Физическое поле - особая форма материи, связывающая частицы вещества и передающая (с конечной скоростью) воздействие одних тел на другие. Каждому типу взаимодействия в природе соответствует свое поле. Силовым полем называют область пространства, в которой на помещенное туда материальное тело действует сила, зависящая (в общем случае) от координат и от времени. Силовое поле называется стационарным, если действующие в нем силы не зависят от времени. Силовое поле, в любой точке которого сила, действующая на данную материальную точку, имеет одно и то же значение (по модулю и направлению), является однородным.

Можно характеризовать силовое поле силовыми линиями. В этом случае касательные к силовым линиям определяют направление действия силы в этом поле, а густота силовых линий пропорциональна величине силы.

Рис. 1.23.

Центральной называется сила, линяя действия которой во всех положениях проходит через некоторую определенную точку, называемую центром силы (точка О на рис. 1.23).

Поле, в котором действует центральная сила, - центральное силовое поле. Величина силы F(r), действующей на один и тот же материальный объект (материальную точку, тело, электрический заряд и др.) в разных точках такого поля, зависит только от расстояния г до центра сил, т.е.

(- единичный вектор в направлении вектора г ). Все силовые

Рис. 1.24. Схематическое представление на плоскости хОу однородного поля

линии такого поля проходят через одну точку (полюс) О; момент центральной силы в этом случае относительно полюса тождественно равен нулю M 0 (F ) = з 0. К центральным относятся гравитационные и кулоновские поля (и силы соответственно).

На рисунке 1.24 приведен пример однородного силового поля (его плоская проекция): в каждой точке такого поля действующая на одно и то же тело сила одинакова по величине и направлению, т.е.

Рис. 1.25. Схематическое представление на хОу неоднородного поля

На рисунке 1.25 приведен пример неоднородного поля, в котором F (х ,

у, z ) *? const и

и не равны нулю 1 . Густота силовых линий в различных областях такого поля не одинакова - в области справа поле более сильное.

Все силы в механике можно разбить на две группы: консервативные силы (действующие в потенциальных полях) и неконсервативные (или диссипативные). Силы называются консервативными (или потенциальными), если работа этих сил не зависит ни от формы траектории тела, на которое они действуют, ни от длины пути в области их действия, а определяется только начальным и конечным положением точек перемещения в пространстве. Поле консервативных сил называется потенциальным (или консервативным) полем.

Покажем, что работа консервативных сил по замкнутому контуру равна нулю. Для этого разобьем замкнутую траекторию произвольно на два участка а2 и Ь2 (рис. 1.25). Так как силы консервативны, то Л 1а2 = А т. С другой стороны А 1Ь2 = -А ш. Тогда А иш = А 1а2 + А ш = = А а2 - А Ь2 = 0, что и требовалось доказать. Справедливо и обратное

Рис. 1.26.

утверждение: если работа сил по произ-воль- ному замкнутому контуру ф равна нулю, то силы консервативны, а поле потенциально. Это условие записывается в виде контурного интеграла

Рис. 1.27.

что означает: в потенциальном поле циркуляция вектора F по любому замкнутому контуру L равна нулю.

Работа неконсервативных сил в общем случае зависит как от формы траектории, так и длины пути. Примером неконсервативных сил могут служить силы трения и сопротивления.

Покажем, что все центральные силы относятся к категории консервативных сил. Действительно (рис. 1.27), если сила F центральная, то ее можно пред-

1 Представленное на рис. 1.23 центральное силовое поле также является неоднородным полем.

ставить в виде В этом случае элементарная работа силы F

на элементарном перемещении d/ будет или

dA = F(r)dlcos а = F(r) dr (так как rdl = rdl cos a, a d/ cos а = dr). Тогда работа

где /(г) - первообразная функция.

Из полученного выражения видно, что работа Ап центральной силы F зависит только от вида функции F(r) и расстояний г { и г 2 точек 1 и 2 от силового центра О и не зависит от длины пути от 1 к 2, что и отражает консервативный характер центральных сил.

Приведенное доказательство является общим для любых центральных сил и полей, следовательно, охватывает упомянутые выше силы - гравитационные и кулоновские.

Полем сил называют область пространства, в каждой точке которого на помещенную туда частицу действует сила, закономерно меняющаяся от точки к точке, например поле силы тяжести Земли или поле сил сопротивления в потоке жидкости (газа). Если сила в каждой точке силового поля не зависит от времени, то такое поле называют стационарным . Ясно, что силовое поле, стационарное в одной системе отсчета, в другой системе может оказаться и нестационарным. В стационарном силовом поле сила зависит только от положения частицы.

Работа, которую совершают силы поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 , зависит, вообще говоря, от пути. Однако, среди стационарных силовых полей имеются такие, в которых эта работа не зависит от пути между точками 1 и 2 . Этот класс полей, обладая рядом важнейших свойств, занимает особое место в механике. К изучению этих свойств мы и перейдем.

Поясним сказанное на примере следящей силы. На рис. 5.4 изображено тело ABCD, в точке О которого приложена сила , неизменно связанная с телом.

Переместим тело из положения I в положение II двумя способами. Выберем вначале в качестве полюса точку О (рис. 5.4а)) и повернем тело вокруг полюса на угол π/2 противоположно направлению вращения часовой стрелки. Тело займет положение A"B"C"D". Сообщим теперь телу поступательное перемещение в вертикальном направлении на величину ОО". Тело займет положение II (A"B"C"D"). Работа силы на совершенном перемещении тела из положения I в положение II равна нулю. Вектор перемещения полюса представлен отрезком ОО".

При втором способе выберем в качестве полюса точку K рис. 5.4б) и повернем тело вокруг полюса на угол π/2 против движения часовой стрелки. Тело займет положение A"B"C"D" (рис. 5.4б). Теперь переместим тело вертикально вверх с вектором перемещения полюса KK", после чего дадим телу горизонтальное перемещение влево на величину K"K". В результате тело займет положение II, такое же, как на позиции, рис.5.4а )рисунка 5.4. Однако теперь вектор перемещения полюса будет иным, чем в первом способе, а работа силы при втором способе перемещения тела из положения I в положение II равна А = F К"К", т. е. отлична от нуля.

Определение : стационарное силовое поле, в котором работа силы поля на пути между двумя любыми точками не зависит от формы пути, а зависит только от положения этих точек, называют потенциальным, а сами силы – консервативными.

Потенциалом таких сил (потенциальной энергией )называется работа, совершенная ими на перемещениях тела из конечного положения в начальное, причем начальное положение может быть выбрано произвольно. Это означает, что потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной.

Если это условие не выполняется, то силовое поле не является потенциальным, а силы поля называются неконсервативными .

В реальных механических системах всегда имеются силы, работа которых при действительном движении системы отрицательна (например, силы трения). Такие силы называются диссипативными. Они являются частным видом неконсервативных сил.

Консервативные силы обладают рядом замечательных свойств, для выявления которых введем понятие силового поля. Силовым полем называется пространство (или его часть ), в котором на материальную точку, помещенную в каждую точку этого поля, действует некоторая сила.

Покажем, что в потенциальном поле работа сил поля на любом замкнутом пути равна нулю. Действительно, любой замкнутый путь (рис. 5.5) можно разбить произвольно на две части, 1а2 и 2b1 . Так как поле потенциально, то, по условию, . С другой стороны, очевидно, что . Поэтому

что и требовалось доказать.

Обратно, если работа сил поля на любом замкнутом пути равна нулю, то работа этих сил на пути между произвольными точками 1 и 2 от формы пути не зависит, т. е. поле потенциально. Для доказательства возьмем два произвольных пути 1а2 и 1b2 (см. рис. 5.5). Составим из них замкнутый путь 1а2b1 . Работа на этом замкнутом пути по условию равна нулю, т. е. . Отсюда . Но , поэтому

Таким образом, равенство нулю работы сил поля на любом замкнутом пути есть необходимое и достаточное условие независимости работы от формы пути, и может считаться отличительным признаком любого потенциального поля сил.

Поле центральных сил. Всякое силовое поле вызывается действием определенных тел. Сила, действующая на частицу А в таком поле, обусловлена взаимодействием этой частицы с данными телами. Силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами и направленные по прямой, соединяющей эти частицы, называют центральными. Примером последних являются силы гравитационные, кулоновские и упругие.

Центральную силу, действующую на частицу А со стороны частицы В , можно представить в общем виде:

где f (r ) - функция, зависящая при данном характере взаимодействия только от r - расстояния между частицами; - единичный вектор, задающий направление радиуса-вектора частицы А относительно частицы В (рис. 5.6).

Докажем, что всякое стационарное поле центральных сил потенциально .

Для этого рассмотрим сначала работу центральных сил в случае, когда силовое поле вызвано наличием одной неподвижной частицы В . Элементарная работа силы (5.8) на перемещении есть . Так как - проекция вектора на вектор , или на соответствующий радиус-вектор (рис. 5.6), то . Работа же этой силы по произвольном пути от точки 1 до точки 2

Полученное выражение зависит, только от вида функции f (r ), т. е. от характера взаимодействия, и от значений r 1 и r 2 начального и конечного расстояний между частицами А и В . От формы пути оно никак не зависит. А это значит, что данное силовое поле потенциально.

Обобщим полученный результат на стационарное силовое поле, вызванное наличием совокупности неподвижных частиц, действующих на частицу А с силами , каждая из которых является центральной. В этом случае работа результирующей силы при перемещении частицы А из одной точки в другую равна алгебраической сумме работ отдельных сил. А так как работа каждой из этих сил не зависит от формы пути, то и работа результирующей силы от нее также не зависит.

Таким образом, действительно, любое стационарное поле центральных сил потенциально.

Потенциальная энергия частицы. То обстоятельство, что работа сил потенциального поля зависит только от начального и конечного положений частицы, дает возможность ввести чрезвычайно важное понятие потенциальной энергии.

Представим себе, что мы перемещаем частицу в потенциальном поле сил из разных точек Р i в фиксированную точку О . Так как работа сил поля не зависит от формы пути, то остается зависимость ее только от положения точки Р (при фиксированной точке О ). А это значит, что данная работа будет некоторой функцией радиус-вектора точки Р . Обозначив, эту функцию , запишем

Функцию называют потенциальной энергией частицы в данном поле.

Теперь найдем работу сил поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 (рис. 5.7). Так как работа не зависит от пути, возьмем путь проходящий через точку 0. Тогда работа на пути 1 02 может быть представлена в виде

или с учетом (5.9)

Выражение, стоящее справа, есть убыль* потенциальной энергии, т. е. разность значений потенциальной энергии частицы в начальной и конечной точках пути.

_________________

* Изменение какой-либо величины X можно характеризовать либо ее приращением, либо убылью. Приращением величины X называют разность конечного (X 2 ) и начального (Х 1 ) значений этой величины:

приращение ΔХ = Х 2 - Х 1 .

Убылью величины X называют разность ее начального (Х 1 ) и конечного (Х 2 ) значений:

убыль Х 1 - Х 2 = - ΔХ ,

т. е. убыль величины X равна ее приращению, взятому с обратным знаком.

Приращение и убыль - величины алгебраические: если Х 2 > X 1 , то приращение положительно, а убыль отрицательна, и наоборот.

Таким образом, работа сил поля на пути 1 - 2 равна убыли потенциальной энергии частицы.

Очевидно, частице, находящейся в точке 0 поля, всегда можно приписать любое наперед выбранное значение потенциальной энергии. Это соответствует тому обстоятельству, что путем измерения работы может быть определена лишь разность потенциальных энергий в двух точках поля, но не ее абсолютная величина. Однако как только фиксировано значение

потенциальной энергии в какой-либо точке, значения ее во всех остальных точках поля однозначно определяются формулой (5.10).

Формула (5.10) дает возможность найти выражение для любого потенциального поля сил. Для этого достаточно вычислить работу, совершаемую силами поля на любом пути между двумя точками, и представить ее в виде убыли некоторой функции, которая и есть потенциальная энергия .

Именно так и было сделано при вычислении работы в полях упругой и гравитационной (кулоновской) сил, а также в однородном поле тяжести [см. формулы (5.3) - (5.5)]. Из этих формул сразу видно, что потенциальная энергия частицы в данных силовых полях имеет следующий вид:

1) в поле упругой силы

2) в поле точечной массы (заряда)

3) в однородном поле тяжести

Еще раз подчеркнем, что потенциальная энергия U - это функция, которая определяется с точностью до прибавления некоторой произвольной постоянной. Это обстоятельство, однако, совершенно несущественно, ибо во все формулы входит только разность значений U в двух положениях частицы. Поэтому произвольная постоянная, одинаковая для всех точек поля, выпадает. В связи с этим ее обычно опускают, что и сделано в трех предыдущих выражениях.

И еще одно важное обстоятельство, о котором не следует забывать. Потенциальную энергию, строго говоря, следует относить не к частице, а к системе взаимодействующих между собой частицы и тел, вызывающих силовое поле. При данном характере взаимодействия потенциальная энергия взаимодействия частицы с данными телами зависит только от положения частицы относительно этих тел.

Связь между потенциальной энергией и силой . Согласно (5.10), работа силы потенциального поля равна убыли потенциальной энергии частицы, т. е. А 12 = U 1 - U 2 = - (U 2 - U 1). При элементарном перемещении последнее выражение имеет вид dА = - dU , или

F l dl= - dU. (5.14)

т. е. проекция силы поля в данной точке на направление перемещения равна с обратным знаком частной производной потенциальной энергии по данному направлению.

, то с помощью формулы (5.16) мы имеем возможность восстановить поле сил .

Геометрическое место точек в пространстве, в которых потенциальная энергия U имеет одно и то же значение, определяет эквипотенциальную поверхность. Ясно, что каждому значению U соответствует своя эквипотенциальная поверхность.

Из формулы (5.15) следует, что проекция вектора на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. Это значит, что вектор нормален к эквипотенциальной поверхности в данной точке. Кроме того, знак минус в (5.15) означает, что вектор направлен в сторону уменьшения потенциальной энергии. Сказанное поясняет рис. 5.8, относящийся к двумерному случаю; здесь изображена система эквипотенциалей, причем U 1 < U 2 < U 3 < … .

Кроме контактных взаимодействий, возникающих между соприкасающимися телами, наблюдаются также взаимодействия между телами, удаленными друг от друга

Кроме контактных взаимодействий, возникающих между соприкасающимися телами, наблюдаются также взаимодействия между телами, удаленными друг от друга. Например, взаимодействие между Солнцем и Землей, Землей и Луной, Землей и телом, поднятым над ее поверхностью, взаимодействие между наэлектризованными телами. Такие взаимодействия осуществляются посредством физических полей , которые представляют собой особую форму материи. Каждое тело создает в окружающем его пространстве особое состояние, называемое силовым полем. Это поле проявляет себя в действии сил на другие тела. Например, Земля создает гравитационное поле. В нем на каждое тело массы m в каждой точке вблизи поверхности Земли действует сила - mg.

Силы, работа которых не зависит от пути, по которому двигалась частица, а определяется только начальным и конечным положением частицы, называются консервативными .

Покажем, что работа консервативных сил на любом замкнутом пути равна нулю.

Рассмотрим произвольный замкнутый путь. Разобьем его произвольно выбранными точками 1 и 2 на два участка: I и II. Работа на замкнутом пути равна:

(18 .1 )

Рис.18.1. Работа консервативных сил на замкнутом пути

Изменение направления движения по участку II на обратное сопровождается заменой всех элементарных перемещений dr на (-dr), из-за чего изменяет знак на обратный. Тогда:

(18 .2 )

Теперь, подставив (18.2.) в (18.1.) , получаем, что А=0, т.е. вышеприведенное утверждение нами доказано. Другое определение консервативных сил можно сформулировать так: консервативные силы, это силы, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю.

Все силы, не являющиеся консервативными, называются неконсервативными . К неконсервативным силам относятся силы трения и сопротивления.

Если силы, действующие на частицу, во всех точках поля одинаковы по модулю и направлению, то поле называется однородным.

Поле, не изменяющееся со временем, называется стационарным . В случае однородного стационарного поля: F=const.

Утверждение: силы, действующие на частицу в однородном стационарном поле, консервативны.

Докажем это утверждение. Так как поле однородно и стационарно, то F=const. Возьмем в этом поле две произвольные точки 1 и 2 (рис.18.2.) и рассчитаем работу, совершаемую над частицей при ее перемещении из точки 1 в точку 2.

18.2. Работа сил в однородном стационарном поле на пути от точки 1 к точке 2

Работа сил, действующих на частицу в однородном стационарном поле, равна:

где r F - проекция вектора перемещения r 12 на направление действия силы, r F определяется только положениями точек 1 и 2, и не зависит от формы траектории. Тогда, работа силы в этом поле не зависит от формы пути, а определяется лишь положениями начальной и конечной точек перемещения, т.е. силы однородного стационарного поля консервативны.

Вблизи поверхности Земли поле силы тяжести является однородным стационарным полем и работа силы mg равна:

(18 .4 )

где (h 1 -h 2) - проекция перемещения r 12 на направление силы, сила mg направлена вертикально вниз, сила тяжести консервативна.

Силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами, и направленные по прямой, проходящей через эти частицы, называются центральными. Примерами центральных сил являются: кулоновские, гравитационные, упругие.

СИЛОВОЕ ПОЛЕ

СИЛОВОЕ ПОЛЕ

Часть пространства (ограниченная или неограниченная), в каждой точке к-рой на помещённую туда материальную ч-цу действует , величина и направление к-рой зависят либо только от координат х, у, z этой точки, либо от координат и от времени t. В первом случае С., п. наз. стационарным, а во втором - нестационарным. Если сила во всех точках С. п. имеет одно и то же значение, т. е. не зависит от координат, то С. п. наз. однородным.

С. п., в к-ром сил поля, действующих на перемещающуюся в нём материальную ч-цу, зависит только от начального и конечного положения ч-цы и не зависит от вида её траектории, наз. потенциальным. Эту работу можно выразить через потенциальную энергию ч-цы П (х, у, z):

A=П(x1, y1, z1)-П(x2, y2, z2),

где x1, y1, z1 и х2, y2, z2 - координаты начального и конечного положений частицы соответственно. При движении ч-цы в потенциальном С. п. под действием только сил поля имеет место закон сохранения механич. энергии, позволяющий установить зависимость между скоростью ч-цы и её положением в С. п.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . . 1983 .

СИЛОВОЕ ПОЛЕ

Часть пространства (ограниченная или неограниченная),в каждой точке к-рой на помещённую туда материальную частицу действуетопределённая по численной величине и направлению сила, зависящая толькоот координат х, у, z этой точки. Такое С. п. наз. стационарным;если сила поля зависит и от времени, то С. п. наз. нестационарным; еслисила во всех точках С. п. имеет одно и то же значение, т. е. не зависитни от координат, ни от времени, С. п. наз. однородным.

Стационарное С. п. может быть задано ур-ниями

где F x , F y , F z - проекции силыполя F.

Если существует такая ф-ция U(x, у, z), называемая силовой ф-цией, U(x,у, z), а сила F может быть определена через эту ф-цию равенствами:

или . Условиесуществования силовой ф-ции для данного С. п. состоит в том, что

или . При перемещении в потенциальном С. п. из точки M 1 (x 1 ,y 1 , z 1 )в точку М 2 (х 2 ,у 2 , z 2) работа сил поля определяется равенством и не зависит от вида траектории, по к-рои перемещается точка приложениясилы.

Поверхности U(x, у, z) = const, на к-рых ф-ция сохраняет пост. Примеры потенциального С. п.: однородное поле тяжести, для к-рого U= -mgz, где т - масса движущейся в поле частицы, g - ускорениесилы тяжести (ось z направлена вертикально вверх); ньютоново полетяготения, для к-рого U = km/r, где r =- расстояние от центра притяжения, k - постоянный для данного поля коэффициент. потенциальную энергию П, связанную с U зависимостью П(х,)= = -U(x, у, z). Изучение движения частицы в потенциальномС. п. (при отсутствии других сил) существенно упрощается, т. к. в этомслучае имеет место закон сохранения механич. энергии, позволяющий установитьпрямую зависимость между скоростью частицы и её положением в С. п. с. СИЛОВЫЕ ЛИНИИ - семейство кривых, характеризующих пространственноераспределение векторного поля сил; направление вектора поля в каждой точкесовпадает с касательной к С. л. Т. о., ур-ния С. л. произвольного векторногополя А (х, у, z) записываются в виде:

Плотность С. л. характеризует интенсивность (величину) силового поля. Понятие С. л. введено М. Фарадеем при исследовании магнетизма, а затемполучило дальнейшее развитие в работах Дж. К. Максвелла по электромагнетизму. Максвелла тензоре натяжений эл.-магн. поля.

Наряду с использованием понятия С. л. чаще говорят просто о линиях поля:напряжённости электрич. поля Е, индукции магн. поля В и т.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Смотреть что такое "СИЛОВОЕ ПОЛЕ" в других словарях:

Силовое поле многозначный термин, употребляемый в следующих значениях: Силовое поле (физика) векторное поле сил в физике; Силовое поле (научная фантастика) некий невидимый барьер, основная функция которого защита некоторой … Википедия

Часть пространства, в каждой точке которого на помещенную туда частицу действует определенная по величине и направлению сила, зависящая от координат этой точки, а иногда и от времени. В первом случае силовое поле называют стационарным, а во… … Большой Энциклопедический словарь

силовое поле - Область пространства, в которой на помещенную туда материальную точку действует сила, зависящая от координат этой точки в рассматриваемой системе отсчета и от времени. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 102. Теоретическая механика. Академия… … Справочник технического переводчика

Часть пространства, в каждой точке которого на помещённую туда частицу действует определённая по величине и направлению сила, зависящая от координат этой точки, а иногда и от времени. В первом случае силовое поле называют стационарным, а во… … Энциклопедический словарь

силовое поле - jėgų laukas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Vektorinis laukas, kurio bet kuriame taške esančią dalelę veikia tik nuo taško padėties priklausančios jėgos (nuostovusis jėgų laukas) arba nuo taško padėties ir laiko… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

силовое поле - jėgų laukas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. force field vok. Kraftfeld, n rus. поле сил, n; силовое поле, n pranc. champ de forces, m … Fizikos terminų žodynas

СИЛОВОЕ ПОЛЕ - В физике, этому термину может быть дано точное определение, в психологии оно используется, как правило, метафорически и обычно относится к любому или ко всем влияниям на поведение. Он обычно используется довольно холистически – силовое поле… … Толковый словарь по психологии

Часть пространства (ограниченная или неограниченная), в каждой точке которой на помещенную туда материальную частицу действует определённая по величине и направлению сила, зависящая или только от координат x, у, z этой точки, или же от… … Большая советская энциклопедия

Часть пространства, в каждой точке к рого на помещённую туда частицу действует определённая по величине и направлению сила, зависящая от координат этой точки, а иногда и от времени. В первом случае С. п. наз. стационарным, а во втором… … Естествознание. Энциклопедический словарь

силовое поле - Область пространства, в которой на помещённую туда материальную точку действует сила, зависящая от координат этой точки в рассматриваемой системе отсчёта и от времени … Политехнический терминологический толковый словарь

Силовым полем называется физическое пространство, удовлетворяющее тому условию, что на точки механической системы, находящейся в этом пространстве, действуют силы, зависящие от положения этих точек или от положения точек и времени (но не от их скоростей).

Силовое поле , силы которого не зависят от времени, называется стационарным (примерами силового поля могут служить поле силы тяжести, электростатическое поле, поле силы упругости ).

Потенциальное силовое поле.

Стационарное силовое поле называется потенциальным , если работа сил поля, действующих на механическую систему, не зависит от формы траекторий ее точек и определяется только их начальным и конечным положениями.Эти силы называются силами, имеющими потенциал, или консервативными силами.

Докажем, что приведенное условие выполняется, если существует однозначная функция координат:

называемая силовой функцией поля, частные производные от которой по координатам любой точки M i (i=1, 2...n) равны проекциям приложенной к этой точке силы на соответствующие оси, т. е

Элементарную работу силы, приложенной к каждой точке, можно определить по формуле:

Элементарная работа сил, приложенных ко всем точкам системы, равна:

Пользуясь формулами получаем:

Как видно из этой формулы, элементарная работа сил потенциального поля равна полному дифференциалу силовой функции.Работа сил поля на конечном перемещении механической системы равна:

т. е. работа сил, действующих на точки механической системы в потенциальном поле, равна разности значений силовой функции в конечном и начальном положениях системы и не зависит от формы траекторий точек этой системы. Положениях системы и не зависит от формы траекторий точек этой системы. Из этого следует, что силовое поле, для которого существует силовая функция, действительно является потенциальным .