Tanda kesamaan segitiga siku-siku
Mari kita kenalkan dulu tanda keserupaan segitiga siku-siku.
Teorema 1
Tanda kesamaan segitiga siku-siku: dua segitiga siku-siku sebangun jika masing-masing memiliki satu sudut lancip yang sama (Gbr. 1).
Gambar 1. Segitiga Kanan Serupa
Bukti.
Misalkan $\angle B=\angle B_1$. Karena segitiga siku-siku, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Oleh karena itu, mereka serupa menurut tanda pertama kesamaan segitiga.
Teorema telah terbukti.
Teorema tinggi dalam segitiga siku-siku
Teorema 2
Tinggi segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku membagi segitiga tersebut menjadi dua segitiga siku-siku yang sebangun, yang masing-masing sebangun dengan segitiga yang diberikan.
Bukti.
Diberikan segitiga siku-siku $ABC$ dengan sudut siku-siku $C$. Gambarlah tinggi $CD$ (Gbr. 2).
Gambar 2. Ilustrasi Teorema 2
Mari kita buktikan bahwa segitiga $ACD$ dan $BCD$ sebangun dengan segitiga $ABC$ dan segitiga $ACD$ dan $BCD$ sebangun.
Karena $\angle ADC=(90)^0$, segitiga $ACD$ adalah siku-siku. Segitiga $ACD$ dan $ABC$ memiliki sudut yang sama $A$, oleh karena itu, berdasarkan Teorema 1, segitiga $ACD$ dan $ABC$ sebangun.
Karena $\angle BDC=(90)^0$, segitiga $BCD$ adalah siku-siku. Segitiga $BCD$ dan $ABC$ memiliki sudut yang sama $B$, oleh karena itu, berdasarkan Teorema 1, segitiga $BCD$ dan $ABC$ sebangun.
Pertimbangkan sekarang segitiga $ACD$ dan $BCD$
\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\angle A\]
Oleh karena itu, menurut Teorema 1, segitiga $ACD$ dan $BCD$ sebangun.
Teorema telah terbukti.
Rata-rata proporsional
Teorema 3
Ketinggian segitiga siku-siku, yang ditarik dari titik sudut siku-siku, adalah proporsional rata-rata untuk segmen di mana ketinggian membagi sisi miring segitiga ini.
Bukti.
Dengan Teorema 2, kita mendapatkan bahwa segitiga $ACD$ dan $BCD$ sebangun, oleh karena itu
Teorema telah terbukti.
Teorema 4
Kaki segitiga siku-siku adalah perbandingan rata-rata antara sisi miring dan ruas sisi miring yang tertutup di antara sisi kaki dan tinggi yang ditarik dari titik sudut.
Bukti.
Dalam pembuktian teorema, kita akan menggunakan notasi dari Gambar 2.
Dengan Teorema 2, kita mendapatkan bahwa segitiga $ACD$ dan $ABC$ sebangun, maka
Teorema telah terbukti.
Pelajaran 40 C.b. sebuah. h. C. sm. H.ac. A. V. Tinggi segitiga siku-siku, yang ditarik dari titik sudut siku-siku, membagi segitiga tersebut menjadi 2 segitiga siku-siku yang sebangun, yang masing-masing sebangun dengan segitiga tertentu. Tanda kesamaan segitiga siku-siku. Dua segitiga siku-siku adalah sebangun jika masing-masing memiliki sudut lancip yang sama. Segmen XY disebut mean proporsional (mean geometris) untuk segmen AB dan CD jika Properti 1. Tinggi segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku adalah rata-rata proporsional antara proyeksi kaki ke sisi miring. Properti 2. Kaki segitiga siku-siku adalah rata-rata proporsional antara sisi miring dan proyeksi kaki ini ke sisi miring.
Geser 28 dari presentasi "Geometri" Segitiga Serupa "". Ukuran arsip dengan presentasi adalah 232 KB.Geometri Kelas 8
ringkasan presentasi lainnya"Pemecahan masalah pada teorema Pythagoras" - Segitiga ABC sama kaki. Aplikasi praktis dari teorema Pythagoras. ABCD adalah segi empat. Daerah persegi. Temukan matahari. Bukti. Basis trapesium sama kaki. Perhatikan teorema Pythagoras. Luas segi empat. Segitiga Persegi Panjang. Teori Pitagoras. Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya.
"Menemukan luas jajaran genjang" - Yayasan. Tinggi. Menentukan tinggi jajar genjang. Tanda-tanda persamaan segitiga siku-siku. Luas jajaran genjang. Temukan luas segitiga. Properti daerah. latihan lisan. Temukan luas jajaran genjang. Ketinggian jajar genjang. Cari keliling persegi. Luas segitiga. Cari luas persegi. Temukan luas persegi panjang. Daerah persegi.
"Kvadrat kelas 8" - Kotak hitam. Tugas untuk pekerjaan lisan di sekeliling alun-alun. Daerah persegi. Tanda persegi. Alun-alun ada di antara kita. Persegi adalah persegi panjang yang semua sisinya sama. Kotak. Tas dengan alas persegi. tugas lisan. Berapa banyak persegi yang ditunjukkan pada gambar. Properti persegi. Pedagang kaya. Tugas untuk pekerjaan lisan di area alun-alun. Keliling persegi.
"Definisi simetri aksial" - Titik-titik yang terletak pada tegak lurus yang sama. Gambar dua garis. Konstruksi. Plot poin. Petunjuk. Angka yang tidak memiliki simetri aksial. Segmen garis. Koordinat hilang. Angka. Bentuk yang memiliki lebih dari dua sumbu simetri. Simetri. Simetri dalam puisi. Bangun segitiga. Sumbu simetri. Membangun segmen. Membangun titik. Gambar dengan dua sumbu simetri. orang-orang. Segitiga. Proporsionalitas.
"Mendefinisikan Segitiga Serupa" - Poligon. pemotongan proporsional. Perbandingan luas segitiga yang sebangun. Dua segitiga disebut sebangun. Kondisi. Bangun segitiga yang diketahui memiliki dua sudut dan garis bagi di titik sudutnya. Misalkan kita perlu menentukan jarak ke kutub. Tanda ketiga kesamaan segitiga. Mari kita membangun segitiga. ABC. Segitiga ABC dan ABC memiliki tiga sisi yang sama panjang. Menentukan ketinggian suatu benda.
"Solusi teorema Pythagoras" - Bagian dari jendela. Bukti paling sederhana. Hammurabi. Diagonal. Bukti lengkap. Buktikan dengan pengurangan. Pythagoras. Buktikan dengan metode dekomposisi. Sejarah teorema. Diameter. Buktikan dengan metode komplemen. Bukti Epstein. Penyanyi. Segitiga. pengikut. Aplikasi teorema Pythagoras. Teori Pitagoras. Pernyataan teorema. Bukti Perigal. Penerapan teorema.
Tanda kesamaan segitiga siku-siku
Mari kita kenalkan dulu tanda keserupaan segitiga siku-siku.
Teorema 1
Tanda kesamaan segitiga siku-siku: dua segitiga siku-siku sebangun jika masing-masing memiliki satu sudut lancip yang sama (Gbr. 1).
Gambar 1. Segitiga Kanan Serupa
Bukti.
Misalkan $\angle B=\angle B_1$. Karena segitiga siku-siku, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Oleh karena itu, mereka serupa menurut tanda pertama kesamaan segitiga.
Teorema telah terbukti.
Teorema tinggi dalam segitiga siku-siku
Teorema 2
Tinggi segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku membagi segitiga tersebut menjadi dua segitiga siku-siku yang sebangun, yang masing-masing sebangun dengan segitiga yang diberikan.
Bukti.
Diberikan segitiga siku-siku $ABC$ dengan sudut siku-siku $C$. Gambarlah tinggi $CD$ (Gbr. 2).
Gambar 2. Ilustrasi Teorema 2
Mari kita buktikan bahwa segitiga $ACD$ dan $BCD$ sebangun dengan segitiga $ABC$ dan segitiga $ACD$ dan $BCD$ sebangun.
Karena $\angle ADC=(90)^0$, segitiga $ACD$ adalah siku-siku. Segitiga $ACD$ dan $ABC$ memiliki sudut yang sama $A$, oleh karena itu, berdasarkan Teorema 1, segitiga $ACD$ dan $ABC$ sebangun.
Karena $\angle BDC=(90)^0$, segitiga $BCD$ adalah siku-siku. Segitiga $BCD$ dan $ABC$ memiliki sudut yang sama $B$, oleh karena itu, berdasarkan Teorema 1, segitiga $BCD$ dan $ABC$ sebangun.
Pertimbangkan sekarang segitiga $ACD$ dan $BCD$
\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\angle A\]
Oleh karena itu, menurut Teorema 1, segitiga $ACD$ dan $BCD$ sebangun.
Teorema telah terbukti.
Rata-rata proporsional
Teorema 3
Ketinggian segitiga siku-siku, yang ditarik dari titik sudut siku-siku, adalah proporsional rata-rata untuk segmen di mana ketinggian membagi sisi miring segitiga ini.
Bukti.
Dengan Teorema 2, kita mendapatkan bahwa segitiga $ACD$ dan $BCD$ sebangun, oleh karena itu
Teorema telah terbukti.
Teorema 4
Kaki segitiga siku-siku adalah perbandingan rata-rata antara sisi miring dan ruas sisi miring yang tertutup di antara sisi kaki dan tinggi yang ditarik dari titik sudut.
Bukti.
Dalam pembuktian teorema, kita akan menggunakan notasi dari Gambar 2.
Dengan Teorema 2, kita mendapatkan bahwa segitiga $ACD$ dan $ABC$ sebangun, maka
Teorema telah terbukti.
Tujuan Pelajaran:
- memperkenalkan konsep mean proporsional (mean geometris) dari dua segmen;
- pertimbangkan masalah segmen proporsional dalam segitiga siku-siku: properti dari ketinggian segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku;
- untuk membentuk keterampilan siswa dalam menggunakan topik yang dipelajari dalam proses pemecahan masalah.
Jenis pelajaran: pelajaran mempelajari materi baru.
Rencana:
- Momen organisasi.
- Pembaruan pengetahuan.
- Mempelajari sifat-sifat tinggi segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku:
- tahap persiapan;
- pengantar;
- asimilasi. - Pengenalan konsep mean proporsional untuk dua segmen.
- Asimilasi konsep proporsional rata-rata dua segmen.
- Bukti konsekuensi:
- tinggi segitiga siku-siku, yang ditarik dari titik sudut siku-siku, adalah rata-rata proporsional antara segmen di mana sisi miring dibagi dengan ketinggian ini;
- kaki segitiga siku-siku adalah rata-rata proporsional antara sisi miring dan segmen sisi miring yang tertutup antara kaki dan tinggi. - Penyelesaian masalah.
- Meringkas.
- Mengatur pekerjaan rumah.
Selama kelas
I. ORGANISASI
Halo teman-teman, duduklah. Apakah semua orang siap untuk pelajaran?
Kami mulai bekerja.
II. PEMBARUAN PENGETAHUAN
Konsep matematika penting apa yang Anda pelajari di pelajaran sebelumnya? ( dengan konsep kesejajaran segitiga)
- Mari kita ingat dua segitiga yang disebut sebangun? (dua segitiga disebut sebangun jika sudut-sudutnya masing-masing sama besar dan sisi-sisi suatu segitiga sebanding dengan sisi-sisi yang sebangun dari segitiga lainnya)
Apa yang kita gunakan untuk membuktikan kesamaan dua segitiga? (
- Daftar tanda-tanda ini. (merumuskan tiga tanda keserupaan segitiga)
AKU AKU AKU. MEMPELAJARI SIFAT-SIFAT TINGGI SEGITIGA PERSEGITIHAN YANG DILAKUKAN DARI SUDUT SUDUT KANAN
a.tahap persiapan
- Guys, silakan lihat slide pertama. ( Lampiran) Berikut adalah dua segitiga siku-siku - dan . dan adalah ketinggian dan, masing-masing. 
.
Tugas 1. a) Tentukan apakah dan serupa.
Apa yang kita gunakan untuk membuktikan kesamaan segitiga? ( tanda-tanda keserupaan segitiga)
(tanda pertama, karena tidak ada yang diketahui tentang sisi segitiga dalam soal)
. (Dua pasang: 1. B= B1 (garis lurus), 2. A= A 1)
- Buat kesimpulan. ( dengan tanda pertama kesamaan segitiga ~)
Tugas 1. b) Tentukan apakah dan serupa.
Kriteria kesamaan apa yang akan kita gunakan dan mengapa? (tanda pertama, karena dalam soal tidak ada yang diketahui tentang sisi-sisi segitiga)
Berapa banyak pasangan sudut yang sama yang perlu kita cari? Temukan pasangan ini (karena segitiga adalah siku-siku, satu pasang sudut yang sama cukup: A= A 1)
- Buat kesimpulan. (dengan tanda pertama kesamaan segitiga, kami menyimpulkan bahwa segitiga ini serupa).
Hasil percakapan tersebut, slide 1 terlihat seperti ini:
b) penemuan teorema
Tugas 2.
Tentukan jika dan , dan serupa. Sebagai hasil dari percakapan, jawaban dibangun, yang tercermin pada slide.
- Angka tersebut menunjukkan bahwa . Apakah kita menggunakan ukuran derajat ini ketika menjawab pertanyaan tugas? ( Tidak, tidak digunakan)
- Kawan, buat kesimpulan: ke dalam segitiga mana ketinggian yang ditarik dari titik sudut siku-siku membagi segitiga siku-siku? (membuat kesimpulan)
- Timbul pertanyaan: akankah dua segitiga siku-siku ini, di mana ketinggian membagi segitiga siku-siku, serupa satu sama lain? Mari kita coba mencari pasangan sudut yang sama besar.
Sebagai hasil dari percakapan, sebuah catatan dibuat:
- Dan sekarang mari kita buat kesimpulan lengkap. ( KESIMPULAN: tinggi segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku membagi segitiga menjadi dua serupa
- Itu. kami telah merumuskan dan membuktikan teorema tentang sifat tinggi segitiga siku-siku.
Mari kita membangun struktur teorema dan membuat gambar. Apa yang diberikan dalam teorema dan apa yang perlu dibuktikan? Siswa menulis di buku catatan mereka:
Mari kita buktikan poin pertama dari teorema untuk gambar baru. Kriteria kesamaan apa yang akan kita gunakan dan mengapa? (Pertama, karena tidak ada yang diketahui tentang sisi segitiga dalam teorema)
Berapa banyak pasangan sudut yang sama yang perlu kita cari? Temukan pasangan ini. (Dalam hal ini, satu pasang sudah cukup: A-umum)
- Buat kesimpulan. Segitiga itu mirip. Akibatnya, contoh perumusan teorema ditunjukkan
- Tulis sendiri poin kedua dan ketiga di rumah.
c) asimilasi teorema
- Jadi, rumuskan teorema lagi (Tinggi segitiga siku-siku, ditarik dari titik sudut siku-siku, membagi segitiga menjadi dua serupa segitiga siku-siku, yang masing-masing mirip dengan yang ini)
- Berapa banyak pasangan segitiga sebangun dalam konstruksi "dalam segitiga siku-siku tinggi dari titik sudut siku-siku" dapat ditemukan oleh teorema ini? ( Tiga pasangan)
Siswa diberikan tugas sebagai berikut:
IV. PENGANTAR KONSEP RATA-RATA PROPORSIONAL DUA GARIS
Sekarang kita akan mempelajari konsep baru.
Perhatian!
Definisi. Segmen garis XY ditelepon rata-rata proporsional (rata-rata geometris) antar segmen AB dan CD, jika
(tulis di buku catatan).
V. ASOSIASI KONSEP RATA-RATA PROPORSIONAL DUA GARIS
Sekarang mari kita beralih ke slide berikutnya.
Latihan 1. Hitunglah panjang rata-rata ruas proporsional MN dan KP, jika MN = 9 cm, KP = 16 cm.
- Apa yang diberikan dalam tugas? ( Dua segmen dan panjangnya: MN = 9 cm, KP = 16 cm)
- Apa yang perlu Anda temukan? ( Panjang rata-rata proporsional dari segmen-segmen ini)
- Apa rumus untuk rata-rata proporsional dan bagaimana kita menemukannya?
(Kami mengganti data ke dalam rumus dan menemukan panjang prop rata-rata.)
Tugas nomor 2. Hitunglah panjang ruas AB jika perbandingan rata-rata ruas AB dan CD adalah 90 cm dan CD = 100 cm
- Apa yang diberikan dalam tugas? (panjang ruas CD = 100 cm dan perbandingan rata-rata ruas AB dan CD adalah 90 cm)
Apa yang harus ditemukan dalam masalah? ( Panjang ruas AB)
- Bagaimana kita akan memecahkan masalah? (Mari kita tuliskan rumus untuk segmen proporsional rata-rata AB dan CD, nyatakan panjang AB darinya dan substitusikan data soal.)
VI. KESIMPULAN
- Bagus sekali. Dan sekarang mari kita kembali ke kesamaan segitiga, dibuktikan oleh kita dalam teorema. Nyatakan kembali teorema. ( Tinggi segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku membagi segitiga menjadi dua serupa segitiga siku-siku, yang masing-masing mirip dengan yang diberikan)
- Mari kita gunakan kesamaan segitiga dan . Apa yang mengikuti dari ini? ( Menurut definisi keserupaan, sisi-sisi sebanding dengan sisi-sisi yang sebangun)
- Persamaan apa yang akan diperoleh jika menggunakan sifat dasar proporsi? ()
– Ekspresikan CD dan buat kesimpulan (
;
.
Kesimpulan: tinggi segitiga siku-siku, yang ditarik dari titik sudut siku-siku, adalah perbandingan rata-rata antara segmen-segmen di mana sisi miring dibagi dengan ketinggian ini)
- Dan sekarang buktikan sendiri bahwa kaki segitiga siku-siku adalah perbandingan rata-rata antara sisi miring dan ruas sisi miring yang tertutup antara kaki dan tingginya. Kita temukan dari - ... ruas-ruas di mana sisi miring dibagi dengan tinggi ini )
Kaki segitiga siku-siku adalah perbandingan rata-rata antara ... (- ... sisi miring dan segmen sisi miring yang tertutup antara kaki ini dan tingginya )
– Di mana kita menerapkan pernyataan yang dipelajari? ( Saat memecahkan masalah)
IX. MENGATUR PEKERJAAN RUMAH
h/z: No. 571, No. 572 (a, e), karya mandiri di buku catatan, teori.
Hari ini, perhatian Anda diundang ke presentasi lain tentang subjek yang menakjubkan dan misterius - geometri. Dalam presentasi ini, kami akan memperkenalkan Anda ke properti baru bentuk geometris, khususnya, konsep segmen proporsional dalam segitiga siku-siku.
Pertama, Anda perlu mengingat apa itu segitiga? Ini adalah poligon paling sederhana, terdiri dari tiga simpul yang dihubungkan oleh tiga segmen. Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya 90 derajat. Anda telah mengenal mereka secara lebih rinci dalam materi pelatihan kami sebelumnya yang disajikan untuk perhatian Anda.
Jadi, kembali ke topik kita hari ini, kami menunjukkan bahwa ketinggian segitiga siku-siku yang ditarik dari sudut 90 derajat membaginya menjadi dua segitiga, yang serupa satu sama lain dan dengan yang asli. Semua gambar dan grafik yang Anda minati diberikan dalam presentasi yang diusulkan, dan kami menyarankan Anda merujuknya, menyertai penjelasan yang dijelaskan.
Contoh grafis dari tesis di atas dapat dilihat pada slide kedua. Segitiga sebangun karena memiliki dua sudut yang sama. Jika Anda menentukan lebih detail, maka ketinggian yang diturunkan ke sisi miring membentuk sudut siku-siku dengannya, yaitu, sudah ada sudut yang identik, dan masing-masing sudut yang terbentuk juga memiliki satu sudut yang sama seperti aslinya. Hasilnya adalah dua sudut yang sama besar. Artinya, segitiga-segitiga itu sebangun.
Mari kita juga menunjukkan apa konsep "rata-rata proporsional" atau "rata-rata geometris" dengan sendirinya? Ini adalah segmen XY tertentu untuk segmen AB dan CD jika sama dengan akar kuadrat dari produk panjangnya.
Dari sini juga dapat disimpulkan bahwa kaki segitiga siku-siku adalah rata-rata geometris antara sisi miring dan proyeksi kaki ini ke sisi sisi miring, yaitu kaki lainnya.
Sifat lain dari segitiga siku-siku adalah tingginya, yang ditarik dari sudut 90 o, adalah proporsional rata-rata antara proyeksi kaki ke sisi miring. Jika Anda merujuk pada presentasi dan materi lain yang Anda perhatikan, Anda akan melihat bahwa ada bukti tesis ini dalam bentuk yang sangat sederhana dan mudah diakses. Sebelumnya kita telah membuktikan bahwa segitiga yang dihasilkan serupa satu sama lain dan dengan segitiga aslinya. Kemudian, dengan menggunakan perbandingan kaki-kaki dari bangun-bangun geometri tersebut, kita sampai pada kesimpulan bahwa tinggi suatu segitiga siku-siku berbanding lurus dengan akar kuadrat dari perkalian ruas-ruas yang dibentuk sebagai akibat dari penurunan tinggi dari sudut siku-siku segitiga asli.
Hal terakhir dalam presentasi adalah bahwa kaki segitiga siku-siku adalah rata-rata geometrik untuk sisi miring dan segmennya terletak di antara kaki dan tinggi yang ditarik dari sudut yang sama dengan 90 derajat. Kasus ini harus dipertimbangkan dari sisi bahwa segitiga-segitiga ini serupa satu sama lain, dan kaki salah satunya diperoleh dengan sisi miring dari yang lain. Tetapi Anda akan mengetahui hal ini secara lebih rinci dengan mempelajari materi yang diusulkan.
