Koks yra stačiojo trikampio aukštis. Taisyklingas trikampis

Tiesą sakant, viskas nėra taip baisu. Žinoma, straipsnyje reikėtų pažvelgti į „tikrąjį“ sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimą. Bet tu tikrai nenori, ar ne? Galime pasidžiaugti: norėdami išspręsti stačiakampio trikampio problemas, galite tiesiog užpildyti šiuos paprastus dalykus:

O kaip kampas? Ar yra koja, kuri yra priešais kampą, tai yra, priešinga koja (kampui)? Žinoma, turi! Tai katetas!

Bet kaip dėl kampo? Pažiūrėk atidžiai. Kuri koja yra greta kampo? Žinoma, katė. Taigi, kampui, koja yra greta, ir

O dabar dėmesio! Pažiūrėkite, ką gavome:

Pažiūrėkite, koks jis puikus:

Dabar pereikime prie tangento ir kotangento.

Kaip dabar tai išreikšti žodžiais? Kokia yra koja kampo atžvilgiu? Žinoma, priešingai – „guli“ priešais kampą. O katetas? Šalia kampo. Taigi ką mes gavome?

Pažiūrėkite, kaip skaitiklis ir vardiklis sukeičiami?

O dabar vėl kampai ir pasikeitė:

Santrauka

Trumpai parašykime, ką sužinojome.

Pitagoro teorema:

Pagrindinė stačiojo trikampio teorema yra Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema

Beje, ar gerai prisimeni, kas yra kojos ir hipotenuzė? Jei ne, pažiūrėkite į paveikslėlį – atnaujinkite žinias

Gali būti, kad jau daug kartų naudojote Pitagoro teoremą, bet ar kada susimąstėte, kodėl tokia teorema yra teisinga. Kaip tai įrodytumėte? Darykime kaip senovės graikai. Nubrėžkime kvadratą su kraštine.

Matote, kaip gudriai suskirstėme jos šonus į ilgio segmentus ir!

Dabar sujungkime pažymėtus taškus

Tačiau čia mes atkreipėme dėmesį į ką nors kita, bet jūs patys pažiūrėkite į paveikslėlį ir pagalvokite, kodėl.

Koks yra didesnio kvadrato plotas?

Teisingai,.

O kaip dėl mažesnio ploto?

Be abejo,.

Išlieka bendras keturių kampų plotas. Įsivaizduokite, kad paėmėme du iš jų ir atsirėmėme vienas į kitą su hipotenomis.

Kas nutiko? Du stačiakampiai. Taigi „auginių“ plotas yra lygus.

Sudėkime viską dabar.

Transformuokime:

Taigi mes aplankėme Pitagorą – senoviniu būdu įrodėme jo teoremą.

Statusis trikampis ir trigonometrija

Stačiajam trikampiui galioja šie santykiai:

Smagiojo kampo sinusas lygus priešingos kojos ir hipotenuzės santykiui

Smagiojo kampo kosinusas lygus gretimos kojos ir hipotenuzės santykiui.

Smagiojo kampo liestinė lygi priešingos kojos ir gretimos kojos santykiui.

Smagiojo kampo kotangentas yra lygus gretimos kojos ir priešingos kojos santykiui.

Ir dar kartą visa tai lėkštės pavidalu:

Tai labai patogu!

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai

I. Ant dviejų kojų

II. Pagal koją ir hipotenuzę

III. Pagal hipotenuzę ir smailią kampą

IV. Išilgai kojos ir smailaus kampo

Dėmesio! Čia labai svarbu, kad kojos būtų „atitinkančios“. Pavyzdžiui, jei viskas vyksta taip:

TUOMET TRIKAMPAI NELYGŪS, nepaisant to, kad jie turi vieną identišką smailią kampą.

Reikia abiejuose trikampiuose koja buvo greta, arba abiejuose - priešinga.

Ar pastebėjote, kaip stačiųjų trikampių lygybės ženklai skiriasi nuo įprastų trikampių lygybės ženklų?

Pažvelkite į temą „ir atkreipkite dėmesį į tai, kad „paprastų“ trikampių lygybei reikia trijų jų elementų lygybės: dviejų kraštinių ir kampo tarp jų, dviejų kampų ir kraštinės tarp jų arba trijų kraštinių.

Tačiau stačiakampių trikampių lygybei pakanka tik dviejų atitinkamų elementų. Tai puiku, tiesa?

Maždaug tokia pati situacija su stačiųjų trikampių panašumo ženklais.

Stačiųjų trikampių panašumo ženklai

I. Ūminis kampas

II. Ant dviejų kojų

III. Pagal koją ir hipotenuzę

Mediana stačiakampiame trikampyje

Kodėl taip yra?

Apsvarstykite visą stačiakampį, o ne stačiakampį trikampį.

Nubrėžkime įstrižainę ir apsvarstykime tašką – įstrižainių susikirtimo tašką. Ką žinote apie stačiakampio įstrižaines?

Ir kas iš to seka?

Taigi atsitiko taip

- mediana:

Prisiminkite šį faktą! Labai padeda!

Dar labiau stebina tai, kad tiesa yra ir atvirkščiai.

Ką gero galima gauti iš to, kad mediana, nubrėžta į hipotenuzę, yra lygi pusei hipotenuzės? Pažiūrėkime į paveikslėlį

Pažiūrėk atidžiai. Turime: , tai yra, atstumai nuo taško iki visų trijų trikampio viršūnių pasirodė lygūs. Tačiau trikampyje yra tik vienas taškas, atstumai, nuo kurių maždaug visos trys trikampio viršūnės yra lygūs, ir tai yra APRAŠYTO APYRAMO CENTRAS. Taigi, kas atsitiko?

Taigi pradėkime nuo šio „be to...“.

Pažiūrėkime į i.

Tačiau panašiuose trikampiuose visi kampai yra lygūs!

Tą patį galima pasakyti apie ir

Dabar nupieškime kartu:

Kokia nauda iš šio „trigubo“ panašumo.

Na, pavyzdžiui - dvi stačiojo trikampio aukščio formulės.

Rašome atitinkamų šalių santykius:

Norėdami rasti aukštį, išsprendžiame proporciją ir gauname pirmoji formulė "Aukštis stačiakampiame trikampyje":

Na, o dabar, pritaikydami ir derindami šias žinias su kitomis, išspręsite bet kokią problemą su stačiu trikampiu!

Taigi, pritaikykime panašumą: .

Kas bus dabar?

Vėlgi išsprendžiame proporciją ir gauname antrą formulę:

Abi šias formules reikia labai gerai įsiminti ir tą, kurią patogiau taikyti.

Užrašykime juos dar kartą.

Pitagoro teorema:

Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai:.

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai:

ant dviejų kojų:
išilgai kojos ir hipotenuzės: arba
išilgai kojos ir gretimo smailiojo kampo: arba
išilgai kojos ir priešingo smailaus kampo: arba
pagal hipotenuzę ir smailią kampą: arba.

Stačiųjų trikampių panašumo ženklai:

vienas aštrus kampas: arba
iš dviejų kojų proporcingumo:
nuo kojos ir hipotenuzės proporcingumo: arba.

Sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas stačiakampiame trikampyje

Stačiakampio trikampio smailiojo kampo sinusas yra priešingos kojos ir hipotenuzės santykis:
Stačiojo trikampio smailaus kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:
Stačiojo trikampio smailaus kampo liestinė yra priešingos kojos ir gretimos kojos santykis:
Stačiojo trikampio smailaus kampo kotangentas yra gretimos kojos ir priešingos kotangentas:.

Stačiojo trikampio aukštis: arba.

Stačiakampiame trikampyje iš stačiojo kampo viršūnės nubrėžta mediana lygi pusei hipotenuzės: .

Stačiojo trikampio plotas:

per kateterius:

Trikampiai.

Pagrindinės sąvokos.

Trikampis- tai figūra, susidedanti iš trijų atkarpų ir trijų taškų, kurie nėra vienoje tiesėje.

Segmentai vadinami vakarėliams, ir taškai viršūnės.

Kampų suma trikampis lygus 180º.

Trikampio aukštis.

Trikampio aukštis yra statmenas, nubrėžtas iš viršūnės į priešingą pusę.

Smailiame trikampyje aukštis yra trikampio viduje (1 pav.).

Stačiakampiame trikampyje kojos yra trikampio aukščiai (2 pav.).

Bukajame trikampyje aukštis eina už trikampio ribų (3 pav.).

Trikampio aukščio savybės:

Trikampio bisektorius.

Trikampio bisektorius- tai atkarpa, kuri padalina viršūnės kampą ir jungia viršūnę su tašku priešingoje pusėje (5 pav.).

Bisektoriaus savybės:

Trikampio mediana.

Trikampio mediana- tai atkarpa, jungianti viršūnę su priešingos pusės viduriu (9a pav.).

Medianos ilgį galima apskaičiuoti pagal formulę:

2b 2 + 2c 2 - a 2
m a 2 = ——————
4

kur m a- mediana nubrėžta į šoną a.

Stačiakampiame trikampyje mediana, nubrėžta į hipotenuzę, yra pusė hipotenuzės:

c
mc = —
2

kur mc yra mediana, nubrėžta iki hipotenuzės c(9c pav.)

Trikampio medianos susikerta viename taške (trikampio masės centre) ir yra padalintos iš šio taško santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršaus. Tai reiškia, kad atkarpa nuo viršūnės iki centro yra dvigubai didesnė už atkarpą nuo centro iki trikampio kraštinės (9c pav.).

Trys trikampio medianos padalija jį į šešis vienodo ploto trikampius.

Vidurinė trikampio linija.

Vidurinė trikampio linija- tai atkarpa, jungianti jos dviejų kraštinių vidurio taškus (10 pav.).

Trikampio vidurio linija lygiagreti trečiajai kraštinei ir lygi jos pusei.

Išorinis trikampio kampas.

išorinis kampas trikampis lygus dviejų negretimų vidinių kampų sumai (11 pav.).

Išorinis trikampio kampas yra didesnis už bet kurį ne gretimą kampą.

Taisyklingas trikampis.

Taisyklingas trikampis- tai trikampis, turintis stačią kampą (12 pav.).

Stačiojo trikampio kraštinė, priešinga stačiajam kampui, vadinama hipotenuzė.

Kitos dvi pusės vadinamos kojos.

Proporcingos stačiojo trikampio atkarpos.

1) Stačiame trikampyje iš stačiojo kampo nubrėžtas aukštis sudaro tris panašius trikampius: ABC, ACH ir HCB (14a pav.). Atitinkamai, kampai, sudaryti iš aukščio, yra lygūs kampams A ir B.

14a pav

Lygiašonis trikampis.

Lygiašonis trikampis- tai trikampis, kurio dvi kraštinės lygios (13 pav.).

Šios lygios pusės vadinamos pusės, ir trečia pagrindu trikampis.

Lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yra lygūs. (Mūsų trikampyje kampas A lygus kampui C).

Lygiašoniame trikampyje mediana, nubrėžta į pagrindą, yra ir trikampio pusiausvyra, ir aukštis.

Lygiakraštis trikampis.

Lygiakraščiu trikampiu vadinamas trikampis, kurio visos kraštinės lygios (14 pav.).

Lygiakraščio trikampio savybės:

Įspūdingos trikampių savybės.

Trikampiai turi originalių savybių, kurios padės sėkmingai išspręsti su šiomis formomis susijusias problemas. Kai kurios iš šių savybių aprašytos aukščiau. Tačiau pakartojame juos dar kartą, pridėdami keletą kitų puikių funkcijų:

1) Stačiame trikampyje, kurio kampai 90º, 30º ir 60º, kojelė b, esantis priešais 30º kampą, yra lygus pusė hipotenuzės. Kojąa daugiau kojosb√3 kartus (15 pav a). Pavyzdžiui, jei b kojelė yra 5, tada hipotenuzė c būtinai lygus 10, o koja a lygus 5√3.

2) Stačiakampio lygiašonio trikampio, kurio kampai yra 90º, 45º ir 45º, hipotenuzė yra √2 kartus didesnė už koją (15 pav. b). Pavyzdžiui, jei kojos yra 5, tada hipotenuzė yra 5√2.

3) Trikampio vidurio linija lygi pusei lygiagrečios kraštinės (15 pav.). Su). Pavyzdžiui, jei trikampio kraštinė lygi 10, tai jam lygiagreti vidurio linija yra 5.

4) Stačiakampiame trikampyje mediana, nubrėžta į hipotenuzą, yra lygi pusei hipotenuzės (9c pav.): mc= c/2.

5) Trikampio medianos, susikertančios viename taške, dalijamos iš šio taško santykiu 2:1. Tai reiškia, kad atkarpa nuo viršūnės iki medianų susikirtimo taško yra dvigubai didesnė už atkarpą nuo medianų susikirtimo taško iki trikampio kraštinės (9c pav.)

6) Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės vidurio taškas yra apibrėžtojo apskritimo centras (15 pav. d).

Trikampių lygybės ženklai.

Pirmasis lygybės ženklas: Jei vieno trikampio dvi kraštinės ir kampas tarp jų yra lygūs kito trikampio dviem kraštinėms ir kampas tarp jų, tai tokie trikampiai yra sutampa.

Antrasis lygybės ženklas: jei vieno trikampio kraštinė ir jai besiribojantys kampai yra lygūs kito trikampio kraštinei ir kampai, esantys šalia jo, tai tokie trikampiai yra kongruentiški.

Trečiasis lygybės ženklas: Jei vieno trikampio trys kraštinės yra lygios kito trikampio trims kraštinėms, tai tokie trikampiai yra sutampa.

Trikampio nelygybė.

Bet kuriame trikampyje kiekviena kraštinė yra mažesnė už kitų dviejų kraštinių sumą.

Pitagoro teorema.

Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai:

c 2 = a 2 + b 2 .

Trikampio plotas.

1) Trikampio plotas lygus pusei jo kraštinės ir aukščio, nubrėžto į šią kraštinę, sandaugos:

Ak
S = ——
2

2) Trikampio plotas yra lygus pusei bet kurių dviejų jo kraštinių ir kampo tarp jų sinuso sandaugos:

1
S = — AB · AC · nuodėmė A
2

Aplink apskritimą apibrėžtas trikampis.

Apskritimas vadinamas įbrėžtu į trikampį, jeigu jis liečia visas jo kraštines (16 pav.). a).

Į apskritimą įbrėžtas trikampis.

Trikampis vadinamas įbrėžtu apskritime, jeigu jis liečia jį visomis viršūnėmis (17 pav. a).

Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas (18 pav.).

Sinusas aštrus kampas x priešingas kateteris į hipotenuzę.
Žymima taip: nuodėmėx.

Kosinusas aštrus kampas x stačiakampis yra santykis gretimas kateteris į hipotenuzę.
Jis žymimas taip: cos x.

Tangentas aštrus kampas x yra priešingos kojos ir gretimos kojos santykis.
Žymima taip: tgx.

Kotangentas aštrus kampas x yra gretimos kojos ir priešingos kojos santykis.
Žymima taip: ctgx.

Taisyklės:

Kojos priešingame kampe x, yra lygus hipotenuzės ir nuodėmės sandaugai x:

b=c nuodėmė x

Koja greta kampo x, yra lygus hipotenuzės ir cos sandaugai x:

a = c cos x

Kojos priešingame kampe x, yra lygus antrosios kojos ir tg sandaugai x:

b = a tg x

Koja greta kampo x, yra lygus antrosios kojos ir ctg sandaugai x:

a = b ctg x.

Bet kokiam aštriam kampui x:

sin (90° - x) = cos x

cos (90° - x) = nuodėmė x

Taisyklingas trikampis yra trikampis, kurio vienas iš kampų yra tiesus, tai yra lygus 90 laipsnių.

Pusė, priešinga stačiajam kampui, vadinama hipotenuse. c arba AB)
Šonas, esantis šalia stačiojo kampo, vadinamas koja. Kiekvienas stačiakampis trikampis turi dvi kojeles (nurodytas kaip a ir b arba AC ir BC)

Stačiojo trikampio formulės ir savybės

Formulių pavadinimai:

(žr. paveikslėlį aukščiau)

a, b- stačiojo trikampio kojos

c- hipotenuzė

α, β - smailieji trikampio kampai

S- kvadratas

h- aukštis nukrito nuo stačiojo kampo viršūnės iki hipotenuzės

m a a iš priešingo kampo ( α )

m b- mediana nubrėžta į šoną b iš priešingo kampo ( β )

mc- mediana nubrėžta į šoną c iš priešingo kampo ( γ )

V taisyklingas trikampis bet kuri koja yra mažesnė už hipotenuzę(Formulės 1 ir 2). Ši savybė yra Pitagoro teoremos pasekmė.

Bet kurio smailiojo kampo kosinusas mažiau nei vienas (Formulės 3 ir 4). Ši savybė išplaukia iš ankstesnės. Kadangi bet kuri iš kojų yra mažesnė už hipotenuzą, kojos ir hipotenuzės santykis visada yra mažesnis nei vienas.

Hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai (Pitagoro teorema). (Formulė 5). Ši savybė nuolat naudojama sprendžiant problemas.

Stačiojo trikampio plotas lygus pusei kojų sandaugos (Formulė 6)

Vidutinių kvadratų sumaį kojas yra lygus penkiems įdubos vidurio kvadratams ir penkiems hipotenuzės kvadratams padalyti iš keturių (7 formulė). Be to, kas išdėstyta aukščiau, yra Dar 5 formulės, todėl rekomenduojama susipažinti ir su pamoka „ Stačiojo trikampio mediana“, kurioje išsamiau aprašomos medianos savybės.

Aukštis stačiakampis yra lygus kojų sandaugai, padalytai iš hipotenuzės (8 formulė)

Kojų kvadratai yra atvirkščiai proporcingi aukščio, nukritusio iki hipotenuzos, kvadratui (9 formulė). Ši tapatybė taip pat yra viena iš Pitagoro teoremos pasekmių.

Hipotenuzės ilgis lygus apibrėžtojo apskritimo skersmeniui (dviem spinduliams) (10 formulė). Stačiojo trikampio hipotenuzė yra apibrėžto apskritimo skersmuo. Ši savybė dažnai naudojama sprendžiant problemas.

Įrašytas spindulys v taisyklingas trikampis apskritimai galima rasti kaip pusę išraiškos, kuri apima šio trikampio kojų sumą, atėmus hipotenuzės ilgį. Arba kaip kojų sandauga, padalyta iš visų nurodyto trikampio kraštinių (perimetro) sumos. (Formulė 11)
Kampo sinusas priešingasšis kampelis koja iki hipotenuzės(pagal sinuso apibrėžimą). (Formulė 12). Ši savybė naudojama sprendžiant problemas. Žinodami šonų matmenis, galite rasti kampą, kurį jie sudaro.

Stačiojo trikampio kampo A kosinusas (α, alfa) bus lygus santykį gretimasšis kampelis koja iki hipotenuzės(pagal sinuso apibrėžimą). (Formulė 13)

(ABC) ir jo savybės, kurios parodytos paveikslėlyje. Stačiakampis trikampis turi hipotenuzę, kraštinę priešais stačią kampą.

1 patarimas: kaip rasti stačiojo trikampio aukštį

Tos pusės, kurios sudaro stačią kampą, vadinamos kojomis. Šoninis piešinys AD, DC ir BD, DC- kojos ir šonai AC ir SW- hipotenuzė.

1 teorema. Stačiakampiame trikampyje, kurio kampas 30°, šiam kampui priešinga kojelė įplyš iki pusės hipotenuzės.

AB- hipotenuzė;

REKLAMA ir DB

Trikampis
Yra tokia teorema:
komentavimo sistema CACKLE

Sprendimas: 1) Bet kurio stačiakampio įstrižainės yra lygios.Tiesa 2) Jei trikampyje yra vienas smailusis kampas, tai šis trikampis yra smailusis. Netiesa. Trikampių tipai. Trikampis vadinamas smailiuoju, jei visi trys jo kampai yra smailieji, tai yra mažesni nei 90 ° 3) Jei taškas yra ant.

Arba kitame įraše

Pagal Pitagoro teoremą

Koks aukštis yra stačiojo trikampio formulėje

Stačiojo trikampio aukštis

Stačiojo trikampio, nubrėžto į hipotenuzę, aukštį galima vienaip ar kitaip rasti, priklausomai nuo uždavinio teiginio duomenų.

Arba kitame įraše

Kur BK ir KC yra kojų projekcijos ant hipotenuzės (segmentų, į kuriuos aukštis padalija hipotenuzą).

Hipotenuzės aukštį galima rasti per stačiojo trikampio plotą. Jei pritaikysime trikampio ploto nustatymo formulę

(pusė kraštinės ir į šią pusę nubrėžto aukščio sandauga) prie hipotenuzės ir aukščio, nubrėžto į hipotenuzą, gauname:

Iš čia galime rasti aukštį kaip dvigubo trikampio ploto ir hipotenuzės ilgio santykį:

Kadangi stačiojo trikampio plotas yra pusė kojų sandaugos:

Tai yra, aukščio ilgis, nubrėžtas iki hipotenuzės, yra lygus kojų sandaugos ir hipotenuzės santykiui. Jei žymėsime kojų ilgius per a ir b, hipotenuzės ilgį per c, formulę galima perrašyti kaip

Kadangi apskritimo, apibrėžto apie statųjį trikampį, spindulys yra lygus pusei hipotenuzės, aukščio ilgį galima išreikšti kojomis ir apibrėžto apskritimo spinduliu:

Kadangi aukštis, nubrėžtas į hipotenuzę, sudaro dar du stačiuosius trikampius, jo ilgį galima rasti per stačiojo trikampio santykius.

Iš stačiojo trikampio ABK

Iš stačiojo trikampio ACK

Stačiojo trikampio aukščio ilgis gali būti išreikštas kojų ilgiais. Nes

Pagal Pitagoro teoremą

Jei išlyginsime abi lygties puses kvadratu:

Galite gauti kitą formulę, kaip susieti stačiojo trikampio aukštį su kojomis:

Koks aukštis yra stačiojo trikampio formulėje

Taisyklingas trikampis. Vidutinis lygis.

Norite išbandyti savo jėgas ir sužinoti savo pasiruošimo Vieningam valstybiniam egzaminui ar OGE rezultatą?

Pagrindinė stačiojo trikampio teorema yra Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema

Beje, ar gerai prisimeni, kas yra kojos ir hipotenuzė? Jei ne, pažiūrėkite į paveikslėlį – atnaujinkite žinias

Matote, kaip gudriai suskirstėme jos šonus į ilgio segmentus ir!

Dabar sujungkime pažymėtus taškus

Tačiau čia mes atkreipėme dėmesį į ką nors kita, bet jūs patys pažiūrėkite į paveikslėlį ir pagalvokite, kodėl.

Koks yra didesnio kvadrato plotas? Teisingai,. O kaip dėl mažesnio ploto? Be abejo,. Išlieka bendras keturių kampų plotas. Įsivaizduokite, kad paėmėme du iš jų ir atsirėmėme vienas į kitą su hipotenomis. Kas nutiko? Du stačiakampiai. Taigi „auginių“ plotas yra lygus.

Sudėkime viską dabar.

Taigi mes aplankėme Pitagorą – senoviniu būdu įrodėme jo teoremą.

Statusis trikampis ir trigonometrija

Stačiajam trikampiui galioja šie santykiai:

Smagiojo kampo sinusas lygus priešingos kojos ir hipotenuzės santykiui

Smagiojo kampo kosinusas lygus gretimos kojos ir hipotenuzės santykiui.

Smagiojo kampo liestinė lygi priešingos kojos ir gretimos kojos santykiui.

Smagiojo kampo kotangentas yra lygus gretimos kojos ir priešingos kojos santykiui.

Ir dar kartą visa tai lėkštės pavidalu:

Ar pastebėjote vieną labai patogų dalyką? Atidžiai pažiūrėkite į plokštelę.

Tai labai patogu!

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai

II. Pagal koją ir hipotenuzę

III. Pagal hipotenuzę ir smailią kampą

IV. Išilgai kojos ir smailaus kampo

Dėmesio! Čia labai svarbu, kad kojos būtų „atitinkančios“. Pavyzdžiui, jei viskas vyksta taip:

TUOMET TRIKAMPAI NELYGŪS, nepaisant to, kad jie turi vieną identišką smailią kampą.

Reikia Abiejuose trikampiuose koja buvo gretima arba abiejuose - priešinga.

Ar pastebėjote, kaip stačiųjų trikampių lygybės ženklai skiriasi nuo įprastų trikampių lygybės ženklų? Pažvelkite į temą „Trikampis“ ir atkreipkite dėmesį į tai, kad „paprastų“ trikampių lygybei reikia trijų jų elementų lygybės: dviejų kraštinių ir kampo tarp jų, dviejų kampų ir kraštinės tarp jų, arba iš trijų pusių. Tačiau stačiakampių trikampių lygybei pakanka tik dviejų atitinkamų elementų. Tai puiku, tiesa?

Maždaug tokia pati situacija su stačiųjų trikampių panašumo ženklais.

Stačiųjų trikampių panašumo ženklai

III. Pagal koją ir hipotenuzę

Mediana stačiakampiame trikampyje

Apsvarstykite visą stačiakampį, o ne stačiakampį trikampį.

Nubrėžkite įstrižainę ir apsvarstykite tašką, kuriame įstrižainės susikerta. Ką žinote apie stačiakampio įstrižaines?

Įstrižainės susikirtimo taškas dalijasi įstrižainės lygios

Ir kas iš to seka?

Taigi atsitiko taip

Prisiminkite šį faktą! Labai padeda!

Dar labiau stebina tai, kad tiesa yra ir atvirkščiai.

Ką gero galima gauti iš to, kad mediana, nubrėžta į hipotenuzę, yra lygi pusei hipotenuzės? Pažiūrėkime į paveikslėlį

Taigi, pradėkime nuo šio „be to. “.

Tačiau panašiuose trikampiuose visi kampai yra lygūs!

Tą patį galima pasakyti apie ir

Dabar nupieškime kartu:

Abu turi tuos pačius aštrius kampus!

Kokia nauda iš šio „trigubo“ panašumo.

Na, pavyzdžiui - Dvi stačiojo trikampio aukščio formulės.

Rašome atitinkamų šalių santykius:

Norėdami rasti aukštį, išsprendžiame proporciją ir gauname Pirmoji formulė „Aukštis stačiakampiame trikampyje“:

Kaip gauti antrą?

O dabar taikome trikampių panašumą ir.

Taigi, pritaikykime panašumą: .

Kas bus dabar?

Vėlgi išsprendžiame proporciją ir gauname antrą formulę "Aukštis stačiakampiame trikampyje":

Abi šias formules reikia labai gerai įsiminti ir tą, kurią patogiau taikyti. Užrašykime juos dar kartą.

Na, o dabar, pritaikydami ir derindami šias žinias su kitomis, išspręsite bet kokią problemą su stačiu trikampiu!

komentarai

Medžiagos platinimas be patvirtinimo leidžiamas, jei yra nuoroda į šaltinio puslapį.

Privatumo politika

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Stačiakampio trikampio aukščio savybė nukrito iki hipotenuzės

Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Jei tai būtina – pagal įstatymus, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valstybės institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais viešaisiais interesais. Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Ačiū už žinutę!

Jūsų komentaras priimtas, po moderavimo jis bus paskelbtas šiame puslapyje.

Norite sužinoti, kas slypi po pjūviu, ir gauti išskirtinės medžiagos apie pasiruošimą OGE ir USE? Palikite el

Stačiojo trikampio savybės

Apsvarstykite statųjį trikampį (ABC) ir jo savybės, kurios parodytos paveikslėlyje. Stačiakampis trikampis turi hipotenuzę, kraštinę priešais stačią kampą. Tos pusės, kurios sudaro stačią kampą, vadinamos kojomis. Šoninis piešinys AD, DC ir BD, DC- kojos ir šonai AC ir SW- hipotenuzė.

Stačiojo trikampio lygybės ženklai:

1 teorema. Jei stačiojo trikampio įtvara ir kojelė yra panašios į kito trikampio įtvarą ir koją, tai tokie trikampiai yra lygūs.

2 teorema. Jei dvi stačiojo trikampio kraštinės yra lygios kito trikampio dviem kojoms, tai tokie trikampiai yra kongruentiški.

3 teorema. Jei stačiojo trikampio įtvara ir smailusis kampas yra panašūs į kito trikampio įtvarą ir smailią kampą, tai tokie trikampiai yra kongruentiški.

4 teorema. Jeigu stačiojo trikampio kojelė ir gretimas (priešingas) smailusis kampas yra lygūs kito trikampio kojelės ir gretimo (priešinio) smailiajam kampui, tai tokie trikampiai yra kongruentiški.

Kojos, esančios priešingos 30 ° kampui, savybės:

1 teorema.

Aukštis stačiakampiame trikampyje

Stačiakampiame trikampyje, kurio kampas yra 30°, priešinga šiam kampui koja įplyš iki pusės hipotenuzės.

2 teorema. Jei stačiakampiame trikampyje kojelė lygi pusei hipotenuzės, tai priešingas kampas yra 30°.

Jei aukštis brėžiamas nuo stačiojo kampo viršūnės į hipotenuzą, tai toks trikampis padalinamas į du mažesnius, panašius į išeinantį ir panašų į kitą. Iš to išplaukia šios išvados:

Aukštis yra dviejų hipotenuzės segmentų geometrinis vidurkis (vidurkis proporcingas).
Kiekviena trikampio kojelė yra vidurkis, proporcingas hipotenusei ir gretimoms atkarpoms.

Stačiakampiame trikampyje kojos veikia kaip aukščiai. Ortocentras yra taškas, kuriame susikerta trikampio aukščiai. Jis sutampa su figūros dešiniojo kampo viršumi.

hC- aukštis, išeinantis iš stačiojo trikampio kampo;

AB- hipotenuzė;

REKLAMA ir DB- segmentai, kurie atsirado dalijant hipotenuzą iš aukščio.

Grįžti į disciplinos „Geometrija“ nuorodų peržiūrą

Trikampis yra geometrinė figūra, susidedanti iš trijų taškų (viršūnių), kurie nėra toje pačioje tiesėje, ir trijų atkarpų, jungiančių šiuos taškus. Statusis trikampis yra trikampis, turintis vieną iš 90° kampų (status kampas).
Yra tokia teorema: stačiojo trikampio smailiųjų kampų suma lygi 90°.
komentavimo sistema CACKLE

Raktiniai žodžiai: trikampis, stačiakampis, kojelė, hipotenuzė, Pitagoro teorema, apskritimas

Trikampis vadinamas stačiakampio formos jei jis turi stačią kampą.
Stačiakampis trikampis turi dvi viena kitai statmenas kraštines, vadinamas kojos; trečioji pusė vadinama hipotenuzė.

Pagal statmenos ir įstrižos hipotenuzės savybes kiekviena kojelė yra ilgesnė (bet mažesnė už jų sumą).
Stačiojo trikampio dviejų smailiųjų kampų suma lygi stačiajam kampui.
Du stačiojo trikampio aukščiai sutampa su jo kojomis. Todėl vienas iš keturių puikių taškų patenka į stačiojo trikampio kampo viršūnes.
Stačiakampio trikampio apibrėžtojo apskritimo centras yra hipotenuzės vidurio taške.
Stačiojo trikampio, nubrėžto nuo stačiojo kampo viršūnės iki hipotenuzės, mediana yra apie šį trikampį apibrėžto apskritimo spindulys.

Apsvarstykite savavališką statųjį trikampį ABC ir nubrėžkite aukštį CD = hc iš jo stačiojo kampo viršūnės C.

Jis padalins nurodytą trikampį į du stačiuosius trikampius ACD ir BCD; kiekvienas iš šių trikampių turi bendrą smailųjį kampą su trikampiu ABC ir todėl yra panašus į trikampį ABC.

Visi trys trikampiai ABC, ACD ir BCD yra panašūs vienas į kitą.

Iš trikampių panašumo nustatomi šie santykiai:

$$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
c = ac + bc;
$$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
$$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Pitagoro teorema viena iš pagrindinių Euklido geometrijos teoremų, nustatanti ryšį tarp stačiojo trikampio kraštinių.

Geometrinė formuluotė. Stačiakampyje kvadrato, pastatyto ant hipotenuzės, plotas yra lygus kvadratų, pastatytų ant kojų, plotų sumai.

Algebrinė formuluotė. Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai.
Tai reiškia, kad reiškia trikampio hipotenuzės ilgį per c ir kojų ilgį per a ir b:
a2 + b2 = c2

Atvirkštinė Pitagoro teorema.

Stačiojo trikampio aukštis

Bet kuriam teigiamų skaičių a, b ir c trigubui, kad
a2 + b2 = c2,
yra stačiakampis trikampis su kojomis a ir b ir hipotenuze c.

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai:

išilgai kojos ir hipotenuzės;
ant dviejų kojų;
išilgai kojos ir ūmaus kampo;
hipotenuzė ir ūminis kampas.

Taip pat žiūrėkite:
Trikampio plotas, lygiašonis trikampis, lygiakraštis trikampis

Geometrija. 8 Klasė. Testas 4. Parinktis 1 .

REKLAMA : CD = CD : B.D. Taigi CD2 = AD ∙ B.D. Jie sako:

REKLAMA : AC=AC : AB. Taigi AC2 = AB ∙ REKLAMA. Jie sako:

BD : BC = BC : AB. Taigi BC2 = AB ∙ B.D.

Išspręsti problemas:

A) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm

2. Stačiojo trikampio aukštis, nubrėžtas į hipotenuzę, padalija hipotenuzę į 9 ir 36 atkarpas.

Nustatykite šio aukščio ilgį.

A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.

A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.

A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.

A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.

8. Stačiojo trikampio kojelė yra 30.

Kaip rasti aukštį stačiakampiame trikampyje?

Raskite atstumą nuo stačiojo kampo viršūnės iki hipotenuzės, jei apie šį trikampį apibrėžto apskritimo spindulys yra 17.

A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.

10.

A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.

A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.

12.

A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.

Patikrinkite atsakymus!

D8.04.1. Proporcingos stačiojo trikampio atkarpos

Geometrija. 8 Klasė. Testas 4. Parinktis 1 .

Esant Δ ABC ∠ACV = 90°. AC ir BC kojos, AB hipotenuzė.

CD yra trikampio, nubrėžto iki hipotenuzės, aukštis.

AC kojos AD projekcija ant hipotenuzės,

BC kojos BD projekcija į hipotenuzą.

Aukštis CD padalija trikampį ABC į du panašius į jį (ir vienas į kitą) trikampius: Δ ADC ir Δ CDB.

Iš panašių Δ ADC ir Δ CDB kraštinių proporcingumo išplaukia:

REKLAMA : CD = CD : B.D.

Stačiojo trikampio, nukritusio iki hipotenuzės, aukščio savybė.

Taigi CD2 = AD ∙ B.D. Jie sako: stačiojo trikampio, nubrėžto iki hipotenuzės, aukštis,yra vidutinė proporcinga vertė tarp kojų projekcijų hipotenuzėje.

Iš Δ ADC ir Δ ACB panašumo matyti:

REKLAMA : AC=AC : AB. Taigi AC2 = AB ∙ REKLAMA. Jie sako: kiekviena kojelė yra vidutinė proporcinga reikšmė tarp visos hipotenuzės ir šios kojos projekcijos į hipotenuzą.

Panašiai iš Δ CDB ir Δ ACB panašumo išplaukia:

BD : BC = BC : AB. Taigi BC2 = AB ∙ B.D.

Išspręsti problemas:

1. Raskite stačiojo trikampio, nubrėžto į hipotenuzę, aukštį, jei jis padalija hipotenuzą į 25 cm ir 81 cm atkarpas.

A) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm

2. Stačiojo trikampio aukštis, nubrėžtas į hipotenuzę, padalija hipotenuzę į 9 ir 36 atkarpas. Nustatykite šio aukščio ilgį.

A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.

4. Stačiojo trikampio, nubrėžto į hipotenuzę, aukštis lygus 22, vienos iš kojelių projekcija – 16. Raskite kitos kojos projekciją.

A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.

5. Stačiojo trikampio kojelė lygi 18, o jo projekcija į hipotenuzą lygi 12. Raskite hipotenuzę.

A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.

6. Hipotenuzė yra 32. Raskite koją, kurios projekcija į hipotenuzą yra 2.

A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.

7. Stačiojo trikampio hipotenuzė lygi 45. Raskite koją, kurios projekcija į hipotenuzą lygi 9.

8. Stačiojo trikampio kojelė lygi 30. Raskite atstumą nuo stačiojo kampo viršūnės iki hipotenuzės, jei apie šį trikampį apibrėžto apskritimo spindulys lygus 17.

A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.

10. Stačiojo trikampio hipotenuzė lygi 41, o vienos iš kojelių projekcija lygi 16. Raskite aukščio, nubrėžto nuo stačiojo kampo viršūnės iki hipotenuzės, ilgį.

A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.

A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.

12. Kojų projekcijų skirtumas į hipotenuzą lygus 15, o atstumas nuo stačiojo kampo viršūnės iki hipotenuzės lygus 4. Raskite apibrėžtojo apskritimo spindulį.

A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.

Turtas: 1. Bet kuriame stačiakampyje aukštis, nukritęs iš stačiojo kampo (iki hipotenuzės), padalija stačią trikampį į tris panašius trikampius.

Turtas: 2. Stačiakampio trikampio aukštis, nuleistas iki hipotenuzės, yra lygus kojų projekcijų į hipotenuzą geometriniam vidurkiui (arba geometriniam vidurkiui tų atkarpų, į kurias aukštis dalija hipotenuzą).

Turtas: 3. Koja yra lygi geometriniam hipotenuzės vidurkiui ir šios kojos projekcijai į hipotenuzą.

Turtas: 4. Koja prieš 30 laipsnių kampą yra lygi pusei hipotenuzės.

Formulė 1.

Formulė 2. kur yra hipotenuzė; , pačiūžos.

Turtas: 5. Stačiakampiame trikampyje mediana, nubrėžta į hipotenuzą, yra lygi jos pusei ir lygi apibrėžtojo apskritimo spinduliui.

Savybė: 6. Priklausomybė tarp stačiojo trikampio kraštinių ir kampų:

44. Kosinuso teorema. Pasekmės: jungtis tarp lygiagretainio įstrižainių ir kraštinių; trikampio tipo nustatymas; trikampio medianos ilgio apskaičiavimo formulė; apskaičiuojant trikampio kampo kosinusą.

Darbo pabaiga -

Ši tema priklauso:

Klasė. Planimetrijos pagrindų koliokviumo programa

Gretimų kampų savybė.. dviejų kampų apibrėžimas yra gretimi, jei viena jų pusė turi bendrą, kitos dvi sudaro tiesią liniją.

Jei jums reikia papildomos medžiagos šia tema arba neradote to, ko ieškojote, rekomenduojame pasinaudoti paieška mūsų darbų duomenų bazėje:

Ką darysime su gauta medžiaga:

Jei ši medžiaga jums pasirodė naudinga, galite ją išsaugoti savo puslapyje socialiniuose tinkluose: