Данный урок посвящён изучению окружности и круга. Также учитель научит отличать замкнутые и незамкнутые линии. Вы познакомитесь с основными свойствами окружности: центром, радиусом и диаметром. Выучите их определения. Научитесь определять радиус, если известен диаметр, и наоборот.
Если заполнить пространство внутри окружности, например начертить окружность с помощью циркуля на бумаге или картоне и вырезать, то получим круг (рис. 10).
Рис. 10. Круг
Круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью.
Условие: Витя Верхоглядкин начертил в своей окружности (рис. 11) 11 диаметров. А когда пересчитал радиусы, получил 21. Правильно ли он сосчитал?
Рис. 11. Иллюстрация к задаче
Решение: радиусов должно быть в два раза больше, чем диаметров, поэтому:
Витя сосчитал неправильно.
Список литературы
- Математика. 3 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 1 / [М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.] - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2012. - 112 с.: ил. - (Школа России).
- Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В. Математика, 3 класс. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.
- Петерсон Л.Г. Математика, 3 класс. - М.: Ювента.
- Mypresentation.ru ().
- Sernam.ru ().
- School-assistant.ru ().
Домашнее задание
1. Математика. 3 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 1 / [М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.] - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2012., ст. 94 № 1, ст. 95 № 3.
2. Разгадайте загадку.
Мы живём с братишкой дружно,
Нам так весело вдвоём,
Мы на лист поставим кружку (рис. 12),
Обведём карандашом.
Получилось то, что нужно -
Называется …
3. Необходимо определить диаметр окружности, если известно, что радиус равен 5 м.
4. * С помощью циркуля начертите две окружности с радиусами: а) 2 см и 5 см; б) 10 мм и 15 мм.
§ 1 Окружность. Основные понятия
В математике встречаются предложения, в которых разъясняется смысл того или иного названия или выражения. Такие предложения называют определениями.
Дадим определение понятию окружность. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
Данная точка, назовем ее точка О, называется центром окружности.
Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусомокружности. Таких отрезков можно провести много, например, ОА, ОВ, ОС. Все они будут иметь одну и ту же длину.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. MN - хорда окружности.
Хорда, проходящая через цент окружности, называется диаметром. АВ - диаметр окружности. Диаметр состоит из двух радиусов, значит, длина диаметра в два раза больше радиуса. Центр окружности является серединой любого диаметра.
Любые две точки окружности делят ее на две части. Эти части называются дугами окружности.
АNВ и АМВ - дуги окружности.
Часть плоскости, которая ограничена окружностью, называют кругом.
Для изображения окружности на чертеже пользуются циркулем. Окружность можно провести и на местности. Для этого достаточно воспользоваться веревкой. Один конец веревки закрепить на вбитый в землю колышек, а другим концом описать окружность.
§ 2 Построения циркулем и линейкой
В геометрии многие построения можно выполнить, пользуясь только циркулем и линейкой без масштабных делений.
С помощью только линейки можно провести произвольную прямую, а также произвольную прямую, проходящую через данную точку, или прямую, проходящую через две данные точки.
Циркуль позволяет провести окружность произвольного радиуса, также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.
Отдельно каждый из этих инструментов дает возможность сделать простейшие построения, а вот с помощью этих двух инструментов можно уже выполнить более сложные операции, например,
решить такие задачи на построение, как
Построить угол, равный данному,
Построить треугольник с данными сторонами,
Разделить отрезок пополам,
Через данную точку провести прямую перпендикулярную к данной прямой и т.д.
Рассмотрим задачу.
Задача: На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.
Даны луч ОС и отрезок АВ. Необходимо построить отрезок ОD, равный отрезку АВ.
С помощью циркуля построим окружность радиуса, равного длине отрезка АВ, с центром в точке О. Эта окружность пересечет данный луч ОС в некоторой точке D. Отрезок ОD - искомый отрезок.
Список использованной литературы:
- Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013. – 383 с.: ил.
- Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии 7 класс. - М.: «ВАКО», 2004. - 288с. – (В помощь школьному учителю).
- Белицкая О.В. Геометрия. 7 класс. Ч.1. Тесты. – Саратов: Лицей, 2014. – 64 с.
В задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины, а циркуль может иметь сколь угодно большой или сколь угодно малый раствор.
Допустимые построения. В задачах на построение допускаются следующие операции:
1. Отметить точку:
- произвольную точку плоскости;
- произвольную точку на заданной прямой;
- произвольную точку на заданной окружности;
- точку пересечения двух заданных прямых;
- точки пересечения/касания заданной прямой и заданной окружности;
- точки пересечения/касания двух заданных окружностей.
2. С помощью линейки можно построить прямую:
- произвольную прямую на плоскости;
- произвольную прямую, проходящую через заданную точку;
- прямую, проходящую через две заданных точки.
3. С помощью циркуля можно построить окружность:
- произвольную окружность на плоскости;
- произвольную окружность с центром в заданной точке;
- произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками;
- окружность с центром в заданной точке и радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками.
Решение задач на построение. Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:
- Описание способа построения искомого объекта.
- Доказательство того, что объект, построенный описанным способом, действительно является искомым.
- Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным вариантам начальных условий, а также на предмет единственности или неединственности решения, получаемого описанным способом.
Построение отрезка, равного данному. Пусть дан луч с началом в точке $O$ и отрезок $AB$. Для построения на луче отрезка $OP = AB$ нужно построить окружность с центром в точке $O$ радиуса $AB$. Точка пересечения луча с окружностью будет искомой точкой $P$.
Построение угла, равного данному. Пусть дан луч с началом в точке $O$ и угол $ABC$. C центром в точке $В$ строим окружность с произвольным радиусом $r$. Обозначим точки пересечения окружности с лучами $BA$ и $BC$ соответственно $A"$ и $C"$.
Построим окружность с центром в точке $O$ радиуса $r$. Точку пересечения окружности с лучом обозначим $P$. Построим окружность с центром в точке $P$ радиуса $A"B"$. Точку пересечения окружностей обозначим $Q$. Проведем луч $OQ$.
Получим угол $POQ$, равный углу $ABC$, так как треугольники $POQ$ и $ABC$ равны по трем сторонам.
Построение серединного перпендикуляра к отрезку. Построим две пересекающиеся окружности произвольного радиуса с центрами в концах отрезка. Соединив две точки их пересечения, получим серединный перпендикуляр.
Построение биссектрисы угла. Нарисуем окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла. Построим две пересекающиеся окружности произвольного радиуса с центрами в точках пересечения первой окружности со сторонами угла. Соединив вершину угла с любой из точек пересечения этих двух окружностей, получаем биссектрису угла.
Построение суммы двух отрезков. Для построения на данном луче отрезка, равного сумме двух данных отрезков, нужно дважды применить метод построения отрезка, равного данному.
Построение суммы двух углов. Для того чтобы отложить от данного луча угол, равный сумме двух данных углов, нужно дважды применить метод построения угла, равного данному.
Нахождение середины отрезка. Для того чтобы отметить середину данного отрезка, нужно построить серединный перпендикуляр к отрезку и отметить точку пересечения перпендикуляра с самим отрезком.
Построение перпендикулярной прямой через данную точку. Пусть требуется построить прямую, перпендикулярную данной и проходящую через данную точку. Проводим окружность произвольного радиуса с центром в данной точке (независимо от того, лежит она на прямой или нет), пересекающую прямую в двух точках. Строим серединный перпендикуляр к отрезку с концами в точках пересечения окружности с прямой. Это и будет искомая перпендикулярная прямая.
Построение параллельной прямой через данную точку. Пусть требуется построить прямую, параллельную данной и проходящую через данную точку вне прямой. Строим прямую, проходящую через данную точку, перпендикулярную данной прямой. Затем строим прямую, проходящую через данную точку, перпендикулярную построенному перпендикуляру. Полученная при этом прямая и будет искомой.
