Σε αυτό το σεμινάριο βίντεο θα εξετάσουμε την επίλυση μιας αρκετά σοβαρής λογαριθμικής εξίσωσης, στην οποία όχι μόνο πρέπει να βρείτε τις ρίζες, αλλά και να επιλέξετε αυτές που βρίσκονται σε ένα δεδομένο τμήμα.
Πρόβλημα Γ1. Λύστε την εξίσωση. Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα.
Σημείωση για τις λογαριθμικές εξισώσεις
Ωστόσο, από χρόνο σε χρόνο έρχονται σε μένα φοιτητές που προσπαθούν να λύσουν τέτοια, ειλικρινά, δύσκολες εξισώσεις, αλλά ταυτόχρονα δεν μπορούν να καταλάβουν: από πού να ξεκινήσουν και πώς να προσεγγίσουν τους λογάριθμους; Αυτό το πρόβλημα μπορεί να προκύψει ακόμη και μεταξύ δυνατών, καλά προετοιμασμένων μαθητών.
Ως αποτέλεσμα, πολλοί αρχίζουν να φοβούνται αυτό το θέμα ή ακόμη και να θεωρούν τον εαυτό τους ανόητο. Λοιπόν, θυμηθείτε: αν δεν μπορείτε να λύσετε μια τέτοια εξίσωση, αυτό δεν σημαίνει καθόλου ότι είστε ανόητοι. Επειδή, για παράδειγμα, μπορείτε να χειριστείτε αυτήν την εξίσωση σχεδόν προφορικά:
ημερολόγιο 2 x = 4
Και αν δεν είναι έτσι, δεν θα διαβάζατε αυτό το κείμενο τώρα, γιατί ήσασταν απασχολημένοι με απλούστερες και πιο κοσμικές εργασίες. Φυσικά, κάποιος θα αντιταχθεί τώρα: «Τι σχέση έχει αυτή η απλούστερη εξίσωση με την υγιή δομή μας;» Απαντώ: οποιαδήποτε λογαριθμική εξίσωση, όσο περίπλοκη κι αν είναι, τελικά καταλήγει σε αυτές τις απλούστερες δομές που μπορούν να λυθούν προφορικά.
Φυσικά, πρέπει κανείς να μετακινηθεί από σύνθετες λογαριθμικές εξισώσεις σε απλούστερες όχι μέσω επιλογής ή χορού με ντέφι, αλλά σύμφωνα με σαφείς, μακροπρόθεσμους κανόνες, οι οποίοι ονομάζονται - κανόνες μετατροπής λογαριθμικών παραστάσεων. Γνωρίζοντας τα, μπορείτε εύκολα να αντιμετωπίσετε ακόμη και τις πιο περίπλοκες εξισώσεις στην Εξέταση Ενιαίου Κράτους στα μαθηματικά.
Και είναι αυτοί οι κανόνες για τους οποίους θα μιλήσουμε στο σημερινό μάθημα. Πηγαίνω!
Επίλυση της λογαριθμικής εξίσωσης στο πρόβλημα Γ1
Λοιπόν, ας λύσουμε την εξίσωση:
Πρώτα απ 'όλα, όταν πρόκειται για λογαριθμικές εξισώσεις, θυμόμαστε τις βασικές τακτικές - ας πούμε έτσι, τον βασικό κανόνα για την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων. Αποτελείται από τα εξής:
Το θεώρημα της κανονικής μορφής. Οποιαδήποτε λογαριθμική εξίσωση, ανεξάρτητα από το τι περιλαμβάνεται σε αυτήν, ανεξάρτητα από τους λογάριθμους, σε ποια βάση και ανεξάρτητα από το τι περιέχει, πρέπει απαραίτητα να αναχθεί σε μια εξίσωση της μορφής:
log a f (x) = log a g (x)
Αν κοιτάξουμε την εξίσωσή μας, παρατηρούμε αμέσως δύο προβλήματα:
- Αριστερά έχουμε άθροισμα δύο αριθμών, ένα από τα οποία δεν είναι καθόλου λογάριθμος.
- Στα δεξιά υπάρχει αρκετά λογάριθμος, αλλά στη βάση του υπάρχει μια ρίζα. Και ο λογάριθμος στα αριστερά είναι απλά 2, δηλ. Οι βάσεις των λογαρίθμων αριστερά και δεξιά είναι διαφορετικές.
Λοιπόν, έχουμε συγκεντρώσει αυτήν τη λίστα προβλημάτων που διαχωρίζουν την εξίσωσή μας από αυτήν κανονική εξίσωση, στο οποίο πρέπει να ανάγεται οποιαδήποτε λογαριθμική εξίσωση κατά τη διαδικασία επίλυσης. Έτσι, η επίλυση της εξίσωσης σε αυτό το στάδιο καταλήγει στην εξάλειψη των δύο προβλημάτων που περιγράφηκαν παραπάνω.
Οποιαδήποτε λογαριθμική εξίσωση μπορεί να λυθεί γρήγορα και εύκολα αν την αναγάγετε στην κανονική της μορφή.
Άθροισμα λογαρίθμων και λογάριθμου γινομένου
Ας προχωρήσουμε με τη σειρά. Αρχικά, ας δούμε τη δομή στα αριστερά. Τι μπορούμε να πούμε για το άθροισμα δύο λογαρίθμων; Ας θυμηθούμε την υπέροχη φόρμουλα:
log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)
Αλλά αξίζει να λάβουμε υπόψη ότι στην περίπτωσή μας ο πρώτος όρος δεν είναι καθόλου λογάριθμος. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να αναπαραστήσουμε τη μονάδα ως λογάριθμο στη βάση 2 (ακριβώς 2, επειδή ο λογάριθμος στη βάση 2 είναι στα αριστερά). Πως να το κάνεις? Ας θυμηθούμε ξανά την υπέροχη φόρμουλα:
α = ημερολόγιο β β α
Εδώ πρέπει να καταλάβετε: όταν λέμε «Οποιαδήποτε βάση b», εννοούμε ότι το b εξακολουθεί να μην μπορεί να είναι αυθαίρετος αριθμός. Αν εισάγουμε έναν αριθμό σε έναν λογάριθμο, βέβαιο περιορισμούς, δηλαδή: η βάση του λογάριθμου πρέπει να είναι μεγαλύτερη από 0 και δεν πρέπει να είναι ίση με 1. Διαφορετικά, ο λογάριθμος απλά δεν έχει νόημα. Ας το γράψουμε αυτό:
0 < b ≠ 1
Ας δούμε τι συμβαίνει στην περίπτωσή μας:
1 = ημερολόγιο 2 2 1 = ημερολόγιο 2 2
Τώρα ας ξαναγράψουμε ολόκληρη την εξίσωσή μας λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός. Και αμέσως εφαρμόζουμε έναν άλλο κανόνα: το άθροισμα των λογαρίθμων είναι ίσο με το λογάριθμο του γινομένου των ορισμάτων. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:
Έχουμε μια νέα εξίσωση. Όπως βλέπουμε, είναι ήδη πολύ πιο κοντά στην κανονική εξίσωση που επιδιώκουμε. Αλλά υπάρχει ένα πρόβλημα, το καταγράψαμε ως δεύτερο σημείο: οι λογάριθμοί μας, που είναι αριστερά και δεξιά, διαφορετικούς λόγους. Ας προχωρήσουμε στο επόμενο βήμα.
Κανόνες αφαίρεσης δυνάμεων από τον λογάριθμο
Άρα ο λογάριθμος στα αριστερά έχει βάση μόλις 2, και ο λογάριθμος στα δεξιά έχει μια ρίζα στη βάση. Αλλά αυτό δεν είναι πρόβλημα αν θυμηθούμε ότι οι βάσεις των ορισμάτων του λογαρίθμου μπορούν να ανυψωθούν σε δυνάμεις. Ας γράψουμε έναν από αυτούς τους κανόνες:
log a b n = n log a b
Μεταφρασμένο στην ανθρώπινη γλώσσα: μπορείτε να αφαιρέσετε τη δύναμη από τη βάση του λογάριθμου και να την βάλετε μπροστά ως πολλαπλασιαστή. Ο αριθμός n «μετανάστευσε» από τον λογάριθμο προς τα έξω και έγινε συντελεστής μπροστά.
Μπορούμε εξίσου εύκολα να αντλήσουμε την ισχύ από τη βάση του λογαρίθμου. Θα μοιάζει με αυτό:
Με άλλα λόγια, αν αφαιρέσετε τη μοίρα από το όρισμα του λογάριθμου, αυτός ο βαθμός γράφεται και ως παράγοντας πριν από τον λογάριθμο, αλλά όχι ως αριθμός, αλλά ως ο αντίστροφος αριθμός 1/k.
Ωστόσο, δεν είναι μόνο αυτό! Μπορούμε να συνδυάσουμε αυτούς τους δύο τύπους και να καταλήξουμε στον ακόλουθο τύπο:
Όταν μια ισχύς εμφανίζεται και στη βάση και στο όρισμα ενός λογαρίθμου, μπορούμε να εξοικονομήσουμε χρόνο και να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς αφαιρώντας αμέσως τις δυνάμεις τόσο από τη βάση όσο και από το όρισμα. Σε αυτήν την περίπτωση, αυτό που ήταν στο όρισμα (στην περίπτωσή μας, αυτός είναι ο συντελεστής n) θα εμφανιστεί στον αριθμητή. Και ποιος ήταν ο βαθμός στη βάση, ένα k, θα πάει στον παρονομαστή.
Και είναι αυτοί οι τύποι που θα χρησιμοποιήσουμε τώρα για να μειώσουμε τους λογάριθμους μας στην ίδια βάση.
Αρχικά, ας διαλέξουμε μια λίγο πολύ όμορφη βάση. Προφανώς, είναι πολύ πιο ευχάριστο να δουλεύεις με δύο στη βάση παρά με ρίζα. Ας προσπαθήσουμε λοιπόν να μειώσουμε τον δεύτερο λογάριθμο στη βάση 2. Ας γράψουμε αυτόν τον λογάριθμο ξεχωριστά:
Τι μπορούμε να κάνουμε εδώ; Ας θυμηθούμε τον τύπο ισχύος με λογικό εκθέτη. Με άλλα λόγια, μπορούμε να γράψουμε τις ρίζες ως δύναμη με λογικό εκθέτη. Και τότε παίρνουμε τη δύναμη του 1/2 τόσο από το όρισμα όσο και από τη βάση του λογαρίθμου. Μειώνουμε τα δύο στους συντελεστές στον αριθμητή και στον παρονομαστή που βλέπει στον λογάριθμο:
Τέλος, ας ξαναγράψουμε την αρχική εξίσωση λαμβάνοντας υπόψη τους νέους συντελεστές:
ημερολόγιο 2 2(9x 2 + 5) = ημερολόγιο 2 (8x 4 + 14)
Λάβαμε την κανονική λογαριθμική εξίσωση. Τόσο στα αριστερά όσο και στα δεξιά έχουμε λογάριθμο στην ίδια βάση 2. Εκτός από αυτούς τους λογάριθμους, δεν υπάρχουν συντελεστές, ούτε όροι ούτε στα αριστερά ούτε στα δεξιά.
Κατά συνέπεια, μπορούμε να απαλλαγούμε από το πρόσημο του λογαρίθμου. Φυσικά, λαμβάνοντας υπόψη το πεδίο ορισμού. Αλλά πριν το κάνουμε αυτό, ας επιστρέψουμε και ας κάνουμε μια μικρή διευκρίνιση σχετικά με τα κλάσματα.
Διαίρεση κλάσματος με κλάσμα: Πρόσθετες εκτιμήσεις
Δεν καταλαβαίνουν όλοι οι μαθητές από πού προέρχονται και πού πηγαίνουν οι παράγοντες μπροστά από τον σωστό λογάριθμο. Ας το ξαναγράψουμε:
Ας καταλάβουμε τι είναι ένα κλάσμα. Ας γράψουμε:
Τώρα ας θυμηθούμε τον κανόνα για τη διαίρεση των κλασμάτων: για να διαιρέσουμε με το 1/2 πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με το ανεστραμμένο κλάσμα:
Φυσικά, για τη διευκόλυνση των περαιτέρω υπολογισμών, μπορούμε να γράψουμε δύο ως 2/1 - και αυτό είναι που παρατηρούμε ως ο δεύτερος συντελεστής στη διαδικασία επίλυσης.
Ελπίζω τώρα όλοι να καταλάβουν από πού προέρχεται ο δεύτερος συντελεστής, οπότε ας προχωρήσουμε απευθείας στην επίλυση της κανονικής λογαριθμικής μας εξίσωσης.
Απαλλαγή από το σύμβολο του λογάριθμου
Να σας υπενθυμίσω ότι τώρα μπορούμε να απαλλαγούμε από τους λογάριθμους και να αφήσουμε την ακόλουθη έκφραση:
2(9x 2 + 5) = 8x 4 + 14
Ας ανοίξουμε τις αγκύλες στα αριστερά. Παίρνουμε:
18x 2 + 10 = 8 x 4 + 14
Ας μετακινήσουμε τα πάντα από την αριστερή πλευρά προς τα δεξιά:
8x 4 + 14 − 18x 2 − 10 = 0
Ας φέρουμε παρόμοια και ας πάρουμε:
8x 4 − 18x 2 + 4 = 0
Μπορούμε να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης με 2 για να απλοποιήσουμε τους συντελεστές και παίρνουμε:
4x 4 − 9x 2 + 2 = 0
Μπροστά μας είναι το συνηθισμένο διτετραγωνική εξίσωση, και οι ρίζες του υπολογίζονται εύκολα μέσω της διάκρισης. Λοιπόν, ας γράψουμε τη διάκριση:
D = 81 − 4 4 2 = 81 − 32 = 49
Ωραία, το διακριτικό είναι «όμορφο», η ρίζα του είναι 7. Αυτό είναι όλο, ας μετρήσουμε το Χ εμείς οι ίδιοι. Αλλά σε αυτή την περίπτωση, οι ρίζες δεν θα είναι x, αλλά x 2, επειδή έχουμε μια διτετραγωνική εξίσωση. Λοιπόν, οι επιλογές μας:
Παρακαλώ σημειώστε: εξάγαμε τις ρίζες, οπότε θα υπάρχουν δύο απαντήσεις, επειδή... τετράγωνο - ομοιόμορφη λειτουργία. Και αν γράψουμε μόνο τη ρίζα των δύο, τότε απλά θα χάσουμε τη δεύτερη ρίζα.
Τώρα γράφουμε τη δεύτερη ρίζα της διτετραγωνικής μας εξίσωσης:
Και πάλι, παίρνουμε την αριθμητική τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσής μας και παίρνουμε δύο ρίζες. Ωστόσο, να θυμάστε:
Δεν αρκεί απλώς να εξισώνουμε τα επιχειρήματα των λογαρίθμων σε κανονική μορφή. Θυμηθείτε τον τομέα του ορισμού!
Συνολικά πήραμε τέσσερις ρίζες. Όλα αυτά είναι όντως λύσεις στην αρχική μας εξίσωση. Ρίξτε μια ματιά: στην αρχική μας λογαριθμική εξίσωση, οι λογάριθμοι στο εσωτερικό είναι είτε 9x 2 + 5 (αυτή η συνάρτηση είναι πάντα θετική) είτε 8x 4 + 14 - που είναι επίσης πάντα θετικό. Επομένως, το πεδίο ορισμού των λογαρίθμων ικανοποιείται σε κάθε περίπτωση, όποια ρίζα κι αν πάρουμε, πράγμα που σημαίνει ότι και οι τέσσερις ρίζες είναι λύσεις της εξίσωσής μας.
Ωραία, τώρα ας περάσουμε στο δεύτερο μέρος του προβλήματος.
Επιλογή ριζών λογαριθμικής εξίσωσης σε τμήμα
Από τις τέσσερις ρίζες μας επιλέγουμε αυτές που βρίσκονται στο τμήμα [−1; 8/9]. Επιστρέφουμε στις ρίζες μας και τώρα θα πραγματοποιήσουμε την επιλογή τους. Αρχικά, προτείνω να σχεδιάσετε έναν άξονα συντεταγμένων και να σημειώσετε τα άκρα του τμήματος σε αυτόν:
Και τα δύο σημεία θα είναι σκιασμένα. Εκείνοι. Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, μας ενδιαφέρει το σκιασμένο τμήμα. Τώρα ας δούμε τις ρίζες.
Παράλογες ρίζες
Ας ξεκινήσουμε με παράλογες ρίζες. Σημειώστε ότι 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:
Από αυτό προκύπτει ότι η ρίζα των δύο δεν εμπίπτει στο τμήμα που μας ενδιαφέρει. Ομοίως, θα λάβουμε με μια αρνητική ρίζα: είναι μικρότερη από −1, δηλαδή βρίσκεται στα αριστερά του τμήματος που μας ενδιαφέρει.
Ορθολογικές ρίζες
Απομένουν δύο ρίζες: x = 1/2 και x = −1/2. Ας παρατηρήσουμε ότι το αριστερό άκρο του τμήματος (−1) είναι αρνητικό και το δεξί άκρο (8/9) είναι θετικό. Επομένως, κάπου ανάμεσα σε αυτά τα άκρα βρίσκεται ο αριθμός 0. Η ρίζα x = −1/2 θα είναι μεταξύ −1 και 0, δηλ. θα καταλήξει στην τελική απάντηση. Κάνουμε το ίδιο με τη ρίζα x = 1/2. Αυτή η ρίζα βρίσκεται επίσης στο υπό εξέταση τμήμα.
Μπορείτε να βεβαιωθείτε ότι το 8/9 είναι μεγαλύτερο από το 1/2. Ας αφαιρέσουμε αυτούς τους αριθμούς ο ένας από τον άλλο:
Πήραμε το κλάσμα 7/18 > 0, που εξ ορισμού σημαίνει ότι 8/9 > 1/2.
Ας σημειώσουμε τις κατάλληλες ρίζες στον άξονα συντεταγμένων:
Η τελική απάντηση θα είναι δύο ρίζες: 1/2 και −1/2.
Σύγκριση παράλογων αριθμών: ένας καθολικός αλγόριθμος
Εν κατακλείδι, θα ήθελα να επιστρέψω για άλλη μια φορά στους παράλογους αριθμούς. Χρησιμοποιώντας το παράδειγμά τους, θα δούμε τώρα πώς να συγκρίνουμε ορθολογικά και παράλογα μεγέθη στα μαθηματικά. Κατ 'αρχάς, υπάρχει ένα τέτοιο τσιμπούρι μεταξύ τους V - ένα σημάδι "περισσότερο" ή "λιγότερο", αλλά δεν γνωρίζουμε ακόμη σε ποια κατεύθυνση κατευθύνεται. Ας γράψουμε:
Γιατί χρειαζόμαστε καθόλου αλγόριθμους σύγκρισης; Το γεγονός είναι ότι σε αυτό το πρόβλημα ήμασταν πολύ τυχεροί: στη διαδικασία επίλυσης του διαιρετικού αριθμού 1 προέκυψε, για το οποίο μπορούμε σίγουρα να πούμε:
Ωστόσο, δεν θα βλέπετε πάντα έναν τέτοιο αριθμό αμέσως. Ας προσπαθήσουμε λοιπόν να συγκρίνουμε τους αριθμούς μας κατά μέτωπο, άμεσα.
Πώς γίνεται; Κάνουμε το ίδιο όπως με τις συνηθισμένες ανισότητες:
- Πρώτον, αν κάπου είχαμε αρνητικούς συντελεστές, θα πολλαπλασιάζαμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας επί −1. Φυσικά αλλάζοντας την πινακίδα. Αυτό το σημάδι ελέγχου V θα άλλαζε σε αυτό - Λ.
- Αλλά στην περίπτωσή μας, και οι δύο πλευρές είναι ήδη θετικές, επομένως δεν χρειάζεται να αλλάξουμε τίποτα. Αυτό που πραγματικά χρειάζεται είναι τετράγωνο και τις δύο πλευρέςγια να απαλλαγούμε από το ριζοσπάστη.
Εάν, κατά τη σύγκριση των παράλογων αριθμών, δεν είναι δυνατή η άμεση επιλογή του διαχωριστικού στοιχείου, συνιστώ να εκτελέσετε μια τέτοια σύγκριση "κατά μέτωπο" - περιγράφοντάς την ως μια συνηθισμένη ανισότητα.
Κατά την επίλυσή του, επισημοποιείται ως εξής:
Τώρα είναι εύκολο να συγκριθούν όλα. Το θέμα είναι ότι 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.
Αυτό ήταν, έχουμε λάβει αυστηρή απόδειξη ότι όλοι οι αριθμοί σημειώνονται στην αριθμητική γραμμή x σωστά και ακριβώς με τη σειρά με την οποία θα έπρεπε να είναι στην πραγματικότητα. Κανείς δεν θα βρει σφάλμα με αυτή τη λύση, οπότε θυμηθείτε: αν δεν δείτε αμέσως τον αριθμό διαίρεσης (στην περίπτωσή μας είναι 1), τότε μη διστάσετε να γράψετε την παραπάνω κατασκευή, να την πολλαπλασιάσετε, να την τετραγωνίσετε - και στο τέλος θα αποκτήσετε μια όμορφη ανισότητα. Από αυτή την ανισότητα θα φανεί ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος και ποιος μικρότερος.
Επιστρέφοντας στο πρόβλημά μας, θα ήθελα για άλλη μια φορά να επιστήσω την προσοχή σας σε αυτό που κάναμε στην αρχή όταν λύναμε την εξίσωσή μας. Δηλαδή: ρίξαμε μια προσεκτική ματιά στην αρχική μας λογαριθμική εξίσωση και προσπαθήσαμε να τη μειώσουμε σε κανονικόςλογαριθμική εξίσωση. Όπου υπάρχουν μόνο λογάριθμοι αριστερά και δεξιά - χωρίς επιπλέον όρους, συντελεστές μπροστά κ.λπ. Δεν χρειαζόμαστε δύο λογάριθμους με βάση το a ή το b, αλλά έναν λογάριθμο ίσο με έναν άλλο λογάριθμο.
Επιπλέον, οι βάσεις των λογαρίθμων πρέπει επίσης να είναι ίσες. Επιπλέον, εάν η εξίσωση συντίθεται σωστά, τότε με τη βοήθεια στοιχειωδών λογαριθμικών μετασχηματισμών (άθροισμα λογαρίθμων, μετατροπή αριθμού σε λογάριθμο κ.λπ.) θα ανάγουμε αυτή την εξίσωση στην κανονική.
Επομένως, από τώρα και στο εξής, όταν βλέπετε μια λογαριθμική εξίσωση που δεν μπορεί να λυθεί αμέσως, δεν πρέπει να χαθείτε ή να προσπαθήσετε να βρείτε την απάντηση. Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι να ακολουθήσετε αυτά τα βήματα:
- Μετατροπή όλων των ελεύθερων στοιχείων σε λογάριθμο.
- Στη συνέχεια, προσθέστε αυτούς τους λογάριθμους.
- Στην κατασκευή που προκύπτει, όλοι οι λογάριθμοι ανάγονται στην ίδια βάση.
Ως αποτέλεσμα, θα λάβετε μια απλή εξίσωση που μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας στοιχειώδη εργαλεία άλγεβρας από υλικά τάξης 8-9. Γενικά, πηγαίνετε στην ιστοσελίδα μου, εξασκηθείτε στην επίλυση λογαρίθμων, λύστε λογαριθμικές εξισώσεις όπως εγώ, λύστε τις καλύτερα από εμένα. Και αυτό είναι όλο για μένα. Ο Πάβελ Μπέρντοφ ήταν μαζί σου. Τα λέμε!
Τι είναι ο λογάριθμος;
Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)
Τι είναι ο λογάριθμος; Πώς να λύσετε λογάριθμους; Αυτά τα ερωτήματα μπερδεύουν πολλούς απόφοιτους. Παραδοσιακά, το θέμα των λογαρίθμων θεωρείται περίπλοκο, ακατανόητο και τρομακτικό. Ειδικά εξισώσεις με λογάριθμους.
Αυτό δεν είναι απολύτως αλήθεια. Απολύτως! Δεν με πιστεύεις; Πρόστιμο. Τώρα, σε μόλις 10-20 λεπτά:
1. Κατανοήστε τι είναι λογάριθμος.
2. Μάθετε να λύνετε μια ολόκληρη κατηγορία εκθετικών εξισώσεων. Ακόμα κι αν δεν έχετε ακούσει τίποτα για αυτούς.
3. Μάθετε να υπολογίζετε απλούς λογάριθμους.
Επιπλέον, για αυτό θα χρειαστεί να γνωρίζετε μόνο τον πίνακα πολλαπλασιασμού και πώς να αυξήσετε έναν αριθμό σε δύναμη...
Νιώθω ότι έχετε αμφιβολίες... Λοιπόν, εντάξει, σημειώστε την ώρα! Πηγαίνω!
Πρώτα, λύστε αυτή την εξίσωση στο κεφάλι σας:
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)
Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.
Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών
Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.
Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.
Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.
Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:
- Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.
Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:
- Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
- Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
- Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
- Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.
Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους
Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.
Εξαιρέσεις:
- Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές αρχές στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - να αποκαλύψετε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
- Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.
Προστασία προσωπικών πληροφοριών
Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.
Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο
Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.
Λογαριθμικές εκφράσεις, επίλυση παραδειγμάτων. Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε προβλήματα που σχετίζονται με την επίλυση λογαρίθμων. Οι εργασίες θέτουν το ερώτημα της εύρεσης της σημασίας μιας έκφρασης. Πρέπει να σημειωθεί ότι η έννοια του λογάριθμου χρησιμοποιείται σε πολλές εργασίες και η κατανόηση της σημασίας της είναι εξαιρετικά σημαντική. Όσον αφορά την Ενιαία Κρατική Εξέταση, ο λογάριθμος χρησιμοποιείται κατά την επίλυση εξισώσεων, σε εφαρμοσμένα προβλήματα, καθώς και σε εργασίες που σχετίζονται με τη μελέτη συναρτήσεων.
Ας δώσουμε παραδείγματα για να κατανοήσουμε την ίδια την έννοια του λογάριθμου:
Βασική λογαριθμική ταυτότητα:
Ιδιότητες των λογαρίθμων που πρέπει πάντα να θυμόμαστε:
*Ο λογάριθμος του γινομένου είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων των παραγόντων.
* * *
*Ο λογάριθμος ενός πηλίκου (κλάσματος) ισούται με τη διαφορά μεταξύ των λογαρίθμων των παραγόντων.
* * *
*Ο λογάριθμος μιας ισχύος είναι ίσος με το γινόμενο του εκθέτη και του λογάριθμου της βάσης του.
* * *
*Μετάβαση σε νέα βάση
* * *
Περισσότερες ιδιότητες:
* * *
Ο υπολογισμός των λογαρίθμων σχετίζεται στενά με τη χρήση των ιδιοτήτων των εκθετών.
Ας παραθέσουμε μερικά από αυτά:
Η ουσία αυτής της ιδιότητας είναι ότι όταν ο αριθμητής μεταφέρεται στον παρονομαστή και αντίστροφα, το πρόσημο του εκθέτη αλλάζει στο αντίθετο. Για παράδειγμα:
Συμπέρασμα από αυτό το ακίνητο:
* * *
Όταν αυξάνεται μια ισχύς σε μια ισχύ, η βάση παραμένει η ίδια, αλλά οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται.
* * *
Όπως είδατε, η ίδια η έννοια του λογάριθμου είναι απλή. Το κύριο πράγμα είναι ότι χρειάζεστε καλή πρακτική, η οποία σας δίνει μια συγκεκριμένη ικανότητα. Φυσικά απαιτείται γνώση τύπων. Εάν η ικανότητα μετατροπής στοιχειωδών λογαρίθμων δεν έχει αναπτυχθεί, τότε κατά την επίλυση απλών εργασιών μπορείτε εύκολα να κάνετε ένα λάθος.
Εξασκηθείτε, λύστε πρώτα τα πιο απλά παραδείγματα από το μάθημα των μαθηματικών και μετά προχωρήστε σε πιο σύνθετα. Στο μέλλον, σίγουρα θα δείξω πόσο «άσχημοι» λογάριθμοι λύνονται στην Ενιαία Κρατική Εξέταση, αλλά έχουν ενδιαφέρον, μην το χάσετε!
Αυτό είναι όλο! Καλή σου τύχη!
Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh
P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν μου πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.
Όπως γνωρίζετε, κατά τον πολλαπλασιασμό των παραστάσεων με δυνάμεις, οι εκθέτες τους αθροίζονται πάντα (a b *a c = a b+c). Αυτός ο μαθηματικός νόμος προήλθε από τον Αρχιμήδη και αργότερα, τον 8ο αιώνα, ο μαθηματικός Virasen δημιούργησε έναν πίνακα με ακέραιους εκθέτες. Ήταν αυτοί που χρησίμευσαν για την περαιτέρω ανακάλυψη των λογαρίθμων. Παραδείγματα χρήσης αυτής της συνάρτησης μπορούν να βρεθούν σχεδόν παντού όπου χρειάζεται να απλοποιήσετε τον περίπλοκο πολλαπλασιασμό με απλή πρόσθεση. Εάν αφιερώσετε 10 λεπτά για να διαβάσετε αυτό το άρθρο, θα σας εξηγήσουμε τι είναι οι λογάριθμοι και πώς να εργαστείτε με αυτούς. Σε απλή και προσιτή γλώσσα.
Ορισμός στα μαθηματικά
Ένας λογάριθμος είναι μια έκφραση της ακόλουθης μορφής: log a b=c, δηλαδή, ο λογάριθμος οποιουδήποτε μη αρνητικού αριθμού (δηλαδή οποιουδήποτε θετικού) "b" στη βάση του "a" θεωρείται ότι είναι η δύναμη "c ” στην οποία πρέπει να αυξηθεί η βάση “a” για να ληφθεί τελικά η τιμή “b”. Ας αναλύσουμε τον λογάριθμο χρησιμοποιώντας παραδείγματα, ας πούμε ότι υπάρχει μια έκφραση log 2 8. Πώς να βρείτε την απάντηση; Είναι πολύ απλό, πρέπει να βρείτε μια ισχύ τέτοια ώστε από το 2 στην απαιτούμενη ισχύ να παίρνετε 8. Αφού κάνετε κάποιους υπολογισμούς στο κεφάλι σας, παίρνουμε τον αριθμό 3! Και αυτό είναι αλήθεια, γιατί το 2 στη δύναμη του 3 δίνει την απάντηση ως 8.
Τύποι λογαρίθμων
Για πολλούς μαθητές και φοιτητές, αυτό το θέμα φαίνεται περίπλοκο και ακατανόητο, αλλά στην πραγματικότητα οι λογάριθμοι δεν είναι τόσο τρομακτικοί, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσουμε τη γενική τους σημασία και να θυμόμαστε τις ιδιότητές τους και ορισμένους κανόνες. Υπάρχουν τρεις διαφορετικοί τύποι λογαριθμικών παραστάσεων:
- Φυσικός λογάριθμος ln a, όπου η βάση είναι ο αριθμός Euler (e = 2,7).
- Δεκαδικό α, όπου η βάση είναι 10.
- Λογάριθμος οποιουδήποτε αριθμού b στη βάση a>1.
Κάθε ένα από αυτά επιλύεται με έναν τυπικό τρόπο, συμπεριλαμβανομένης της απλοποίησης, της αναγωγής και της επακόλουθης αναγωγής σε έναν μόνο λογάριθμο χρησιμοποιώντας λογαριθμικά θεωρήματα. Για να λάβετε τις σωστές τιμές των λογαρίθμων, θα πρέπει να θυμάστε τις ιδιότητές τους και την ακολουθία των ενεργειών κατά την επίλυσή τους.
Κανόνες και ορισμένοι περιορισμοί
Στα μαθηματικά υπάρχουν αρκετοί κανόνες-περιορισμοί που γίνονται δεκτοί ως αξίωμα, δηλαδή δεν υπόκεινται σε συζήτηση και είναι η αλήθεια. Για παράδειγμα, είναι αδύνατο να διαιρεθούν οι αριθμοί με το μηδέν, και είναι επίσης αδύνατο να εξαχθεί η ζυγή ρίζα των αρνητικών αριθμών. Οι λογάριθμοι έχουν επίσης τους δικούς τους κανόνες, ακολουθώντας τους οποίους μπορείτε εύκολα να μάθετε να εργάζεστε ακόμη και με μεγάλες και μεγάλες λογαριθμικές εκφράσεις:
- Η βάση "a" πρέπει να είναι πάντα μεγαλύτερη από το μηδέν και όχι ίση με 1, διαφορετικά η έκφραση θα χάσει το νόημά της, επειδή το "1" και το "0" σε οποιοδήποτε βαθμό είναι πάντα ίσα με τις τιμές τους.
- εάν a > 0, τότε a b >0, αποδεικνύεται ότι το "c" πρέπει επίσης να είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.
Πώς να λύσετε λογάριθμους;
Για παράδειγμα, δίνεται η εργασία να βρείτε την απάντηση στην εξίσωση 10 x = 100. Αυτό είναι πολύ εύκολο, πρέπει να επιλέξετε μια δύναμη αυξάνοντας τον αριθμό δέκα στον οποίο λαμβάνουμε 100. Αυτό, φυσικά, είναι 10 2 = 100.
Τώρα ας αναπαραστήσουμε αυτήν την έκφραση σε λογαριθμική μορφή. Παίρνουμε log 10 100 = 2. Κατά την επίλυση λογαρίθμων, όλες οι ενέργειες πρακτικά συγκλίνουν για να βρούμε την ισχύ στην οποία είναι απαραίτητο να εισαγάγουμε τη βάση του λογαρίθμου για να λάβουμε έναν δεδομένο αριθμό.
Για να προσδιορίσετε με ακρίβεια την τιμή ενός άγνωστου βαθμού, πρέπει να μάθετε πώς να εργάζεστε με έναν πίνακα βαθμών. Μοιάζει με αυτό:
Όπως μπορείτε να δείτε, ορισμένοι εκθέτες μπορούν να μαντευτούν διαισθητικά εάν έχετε τεχνικό μυαλό και γνώση του πίνακα πολλαπλασιασμού. Ωστόσο, για μεγαλύτερες τιμές θα χρειαστείτε ένα τραπέζι τροφοδοσίας. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί ακόμη και από εκείνους που δεν γνωρίζουν απολύτως τίποτα για πολύπλοκα μαθηματικά θέματα. Η αριστερή στήλη περιέχει αριθμούς (βάση α), η επάνω σειρά αριθμών είναι η τιμή της δύναμης c στην οποία αυξάνεται ο αριθμός a. Στη διασταύρωση, τα κελιά περιέχουν τις αριθμητικές τιμές που είναι η απάντηση (a c =b). Ας πάρουμε, για παράδειγμα, το πρώτο κελί με τον αριθμό 10 και τετράγωνο το, παίρνουμε την τιμή 100, η οποία υποδεικνύεται στην τομή των δύο κελιών μας. Όλα είναι τόσο απλά και εύκολα που θα καταλάβει και ο πιο αληθινός ανθρωπιστής!
Εξισώσεις και ανισώσεις
Αποδεικνύεται ότι υπό ορισμένες συνθήκες ο εκθέτης είναι ο λογάριθμος. Επομένως, οποιεσδήποτε μαθηματικές αριθμητικές εκφράσεις μπορούν να γραφτούν ως λογαριθμική ισότητα. Για παράδειγμα, το 3 4 = 81 μπορεί να γραφτεί ως ο βασικός 3 λογάριθμος του 81 ίσος με τέσσερα (log 3 81 = 4). Για τις αρνητικές δυνάμεις οι κανόνες είναι οι ίδιοι: 2 -5 = 1/32 το γράφουμε ως λογάριθμο, παίρνουμε log 2 (1/32) = -5. Ένα από τα πιο συναρπαστικά τμήματα των μαθηματικών είναι το θέμα των «λογαρίθμων». Παραδείγματα και λύσεις εξισώσεων θα δούμε παρακάτω, αμέσως μετά τη μελέτη των ιδιοτήτων τους. Τώρα ας δούμε πώς μοιάζουν οι ανισότητες και πώς να τις διακρίνουμε από τις εξισώσεις.
Δίνεται η ακόλουθη έκφραση: log 2 (x-1) > 3 - είναι λογαριθμική ανισότητα, αφού η άγνωστη τιμή «x» βρίσκεται κάτω από το λογαριθμικό πρόσημο. Και επίσης στην έκφραση συγκρίνονται δύο ποσότητες: ο λογάριθμος του επιθυμητού αριθμού στη βάση δύο είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό τρία.
Η πιο σημαντική διαφορά μεταξύ λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων είναι ότι οι εξισώσεις με λογάριθμους (για παράδειγμα, ο λογάριθμος 2 x = √9) υποδηλώνουν μία ή περισσότερες συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές στην απάντηση, ενώ κατά την επίλυση μιας ανισότητας, τόσο το εύρος των αποδεκτών οι τιμές και τα σημεία προσδιορίζονται σπάζοντας αυτή τη συνάρτηση. Κατά συνέπεια, η απάντηση δεν είναι ένα απλό σύνολο μεμονωμένων αριθμών, όπως στην απάντηση σε μια εξίσωση, αλλά μια συνεχής σειρά ή σύνολο αριθμών.
Βασικά θεωρήματα για τους λογάριθμους
Κατά την επίλυση πρωτόγονων εργασιών εύρεσης των τιμών του λογάριθμου, οι ιδιότητές του μπορεί να μην είναι γνωστές. Ωστόσο, όταν πρόκειται για λογαριθμικές εξισώσεις ή ανισώσεις, πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε με σαφήνεια και να εφαρμόσουμε στην πράξη όλες τις βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων. Θα δούμε παραδείγματα εξισώσεων αργότερα, ας δούμε πρώτα κάθε ιδιότητα με περισσότερες λεπτομέρειες.
- Η κύρια ταυτότητα μοιάζει με αυτό: a logaB =B. Ισχύει μόνο όταν το α είναι μεγαλύτερο από 0, όχι ίσο με ένα και το Β είναι μεγαλύτερο από μηδέν.
- Ο λογάριθμος του προϊόντος μπορεί να αναπαρασταθεί με τον ακόλουθο τύπο: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Στην περίπτωση αυτή, η υποχρεωτική συνθήκη είναι: d, s 1 και s 2 > 0; a≠1. Μπορείτε να δώσετε μια απόδειξη για αυτόν τον λογαριθμικό τύπο, με παραδείγματα και λύση. Έστω log a s 1 = f 1 και log a s 2 = f 2, μετά a f1 = s 1, a f2 = s 2. Λαμβάνουμε ότι s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ιδιότητες του μοίρες ), και μετά εξ ορισμού: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί.
- Ο λογάριθμος του πηλίκου μοιάζει με αυτό: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Το θεώρημα με τη μορφή τύπου παίρνει την ακόλουθη μορφή: log a q b n = n/q log a b.
Αυτός ο τύπος ονομάζεται «ιδιότητα του βαθμού του λογάριθμου». Μοιάζει με τις ιδιότητες των συνηθισμένων βαθμών και δεν προκαλεί έκπληξη, γιατί όλα τα μαθηματικά βασίζονται σε φυσικά αξιώματα. Ας δούμε την απόδειξη.
Έστω log a b = t, προκύπτει t =b. Αν υψώσουμε και τα δύο μέρη στην ισχύ m: a tn = b n ;
αλλά εφόσον a tn = (a q) nt/q = b n, επομένως log a q b n = (n*t)/t, τότε log a q b n = n/q log a b. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Παραδείγματα προβλημάτων και ανισοτήτων
Οι πιο συνηθισμένοι τύποι προβλημάτων στους λογάριθμους είναι παραδείγματα εξισώσεων και ανισώσεων. Βρίσκονται σχεδόν σε όλα τα προβληματικά βιβλία και αποτελούν επίσης υποχρεωτικό μέρος των εξετάσεων των μαθηματικών. Για να εισέλθετε σε ένα πανεπιστήμιο ή να περάσετε εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά, πρέπει να ξέρετε πώς να λύσετε σωστά τέτοιες εργασίες.
Δυστυχώς, δεν υπάρχει ένα ενιαίο σχέδιο ή σχήμα για την επίλυση και τον προσδιορισμό της άγνωστης τιμής του λογαρίθμου, αλλά ορισμένοι κανόνες μπορούν να εφαρμοστούν σε κάθε μαθηματική ανισότητα ή λογαριθμική εξίσωση. Πρώτα απ 'όλα, θα πρέπει να μάθετε εάν η έκφραση μπορεί να απλοποιηθεί ή να περιοριστεί σε μια γενική μορφή. Μπορείτε να απλοποιήσετε μεγάλες λογαριθμικές εκφράσεις εάν χρησιμοποιήσετε σωστά τις ιδιότητές τους. Ας τους γνωρίσουμε γρήγορα.
Όταν λύνουμε λογαριθμικές εξισώσεις, πρέπει να προσδιορίσουμε τον τύπο λογάριθμου που έχουμε: ένα παράδειγμα παράστασης μπορεί να περιέχει έναν φυσικό λογάριθμο ή έναν δεκαδικό.
Ακολουθούν παραδείγματα ln100, ln1026. Η λύση τους συνοψίζεται στο γεγονός ότι πρέπει να καθορίσουν την ισχύ στην οποία η βάση 10 θα είναι ίση με 100 και 1026, αντίστοιχα. Για να λύσετε φυσικούς λογάριθμους, πρέπει να εφαρμόσετε λογαριθμικές ταυτότητες ή τις ιδιότητές τους. Ας δούμε παραδείγματα επίλυσης λογαριθμικών προβλημάτων διαφόρων τύπων.
Πώς να χρησιμοποιήσετε τους τύπους λογαρίθμων: με παραδείγματα και λύσεις
Ας δούμε λοιπόν παραδείγματα χρήσης των βασικών θεωρημάτων για τους λογαρίθμους.
- Η ιδιότητα του λογάριθμου ενός προϊόντος μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε εργασίες όπου είναι απαραίτητο να αποσυντεθεί μια μεγάλη τιμή του αριθμού b σε απλούστερους παράγοντες. Για παράδειγμα, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Η απάντηση είναι 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - όπως μπορείτε να δείτε, χρησιμοποιώντας την τέταρτη ιδιότητα της ισχύος του λογαρίθμου, καταφέραμε να λύσουμε μια φαινομενικά πολύπλοκη και άλυτη έκφραση. Απλά πρέπει να συνυπολογίσετε τη βάση και στη συνέχεια να αφαιρέσετε τις τιμές εκθέτη από το πρόσημο του λογαρίθμου.
Εργασίες από την Ενιαία Κρατική Εξέταση
Οι λογάριθμοι συναντώνται συχνά στις εισαγωγικές εξετάσεις, ειδικά πολλά λογαριθμικά προβλήματα στην Ενιαία Κρατική Εξέταση (κρατική εξέταση για όλους τους αποφοίτους σχολείων). Συνήθως, αυτές οι εργασίες υπάρχουν όχι μόνο στο μέρος Α (το πιο εύκολο τεστ της εξέτασης), αλλά και στο μέρος Γ (οι πιο περίπλοκες και ογκώδεις εργασίες). Η εξέταση απαιτεί ακριβή και τέλεια γνώση του θέματος «Φυσικοί λογάριθμοι».
Παραδείγματα και λύσεις προβλημάτων λαμβάνονται από τις επίσημες εκδόσεις της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Ας δούμε πώς επιλύονται τέτοιες εργασίες.
Δίνεται log 2 (2x-1) = 4. Λύση:
ας ξαναγράψουμε την παράσταση, απλοποιώντας την λίγο log 2 (2x-1) = 2 2, με τον ορισμό του λογάριθμου παίρνουμε ότι 2x-1 = 2 4, άρα 2x = 17. x = 8,5.
- Είναι καλύτερο να μειώσετε όλους τους λογάριθμους στην ίδια βάση, έτσι ώστε η λύση να μην είναι περίπλοκη και μπερδεμένη.
- Όλες οι εκφράσεις κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου υποδεικνύονται ως θετικές, επομένως, όταν ο εκθέτης μιας παράστασης που βρίσκεται κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου και ως βάση της αφαιρείται ως πολλαπλασιαστής, η παράσταση που παραμένει κάτω από τον λογάριθμο πρέπει να είναι θετική.
