Elektriskā lauka superpozīcijas princips. Elektrostatiskās superpozīcijas princips

Apskatīsim metodi spriedzes vektora vērtības un virziena noteikšanai E katrā elektrostatiskā lauka punktā, ko rada stacionāru lādiņu sistēma q 1 , q 2 , ..., J n .

Pieredze rāda, ka mehānikā aplūkotais spēku darbības neatkarības princips (sk. §6) ir attiecināms uz Kulona spēkiem, t.i. rezultējošais spēks F, kas darbojas no lauka uz testa maksas J 0, vienāds ar vektora spēku summu F es tai piemēroju no katras maksas puses Q i:

Saskaņā ar (79.1), F=Q 0 E Un F i ,=Q 0 E es, kur E ir iegūtā lauka stiprums, un E i ir lādiņa radītais lauka stiprums J i. Aizstājot pēdējās izteiksmes ar (80.1), mēs iegūstam

Formula (80.2) izsaka elektrostatisko lauku superpozīcijas (uzlikšanas) princips, saskaņā ar kuru spriedzi E maksas sistēmas izveidotais iegūtais lauks ir vienāds ar ģeometriskā summa lauka intensitāte, ko noteiktā punktā rada katrs lādiņš atsevišķi.

Superpozīcijas princips ir piemērojams elektriskā dipola elektrostatiskā lauka aprēķināšanai. Elektriskais dipols- divu vienādu modulī pretējo punktu lādiņu sistēma (+ Q, - J), attālums l starp kuriem ir ievērojami mazāks attālums līdz aplūkotajiem lauka punktiem. Tiek saukts vektors, kas virzīts pa dipola asi (taisne, kas iet caur abiem lādiņiem) no negatīva lādiņa uz pozitīvu lādiņu un vienāds ar attālumu starp tiem. dipola rokal . Vektors

kas sakrīt virzienā ar dipola plecu un vienāds ar lādiņa reizinājumu

| J| uz pleca l , zvanīja elektriskā dipola moments lpp vai dipola moments(122. att.).

Saskaņā ar superpozīcijas principu (80.2) spriegums E dipola lauki patvaļīgā punktā

E=E + + E - ,

Kur E+ un E- - lauka intensitāte, ko rada attiecīgi pozitīvi un negatīvi lādiņi. Izmantojot šo formulu, mēs aprēķinām lauka intensitāti gar dipola ass pagarinājumu un perpendikulāri tās ass vidum.

1. Lauka stiprums gar dipola ass pagarinājumu punktā A(123. att.). Kā redzams attēlā, dipola lauka stiprums punktā A ir vērsta pa dipola asi un ir vienāda lieluma

E A =E + -E - .

Attāluma atzīmēšana no punkta A līdz dipola ass vidum caur l, pamatojoties uz formulu (79.2) vakuumam, mēs varam uzrakstīt

Saskaņā ar dipola definīciju, l/2<

2. Lauka stiprums perpendikulā, kas pacelts pret asi no tās vidus, punktā IN(123. att.). Punkts IN tāpēc vienādā attālumā no lādiņiem

Kur r" - attālums no punkta IN līdz dipola rokas vidum. No vienādsānu līdzības-

no dotajiem trijstūriem, pamatojoties uz dipola plecu un vektoru еv, iegūstam

E B =E + l/ r". (80.5)

Aizvietojot vērtību (80.4) izteiksmē (80.5), iegūstam

Vektors E B ir virziens, kas ir pretējs dipola elektriskajam momentam (vektors R vērsta no negatīva uz pozitīvu lādiņu).

Viens no uzdevumiem, ko elektrostatika sev izvirza, ir lauka parametru novērtēšana noteiktam stacionāram lādiņu sadalījumam telpā. Un superpozīcijas princips ir viens no variantiem šādas problēmas risināšanai.

Superpozīcijas princips

Pieņemsim, ka pastāv trīs punktu lādiņi, kas mijiedarbojas viens ar otru. Ar eksperimenta palīdzību iespējams izmērīt spēkus, kas iedarbojas uz katru no lādiņiem. Lai atrastu kopējo spēku, ar kādu divi citi lādiņi iedarbojas uz vienu lādiņu, jums ir jāsaskaita katra no šiem diviem spēki saskaņā ar paralelograma likumu. Šajā gadījumā loģisks jautājums ir: vai izmērītais spēks, kas iedarbojas uz katru no lādiņiem, un divu citu lādiņu spēku kopums ir vienāds viens ar otru, ja spēkus aprēķina saskaņā ar Kulona likumu. Pētījuma rezultāti parāda pozitīvu atbildi uz šo jautājumu: patiešām izmērītais spēks ir vienāds ar aprēķināto spēku summu saskaņā ar Kulona likumu no citu lādiņu puses. Šis secinājums ir uzrakstīts paziņojumu kopas veidā un tiek saukts par superpozīcijas principu.

1. definīcija

Superpozīcijas princips:

mijiedarbības spēks starp diviem punktveida lādiņiem nemainās, ja ir citi lādiņi;
spēks, kas iedarbojas uz punktveida lādiņu no diviem citiem punktveida lādiņiem, ir vienāds ar to spēku summu, kas uz to iedarbojas no katra punktveida lādiņa, ja otra nav.

Lādiņu lauku superpozīcijas princips ir viens no pamatiem tādas parādības kā elektrība izpētei: tā nozīme ir salīdzināma ar Kulona likuma nozīmi.

Gadījumā, ja mēs runājam par lādiņu kopu N (t.i., vairākiem lauka avotiem), kopējais spēks, ko piedzīvo testa lādiņš q, var noteikt pēc formulas:

F → = ∑ i = 1 N F i a → ,

kur F i a → ir spēks, ar kādu tas ietekmē lādiņu q maksas q i ja nav cita N - 1 lādiņa.

Izmantojot superpozīcijas principu, izmantojot punktveida lādiņu mijiedarbības likumu, ir iespējams noteikt mijiedarbības spēku starp lādiņiem, kas atrodas uz galīgu izmēru ķermeņa. Šim nolūkam katrs lādiņš tiek sadalīts mazos lādiņos d q (mēs tos uzskatīsim par punktveida lādiņiem), kurus pēc tam ņem pa pāriem; tiek aprēķināts mijiedarbības spēks un visbeidzot tiek veikta iegūto spēku vektora saskaitīšana.

Superpozīcijas principa lauka interpretācija

2. definīcija

Lauka interpretācija: divu punktu lādiņu lauka stiprums ir to intensitātes summa, ko rada katrs no lādiņiem, ja nav otra.

Vispārīgos gadījumos superpozīcijas principam attiecībā uz spriegumiem ir šāds apzīmējums:

E → = ∑ E i → ,

kur E i → = 1 4 π ε 0 q i ε r i 3 r i → ir i-tā punktveida lādiņa intensitāte, r i → ir vektora rādiuss, kas novilkts no i-tā lādiņa līdz noteiktam telpas punktam. Šī formula norāda, ka jebkura skaita punktveida lādiņu lauka stiprums ir katra punktveida lādiņa lauka intensitātes summa, ja citu nav.

Inženierprakse apstiprina atbilstību superpozīcijas principam pat ļoti lielām lauka intensitātēm.

Atomos un kodolos esošajiem laukiem ir ievērojams stiprums (apmēram 10 11 - 10 17 V m), taču arī šajā gadījumā enerģijas līmeņu aprēķināšanai tika izmantots superpozīcijas princips. Šajā gadījumā aprēķinu rezultāti ar lielu precizitāti sakrita ar eksperimentālajiem datiem.

Tomēr jāņem vērā arī tas, ka ļoti mazu attālumu (apmēram ~ 10 - 15 m) un ārkārtīgi spēcīgu lauku gadījumā superpozīcijas princips, iespējams, nav izpildīts.

1. piemērs

Piemēram, uz smago kodolu virsmas pie stipruma ~ 10 22 V m tiek izpildīts superpozīcijas princips, un pie stiprības 10 20 V m rodas mijiedarbības kvantu mehāniskās nelinearitātes.

Ja lādiņa sadalījums ir nepārtraukts (t.i., nav jāņem vērā diskrētums), kopējo lauka intensitāti nosaka pēc formulas:

E → = ∫ d E → .

Šajā ierakstā integrācija tiek veikta visā maksas sadales reģionā:

kad lādiņi tiek sadalīti pa līniju (τ = d q d l - lineārais lādiņa sadalījuma blīvums), integrāciju veic pa līniju;
kad lādiņi ir sadalīti pa virsmu (σ = d q d S - virsmas sadalījuma blīvums), integrācija tiek veikta pa virsmu;
ar tilpuma lādiņa sadalījumu (ρ = d q d V - tilpuma sadalījuma blīvums), integrāciju veic pa tilpumu.

Superpozīcijas princips ļauj atrast E → jebkuram telpas punktam zināmam telpiskā lādiņa sadalījuma veidam.

2. piemērs

Ir doti identiski punktveida lādiņi q, kas atrodas kvadrāta ar malu a virsotnēs. Ir jānosaka, kādu spēku uz katru lādiņu iedarbojas pārējie trīs lādiņi.

Risinājums

1. attēlā ir parādīti spēki, kas ietekmē jebkuru no dotajiem lādiņiem kvadrāta virsotnēs. Tā kā nosacījumā norādīts, ka maksas ir identiskas, ilustrācijai ir iespējams izvēlēties jebkuru no tām. Pierakstīsim summēšanas spēku, kas ietekmē lādiņu q 1:

F → = F 12 → + F 14 → + F 13 → .

Spēki F 12 → un F 14 → ir vienādi pēc lieluma, mēs tos definējam šādi:

F 13 → = k q 2 2 a 2 .

Zīmējums 1

Tagad iestatīsim O X ass virzienu (1. attēls), izveidosim vienādojumu F → = F 12 → + F 14 → + F 13 →, aizvietosim tajā iepriekš iegūtos spēka moduļus un pēc tam:

F = 2 k q 2 a 2 · 2 2 + k q 2 2 a 2 = k q 2 a 2 2 2 + 1 2 .

Atbilde: spēks, kas iedarbojas uz katru no dotajiem lādiņiem, kas atrodas kvadrāta virsotnēs, ir vienāds ar F = k q 2 a 2 2 2 + 1 2.

3. piemērs

Tiek dots elektriskais lādiņš, kas vienmērīgi sadalīts pa plānu pavedienu (ar lineāro blīvumu τ). Nepieciešams pierakstīt izteiksmi, kas nosaka lauka intensitāti attālumā a no pavediena gala gar tā turpinājumu. Vītnes garums – l .

Zīmējums 2

Risinājums

Mūsu pirmais solis būs izcelt punktveida lādiņu uz pavediena d q. Sastādīsim tam saskaņā ar Kulona likumu ierakstu, kas izsaka elektrostatiskā lauka stiprumu:

d E → = k d q r 3 r → .

Noteiktā punktā visiem spriedzes vektoriem ir vienāds virziens pa OX asi, tad:

d E x = k d q r 2 = d E .

Problēmas nosacījums ir tāds, ka lādiņam ir vienmērīgs sadalījums pa pavedienu ar noteiktu blīvumu, un mēs rakstām sekojošo:

Aizstāsim šo ierakstu iepriekš rakstītajā izteiksmē elektrostatiskā lauka intensitātei, integrēsim un iegūsim:

E = k ∫ a l + a τ d r r 2 = k τ - 1 r a l + a = k τ l a (l + a) .

Atbilde: Lauka stiprumu norādītajā punktā noteiks pēc formulas E = k τ l a (l + a) .

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Elektrostatika

Elektrostatika- elektroenerģijas pētījuma sadaļa, kas pēta stacionāru elektrisko lādiņu mijiedarbību un pastāvīga elektriskā lauka īpašības.

1.Elektriskais lādiņš.

Elektriskais lādiņš ir iekšējā īpašībaķermeņus vai daļiņas, kas raksturo to spēju elektromagnētiskajā mijiedarbībā.

Elektriskā lādiņa mērvienība ir kulons (C)- elektriskais lādiņš, kas iet caur vadītāja šķērsgriezumu ar strāvas stiprumu 1 ampērs 1 sekundē.

Pastāv elementārais (minimālais) elektriskais lādiņš

Elementāra negatīvā lādiņa nesējs ir elektrons . Tās masa Kilograms. Elementāra pozitīvā lādiņa nesējs ir protonu. Tās masa Kilograms.

Eksperimentāli noteiktas elektriskā lādiņa pamatīpašības:

Ir divi veidi: pozitīvs Un negatīvs . Tāpat kā lādiņi atgrūž, atšķirībā no lādiņiem piesaista.

Elektriskais lādiņš nemainīgs- tā vērtība nav atkarīga no atskaites sistēmas, t.i. atkarībā no tā, vai tas ir kustībā vai miera stāvoklī.

Elektriskais lādiņš diskrēts- jebkura ķermeņa lādiņš ir elementārā elektriskā lādiņa vesels skaitlis e.

Elektriskais lādiņš piedeva- jebkuras ķermeņu (daļiņu) sistēmas lādiņš ir vienāds ar sistēmā iekļauto ķermeņu (daļiņu) lādiņu summu.

Elektriskais lādiņš pakļaujas maksas saglabāšanas likums :
Jebkura slēgta elektrisko lādiņu algebriskā summa
sistēma paliek nemainīga neatkarīgi no tā, kādi procesi notiek
šīs sistēmas ietvaros.

Šajā gadījumā slēgta sistēma tiek saprasta kā sistēma, kas neapmainās ar lādiņiem ar ārējiem ķermeņiem.

Elektrostatikā tiek izmantots fizisks modelis - punktu elektriskais lādiņš- uzlādēts ķermenis, kura formai un izmēriem šajā problēmā nav nozīmes.

2.Kulona likums

Punktu lādiņu mijiedarbības likums - Kulona likums: mijiedarbības spēks F starp diviem stacionāriem punktveida lādiņiem, atrodas vakuumā, ir proporcionāls maksām un apgriezti proporcionāls attāluma kvadrātam r starp viņiem:

Spēks ir vērsta pa taisnu līniju, kas savieno mijiedarbības lādiņus, t.i. ir centrālais un atbilst pievilcībai (F<0) в случае разноименных зарядов и отталкиванию (F> 0) tāda paša nosaukuma maksas gadījumā. Vektora formā spēks, kas iedarbojas uz lādiņu no:

Par maksu q 2 uzlādes puse spēka darbības

- elektriskā konstante, viena no galvenajām fiziskajām konstantēm:

vai . Tad

Kur farads (F)- elektriskās jaudas mērvienība (21. punkts).

Ja mijiedarbības lādiņi atrodas izotropā vidē, tad Kulona spēks

Kur - barotnes dielektriskā konstante- bezizmēra lielums, kas parāda, cik reižu ir mijiedarbības spēks F starp lādiņiem dotajā vidē ir mazāks par to mijiedarbības spēku vakuumā:

Vakuuma dielektriskā konstante. Par dielektriķiem un to īpašībām sīkāk tiks runāts turpmāk (15. sadaļa).

Jebkurš uzlādēts ķermenis var uzskatīt Kā kopums punktu maksas, līdzīgi kā mehānikā jebkuru ķermeni var uzskatīt par materiālu punktu kopumu. Tāpēc elektrostatiskais spēks, ar kuru viens uzlādēts ķermenis iedarbojas uz otru, ir vienāds ar ģeometriskā spēku summa, ko piemēro visiem otrā ķermeņa punktveida lādiņiem no katra pirmā ķermeņa punktveida lādiņa puses.

Bieži vien ir daudz ērtāk pieņemt, ka maksas nepārtraukti sadalīts uzlādētā ķermenī - līdzi daži līnijas(piemēram, ja ir uzlādēts plāns stienis), virsmas(piemēram, uzlādētas plāksnes gadījumā) vai apjoms. Viņi attiecīgi izmanto jēdzienus lineāro, virsmas un tilpuma lādiņu blīvumu.

Elektrisko lādiņu tilpuma blīvums

Kur dq- uzlādēta ķermeņa neliela elementa lādiņš ar tilpumu dV.

Elektrisko lādiņu virsmas blīvums

Kur dq- uzlādētas virsmas nelielas daļas lādiņš ar laukumu dS.

Elektrisko lādiņu lineārais blīvums

Kur dq- uzlādēta līnijas garuma neliela posma uzlāde dl.

Elektrostatiskais lauks ir lauks, ko rada stacionāri elektriskie lādiņi.

Elektrostatisko lauku raksturo divi lielumi: potenciāls(enerģija skalārs lauka raksturlielums) un spriedze(jauda vektors lauka raksturlielums).

Elektrostatiskā lauka stiprums- vektors fiziskais lielums, ko nosaka spēkā esošais spēks uz vienu vienību pozitīvs maksa, kas novietota noteiktā lauka punktā:

Elektrostatiskā lauka intensitātes mērvienība ir ņūtons uz kulonu(N/Cl):

1 N/Kp=1 V/m, kur V (volts) ir elektrostatiskā lauka potenciāla vienība.

Punkta lādiņa lauka stiprums vakuumā (un dielektriskā)

kur ir rādiusa vektors, kas savieno noteiktu lauka punktu ar lādiņu q.

Skalārā formā:

Vektora virzienssakrīt ar sipa virzienu, kas darbojas ar pozitīvu lādiņu.

Ja lauks ir izveidots pozitīvs lādiņš, tad vektors režisēts pa rādiusa vektoru no lādiņa kosmosā(testa pozitīvā lādiņa atgrūšana). Ja lauks ir izveidots negatīvs lādiņš, tad vektors vērsta uz lādiņu(atrakcija).

Grafiski elektrostatiskais lauks tiek attēlots, izmantojot spriegojuma līnijas- taisnes, kuru pieskares katrā punktā sakrīt ar vektora virzienu E(att.(a)). Tiek piešķirtas spriedzes līnijas virziens, kas sakrīt ar spriedzes vektora virzienu. Tā kā dotajā telpas punktā spriedzes vektoram ir tikai viens virziens, tad spriegojuma līnijas nekad nekrustojas. Priekš viendabīgs lauks(kad spriegojuma vektors jebkurā punktā ir nemainīgs pēc lieluma un virziena) spriegojuma līnijas ir paralēlas spriegojuma vektoram. Ja lauku veido punktveida lādiņš, tad intensitātes līnijas ir radiālas taisnes, iet ārā bez maksas, ja tas ir pozitīvs, Un iesūtne tajā, ja lādiņš ir negatīvs(b) att.).

4. Plūsmas vektors .

Lai ar spriegojuma līniju palīdzību varētu raksturot ne tikai virzienu, bet arī spriedzes vērtība elektrostatiskais lauks, tie tiek veikti ar noteiktu biezumu: spriegojuma līniju skaitam, kas iekļūst virsmas laukuma vienībā, kas ir perpendikulāra spriegojuma līnijām, jābūt vienādam ar vektora moduli .

Tad spriegojuma līniju skaits, kas iekļūst elementārā zonā dS, vienāds Kur - vektoru projekcija ieslēgts normāli uz vietni dS. (Vektors - vienības vektors perpendikulāri vietai dS). Lielums

sauca spriedzes vektora plūsma caur platformu dS.Šeit dS = dS- vektors, kura modulis ir vienāds ar dS, un vektora virziens sakrīt ar virzienu uz vietni.

Plūsmas vektors caur patvaļīgu slēgtu virsmu S:

Elektrostatisko lauku superpozīcijas princips.

Mehānikā mēs izmantojam Kulona spēkus spēku neatkarīgas darbības princips- rezultātā spēks, kas no lauka iedarbojas uz testa lādiņu, ir vienāds ar vektora summa malks tiek uzklāts no katra lādiņa sāniem, radot elektrostatisko lauku.

Spriedze rezultātā maksas sistēmas radītais lauks arī ir vienāds ar ģeometrisks intensīvo lauku summa, ko noteiktā punktā rada katra lādiņa atsevišķi.

Šī formula izsaka elektrostatisko lauku superpozīcijas (uzlikšanas) princips . Tas ļauj aprēķināt jebkuras stacionāro lādiņu sistēmas elektrostatiskos laukus, parādot to kā punktveida lādiņu kopumu.

Atcerēsimies noteikumu, kā noteikt divu vektoru summas vektora lielumu Un :

6. Gausa teorēma.

Elektrisko lādiņu sistēmas lauka intensitātes aprēķinu, izmantojot elektrostatisko lauku superpozīcijas principu, var ievērojami vienkāršot, izmantojot Gausa teorēmu, kas nosaka elektriskā lauka intensitātes vektora plūsmu cauri. jebkura slēgta virsma.

Apsveriet spriegojuma vektora plūsmu caur sfērisku rādiusa virsmu G, kas sedz punktu maksu q, kas atrodas tās centrā

Šis rezultāts ir derīgs jebkurai patvaļīgas formas slēgtai virsmai, kas aptver lādiņu.

Ja slēgtā virsma nenosedz lādiņu, tad plūsma caur to ir nulle, jo spriegojuma līniju skaits, kas nonāk virsmā, ir vienāds ar spriegojuma līniju skaitu, kas to atstāj.

Apsvērsim vispārējs gadījums patvaļīgi virsma, kas ieskauj n lādiņus. Saskaņā ar superpozīcijas principu lauka stiprums , visu lādiņu radītais ir vienāds ar katra lādiņa atsevišķi radīto intensitātes summu. Tāpēc

Gausa teorēma elektrostatiskajam laukam vakuumā: elektrostatiskā lauka intensitātes vektora plūsma vakuumā caur patvaļīgu slēgtu virsmu ir vienāda ar šīs virsmas iekšpusē esošo lādiņu algebrisko summu, kas dalīta ar.

Ja lādiņš ir sadalīts telpā ar tilpuma blīvumu , tad Gausa teorēma:

7. Sprieguma vektora cirkulācija.

Ja punktveida lādiņa elektrostatiskajā laukā q Vēl viens punktveida lādiņš pārvietojas no punkta 1 uz punktu 2 pa patvaļīgu trajektoriju, tad lādiņam pieliktais spēks darbojas. Spēka darbs par elementāru kustību dl ir vienāds ar:

Strādājiet, pārvietojot lādiņu no 1. punkta uz 2. punktu:

Darbs nav atkarīgs no kustības trajektorijas, bet nosaka tikai sākuma un beigu punktu pozīcijas. Tāpēc punktveida lādiņa elektrostatiskais lauks ir potenciāls, un elektrostatiskie spēki - konservatīvs.

Tādējādi lādiņa pārvietošanas darbs elektrostatiskā pa jebkuru slēgtu ķēdi L vienāds ar nulli:

Ja pārskaitītā maksa vienība , tad elementārais lauka spēku darbs ceļā vienāds ar , kur ir vektora projekcija uz elementāras kustības virzienu .

Integrāls sauca spriedzes vektora cirkulācija pa doto slēgto kontūru L.

Vektoru cirkulācijas teorēma :

Elektrostatiskā lauka intensitātes vektora cirkulācija pa jebkuru slēgtu cilpu ir nulle

Spēka lauks, kam ir šī īpašība. sauca potenciāls.Šī formula ir pareiza tikai priekš elektriskais lauks stacionārs maksas (elektrostatiskais).

8. Potenciālā lādiņa enerģija.

Potenciālā laukā ķermeņiem ir potenciālā enerģija un konservatīvo spēku darbs tiek veikts potenciālās enerģijas zuduma dēļ.

Tāpēc darbu var attēlot kā potenciālo lādiņu enerģiju atšķirību q 0 lādiņa lauka sākuma un beigu punktos q:

Lādiņa, kas atrodas lādiņa laukā, potenciālā enerģija q uz attālumu r vienāds ar

Pieņemot, ka, kad lādiņš tiek noņemts līdz bezgalībai, potenciālā enerģija samazinās līdz nullei, mēs iegūstam: const = 0.

Priekš vārdabrālis uzlādē to mijiedarbības potenciālo enerģiju (nogrūzt)pozitīvs, Priekš dažādi nosaukumi uzlādē potenciālo enerģiju no mijiedarbības (pievilcība)negatīvs.

Ja lauku izveido sistēma P punktu lādiņi, tad lādiņa potenciālā enerģija d 0, kas atrodas šajā laukā, ir vienāds ar tā potenciālo enerģiju summu, ko rada katrs lādiņš atsevišķi:

9. Elektrostatiskā lauka potenciāls.

Attiecība nav atkarīga no testa lādiņa un ir, laukam raksturīgā enerģija, sauca potenciāls :

Potenciāls jebkurā elektrostatiskā lauka punktā skalārs fizikāls lielums, ko nosaka šajā punktā novietotā pozitīvā lādiņa vienības potenciālā enerģija.

Piemēram, lauka potenciāls, ko rada punktveida lādiņš q, ir vienāds

10.Iespējamā atšķirība

Darbs, ko veic elektrostatiskā lauka spēki, pārvietojot lādiņu no 1. punkta līdz 2. punktam var attēlot kā

tas ir, vienāds ar pārvietotā lādiņa un potenciālu starpības reizinājumu sākuma un beigu punktā.

Iespējamā atšķirība divus punktus 1 un 2 elektrostatiskajā laukā nosaka darbs, ko veic lauka spēki, pārvietojot vienības pozitīvo lādiņu no punkta 1 uz punktu 2

Izmantojot elektrostatiskā lauka intensitātes definīciju, mēs varam pierakstīt darbu kā

kur integrāciju var veikt pa jebkuru līniju, kas savieno sākuma un beigu punktu, jo elektrostatiskā lauka spēku darbs nav atkarīgs no kustības trajektorijas.

Ja pārvietojat lādiņu no patvaļīgs punkts ārpus lauka (līdz bezgalībai), kur potenciālā enerģija un līdz ar to potenciāls ir vienāds ar nulli, tad elektrostatiskā lauka darbs, no kurienes

Tādējādi cita potenciāla definīcija: potenciāls - fiziska lielums, ko nosaka darbs, kas veikts, lai pārvietotu vienības pozitīvo lādiņu, pārvietojot to no noteiktā punkta uz bezgalību.

Potenciāla vienība - volts (V): 1V ir tāda lauka punkta potenciāls, kurā 1 C lādiņa potenciālā enerģija ir 1 J (1 V = 1 JL C).

Elektrostatisko lauku potenciālu superpozīcijas princips : Ja lauku veido vairāki lādiņi, tad lādiņu sistēmas lauka potenciāls ir vienāds ar algebriskā summa visu šo lādiņu lauka potenciāls.

11. Attiecības starp spriedzi un potenciālu.

Potenciālajam laukam pastāv saistība starp potenciālo (konservatīvo) spēku un potenciālo enerģiju:

kur ("nabla") - Hamiltona operators :

Kopš un , tad

Mīnusa zīme norāda, ka vektors vērsta uz sāniem lejupejoša potenciāls.

12. Ekvipotenciālās virsmas.

Lai grafiski attēlotu potenciālu sadalījumu, tiek izmantotas ekvipotenciāla virsmas - virsmas, kuru visos punktos potenciālam ir vienāda vērtība.

Ekvipotenciāla virsmas parasti tiek zīmētas tā, lai potenciālu atšķirības starp divām blakus esošām ekvipotenciāla virsmām būtu vienādas. Tad ekvipotenciālo virsmu blīvums skaidri raksturo lauka intensitāti dažādos punktos. Ja šīs virsmas ir blīvākas, lauka stiprums ir lielāks. Attēlā punktētā līnija parāda spēka līnijas, cietās līnijas parāda ekvipotenciālu virsmu posmus: pozitīva punktveida lādiņa (A), dipols (b), divi līdzīgi lādiņi (V), sarežģītas konfigurācijas uzlādēts metāla vadītājs (G).

Punkta lādiņam potenciāls ir , tātad ekvipotenciālās virsmas ir koncentriskas sfēras. No otras puses, spriegojuma līnijas ir radiālas taisnas līnijas. Līdz ar to spriegojuma līnijas ir perpendikulāras ekvipotenciāla virsmām.

To var parādīt visos gadījumos

1) vektors perpendikulāri ekvipotenciālu virsmas un

2) vienmēr vērsta uz potenciāla samazināšanos.

13.Svarīgāko simetrisko elektrostatisko lauku aprēķinu piemēri vakuumā.

1. Elektriskā dipola elektrostatiskais lauks vakuumā.

Elektriskais dipols(vai dubultā elektriskais stabs) ir divu vienāda lieluma pretējo punktu lādiņu sistēma (+q,-q), attālums l starp kuriem ir ievērojami mazāks attālums līdz aplūkotajiem lauka punktiem ( l<.

Dipola roka - vektors, kas virzīts pa dipola asi no negatīva lādiņa uz pozitīvu lādiņu un vienāds ar attālumu starp tiem.

Elektriskā dipola moments p e- vektors, kas sakrīt virzienā ar dipola plecu un ir vienāds ar lādiņa moduļa un pleca reizinājumu:

Ļaujiet r- attālums līdz punktam A no dipola ass vidus. Tad, ņemot vērā to r>>l.

2) Lauka stiprums punktā B uz perpendikula, atjaunota uz dipola asi no tās centra plkst r'>>l.

Tāpēc

Superpozīcijas princips
Pieņemsim, ka mums ir trīs punktu maksas. Šīs maksas mijiedarbojas. Varat veikt eksperimentu un izmērīt spēkus, kas iedarbojas uz katru lādiņu. Lai atrastu kopējo spēku, ar kādu otrais un trešais iedarbojas uz vienu lādiņu, ir jāsaskaita spēki, ar kuriem katrs iedarbojas saskaņā ar paralelograma likumu. Rodas jautājums, vai izmērītais spēks, kas iedarbojas uz katru no lādiņiem, ir vienāds ar abu pārējo iedarbināto spēku summu, ja spēkus aprēķina pēc Kulona likuma. Pētījumi liecina, ka izmērītais spēks ir vienāds ar aprēķināto spēku summu saskaņā ar Kulona likumu divu lādiņu daļā. Šis empīriskais rezultāts tiek izteikts apgalvojumu veidā:
mijiedarbības spēks starp diviem punktveida lādiņiem nemainās, ja ir citi lādiņi;

spēks, kas iedarbojas uz punktveida lādiņu no diviem punktveida lādiņiem, ir vienāds ar to spēku summu, kas uz to iedarbojas no katra punktveida lādiņa, ja otra nav.

Šo apgalvojumu sauc par superpozīcijas principu. Šis princips ir viens no elektrības doktrīnas pamatiem. Tas ir tikpat svarīgs kā Kulona likums. Tā vispārinājums daudzu apsūdzību gadījumā ir acīmredzams. Ja ir vairāki lauka avoti (lādiņu skaits N), tad iegūto spēku, kas iedarbojas uz testa lādiņu q, var atrast šādi:
\[\overrightarrow(F)=\sum\limits^N_(i=1)(\overrightarrow(F_(ia)))\left(1\right),\]
kur $\overrightarrow(F_(ia))$ ir spēks, ar kādu lādiņš $q_i$ iedarbojas uz lādiņu q, ja nav citu N-1 lādiņu.

Superpozīcijas princips (1) ļauj, izmantojot punktveida lādiņu mijiedarbības likumu, aprēķināt mijiedarbības spēku starp lādiņiem, kas atrodas uz ierobežotu izmēru ķermeņa. Lai to izdarītu, ir nepieciešams katru no lādiņiem sadalīt mazos lādiņos dq, kurus var uzskatīt par punktveida lādiņiem, ņemt tos pa pāriem, aprēķināt mijiedarbības spēku un veikt iegūto spēku vektora saskaitīšanu.

Superpozīcijas principa lauka interpretācija

Superpozīcijas principam ir lauka interpretācija: divu punktveida lādiņu lauka stiprums ir vienāds ar to intensitātes summu, ko rada katrs no lādiņiem, ja otra nav.
Kopumā superpozīcijas principu attiecībā uz spriedzi var uzrakstīt šādi:
\[\overrightarrow(E)=\sum(\overrightarrow(E_i))\left(2\right).\]
kur $(\overrightarrow(E))_i=\frac(1)(4\pi (\varepsilon )_0)\frac(q_i)(\varepsilon r^3_i)\overrightarrow(r_i)\ $ ir intensitāte i-tā lādiņa lādiņš, $\overrightarrow(r_i)\ $ ir rādiusa vektors, kas novilkts no i-tā lādiņa līdz telpas punktam. Izteiksme (1) nozīmē, ka jebkura skaita punktveida lādiņu lauka intensitāte ir vienāda ar katra punktveida lādiņa lauka intensitātes summu, ja citu nav.

Inženieru prakse ir apstiprinājusi, ka superpozīcijas princips tiek ievērots līdz ļoti lielām lauka intensitātēm. Atomu un kodolu laukiem ir ļoti nozīmīgas stiprības (no $(10)^(11)-(10)^(17)\frac(B)(m)$), taču pat tiem ir superpozīcijas princips. tika izmantots atomu enerģijas līmeņu aprēķināšanā un aprēķinu dati ļoti precīzi sakrita ar eksperimentālajiem datiem. Tomēr jāņem vērā, ka ļoti mazos attālumos (par $\sim (10)^(-15)m$) un ārkārtīgi spēcīgiem laukiem superpozīcijas princips var nebūt spēkā. Tā, piemēram, uz smago kodolu virsmas stiprības sasniedz $\sim (10)^(22)\frac(V)(m)$ superpozīcijas princips ir izpildīts, bet pie stipruma $(10 )^(20)\frac(V )(m)$ rodas kvantu - mijiedarbības mehāniskās nelinearitātes.

Ja lādiņš tiek sadalīts nepārtraukti (nav nepieciešams ņemt vērā diskrētumu), tad kopējo lauka stiprumu nosaka šādi:
\[\overrightarrow(E)=\int(d\overrightarrow(E))\ \left(3\right).\]
(3) vienādojumā integrācija tiek veikta visā lādiņa sadalījuma reģionā. Ja lādiņi ir sadalīti pa līniju ($\tau =\frac(dq\ )(dl)-linear\ density\ distribution\ charge$), tad integrācija (3) tiek veikta pa līniju. Ja lādiņi ir sadalīti pa virsmu un virsmas sadalījuma blīvums ir $\sigma =\frac(dq\ )(dS)$, tad integrējiet pa virsmu. Integrācija tiek veikta pēc tilpuma, ja mums ir darīšana ar tilpuma lādiņa sadalījumu: $\rho =\frac(dq\ )(dV)$, kur $\rho$ ir tilpuma lādiņa sadalījuma blīvums.

Superpozīcijas princips principā ļauj noteikt $\overrightarrow(E)$ jebkuram telpas punktam no zināma telpiskā lādiņa sadalījuma.

1. piemērs

Uzdevums: Identiski punktveida lādiņi q atrodas kvadrāta ar malu a virsotnēs. Nosakiet spēku, ko uz katru lādiņu iedarbojas pārējie trīs lādiņi.

Attēlosim spēkus, kas iedarbojas uz vienu no lādiņiem kvadrāta virsotnē (izvēle nav svarīga, jo lādiņi ir vienādi) (1. att.). Iegūto spēku, kas iedarbojas uz lādiņu $q_1$, ierakstām šādi:
' ).\]
Spēki $(\overrightarrow(F))_(12)$ un $(\overrightarrow(F))_(14)$ ir vienādi pēc lieluma un tos var atrast kā:
\[\left|(\overright arrow(F))_(12)\right|=\left|(\overright arrow(F))_(14)\right|=k\frac(q^2)(a^2 )\ \left(1,2\right),\]
kur $k=9 (10)^9\frac(Nm^2)((C)^2).$

Mēs atradīsim spēka moduli $(\overrightarrow(F))_(13)$, arī saskaņā ar Kulona likumu, zinot, ka kvadrāta diagonāle ir vienāda ar:
tāpēc mums ir:
\[\left|(\overright arrow(F))_(13)\right|=k\frac(q^2)(2a^2)\ \left(1,4\right)\]
Novirzīsim OX asi, kā parādīts attēlā. 1, mēs projektējam vienādojumu (1.1), aizstājam iegūtos spēka moduļus, iegūstam:
Atbilde: Spēks, kas iedarbojas uz katru no lādiņiem kvadrāta virsotnēs, ir vienāds ar: $F=\frac(kq^2)(a^2)\left(\frac(2\sqrt(2)+1) (2)\pa labi) .$
2. piemērs

Uzdevums: elektriskais lādiņš ir vienmērīgi sadalīts pa tievu pavedienu ar vienmērīgu lineāro blīvumu $\tau$. Atrodiet izteiksmi lauka intensitātei attālumā $a$ no pavediena gala gar tā turpinājumu. Vītnes garums ir $l$.

Izvēlēsimies uz pavediena punktveida lādiņu $dq$ un ierakstīsim tam no Kulona likuma elektrostatiskā lauka intensitātes izteiksmi:
Noteiktā punktā visi spriedzes vektori ir vērsti vienādi pa X asi, tāpēc mums ir:
Tā kā lādiņš atbilstoši problēmas apstākļiem ir vienmērīgi sadalīts pa vītni ar lineāro blīvumu $\tau $, mēs varam rakstīt sekojošo:
Aizstāsim (2.4) vienādojumā (2.1) un integrēsim:
Atbilde: Vītnes lauka stiprumu norādītajā punktā aprēķina pēc formulas: $E=\frac(k\tau l)(a(l+a)).$

Lauku superpozīcijas (pārklājuma) princips ir formulēts šādi:

Ja noteiktā telpas punktā dažādas lādētas daļiņas rada elektriskos laukus, kuru stiprumi utt., tad iegūtais lauka stiprums šajā punktā ir vienāds ar: .

Lauku superpozīcijas princips ir spēkā gadījumam, kad vairāku dažādu lādiņu radītie lauki viens uz otru neietekmē, tas ir, tie uzvedas tā, it kā citu lauku nebūtu. Pieredze rāda, ka dabā sastopamajiem parastas intensitātes laukiem tas patiešām notiek.

Pateicoties superpozīcijas principam, lai jebkurā punktā atrastu lādētu daļiņu sistēmas lauka intensitāti, pietiek ar punktveida lādiņa lauka intensitātes izteiksmi.

Zemāk redzamajā attēlā parādīts, kā šajā punktā A nosaka divu punktu lādiņu radīto lauka intensitāti q 1 Un q 2.

Elektriskā lauka līnijas.

Elektrisko lauku telpā parasti attēlo ar spēka līnijām. Spēka līniju jēdzienu ieviesa M. Faradejs, pētot magnētismu. Šo koncepciju pēc tam izstrādāja J. Maksvels savos pētījumos par elektromagnētismu.

Spēka līnija jeb elektriskā lauka intensitātes līnija ir līnija, kuras pieskares katram tās punktam sakrīt ar spēka virzienu, kas iedarbojas uz pozitīvu punktveida lādiņu, kas atrodas šajā lauka punktā.

Zemāk esošie attēli parāda pozitīvi lādētas lodītes sprieguma līnijas (1. att.); divas dažādi uzlādētas bumbiņas (2. att.); divas līdzīgi uzlādētas lodītes (3. att.) un divas plāksnes, kas uzlādētas ar dažādu zīmju lādiņiem, bet identiski absolūtā vērtībā (4. att.).

Spriegojuma līnijas pēdējā attēlā ir gandrīz paralēlas telpā starp plāksnēm, un to blīvums ir vienāds. Tas liecina, ka lauks šajā telpas reģionā ir viendabīgs. Elektrisko lauku sauc par viendabīgu, ja tā stiprums visos telpas punktos ir vienāds.

Elektrostatiskajā laukā spēka līnijas nav slēgtas, tās vienmēr sākas ar pozitīviem lādiņiem un beidzas ar negatīviem lādiņiem. Tie nekur nekrustojas, lauka līniju krustpunkts norādītu uz lauka intensitātes virziena nenoteiktību krustpunktā. Lauka līniju blīvums ir lielāks lādētu ķermeņu tuvumā, kur lauka stiprums ir lielāks.

Uzlādētas bumbas lauks.

Uzlādētas vadošas lodes lauka stiprums attālumā no lodes centra, kas pārsniedz tās rādiusu r ≥ R. nosaka pēc tādas pašas formulas kā punktveida lādiņa lauki . Par to liecina lauka līniju sadalījums (att. A), līdzīgi kā punktveida lādiņa intensitātes līniju sadalījums (att. b).

Bumbiņas lādiņš ir vienmērīgi sadalīts pa tās virsmu. Vadošās lodes iekšpusē lauka stiprums ir nulle.