La fórmula para encontrar la altura más pequeña de un triángulo rectángulo. Triángulo rectángulo

Triángulo rectángulo es un triángulo en el que uno de los ángulos es recto, es decir, igual a 90 grados.

El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. C o AB)
El lado adyacente al ángulo recto se llama cateto. Cada triángulo rectángulo tiene dos catetos (indicados como a yb o AC y BC)

Fórmulas y propiedades de un triángulo rectángulo.

Designaciones de fórmula:

(ver imagen arriba)

un, b- catetos de un triangulo rectangulo

C- hipotenusa

α, β - ángulos agudos de un triángulo

S- área

h- la altura caída desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa

ma a desde la esquina opuesta ( α )

m b- mediana dibujada al lado B desde la esquina opuesta ( β )

mc- mediana dibujada al lado C desde la esquina opuesta ( γ )

EN triángulo rectángulo cada cateto es menor que la hipotenusa(Fórmula 1 y 2). Esta propiedad es una consecuencia del teorema de Pitágoras.

Coseno de cualquiera de los ángulos agudos menos de uno (Fórmulas 3 y 4). Esta propiedad se deriva de la anterior. Como cualquiera de los catetos es menor que la hipotenusa, la razón del cateto a la hipotenusa siempre es menor que uno.

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (teorema de Pitágoras). (Fórmula 5). Esta propiedad se utiliza constantemente en la resolución de problemas.

Área de un triángulo rectángulo igual a la mitad del producto de las piernas (Fórmula 6)

Suma de medianas al cuadrado a los catetos es igual a cinco cuadrados de la mediana a la hipotenusa y cinco cuadrados de la hipotenusa divididos por cuatro (Fórmula 7). Además de lo anterior, hay 5 fórmulas más, por lo que se recomienda que también se familiarice con la lección " Mediana de un triángulo rectángulo", que describe las propiedades de la mediana con más detalle.

Altura de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos dividido por la hipotenusa (Fórmula 8)

Los cuadrados de los catetos son inversamente proporcionales al cuadrado de la altura caída a la hipotenusa (Fórmula 9). Esta identidad es también una de las consecuencias del teorema de Pitágoras.

Longitud de la hipotenusa igual al diámetro (dos radios) del círculo circunscrito (Fórmula 10). hipotenusa de un triangulo rectangulo es el diámetro de la circunferencia circunscrita. Esta propiedad se utiliza a menudo en la resolución de problemas.

Radio inscrito en triángulo rectángulo círculos se puede encontrar como la mitad de la expresión, que incluye la suma de los catetos de este triángulo menos la longitud de la hipotenusa. O como el producto de los catetos dividido por la suma de todos los lados (perímetro) de un triángulo dado. (Fórmula 11)
Seno de un ángulo opuesto este rincón cateto a hipotenusa(por definición de un seno). (Fórmula 12). Esta propiedad se utiliza al resolver problemas. Conociendo las dimensiones de los lados, puedes encontrar el ángulo que forman.

El coseno del ángulo A (α, alfa) en un triángulo rectángulo será igual a relación adyacente este rincón cateto a hipotenusa(por definición de un seno). (Fórmula 13)

Triangulos.

Conceptos básicos.

Triángulo- esta es una figura que consta de tres segmentos y tres puntos que no se encuentran en una línea recta.

Los segmentos se llaman fiestas, y los puntos picos.

Suma de ángulos triangulo es igual a 180º.

La altura del triángulo.

Altura del triángulo es una perpendicular trazada desde un vértice hacia el lado opuesto.

En un triángulo acutángulo, la altura está contenida dentro del triángulo (Fig. 1).

En un triángulo rectángulo, los catetos son las alturas del triángulo (Fig. 2).

En un triángulo obtuso, la altura pasa fuera del triángulo (Fig. 3).

Propiedades de la altura del triángulo:

Bisectriz de un triángulo.

Bisectriz de un triángulo- este es un segmento que biseca la esquina del vértice y conecta el vértice con un punto en el lado opuesto (Fig. 5).

Propiedades de la bisectriz:

La mediana de un triángulo.

triángulo mediano- este es un segmento que conecta el vértice con la mitad del lado opuesto (Fig. 9a).

La longitud de la mediana se puede calcular usando la fórmula:

2B 2 + 2C 2 - a 2
ma 2 = ——————
4

donde ma- mediana dibujada al lado pero.

En un triángulo rectángulo, la mediana dibujada en la hipotenusa es la mitad de la hipotenusa:

C
mc = —
2

donde mc es la mediana dibujada en la hipotenusa C(Figura 9c)

Las medianas de un triángulo se cortan en un punto (en el centro de masa del triángulo) y se dividen por este punto en una proporción de 2:1, contando desde arriba. Es decir, el segmento del vértice al centro es el doble del segmento del centro al lado del triángulo (Fig. 9c).

Las tres medianas de un triángulo lo dividen en seis triángulos de igual área.

La línea media del triángulo.

línea media del triangulo- este es un segmento que conecta los puntos medios de sus dos lados (Fig. 10).

La línea media de un triángulo es paralela al tercer lado e igual a la mitad de este.

La esquina exterior del triángulo.

esquina exterior triángulo es igual a la suma de dos ángulos interiores no adyacentes (Fig. 11).

El ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquier ángulo no adyacente.

Triángulo rectángulo.

Triángulo rectángulo- este es un triángulo que tiene un ángulo recto (Fig. 12).

El lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

Los otros dos lados se llaman piernas.

Segmentos proporcionales en un triángulo rectángulo.

1) En un triángulo rectángulo, la altura trazada desde el ángulo recto forma tres triángulos semejantes: ABC, ACH y HCB (Fig. 14a). En consecuencia, los ángulos formados por la altura son iguales a los ángulos A y B.

Figura 14a

Triángulo isósceles.

Triángulo isósceles- este es un triángulo en el que dos lados son iguales (Fig. 13).

Estos lados iguales se llaman lados, y el tercero base triángulo.

En un triángulo isósceles, los ángulos en la base son iguales. (En nuestro triángulo, el ángulo A es igual al ángulo C).

En un triángulo isósceles, la mediana dibujada en la base es tanto la bisectriz como la altura del triángulo.

Triángulo equilátero.

Un triángulo equilátero es un triángulo en el que todos los lados son iguales (Fig. 14).

Propiedades de un triángulo equilátero:

Propiedades notables de los triángulos.

Los triángulos tienen propiedades originales que te ayudarán a resolver con éxito problemas asociados con estas formas. Algunas de estas propiedades se describen anteriormente. Pero los repetimos nuevamente, agregando algunas otras características excelentes:

1) En un triángulo rectángulo con ángulos de 90º, 30º y 60º, el cateto B, opuesto al ángulo de 30º, es igual a la mitad de la hipotenusa. Una piernaa más piernaB√3 veces (Fig. 15 pero). Por ejemplo, si el cateto de b es 5, entonces la hipotenusa C necesariamente igual a 10, y el cateto pero es igual a 5√3.

2) En un triángulo isósceles rectángulo con ángulos de 90º, 45º y 45º, la hipotenusa es √2 veces el cateto (Fig. 15 B). Por ejemplo, si los catetos son 5, entonces la hipotenusa es 5√2.

3) La línea media del triángulo es igual a la mitad del lado paralelo (Fig. 15 desde). Por ejemplo, si el lado de un triángulo es 10, entonces la línea media paralela a él es 5.

4) En un triángulo rectángulo, la mediana dibujada en la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa (Fig. 9c): mc= c/2.

5) Las medianas de un triángulo, que se cortan en un punto, se dividen por este punto en una proporción de 2:1. Es decir, el segmento del vértice al punto de intersección de las medianas es el doble del segmento del punto de intersección de las medianas al lado del triángulo (Fig. 9c)

6) En un triángulo rectángulo, el punto medio de la hipotenusa es el centro del círculo circunscrito (Fig. 15 D).

Signos de igualdad de triángulos.

El primer signo de igualdad: Si dos lados y el ángulo entre ellos de un triángulo son iguales a dos lados y el ángulo entre ellos de otro triángulo, entonces tales triángulos son congruentes.

El segundo signo de igualdad.: si el lado y los ángulos adyacentes a él de un triángulo son iguales al lado y los ángulos adyacentes a él de otro triángulo, entonces tales triángulos son congruentes.

El tercer signo de la igualdad: Si los tres lados de un triángulo son iguales a los tres lados de otro triángulo, entonces esos triángulos son congruentes.

Desigualdad triangular.

En cualquier triángulo, cada lado es menor que la suma de los otros dos lados.

Teorema de pitágoras.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

C 2 = a 2 + B 2 .

Área de un triángulo.

1) El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de su lado y la altura dibujada a este lado:

Ah
S = ——
2

2) El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo entre ellos:

1
S = — AB · C.A. · pecado A
2

Triángulo circunscrito a una circunferencia.

Se dice que un círculo está inscrito en un triángulo si toca todos sus lados (Fig. 16 pero).

Triángulo inscrito en una circunferencia.

Un triángulo se llama inscrito en un círculo si lo toca con todos los vértices (Fig. 17 a).

Seno, coseno, tangente, cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo (Fig. 18).

Senoángulo agudo X opuesto catéter a la hipotenusa.
Denotado así: pecadoX.

Cosenoángulo agudo X triángulo rectángulo es la razón adyacente catéter a la hipotenusa.
Se denota de la siguiente manera: cos X.

Tangenteángulo agudo X es la razón del cateto opuesto al cateto adyacente.
Denotado así: tgX.

Cotangenteángulo agudo X es la razón del cateto adyacente al cateto opuesto.
Denotado así: ctgX.

Normas:

Pierna esquina opuesta X, es igual al producto de la hipotenusa y el seno X:

b=c pecado X

Pierna adyacente a la esquina X, es igual al producto de la hipotenusa y cos X:

un = c porque X

Pierna esquina opuesta X, es igual al producto del segundo tramo y tg X:

b = un tg X

Pierna adyacente a la esquina X, es igual al producto del segundo tramo y ctg X:

un = segundo ctg X.

Para cualquier ángulo agudo X:

pecado (90° - X) = porque X

porque (90° - X) = pecado X

(A B C) y sus propiedades, que se muestra en la figura. Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa, el lado opuesto al ángulo recto.

Consejo 1: Cómo encontrar la altura en un triángulo rectángulo

Los lados que forman un ángulo recto se llaman catetos. Dibujo lateral AD, CC y BD, CC- piernas y costados C.A. Y sudoeste- hipotenusa.

Teorema 1. En un triángulo rectángulo con un ángulo de 30°, el cateto opuesto a este ángulo se rasgará a la mitad de la hipotenusa.

AB- hipotenusa;

ANUNCIO Y base de datos

Triángulo
Hay un teorema:
sistema de comentarios cacarearmi

Solución: 1) Las diagonales de cualquier rectángulo son iguales Verdadero 2) Si hay un ángulo agudo en un triángulo, entonces este triángulo es de ángulo agudo. No es verdad. Tipos de triángulos. Un triángulo se llama acutángulo si sus tres ángulos son agudos, es decir, menores de 90° 3) Si el punto está sobre.

O, en otra publicación,

Según el teorema de Pitágoras

¿Cuál es la altura en la fórmula de un triángulo rectángulo?

Altura de un triángulo rectángulo

La altura de un triángulo rectángulo dibujado a la hipotenusa se puede encontrar de una forma u otra, dependiendo de los datos en el enunciado del problema.

O, en otra publicación,

Donde BK y KC son las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (los segmentos en que la altura divide a la hipotenusa).

La altura trazada a la hipotenusa se puede encontrar a través del área de un triángulo rectángulo. Si aplicamos la fórmula para hallar el área de un triángulo

(la mitad del producto de un lado y la altura dibujada a este lado) a la hipotenusa y la altura dibujada a la hipotenusa, obtenemos:

A partir de aquí podemos encontrar la altura como la razón del doble del área del triángulo a la longitud de la hipotenusa:

Como el área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de los catetos:

Es decir, la longitud de la altura trazada a la hipotenusa es igual a la razón del producto de los catetos a la hipotenusa. Si denotamos las longitudes de los catetos a través de a y b, la longitud de la hipotenusa a través de c, la fórmula se puede reescribir como

Dado que el radio de un círculo circunscrito a un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa, la longitud de la altura se puede expresar en términos de los catetos y el radio del círculo circunscrito:

Dado que la altura trazada a la hipotenusa forma dos triángulos rectángulos más, su longitud se puede encontrar a través de las proporciones en el triángulo rectángulo.

Del triángulo rectángulo ABK

Del triángulo rectángulo ACK

La longitud de la altura de un triángulo rectángulo se puede expresar en términos de las longitudes de los catetos. Porque

Según el teorema de Pitágoras

Si elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:

Puedes obtener otra fórmula para relacionar la altura de un triángulo rectángulo con los catetos:

¿Cuál es la altura en la fórmula de un triángulo rectángulo?

Triángulo rectángulo. Nivel promedio.

¿Quiere probar su fuerza y averiguar el resultado de qué tan preparado está para el Examen Estatal Unificado o el OGE?

El principal teorema del triángulo rectángulo es el teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras

Por cierto, ¿recuerdas bien qué son los catetos y la hipotenusa? Si no, mire la imagen: actualice sus conocimientos

Es posible que ya hayas usado el teorema de Pitágoras muchas veces, pero ¿alguna vez te has preguntado por qué ese teorema es cierto? ¿Cómo lo probarías? Hagamos como los antiguos griegos. Dibujemos un cuadrado con un lado.

¡Ves con qué astucia dividimos sus lados en segmentos de longitudes y!

Ahora vamos a conectar los puntos marcados.

Aquí, sin embargo, notamos algo más, pero usted mismo mira la imagen y piensa por qué.

¿Cuál es el área del cuadrado más grande? Derecha, . ¿Qué pasa con el área más pequeña? Ciertamente, . Queda el área total de las cuatro esquinas. Imagina que tomamos dos de ellos y los apoyamos uno contra el otro con hipotenusas. ¿Qué sucedió? Dos rectángulos. Entonces, el área de "esquejes" es igual.

Pongamos todo junto ahora.

Entonces visitamos a Pitágoras, demostramos su teorema de una manera antigua.

Triángulo rectángulo y trigonometría

Para un triángulo rectángulo, se cumplen las siguientes relaciones:

El seno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa

El coseno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto adyacente a la hipotenusa.

La tangente de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto al cateto adyacente.

La cotangente de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto adyacente al cateto opuesto.

Y una vez más, todo esto en forma de plato:

¿Has notado una cosa muy útil? Mira el plato con atención.

¡Es muy conveniente!

Signos de igualdad de triángulos rectángulos

II. Por cateto e hipotenusa

tercero Por hipotenusa y ángulo agudo

IV. A lo largo de la pierna y el ángulo agudo

¡Atención! Aquí es muy importante que las piernas sean "correspondientes". Por ejemplo, si va así:

ENTONCES LOS TRIANGULOS NO SON IGUALES, a pesar de que tienen un ángulo agudo idéntico.

Necesitar En ambos triángulos, la pierna estaba adyacente, o en ambos, opuesta.

¿Has notado cómo los signos de igualdad de los triángulos rectángulos difieren de los signos habituales de igualdad de los triángulos? Eche un vistazo al tema "Triángulo" y preste atención al hecho de que para la igualdad de los triángulos "ordinarios", necesita la igualdad de sus tres elementos: dos lados y un ángulo entre ellos, dos ángulos y un lado entre ellos, o tres lados. Pero para la igualdad de los triángulos rectángulos, solo dos elementos correspondientes son suficientes. Es genial, ¿verdad?

Aproximadamente la misma situación con signos de semejanza de triángulos rectángulos.

Signos de semejanza de triángulos rectángulos

tercero Por cateto e hipotenusa

Mediana en un triángulo rectángulo

Considere un rectángulo completo en lugar de un triángulo rectángulo.

Dibuja una diagonal y considera el punto donde se cruzan las diagonales. ¿Qué sabes sobre las diagonales de un rectángulo?

El punto de intersección diagonal biseca Las diagonales son iguales

¿Y qué se sigue de esto?

Entonces sucedió que

¡Recuerda este hecho! ¡Ayuda mucho!

Lo que es aún más sorprendente es que lo contrario también es cierto.

¿Qué bien se puede obtener del hecho de que la mediana trazada hacia la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa? Miremos la imagen

Mira de cerca. Tenemos: , es decir, las distancias desde el punto hasta los tres vértices del triángulo resultaron ser iguales. Pero en un triángulo sólo hay un punto, las distancias desde las cuales los tres vértices del triángulo son iguales, y este es el CENTRO DEL CÍRCULO descrito. ¿Entonces qué pasó?

Así que empecemos con este "además". ".

¡Pero en triángulos semejantes todos los ángulos son iguales!

Lo mismo puede decirse de y

Ahora vamos a dibujarlo juntos:

¡Ambos tienen las mismas esquinas afiladas!

¿Qué uso se puede sacar de esta "triple" similitud?

Bueno, por ejemplo - Dos fórmulas para la altura de un triángulo rectángulo.

Escribimos las relaciones de las partes correspondientes:

Para encontrar la altura, resolvemos la proporción y obtenemos La primera fórmula "Altura en un triángulo rectángulo":

¿Cómo conseguir una segunda?

Y ahora aplicamos la semejanza de triángulos y.

Entonces, apliquemos la similitud: .

¿Que pasará ahora?

Nuevamente resolvemos la proporción y obtenemos la segunda fórmula. "Altura en un triángulo rectángulo":

Ambas fórmulas hay que recordarlas muy bien y la que sea más cómoda de aplicar. Vamos a escribirlos de nuevo.

Bueno, ahora, aplicando y combinando este conocimiento con otros, ¡resolverás cualquier problema con un triángulo rectángulo!

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Propiedad de la altura de un triángulo rectángulo reducido a la hipotenusa

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Propiedades de un triángulo rectángulo

Considere un triángulo rectángulo (A B C) y sus propiedades, que se muestra en la figura. Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa, el lado opuesto al ángulo recto. Los lados que forman un ángulo recto se llaman catetos. Dibujo lateral AD, CC y BD, CC- piernas y costados C.A. Y sudoeste- hipotenusa.

Signos de igualdad de un triángulo rectángulo:

Teorema 1. Si la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo son semejantes a la hipotenusa y el cateto de otro triángulo, entonces dichos triángulos son iguales.

Teorema 2. Si dos catetos de un triángulo rectángulo son iguales a dos catetos de otro triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes.

Teorema 3. Si la hipotenusa y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son semejantes a la hipotenusa y un ángulo agudo de otro triángulo, entonces tales triángulos son congruentes.

Teorema 4. Si el cateto y el ángulo agudo adyacente (opuesto) de un triángulo rectángulo son iguales al cateto y el ángulo agudo adyacente (opuesto) de otro triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes.

Propiedades de un cateto opuesto a un ángulo de 30°:

Teorema 1.

Altura en un triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo con un ángulo de 30°, el cateto opuesto a este ángulo se rasgará a la mitad de la hipotenusa.

Teorema 2. Si en un triángulo rectángulo el cateto es igual a la mitad de la hipotenusa, entonces el ángulo opuesto es de 30°.

Si la altura se dibuja desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa, entonces dicho triángulo se divide en dos más pequeños, similares al saliente y similares entre sí. De esto se derivan las siguientes conclusiones:

La altura es la media geométrica (media proporcional) de los dos segmentos de hipotenusa.
Cada cateto del triángulo es la media proporcional a la hipotenusa y los segmentos adyacentes.

En un triángulo rectángulo, los catetos actúan como alturas. El ortocentro es el punto donde se cortan las alturas del triángulo. Coincide con la parte superior del ángulo recto de la figura.

HC- la altura que sale del ángulo recto del triángulo;

AB- hipotenusa;

ANUNCIO Y base de datos- los segmentos que surgieron al dividir la hipotenusa por la altura.

Volver a ver referencias sobre la disciplina "Geometría"

Triángulo es una figura geométrica que consta de tres puntos (vértices) que no están en la misma línea recta y tres segmentos que conectan estos puntos. Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene uno de los ángulos de 90° (un ángulo recto).
Hay un teorema: la suma de los angulos agudos de un triangulo rectangulo es 90°.
sistema de comentarios cacarearmi

Palabras clave: triángulo, rectángulo, cateto, hipotenusa, teorema de Pitágoras, círculo

triángulo llamado rectangular si tiene un ángulo recto.
Un triángulo rectángulo tiene dos lados perpendiculares entre sí llamados piernas; el tercer lado se llama hipotenusa.

Según las propiedades de la hipotenusa perpendicular y oblicua, cada uno de los catetos es más largo (pero menor que su suma).
La suma de dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual al ángulo recto.
Dos alturas de un triángulo rectángulo coinciden con sus catetos. Por lo tanto, uno de los cuatro puntos notables cae en los vértices del ángulo recto del triángulo.
El centro de la circunferencia circunscrita de un triángulo rectángulo se encuentra en el punto medio de la hipotenusa.
La mediana de un triángulo rectángulo trazado desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa es el radio del círculo circunscrito a este triángulo.

Considere un triángulo rectángulo arbitrario ABC y dibuje una altura CD = hc desde el vértice C de su ángulo recto.

Dividirá el triángulo dado en dos triángulos rectángulos ACD y BCD; cada uno de estos triángulos tiene un ángulo agudo común con el triángulo ABC y por lo tanto es similar al triángulo ABC.

Los tres triángulos ABC, ACD y BCD son similares entre sí.

A partir de la semejanza de triángulos, se determinan las siguientes relaciones:

$$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
c = ca + bc;
$$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
$$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Teorema de pitágoras uno de los teoremas fundamentales de la geometría euclidiana, que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo.

Redacción geométrica. En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Formulación algebraica. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Es decir, denotando la longitud de la hipotenusa del triángulo por c, y las longitudes de los catetos por a y b:
a2 + b2 = c2

El teorema inverso de Pitágoras.

Altura de un triángulo rectángulo

Para cualquier triple de números positivos a, b y c tal que
a2 + b2 = c2,
hay un triángulo rectángulo con catetos a y b e hipotenusa c.

Signos de igualdad de triángulos rectángulos:

a lo largo del cateto y la hipotenusa;
en dos piernas;
a lo largo de la pierna y ángulo agudo;
hipotenusa y ángulo agudo.

Ver también:
Triángulo Área, Triángulo Isósceles, Triángulo Equilátero

Geometría. 8 Clase. Prueba 4. Opción 1 .

ANUNCIO : CD=CD : BD Por lo tanto, CD2 = AD ∙ BD Ellos dicen:

ANUNCIO : CA=CA : AB. Por lo tanto AC2 = AB ∙ ANUNCIO. Ellos dicen:

BD : BC=BC : AB. Por lo tanto BC2 = AB ∙ BD

Resolver problemas:

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; mi) 53cm

2. La altura de un triángulo rectángulo dibujado a la hipotenusa divide la hipotenusa en los segmentos 9 y 36.

Determine la longitud de esta altura.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; mi) 18.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; mi) 32,25.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; mi) 21.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; mi) 4.

8. El cateto de un triángulo rectángulo es 30.

¿Cómo encontrar la altura en un triángulo rectángulo?

Encuentra la distancia del vértice del ángulo recto a la hipotenusa si el radio del círculo circunscrito a este triángulo es 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; mi) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; mi) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; mi) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; mi) 7.

¡Revisar respuestas!

G8.04.1. Segmentos proporcionales en un triángulo rectángulo

Geometría. 8 Clase. Prueba 4. Opción 1 .

En Δ ABC ∠ACV = 90°. Patas AC y BC, hipotenusa AB.

CD es la altura del triángulo dibujado a la hipotenusa.

Proyección AD del cateto AC sobre la hipotenusa,

Proyección BD del cateto BC sobre la hipotenusa.

La altitud CD divide al triángulo ABC en dos triángulos similares a él (y entre sí): Δ ADC y Δ CDB.

De la proporcionalidad de los lados de Δ ADC y Δ CDB similares se sigue:

ANUNCIO : CD=CD : BD

Propiedad de la altura de un triángulo rectángulo reducido a la hipotenusa.

Por lo tanto, CD2 = AD ∙ BD Ellos dicen: la altura de un triángulo rectángulo dibujado a la hipotenusa,es el valor proporcional medio entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

De la similitud de Δ ADC y Δ ACB se sigue:

ANUNCIO : CA=CA : AB. Por lo tanto AC2 = AB ∙ ANUNCIO. Ellos dicen: cada cateto es el valor proporcional medio entre toda la hipotenusa y la proyección de este cateto sobre la hipotenusa.

De manera similar, de la similitud de Δ CDB y Δ ACB se sigue:

BD : BC=BC : AB. Por lo tanto BC2 = AB ∙ BD

Resolver problemas:

1. Encuentra la altura de un triángulo rectángulo dibujado a la hipotenusa si divide la hipotenusa en segmentos de 25 cm y 81 cm.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; mi) 53cm

2. La altura de un triángulo rectángulo dibujado hasta la hipotenusa divide la hipotenusa en los segmentos 9 y 36. Determina la longitud de esta altura.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; mi) 18.

4. La altura de un triángulo rectángulo dibujado a la hipotenusa es 22, la proyección de uno de los catetos es 16. Encuentra la proyección del otro cateto.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; mi) 32,25.

5. El cateto de un triángulo rectángulo es 18 y su proyección sobre la hipotenusa es 12. Encuentra la hipotenusa.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; mi) 21.

6. La hipotenusa es 32. Encuentra el cateto cuya proyección sobre la hipotenusa es 2.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; mi) 4.

7. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 45. Encuentra el cateto cuya proyección sobre la hipotenusa es 9.

8. El cateto de un triángulo rectángulo es 30. Encuentra la distancia desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa si el radio del círculo circunscrito a este triángulo es 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; mi) 12.

10. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 41 y la proyección de uno de los catetos es 16. Halla la longitud de la altura trazada desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; mi) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; mi) 75.

12. La diferencia en las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa es 15, y la distancia del vértice del ángulo recto a la hipotenusa es 4. Encuentra el radio del círculo circunscrito.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; mi) 7.

De hecho, todo no es tan aterrador en absoluto. Por supuesto, la definición "real" de seno, coseno, tangente y cotangente debe verse en el artículo. Pero realmente no quieres, ¿verdad? Podemos regocijarnos: para resolver problemas sobre un triángulo rectángulo, simplemente puede completar las siguientes cosas simples:

¿Qué pasa con el ángulo? ¿Hay una pierna que está opuesta a la esquina, es decir, la pierna opuesta (para la esquina)? ¡Por supuesto que sí! ¡Esto es un cateto!

Pero, ¿y el ángulo? Mira de cerca. ¿Qué pierna está adyacente a la esquina? Por supuesto, el gato. Entonces, para el ángulo, el cateto es adyacente, y

Y ahora, ¡atención! Mira lo que tenemos:

Mira lo genial que es:

Ahora pasemos a tangente y cotangente.

¿Cómo ponerlo en palabras ahora? ¿Cuál es la pierna en relación con la esquina? Enfrente, por supuesto, "se encuentra" frente a la esquina. ¿Y el catéter? Contiguo a la esquina. Entonces que fue lo que recibimos?

¿Ves cómo se invierten el numerador y el denominador?

Y ahora de nuevo los córners e hizo el intercambio:

Resumen

Escribamos brevemente lo que hemos aprendido.

Teorema de pitágoras:

El principal teorema del triángulo rectángulo es el teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras

Por cierto, ¿recuerdas bien qué son los catetos y la hipotenusa? Si no, mire la imagen: actualice sus conocimientos

¡Ves con qué astucia dividimos sus lados en segmentos de longitudes y!

Ahora vamos a conectar los puntos marcados.

Aquí, sin embargo, notamos algo más, pero usted mismo mira la imagen y piensa por qué.

¿Cuál es el área del cuadrado más grande?

Derecha, .

¿Qué pasa con el área más pequeña?

Ciertamente, .

Queda el área total de las cuatro esquinas. Imagina que tomamos dos de ellos y los apoyamos uno contra el otro con hipotenusas.

¿Qué sucedió? Dos rectángulos. Entonces, el área de "esquejes" es igual.

Pongamos todo junto ahora.

Transformemos:

Entonces visitamos a Pitágoras, demostramos su teorema de una manera antigua.

Triángulo rectángulo y trigonometría

Para un triángulo rectángulo, se cumplen las siguientes relaciones:

El seno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa

El coseno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto adyacente a la hipotenusa.

La tangente de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto al cateto adyacente.

La cotangente de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto adyacente al cateto opuesto.

Y una vez más, todo esto en forma de plato:

¡Es muy conveniente!

Signos de igualdad de triángulos rectángulos

I. En dos piernas

II. Por cateto e hipotenusa

tercero Por hipotenusa y ángulo agudo

IV. A lo largo de la pierna y el ángulo agudo

¡Atención! Aquí es muy importante que las piernas sean "correspondientes". Por ejemplo, si va así:

ENTONCES LOS TRIANGULOS NO SON IGUALES, a pesar de que tienen un ángulo agudo idéntico.

Necesitar en ambos triángulos el cateto era adyacente, o en ambos - opuestos.

¿Has notado cómo los signos de igualdad de los triángulos rectángulos difieren de los signos habituales de igualdad de los triángulos?

Mira el tema “y presta atención al hecho de que para la igualdad de los triángulos “ordinarios”, necesitas la igualdad de sus tres elementos: dos lados y un ángulo entre ellos, dos ángulos y un lado entre ellos, o tres lados.

Pero para la igualdad de los triángulos rectángulos, solo dos elementos correspondientes son suficientes. Es genial, ¿verdad?

Aproximadamente la misma situación con signos de semejanza de triángulos rectángulos.

Signos de semejanza de triángulos rectángulos

I. Esquina aguda

II. en dos piernas

tercero Por cateto e hipotenusa

Mediana en un triángulo rectángulo

¿Por que es esto entonces?

Considere un rectángulo completo en lugar de un triángulo rectángulo.

Dibujemos una diagonal y consideremos un punto: el punto de intersección de las diagonales. ¿Qué sabes sobre las diagonales de un rectángulo?

¿Y qué se sigue de esto?

Entonces sucedió que

- mediana:

¡Recuerda este hecho! ¡Ayuda mucho!

Lo que es aún más sorprendente es que lo contrario también es cierto.

¿Qué bien se puede obtener del hecho de que la mediana trazada hacia la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa? Miremos la imagen

Así que empecemos con este "además...".

Miremos yo.

¡Pero en triángulos semejantes todos los ángulos son iguales!

Lo mismo puede decirse de y

Ahora vamos a dibujarlo juntos:

¿Qué uso se puede sacar de esta "triple" similitud?

Bueno, por ejemplo - Dos fórmulas para la altura de un triángulo rectángulo.

Escribimos las relaciones de las partes correspondientes:

Para encontrar la altura, resolvemos la proporción y obtenemos primera fórmula "Altura en un triángulo rectángulo":

Bueno, ahora, aplicando y combinando este conocimiento con otros, ¡resolverás cualquier problema con un triángulo rectángulo!

Entonces, apliquemos la similitud: .

¿Que pasará ahora?

Nuevamente resolvemos la proporción y obtenemos la segunda fórmula:

Ambas fórmulas hay que recordarlas muy bien y la que sea más cómoda de aplicar.

Vamos a escribirlos de nuevo.

Teorema de pitágoras:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:.

Signos de igualdad de triángulos rectángulos:

en dos piernas:
a lo largo del cateto y la hipotenusa: o
a lo largo del cateto y el ángulo agudo adyacente: o
a lo largo del cateto y el ángulo agudo opuesto: o
por hipotenusa y ángulo agudo: o.

Signos de semejanza de triángulos rectángulos:

una esquina afilada: o
de la proporcionalidad de los dos catetos:
de la proporcionalidad del cateto y la hipotenusa: o.

Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo

El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa:
El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa:
La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto al contiguo:
La cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente al opuesto:.

Altura de un triángulo rectángulo: o.

En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa: .

Área de un triángulo rectángulo:

a través de los catéteres:

Propiedad: 1. En cualquier triángulo rectángulo, la altura caída desde el ángulo recto (hasta la hipotenusa) divide el triángulo rectángulo en tres triángulos semejantes.

Propiedad: 2. La altura de un triángulo rectángulo, bajado a la hipotenusa, es igual a la media geométrica de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (o la media geométrica de aquellos segmentos en que la altura divide a la hipotenusa).

Propiedad: 3. El cateto es igual a la media geométrica de la hipotenusa y la proyección de este cateto sobre la hipotenusa.

Propiedad: 4. El cateto contra un ángulo de 30 grados es igual a la mitad de la hipotenusa.

Fórmula 1.

fórmula 2 donde esta la hipotenusa; , patines.

Propiedad: 5. En un triángulo rectángulo, la mediana trazada hacia la hipotenusa es igual a la mitad de ella e igual al radio de la circunferencia circunscrita.

Propiedad: 6. Dependencia entre lados y ángulos de un triángulo rectángulo:

44. Teorema del coseno. Consecuencias: conexión entre diagonales y lados de un paralelogramo; determinar el tipo de triángulo; fórmula para calcular la longitud de la mediana de un triángulo; calcular el coseno del ángulo de un triángulo.

Fin del trabajo -

Este tema pertenece a:

Clase. Programa del Coloquio Fundamentos de Planimetría

La propiedad de los ángulos adyacentes.. la definición de dos ángulos son adyacentes si un lado que tienen en común en los otros dos forman una línea recta..

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