างชัดเจน (ซึ่งเรียกว่า "การจัดกลุ่ม")
ต่อไป คุณควรเขียนนิพจน์อีกครั้ง คราวนี้ในลักษณะที่นิพจน์ที่คล้ายกัน (ซึ่งมีตัวบ่งชี้เดียวกันและตัวเลขรูทเดียวกัน) ยังติดตามกัน

หลังจากนั้น ตัวอย่างแบบง่ายมักจะแก้ได้ง่าย

เพื่อที่จะแก้ไขตัวอย่างการเติมได้อย่างถูกต้อง คุณต้องเข้าใจกฎพื้นฐานของการบวกให้ชัดเจน และรู้ว่ารูทคืออะไรและเกิดขึ้นได้อย่างไร

บางครั้งงานดังกล่าวอาจดูซับซ้อนมากในแวบแรก แต่โดยปกติแล้วจะแก้ไขได้ง่ายด้วยการจัดกลุ่มงานที่คล้ายกัน สิ่งสำคัญที่สุดคือการฝึกฝน จากนั้นนักเรียนจะเริ่ม "คลิกงานอย่างถั่ว" การบวกรูทเป็นสาขาที่สำคัญที่สุดสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ ดังนั้นครูควรจัดสรรเวลาให้เพียงพอเพื่อศึกษา

วีดีโอ

วิดีโอนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจสมการที่มีรากที่สอง

ข้อเท็จจริงที่ 1
\(\bullet\) ใช้ตัวเลขที่ไม่ใช่ค่าลบ \(a\) (เช่น \(a\geqslant 0\) ) จากนั้น (เลขคณิต) รากที่สองจากหมายเลข \(a\) เรียกว่าหมายเลขที่ไม่เป็นลบ \(b\) เมื่อยกกำลังสองเราจะได้ตัวเลข \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(เหมือนกับ )\quad a=b^2\]สืบเนื่องมาจากคำนิยามที่ว่า \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). ข้อจำกัดเหล่านี้เป็นเงื่อนไขที่สำคัญสำหรับการมีอยู่ของสแควร์รูทและควรจำไว้!
จำได้ว่าจำนวนใด ๆ เมื่อยกกำลังสองให้ผลลัพธ์ที่ไม่เป็นลบ นั่นคือ \(100^2=10000\geqslant 0\) และ \((-100)^2=10000\geqslant 0\)
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) คืออะไร เรารู้ว่า \(5^2=25\) และ \((-5)^2=25\) เนื่องจากตามคำจำกัดความ เราต้องหาจำนวนที่ไม่เป็นลบ \(-5\) จึงไม่เหมาะสม ดังนั้น \(\sqrt(25)=5\) (ตั้งแต่ \(25=5^2\) )
การหาค่า \(\sqrt a\) เรียกว่าการถอดรากที่สองของตัวเลข \(a\) และตัวเลข \(a\) เรียกว่านิพจน์ราก
\(\bullet\) ตามคำจำกัดความ นิพจน์ \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) ฯลฯ ไม่สมเหตุสมผล

ข้อเท็จจริงที่ 2
สำหรับการคำนวณอย่างรวดเร็ว จะเป็นประโยชน์ในการเรียนรู้ตารางกำลังสองของจำนวนธรรมชาติจาก \(1\) ถึง \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

ข้อเท็จจริงที่ 3
สแควร์รูททำอะไรได้บ้าง?
\(\กระสุน\) ผลรวมหรือผลต่างของรากที่สองไม่เท่ากับรากที่สองของผลรวมหรือผลต่าง กล่าวคือ \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]ดังนั้น ถ้าคุณต้องการคำนวณ เช่น \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) ในตอนแรก คุณต้องหาค่า \(\sqrt(25)\) และ \(\sqrt (49)\ ) แล้วรวมเข้าด้วยกัน เพราะเหตุนี้, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] หากไม่พบค่า \(\sqrt a\) หรือ \(\sqrt b\) เมื่อเพิ่ม \(\sqrt a+\sqrt b\) นิพจน์ดังกล่าวจะไม่ถูกแปลงเพิ่มเติมและยังคงเหมือนเดิม ตัวอย่างเช่น ในผลรวม \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) เราสามารถหา \(\sqrt(49)\) - นี่คือ \(7\) แต่ \(\sqrt 2\) ไม่สามารถ กลับใจใหม่แต่อย่างใด \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). นอกจากนี้ โชคไม่ดีที่นิพจน์นี้ไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ไม่ว่าด้วยวิธีใด\(\bullet\) ผลคูณ/ผลคูณของรากที่สองเท่ากับรากที่สองของผลิตภัณฑ์/ผลคูณ กล่าวคือ \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (โดยมีเงื่อนไขว่าความเท่าเทียมกันทั้งสองส่วนมีเหตุผล)
ตัวอย่าง: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) การใช้คุณสมบัติเหล่านี้ เป็นการสะดวกที่จะหารากที่สองของตัวเลขจำนวนมากโดยการแยกตัวประกอบ
ขอพิจารณาตัวอย่าง. ค้นหา \(\sqrt(44100)\) ตั้งแต่ \(44100:100=441\) แล้ว \(44100=100\cdot 441\) ตามเกณฑ์การหารลงตัว จำนวน \(441\) หารด้วย \(9\) ลงตัว (เนื่องจากผลรวมของหลักคือ 9 และหารด้วย 9) ลงตัว ดังนั้น \(441:9=49\) นั่นคือ \(441=9\ cdot 49\)
ดังนั้นเราจึงได้รับ: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]ลองดูตัวอย่างอื่น: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) มาดูวิธีการป้อนตัวเลขภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์โดยใช้ตัวอย่างของนิพจน์ \(5\sqrt2\) (ย่อมาจากนิพจน์ \(5\cdot \sqrt2\) ) ตั้งแต่ \(5=\sqrt(25)\) แล้ว \ สังเกตด้วยว่า ตัวอย่างเช่น
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\)

ทำไมถึงเป็นอย่างนั้น? มาอธิบายด้วยตัวอย่างที่ 1) ตามที่คุณเข้าใจแล้ว เราไม่สามารถแปลงตัวเลข \(\sqrt2\) ได้ ลองนึกภาพว่า \(\sqrt2\) เป็นตัวเลขบางตัว \(a\) ดังนั้นนิพจน์ \(\sqrt2+3\sqrt2\) จึงไม่มีอะไรนอกจาก \(a+3a\) (หนึ่งหมายเลข \(a\) บวกตัวเลขเดียวกันอีกสามตัว \(a\) ) และเรารู้ว่านี่เท่ากับสี่ตัวเลขดังกล่าว \(a\) นั่นคือ \(4\sqrt2\)

ข้อเท็จจริงที่ 4
\(\bullet\) มันมักจะพูดว่า "ไม่สามารถแยกราก" เมื่อไม่สามารถกำจัดเครื่องหมาย \(\sqrt () \ \) ของราก (ราก) เมื่อหาค่าของตัวเลขบางตัว ตัวอย่างเช่น คุณสามารถรูทตัวเลข \(16\) เพราะ \(16=4^2\) ดังนั้น \(\sqrt(16)=4\) แต่การจะแยกรากออกจากตัวเลข \(3\) นั่นคือการค้นหา \(\sqrt3\) เป็นไปไม่ได้เพราะไม่มีตัวเลขดังกล่าวที่จะยกกำลังสอง \(3\)
ตัวเลขดังกล่าว (หรือนิพจน์ที่มีตัวเลขดังกล่าว) ไม่มีเหตุผล ตัวอย่างเช่น ตัวเลข \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)เป็นต้น ไม่มีเหตุผล
ตัวเลขที่ไม่ลงตัวก็คือ \(\pi\) (ตัวเลข “pi” ประมาณเท่ากับ \(3,14\) ), \(e\) (หมายเลขนี้เรียกว่าหมายเลขออยเลอร์ ประมาณเท่ากับ \(2 ,7\) ) เป็นต้น
\(\bullet\) โปรดทราบว่าจำนวนใดๆ จะเป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ และจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะทั้งหมดรวมกันเป็นเซตเรียกว่า ชุดตัวเลขจริง (ของจริง)ชุดนี้เขียนแทนด้วยตัวอักษร \(\mathbb(R)\)
ซึ่งหมายความว่าตัวเลขทั้งหมดที่เรารู้จักในปัจจุบันเรียกว่าจำนวนจริง

ข้อเท็จจริงที่ 5
\(\bullet\) โมดูลัสของจำนวนจริง \(a\) เป็นจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ \(|a|\) เท่ากับระยะทางจากจุด \(a\) ถึง \(0\) บนจำนวนจริง ไลน์. ตัวอย่างเช่น \(|3|\) และ \(|-3|\) เท่ากับ 3 เนื่องจากระยะทางจากจุด \(3\) และ \(-3\) ถึง \(0\) คือ เหมือนกันและเท่ากับ \(3 \)
\(\bullet\) ถ้า \(a\) เป็นตัวเลขที่ไม่ติดลบ \(|a|=a\)
ตัวอย่าง: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) \(\bullet\) ถ้า \(a\) เป็นจำนวนลบ ดังนั้น \(|a|=-a\)
ตัวอย่าง: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
พวกเขาบอกว่าสำหรับจำนวนลบโมดูล "กิน" ลบและจำนวนบวกเช่นเดียวกับตัวเลข \(0\) โมดูลจะไม่เปลี่ยนแปลง
แต่กฎนี้ใช้กับตัวเลขเท่านั้น หากคุณมี \(x\) ที่ไม่รู้จัก (หรือที่ไม่รู้จักอื่น ๆ ) ภายใต้เครื่องหมายโมดูลเช่น \(|x|\) ซึ่งเราไม่ทราบว่าเป็นค่าบวกเท่ากับศูนย์หรือค่าลบ กำจัดโมดูลที่เราไม่สามารถ ในกรณีนี้ นิพจน์นี้ยังคงเป็นอย่างนั้น: \(|x|\) \(\bullet\) สูตรต่อไปนี้ถือ: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( มีให้ ) a\geqslant 0\]ข้อผิดพลาดต่อไปนี้มักเกิดขึ้น: พวกเขาบอกว่า \(\sqrt(a^2)\) และ \((\sqrt a)^2\) เป็นสิ่งเดียวกัน สิ่งนี้เป็นจริงก็ต่อเมื่อ \(a\) เป็นจำนวนบวกหรือศูนย์ แต่ถ้า \(a\) เป็นจำนวนลบ ก็ไม่เป็นความจริง ก็เพียงพอที่จะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าว ลองเอาตัวเลข \(-1\) แทน \(a\) จากนั้น \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) แต่นิพจน์ \((\sqrt (-1))^2\) ไม่มีอยู่เลย (เพราะเป็น เป็นไปไม่ได้ภายใต้เครื่องหมายรูทใส่ตัวเลขติดลบ!)
ดังนั้นเราจึงดึงความสนใจของคุณไปที่ความจริงที่ว่า \(\sqrt(a^2)\) ไม่เท่ากับ \((\sqrt a)^2\) !ตัวอย่าง: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), เพราะ \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) ตั้งแต่ \(\sqrt(a^2)=|a|\) จากนั้น \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (นิพจน์ \(2n\) หมายถึงเลขคู่)
กล่าวคือ เมื่อดึงรากออกจากจำนวนที่อยู่ในระดับใดระดับหนึ่ง ระดับนี้จะลดลงครึ่งหนึ่ง
ตัวอย่าง:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (โปรดทราบว่าหากไม่ได้ตั้งค่าโมดูล ปรากฎว่ารูทของตัวเลขเท่ากับ \(-25 \) ; แต่เราจำได้ ซึ่งตามคำจำกัดความของรูท สิ่งนี้ไม่สามารถ: เมื่อทำการแตกรูท เราควรได้จำนวนบวกหรือศูนย์เสมอ)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (เนื่องจากจำนวนใด ๆ ยกกำลังคู่ไม่เป็นลบ)

ข้อเท็จจริงที่ 6
จะเปรียบเทียบรากที่สองสองตัวได้อย่างไร?
\(\bullet\) จริงสำหรับรากที่สอง: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aตัวอย่าง:
1) เปรียบเทียบ \(\sqrt(50)\) และ \(6\sqrt2\) ขั้นแรก เราแปลงนิพจน์ที่สองเป็น \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). ดังนั้น เนื่องจาก \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) ระหว่างจำนวนเต็มใด \(\sqrt(50)\) ?
ตั้งแต่ \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) และ \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) เปรียบเทียบ \(\sqrt 2-1\) และ \(0,5\) สมมติว่า \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(จัดตำแหน่ง) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((เพิ่มหนึ่งให้ทั้งสองข้าง))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((สี่เหลี่ยมทั้งสองส่วน))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(จัดตำแหน่ง)\]เราเห็นว่าเราได้รับความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง ดังนั้นสมมติฐานของเราจึงผิดและ \(\sqrt 2-1<0,5\) .
โปรดทราบว่าการเพิ่มจำนวนหนึ่งลงในอสมการทั้งสองข้างไม่มีผลกับเครื่องหมาย การคูณ/หารอสมการทั้งสองส่วนด้วยจำนวนบวกก็ไม่มีผลกับเครื่องหมายของมันเช่นกัน แต่การคูณ/หารด้วยจำนวนลบจะกลับเครื่องหมายของอสมการ!
สมการ/อสมการทั้งสองข้างสามารถยกกำลังสองได้ก็ต่อเมื่อทั้งสองข้างไม่เป็นลบ ตัวอย่างเช่น ในอสมการจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ คุณสามารถยกกำลังสองทั้งสองข้างในอสมการ \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) โปรดทราบว่า \[\begin(จัดตำแหน่ง) &\sqrt 2\ประมาณ 1,4\\ &\sqrt 3\ประมาณ 1,7 \end(จัดตำแหน่ง)\]การรู้ความหมายโดยประมาณของตัวเลขเหล่านี้จะช่วยคุณในการเปรียบเทียบตัวเลข! \(\bullet\) ในการแยกรูท (หากแยกออกมา) จากจำนวนมหาศาลที่ไม่ได้อยู่ในตารางกำลังสอง ก่อนอื่นคุณต้องพิจารณาก่อนว่ามันคือ "ร้อย" อันไหน ตามด้วย "หลักสิบ" แล้วกำหนดหลักสุดท้ายของตัวเลขนี้ มาแสดงวิธีการทำงานด้วยตัวอย่างกัน
เอา \(\sqrt(28224)\) เรารู้ว่า \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) และอื่นๆ โปรดทราบว่า \(28224\) อยู่ระหว่าง \(10\,000\) และ \(40\,000\) ดังนั้น \(\sqrt(28224)\) อยู่ระหว่าง \(100\) และ \(200\)
ทีนี้มาดูว่าตัวเลขของเราเป็น “หลักสิบ” ไหน (เช่น ระหว่าง \(120\) และ \(130\) ) เรายังรู้จากตารางกำลังสองว่า \(11^2=121\) , \(12^2=144\) เป็นต้น แล้ว \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . ดังนั้นเราจะเห็นว่า \(28224\) อยู่ระหว่าง \(160^2\) และ \(170^2\) ดังนั้นตัวเลข \(\sqrt(28224)\) อยู่ระหว่าง \(160\) และ \(170\)
ลองกำหนดหลักสุดท้ายกัน จำตัวเลขหลักเดียวเมื่อยกกำลังสองที่ส่วนท้าย \ (4 \) ? เหล่านี้คือ \(2^2\) และ \(8^2\) ดังนั้น \(\sqrt(28224)\) จะลงท้ายด้วย 2 หรือ 8 มาลองดูกัน ค้นหา \(162^2\) และ \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
ดังนั้น \(\sqrt(28224)=168\) โว้ว!

เพื่อที่จะแก้ข้อสอบคณิตศาสตร์ได้อย่างเพียงพอ อย่างแรกเลย จำเป็นต้องศึกษาเนื้อหาเชิงทฤษฎี ซึ่งแนะนำทฤษฎีบท สูตร อัลกอริธึม และอื่นๆ มากมาย เมื่อมองแวบแรก มันอาจจะดูค่อนข้างง่าย อย่างไรก็ตาม การหาแหล่งที่มีการนำเสนอทฤษฎีสำหรับ Unified State Examination ในวิชาคณิตศาสตร์อย่างง่ายดายและเข้าใจได้ง่ายสำหรับนักเรียนที่มีการฝึกอบรมทุกระดับ อันที่จริงแล้ว เป็นงานที่ค่อนข้างยาก หนังสือเรียนไม่สามารถเก็บไว้ใกล้มือได้ตลอดเวลา และการหาสูตรพื้นฐานสำหรับการสอบในวิชาคณิตศาสตร์อาจเป็นเรื่องยากแม้กระทั่งบนอินเทอร์เน็ต

เหตุใดการเรียนทฤษฎีทางคณิตศาสตร์จึงมีความสำคัญ ไม่เพียงแต่สำหรับผู้ที่ทำข้อสอบเท่านั้น

เพราะมันเปิดโลกทัศน์ของคุณให้กว้างขึ้น. การศึกษาเนื้อหาเชิงทฤษฎีในวิชาคณิตศาสตร์มีประโยชน์สำหรับทุกคนที่ต้องการคำตอบสำหรับคำถามที่เกี่ยวข้องกับความรู้ของโลก ทุกสิ่งในธรรมชาติได้รับคำสั่งและมีตรรกะที่ชัดเจน นี่คือสิ่งที่สะท้อนให้เห็นในวิทยาศาสตร์อย่างแม่นยำ โดยที่มันเป็นไปได้ที่จะเข้าใจโลก
เพราะมันพัฒนาสติปัญญา. การศึกษาเอกสารอ้างอิงสำหรับการสอบในวิชาคณิตศาสตร์ตลอดจนการแก้ปัญหาต่าง ๆ บุคคลเรียนรู้ที่จะคิดและให้เหตุผลอย่างมีตรรกะเพื่อกำหนดความคิดอย่างถูกต้องและชัดเจน เขาพัฒนาความสามารถในการวิเคราะห์สรุปข้อสรุป

เราขอเชิญคุณให้ประเมินข้อดีทั้งหมดของแนวทางการจัดระบบและการนำเสนอสื่อการศึกษาของเราเป็นการส่วนตัว

การแยกรากที่สองของตัวเลขไม่ใช่การดำเนินการเดียวที่สามารถทำได้กับปรากฏการณ์ทางคณิตศาสตร์นี้ คุณสามารถเพิ่มและลบรากที่สองได้เช่นเดียวกับตัวเลขทั่วไป

กฎสำหรับการบวกและการลบรากที่สอง

คำจำกัดความ 1

การดำเนินการต่างๆ เช่น การบวกและการลบรากที่สองจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อนิพจน์รากเหมือนกัน

ตัวอย่างที่ 1

คุณสามารถเพิ่มหรือลบนิพจน์ 2 3 และ 6 3, แต่ไม่ใช่ 5 6 และ 9 4 . หากเป็นไปได้ที่จะลดความซับซ้อนของนิพจน์และนำไปที่รูทด้วยหมายเลขรูทเดียวกัน ให้ลดความซับซ้อน แล้วบวกหรือลบ

การกระทำของรูท: พื้นฐาน

ตัวอย่าง 2

6 50 - 2 8 + 5 12

อัลกอริธึมการดำเนินการ:

ลดความซับซ้อนของนิพจน์ราก. ในการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องแยกนิพจน์ของรูทออกเป็น 2 แฟคเตอร์ ตัวหนึ่งเป็นตัวเลขสแควร์ (ตัวเลขที่แยกสแควร์รูททั้งหมดออกมา เช่น 25 หรือ 9)
จากนั้นคุณต้องทำการรูทของเลขกำลังสองและเขียนค่าผลลัพธ์ก่อนเครื่องหมายรูท โปรดทราบว่าปัจจัยที่สองถูกป้อนภายใต้เครื่องหมายรูท
หลังจากขั้นตอนการทำให้เข้าใจง่าย จำเป็นต้องขีดเส้นใต้รากด้วยนิพจน์รากเดียวกัน - เฉพาะที่สามารถเพิ่มและลบได้เท่านั้น
สำหรับรากที่มีนิพจน์รากเดียวกัน จำเป็นต้องบวกหรือลบปัจจัยที่อยู่ก่อนเครื่องหมายราก นิพจน์รากยังคงไม่เปลี่ยนแปลง อย่าบวกหรือลบหมายเลขรูท!

เคล็ดลับ 1

หากคุณมีตัวอย่างที่มีนิพจน์รุนแรงเหมือนกันจำนวนมาก ให้ขีดเส้นใต้นิพจน์ดังกล่าวด้วยบรรทัดเดียว สอง และสามเพื่ออำนวยความสะดวกในกระบวนการคำนวณ

ตัวอย่างที่ 3

ลองมาดูตัวอย่างนี้กัน:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . ก่อนอื่นคุณต้องแยก 50 ออกเป็น 2 แฟคเตอร์ 25 และ 2 จากนั้นให้ทำการรูทของ 25 ซึ่งก็คือ 5 และลบ 5 ออกจากใต้รูท หลังจากนั้นคุณต้องคูณ 5 ด้วย 6 (ตัวคูณที่รูท) และรับ 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . ขั้นแรก คุณต้องแยกตัวประกอบ 8 ตัวออกเป็น 2 ตัว: 4 และ 2 จากนั้นจาก 4 ให้แยกรูทซึ่งเท่ากับ 2 และดึง 2 ออกจากใต้รูท หลังจากนั้นคุณต้องคูณ 2 ด้วย 2 (ตัวประกอบที่รูท) และรับ 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . ขั้นแรก คุณต้องแยกส่วน 12 เป็น 2 ปัจจัย: 4 และ 3 จากนั้นแยกรากออกจาก 4 ซึ่งก็คือ 2 แล้วนำออกจากใต้ราก หลังจากนั้นคุณต้องคูณ 2 ด้วย 5 (ตัวประกอบที่รูท) และรับ 10 3 .

ผลการลดความซับซ้อน: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

ด้วยเหตุนี้ เราจึงเห็นจำนวนนิพจน์รุนแรงที่เหมือนกันในตัวอย่างนี้ มาฝึกกับตัวอย่างอื่นๆ กัน

ตัวอย่างที่ 4

ลดความซับซ้อน (45) . เราแยกตัวประกอบ 45: (45) = (9 × 5) ;
เรานำ 3 ออกจากใต้รูท (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
เราบวกปัจจัยที่ราก: 3 5 + 4 5 = 7 5 .

ตัวอย่างที่ 5

6 40 - 3 10 + 5:

ลดความซับซ้อน 6 40 . เราแยกตัวประกอบ 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
เรานำ 2 จากใต้รูท (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
เราคูณปัจจัยที่อยู่หน้าราก: 12 10;
เราเขียนนิพจน์ในรูปแบบย่อ: 12 10 - 3 10 + 5;
เนื่องจากสองพจน์แรกมีจำนวนรากเหมือนกัน เราจึงสามารถลบออกได้: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5

ตัวอย่างที่ 6

ดังที่เราเห็น เป็นไปไม่ได้ที่จะทำให้จำนวนรากง่ายขึ้น ดังนั้นเราจึงมองหาสมาชิกที่มีจำนวนรากเดียวกันในตัวอย่าง ดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (บวก ลบ ฯลฯ) และเขียนผลลัพธ์:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

คำแนะนำ:

ก่อนบวกหรือลบ จำเป็นต้องลดความซับซ้อนของนิพจน์รากศัพท์ (ถ้าเป็นไปได้)
ห้ามเพิ่มและลบรูทด้วยนิพจน์รูทที่แตกต่างกันโดยเด็ดขาด
อย่าบวกหรือลบจำนวนเต็มหรือรากที่สอง: 3 + (2 x) 1 / 2 .
เมื่อดำเนินการกับเศษส่วน คุณต้องหาจำนวนที่หารลงตัวโดยตัวส่วนแต่ละตัว จากนั้นนำเศษส่วนไปยังตัวส่วนร่วม จากนั้นจึงบวกตัวเศษ และไม่เปลี่ยนแปลงตัวส่วน

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ฉันมองไปที่จานอีกครั้ง ... และไปกันเถอะ!

มาเริ่มกันง่ายๆ ก่อน:

รอสักครู่. นี่ซึ่งหมายความว่าเราสามารถเขียนได้ดังนี้:

เข้าใจแล้ว? นี่คือสิ่งต่อไปสำหรับคุณ:

รากของตัวเลขผลลัพธ์ไม่ได้ถูกแยกออกมาอย่างแน่นอน? ไม่ต้องกังวล นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

แต่ถ้าไม่มีตัวคูณสองตัว แต่มีมากกว่านั้นล่ะ เหมือนกัน! สูตรการคูณรูทใช้ได้กับหลายปัจจัย:

ตอนนี้เป็นอิสระอย่างสมบูรณ์:

คำตอบ:ทำได้ดี! เห็นด้วย ทุกอย่างง่ายมาก สิ่งสำคัญคือต้องรู้ตารางสูตรคูณ!

การแบ่งราก

เราหาการคูณของรากได้แล้ว ทีนี้มาดูคุณสมบัติของการหารกัน

ผมขอเตือนคุณว่าสูตรโดยทั่วไปมีลักษณะดังนี้:

และนั่นก็หมายความว่า รากของผลหารเท่ากับผลหารของราก

มาดูตัวอย่างกัน:

นั่นคือวิทยาศาสตร์ทั้งหมด และนี่คือตัวอย่าง:

ทุกอย่างไม่ได้ราบรื่นเหมือนในตัวอย่างแรก แต่อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อน

เกิดอะไรขึ้นถ้านิพจน์มีลักษณะดังนี้:

คุณเพียงแค่ต้องใช้สูตรในทางกลับกัน:

และนี่คือตัวอย่าง:

คุณยังสามารถดูนิพจน์นี้:

ทุกอย่างเหมือนเดิม เฉพาะที่นี่คุณต้องจำวิธีการแปลเศษส่วน (ถ้าคุณจำไม่ได้ ให้ดูที่หัวข้อแล้วกลับมา!) จำได้ไหม ตอนนี้เราตัดสินใจแล้ว!

ฉันแน่ใจว่าคุณรับมือกับทุกสิ่ง ทุกอย่าง ตอนนี้มาพยายามสร้างรากฐานในระดับหนึ่ง

การยกกำลัง

เกิดอะไรขึ้นถ้าสแควร์รูทเป็นกำลังสอง? ง่ายมาก จำความหมายของสแควร์รูทของตัวเลข - นี่คือตัวเลขที่สแควร์รูทเท่ากับ

แล้วถ้าเรายกกำลังสองจำนวนที่มีรากที่สองเท่ากับ แล้วเราจะได้อะไร?

แน่นอน !

ลองดูตัวอย่าง:

ทุกอย่างเรียบง่ายใช่มั้ย และถ้ารูตอยู่ในระดับที่ต่างออกไป? ไม่เป็นไร!

ใช้ตรรกะเดียวกันและจดจำคุณสมบัติและการดำเนินการที่เป็นไปได้ด้วยองศา

อ่านทฤษฎีในหัวข้อ "" แล้วทุกอย่างจะชัดเจนสำหรับคุณ

ตัวอย่างเช่น นี่คือนิพจน์:

ในตัวอย่างนี้ ดีกรีเป็นคู่ แต่ถ้าเป็นคี่ล่ะ ใช้คุณสมบัติพลังงานและปัจจัยทุกอย่างอีกครั้ง:

ด้วยสิ่งนี้ทุกอย่างดูเหมือนจะชัดเจน แต่จะแยกรูทออกจากตัวเลขในระดับหนึ่งได้อย่างไร? ตัวอย่างเช่น นี่คือ:

ค่อนข้างง่ายใช่มั้ย? เกิดอะไรขึ้นถ้าปริญญามากกว่าสอง? เราทำตามตรรกะเดียวกันโดยใช้คุณสมบัติขององศา:

ทุกอย่างชัดเจนหรือไม่? จากนั้นแก้ตัวอย่างของคุณเอง:

และนี่คือคำตอบ:

บทนำภายใต้สัญลักษณ์ของรูต

สิ่งที่เรายังไม่ได้เรียนรู้ที่จะทำกับราก! ยังคงเป็นเพียงการฝึกป้อนตัวเลขใต้เครื่องหมายรูท!

มันค่อนข้างง่าย!

สมมุติว่าเรามีตัวเลข

เราจะทำอะไรกับมันได้บ้าง? แน่นอน ซ่อนทริปเปิ้ลไว้ใต้รูท ในขณะที่จำไว้ว่าทริปเปิ้ลนั้นคือสแควร์รูทของ!

ทำไมเราถึงต้องการมัน? ใช่ เพียงเพื่อเพิ่มความสามารถของเราเมื่อแก้ตัวอย่าง:

คุณชอบคุณสมบัติของรากนี้อย่างไร? ทำให้ชีวิตง่ายขึ้นมาก? สำหรับฉัน ถูกต้อง! เท่านั้น เราต้องจำไว้ว่าเราสามารถป้อนตัวเลขบวกภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์เท่านั้น

ลองตัวอย่างนี้ด้วยตัวคุณเอง:
คุณจัดการหรือไม่ มาดูกันว่าคุณควรได้อะไร:

ทำได้ดี! คุณสามารถป้อนตัวเลขภายใต้เครื่องหมายรูทได้! มาดูสิ่งที่สำคัญเท่าเทียมกัน - พิจารณาวิธีเปรียบเทียบตัวเลขที่มีรากที่สอง!

การเปรียบเทียบราก

เหตุใดเราจึงควรเรียนรู้การเปรียบเทียบตัวเลขที่มีรากที่สอง

ง่ายมาก. บ่อยครั้งในสำนวนที่ยาวและใหญ่ในข้อสอบ เราได้รับคำตอบที่ไม่มีเหตุผล (จำได้ไหมว่าเราพูดถึงเรื่องนี้ไปแล้วในวันนี้!)

เราจำเป็นต้องวางคำตอบที่ได้รับบนเส้นพิกัด เช่น เพื่อกำหนดช่วงเวลาที่เหมาะสมในการแก้สมการ และนี่คือที่มาของอุปสรรค: ไม่มีเครื่องคิดเลขในการสอบ และถ้าไม่มี คุณจะจินตนาการได้อย่างไรว่าจำนวนใดที่มากกว่าและน้อยกว่า แค่นั้นแหละ!

ตัวอย่างเช่น กำหนดว่าอันไหนมากกว่า: หรือ?

คุณจะไม่พูดทันที ลองใช้คุณสมบัติการแยกวิเคราะห์ของการเพิ่มตัวเลขภายใต้เครื่องหมายรูทกัน?

จากนั้นไปข้างหน้า:

เห็นได้ชัดว่ายิ่งจำนวนภายใต้เครื่องหมายของรูทมากเท่าไร รูตก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น!

เหล่านั้น. ถ้าหมายถึง.

จากนี้เราสรุปได้อย่างแน่วแน่ว่า และจะไม่มีใครโน้มน้าวใจเราเป็นอย่างอื่น!

สกัดรากจำนวนมาก

ก่อนหน้านั้นเราได้แนะนำปัจจัยภายใต้สัญลักษณ์ของรูท แต่จะกำจัดมันอย่างไร? คุณเพียงแค่ต้องแยกตัวประกอบและแยกสิ่งที่สกัดออกมา!

เป็นไปได้ที่จะไปในทางอื่นและแยกออกเป็นปัจจัยอื่น:

ไม่เลวใช่มั้ย วิธีการเหล่านี้ถูกต้อง ตัดสินใจว่าคุณรู้สึกสบายใจอย่างไร

การแยกตัวประกอบมีประโยชน์มากในการแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐานเช่นนี้:

เราไม่กลัว เราลงมือทำ! เราแยกแต่ละปัจจัยภายใต้รากเป็นปัจจัยแยกกัน:

และตอนนี้ลองด้วยตัวเอง (ไม่มีเครื่องคิดเลข! จะไม่อยู่ในการสอบ):

นี่คือจุดสิ้นสุด? เราไม่หยุดครึ่งทาง!

แค่นั้น ก็ไม่ได้น่ากลัวขนาดนั้นใช่ไหม?

เกิดขึ้น? ทำได้ดีมาก คุณพูดถูก!

ลองใช้ตัวอย่างนี้:

และตัวอย่างคือน็อตที่ยากต่อการแตกหัก ดังนั้นคุณจึงไม่สามารถหาวิธีรับมือได้ในทันที แต่แน่นอนว่าเราอยู่ในฟัน

เรามาเริ่มแฟคตอริ่งกันไหม เราทราบทันทีว่าคุณสามารถหารตัวเลขด้วย (จำเครื่องหมายของการหารได้):

และตอนนี้ ลองทำด้วยตัวเอง (อีกครั้งโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข!):

แล้วมันได้ผลเหรอ? ทำได้ดีมาก คุณพูดถูก!

สรุป

รากที่สอง (รากที่สองของเลขคณิต) ของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบคือจำนวนที่ไม่ติดลบซึ่งมีกำลังสองเท่ากัน
.
ถ้าเราหาสแควร์รูทของบางอย่าง, เราจะได้ผลลัพธ์ที่ไม่เป็นลบเสมอ
คุณสมบัติของรากเลขคณิต:
เมื่อเปรียบเทียบสแควร์รูท จะต้องจำไว้ว่ายิ่งจำนวนที่อยู่ใต้เครื่องหมายของรูทมากเท่าใด รูตก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

คุณชอบสแควร์รูทอย่างไร? ชัดเจนทั้งหมด?

เราพยายามอธิบายให้คุณฟังโดยไม่ต้องให้น้ำทุกอย่างที่คุณจำเป็นต้องรู้ในข้อสอบเกี่ยวกับสแควร์รูท

ตอนนี้ถึงตาคุณแล้ว เขียนถึงเราว่าหัวข้อนี้ยากสำหรับคุณหรือไม่

คุณได้เรียนรู้สิ่งใหม่หรือทุกอย่างชัดเจนแล้ว

เขียนความคิดเห็นและขอให้โชคดีในการสอบ!

ในยุคของคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์สมัยใหม่ การคำนวณรูทของตัวเลขไม่ใช่เรื่องยาก ตัวอย่างเช่น √2704=52 เครื่องคิดเลขใดๆ จะคำนวณให้คุณ โชคดีที่มีเครื่องคิดเลขไม่เฉพาะใน Windows เท่านั้น แต่ยังมีในโทรศัพท์ธรรมดา แม้แต่โทรศัพท์ที่ง่ายที่สุดด้วย จริงอยู่ถ้าจู่ ๆ (ด้วยความน่าจะเป็นเล็กน้อยการคำนวณซึ่งรวมถึงการเพิ่มราก) คุณพบว่าตัวเองไม่มีเงินอยู่แล้วอนิจจาคุณจะต้องพึ่งพาสมองของคุณเท่านั้น

การฝึกใจไม่เคยล้มเหลว โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับผู้ที่ไม่ได้ทำงานกับตัวเลขบ่อยนักและยิ่งมีรากมากขึ้น การบวกและการลบรากเป็นการออกกำลังกายที่ดีสำหรับจิตใจที่เบื่อหน่าย และฉันจะแสดงให้คุณเห็นการเพิ่มรูททีละขั้นตอน ตัวอย่างของนิพจน์สามารถดังต่อไปนี้

สมการที่จะทำให้ง่ายขึ้นคือ:

√2+3√48-4×√27+√128

นี่คือการแสดงออกที่ไม่ลงตัว ในการทำให้ง่ายขึ้น คุณต้องนำนิพจน์รากศัพท์ทั้งหมดมาอยู่ในรูปแบบทั่วไป เราทำเป็นขั้นตอน:

หมายเลขแรกไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อีกต่อไป มาต่อกันที่เทอมที่สองกัน

3√48 เราแยกตัวประกอบ 48: 48=2×24 หรือ 48=3×16 จาก 24 ไม่ใช่จำนวนเต็ม กล่าวคือ มีเศษเป็นเศษส่วน เนื่องจากเราต้องการค่าที่แน่นอน รากโดยประมาณจึงไม่เหมาะกับเรา รากที่สองของ 16 คือ 4, นำมันออกมาจากใต้ เราได้: 3×4×√3=12×√3

นิพจน์ถัดไปของเราคือลบ นั่นคือ เขียนด้วยเครื่องหมายลบ -4×√(27.) แฟคตอริ่ง 27. เราได้ 27=3×9 เราไม่ใช้ตัวประกอบเศษส่วนเพราะจะคำนวณรากที่สองจากเศษส่วนได้ยากกว่า เรานำ 9 ออกจากใต้ป้ายนั่นคือ คำนวณรากที่สอง เราได้รับนิพจน์ต่อไปนี้: -4×3×√3 = -12×√3

เทอมถัดไป √128 คำนวณส่วนที่สามารถนำออกจากใต้รูทได้ 128=64×2 โดยที่ √64=8. ถ้ามันทำให้ง่ายขึ้นสำหรับคุณ คุณสามารถแสดงนิพจน์นี้ดังนี้: √128=√(8^2×2)

เราเขียนนิพจน์ใหม่ด้วยเงื่อนไขแบบง่าย:

√2+12×√3-12×√3+8×√2

ตอนนี้เราบวกตัวเลขด้วยนิพจน์รากเดียวกัน คุณไม่สามารถเพิ่มหรือลบนิพจน์ที่มีนิพจน์รุนแรงต่างกันได้ การเพิ่มรากต้องปฏิบัติตามกฎนี้

เราได้รับคำตอบต่อไปนี้:

√2+12√3-12√3+8√2=9√2

√2=1×√2 - ฉันหวังว่าเป็นเรื่องปกติในพีชคณิตที่จะละเว้นองค์ประกอบดังกล่าวจะไม่เป็นข่าวสำหรับคุณ

นิพจน์สามารถแสดงได้ไม่เฉพาะด้วยรากที่สองเท่านั้น แต่ยังแสดงด้วยรากที่สามหรือรากที่ n ด้วย

การบวกและการลบของรากที่มีเลขชี้กำลังต่างกัน แต่มีนิพจน์รากที่เท่ากัน เกิดขึ้นดังนี้:

ถ้าเรามีนิพจน์เช่น √a+∛b+∜b เราก็สามารถทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นได้ดังนี้:

∛b+∜b=12×√b4 +12×√b3

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

เราได้ลดคำศัพท์ที่คล้ายกันสองคำให้เป็นเลขชี้กำลังร่วมของราก คุณสมบัติของรากถูกนำมาใช้ที่นี่ ซึ่งบอกว่า: ถ้าจำนวนของระดับของการแสดงออกที่รุนแรงและจำนวนของเลขชี้กำลังของรากถูกคูณด้วยตัวเลขเดียวกัน การคำนวณจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

หมายเหตุ: เลขชี้กำลังจะถูกเพิ่มเมื่อคูณเท่านั้น

พิจารณาตัวอย่างที่มีเศษส่วนอยู่ในนิพจน์

5√8-4×√(1/4)+√72-4×√2

มาแก้ปัญหาทีละขั้นตอน:

5√8=5*2√2 - เรานำส่วนที่แยกออกมาจากใต้รูท

4√(1/4)=-4 √1/(√4)= - 4 *1/2= - 2

หากเนื้อความของรูทแสดงด้วยเศษส่วน บ่อยครั้งเศษส่วนนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงหากรากที่สองของเงินปันผลและตัวหารถูกนำมาใช้ เป็นผลให้เราได้รับความเท่าเทียมกันที่อธิบายไว้ข้างต้น

√72-4√2=√(36×2)- 4√2=2√2

10√2+2√2-2=12√2-2

นี่คือคำตอบ

สิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้คือ รูทที่มีเลขชี้กำลังคู่จะไม่ถูกดึงออกจากจำนวนลบ หากนิพจน์รุนแรงระดับคู่เป็นค่าลบ แสดงว่านิพจน์นั้นแก้ไม่ได้

การเพิ่มรากจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อนิพจน์รากศัพท์ตรงกัน เนื่องจากเป็นคำที่คล้ายกัน เช่นเดียวกับความแตกต่าง

การเพิ่มรากที่มีเลขชี้กำลังต่างกันทำได้โดยการลดเงื่อนไขทั้งสองให้อยู่ในระดับรากทั่วไป กฎหมายนี้ดำเนินการในลักษณะเดียวกับการลดลงเป็นตัวส่วนร่วมเมื่อบวกหรือลบเศษส่วน

หากนิพจน์รากศัพท์มีตัวเลขยกกำลัง นิพจน์นี้สามารถลดความซับซ้อนได้โดยมีเงื่อนไขว่าตัวส่วนร่วมระหว่างรูทและเลขชี้กำลัง