Stačiakampio trikampio apatinio aukščio nustatymo formulė. Taisyklingas trikampis

Taisyklingas trikampis- tai trikampis, vienas iš kampų yra tiesus, tai yra, lygus 90 laipsnių.

Priešinga stačiajam kampui esanti pusė vadinama hipotenuse (paveiksle ji pažymėta kaip c arba AB)
Šonas, esantis šalia stačiojo kampo, vadinamas koja. Kiekvienas stačiakampis trikampis turi dvi kojeles (paveiksle pažymėtas kaip a ir b arba AC ir BC)

Stačiojo trikampio formulės ir savybės

Formulių pavadinimai:

(žr. paveikslėlį aukščiau)

a, b- stačiojo trikampio kojos

c- hipotenuzė

α, β - smailieji trikampio kampai

S- kvadratas

h- aukštis, nuleistas nuo dešiniojo kampo viršaus iki hipotenuzės

m a a iš priešingo kampo ( α )

m b yra mediana, nubrėžta į šoną b iš priešingo kampo ( β )

m c yra mediana, nubrėžta į šoną c iš priešingo kampo ( γ )

V taisyklingas trikampis bet kuri iš kojų yra mažesnė už hipotenuzą(Formulės 1 ir 2). Ši savybė yra Pitagoro teoremos pasekmė.

Bet kurio smailiojo kampo kosinusas mažiau nei vienas (3 ir 4 formulės). Ši savybė išplaukia iš ankstesnės. Kadangi bet kuri iš kojų yra mažesnė už hipotenuzą, kojos ir hipotenuzės santykis visada yra mažesnis nei vienas.

Hipotenuzės kvadratas lygus kojų kvadratų sumai (Pitagoro teorema). (Formulė 5). Ši savybė nuolat naudojama sprendžiant problemas.

Stačiojo trikampio plotas lygus pusei kojų sandaugos (Formulė 6)

Medianų kvadratų sumaį kojas, yra lygus penkiems įdubos vidurio kvadratams ir penkiems hipotenuzės kvadratams, padalintiems iš keturių (7 formulė). Be to, kas išdėstyta aukščiau, yra Dar 5 formulės, todėl rekomenduojama susipažinti ir su pamoka „Stačiojo trikampio mediana“, kurioje išsamiau aprašomos medianos savybės.

Aukštis stačiakampis trikampis yra lygus kojų sandaugai, padalytai iš hipotenuzės (8 formulė)

Kojų kvadratai yra atvirkščiai proporcingi aukščio, nuleistos iki hipotenuzės, kvadratui (9 formulė). Ši tapatybė taip pat yra viena iš Pitagoro teoremos pasekmių.

Hipotenuzės ilgis yra lygus apibrėžtojo apskritimo skersmeniui (dviem spinduliams) (10 formulė). Stačiojo trikampio hipotenuzė yra apibrėžto apskritimo skersmuo... Ši savybė dažnai naudojama sprendžiant problemas.

Įrašytas spindulys v taisyklingas trikampis apskritimai galima rasti kaip pusę išraiškos, kuri apima šio trikampio kojelių sumą atėmus hipotenuzės ilgį. Arba kaip kojų sandauga, padalinta iš visų nurodyto trikampio kraštinių (perimetro) sumos. (Formulė 11)
Sinuso kampas priešingo santykiošis kampelis koja iki hipotenuzės(pagal sinuso apibrėžimą). (Formulė 12). Ši savybė naudojama sprendžiant problemas. Žinodami šonų dydį, galite rasti kampą, kurį jie sudaro.

Kampo A (α, alfa) kosinusas stačiakampiame trikampyje bus lygus požiūris gretimasšis kampelis koja iki hipotenuzės(pagal sinuso apibrėžimą). (Formulė 13)

Trikampiai.

Pagrindinės sąvokos.

Trikampis yra figūra, susidedanti iš trijų tiesių atkarpų ir trijų taškų, kurie nėra vienoje tiesėje.

Segmentai vadinami vakarėliams, ir taškai - viršūnės.

Kampų suma trikampis lygus 180º.

Trikampio aukštis.

Trikampio aukštis yra statmenas, nubrėžtas iš viršaus į priešingą pusę.

Smailiame trikampyje aukštis yra trikampyje (1 pav.).

Stačiakampiame trikampyje kojos yra trikampio aukščiai (2 pav.).

Bukajame trikampyje aukštis yra už trikampio ribų (3 pav.).

Trikampio aukščio savybės:

Trikampio pusiausvyra.

Trikampio bisektorius yra linijos atkarpa, dalijanti viršūnės kampą pusiau ir jungianti viršūnę su tašku priešingoje pusėje (5 pav.).

Bisektoriaus savybės:

Trikampio mediana.

Trikampio mediana yra linijos atkarpa, jungianti viršūnę su priešingos pusės viduriu (9a pav.).

Medianos ilgį galima apskaičiuoti pagal formulę:

2b 2 + 2c 2 - a 2
m a 2 = ——————
4

kur m a yra mediana, nubrėžta į šoną a.

Stačiakampiame trikampyje mediana, nubrėžta į hipotenuzę, yra pusė hipotenuzės:

c
m c = —
2

kur m c- mediana, nubrėžta iki hipotenuzės c(9c pav.)

Trikampio medianos susikerta viename taške (trikampio masės centre) ir yra padalytos iš šio taško santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės. Tai reiškia, kad atkarpa nuo viršūnės iki centro yra dvigubai didesnė už atkarpą nuo centro iki trikampio kraštinės (9c pav.).

Trys trikampio medianos padalija jį į šešis vienodus trikampius.

Vidurinė trikampio linija.

Vidurinė trikampio linija yra atkarpa, jungianti jos dviejų kraštinių vidurio taškus (10 pav.).

Vidurinė trikampio linija lygiagreti trečiajai kraštinei ir lygi jos pusei

Išorinis trikampio kampas.

Išorinis kampas trikampis lygus dviejų negretimų vidinių kampų sumai (11 pav.).

Išorinis trikampio kampas yra didesnis už bet kurį ne gretimą kampą.

Taisyklingas trikampis.

Taisyklingas trikampis yra trikampis su stačiu kampu (12 pav.).

Stačiakampio trikampio kraštinė, priešinga stačiajam kampui, vadinama hipotenuzė.

Kitos dvi partijos yra vadinamos kojos.

Proporcingos tiesės atkarpos stačiakampiame trikampyje.

1) Stačiakampiame trikampyje stačiu kampu nubrėžtas aukštis sudaro tris panašius trikampius: ABC, ACH ir HCB (14a pav.). Atitinkamai, kampai, sudaryti iš aukščio, yra lygūs kampams A ir B.

14a pav

Lygiašonis trikampis.

Lygiašonis trikampis yra trikampis, kurio dvi kraštinės lygios (13 pav.).

Šios lygios pusės vadinamos šoninės pusės o trečiasis yra pagrindu trikampis.

Lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yra lygūs. (Mūsų trikampyje kampas A lygus kampui C).

Lygiašoniame trikampyje mediana, nubrėžta į pagrindą, yra ir trikampio pusiausvyra, ir aukštis.

Lygiakraštis trikampis.

Lygiakraščiu trikampiu vadinamas trikampis, kurio visos kraštinės lygios (14 pav.).

Lygiakraščio trikampio savybės:

Nuostabios trikampių savybės.

Trikampiai turi originalių savybių, kurios padės sėkmingai išspręsti su šiomis formomis susijusias problemas. Kai kurios iš šių savybių aprašytos aukščiau. Tačiau pakartojame jas dar kartą, pridėdami keletą kitų puikių funkcijų:

1) Stačiakampiame trikampyje su 90º, 30º ir 60º kampais b, kuris yra priešais 30º kampą, yra lygus pusė hipotenuzės. Ir kojaa daugiau kojosb√3 kartus (15 pav a). Pavyzdžiui, jei koja b yra 5, tada hipotenuzė c būtinai lygus 10, o koja a yra lygus 5√3.

2) Stačiakampio lygiašonio trikampio, kurio kampai yra 90º, 45º ir 45º, hipotenuzė yra √2 kartus didesnė už koją (15 pav. b). Pavyzdžiui, jei kojos yra 5, tada hipotenuzė yra 5√2.

3) Trikampio vidurio linija lygi pusei lygiagrečios kraštinės (15 pav.). Su). Pavyzdžiui, jei trikampio kraštinė yra 10, tada lygiagreti vidurio linija yra 5.

4) Stačiakampiame trikampyje mediana, nubrėžta į hipotenuzę, yra lygi pusei hipotenuzės (9c pav.): m c= s / 2.

5) Trikampio medianos, susikertančios viename taške, padalytos iš šio taško santykiu 2:1. Tai reiškia, kad atkarpa nuo viršūnės iki medianų susikirtimo taško yra dvigubai didesnė už atkarpą nuo medianų susikirtimo taško iki trikampio kraštinės (9c pav.)

6) Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės vidurys yra apibrėžtojo apskritimo centras (15 pav. d).

Trikampių lygybės testai.

Pirmasis lygybės ženklas: jei vieno trikampio dvi kraštinės ir kampas tarp jų yra lygūs kito trikampio dviem kraštinėms ir kampas tarp jų, tai tokie trikampiai yra lygūs.

Antrasis lygybės ženklas: jei vieno trikampio kraštinė ir prie jos esantys kampai yra lygūs kito trikampio kraštinei ir prie jos esantys kampai, tai tokie trikampiai yra lygūs.

Trečiasis lygybės ženklas: jei vieno trikampio trys kraštinės lygios trims kito trikampio kraštinėms, tai tokie trikampiai yra lygūs.

Trikampio nelygybė.

Bet kuriame trikampyje kiekviena kraštinė yra mažesnė už kitų dviejų kraštinių sumą.

Pitagoro teorema.

Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai:

c 2 = a 2 + b 2 .

Trikampio plotas.

1) Trikampio plotas yra lygus pusei jo kraštinės sandaugos iš aukščio, nubrėžto į šią kraštinę:

ai
S = ——
2

2) Trikampio plotas yra lygus pusei bet kurių dviejų jo kraštinių sandaugos iš kampo tarp jų sinuso:

1
S = — AB AC · nuodėmė A
2

Aplink apskritimą apibrėžtas trikampis.

Apskritimas vadinamas įbrėžtu į trikampį, jeigu jis liečia visas jo kraštines (16 pav.). a).

Į apskritimą įbrėžtas trikampis.

Trikampis vadinamas įbrėžtu į apskritimą, jei jis liečia jį visomis savo viršūnėmis (17 pav. a).

Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas (18 pav.).

Sinusas aštrus kampas x prieštaraujantys koja iki hipotenuzės.
Ji žymima taip: nuodėmėx.

Kosinusas aštrus kampas x stačiakampis yra santykis gretimas koja iki hipotenuzės.
Jis žymimas taip: cos x.

Tangentas aštrus kampas x yra priešingos kojos ir gretimos kojos santykis.
Jis žymimas taip: tgx.

Kotangentas aštrus kampas x- Tai yra gretimos kojos ir priešingos kojos santykis.
Jis žymimas taip: ctgx.

Taisyklės:

Koja priešais kampą x, yra lygus hipotenuzės ir nuodėmės sandaugai x:

b = c Nuodėmė x

Koja greta kampo x, yra lygus hipotenuzės ir cos sandaugai x:

a = c Cos x

Koja priešais kampą x, yra lygus antrosios kojos ir tg sandaugai x:

b = a Tg x

Koja greta kampo x, yra lygus antrosios kojos ir ctg sandaugai x:

a = b Ctg x.

Bet kokiam aštriam kampui x:

nuodėmė (90 ° - x) = cos x

cos (90 ° - x) = nuodėmė x

(ABC) ir jo savybės, kurios parodytos paveikslėlyje. Stačiakampis trikampis turi hipotenuzę - kraštinę, esančią priešais stačią kampą.

1 patarimas: kaip rasti stačiojo trikampio aukštį

Tos pusės, kurios sudaro stačią kampą, vadinamos kojomis. Šoninis paveikslas AD, DC ir BD, DC- kojos ir šonai AS ir SV- hipotenuzė.

1 teorema. Stačiakampiame trikampyje, kurio kampas yra 30 °, priešinga šiam kampui kojelė pertraukia pusę hipotenuzės.

AB- hipotenuzė;

REKLAMA ir DB

Trikampis
Yra tokia teorema:
komentavimo sistema CACKLE

Sprendimas: 1) Bet kurio stačiakampio įstrižainės yra lygios Teisingai 2) Jei trikampyje yra vienas smailusis kampas, tai šis trikampis yra smailusis. Netiesa. Trikampių tipai. Trikampis vadinamas smailiu kampu, jei visi trys jo kampai yra smailūs, tai yra, mažesni nei 90 ° 3) Jei taškas yra ant.

Arba kitame įraše

Pagal Pitagoro teoremą

Koks aukštis yra stačiojo trikampio formulėje

Stačiojo trikampio aukštis

Stačiakampio trikampio, nubrėžto į hipotenuzą, aukštį galima vienaip ar kitaip rasti, priklausomai nuo uždavinio teiginio duomenų.

Arba kitame įraše

Kur BK ir KC yra kojų projekcijos į hipotenuzą (segmentus, į kuriuos aukštis padalija hipotenuzą).

Hipotenuzės aukštį galima rasti per stačiakampio trikampio plotą. Jei mes pritaikysime formulę, kad surastume trikampio plotą

(pusė kraštinės sandaugos pagal aukštį, nubrėžtą į šią pusę) prie hipotenuzės ir aukščio, nubrėžto iki hipotenuzės, gauname:

Iš čia galime rasti aukštį kaip dvigubo trikampio ploto ir hipotenuzės ilgio santykį:

Kadangi stačiakampio trikampio plotas yra pusė kojų sandaugos:

Tai yra, aukščio ilgis, nubrėžtas iki hipotenuzės, yra lygus kojų sandaugos ir hipotenuzės santykiui. Jei žymėsime kojų ilgius per a ir b, hipotenuzės ilgį per c, formulę galima perrašyti kaip

Kadangi apskritimo, apibrėžto apie stačiakampį trikampį, spindulys yra lygus pusei hipotenuzės, aukščio ilgį galima išreikšti kojelėmis ir apibrėžto apskritimo spinduliu:

Kadangi aukštis, nubrėžtas į hipotenuzę, sudaro dar du stačiakampius trikampius, jo ilgį galima rasti per stačiakampio trikampio santykius.

Iš stačiakampio trikampio ABK

Iš stačiojo trikampio ACK

Stačiakampio trikampio aukščio ilgis gali būti išreikštas kojų ilgiu. Nes

Pagal Pitagoro teoremą

Jei išlyginsite abi lygybės puses kvadratu:

Galite gauti kitą formulę, kaip sujungti stačiakampio trikampio aukštį su kojomis:

Koks aukštis yra stačiojo trikampio formulėje

Taisyklingas trikampis. Vidutinis lygis.

Ar norite išbandyti savo jėgas ir sužinoti, kaip esate pasiruošę vieningam valstybiniam egzaminui ar OGE?

Pagrindinė stačiakampio trikampio teorema yra Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema

Beje, ar gerai prisimeni, kas yra kojos ir hipotenuzė? Jei ne, pažiūrėkite į paveikslėlį – atnaujinkite žinias

Gali būti, kad jau daug kartų naudojote Pitagoro teoremą, bet ar kada susimąstėte, kodėl tokia teorema yra teisinga? Kaip aš galiu tai įrodyti? Darykime kaip senovės graikai. Nubrėžkime kvadratą su kraštine.

Matote, kaip sumaniai suskirstėme jos šonus į ilgius ir!

Dabar sujungkime pažymėtus taškus

Tačiau čia mes atkreipėme dėmesį į ką nors kita, bet jūs patys pažiūrėkite į piešinį ir pagalvokite, kodėl taip yra.

Koks yra didesnio kvadrato plotas? Teisingai,. Mažesnis plotas? Be abejo,. Išlieka bendras keturių kampų plotas. Įsivaizduokite, kad mes paėmėme juos po du ir priglaudėme vienas prie kito hipotenuzėmis. Kas nutiko? Du stačiakampiai. Tai reiškia, kad „iškarpų“ plotas yra lygus.

Sudėkime viską dabar.

Taigi mes aplankėme Pitagorą – senoviniu būdu įrodėme jo teoremą.

Statusis trikampis ir trigonometrija

Stačiakampio trikampio atveju galioja šie santykiai:

Smagiojo kampo sinusas lygus priešingos kojos ir hipotenuzės santykiui

Smagiojo kampo kosinusas lygus gretimos kojos ir hipotenuzės santykiui.

Smagiojo kampo liestinė lygi priešingos kojos ir gretimos kojos santykiui.

Smagiojo kampo kotangentas yra lygus gretimos kojos ir priešingos kojos santykiui.

Ir dar kartą visa tai yra lėkštės pavidalu:

Ar pastebėjote vieną labai patogų dalyką? Atidžiai pažiūrėkite į ženklą.

Tai labai patogu!

Stačiakampių trikampių lygybės testai

II. Ant kojos ir hipotenuzės

III. Pagal hipotenuzę ir smailią kampą

IV. Ant kojos ir aštraus kampo

Dėmesio! Čia labai svarbu, kad kojos būtų „tinkamos“. Pavyzdžiui, jei tai yra taip:

TUOMET TRIKAMPIAI NELYGŪS, nepaisant to, kad jie turi tą patį smailią kampą.

Reikia Abiejuose trikampiuose kojelė buvo greta arba abiejuose trikampiuose priešinga.

Ar pastebėjote, kaip stačiųjų trikampių lygybės ženklai skiriasi nuo įprastų trikampių lygybės ženklų? Pažvelkite į temą „Trikampis“ ir atkreipkite dėmesį į tai, kad „paprastų“ trikampių lygybei reikia trijų jų elementų lygybės: dviejų kraštinių ir kampo tarp jų, dviejų kampų ir kraštinės tarp jų arba trijų. pusės. Tačiau stačiakampių trikampių lygybei pakanka tik dviejų atitinkamų elementų. Puiku, ar ne?

Maždaug tokia pati situacija ir su stačiakampių trikampių panašumo ženklais.

Stačiakampių trikampių panašumo ženklai

III. Ant kojos ir hipotenuzės

Mediana stačiakampiame trikampyje

Apsvarstykite visą stačiakampį vietoj stačiakampio trikampio.

Nubrėžkime įstrižainę ir apsvarstykime įstrižainių susikirtimo tašką. Kas žinoma apie stačiakampio įstrižaines?

Įstrižainės susikirtimo taškas perpus sumažintas.Įstrižainės lygios

Ir kas iš to seka?

Taigi paaiškėjo, kad

Prisiminkite šį faktą! Labai padeda!

Dar labiau stebina tai, kad tiesa yra ir atvirkščiai.

Ką gero galite gauti iš to, kad mediana, nubrėžta į hipotenuzę, yra lygi pusei hipotenuzės? Pažiūrėkime į paveikslėlį

Pažiūrėk atidžiai. Mes turime:, tai yra, atstumai nuo taško iki visų trijų trikampio viršūnių pasirodė lygūs. Tačiau trikampyje yra tik vienas taškas, atstumai, nuo kurių maždaug visos trys trikampio viršūnės yra lygūs, ir tai yra APRAŠYTO APRAŠTO CENTRAS. Taigi, kas atsitiko?

Pradėkime nuo šio „be to. “.

Bet tokiuose trikampiuose visi kampai lygūs!

Tą patį galima pasakyti apie ir

Dabar nupieškime kartu:

Turėkite tuos pačius aštrius kampus!

Kokią naudą galima gauti iš šio „trigubo“ panašumo.

Na, pavyzdžiui - Dvi stačiojo trikampio aukščio formulės.

Užrašykime atitinkamų šalių santykius:

Norėdami rasti aukštį, išsprendžiame proporciją ir gauname Pirmoji formulė „Aukštis stačiakampiame trikampyje“.:

Kaip gauti antrą?

Dabar pritaikykime trikampių ir panašumą.

Taigi, pritaikykime panašumą:.

Kas atsitiks dabar?

Vėlgi išsprendžiame proporciją ir gauname antrą formulę "Aukštis stačiakampiame trikampyje":

Abi šios formulės turi būti labai gerai įsimenamos ir kuri yra patogiau taikyti. Užrašykime juos dar kartą

Na, o dabar, pritaikydami ir derindami šias žinias su kitomis, išspręsite bet kokią problemą su stačiakampiu trikampiu!

Komentarai (1)

Medžiagos platinimas be patvirtinimo yra leidžiamas, jei yra nuoroda į šaltinio puslapį.

Privatumo politika

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija – tai duomenys, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba su juo susisiekti.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai pateikiate užklausą svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Stačiakampio trikampio, nukritusio hipotenuze, aukščio savybė

Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašiame reklaminiame renginyje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją toms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Prireikus – pagal įstatymus, teismo įsakymą, teismo procese ir (arba) remiantis viešais prašymais ar vyriausybės institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų socialiai svarbių priežasčių. Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai – teisių perėmėjui.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir piktnaudžiavimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Pagarba jūsų privatumui įmonės lygiu

Siekdami įsitikinti, kad Jūsų asmeninė informacija yra saugi, savo darbuotojams pristatome konfidencialumo ir saugumo taisykles bei griežtai stebime konfidencialumo priemonių įgyvendinimą.

Ačiū už žinutę!

Jūsų komentaras priimtas, po moderavimo jis bus paskelbtas šiame puslapyje.

Norite sužinoti, kas slypi po pjūviu ir gauti išskirtinės medžiagos apie pasiruošimą egzaminui ir egzaminui? Palikite savo el

Stačiojo trikampio savybės

Apsvarstykite statųjį trikampį (ABC) ir jo savybės, kurios parodytos paveikslėlyje. Stačiakampis trikampis turi hipotenuzę - kraštinę, esančią priešais stačią kampą. Tos pusės, kurios sudaro stačią kampą, vadinamos kojomis. Šoninis paveikslas AD, DC ir BD, DC- kojos ir šonai AS ir SV- hipotenuzė.

Stačiakampio trikampio lygybės ženklai:

1 teorema. Jei stačiojo trikampio įtvara ir kojelė yra panašios į kito trikampio įtvarą ir koją, tai tokie trikampiai yra lygūs.

2 teorema. Jei dvi stačiojo trikampio kraštinės yra lygios kito trikampio dviem kojoms, tai tokie trikampiai yra lygūs.

3 teorema. Jeigu stačiojo trikampio įtvara ir smailusis kampas yra panašūs į kito trikampio įtvarą ir smailiąjį kampą, tai tokie trikampiai yra lygūs.

4 teorema. Jeigu stačiojo trikampio kojelė ir gretimas (priešingas) smailusis kampas yra lygūs kito trikampio kojelei ir gretimam (priešiniam) smailiajam kampui, tai tokie trikampiai yra lygūs.

Priešingos 30° kampui kojos savybės:

1 teorema.

Aukštis stačiakampiame trikampyje

Stačiakampiame trikampyje, kurio kampas yra 30 °, priešinga šiam kampui koja nutrūksta iki pusės hipotenuzės.

2 teorema. Jei stačiakampiame trikampyje kojelė yra lygi pusei hipotenuzės, tai priešingas kampas yra 30 °.

Jei aukštis brėžiamas nuo stačiojo kampo viršūnės į hipotenuzą, tada toks trikampis yra padalintas į du mažesnius, panašius į išeinantį ir panašius vienas į kitą. Tai veda prie šių išvadų:

Aukštis yra dviejų hipotenuzų segmentų geometrinis vidurkis (proporcinis vidurkis).
Kiekviena trikampio kojelė yra vidurkis, proporcingas hipotenusei ir gretimoms atkarpoms.

Stačiakampiame trikampyje kojos veikia kaip aukščiai. Ortocentras yra taškas, kuriame susikerta trikampio aukščiai. Jis sutampa su dešiniojo figūros kampo viršūne.

hC- aukštis, išeinantis iš stačiojo trikampio kampo;

AB- hipotenuzė;

REKLAMA ir DB- segmentai, kurie atsirado dalijant hipotenuzą iš aukščio.

Grįžti į disciplinos „Geometrija“ nuorodų peržiūrą

Trikampis Tai geometrinė figūra, susidedanti iš trijų taškų (viršūnių), kurie nėra toje pačioje tiesėje, ir trijų atkarpų, jungiančių šiuos taškus. Stačiakampis trikampis yra trikampis, kurio vienas iš kampų yra 90 ° (stačiu kampu).
Yra tokia teorema: stačiakampio trikampio smailiųjų kampų suma lygi 90°.
komentavimo sistema CACKLE

Raktiniai žodžiai: trikampis, stačiakampis, koja, hipotenuzė, Pitagoro teorema, apskritimas

Trikampis vadinamas stačiakampio formos jei jis turi stačią kampą.
Stačiakampis trikampis turi dvi viena kitai statmenas kraštines, vadinamas kojos; vadinama jo trečioji šalis hipotenuzė.

Pagal statmens ir įstrižo savybes, hipotenuzė yra ilgesnė už kiekvieną koją (bet mažesnė už jų sumą).
Stačiakampio trikampio dviejų smailiųjų kampų suma lygi stačiajam kampui.
Du stačiakampio trikampio aukščiai sutampa su jo kojomis. Todėl vienas iš keturių puikių taškų patenka į stačiojo trikampio kampo viršūnes.
Stačiakampio trikampio apibrėžtojo apskritimo centras yra hipotenuzės viduryje.
Stačiakampio trikampio, nubrėžto nuo stačiakampio kampo viršūnės iki hipotenuzės, mediana yra apie šį trikampį apibrėžto apskritimo spindulys.

Apsvarstykite savavališką stačiakampį trikampį ABC ir nubrėžkite aukštį СD = hc nuo jo stačiojo kampo viršūnės С.

Jis padalins šį trikampį į du stačiakampius trikampius ACD ir BCD; kiekvienas iš šių trikampių turi bendrą smailųjį kampą su trikampiu ABC ir todėl yra panašus į trikampį ABC.

Visi trys trikampiai ABC, ACD ir BCD yra panašūs vienas į kitą.

Iš trikampių panašumo nustatomi šie santykiai:

$$ h = \ sqrt (a_ (c) \ cdot b_ (c)) = \ frac (a \ cdot b) (c) $$;
c = ac + bc;
$$ a = \ sqrt (a_ (c) \ cdot c), b = \ sqrt (b_ (c) \ cdot c) $$;
$$ (\ frac (a) (b)) ^ (2) = \ frac (a_ (c)) (b_ (c)) $$.

Pitagoro teorema viena iš pagrindinių Euklido geometrijos teoremų, nustatanti ryšį tarp stačiakampio trikampio kraštinių.

Geometrinė formuluotė. Stačiakampiame trikampyje kvadrato, pastatyto ant hipotenuzės, plotas yra lygus kvadratų, pastatytų ant kojų, plotų sumai.

Algebrinė formuluotė. Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai.
Tai reiškia, kad reiškia trikampio hipotenuzės ilgį per c ir kojų ilgį per a ir b:
a2 + b2 = c2

Atvirkštinė Pitagoro teorema.

Stačiojo trikampio aukštis

Bet kuriam teigiamų skaičių a, b ir c trigubui, kad
a2 + b2 = c2,
yra stačiakampis trikampis su kojomis a ir b ir hipotenuze c.

Stačiakampių trikampių lygybės ženklai:

išilgai kojos ir hipotenuzės;
ant dviejų kojų;
išilgai kojos ir aštraus kampo;
hipotenuze ir smailiu kampu.

Taip pat žiūrėkite:
Trikampio, lygiašonio trikampio, lygiašonio trikampio plotas

Geometrija. 8 Klasė. Testas 4. Parinktis 1 .

REKLAMA : CD = CD : BD. Taigi CD2 = AD ∙ BD. Jie sako:

REKLAMA : AC = AC : AB. Taigi AC2 = AB ∙ REKLAMA. Jie sako:

BD : BC = BC : AB. Taigi BC2 = AB ∙ BD.

Išspręskite užduotis:

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Stačiakampio trikampio aukštis, nubrėžtas į hipotenuzę, padalija hipotenuzą į 9 ir 36 atkarpas.

Nustatykite šio aukščio ilgį.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

8. Stačiakampio trikampio kojelė yra 30.

Kaip rasti stačiojo trikampio aukštį?

Raskite atstumą nuo stačiojo kampo viršūnės iki hipotenuzės, jei apie šį trikampį apibrėžto apskritimo spindulys yra 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Palyginkite atsakymus!

D8.04.1. Proporcingos tiesių atkarpos stačiakampiame trikampyje

Geometrija. 8 Klasė. Testas 4. Parinktis 1 .

В Δ АВС ∠АСВ = 90 °. AC ir BC kojos, AB hipotenuzė.

CD yra trikampio, nubrėžto iki hipotenuzės, aukštis.

AC kojos AD projekcija į hipotenuzą,

BC kojos BD projekcija į hipotenuzą.

Aukštis CD padalija trikampį ABC į du panašius trikampius (ir vienas į kitą): Δ ADC ir Δ CDB.

Iš tokių pusių kaip Δ ADC ir Δ CDB proporcingumo išplaukia:

REKLAMA : CD = CD : BD.

Stačiakampio trikampio, nukritusio hipotenuze, aukščio savybė.

Taigi CD2 = AD ∙ BD. Jie sako: stačiakampio trikampio, nubrėžto iki hipotenuzės, aukštis,yra vidutinė proporcinga reikšmė tarp kojų projekcijų ant hipotenuzės.

Iš Δ ADC ir Δ ACB panašumo matyti:

REKLAMA : AC = AC : AB. Taigi AC2 = AB ∙ REKLAMA. Jie sako: kiekviena kojelė yra vidutinė proporcinga reikšmė tarp visos hipotenuzės ir šios kojos projekcijos į hipotenuzą.

Panašiai iš Δ СDВ ir Δ АCB panašumo išplaukia:

BD : BC = BC : AB. Taigi BC2 = AB ∙ BD.

Išspręskite užduotis:

1. Raskite stačiakampio trikampio, nubrėžto į hipotenuzę, aukštį, jei jis padalija hipotenuzą į 25 cm ir 81 cm atkarpas.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Stačiakampio trikampio aukštis, nubrėžtas į hipotenuzę, padalija hipotenuzą į 9 ir 36 atkarpas. Nustatykite šio aukščio ilgį.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. Stačiakampio trikampio, nubrėžto į hipotenuzę, aukštis lygus 22, vienos iš kojelių projekcija 16. Raskite kitos kojos projekciją.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. Stačiakampio trikampio kojelė yra 18, o jo projekcija į hipotenuzę yra 12. Raskite hipotenuzę.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. Hipotenuzė yra 32. Raskite koją, kurios projekcija ant hipotenuzos yra 2.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. Stačiakampio trikampio hipotenuzė lygi 45. Raskite koją, kurios projekcija į hipotenuzą lygi 9.

8. Stačiakampio trikampio kojelė lygi 30. Raskite atstumą nuo stačiojo kampo viršūnės iki hipotenuzės, jei apie šį trikampį apibrėžto apskritimo spindulys lygus 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. Stačiakampio trikampio hipotenuzė lygi 41, o vienos iš kojelių projekcija – 16. Raskite aukščio, nubrėžto nuo stačiojo kampo viršūnės iki hipotenuzos, ilgį.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. Skirtumas tarp kojelių projekcijų į hipotenuzą yra 15, o atstumas nuo stačiojo kampo viršūnės iki hipotenuzės yra 4. Raskite apibrėžtojo apskritimo spindulį.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Tiesą sakant, tai nėra taip baisu. Žinoma, straipsnyje reikėtų rasti „tikruosius“ sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus. Bet aš tikrai nenoriu, tiesa? Galime pasidžiaugti: norėdami išspręsti stačiakampio trikampio problemas, galite tiesiog užpildyti šiuos paprastus dalykus:

O kaip su kampu? Ar yra koja, kuri yra priešais kampą, tai yra, priešinga (kampinei) koja? Žinoma, turi! Tai koja!

Bet kaip dėl kampo? Pažiūrėk atidžiai. Kuri koja yra greta kampo? Žinoma, koja. Vadinasi, kampui koja yra greta, ir

Dabar dėmesio! Pažiūrėkite, ką gavome:

Matai kaip puiku:

Dabar pereikime prie tangento ir kotangento.

Kaip dabar galiu tai užrašyti žodžiais? Kokia yra koja kampo atžvilgiu? Žinoma, priešingai – „guli“ priešais kampą. O koja? Šalia kampo. Taigi, ką mes padarėme?

Matote, kad skaitiklis ir vardiklis yra atvirkščiai?

O dabar vėl kampai ir pasikeitė:

Santrauka

Trumpai surašykime viską, ką sužinojome.

Pitagoro teorema:

Pagrindinė stačiakampio trikampio teorema yra Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema

Beje, ar gerai prisimeni, kas yra kojos ir hipotenuzė? Jei ne, pažiūrėkite į paveikslėlį – atnaujinkite žinias

Matote, kaip sumaniai suskirstėme jos šonus į ilgius ir!

Dabar sujungkime pažymėtus taškus

Tačiau čia mes atkreipėme dėmesį į ką nors kita, bet jūs patys pažiūrėkite į piešinį ir pagalvokite, kodėl taip yra.

Koks yra didesnio kvadrato plotas?

Teisingai,.

Mažesnis plotas?

Be abejo,.

Išlieka bendras keturių kampų plotas. Įsivaizduokite, kad mes paėmėme juos po du ir priglaudėme vienas prie kito hipotenuzėmis.

Kas nutiko? Du stačiakampiai. Tai reiškia, kad „iškarpų“ plotas yra lygus.

Sudėkime viską dabar.

Transformuokime:

Taigi mes aplankėme Pitagorą – senoviniu būdu įrodėme jo teoremą.

Statusis trikampis ir trigonometrija

Stačiakampio trikampio atveju galioja šie santykiai:

Smagiojo kampo sinusas lygus priešingos kojos ir hipotenuzės santykiui

Smagiojo kampo kosinusas lygus gretimos kojos ir hipotenuzės santykiui.

Smagiojo kampo liestinė lygi priešingos kojos ir gretimos kojos santykiui.

Smagiojo kampo kotangentas yra lygus gretimos kojos ir priešingos kojos santykiui.

Ir dar kartą visa tai yra lėkštės pavidalu:

Tai labai patogu!

Stačiakampių trikampių lygybės testai

I. Ant dviejų kojų

II. Ant kojos ir hipotenuzės

III. Pagal hipotenuzę ir smailią kampą

IV. Ant kojos ir aštraus kampo

Dėmesio! Čia labai svarbu, kad kojos būtų „tinkamos“. Pavyzdžiui, jei tai yra taip:

TUOMET TRIKAMPIAI NELYGŪS, nepaisant to, kad jie turi tą patį smailią kampą.

Reikia abiejuose trikampiuose kojelė buvo greta arba abiejuose trikampiuose priešinga.

Ar pastebėjote, kaip stačiųjų trikampių lygybės ženklai skiriasi nuo įprastų trikampių lygybės ženklų?

Pažvelkite į temą „ir atkreipkite dėmesį į tai, kad „paprastų“ trikampių lygybei reikia trijų jų elementų lygybės: dviejų kraštinių ir kampo tarp jų, dviejų kampų ir kraštinės tarp jų arba trijų kraštinių.

Tačiau stačiakampių trikampių lygybei pakanka tik dviejų atitinkamų elementų. Puiku, ar ne?

Maždaug tokia pati situacija ir su stačiakampių trikampių panašumo ženklais.

Stačiakampių trikampių panašumo ženklai

I. Ant aštraus kampo

II. Ant dviejų kojų

III. Ant kojos ir hipotenuzės

Mediana stačiakampiame trikampyje

Kodėl taip yra?

Apsvarstykite visą stačiakampį vietoj stačiakampio trikampio.

Nubrėžkime įstrižainę ir apsvarstykime tašką – įstrižainių susikirtimo tašką. Kas žinoma apie stačiakampio įstrižaines?

Ir kas iš to seka?

Taigi paaiškėjo, kad

- mediana:

Prisiminkite šį faktą! Labai padeda!

Dar labiau stebina tai, kad tiesa yra ir atvirkščiai.

Ką gero galite gauti iš to, kad mediana, nubrėžta į hipotenuzę, yra lygi pusei hipotenuzės? Pažiūrėkime į paveikslėlį

Pradėkime nuo šio „be to ...“

Pažiūrėkime ir.

Bet tokiuose trikampiuose visi kampai lygūs!

Tą patį galima pasakyti apie ir

Dabar nupieškime kartu:

Kokią naudą galima gauti iš šio „trigubo“ panašumo.

Na, pavyzdžiui - dvi stačiojo trikampio aukščio formulės.

Užrašykime atitinkamų šalių santykius:

Norėdami rasti aukštį, išsprendžiame proporciją ir gauname pirmoji formulė "Aukštis stačiakampiame trikampyje":

Na, o dabar, pritaikydami ir derindami šias žinias su kitomis, išspręsite bet kokią problemą su stačiakampiu trikampiu!

Taigi, pritaikykime panašumą:.

Kas atsitiks dabar?

Vėlgi išsprendžiame proporciją ir gauname antrą formulę:

Abi šios formulės turi būti labai gerai įsimenamos ir kuri yra patogiau taikyti.

Užrašykime juos dar kartą

Pitagoro teorema:

Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai:.

Stačiakampių trikampių lygybės ženklai:

ant dviejų kojų:
ant kojos ir hipotenuzės: arba
išilgai kojos ir gretimo smailiojo kampo: arba
išilgai kojos ir priešingo smailaus kampo: arba
pagal hipotenuzę ir smailią kampą: arba.

Stačiakampių trikampių panašumo ženklai:

vienas aštrus kampas: arba
iš dviejų kojų proporcingumo:
nuo kojos ir hipotenuzės proporcingumo: arba.

Sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas stačiakampiame trikampyje

Stačiakampio trikampio smailiojo kampo sinusas yra priešingos kojos ir hipotenuzės santykis:
Stačiojo trikampio smailaus kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:
Stačiakampio trikampio smailiojo kampo liestinė yra priešingos kojos ir gretimos kojos santykis:
Stačiakampio trikampio smailiojo kampo kotangentas yra gretimos ir priešingos kojos santykis:.

Stačiojo trikampio aukštis: arba.

Stačiakampiame trikampyje mediana, nubrėžta iš stačiojo kampo viršūnės, yra pusė hipotenuzės:.

Stačiojo trikampio plotas:

per kojas:

Turtas: 1. Bet kuriame stačiakampyje aukštis, nukritęs iš stačiojo kampo (pagal hipotenuzą), padalija stačiąjį trikampį į tris panašius trikampius.

Turtas: 2. Stačiakampio trikampio aukštis, nukritęs ant hipotenuzės, yra lygus kojų projekcijų į hipotenuzą geometriniam vidurkiui (arba geometriniam vidurkiui tų atkarpų, į kurias aukštis sulaužo hipotenuzę).

Turtas: 3. Koja lygi hipotenuzės geometriniam vidurkiui ir šios kojos projekcijai į hipotenuzą.

Turtas: 4. Koja prieš 30 laipsnių kampą yra lygi pusei hipotenuzės.

Formulė 1.

Formulė 2. kur yra hipotenuzė; , kojos.

Turtas: 5. Stačiakampiame trikampyje mediana, nubrėžta į hipotenuzą, yra lygi jos pusei ir yra lygi apibrėžtojo apskritimo spinduliui.

Savybė: 6. Priklausomybė tarp stačiakampio trikampio kraštinių ir kampų:

44. Kosinusų teorema. Pasekmės: jungtis tarp lygiagretainio įstrižainių ir kraštinių; trikampio tipo nustatymas; trikampio medianos ilgio apskaičiavimo formulė; apskaičiuojant trikampio kampo kosinusą.

Darbo pabaiga -

Ši tema priklauso skyriui:

Klasė. Koliokviumo programos planimetrijos pagrindai

Gretimų kampų savybė .. dviejų gretimų kampų nustatymas, jei viena kraštinė yra bendra su kitomis dviem, sudarančiomis tiesią liniją.

Jei jums reikia papildomos medžiagos šia tema arba neradote to, ko ieškojote, rekomenduojame naudoti paiešką mūsų darbų bazėje:

Ką darysime su gauta medžiaga:

Jei ši medžiaga jums pasirodė naudinga, galite ją išsaugoti savo puslapyje socialiniuose tinkluose: