فرمول یافتن کوچکترین ارتفاع مثلث قائم الزاویه. راست گوشه

راست گوشهمثلثی است که یکی از زوایای آن قائمه است یعنی برابر با 90 درجه.

• ضلع مقابل زاویه قائمه را هیپوتنوز می نامند. جیا AB)
• ضلع مجاور زاویه راست را ساق می گویند. هر مثلث قائم الزاویه دارای دو پایه است (نشان داده شده به صورت آو b یا AC و BC)

فرمول ها و ویژگی های مثلث قائم الزاویه

تعیین فرمول:

(تصویر بالا را ببینید)

الف، ب- پاهای یک مثلث قائم الزاویه

ج- هیپوتنوئوس

α, β - زوایای تند یک مثلث

اس- مربع

ساعت- ارتفاع کاهش یافته از راس زاویه سمت راست به هیپوتنوز

m a آاز گوشه مقابل ( α )

MB- میانه به پهلو کشیده شده است باز گوشه مقابل ( β )

mc- میانه به پهلو کشیده شده است جاز گوشه مقابل ( γ )

AT راست گوشه هر یک از پاها کمتر از هیپوتانوز است(فرمول 1 و 2). این ویژگی نتیجه قضیه فیثاغورث است.

کسینوس هر یک از زوایای حادکمتر از یک (فرمول 3 و 4). این ویژگی از ویژگی قبلی پیروی می کند. از آنجایی که هر یک از پاها کمتر از هیپوتنوز است، نسبت پا به هیپوتنوز همیشه کمتر از یک است.

مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پاها (قضیه فیثاغورث). (فرمول 5). این ویژگی به طور مداوم در حل مشکلات استفاده می شود.

مساحت مثلث قائم الزاویهبرابر با نصف حاصلضرب پاها (فرمول 6)

مجموع میانه های مجذوربه پاها برابر است با پنج مربع از میانه به هیپوتانوز و پنج مربع از هیپوتانوس تقسیم بر چهار (فرمول 7). علاوه بر موارد فوق، وجود دارد 5 فرمول دیگر، بنابراین توصیه می شود با درس "میان مثلث قائم الزاویه" نیز آشنا شوید که ویژگی های میانه را با جزئیات بیشتری توضیح می دهد.

ارتفاعیک مثلث قائم الزاویه برابر است با حاصلضرب تقسیم پاها بر هیپوتنوز (فرمول 8)

مربع پاها با مربع ارتفاع کاهش یافته به هیپوتنوز نسبت معکوس دارند (فرمول 9). این هویت نیز یکی از پیامدهای قضیه فیثاغورث است.

طول هیپوتنوزبرابر با قطر (دو شعاع) دایره محدود شده (فرمول 10). هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه قطر دایره محدود شده است. این ویژگی اغلب در حل مسئله استفاده می شود.

شعاع محاطکه در راست گوشه حلقه هارا می توان به عنوان نیمی از عبارت یافت که شامل مجموع پایه های این مثلث منهای طول هیپوتنوز می شود. یا به صورت حاصل ضرب پاها بر مجموع اضلاع (محیط) یک مثلث معین. (فرمول 11)
سینوس یک زاویه مقابلاین گوشه پا به هیپوتانوز(با تعریف سینوس). (فرمول 12). این ویژگی هنگام حل مسائل استفاده می شود. با دانستن ابعاد اضلاع، می توانید زاویه ای را که آنها تشکیل می دهند پیدا کنید.

کسینوس زاویه A (α، آلفا) در یک مثلث قائم الزاویه برابر خواهد بود رابطه مجاوراین گوشه پا به هیپوتانوز(با تعریف سینوس). (فرمول 13)

مثلثها.

مفاهیم اساسی.

مثلث- این شکل متشکل از سه بخش و سه نقطه است که روی یک خط مستقیم قرار ندارند.

بخش ها نامیده می شوند مهمانی، و نکات قله ها.

مجموع زوایامثلث برابر با 180 درجه است.

ارتفاع مثلث.

ارتفاع مثلثعمودی است که از یک راس به طرف مقابل کشیده شده است.

در یک مثلث حاد زاویه، ارتفاع در داخل مثلث قرار دارد (شکل 1).

در یک مثلث قائم الزاویه، پاها ارتفاع مثلث هستند (شکل 2).

در یک مثلث منفرد، ارتفاع از خارج مثلث می گذرد (شکل 3).

ویژگی های ارتفاع مثلث:

نیمساز مثلث.

نیمساز مثلث- این قطعه ای است که گوشه راس را نصف می کند و راس را به نقطه ای در طرف مقابل متصل می کند (شکل 5).

خواص نیمساز:

میانه یک مثلث.

وسط مثلث- این قطعه ای است که راس را با وسط طرف مقابل وصل می کند (شکل 9a).

طول میانه را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد: 2ب 2 + 2ج 2 - آ 2 m a 2 = —————— 4 جایی که m a- میانه به پهلو کشیده شده است آ. در یک مثلث قائم الزاویه، میانه ای که به سمت هیپوتانوز کشیده می شود، نصف هیپوتانوز است: ج mc = — 2 جایی که mcمیانه ای است که به سمت هیپوتنوز کشیده شده است ج(شکل 9c) میانه های یک مثلث در یک نقطه (در مرکز جرم مثلث) قطع می شوند و با شمارش از بالا بر این نقطه به نسبت 2:1 تقسیم می شوند. یعنی قطعه از راس به مرکز دو برابر پاره از مرکز به ضلع مثلث است (شکل 9c). سه وسط یک مثلث آن را به شش مثلث با مساحت مساوی تقسیم می کند.

خط وسط مثلث.

خط وسط مثلث- این قطعه ای است که نقاط میانی دو طرف آن را به هم متصل می کند (شکل 10).

خط وسط مثلث موازی ضلع سوم و برابر با نصف آن است.

گوشه بیرونی مثلث.

گوشه بیرونیمثلث برابر است با مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور (شکل 11).

زاویه بیرونی یک مثلث بزرگتر از هر زاویه غیر مجاور است.

راست گوشه.

راست گوشه- این مثلثی است که زاویه قائمه دارد (شکل 12).

ضلع مثلث قائم الزاویه در مقابل زاویه قائمه نامیده می شود هیپوتنوئوس.

دو طرف دیگر نامیده می شود پاها.

قطعات متناسب در یک مثلث قائم الزاویه.

1) در یک مثلث قائم الزاویه، ارتفاع رسم شده از زاویه قائمه، سه مثلث مشابه را تشکیل می دهد: ABC، ACH و HCB (شکل 14a). بر این اساس زوایای تشکیل شده از ارتفاع با زوایای A و B برابر است.

شکل 14 الف

مثلث متساوی الساقین.

مثلث متساوی الساقین- این مثلثی است که در آن دو ضلع برابر است (شکل 13).

این اضلاع مساوی نامیده می شوند طرفین، و سوم اساسمثلث.

در مثلث متساوی الساقین، زوایای قاعده با هم برابرند. (در مثلث ما، زاویه A برابر با زاویه C است).

در مثلث متساوی الساقین، وسط کشیده شده به قاعده هم نیمساز و هم ارتفاع مثلث است.

مثلث متساوی الاضلاع.

مثلث متساوی الاضلاع مثلثی است که تمام اضلاع آن برابر باشند (شکل 14).

خواص مثلث متساوی الاضلاع:

خواص قابل توجه مثلث ها

مثلث ها دارای ویژگی های اصلی هستند که به شما کمک می کند مشکلات مرتبط با این اشکال را با موفقیت حل کنید. برخی از این خواص در بالا ذکر شده است. اما ما دوباره آنها را تکرار می کنیم و چند ویژگی عالی دیگر را به آنها اضافه می کنیم:

1) در یک مثلث قائم الزاویه با زوایای 90 درجه، 30 درجه و 60 درجه، ساق بدر مقابل زاویه 30 درجه، برابر است با نیمی از هیپوتانوز یک پاآ پای بیشترب√3 بار (شکل 15 آ). برای مثال، اگر پای b برابر با 5 باشد، آنگاه هیپوتانوس جلزوما برابر با 10، و پا آبرابر با 5√3 است. 2) در یک مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه با زوایای 90 درجه، 45 درجه و 45 درجه، هیپوتانوس √2 برابر ساق است (شکل 15). ب). برای مثال، اگر پاها 5 باشند، هیپوتانوس 5√2 است. 3) خط وسط مثلث برابر با نصف ضلع موازی است (شکل 15 با). برای مثال، اگر ضلع مثلثی 10 باشد، خط وسط موازی با آن 5 است. 4) در یک مثلث قائم الزاویه، میانه رسم شده به هیپوتنوز برابر با نیمی از هیپوتنوز است (شکل 9c): mc= c/2. 5) وسط مثلثی که در یک نقطه متقاطع شده اند به نسبت 2:1 بر این نقطه تقسیم می شوند. یعنی قطعه از رأس تا نقطه تلاقی وسط ها دو برابر پاره از نقطه تلاقی وسط ها تا ضلع مثلث است (شکل 9 ج). 6) در یک مثلث قائم الزاویه، نقطه وسط هیپوتنوس مرکز دایره محدود شده است (شکل 15). د).

نشانه های تساوی مثلث ها.

اولین نشانه برابری: اگر دو ضلع و زاویه بین یک مثلث با دو ضلع و زاویه بین آنها با مثلث دیگر برابر باشد، این مثلث ها متجانس هستند.

دومین نشانه برابری: اگر ضلع و زوایای مجاور یک مثلث با ضلع و زوایای مجاور آن مثلث دیگر مساوی باشد، این مثلثها متجانس هستند.

سومین نشانه برابری: اگر سه ضلع یک مثلث با سه ضلع مثلث دیگر برابر باشد، این مثلث ها متجانس هستند.

نابرابری مثلثی

در هر مثلثی، هر ضلع کوچکتر از مجموع دو ضلع دیگر است.

قضیه فیثاغورس.

در یک مثلث قائم الزاویه، مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پاها:

ج 2 = آ 2 + ب 2 .

مساحت یک مثلث.

1) مساحت مثلث برابر است با نصف حاصلضرب ضلع آن و ارتفاع کشیده شده به این ضلع:

آه
اس = ——
2

2) مساحت یک مثلث برابر است با نصف حاصلضرب هر دو ضلع آن و سینوس زاویه بین آنها:

1
اس = — AB · AC · گناه آ
2

مثلثی که دور یک دایره محصور شده است.

دایره ای را در یک مثلث محاط می گویند که تمام اضلاع آن را لمس کند (شکل 16 آ).

مثلث حک شده در یک دایره.

اگر مثلثی را با تمام رئوس لمس کند در دایره محاط می گویند (شکل 17). آ).

سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت یک زاویه حاد مثلث قائم الزاویه (شکل 18).

سینوسیزاویه حاد ایکس مقابلکاتتر به هیپوتانوز.
به این صورت مشخص می شود: گناهایکس.

کسینوسزاویه حاد ایکسمثلث قائم الزاویه نسبت است مجاورکاتتر به هیپوتانوز.
به صورت زیر نشان داده می شود: cos ایکس.

مماسزاویه حاد ایکسنسبت پای مقابل به پای مجاور است.
به این صورت مشخص می شود: tgایکس.

کوتانژانتزاویه حاد ایکسنسبت پای مجاور به پای مقابل است.
به این صورت مشخص می شود: ctgایکس.

قوانین:

پا در گوشه مقابل ایکس، برابر است با حاصل ضرب هیپوتنوز و گناه ایکس:

b=cگناه ایکس

پای مجاور گوشه ایکس، برابر حاصلضرب هیپوتنوز و cos است ایکس:

a = c cos ایکس

پا در گوشه مقابل ایکس، برابر است با حاصلضرب پای دوم و tg ایکس:

b = a tg ایکس

پای مجاور گوشه ایکس، برابر است با حاصلضرب پای دوم و ctg ایکس:

a = b ctg ایکس.

برای هر زاویه حاد ایکس:

گناه (90 درجه - ایکس) = cos ایکس

cos (90 درجه - ایکس) = گناه ایکس

(ABC)و خواص آن که در شکل نشان داده شده است. مثلث قائم الزاویه دارای یک هیپوتنوز است، ضلع مقابل زاویه قائمه.

نکته 1: چگونه ارتفاع را در مثلث قائم الزاویه پیدا کنیم

به اضلاعي كه زاويه قائمه تشكيل مي دهند، ساق مي گويند. نقاشی کناری AD، DC و BD، DC- پاها و پهلوها ACو SW- هیپوتنوئوس.

قضیه 1. در مثلث قائم الزاویه با زاویه 30 درجه، ساق مقابل این زاویه به نصف هیپوتنوس پاره می شود.

hC

AB- هیپوتنوئوس؛

آگهیو DB

مثلث
یک قضیه وجود دارد:
سیستم نظر دادن CACKLE

راه حل: 1) قطرهای هر مستطیل مساوی است درست 2) اگر در یک مثلث یک زاویه تند وجود داشته باشد، این مثلث تند-زاویه است. درست نیست. انواع مثلث. اگر هر سه زاویه آن تند باشد، یعنی کمتر از 90 درجه باشد، یک مثلث زاویه دار نامیده می شود.

یا در مدخل دیگری،

طبق قضیه فیثاغورث

ارتفاع در فرمول مثلث قائم الزاویه چقدر است

ارتفاع مثلث قائم الزاویه

ارتفاع مثلث قائم الزاویه کشیده شده به هیپوتنوس را می توان به روشی پیدا کرد، بسته به داده های موجود در بیان مسئله.

یا در مدخل دیگری،

جایی که BK و KC برآمدگی پاها روی هیپوتنوز (بخش هایی که ارتفاع هیپوتنوز را به آنها تقسیم می کند) هستند.

ارتفاع کشیده شده به سمت هیپوتنوز را می توان از طریق مساحت یک مثلث قائم الزاویه یافت. اگر از فرمول پیدا کردن مساحت مثلث استفاده کنیم

(نصف حاصلضرب یک ضلع و ارتفاع کشیده شده به این سمت) به هیپوتنوز و ارتفاع رسم شده به هیپوتانوز به دست می آید:

از اینجا می توانیم ارتفاع را به عنوان نسبت دو برابر مساحت مثلث به طول هیپوتنوس پیدا کنیم:

از آنجایی که مساحت مثلث قائم الزاویه نصف حاصلضرب پاها است:

یعنی طول ارتفاع کشیده شده به هیپوتنوز برابر است با نسبت حاصلضرب پاها به هیپوتنوز. اگر طول پاها را از طریق a و b نشان دهیم، طول هیپوتانوس را تا c نشان دهیم، فرمول را می توان به صورت بازنویسی کرد.

از آنجایی که شعاع دایره ای که اطراف یک مثلث قائم الزاویه قرار گرفته است برابر با نصف هیپوتنوز است، طول ارتفاع را می توان بر حسب پاها و شعاع دایره محصور شده بیان کرد:

از آنجایی که ارتفاع کشیده شده به سمت هیپوتانوس دو مثلث قائم الزاویه دیگر را تشکیل می دهد، طول آن را می توان از طریق نسبت های موجود در مثلث قائم الزاویه پیدا کرد.

از مثلث قائم الزاویه ABK

از مثلث قائم الزاویه ACK

طول ارتفاع مثلث قائم الزاویه را می توان بر حسب طول پاها بیان کرد. مانند

طبق قضیه فیثاغورث

اگر دو طرف معادله را مربع کنیم:

می توانید فرمول دیگری برای ارتباط ارتفاع مثلث قائم الزاویه به پاها دریافت کنید:

ارتفاع در فرمول مثلث قائم الزاویه چقدر است

راست گوشه. سطح میانی.

آیا می خواهید قدرت خود را آزمایش کنید و بفهمید که چقدر برای آزمون یکپارچه دولتی یا OGE آماده هستید؟

قضیه مثلث قائم الزاویه اصلی قضیه فیثاغورث است.

قضیه فیثاغورس

راستی، خوب به خاطر دارید که پاها و هیپوتونوس چیست؟ اگر نه، پس به تصویر نگاه کنید - دانش خود را تازه کنید

ممکن است قبلاً بارها از قضیه فیثاغورث استفاده کرده باشید، اما آیا تا به حال فکر کرده اید که چرا چنین قضیه ای درست است. چگونه آن را ثابت می کنید؟ بیایید مانند یونانیان باستان رفتار کنیم. بیایید یک مربع با یک ضلع رسم کنیم.

می بینید که با چه حیله ای اضلاعش را به قطعات درازی تقسیم کردیم و!

حالا بیایید نقاط مشخص شده را به هم وصل کنیم

با این حال، ما در اینجا به چیز دیگری اشاره کردیم، اما شما خودتان به تصویر نگاه می کنید و به دلیل آن فکر می کنید.

مساحت مربع بزرگتر چقدر است؟ به درستی، . در مورد منطقه کوچکتر چطور؟ قطعا، . مساحت کل چهار گوشه باقی مانده است. تصور کنید که ما دو تا از آنها را گرفتیم و با هیپوتنوس به هم تکیه دادیم. چی شد؟ دو مستطیل. بنابراین، مساحت "قله ها" برابر است.

حالا بیایید همه را کنار هم بگذاریم.

بنابراین ما فیثاغورث را ملاقات کردیم - قضیه او را به روشی باستانی اثبات کردیم.

مثلث قائم الزاویه و مثلثات

برای مثلث قائم الزاویه، روابط زیر برقرار است:

سینوس یک زاویه حاد برابر است با نسبت پای مقابل به هیپوتنوز

کسینوس یک زاویه حاد برابر است با نسبت ساق مجاور به هیپوتنوز.

مماس یک زاویه تند برابر است با نسبت پای مقابل به پای مجاور.

کوتانژانت یک زاویه حاد برابر است با نسبت پای مجاور به پای مقابل.

و بار دیگر، همه اینها در قالب یک بشقاب:

آیا به یک چیز بسیار مفید توجه کرده اید؟ بشقاب را با دقت نگاه کنید.

خیلی راحته!

نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه

II. توسط پا و هیپوتانوز

III. توسط هیپوتانوز و زاویه حاد

IV. در امتداد ساق و زاویه حاد

توجه! در اینجا بسیار مهم است که پاها "مطابق" باشند. به عنوان مثال، اگر اینگونه باشد:

پس مثلث ها مساوی نیستند، با وجود این واقعیت که آنها یک زاویه حاد یکسان دارند.

نیاز به در هر دو مثلث، پا مجاور بود، یا در هر دو - مخالف.

آیا دقت کرده اید که چگونه علائم تساوی مثلث های قائم الزاویه با علائم معمول تساوی مثلث ها متفاوت است؟ به مبحث مثلث نگاهی بیندازید و به این نکته توجه کنید که برای برابری مثلث های معمولی به برابری سه عنصر آنها نیاز دارید: دو ضلع و یک زاویه بین آنها، دو زاویه و یک ضلع بین آنها. یا سه طرف اما برای برابری مثلث های قائم الزاویه، تنها دو عنصر متناظر کافی است. عالی است، درست است؟

تقریباً وضعیت مشابه با علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه.

علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه

III. توسط پا و هیپوتانوز

میانه در مثلث قائم الزاویه

به جای مثلث قائم الزاویه یک مستطیل کامل را در نظر بگیرید.

یک مورب رسم کنید و نقطه تلاقی قطرها را در نظر بگیرید. از قطرهای یک مستطیل چه می دانید؟

نقطه تقاطع مورب نصف می شود مورب ها برابر هستند

و چه چیزی از این نتیجه می گیرد؟

پس این اتفاق افتاد

این واقعیت را به خاطر بسپار! کمک زیادی می کند!

شگفت‌انگیزتر این است که عکس آن نیز صادق است.

چه فایده ای می توان از این واقعیت به دست آورد که میانه رسم شده به سمت هیپوتنوز برابر با نصف هیپوتنوز است؟ بیایید به تصویر نگاه کنیم

از نزدیک نگاه کن. داریم: یعنی فواصل نقطه تا هر سه رأس مثلث برابر است. اما در یک مثلث فقط یک نقطه وجود دارد که فواصل آن تقریباً هر سه رأس مثلث برابر است و این مرکز محیط توصیف شده است. پس چه اتفاقی افتاد؟

پس بیایید با این «علاوه بر. ".

اما در مثلث های مشابه همه زوایا با هم برابرند!

همین را می توان در مورد و نیز گفت

حالا بیایید آن را با هم ترسیم کنیم:

هر دو گوشه های تیز یکسانی دارند!

از این شباهت «سه گانه» چه فایده ای می توان گرفت.

خوب، برای مثال - دو فرمول برای ارتفاع مثلث قائم الزاویه

روابط طرف های مربوطه را می نویسیم:

برای پیدا کردن ارتفاع، نسبت را حل می کنیم و بدست می آوریم اولین فرمول "ارتفاع در مثلث قائم الزاویه":

چگونه دومی بگیریم؟

و اکنون شباهت مثلث ها و را اعمال می کنیم.

بنابراین، بیایید شباهت را اعمال کنیم: .

حالا چه خواهد شد؟

دوباره نسبت را حل می کنیم و فرمول دوم را می گیریم "ارتفاع در مثلث قائم الزاویه":

هر دوی این فرمول‌ها را باید به خوبی به خاطر بسپارید و بکار بردن آن راحت‌تر باشد. بیایید دوباره آنها را بنویسیم.

خوب حالا با به کارگیری و ترکیب این دانش با دیگران هر مشکلی را با مثلث قائم الزاویه حل می کنید!

نظرات

در صورت وجود لینک dofollow به صفحه منبع، توزیع مطالب بدون تایید مجاز است.

سیاست حفظ حریم خصوصی

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک سیاست حفظ حریم خصوصی ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هرگونه سوال به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آتی به شما اطلاع دهیم. هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و پیام‌های مهم استفاده کنیم. ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدماتی که ارائه می کنیم و توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما ارائه می دهیم، استفاده کنیم.

ویژگی ارتفاع مثلث قائم الزاویه به هیپوتنوز کاهش یافته است

اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی به دلایل امنیتی، اجرای قانون یا سایر دلایل منافع عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم. در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

ممنون از پیام

نظر شما پذیرفته شد، پس از تعدیل در این صفحه منتشر خواهد شد.

آیا می خواهید بدانید که در زیر برش چه چیزی پنهان شده است و مواد انحصاری برای آماده سازی OGE و USE دریافت کنید؟ یک ایمیل بگذارید

ویژگی های مثلث قائم الزاویه

یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید (ABC)و خواص آن که در شکل نشان داده شده است. مثلث قائم الزاویه دارای یک هیپوتنوز است، ضلع مقابل زاویه قائمه. به اضلاعي كه زاويه قائمه تشكيل مي دهند، ساق مي گويند. نقاشی کناری AD، DC و BD، DC- پاها و پهلوها ACو SW- هیپوتنوئوس.

علائم تساوی یک مثلث قائم الزاویه:

قضیه 1. اگر فرضیه و پایه یک مثلث قائم الزاویه مشابه فرضیه و پایه یک مثلث دیگر باشد، این مثلث ها برابر هستند.

قضیه 2. اگر دو پایه یک مثلث قائم الزاویه با دو پایه مثلث دیگر برابر باشند، آن مثلث ها همسو هستند.

قضیه 3. اگر هیپوتانوس و زاویه تند مثلث قائم الزاویه شبیه هیپوتنوز و زاویه تند مثلث دیگر باشند، چنین مثلث هایی همسو هستند.

قضیه 4. اگر ساق و زاویه حاد مجاور (مقابل) یک مثلث قائم الزاویه با ساق و زاویه حاد مجاور (مقابل) یک مثلث دیگر برابر باشد، چنین مثلث هایی همسو هستند.

ویژگی های یک پایه در مقابل زاویه 30 درجه:

قضیه 1.

ارتفاع در مثلث قائم الزاویه

در مثلث قائم الزاويه با زاويه 30 درجه، ساق مقابل اين زاويه به نصف هيپوتنوز پاره مي شود.

قضیه 2. اگر در یک مثلث قائم الزاویه ساق برابر با نیمی از هیپوتنوز باشد، زاویه مقابل 30 درجه است.

اگر ارتفاع از راس زاویه قائم به سمت هیپوتانوس کشیده شود، چنین مثلثی به دو مثلث کوچکتر شبیه به خروجی و شبیه به دیگری تقسیم می شود. از این نتیجه گیری های زیر حاصل می شود:

1. ارتفاع، میانگین هندسی (میانگین تناسب) دو بخش هیپوتانوس است.
2. هر یک از پاهای مثلث میانگینی است که با هیپوتنوز و بخش های مجاور آن متناسب است.

در یک مثلث قائم الزاویه، پاها به عنوان ارتفاع عمل می کنند. مرکز قائم نقطه ای است که ارتفاعات مثلث در آن قطع می شود. با بالای زاویه سمت راست شکل منطبق است.

hC- ارتفاعی که از زاویه راست مثلث خارج می شود.

AB- هیپوتنوئوس؛

آگهیو DB- بخش هایی که هنگام تقسیم هیپوتنوس بر ارتفاع به وجود آمدند.

بازگشت به مشاهده منابع در رشته "هندسه"

مثلثشکل هندسی متشکل از سه نقطه (رأس) که روی یک خط مستقیم نیستند و سه بخش که این نقاط را به هم وصل می کند. مثلث قائم الزاویه مثلثی است که یکی از زوایای 90 درجه (یک زاویه قائمه) را داشته باشد.
یک قضیه وجود دارد:مجموع زوایای تند یک مثلث قائم الزاویه 90 درجه است.
سیستم نظر دادن CACKLE

کلید واژه ها:مثلث، مستطیل، ساق، فرضیه فیثاغورث، دایره

مثلث به نام مستطیل شکلاگر زاویه راست داشته باشد
یک مثلث قائم الزاویه دارای دو ضلع عمود بر یکدیگر است که به آنها می گویند پاها; سمت سوم نامیده می شود هیپوتنوئوس.

• با توجه به خواص هیپوتنوز عمود بر و مورب، هر یک از پاها بلندتر (اما کمتر از مجموع آنها) است.
• مجموع دو زاویه تند یک مثلث قائم الزاویه برابر با زاویه قائمه است.
• دو ارتفاع مثلث قائم الزاویه با پاهای آن منطبق است. بنابراین یکی از چهار نقطه قابل توجه روی رئوس زاویه قائم مثلث می افتد.
• مرکز دایره محصور یک مثلث قائم الزاویه در نقطه وسط هیپوتنوس قرار دارد.
• میانه یک مثلث قائم الزاویه که از راس زاویه قائم به سمت هیپوتنوس کشیده شده است، شعاع دایره ای است که پیرامون این مثلث محصور شده است.

یک مثلث قائم الزاویه دلخواه ABC را در نظر بگیرید و از راس C زاویه قائم آن یک ارتفاع CD = hc بکشید.

مثلث داده شده را به دو مثلث قائم الزاویه ACD و BCD تقسیم می کند. هر یک از این مثلث ها دارای زاویه حاد مشترک با مثلث ABC هستند و بنابراین شبیه مثلث ABC هستند.

هر سه مثلث ABC، ACD و BCD شبیه یکدیگر هستند.

از شباهت مثلث ها، روابط زیر مشخص می شود:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• c = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c)، b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

قضیه فیثاغورسیکی از قضایای اساسی هندسه اقلیدسی است که رابطه بین اضلاع یک مثلث قائم الزاویه را ایجاد می کند.

جمله بندی هندسیدر یک مثلث قائم الزاویه، مساحت مربع ساخته شده روی هیپوتانوس برابر است با مجموع مساحت مربع های ساخته شده بر روی پاها.

فرمول بندی جبریدر مثلث قائم الزاویه، مربع هیپوتنوس برابر است با مجموع مربع های پاها.
یعنی نشان دادن طول هیپوتنوز مثلث از طریق c، و طول پایه ها از طریق a و b:
a2 + b2 = c2

قضیه معکوس فیثاغورث.

ارتفاع مثلث قائم الزاویه

برای هر سه گانه از اعداد مثبت a، b و c به طوری که
a2 + b2 = c2،
یک مثلث قائم الزاویه با پاهای a و b و هیپوتانوس c وجود دارد.

علائم تساوی مثلث های قائم الزاویه:

• در امتداد ساق و هیپوتانوز؛
• روی دو پا؛
• در امتداد ساق و زاویه حاد؛
• هیپوتانوز و زاویه حاد.

همچنین ببینید:
مساحت مثلث، مثلث متساوی الساقین، مثلث متساوی الاضلاع

هندسه. 8 کلاس. تست 4. گزینه 1 .

آگهی : CD=CD : B.D. از این رو CD2 = AD ∙ B.D. میگویند:

آگهی : AC=AC : AB از این رو AC2 = AB ∙ آگهی. میگویند:

BD : قبل از میلاد = قبل از میلاد : AB از این رو BC2 = AB ∙ B.D.

حل مشکلات:

1.

آ) 70 سانتی متر؛ ب) 55 سانتی متر؛ ج) 65 سانتی متر؛ د) 45 سانتی متر؛ ه) 53 سانتی متر

2. ارتفاع مثلث قائم الزاویه ای که به سمت هیپوتنوز کشیده شده است، هیپوتنوز را به بخش های 9 و 36 تقسیم می کند.

طول این ارتفاع را تعیین کنید.

آ) 22,5; ب) 19; ج) 9; د) 12; ه) 18.

4.

آ) 30,25; ب) 24,5; ج) 18,45; د) 32; ه) 32,25.

5.

آ) 25; ب) 24; ج) 27; د) 26; ه) 21.

6.

آ) 8; ب) 7; ج) 6; د) 5; ه) 4.

7.

8. ساق مثلث قائم الزاویه 30 است.

چگونه ارتفاع را در مثلث قائم الزاویه پیدا کنیم؟

اگر شعاع دایره محصور در اطراف این مثلث 17 باشد فاصله راس زاویه قائمه تا هیپوتنوس را بیابید.

آ) 17; ب) 16; ج) 15; د) 14; ه) 12.

10.

آ) 15; ب) 18; ج) 20; د) 16; ه) 12.

آ) 80; ب) 72; ج) 64; د) 81; ه) 75.

12.

آ) 7,5; ب) 8; ج) 6,25; د) 8,5; ه) 7.

پاسخ ها را بررسی کنید!

D8.04.1. قطعات متناسب در یک مثلث قائم الزاویه

هندسه. 8 کلاس. تست 4. گزینه 1 .

در Δ ABC ∠ACV = 90 درجه. پاهای AC و BC، هیپوتنوز AB.

CD ارتفاع مثلث کشیده شده به سمت هیپوتنوس است.

پیش بینی AD پای AC روی هیپوتنوز،

طرح ریزی BD پای BC روی هیپوتنوز.

Altitude CD مثلث ABC را به دو مثلث شبیه به خود (و به یکدیگر) تقسیم می کند: Δ ADC و Δ CDB.

از تناسب اضلاع Δ ADC و Δ CDB مشابه به شرح زیر است:

آگهی : CD=CD : B.D.

ویژگی ارتفاع مثلث قائم الزاویه به هیپوتنوز کاهش یافته است.

از این رو CD2 = AD ∙ B.D. میگویند: ارتفاع مثلث قائم الزاویه ای که به سمت هیپوتانوس کشیده شده است،میانگین مقدار متناسب بین برآمدگی پاها روی هیپوتنوز است.

از شباهت Δ ADC و Δ ACB به دست می آید:

آگهی : AC=AC : AB از این رو AC2 = AB ∙ آگهی. میگویند: هر پا میانگین مقدار متناسب بین کل هیپوتنوز و برآمدگی این پا بر روی هیپوتنوز است.

به طور مشابه، از شباهت Δ CDB و Δ ACB چنین می شود:

BD : قبل از میلاد = قبل از میلاد : AB از این رو BC2 = AB ∙ B.D.

حل مشکلات:

1. اگر مثلث قائم الزاویه به سمت هیپوتنوز کشیده شده باشد، ارتفاع آن را به دو قسمت 25 و 81 سانتی متری تقسیم کند.

آ) 70 سانتی متر؛ ب) 55 سانتی متر؛ ج) 65 سانتی متر؛ د) 45 سانتی متر؛ ه) 53 سانتی متر

2. ارتفاع مثلث قائم الزاویه ای که به سمت هیپوتنوز کشیده شده است، هیپوتنوز را به قسمت های 9 و 36 تقسیم می کند. طول این ارتفاع را تعیین کنید.

آ) 22,5; ب) 19; ج) 9; د) 12; ه) 18.

4. ارتفاع مثلث قائم الزاویه کشیده شده به هیپوتانوس 22 است، برآمدگی یکی از پایه ها 16 است. برآمدگی پای دیگر را پیدا کنید.

آ) 30,25; ب) 24,5; ج) 18,45; د) 32; ه) 32,25.

5. ساق مثلث قائم الزاویه 18 است و برآمدگی آن بر روی هیپوتنوز 12 است. هیپوتانوس را پیدا کنید.

آ) 25; ب) 24; ج) 27; د) 26; ه) 21.

6. هیپوتانوز 32 است. پایی را پیدا کنید که برآمدگی آن روی هیپوتانوز 2 است.

آ) 8; ب) 7; ج) 6; د) 5; ه) 4.

7. هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه 45 است. پایه ای را پیدا کنید که برآمدگی آن بر روی هیپوتنوز 9 است.

8. ساق مثلث قائم الزاویه 30 است. اگر شعاع دایره ای که اطراف این مثلث 17 است، فاصله راس زاویه قائمه تا هیپوتانوس را بیابید.

آ) 17; ب) 16; ج) 15; د) 14; ه) 12.

10. فرضیه یک مثلث قائم الزاویه 41 و برآمدگی یکی از پایه ها برابر با 16 است. طول ارتفاع رسم شده از رأس زاویه قائم به هیپوتانوس را بیابید.

آ) 15; ب) 18; ج) 20; د) 16; ه) 12.

آ) 80; ب) 72; ج) 64; د) 81; ه) 75.

12. تفاوت برجستگی پاها روی هیپوتنوس 15 و فاصله راس زاویه قائم تا هیپوتنوز 4 است. شعاع دایره محدود شده را بیابید.

آ) 7,5; ب) 8; ج) 6,25; د) 8,5; ه) 7.

در واقع، همه چیز اصلاً ترسناک نیست. البته تعریف واقعی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت را باید در مقاله بررسی کرد. اما شما واقعا نمی خواهید، نه؟ ما می توانیم خوشحال باشیم: برای حل مسائل مربوط به یک مثلث قائم الزاویه، به سادگی می توانید موارد ساده زیر را پر کنید:

در مورد زاویه چطور؟ آیا پایی هست که مقابل گوشه یعنی پای مقابل (برای گوشه) باشد؟ البته دارند! این یک کاتت است!

اما در مورد زاویه چطور؟ از نزدیک نگاه کن. کدام پا در مجاورت گوشه است؟ البته گربه. بنابراین، برای زاویه، ساق مجاور است، و

و اکنون، توجه! ببین چی بدست آوردیم:

ببینید چقدر عالیه:

حال به سراغ مماس و کتانژانت می رویم.

حالا چگونه آن را در قالب کلمات بیان کنیم؟ ساق نسبت به گوشه چیست؟ البته در مقابل - روبروی گوشه "نهفته است". و کتت؟ مجاور گوشه. پس چی به دست آوردیم؟

ببینید که چگونه صورت و مخرج معکوس می شوند؟

و حالا دوباره گوشه ها و مبادله انجام شد:

خلاصه

بیایید به اختصار آنچه را که آموخته ایم بنویسیم.

قضیه فیثاغورس:

قضیه مثلث قائم الزاویه اصلی قضیه فیثاغورث است.

قضیه فیثاغورس

راستی، خوب به خاطر دارید که پاها و هیپوتونوس چیست؟ اگر نه، پس به تصویر نگاه کنید - دانش خود را تازه کنید

ممکن است قبلاً بارها از قضیه فیثاغورث استفاده کرده باشید، اما آیا تا به حال فکر کرده اید که چرا چنین قضیه ای درست است. چگونه آن را ثابت می کنید؟ بیایید مانند یونانیان باستان رفتار کنیم. بیایید یک مربع با یک ضلع رسم کنیم.

می بینید که با چه حیله ای اضلاعش را به قطعات درازی تقسیم کردیم و!

حالا بیایید نقاط مشخص شده را به هم وصل کنیم

با این حال، ما در اینجا به چیز دیگری اشاره کردیم، اما شما خودتان به تصویر نگاه می کنید و به دلیل آن فکر می کنید.

مساحت مربع بزرگتر چقدر است؟

به درستی، .

در مورد منطقه کوچکتر چطور؟

قطعا، .

مساحت کل چهار گوشه باقی مانده است. تصور کنید که ما دو تا از آنها را گرفتیم و با هیپوتنوس به هم تکیه دادیم.

چی شد؟ دو مستطیل. بنابراین، مساحت "قله ها" برابر است.

حالا بیایید همه را کنار هم بگذاریم.

بیایید تبدیل کنیم:

بنابراین ما فیثاغورث را ملاقات کردیم - قضیه او را به روشی باستانی اثبات کردیم.

مثلث قائم الزاویه و مثلثات

برای مثلث قائم الزاویه، روابط زیر برقرار است:

سینوس یک زاویه حاد برابر است با نسبت پای مقابل به هیپوتنوز

کسینوس یک زاویه حاد برابر است با نسبت ساق مجاور به هیپوتنوز.

مماس یک زاویه تند برابر است با نسبت پای مقابل به پای مجاور.

کوتانژانت یک زاویه حاد برابر است با نسبت پای مجاور به پای مقابل.

و بار دیگر، همه اینها در قالب یک بشقاب:

خیلی راحته!

نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه

I. روی دو پا

II. توسط پا و هیپوتانوز

III. توسط هیپوتانوز و زاویه حاد

IV. در امتداد ساق و زاویه حاد

آ)

ب)

توجه! در اینجا بسیار مهم است که پاها "مطابق" باشند. به عنوان مثال، اگر اینگونه باشد:

پس مثلث ها مساوی نیستند، با وجود این واقعیت که آنها یک زاویه حاد یکسان دارند.

نیاز به در هر دو مثلث پا مجاور بود، یا در هر دو - مخالف.

آیا دقت کرده اید که چگونه علائم تساوی مثلث های قائم الزاویه با علائم معمول تساوی مثلث ها متفاوت است؟

به موضوع نگاه کنید و به این نکته توجه کنید که برای برابری مثلث های معمولی به برابری سه عنصر آنها نیاز دارید: دو ضلع و یک زاویه بین آنها، دو زاویه و یک ضلع بین آنها یا سه ضلع.

اما برای برابری مثلث های قائم الزاویه، تنها دو عنصر متناظر کافی است. عالی است، درست است؟

تقریباً وضعیت مشابه با علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه.

علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه

I. گوشه حاد

II. روی دو پا

III. توسط پا و هیپوتانوز

میانه در مثلث قائم الزاویه

چرا اینطور است؟

به جای مثلث قائم الزاویه یک مستطیل کامل را در نظر بگیرید.

بیایید یک مورب رسم کنیم و یک نقطه را در نظر بگیریم - نقطه تقاطع مورب ها. از قطرهای یک مستطیل چه می دانید؟

و چه چیزی از این نتیجه می گیرد؟

پس این اتفاق افتاد

1. - میانه:

این واقعیت را به خاطر بسپار! کمک زیادی می کند!

شگفت‌انگیزتر این است که عکس آن نیز صادق است.

چه فایده ای می توان از این واقعیت به دست آورد که میانه رسم شده به سمت هیپوتنوز برابر با نصف هیپوتنوز است؟ بیایید به تصویر نگاه کنیم

از نزدیک نگاه کن. داریم: یعنی فواصل نقطه تا هر سه رأس مثلث برابر است. اما در یک مثلث فقط یک نقطه وجود دارد که فواصل آن تقریباً هر سه رأس مثلث برابر است و این مرکز محیط توصیف شده است. پس چه اتفاقی افتاد؟

پس بیایید با این «علاوه بر...» شروع کنیم.

بیایید به i نگاه کنیم.

اما در مثلث های مشابه همه زوایا با هم برابرند!

همین را می توان در مورد و نیز گفت

حالا بیایید آن را با هم ترسیم کنیم:

از این شباهت «سه گانه» چه فایده ای می توان گرفت.

خوب، برای مثال - دو فرمول برای ارتفاع مثلث قائم الزاویه

روابط طرف های مربوطه را می نویسیم:

برای پیدا کردن ارتفاع، نسبت را حل می کنیم و بدست می آوریم فرمول اول "ارتفاع در مثلث قائم الزاویه":

خوب حالا با به کارگیری و ترکیب این دانش با دیگران هر مشکلی را با مثلث قائم الزاویه حل می کنید!

بنابراین، بیایید شباهت را اعمال کنیم: .

حالا چه خواهد شد؟

دوباره نسبت را حل می کنیم و فرمول دوم را می گیریم:

هر دوی این فرمول‌ها را باید به خوبی به خاطر بسپارید و بکار بردن آن راحت‌تر باشد.

بیایید دوباره آنها را بنویسیم.

قضیه فیثاغورس:

در یک مثلث قائم الزاویه، مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پاها:.

علائم تساوی مثلث های قائم الزاویه:

• روی دو پا:
• در امتداد ساق و هیپوتنوز: یا
• در امتداد ساق و زاویه حاد مجاور: یا
• در امتداد ساق و زاویه حاد مخالف: یا
• توسط هیپوتانوز و زاویه حاد: یا.

علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه:

• یک گوشه تیز: یا
• از تناسب دو پا:
• از تناسب ساق و هیپوتنوز: یا.

سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت در مثلث قائم الزاویه

• سینوس یک زاویه حاد مثلث قائم الزاویه نسبت سمت مقابل به هیپوتنوز است:
• کسینوس زاویه حاد مثلث قائم الزاویه نسبت ساق مجاور به هیپوتونوس است:
• مماس یک زاویه تند مثلث قائم الزاویه، نسبت پای مقابل به مجاور است:
• کوتانژانت زاویه حاد مثلث قائم الزاویه نسبت ساق مجاور به عکس آن است:.

ارتفاع مثلث قائم الزاویه: یا.

در مثلث قائم الزاویه، میانه رسم شده از رأس زاویه قائمه برابر با نصف هیپوتانوس است: .

مساحت مثلث قائم الزاویه:

• از طریق کاتترها:

اموال: 1.در هر مثلث قائم الزاویه، ارتفاع کاهش یافته از زاویه قائمه (تا هیپوتنوس)، مثلث قائم الزاویه را به سه مثلث مشابه تقسیم می کند.

اموال: 2.ارتفاع یک مثلث قائم الزاویه که به سمت هیپوتنوز پایین می آید، برابر است با میانگین هندسی برآمدگی پاها روی هیپوتنوز (یا میانگین هندسی آن بخش هایی که ارتفاع هیپوتنوز را به آنها تقسیم می کند).

اموال: 3.پا برابر است با میانگین هندسی هیپوتنوز و برآمدگی این پا بر روی هیپوتنوز.

اموال: 4.ساق در مقابل زاویه 30 درجه برابر با نیمی از هیپوتنوز است.

فرمول 1.

فرمول 2.هیپوتانوز کجاست ، اسکیت.

اموال: 5.در یک مثلث قائم الزاویه، میانه رسم شده به سمت هیپوتنوس برابر با نصف آن و برابر با شعاع دایره محصور شده است.

خاصیت: 6. وابستگی بین اضلاع و زوایای مثلث قائم الزاویه:

44. قضیه کسینوس. پیامدها: ارتباط بین مورب ها و اضلاع متوازی الاضلاع. تعیین نوع مثلث؛ فرمول محاسبه طول میانه یک مثلث؛ محاسبه کسینوس زاویه یک مثلث

پایان کار -

این موضوع متعلق به:

کلاس. برنامه همایش مبانی پلان سنجی

خاصیت زوایای مجاور .. تعریف دو زاویه مجاورند در صورتی که یک ضلع مشترک باشند در دو طرف دیگر یک خط مستقیم تشکیل دهند.

اگر به مطالب بیشتری در مورد این موضوع نیاز دارید یا آنچه را که به دنبال آن بودید پیدا نکردید، توصیه می کنیم از جستجو در پایگاه داده آثار ما استفاده کنید:

با مطالب دریافتی چه خواهیم کرد:

اگر این مطالب برای شما مفید بود، می توانید آن را در صفحه خود در شبکه های اجتماعی ذخیره کنید: