ساده ترین طرح درس نابرابری های مثلثاتی. طرح درس جبر با موضوع "نامعادلات مثلثاتی"

مدل درس با موضوع:

حل معادلات مثلثاتی و نامساوی

به عنوان بخشی از اجرای مولفه منطقه ای در ریاضیات

برای دانش آموزان پایه دهم

پومیکالووا

النا ویکتورونا

معلم ریاضی

موسسه آموزشی شهرداری مدرسه راهنمایی روستای وسخد

منطقه بالاشوفسکی

منطقه ساراتوف

هدف از درس.

1. جمع بندی دانش نظری در مورد: "حل معادلات و نامساوی مثلثاتی"، روش های اساسی برای حل معادلات و نامساوی مثلثاتی را تکرار کنید.

2. کیفیت های تفکر را توسعه دهید: انعطاف پذیری، تمرکز، عقلانیت. کار دانش آموزان را در مورد موضوع مشخص شده در سطحی مطابق با سطح دانشی که قبلاً شکل گرفته است سازماندهی کنید.

3. صحت یادداشت ها، فرهنگ گفتار و استقلال را پرورش دهید.

نوع درس: درسی در تعمیم و نظام مند کردن دانش کسب شده در حین مطالعه این موضوع.

روش های تدریس: تعمیم سیستم، تست بررسی سطح دانش، حل مسائل تعمیم.

اشکال سازماندهی درس: جلویی، فردی

تجهیزات: کامپیوتر , پروژکتور چند رسانه ای، پاسخنامه، کارت وظایف، جدول فرمول های ریشه معادلات مثلثاتی.

در طول کلاس ها.

من . شروع درس

معلم موضوع درس، هدف را به دانش آموزان اطلاع می دهد و توجه دانش آموزان را به جزوه ها جلب می کند.

II . نظارت بر دانش دانش آموزان

1) کار شفاهی (وظیفه بر روی صفحه نمایش داده می شود)

محاسبه:

آ) ؛

ب)؛

V)؛

ز)؛

د)؛
ه) .

2) نظرسنجی پیشانی از دانش آموزان.

به چه معادلاتی مثلثاتی می گویند؟

چه نوع معادلات مثلثاتی را می شناسید؟

ساده ترین معادلات مثلثاتی به چه معادلاتی گفته می شود؟

به چه معادلاتی همگن می گویند؟

به چه معادلاتی درجه دوم می گویند؟

به چه معادلاتی ناهمگن می گویند؟

چه روش هایی برای حل معادلات مثلثاتی می شناسید؟

پس از پاسخ دانش آموزان، راه هایی برای حل معادلات مثلثاتی روی صفحه نمایش داده می شود.

معرفی یک متغیر جدید:

№1 . 2sin²x – 5sinx + 2 = 0.№2. tg + 3 سی گرم = 4.

اجازه دهید sinx = t، |t|≤1،اجازه دهید tg = z،

ما داریم: 2 تی² - 5 تی + 2 = 0. ما داریم: z + = 4.

2. فاکتورسازی :

2 سینکسcos 5 ایکس – cos 5 ایکس = 0;

cos5x (2sinx – 1) = 0.

ما داریم : cos5x = 0،

2sinx – 1 = 0; ...

3. معادلات مثلثاتی همگن:

مندرجه IIدرجه

a sinx + b cosx = 0، (a,b ≠ 0). a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0.

تقسیم بر cosx≠ 0. 1) اگر a ≠ 0، تقسیم برcos² ایکس ≠ 0

ما داریم : a tgx + b = 0; ...ما داریم : a tg²x + b tgx + c = 0.

2) اگر a = 0، پس

ما داریم: بسینکسcosx + جcos² ایکس =0;…

4. معادلات مثلثاتی ناهمگن:

معادلات فرم: asinx + bcosx = ج

4 سینکس + 3 cosx = 5.

(نشان دادن دو راه)

1) استفاده از جایگزینی جهانی:

سینکس = (2 tgایکس/2) / (1 + tg 2 ایکس/2);

cosx = (1– tg 2 ایکس/2) / (1 + tg 2 ایکس/2);

2) معرفی یک آرگومان کمکی:

4 سینکس + 3 cosx = 5

دو طرف را بر 5 تقسیم کنید:

4/5 سینکس + 3/5 cosx = 1

از آنجایی که (4/5) 2 + (3/5) 2 = 1 است، بگذارید 4/5 = باشد sinφ; 3/5= cosφ، جایی که 0< φ < π /2، سپس

sinφsinx + cosφcosx = 1

cos(ایکس – φ ) = 1

ایکس – φ = 2 πn, n € ز

ایکس = 2 πn + φ , n € ز

φ = آرکوس 3/5 یعنی ایکس = آرکوس 3/5 +2 πn, n € ز

پاسخ: آرکوس 3/5 + 2 πn, n € ز

3) حل معادلات با استفاده از فرمول های کاهش درجه.

4) استفاده از فرمول های آرگومان دوگانه و سه گانه.

الف) 2sin4xcos2x = 4cos 3 2x – 3cos2x

cos6x +cos2x = cos6x

III . اجرای یک کار آزمایشی

معلم از دانش آموزان می خواهد که حقایق نظری را که برای حل معادلات فرموله شده اند به کار گیرند.

این کار در قالب یک آزمون انجام می شود. دانش آموزان فرم پاسخ را که روی میزشان قرار دارد پر می کنند.

وظیفه بر روی صفحه نمایش داده می شود.

راهی برای حل این معادله مثلثاتی پیشنهاد کنید:

1) کاهش به مربع.

2) کاهش به همگنی.

3) فاکتورسازی؛

4) کاهش درجه;

5) تبدیل مجموع توابع مثلثاتی به حاصل ضرب.

فرم پاسخ.

گزینه من

معادله

راه حل ها

3 sin²x + cos²x = 1 - sinx cosx

4 شرکت s²x- cosx– 1 = 0

2 sin² ایکس / 2 +cosx=1

cosx + cos3x = 0

2 sinx cos5x – cos5x = 0

گزینه II

معادله

راه حل ها

2sinxcosx – sinx = 0

3 cos²x - cos2x = 1

6 sin²x + 4 sinx cosx = 1

4 sin²x + 11 sin²x = 3

sin3x = sin17x

پاسخ ها:

گزینه منگزینه II

IV . تکرار فرمول ها برای حل معادلات

فرمول های ریشه های معادلات مثلثاتی.

معمول هستند

خصوصی

معادله

فرمول ریشه

معادله

فرمول ریشه

1. سینکس = a, |a|≤1

x = (-1) n arcsin a + πk،

کє ز

1. sinx = 0

x = πk، kє ز

2. cosx = a، |a|≤1

x = ±arccos a + 2πk،

کє ز

2. sinx = 1

x = + 2πk, ک є ز

3. tg x = a

x = آرکتان a + πk، kє ز

3. sinx = -1

x = - + 2πk, ک є ز

4.ctg x = a

x = arcctg a + πk,kє ز

4. cosx = 0

x = + πk, ک є ز

5. cosx = 1

x = 2πk, ک є ز

6. cosx = -1

x = π + 2πk, ک є ز

کار شفاهی در حل معادلات مثلثاتی ساده

معلم از دانش آموزان می خواهد که حقایق نظری را که برای حل معادلات فرموله شده اند به کار گیرند. یک شبیه ساز برای کار شفاهی با موضوع: "معادلات مثلثاتی" روی صفحه نمایش داده می شود.

حل معادلات

گناهایکس = 0

cosایکس = 1

tan x = 0

ctg x = 1

گناه x = - 1 / 2

sin x = 1

cos x = 1 / 2

گناه x = - √3 / 2

cos x = √2 / 2

گناه x = √2 / 2

cos x = √3 / 2

tan x = √3

گناه x = 1 / 2

sin x = -1

cos x = - 1 / 2

گناه x = √3 / 2

tan x = -√3

ctg x = √3 / 3

قهوهای مایل به زرد x = - √3 / 3

تخت x = -√3

cos x – 1 = 0

2 گناه x – 1 = 0

2ctg x + √3 = 0

V . حل مثال ها

کارت‌هایی با وظایف در هر میز توزیع می‌شود، یکی روی میز معلم برای دانش‌آموزانی که به تخته می‌آیند.

№1. میانگین حسابی همه ریشه های معادله را پیدا کنید ، ارضای شرط ;

راه حل.

بیایید میانگین حسابی همه ریشه های یک معادله داده شده را از بازه پیدا کنیم .

پاسخ: الف) .

№2 . نابرابری را حل کنید .

راه حل.

پاسخ:

№3. معادله را حل کنید .

(به طور مشترک یک روش برای حل مشکل تعیین کنید)

راه حل.

اجازه دهید سمت راست و چپ آخرین برابری را تخمین بزنیم.

بنابراین، برابری اگر و تنها در صورتی برقرار است که سیستم برقرار باشد

پاسخ: 0.5

VI . کار مستقل

معلم وظایفی را برای کار مستقل تعیین می کند. کارت ها با توجه به سطح دشواری تهیه می شوند.

به دانش آموزان آماده تر می توان کارت هایی با وظایفی با سطح پیچیدگی بیشتر داد.

معلم به دانش آموزان گروه دوم کارت هایی با وظایف سطح اولیه پیچیدگی داد.

برای دانش آموزان گروه 3 ، معلم کارت هایی را با وظایف سطح اولیه پیچیدگی جمع آوری کرد ، اما اینها معمولاً دانش آموزانی هستند که آمادگی ریاضی ضعیفی دارند؛ آنها می توانند وظایف را زیر نظر معلم انجام دهند.

همراه با تکالیف، دانش آموزان فرم هایی برای تکمیل تکالیف دریافت می کنند.

1 گروه

گزینه شماره 1 (1)

1. معادله را حل کنید

2. معادله را حل کنید .

گزینه شماره 2 (1)

1. معادله را حل کنید .

2. معادله را حل کنید .

گروه 2

گزینه شماره 1 (2)

1. معادله را حل کنید .

2. معادله را حل کنید .

برای مشاهده ارائه با تصاویر، طرح و اسلاید، فایل آن را دانلود کرده و در پاورپوینت باز کنیددر کامپیوتر شما.
محتوای متنی اسلایدهای ارائه: حل نامساوی مثلثاتی با روش فواصل 10 کلاس الف مدرس: Uskova N.N. MBOU Lyceum No. 60 اهداف درس: آموزشی: گسترش و تعمیق دانش در مورد موضوع "روش فواصل". کسب مهارت های عملی در انجام تکالیف با استفاده از روش فاصله، افزایش سطح آموزش ریاضی دانش آموزان، رشدی: توسعه مهارت های پژوهشی، آموزشی: شکل گیری مشاهده، استقلال، توانایی تعامل با افراد دیگر، پرورش فرهنگ تفکر، فرهنگ گفتار، علاقه به موضوع آکادمیک. پیشرفت درس بررسی تکالیف کار مستقل توضیح مطالب جدید در مبحث حل نامساوی مثلثاتی به روش بازه: الگوریتم حل مثال هایی از نامساوی خلاصه درس تکلیف. بررسی تکالیف حل نابرابری ها: کار مستقل علاوه بر این: 1) 2) بررسی تکالیف حل نابرابری ها: الف) راه حل. جواب: ب) راه حل. جواب: ج) راه حل. جواب: د) راه حل. پاسخ: . حل نابرابری راه حل. پاسخ: مثال 1. حل نابرابری با استفاده از روش فاصله. 1) 2) صفرهای تابع: 3) علائم تابع در فواصل: + - + - + 4) از آنجایی که نامساوی سخت نیست، ریشه ها را شامل می شود. 5) راه حل: پاسخ: مثال 2. حل نامساوی: حل . پاسخ: روش اول: روش دوم: پاسخ: حل نامعادله های مثلثاتی با استفاده از روش بازه الگوریتم: با استفاده از فرمول های مثلثاتی فاکتورگیری کنید، نقاط ناپیوستگی و صفرهای تابع را پیدا کنید، آنها را روی دایره قرار دهید، هر نقطه x0 را بگیرید (اما قبلاً پیدا نشده است) و متوجه شوید که علامت کار می کند. اگر محصول مثبت است، یک "+" را در پشت دایره واحد روی پرتو مربوط به زاویه قرار دهید. در غیر این صورت یک علامت "-" را در داخل دایره قرار دهید، اگر نقطه ای چند بار زوج باشد، آن را نقطه چند برابری زوج و اگر تعداد فرد فرد باشد، آن را نقطه چند برابری فرد می نامیم. کمان ها را به صورت زیر رسم کنید: از نقطه x0 شروع کنید، اگر نقطه بعدی دارای تعدد فرد باشد، در این نقطه کمان دایره را قطع می کند، اما اگر نقطه دارای چند برابر باشد، اینطور نیست. کمان های فراتر از دایره بازه های مثبت هستند. ; در داخل دایره فضاهای منفی وجود دارد. حل مثال ها 1) 2) 3) 4) 5) مثال 1. حل. نکات سری اول: نکات سری دوم: - - - + + + پاسخ: مثال 2. حل. نقاط سری اول: نقاط سری دوم: نقاط سری سوم: نقاط سری چهارم: نقاط تعدد زوج: + + + + - - - - پاسخ: مثال 3. حل. مجموع: امتیاز سری اول: امتیاز سری دوم: امتیاز سری سوم: + + + + + + - - - - - - - - پاسخ. نقاط کثرت زوج: مثال 4. حل. + + + + - - - - پاسخ دهید. مثال 5. راه حل. 1) 2) صفرهای تابع: 3) + - - + - صفر وجود ندارد بنابراین، در پاسخ: به صورت گرافیکی: تکلیف: نامعادلات مثلثاتی را با روش فواصل حل کنید: الف) ب) ج) د) ه) و) ز) وظایف اضافی:

فایل های پیوست شده

درک و درک مبحث "نابرابری های مثلثاتی" برای دانش آموزان پایه دهم از نظر عینی دشوار است. بنابراین، بسیار مهم است که به طور مداوم، از ساده به پیچیده، درک الگوریتم را توسعه دهیم و مهارتی پایدار در حل نابرابری های مثلثاتی ایجاد کنیم.

این مقاله الگوریتمی برای حل ساده ترین نابرابری های مثلثاتی ارائه می دهد و خلاصه ای از درسی را ارائه می دهد که در آن انواع پیچیده تر نابرابری های مثلثاتی تسلط پیدا می کنند.

دانلود:

پیش نمایش:

Shchalpegina I.V.

موفقیت در تسلط بر این مبحث منوط به آگاهی از تعاریف و ویژگی های اساسی توابع مثلثاتی و معکوس، آگاهی از فرمول های مثلثاتی، توانایی حل نابرابری های گویا اعداد صحیح و کسری و انواع اصلی معادلات مثلثاتی است.

باید بر روش آموزش راه حل ها تاکید ویژه ای شودتک یاخته ها نابرابری های مثلثاتی، زیرا هر نابرابری مثلثاتی به حل ساده ترین نابرابری ها کاهش می یابد.

بهتر است ایده اولیه حل نابرابری های مثلثاتی ساده با استفاده از نمودارهای سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت معرفی شود. و تنها پس از آن یاد بگیرید که نابرابری های مثلثاتی را در یک دایره حل کنید.

من در هنگام حل ساده ترین نابرابری های مثلثاتی به مراحل اصلی استدلال خواهم پرداخت.

نقاطی را روی دایره ای می یابیم که سینوس آن (کسینوس) برابر عدد داده شده است.
در مورد نابرابری شدید، این نقاط روی دایره را سوراخ شده و در مورد نابرابری غیر دقیق، آنها را به صورت سایه دار مشخص می کنیم.
نقطه دروغ گفتنفاصله اصلی یکنواختیتوابع سینوسی (کسینوس) که P نامیده می شوند t1، نکته دیگر - پ t2.
ما در امتداد محور سینوس (کسینوس) فاصله ای را که این نابرابری را برآورده می کند علامت گذاری می کنیم.
یک کمان روی دایره مربوط به این فاصله انتخاب می کنیم.
جهت حرکت را در امتداد قوس تعیین می کنیم (از نقطه P t1 به نقطه P t2 در امتداد یک قوس ) یک فلش در جهت حرکت می کشیم که بالای آن بسته به جهت حرکت علامت “+” یا “-” می نویسیم. (این مرحله برای نظارت بر زوایای یافت شده مهم است. دانش آموزان می توانند با استفاده از مثال حل نابرابری، اشتباه رایج در یافتن مرزهای بازه را نشان دهند.طبق برنامه سینوس یا کسینوس ودور محیط).
پیدا کردن مختصات نقاط P t1 (به عنوان آرکسین یا آرکوزین یک عدد معین)و Р t2 آن ها مرزهای بازه، صحت یافتن زوایا را با مقایسه t کنترل می کنیم 1 و t 2.
پاسخ را به شکل یک نامساوی (یا شکاف) مضاعف از زاویه کوچکتر به زاویه بزرگتر می نویسیم.

استدلال برای حل نامساوی با مماس و کتانژانت مشابه است.

ترسیم و ضبط راه حل، که باید در دفترهای دانش آموزان منعکس شود، در طرح پیشنهادی آورده شده است.

خلاصه درس با موضوع: حل نابرابری های مثلثاتی.

هدف درس - به مطالعه حل نابرابری های مثلثاتی حاوی توابع سینوس و کسینوس ادامه دهید، از ساده ترین نابرابری ها به نابرابری های پیچیده تر بروید.

اهداف درس:

ادغام دانش فرمول های مثلثاتی، مقادیر جدولی توابع مثلثاتی، فرمول های ریشه های معادلات مثلثاتی؛
توسعه مهارت حل نابرابری های مثلثاتی ساده؛
تسلط بر تکنیک ها برای حل نابرابری های مثلثاتی پیچیده تر؛
توسعه تفکر منطقی، حافظه معنایی، مهارت های کار مستقل، خودآزمایی؛
تقویت دقت و وضوح در تدوین راه حل ها، علاقه به موضوع، احترام به همکلاسی ها.
شکل گیری شایستگی های آموزشی، شناختی، اطلاعاتی و ارتباطی.

تجهیزات: گراف پروژکتور کارت جزوه با نقشه های آماده از دایره های مثلثاتی تخته قابل حمل کارت با تکالیف.

فرم سازمان آموزش - درس.مواد و روش ها تدریس مورد استفاده در درس - شفاهی، دیداری، تولید مثل، جستجوی مسئله، پرسش فردی و پیشانی، خودکنترلی شفاهی و کتبی، کار مستقل.

N p/p

مراحل درس.

تشکیل کلاس برای کار

بررسی تکالیف

(جمع آوری دفترچه با تکالیف)

بیان هدف از درس.

امروز در درس حل ساده ترین نابرابری های مثلثاتی را تکرار می کنیم و موارد پیچیده تری را در نظر می گیریم.

کار شفاهی.

(وظایف و پاسخ ها روی نوار پروژکتور بالای سر نوشته می شوند، پاسخ ها را در حین حل کردن باز می کنم)

حل معادلات مثلثاتی:

sinx = -، 2sinx =، sin2x =، sin(x -) = 0، cosx =،

cosx = -، cos2x = 1، tgx = -1.

فواصل اصلی یکنواختی توابع سینوس و کسینوس را نام ببرید.

تکرار.

بیایید الگوریتم حل ساده ترین نابرابری های مثلثاتی را به یاد بیاوریم.

(روی تخته دو دایره خالی وجود دارد. من دو دانش آموز را یکی یکی صدا می کنم تا نابرابری ها را حل کنند. دانش آموز با جزئیات الگوریتم حل را توضیح می دهد. کلاس همراه با کسانی که در تخته پاسخ می دهند روی کارت های از قبل آماده شده با تصویر کار می کند. از یک دایره).

1) sinx ≥ -;

t 1  t 2 ;

t 1 = arcsin(-) = -;

t 2 =  + = ;

2) cosx ≥ -;

t 1  t 2 ;

t 1 = arccos(-) =  - arccos =

=  - = ;

t 2 = - ;

2  n ≤ x ≤ + 2  n، n  Z.

راه حل نابرابری شدید چگونه بر پاسخ تأثیر می گذارد؟

(3) و 4) دو دانش آموز نابرابری ها را روی نوار پروژکتور بالای سر حل می کنند، کلاس آنها را به طور مستقل روی کارت حل می کند).

3) cosx  ;

t 1  t 2 ;

t 1 = arccos = ;

t 2 = 2  - = ;

4) sinx  ;

t 1  t 2 ;

t 1 = arcsin = ;

t 2 = -  - = -;

2  n  x  + 2  n، n  Z.

گزینه‌ها را عوض کنید، قلمی با رنگ دیگر بردارید، کار دوستتان را بررسی کنید.

(خودآزمایی از روی نوار پروژکتور بالای سر. دانش آموز در حال انجام تکلیف در مورد راه حل نظر می دهد. پس از برگرداندن کار، انعکاس).

هنگامی که آرگومان x با 2x جایگزین می شود راه حل نابرابری چگونه تغییر می کند؟ (ارزیابی کار دانش آموز).

مواد جدید.

بیایید به سمت نابرابری های مثلثاتی پیچیده تر برویم،

حل آن به حل ساده ترین نابرابری های مثلثاتی خلاصه می شود. بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

(حل نابرابری ها روی تابلو با راهنمایی معلم).

شماره 1. cos 2 2x – 2cos2x ≥ 0.

(اجازه دهید تکنیک حل معادلات مثلثاتی را با قرار دادن عامل مشترک خارج از پرانتز به یاد بیاوریم).

cos2x(cos2x - 2) ≥ 0.

جایگزینی: cos2x = t، ≤ 1; t (t - 2) ≥ 0;نابرابری دوم شرط ≤ 1 را برآورده نمی کند.

cos2x ≤ 0. (نابرابری را خودتان حل کنید. پاسخ را بررسی کنید).

پاسخ: +  n  x  +  n، n  Z.

شماره 2. 6sin 2 x – 5sinx + 1 ≥ 0.

(تکنیک حل معادلات مثلثاتی را با تغییر یک متغیر به خاطر بسپارید. دانش آموز آن را در تابلو با نظرات حل می کند).

جایگزینی sinx = t، ≤ 1. 6t 2 – 5t +1 ≥ 0.6(t -)(t -)،

پاسخ: + 2  n ≤ x ≤ + 2  n، -  -arcsin+ 2  k ≤ x ≤ arcsin+ 2  k،

n، k  Z.

شماره 3. sinx + cos2x  1.

(ما گزینه های راه حل را مورد بحث قرار می دهیم. فرمول کسینوس زاویه دوتایی را به یاد می آوریم. کلاس به طور مستقل تصمیم می گیرد، یک دانش آموز - روی تخته فردی، و به دنبال آن تأیید می شود).

sinx + cos2x - 1  0, sinx – 2sin 2 x  0, sinx(1 - 2 sinx)  0,

پاسخ:

2  n  x  + 2  n،

2  n  x   + 2  n، n  Z.

موقعیت هایی را تجزیه و تحلیل کنید که پاسخ حل یک نابرابری درجه دوم به صورت مجموعه ای از دو نامساوی نوشته شده است، و زمانی که - در قالب یک سیستم. نمودار زیر مفید است:

شماره 4. coscosx - sinsinx  -.

(بحث. برای هر مرحله از راه حل یک دانش آموز به تخته فراخوانده می شود، مراحل در مورد آن اظهار نظر می شود. معلم ضبط را با دانش آموزانی که در محل کار می کنند بررسی می کند).

cos(x +)  -، هزینه  -.

2  n  t  + 2  n، n  Z،

2  n  x +  + 2  n، n  Z،

پاسخ:

2  n  x  + 2  n، n  Z.

شماره 5. همه چیز را تعریف کنیدآ ، که برای هر یک از آنها نابرابری

4sinx + 3cosx ≤ a حداقل یک راه حل دارد

(الگوریتم حل معادله مثلثاتی با ضریب نرمال ساز را به خاطر بسپارید. راه حل روی نوار پروژکتور بالای سر نوشته شده است. همانطور که استدلال می کنم آن را مرحله به مرحله باز می کنم. کار متمایز).

4sinx + 3cosx ≤ a ، M = = 5. هر دو طرف نابرابری را بر 5 تقسیم کنید: sinx + cosx ≤ . زیرا () 2 + () 2 = 1، سپس یک زاویه α وجود دارد که cosα = و sinα = . بیایید نابرابری قبلی را به این شکل بازنویسی کنیم: sin(x + α) ≤ . آخرین نابرابری، و بنابراین نابرابری اصلی، حداقل یک راه حل برای هر کدام داردو طوری که

≥ -1، یعنی برای هر a ≥ -5. پاسخ: a ≥ -5.

مشق شب.

(کارت هایی را با تکالیف مکتوب می دهم. در مورد راه حل هر نابرابری نظر می دهم).

cosx  sin 2 x;
4sin2xcos2x  -;
cos 2 ≤ sin 2 - 0.5;
sinx + cosx  1.

فرمول های جمع مثلثاتی را مرور کنید و برای کار مستقل آماده شوید.

جمع بندی، تأمل

روش های حل نابرابری های مثلثاتی را نام ببرید.

دانش الگوریتم حل نابرابری های مثلثاتی ساده چگونه در حل نابرابری های پیچیده تر استفاده می شود؟

کدام نابرابری ها بیشترین مشکل را ایجاد کردند؟

(من کار دانش آموزان را در کلاس ارزیابی می کنم).

کار مستقل

بر اساس نتایج تسلط بر مطالب.

انتخاب 1.

حل نابرابری های 1 تا 3:

sin3x -  0;
cos 2 x + 3cosx  0;
coscos2x - sinsin2x ≥ -.
همه a را تعریف کنید ، که برای هر کدام نابرابری 12sinx + 5cosx ≤ استآ حداقل یک راه حل دارد

گزینه 2.

حل نابرابری های 1 تا 3:

2cos  1;
sin 2 x – 4sinx  0;
sincos3x - cossin3x ≤ -.
همه a را تعریف کنید ، که برای هر کدام نابرابری 6sinx - 8cosx ≤ استآ حداقل یک راه حل دارد

موضوع درس: حل نابرابری های مثلثاتی ساده

هدف از درس:نشان دادن الگوریتمی برای حل نابرابری های مثلثاتی با استفاده از دایره واحد.

اهداف درس:

آموزشی - اطمینان از تکرار و نظام مندی مطالب موضوعی؛ ایجاد شرایط برای نظارت بر کسب دانش و مهارت؛

توسعه - ترویج شکل گیری مهارت ها برای به کارگیری تکنیک ها: مقایسه، تعمیم، شناسایی چیز اصلی، انتقال دانش به موقعیت جدید، توسعه افق های ریاضی، تفکر و گفتار، توجه و حافظه.

آموزشی – برای ترویج علاقه به ریاضیات و کاربردهای آن، فعالیت، تحرک، مهارت های ارتباطی و فرهنگ عمومی.

دانش و مهارت دانش آموزان:
- الگوریتم حل نابرابری های مثلثاتی را بدانید.

قادر به حل نابرابری های مثلثاتی ساده باشد.

تجهیزات:تخته سفید تعاملی، ارائه درس، کارت هایی با وظایف کاری مستقل.

در طول کلاس ها:
1. لحظه سازمانی(1 دقیقه)

من کلمات سوخوملینسکی را به عنوان شعار درس پیشنهاد می کنم: "امروز ما با هم یاد می گیریم: من، معلم شما و شما دانش آموزان من هستید. اما در آینده شاگرد باید از معلم پیشی بگیرد وگرنه در علم پیشرفتی حاصل نخواهد شد.»

2. گرم کنید.دیکته "درست - نادرست"

3. تکرار

برای هر گزینه - وظیفه در اسلاید، هر ورودی را ادامه دهید. زمان اجرا 3 دقیقه

بیایید این کار خود را با استفاده از جدول پاسخ روی تخته بررسی کنیم.

معیار ارزشیابی:"5" - همه 9 "+"، "4" - 8 "+"، "3" - 6-7 "+"

4. به روز رسانی دانش دانش آموزان(8 دقیقه)
امروز در کلاس ما باید مفهوم نابرابری های مثلثاتی را بیاموزیم و بر مهارت حل چنین نامساوی هایی مسلط شویم.
– بیایید ابتدا به یاد بیاوریم که یک دایره چیست، اندازه شعاعی یک زاویه، و چگونه زاویه چرخش یک نقطه روی یک دایره با اندازه رادیان یک زاویه مرتبط است. (کار با ارائه)

دایره واحددایره ای با شعاع 1 و مرکز در مبدا است.

زاویه ای که از جهت مثبت محور OX و پرتو OA تشکیل می شود، زاویه چرخش نامیده می شود. مهم است که به یاد داشته باشید 0 گوشه ها کجا هستند. 90; 180; 270; 360.

اگر A در خلاف جهت عقربه های ساعت حرکت کند، زوایای مثبت به دست می آید.

اگر A در جهت عقربه های ساعت حرکت کند، زوایای منفی به دست می آید.

сos t ابسیسا یک نقطه روی دایره واحد است، sin t مختصات یک نقطه روی دایره واحد، t زاویه چرخش با مختصات (1;0) است.
5 . توضیح مطالب جدید (17 دقیقه)
امروز با ساده ترین نابرابری های مثلثاتی آشنا می شویم.
تعریف.
ساده ترین نابرابری های مثلثاتی نابرابری های شکل زیر هستند:

بچه ها به ما خواهند گفت که چگونه چنین نابرابری هایی را حل کنیم (ارائه پروژه ها توسط دانش آموزان با مثال). دانش آموزان تعاریف و مثال ها را در دفتر خود یادداشت می کنند.

در طول ارائه، دانش آموزان راه حل نابرابری را توضیح می دهند و معلم نقاشی های روی تخته را کامل می کند.
الگوریتمی برای حل نابرابری های مثلثاتی ساده پس از ارائه دانش آموزان ارائه شده است. دانش آموزان تمام مراحل حل یک نابرابری را روی صفحه می بینند. این امر به خاطر سپردن بصری الگوریتم برای حل یک مشکل داده شده کمک می کند.

الگوریتم حل نابرابری های مثلثاتی با استفاده از دایره واحد:
1. در محور مربوط به تابع مثلثاتی داده شده، مقدار عددی داده شده این تابع را علامت بزنید.
2. یک خط از نقطه مشخص شده که دایره واحد را قطع می کند، رسم کنید.
3. نقاط تقاطع خط و دایره را با در نظر گرفتن علامت نابرابری دقیق یا غیر دقیق انتخاب کنید.
4. قوس دایره ای را که جواب های نابرابری روی آن قرار دارد انتخاب کنید.
5. مقادیر زاویه ها را در نقاط شروع و پایان قوس دایره ای تعیین کنید.
6. راه حل نابرابری را با در نظر گرفتن تناوب تابع مثلثاتی داده شده بنویسید.
برای حل نابرابری‌های مماس و کتانژانت، مفهوم خط مماس و کوتانژانت مفید است. اینها به ترتیب خطوط x = 1 و y = 1 هستند که مماس بر دایره مثلثاتی هستند.
6. بخش عملی(12 دقیقه)
برای تمرین و تثبیت دانش نظری، کارهای کوچک را تکمیل می کنیم. هر دانش آموز کارت وظیفه دریافت می کند. پس از حل نابرابری ها، باید پاسخی را انتخاب کنید و تعداد آن را یادداشت کنید.

7. تأمل در فعالیت های درس
-هدف ما چه بود؟
- موضوع درس را نام ببرید
- ما موفق شدیم از یک الگوریتم شناخته شده استفاده کنیم
- کار خود را در کلاس تجزیه و تحلیل کنید.

8. تکالیف(2 دقیقه)

حل نابرابری:

9. خلاصه درس(2 دقیقه)

من پیشنهاد می کنم درس را با این جمله Y.A. Komensky به پایان برسانم: "آن روز یا ساعتی را که در آن چیز جدیدی یاد نگرفته اید و چیزی به تحصیلات خود اضافه نکرده اید، ناخشنود بدانید."

در طول درس عملی تکرار می کنیم انواع اصلی وظایف از مبحث "مثلثات"، ما بیشتر تحلیل خواهیم کرد وظایف با پیچیدگی افزایش یافته استو در نظر بگیرید مثال هایی از حل نابرابری های مختلف مثلثاتی و سیستم های آنها.

این درس به شما کمک می کند تا برای یکی از انواع کارها آماده شوید B5، B7، C1و C3.

آمادگی برای آزمون دولتی واحد ریاضی

آزمایش کنید

درس 11. تلفیق مطالب تحت پوشش. نابرابری های مثلثاتی حل مشکلات مختلف با پیچیدگی افزایش یافته است

تمرین

خلاصه درس

بررسی مثلثات

بیایید با مرور انواع اصلی کارهایی که در مبحث "مثلثات" به آنها پرداختیم شروع کنیم و چندین مشکل غیر استاندارد را حل کنیم.

وظیفه شماره 1. تبدیل زوایا به رادیان و درجه: a) ; ب) .

الف) از فرمول تبدیل درجه به رادیان استفاده می کنیم

بیایید مقدار مشخص شده را در آن جایگزین کنیم.

ب) فرمول تبدیل رادیان به درجه را اعمال کنید

بیایید تعویض را انجام دهیم .

پاسخ. آ) ؛ ب) .

وظیفه شماره 2. محاسبه کنید: الف)؛ ب) .

الف) از آنجایی که زاویه بسیار فراتر از جدول است، با کم کردن دوره سینوس آن را کاهش می دهیم. از آنجایی که زاویه بر حسب رادیان نشان داده شده است، دوره را به صورت .

ب) در این مورد نیز وضعیت مشابه است. از آنجایی که زاویه بر حسب درجه نشان داده شده است، دوره مماس را به صورت .

زاویه حاصل، اگرچه کوچکتر از نقطه است، اما بزرگتر است، به این معنی که دیگر به قسمت اصلی، بلکه به قسمت گسترده جدول اشاره دارد. برای اینکه یک بار دیگر حافظه خود را با به خاطر سپردن جدول توسعه یافته مقادیر سه تابعه آموزش ندهید، بیایید دوباره دوره مماس را کم کنیم:

ما از عجیب بودن تابع مماس استفاده کردیم.

پاسخ. الف) 1؛ ب) .

وظیفه شماره 3. محاسبه ، اگر .

اجازه دهید کل عبارت را با تقسیم صورت و مخرج کسر بر مماس کاهش دهیم. در عین حال، ما نمی توانیم از این ترس داشته باشیم، زیرا در این حالت مقدار مماس وجود نخواهد داشت.

وظیفه شماره 4. بیان را ساده کنید.

عبارات مشخص شده با استفاده از فرمول های کاهش تبدیل می شوند. آنها فقط به طور غیرعادی با استفاده از درجه نوشته می شوند. اولین عبارت به طور کلی یک عدد را نشان می دهد. بیایید همه توابع سه گانه را یکی یکی ساده کنیم:

زیرا، تابع به یک تابع، یعنی به یک کوتانژانت تغییر می‌کند و زاویه به ربع دوم می‌افتد که در آن مماس اصلی علامت منفی دارد.

به همان دلایلی که در عبارت قبلی وجود داشت، تابع به یک هم تابع، یعنی به یک هم‌تانژانت تغییر می‌کند، و زاویه به ربع اول می‌رسد، که در آن مماس اصلی علامت مثبت دارد.

بیایید همه چیز را با یک عبارت ساده شده جایگزین کنیم:

مشکل شماره 5. بیان را ساده کنید.

اجازه دهید مماس زاویه دوتایی را با استفاده از فرمول مناسب بنویسیم و عبارت را ساده کنیم:

آخرین هویت یکی از فرمول های جایگزین جهانی برای کسینوس است.

مشکل شماره 6. محاسبه.

نکته اصلی این است که اشتباه استاندارد را مرتکب نشوید و پاسخی را که عبارت برابر است ندهید. تا زمانی که فاکتوری به شکل دو در کنار آن وجود داشته باشد، نمی توانید از خاصیت اصلی آرکتانژانت استفاده کنید. برای خلاص شدن از آن، عبارت را با توجه به فرمول مماس یک زاویه مضاعف می نویسیم، در حالی که با را به عنوان یک استدلال معمولی در نظر می گیریم.

اکنون می‌توانیم خاصیت پایه‌ای را اعمال کنیم؛ به یاد داشته باشید که هیچ محدودیتی در نتیجه عددی آن وجود ندارد.

مشکل شماره 7. معادله را حل کنید.

هنگام حل یک معادله کسری که برابر با صفر است، همیشه نشان داده می شود که صورت برابر با صفر است، اما مخرج چنین نیست، زیرا نمی توانید بر صفر تقسیم کنید.

معادله اول یک مورد خاص از ساده ترین معادله است که با استفاده از دایره مثلثاتی قابل حل است. خودتان این راه حل را به خاطر بسپارید. نابرابری دوم به عنوان ساده ترین معادله با استفاده از فرمول کلی برای ریشه های مماس حل می شود، اما فقط با علامت مساوی نیست.

همانطور که می بینیم، یک خانواده از ریشه ها خانواده دیگری از ریشه های دقیقاً مشابه را که معادله را برآورده نمی کنند، حذف می کند. یعنی هیچ ریشه ای وجود ندارد.

پاسخ. هیچ ریشه ای وجود ندارد.

مشکل شماره 8. معادله را حل کنید.

بیایید بلافاصله توجه داشته باشیم که می توانیم عامل مشترک را حذف کنیم و این کار را انجام دهیم:

معادله به یکی از اشکال استاندارد تقلیل یافته است که حاصلضرب چندین عامل برابر با صفر است. قبلاً می دانیم که در این مورد یا یکی از آنها برابر با صفر است یا دیگری یا سومی. بیایید این را به صورت مجموعه ای از معادلات بنویسیم:

دو معادله اول موارد خاصی از ساده ترین آنها هستند؛ ما قبلاً بارها با معادلات مشابه روبرو شده ایم، بنابراین بلافاصله جواب آنها را نشان خواهیم داد. معادله سوم را با استفاده از فرمول سینوس دو زاویه به یک تابع کاهش می دهیم.

بیایید معادله آخر را جداگانه حل کنیم:

این معادله ریشه ندارد، زیرا مقدار سینوسی نمی تواند فراتر رود .

بنابراین، راه حل فقط دو خانواده اول ریشه است؛ آنها را می توان در یکی ترکیب کرد، که به راحتی در دایره مثلثاتی نشان داده می شود:

این یک خانواده از تمام نیمه است، یعنی.

نابرابری های مثلثاتی

بیایید به حل نابرابری های مثلثاتی برویم. ابتدا روش حل مثال را بدون استفاده از فرمول برای حل های کلی، اما با استفاده از دایره مثلثاتی تحلیل خواهیم کرد.

مشکل شماره 9. حل نابرابری

اجازه دهید یک خط کمکی بر روی دایره مثلثاتی مربوط به یک مقدار سینوس مساوی بکشیم و دامنه زوایایی را نشان دهیم که نابرابری را برآورده می کند.

بسیار مهم است که بفهمیم دقیقاً چگونه می توان فاصله زوایا را نشان داد، یعنی شروع و پایان آن چیست. شروع بازه، زاویه ای خواهد بود که اگر خلاف جهت عقربه های ساعت حرکت کنیم، در همان ابتدای بازه وارد خواهیم شد. در مورد ما، این نقطه ای است که در سمت چپ است، زیرا در خلاف جهت عقربه های ساعت حرکت می کنیم و از نقطه سمت راست عبور می کنیم، برعکس، محدوده زوایای مورد نیاز را ترک می کنیم. بنابراین نقطه مناسب با انتهای شکاف مطابقت دارد.

اکنون باید زوایای آغاز و پایان فاصله راه حل های خود را برای نابرابری درک کنیم. یک اشتباه معمولی این است که فوراً نشان دهید که نقطه سمت راست با زاویه، سمت چپ مطابقت دارد و پاسخ دهید. این درست نیست! لطفاً توجه داشته باشید که ما فقط فاصله مربوط به قسمت بالای دایره را نشان داده ایم، اگرچه به قسمت پایین علاقه مندیم، به عبارت دیگر، ابتدا و انتهای فاصله راه حل مورد نیاز خود را با هم مخلوط کرده ایم.

برای اینکه فاصله از گوشه نقطه سمت راست شروع و به گوشه نقطه چپ ختم شود، لازم است که زاویه مشخص شده اول کمتر از زاویه دوم باشد. برای این کار باید زاویه نقطه سمت راست را در جهت منفی مرجع یعنی در جهت عقربه های ساعت اندازه گیری کنیم و برابر با . سپس با شروع حرکت از آن در جهت عقربه های ساعت مثبت، به نقطه سمت راست بعد از نقطه چپ می رسیم و مقدار زاویه را برای آن بدست می آوریم. اکنون ابتدای فاصله زاویه ها از انتهای آن کمتر است و می توانیم فاصله جواب ها را بدون در نظر گرفتن دوره بنویسیم:

با توجه به اینکه چنین بازه هایی پس از هر تعداد صحیح چرخش، بی نهایت بار تکرار می شوند، با در نظر گرفتن دوره سینوس، یک راه حل کلی به دست می آوریم:

چون نابرابری سخت است، پرانتز می گذاریم و نقاطی را روی دایره انتخاب می کنیم که با انتهای فاصله مطابقت دارند.

پاسخ دریافتی خود را با فرمول حل کلی که در سخنرانی ارائه کردیم مقایسه کنید.

پاسخ. .

این روش برای درک اینکه فرمول های جواب های کلی ساده ترین نابرابری های مثلثاتی از کجا آمده اند خوب است. علاوه بر این، یادگیری همه این فرمول های دست و پا گیر برای کسانی که خیلی تنبل هستند مفید است. با این حال، خود روش نیز آسان نیست؛ انتخاب کنید که کدام رویکرد برای راه حل برای شما راحت تر است.

برای حل نابرابری های مثلثاتی، می توانید از نمودارهایی از توابع که یک خط کمکی بر روی آنها ساخته شده است استفاده کنید، مشابه روشی که با استفاده از دایره واحد نشان داده شده است. اگر علاقه مند هستید، سعی کنید خودتان این رویکرد را برای راه حل پیدا کنید. در ادامه از فرمول های کلی برای حل نابرابری های مثلثاتی ساده استفاده خواهیم کرد.

مشکل شماره 10. حل نابرابری

با در نظر گرفتن این واقعیت که نابرابری دقیق نیست، از فرمول برای حل کلی استفاده کنیم:

در مورد ما دریافت می کنیم:

پاسخ.

مشکل شماره 11. حل نابرابری

اجازه دهید از فرمول حل کلی برای نابرابری کاملاً مربوطه استفاده کنیم:

پاسخ. .

مشکل شماره 12. حل نابرابری ها: الف) ; ب) .

در این نابرابری ها، نیازی به عجله برای استفاده از فرمول های جواب های کلی یا دایره مثلثاتی نیست، کافی است به سادگی محدوده مقادیر سینوس و کسینوس را به خاطر بسپارید.

الف) از آنجایی که ، پس نابرابری معنا ندارد. بنابراین، هیچ راه حلی وجود ندارد.

ب) از آنجایی که به طور مشابه، سینوس هر استدلال همیشه نابرابری مشخص شده در شرط را برآورده می کند. بنابراین، تمام مقادیر واقعی استدلال نابرابری را برآورده می کند.

پاسخ. الف) راه حلی وجود ندارد؛ ب) .

مسئله 13. حل نابرابری .

این ساده ترین نابرابری با یک آرگومان پیچیده به طور مشابه با یک معادله مشابه حل می شود. ابتدا یک راه حل برای کل آرگومان نشان داده شده در پرانتز پیدا می کنیم و سپس آن را به شکل "" تبدیل می کنیم، مانند سمت راست معادله، با هر دو انتهای بازه کار می کنیم.