Kāds ir taisnleņķa trijstūra augstums. Taisns trīsstūris

Patiesībā viss nemaz nav tik biedējoši. Protams, rakstā ir jāaplūko sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta "īstā" definīcija. Bet jūs tiešām nevēlaties, vai ne? Mēs varam priecāties: lai atrisinātu problēmas par taisnleņķa trīsstūri, varat vienkārši aizpildīt šādas vienkāršas lietas:

Kā ar leņķi? Vai ir kāda kāja, kas atrodas pretī stūrim, tas ir, pretējā kāja (stūrim)? Protams, ir! Tas ir katets!

Bet kā ar leņķi? Paskaties cieši. Kura kāja atrodas blakus stūrim? Protams, kaķis. Tātad leņķim kāja atrodas blakus, un

Un tagad, uzmanību! Paskaties, kas mums ir:

Skatiet, cik tas ir lieliski:

Tagad pāriesim uz tangensu un kotangensu.

Kā tagad to izteikt vārdos? Kāda ir kāja attiecībā pret stūri? Pretī, protams - tas "guļ" pretī stūrim. Un katets? Blakus stūrim. Tātad, ko mēs saņēmām?

Vai redzat, kā tiek apgriezti skaitītājs un saucējs?

Un tagad atkal stūri un veikta maiņa:

Kopsavilkums

Īsi pierakstīsim, ko esam iemācījušies.

Pitagora teorēma:

Galvenā taisnleņķa trijstūra teorēma ir Pitagora teorēma.

Pitagora teorēma

Starp citu, vai jūs labi atceraties, kas ir kājas un hipotenūza? Ja nē, tad paskaties bildē – atsvaidzini zināšanas

Iespējams, ka Pitagora teorēmu jūs jau esat izmantojis daudzas reizes, bet vai esat kādreiz domājis, kāpēc šāda teorēma ir patiesa. Kā jūs to pierādītu? Darīsim kā senie grieķi. Uzzīmēsim kvadrātu ar malu.

Redziet, cik viltīgi mēs sadalījām tās malas garuma segmentos un!

Tagad savienosim atzīmētos punktus

Šeit mēs tomēr atzīmējām kaut ko citu, bet jūs pats paskatieties uz attēlu un padomājiet, kāpēc.

Kāda ir lielākā kvadrāta platība?

Taisnība, .

Kā ar mazāko platību?

Noteikti,.

Paliek četru stūru kopējā platība. Iedomājieties, ka mēs paņēmām divus no tiem un atspiedāmies viens pret otru ar hipotenūzām.

Kas notika? Divi taisnstūri. Tātad "spraudeņu" platība ir vienāda.

Tagad saliksim to visu kopā.

Pārveidosim:

Tā nu mēs viesojāmies pie Pitagora – senā veidā pierādījām viņa teorēmu.

Taisns trīsstūris un trigonometrija

Taisnleņķa trīsstūrim ir spēkā šādas attiecības:

Akūta leņķa sinuss ir vienāds ar pretējās kājas attiecību pret hipotenūzu

Akūta leņķa kosinuss ir vienāds ar blakus esošās kājas attiecību pret hipotenūzu.

Akūtā leņķa tangenss ir vienāds ar pretējās kājas un blakus esošās kājas attiecību.

Akūta leņķa kotangenss ir vienāds ar blakus esošās kājas un pretējās kājas attiecību.

Un atkal tas viss šķīvja veidā:

Tas ir ļoti ērti!

Taisnstūra trīsstūru vienādības zīmes

I. Uz divām kājām

II. Ar kāju un hipotenūzu

III. Pēc hipotenūzas un akūtā leņķa

IV. Gar kāju un akūtu leņķi

Uzmanību! Šeit ir ļoti svarīgi, lai kājas būtu "atbilstošas". Piemēram, ja tas notiek šādi:

TAD Trijstūri NAV VIENĀDI, neskatoties uz to, ka tiem ir viens identisks akūts leņķis.

Vajag abos trīsstūros kāja bija blakus, vai abos - pretī.

Vai esat ievērojuši, kā taisnleņķa trijstūra vienādības zīmes atšķiras no parastajām trīsstūru vienādības zīmēm?

Apskatiet tēmu "un pievērsiet uzmanību tam, ka "parasto" trīsstūru vienlīdzībai ir nepieciešama to trīs elementu vienlīdzība: divas malas un leņķis starp tiem, divi leņķi un mala starp tiem vai trīs malas.

Bet taisnleņķa trīsstūru vienādībai pietiek tikai ar diviem atbilstošiem elementiem. Tas ir lieliski, vai ne?

Aptuveni tāda pati situācija ar taisnleņķa trīsstūru līdzības pazīmēm.

Taisnleņķa trīsstūru līdzības pazīmes

I. Akūts stūris

II. Uz divām kājām

III. Ar kāju un hipotenūzu

Mediāna taisnleņķa trijstūrī

Kāpēc tas tā ir?

Apsveriet veselu taisnstūri, nevis taisnleņķa trīsstūri.

Zīmēsim diagonāli un apskatīsim punktu – diagonāļu krustošanās punktu. Ko jūs zināt par taisnstūra diagonālēm?

Un kas no tā izriet?

Tā nu tas notika

- mediāna:

Atcerieties šo faktu! Ļoti palīdz!

Vēl pārsteidzošāk ir tas, ka taisnība ir arī otrādi.

Ko var iegūt no tā, ka hipotenūzai piesaistītā mediāna ir vienāda ar pusi no hipotenūzas? Apskatīsim attēlu

Paskaties cieši. Mums ir: , tas ir, attālumi no punkta līdz visām trim trijstūra virsotnēm izrādījās vienādi. Bet trijstūrī ir tikai viens punkts, attālumi, no kuriem aptuveni visas trīs trijstūra virsotnes ir vienādi, un tas ir APRAKSTS CENTRS. Kas tad notika?

Tātad sāksim ar šo "turklāt...".

Apskatīsim i.

Bet līdzīgos trīsstūros visi leņķi ir vienādi!

To pašu var teikt par un

Tagad uzzīmēsim to kopā:

Kādu labumu var iegūt no šīs "trīskāršās" līdzības.

Nu, piemēram - divas taisnleņķa trijstūra augstuma formulas.

Mēs rakstām atbilstošo pušu attiecības:

Lai atrastu augstumu, mēs atrisinām proporciju un iegūstam Pirmā formula "Augstums taisnleņķa trijstūrī":

Nu, tagad, pielietojot un apvienojot šīs zināšanas ar citām, jūs atrisināsiet jebkuru uzdevumu ar taisnleņķa trīsstūri!

Tātad, piemērosim līdzību: .

Kas tagad notiks?

Atkal mēs atrisinām proporciju un iegūstam otro formulu:

Ļoti labi jāatceras abas šīs formulas un ērtāk lietojamā.

Pierakstīsim tos vēlreiz.

Pitagora teorēma:

Taisnleņķa trijstūrī hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu:.

Taisnleņķa trīsstūru vienādības zīmes:

uz divām kājām:
gar kāju un hipotenūzu: vai
gar kāju un blakus esošo akūto leņķi: vai
gar kāju un pretējo akūto leņķi: vai
pēc hipotenūzas un akūta leņķa: vai.

Taisnleņķa trīsstūru līdzības pazīmes:

viens ass stūris: vai
no abu kāju proporcionalitātes:
no kājas un hipotenūzas proporcionalitātes: vai.

Sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss taisnleņķa trijstūrī

Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa sinuss ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu:
Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa kosinuss ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:
Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa tangenss ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo:
Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa kotangenss ir blakus esošās kājas attiecība pret pretējo:.

Taisnstūra trīsstūra augstums: vai.

Taisnleņķa trijstūrī no taisnā leņķa virsotnes novilktā mediāna ir vienāda ar pusi no hipotenūzas: .

Taisnstūra trīsstūra laukums:

caur katetriem:

Trīsstūri.

Pamatjēdzieni.

Trīsstūris- šis ir skaitlis, kas sastāv no trim segmentiem un trim punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnas līnijas.

Segmentus sauc ballītēm, un punkti virsotnes.

Leņķu summa trijstūris ir vienāds ar 180º.

Trīsstūra augstums.

Trīsstūra augstums ir perpendikuls, kas novilkts no virsotnes uz pretējo pusi.

Akūtā leņķa trijstūrī augstums ir ietverts trijstūra iekšpusē (1. att.).

Taisnstūra trīsstūrī kājas ir trijstūra augstumi (2. att.).

Strupā trijstūrī augstums iet ārpus trijstūra (3. att.).

Trīsstūra augstuma īpašības:

Trijstūra bisektrise.

Trijstūra bisektrise- tas ir segments, kas sadala virsotnes stūri uz pusēm un savieno virsotni ar punktu pretējā pusē (5. att.).

Bisektoru īpašības:

Trijstūra mediāna.

Trīsstūra mediāna- tas ir segments, kas savieno virsotni ar pretējās puses vidu (9.a att.).

Mediānas garumu var aprēķināt, izmantojot formulu:

2b 2 + 2c 2 - a 2
m a 2 = ——————
4

kur m a- vidusdaļa novilkta uz sāniem a.

Taisnleņķa trīsstūrī hipotenūzai novilktā mediāna ir puse no hipotenūzas:

c
mc = —
2

kur mc ir mediāna, kas piesaistīta hipotenūzai c(9. c att.)

Trijstūra mediānas krustojas vienā punktā (trijstūra masas centrā) un tiek dalītas ar šo punktu attiecībā 2:1, skaitot no augšas. Tas ir, segments no virsotnes līdz centram ir divreiz lielāks par segmentu no trijstūra centra līdz malai (9.c att.).

Trīs trijstūra mediānas sadala to sešos vienāda laukuma trīsstūros.

Trīsstūra vidējā līnija.

Trijstūra vidējā līnija- tas ir segments, kas savieno tā abu malu viduspunktus (10. att.).

Trijstūra viduslīnija ir paralēla trešajai malai un vienāda ar pusi no tās.

Trijstūra ārējais stūris.

ārējais stūris trijstūris ir vienāds ar divu blakus esošu iekšējo leņķu summu (11. att.).

Trijstūra ārējais leņķis ir lielāks par jebkuru leņķi, kas nav blakus.

Taisns trīsstūris.

Taisns trīsstūris- tas ir trīsstūris, kuram ir taisns leņķis (12. att.).

Tiek saukta taisnleņķa trijstūra mala, kas ir pretēja taisnajam leņķim hipotenūza.

Pārējās divas puses sauc kājas.

Proporcionāli segmenti taisnleņķa trijstūrī.

1) Taisnleņķa trijstūrī augstums, kas novilkts no taisnā leņķa, veido trīs līdzīgus trīsstūrus: ABC, ACH un HCB (14.a att.). Attiecīgi leņķi, ko veido augstums, ir vienādi ar leņķiem A un B.

Att.14a

Vienādsānu trīsstūris.

Vienādsānu trīsstūris- tas ir trīsstūris, kura divas malas ir vienādas (13. att.).

Šīs vienādās puses sauc puses, un trešais pamata trīsstūris.

Vienādsānu trijstūrī leņķi pie pamatnes ir vienādi. (Mūsu trīsstūrī leņķis A ir vienāds ar leņķi C).

Vienādsānu trīsstūrī mediāna, kas novilkta uz pamatni, ir gan trijstūra bisektrise, gan augstums.

Vienādmalu trīsstūris.

Vienādmalu trijstūris ir trijstūris, kura visas malas ir vienādas (14. att.).

Vienādmalu trīsstūra īpašības:

Ievērojamas trīsstūru īpašības.

Trijstūriem ir oriģinālas īpašības, kas palīdzēs veiksmīgi atrisināt ar šīm formām saistītās problēmas. Dažas no šīm īpašībām ir aprakstītas iepriekš. Bet mēs tos atkārtojam vēlreiz, pievienojot tiem dažas citas lieliskas funkcijas:

1) taisnleņķa trīsstūrī ar leņķiem 90º, 30º un 60º, kāja b, kas atrodas pretī 30º leņķim, ir vienāds ar puse no hipotenūzas. Kājaa vairāk kājub√3 reizes (15. att.). a). Piemēram, ja b kājiņa ir 5, tad hipotenūza c obligāti vienāds ar 10, un kāju a vienāds ar 5√3.

2) Taisnleņķa vienādsānu trīsstūrī ar leņķiem 90º, 45º un 45º hipotenūza ir √2 reizes lielāka par kāju (15. att. b). Piemēram, ja kājas ir 5, tad hipotenūza ir 5√2.

3) Trijstūra viduslīnija ir vienāda ar pusi no paralēlās malas (15. att.). Ar). Piemēram, ja trijstūra mala ir 10, tad tai paralēlā viduslīnija ir 5.

4) Taisnleņķa trijstūrī hipotenūzai novilktā mediāna ir vienāda ar pusi no hipotenūzas (9.c att.): mc= c/2.

5) Trijstūra mediānas, kas krustojas vienā punktā, tiek dalītas ar šo punktu attiecībā 2:1. Tas ir, segments no virsotnes līdz mediānu krustpunktam ir divreiz lielāks par segmentu no mediānu krustpunkta līdz trīsstūra malai (9.c att.)

6) Taisnleņķa trijstūrī hipotenūzas viduspunkts ir ierobežotā apļa centrs (15. att. d).

Trijstūra vienādības zīmes.

Pirmā vienlīdzības zīme: Ja viena trijstūra divas malas un leņķis starp tām ir vienāds ar cita trijstūra divām malām un leņķi starp tām, tad šādi trijstūri ir kongruenti.

Otrā vienlīdzības zīme: ja viena trijstūra mala un tai piegulošie leņķi ir vienādi ar cita trijstūra malu un tai blakus esošajiem leņķiem, tad šādi trijstūri ir kongruenti.

Trešā vienlīdzības zīme: Ja viena trijstūra trīs malas ir vienādas ar cita trijstūra trim malām, tad šādi trīsstūri ir kongruenti.

Trijstūra nevienlīdzība.

Jebkurā trīsstūrī katra mala ir mazāka par pārējo divu malu summu.

Pitagora teorēma.

Taisnleņķa trīsstūrī hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu:

c 2 = a 2 + b 2 .

Trijstūra laukums.

1) Trijstūra laukums ir vienāds ar pusi no tā malas reizinājuma un augstuma, kas novilkta uz šo pusi:

Ak!
S = ——
2

2) Trijstūra laukums ir vienāds ar pusi no jebkuru divu tā malu reizinājuma un leņķa sinusa starp tām:

1
S = — AB · AC · grēks A
2

Trīsstūris, kas norobežots ap apli.

Apli sauc par ierakstītu trijstūrī, ja tas skar visas tā malas (16. att.). a).

Aplī ierakstīts trīsstūris.

Trīsstūri sauc par ierakstītu aplī, ja tas pieskaras tam ar visām virsotnēm (17. att. a).

Taisnleņķa trijstūra asā leņķa sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss (18. att.).

Sinuss akūts leņķis x pretī katetru hipotenūzai.
Apzīmēts šādi: grēksx.

Kosinuss akūts leņķis x taisnleņķa trīsstūris ir attiecība blakus katetru hipotenūzai.
To apzīmē šādi: cos x.

Pieskares akūts leņķis x ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo kāju.
Apzīmēts šādi: tgx.

Kotangenss akūts leņķis x ir blakus esošās kājas attiecība pret pretējo kāju.
Apzīmēts šādi: ctgx.

Noteikumi:

Kāja pretējā stūrī x, ir vienāds ar hipotenūzas un grēka reizinājumu x:

b=c grēks x

Kāja blakus stūrim x, ir vienāds ar hipotenūzas un cos reizinājumu x:

a = c cos x

Kāja pretējā stūrī x, ir vienāds ar otrā posma un tg reizinājumu x:

b = a tg x

Kāja blakus stūrim x, ir vienāds ar otrās kājas un ctg reizinājumu x:

a = b ctg x.

Jebkuram asam leņķim x:

grēks (90° - x) = cos x

cos (90° - x) = grēks x

Taisns trīsstūris ir trīsstūris, kurā viens no leņķiem ir taisns, tas ir, vienāds ar 90 grādiem.

Pusi, kas atrodas pretī taisnajam leņķim, sauc par hipotenūzu. c vai AB)
Sānu, kas atrodas blakus pareizajam leņķim, sauc par kāju. Katram taisnleņķa trijstūrim ir divas kājas (apzīmētas kā a un b vai AC un BC)

Taisnleņķa trijstūra formulas un īpašības

Formulu apzīmējumi:

(skat. attēlu augstāk)

a, b- taisnleņķa trīsstūra kājas

c- hipotenūza

α, β - trijstūra asi leņķi

S- kvadrāts

h- augstums nokrities no taisnā leņķa virsotnes līdz hipotenūzai

m a a no pretējā stūra ( α )

m b- vidusdaļa novilkta uz sāniem b no pretējā stūra ( β )

mc- vidusdaļa novilkta uz sāniem c no pretējā stūra ( γ )

V taisnleņķa trīsstūris jebkura kāja ir mazāka par hipotenūzu(Formula 1 un 2). Šī īpašība ir Pitagora teorēmas sekas.

Jebkura akūtā leņķa kosinuss mazāk par vienu (Formula 3 un 4). Šis īpašums izriet no iepriekšējā. Tā kā jebkura no kājām ir mazāka par hipotenūzu, kājas attiecība pret hipotenūzu vienmēr ir mazāka par vienu.

Hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu (Pitagora teorēma). (Formula 5). Šis īpašums tiek pastāvīgi izmantots problēmu risināšanā.

Taisnstūra trīsstūra laukums vienāds ar pusi no kāju reizinājuma (Formula 6)

Mediānu kvadrātā summa uz kājām ir vienāds ar pieciem hipotenūzas mediānas kvadrātiem un pieciem hipotenūzas kvadrātiem, dalītiem ar četriem (7. formula). Papildus iepriekšminētajam, tur Vēl 5 formulas, tāpēc ieteicams iepazīties arī ar nodarbību " Taisnstūra trīsstūra mediāna", kurā sīkāk aprakstītas mediānas īpašības.

Augstums taisnleņķa trijstūra reizinājums ir vienāds ar kāju reizinājumu, kas dalīts ar hipotenūzu (8. formula)

Kāju kvadrāti ir apgriezti proporcionāli augstuma kvadrātam, kas nokrīt līdz hipotenūzai (9. formula). Šī identitāte ir arī viena no Pitagora teorēmas sekām.

Hipotenūzas garums vienāds ar ierobežotā apļa diametru (diviem rādiusiem) (10. formula). Taisnleņķa trijstūra hipotenūza ir ierobežotā apļa diametrs. Šo īpašumu bieži izmanto problēmu risināšanā.

Ierakstīts rādiuss v taisnleņķa trīsstūris aprindās var atrast kā pusi no izteiksmes, kas ietver šī trīsstūra kāju summu mīnus hipotenūzas garumu. Vai arī kāju reizinājums, kas dalīts ar dotā trijstūra visu malu (perimetra) summu. (Formula 11)
Leņķa sinuss pretīšis stūris kāju līdz hipotenūzai(pēc sinusa definīcijas). (Formula 12). Šis īpašums tiek izmantots, risinot problēmas. Zinot sānu izmērus, varat atrast leņķi, ko tās veido.

Leņķa A (α, alfa) kosinuss taisnleņķa trijstūrī būs vienāds ar attiecības blakusšis stūris kāju līdz hipotenūzai(pēc sinusa definīcijas). (Formula 13)

(ABC) un tā īpašības, kas parādīts attēlā. Taisnleņķa trīsstūrim ir hipotenūza, mala, kas ir pretēja taisnajam leņķim.

1. padoms. Kā atrast augstumu taisnleņķa trijstūrī

Sānus, kas veido taisnu leņķi, sauc par kājām. Sānu zīmējums AD, DC un BD, DC- kājas un sāni AC un SW- hipotenūza.

Teorēma 1. Taisnleņķa trijstūrī ar 30° leņķi šim leņķim pretējā kāja pārplīsīs uz pusi no hipotenūzas.

AB- hipotenūza;

AD un DB

Trīsstūris
Ir teorēma:
komentēšanas sistēma CACKLE

Risinājums: 1) Jebkura taisnstūra diagonāles ir vienādas Patiess 2) Ja trijstūrī ir viens akūts leņķis, tad šis trīsstūris ir akūtstūris. Nav taisnība. Trīsstūru veidi. Trīsstūri sauc par akūtu leņķi, ja visi trīs tā leņķi ir asi, tas ir, mazāki par 90 ° 3) Ja punkts atrodas uz.

Vai arī citā ierakstā

Saskaņā ar Pitagora teorēmu

Kāds ir augstums taisnleņķa trijstūra formulā

Taisnstūra trīsstūra augstums

Taisnleņķa trijstūra augstumu, kas novilkts uz hipotenūzu, var tā vai citādi atrast atkarībā no uzdevuma formulējuma datiem.

Vai arī citā ierakstā

Kur BK un KC ir kāju projekcijas uz hipotenūzas (segmenti, kuros augstums sadala hipotenūzu).

Augstumu, kas novilkts uz hipotenūzu, var atrast caur taisnleņķa trijstūra laukumu. Ja mēs izmantojam formulu trijstūra laukuma atrašanai

(puse reizinājums no malas un augstuma, kas novilkts uz šo pusi) uz hipotenūzu un augstumu, kas novilkts uz hipotenūzu, mēs iegūstam:

No šejienes mēs varam atrast augstumu kā trijstūra laukuma divkāršu attiecību pret hipotenūzas garumu:

Tā kā taisnleņķa trīsstūra laukums ir puse no kāju reizinājuma:

Tas ir, hipotenūzai novilktā augstuma garums ir vienāds ar kāju un hipotenūzas reizinājuma attiecību. Ja apzīmējam kāju garumus caur a un b, hipotenūzas garumu līdz c, formulu var pārrakstīt kā

Tā kā ap taisnleņķa trijstūri norobežota riņķa rādiuss ir vienāds ar pusi no hipotenūzas, augstuma garumu var izteikt ar kājām un ierobežotā apļa rādiusu:

Tā kā hipotenūzai novilktais augstums veido vēl divus taisnleņķa trīsstūrus, tā garumu var atrast, izmantojot taisnā trijstūra koeficientus.

No taisnleņķa trijstūra ABK

No taisnleņķa trīsstūra ACK

Taisnstūra trīsstūra augstuma garumu var izteikt kāju garumos. Jo

Saskaņā ar Pitagora teorēmu

Ja vienādojuma abas puses kvadrātā:

Varat iegūt citu formulu taisnleņķa trijstūra augstuma saistīšanai ar kājām:

Kāds ir augstums taisnleņķa trijstūra formulā

Taisns trīsstūris. Vidējais līmenis.

Vai vēlaties pārbaudīt savus spēkus un uzzināt, kāds ir jūsu gatavības rezultāts vienotajam valsts eksāmenam vai OGE?

Galvenā taisnleņķa trijstūra teorēma ir Pitagora teorēma.

Pitagora teorēma

Starp citu, vai jūs labi atceraties, kas ir kājas un hipotenūza? Ja nē, tad paskaties bildē – atsvaidzini zināšanas

Redziet, cik viltīgi mēs sadalījām tās malas garuma segmentos un!

Tagad savienosim atzīmētos punktus

Šeit mēs tomēr atzīmējām kaut ko citu, bet jūs pats paskatieties uz attēlu un padomājiet, kāpēc.

Kāda ir lielākā kvadrāta platība? Taisnība, . Kā ar mazāko platību? Noteikti,. Paliek četru stūru kopējā platība. Iedomājieties, ka mēs paņēmām divus no tiem un atspiedāmies viens pret otru ar hipotenūzām. Kas notika? Divi taisnstūri. Tātad "spraudeņu" platība ir vienāda.

Tagad saliksim to visu kopā.

Tā nu mēs viesojāmies pie Pitagora – senā veidā pierādījām viņa teorēmu.

Taisns trīsstūris un trigonometrija

Taisnleņķa trīsstūrim ir spēkā šādas attiecības:

Akūta leņķa sinuss ir vienāds ar pretējās kājas attiecību pret hipotenūzu

Akūta leņķa kosinuss ir vienāds ar blakus esošās kājas attiecību pret hipotenūzu.

Akūtā leņķa tangenss ir vienāds ar pretējās kājas un blakus esošās kājas attiecību.

Akūta leņķa kotangenss ir vienāds ar blakus esošās kājas un pretējās kājas attiecību.

Un atkal tas viss šķīvja veidā:

Vai esat pamanījuši vienu ļoti ērtu lietu? Uzmanīgi apskatiet plāksni.

Tas ir ļoti ērti!

Taisnstūra trīsstūru vienādības zīmes

II. Ar kāju un hipotenūzu

III. Pēc hipotenūzas un akūtā leņķa

IV. Gar kāju un akūtu leņķi

Uzmanību! Šeit ir ļoti svarīgi, lai kājas būtu "atbilstošas". Piemēram, ja tas notiek šādi:

TAD Trijstūri NAV VIENĀDI, neskatoties uz to, ka tiem ir viens identisks akūts leņķis.

Vajag Abos trīsstūros kāja atradās blakus vai abos - pretī.

Vai esat ievērojuši, kā taisnleņķa trijstūra vienādības zīmes atšķiras no parastajām trīsstūru vienādības zīmēm? Apskatiet tēmu "Trijstūris" un pievērsiet uzmanību faktam, ka "parasto" trīsstūru vienlīdzībai ir nepieciešama to trīs elementu vienlīdzība: divas malas un leņķis starp tiem, divi leņķi un mala starp tiem, vai trīs puses. Bet taisnleņķa trīsstūru vienādībai pietiek tikai ar diviem atbilstošiem elementiem. Tas ir lieliski, vai ne?

Aptuveni tāda pati situācija ar taisnleņķa trīsstūru līdzības pazīmēm.

Taisnleņķa trīsstūru līdzības pazīmes

III. Ar kāju un hipotenūzu

Mediāna taisnleņķa trijstūrī

Apsveriet veselu taisnstūri, nevis taisnleņķa trīsstūri.

Uzzīmējiet diagonāli un apsveriet punktu, kur diagonāles krustojas. Ko jūs zināt par taisnstūra diagonālēm?

Diagonāles krustojuma punkts sadala uz pusēm Diagonāles ir vienādas

Un kas no tā izriet?

Tā nu tas notika

Atcerieties šo faktu! Ļoti palīdz!

Vēl pārsteidzošāk ir tas, ka taisnība ir arī otrādi.

Ko var iegūt no tā, ka hipotenūzai piesaistītā mediāna ir vienāda ar pusi no hipotenūzas? Apskatīsim attēlu

Tātad, sāksim ar šo "turklāt. ".

Bet līdzīgos trīsstūros visi leņķi ir vienādi!

To pašu var teikt par un

Tagad uzzīmēsim to kopā:

Abiem vienādi asi stūri!

Kādu labumu var iegūt no šīs "trīskāršās" līdzības.

Nu, piemēram - Divas taisnleņķa trijstūra augstuma formulas.

Mēs rakstām atbilstošo pušu attiecības:

Lai atrastu augstumu, mēs atrisinām proporciju un iegūstam Pirmā formula "Augstums taisnleņķa trijstūrī":

Kā iegūt otru?

Un tagad mēs pielietojam trīsstūru līdzību un.

Tātad, piemērosim līdzību: .

Kas tagad notiks?

Atkal mēs atrisinām proporciju un iegūstam otro formulu "Augstums taisnleņķa trijstūrī":

Ļoti labi jāatceras abas šīs formulas un ērtāk lietojamā. Pierakstīsim tos vēlreiz.

Nu, tagad, pielietojot un apvienojot šīs zināšanas ar citām, jūs atrisināsiet jebkuru uzdevumu ar taisnleņķa trīsstūri!

komentāri

Materiālu izplatīšana bez apstiprināšanas ir atļauta, ja ir dofollow saite uz avota lapu.

Privātuma politika

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, ko var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

Taisnleņķa trijstūra augstuma īpašība nokrita līdz hipotenūzai

Ja piedalāties izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Gadījumā, ja tas ir nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas rīkojumu, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valsts iestāžu pieprasījumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citu sabiedrības interešu apsvērumu dēļ. Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret nozaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.

Paldies par ziņu!

Jūsu komentārs ir pieņemts, pēc regulēšanas tas tiks publicēts šajā lapā.

Vai vēlaties uzzināt, kas slēpjas zem griezuma, un saņemt ekskluzīvus materiālus par sagatavošanos OGE un USE? Atstājiet e-pastu

Taisnleņķa trijstūra īpašības

Apsveriet taisnleņķa trīsstūri (ABC) un tā īpašības, kas parādīts attēlā. Taisnleņķa trīsstūrim ir hipotenūza, mala, kas ir pretēja taisnajam leņķim. Sānus, kas veido taisnu leņķi, sauc par kājām. Sānu zīmējums AD, DC un BD, DC- kājas un sāni AC un SW- hipotenūza.

Taisnleņķa trīsstūra vienādības zīmes:

Teorēma 1. Ja taisnleņķa trijstūra hipotenūza un kājiņa ir līdzīga cita trijstūra hipotenūzai un kājiņai, tad šādi trīsstūri ir vienādi.

2. teorēma. Ja taisnleņķa trijstūra divas kājas ir vienādas ar cita trijstūra divām kājām, tad šādi trijstūri ir kongruenti.

3. teorēma. Ja taisnleņķa trijstūra hipotenūza un asais leņķis ir līdzīgi cita trijstūra hipotenūzai un asajam leņķim, tad šādi trijstūri ir kongruenti.

4. teorēma. Ja taisnleņķa trijstūra kāja un blakus esošais (pretējais) akūtais leņķis ir vienādi ar cita trijstūra kāju un blakus esošo (pretējo) akūto leņķi, tad šādi trijstūri ir kongruenti.

Kājas īpašības pretī 30 ° leņķim:

1. teorēma.

Augstums taisnleņķa trijstūrī

Taisnleņķa trīsstūrī ar 30° leņķi šim leņķim pretējā kāja pārplīsīs uz pusi no hipotenūzas.

2. teorēma. Ja taisnleņķa trijstūrī kāja ir vienāda ar pusi no hipotenūzas, tad pretējais leņķis ir 30°.

Ja augstumu velk no taisnā leņķa virsotnes līdz hipotenūzai, tad šāds trīsstūris tiek sadalīts divos mazākos, līdzīgi izejošajam un līdzīgs otram. No tā izriet šādi secinājumi:

Augstums ir ģeometriskais vidējais (vidējais proporcionālais) no diviem hipotenūzas segmentiem.
Katra trijstūra kāja ir vidējais proporcionāls hipotenūzai un blakus esošajiem segmentiem.

Taisnstūra trīsstūrī kājas darbojas kā augstumi. Ortocentrs ir punkts, kur krustojas trijstūra augstumi. Tas sakrīt ar figūras labā leņķa augšdaļu.

hC- augstums, kas iziet no trijstūra taisnā leņķa;

AB- hipotenūza;

AD un DB- segmenti, kas radās, dalot hipotenūzu ar augstumu.

Atgriezties uz atsauču apskati disciplīnā "Ģeometrija"

Trīsstūris ir ģeometriska figūra, kas sastāv no trim punktiem (virsotnēm), kas neatrodas vienā taisnē, un trīs segmentiem, kas savieno šos punktus. Taisnstūris ir trīsstūris, kuram ir viens no 90° leņķiem (taisns leņķis).
Ir teorēma: taisnleņķa trijstūra akūto leņķu summa ir 90°.
komentēšanas sistēma CACKLE

Atslēgvārdi: trīsstūris, taisnstūris, kāja, hipotenūza, Pitagora teorēma, aplis

Trīsstūris sauc taisnstūrveida ja tam ir taisns leņķis.
Taisnstūrim ir divas savstarpēji perpendikulāras malas, ko sauc kājas; sauc trešo pusi hipotenūza.

Saskaņā ar perpendikulārās un slīpās hipotenūzas īpašībām katra no kājām ir garāka (bet mazāka par to summu).
Taisnleņķa trijstūra divu akūtu leņķu summa ir vienāda ar taisnstūra leņķi.
Divi taisnleņķa trīsstūra augstumi sakrīt ar tā kājām. Tāpēc viens no četriem ievērojamiem punktiem krīt uz trijstūra taisnā leņķa virsotnēm.
Taisnstūra trīsstūra ierobežotā apļa centrs atrodas hipotenūzas viduspunktā.
Taisnstūra trīsstūra mediāna, kas novilkta no taisnā leņķa virsotnes līdz hipotenūzai, ir ap šo trīsstūri norobežotā riņķa rādiuss.

Aplūkosim patvaļīgu taisnleņķa trijstūri ABC un no tā taisnā leņķa virsotnes C uzzīmējiet augstumu CD = hc.

Tas sadalīs doto trīsstūri divos taisnleņķa trīsstūros ACD un BCD; katram no šiem trijstūriem ir kopīgs akūts leņķis ar trijstūri ABC, un tāpēc tas ir līdzīgs trijstūrim ABC.

Visi trīs trīsstūri ABC, ACD un BCD ir līdzīgi viens otram.

Pēc trīsstūru līdzības tiek noteiktas šādas attiecības:

$$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
c = ac + bc;
$$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
$$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Pitagora teorēma Viena no Eiklīda ģeometrijas pamatteorēmām, kas nosaka attiecības starp taisnleņķa trijstūra malām.

Ģeometriskais formulējums. Taisnleņķa trijstūrī uz hipotenūzas uzbūvētā kvadrāta laukums ir vienāds ar uz kājām uzbūvēto kvadrātu laukumu summu.

Algebriskā formulēšana. Taisnleņķa trīsstūrī hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu.
Tas ir, apzīmē trijstūra hipotenūzas garumu caur c un kāju garumu caur a un b:
a2 + b2 = c2

Apgrieztā Pitagora teorēma.

Taisnstūra trīsstūra augstums

Jebkuram pozitīvu skaitļu a, b un c trīskāršam tā, ka
a2 + b2 = c2,
ir taisnleņķa trīsstūris ar kājiņām a un b un hipotenūzu c.

Taisnleņķa trīsstūru vienādības zīmes:

gar kāju un hipotenūzu;
uz divām kājām;
gar kāju un akūtu leņķi;
hipotenūza un akūts leņķis.

Skatīt arī:
Trijstūra laukums, vienādsānu trīsstūris, vienādmalu trīsstūris

Ģeometrija. 8 Klase. Pārbaude 4. Opcija 1 .

AD : CD = CD : B.D. Tādējādi CD2 = AD ∙ B.D. Viņi saka:

AD : AC=AC : AB. Tādējādi AC2 = AB ∙ AD. Viņi saka:

BD : BC=BC : AB. Tādējādi BC2 = AB ∙ B.D.

Atrisināt problēmas:

A) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm

2. Taisnleņķa trijstūra augstums, kas novilkts uz hipotenūzu, sadala hipotenūzu 9. un 36. segmentos.

Nosakiet šī augstuma garumu.

A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.

A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.

A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.

A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.

8. Taisnleņķa trijstūra kāja ir 30.

Kā atrast augstumu taisnleņķa trijstūrī?

Atrodiet attālumu no taisnā leņķa virsotnes līdz hipotenūzai, ja ap šo trīsstūri apzīmētā riņķa rādiuss ir 17.

A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.

10.

A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.

A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.

12.

A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.

Pārbaudiet atbildes!

D8.04.1. Proporcionāli segmenti taisnleņķa trijstūrī

Ģeometrija. 8 Klase. Pārbaude 4. Opcija 1 .

In Δ ABC ∠ACV = 90°. AC un BC kājas, AB hipotenūza.

CD ir trijstūra augstums, kas novilkts līdz hipotenūzai.

AC kājas AD projekcija uz hipotenūzu,

BC kājas BD projekcija uz hipotenūzu.

Augstums CD sadala trīsstūri ABC divos tam (un viens otram) līdzīgos trīsstūros: Δ ADC un Δ CDB.

No līdzīgu Δ ADC un Δ CDB malu proporcionalitātes izriet:

AD : CD = CD : B.D.

Taisnleņķa trijstūra augstuma īpašība, kas pazemināta līdz hipotenūzai.

Tādējādi CD2 = AD ∙ B.D. Viņi saka: taisnleņķa trijstūra augstums, kas novilkts līdz hipotenūzai,ir vidējā proporcionālā vērtība starp kāju projekcijām uz hipotenūzas.

No Δ ADC un Δ ACB līdzības izriet:

AD : AC=AC : AB. Tādējādi AC2 = AB ∙ AD. Viņi saka: katra kāja ir vidējā proporcionālā vērtība starp visu hipotenūzu un šīs kājas projekciju uz hipotenūzu.

Līdzīgi no Δ CDB un Δ ACB līdzības izriet:

BD : BC=BC : AB. Tādējādi BC2 = AB ∙ B.D.

Atrisināt problēmas:

1. Atrodiet taisnleņķa trijstūra augstumu, kas novilkts uz hipotenūzu, ja tas sadala hipotenūzu segmentos 25 cm un 81 cm.

A) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm

2. Taisnleņķa trijstūra augstums, kas novilkts uz hipotenūzu, sadala hipotenūzu segmentos 9 un 36. Nosakiet šī augstuma garumu.

A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.

4. Uz hipotenūzu novilkta taisnleņķa trijstūra augstums ir 22, vienas kājas projekcija ir 16. Atrodi otras kājas projekciju.

A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.

5. Taisnstūra trīsstūra kājiņa ir 18, un tā projekcija uz hipotenūzu ir 12. Atrodiet hipotenūzu.

A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.

6. Hipotenūza ir 32. Atrodiet kāju, kuras projekcija uz hipotenūzu ir 2.

A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.

7. Taisnleņķa trijstūra hipotenūza ir 45. Atrodi kāju, kuras projekcija uz hipotenūzu ir 9.

8. Taisnleņķa trijstūra kāja ir 30. Atrodiet attālumu no taisnā leņķa virsotnes līdz hipotenūzai, ja ap šo trīsstūri apzīmētā riņķa rādiuss ir 17.

A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.

10. Taisnleņķa trijstūra hipotenūza ir 41, un vienas kājas projekcija ir 16. Atrodiet augstuma garumu, kas novilkts no taisnā leņķa virsotnes līdz hipotenūzai.

A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.

A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.

12. Kāju projekciju atšķirība uz hipotenūzas ir 15, un attālums no taisnā leņķa virsotnes līdz hipotenūzai ir 4. Atrodiet ierobežotā apļa rādiusu.

A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.

Īpašums: 1. Jebkurā taisnleņķa trijstūrī augstums, kas pazemināts no taisnā leņķa (līdz hipotenūzai), sadala taisnstūri trīs līdzīgos trīsstūros.

Īpašums: 2. Taisnleņķa trijstūra augstums, kas nolaists līdz hipotenūzai, ir vienāds ar kāju projekciju ģeometrisko vidējo vērtību hipotenūzā (vai vidējo ģeometrisko no tiem segmentiem, kuros augstums sadala hipotenūzu).

Īpašums: 3. Kāja ir vienāda ar hipotenūzas vidējo ģeometrisko vērtību un šīs kājas projekciju uz hipotenūzu.

Īpašums: 4. Kāja pret 30 grādu leņķi ir vienāda ar pusi no hipotenūzas.

Formula 1.

Formula 2. kur ir hipotenūza; , slidas.

Īpašums: 5. Taisnleņķa trīsstūrī hipotenūzai novilktā mediāna ir vienāda ar pusi no tās un vienāda ar ierobežotā apļa rādiusu.

Īpašība: 6. Atkarība starp taisnleņķa trijstūra malām un leņķiem:

44.Kosinusa teorēma. Sekas: savienojums starp paralelograma diagonālēm un malām; trīsstūra veida noteikšana; formula trijstūra mediānas garuma aprēķināšanai; trijstūra leņķa kosinusa aprēķināšana.

Darba beigas -

Šī tēma pieder:

Klase. Kolokvija planimetrijas pamatu programma

Blakus esošo leņķu īpašība.. divu leņķu definīcija ir blakus, ja viena mala tiem ir kopīga pārējās divās veido taisnu līniju.

Ja jums ir nepieciešams papildu materiāls par šo tēmu vai jūs neatradāt to, ko meklējāt, mēs iesakām izmantot meklēšanu mūsu darbu datubāzē:

Ko darīsim ar saņemto materiālu:

Ja šis materiāls jums izrādījās noderīgs, varat to saglabāt savā lapā sociālajos tīklos: