Paprasčiausias trigonometrinių nelygybių pamokos planas. Algebros pamokos planas tema "Trigonometrinės nelygybės"

Pamokos modelis tema:

„Trigonometrinių lygčių ir nelygybių sprendimas“

kaip matematikos regioninio komponento įgyvendinimo dalis

10 klasės mokiniams.

Pomykalova

Elena Viktorovna

matematikos mokytojas

Savivaldybės švietimo įstaiga Voshodo kaimo vidurinė mokykla

Balašovskio rajonas

Saratovo sritis

Pamokos tikslas.

1. Apibendrinkite teorines žinias tema: „Trigonometrinių lygčių ir nelygybių sprendimas“, pakartokite pagrindinius trigonometrinių lygčių ir nelygybių sprendimo būdus.

2. Ugdykite mąstymo savybes: lankstumą, susikaupimą, racionalumą. Organizuokite studentų darbą nurodyta tema lygiu, atitinkančiu jau suformuotą žinių lygį.

3. Ugdykite natų tikslumą, kalbos kultūrą ir savarankiškumą.

Pamokos tipas: studijuojant šią temą įgytų žinių apibendrinimo ir sisteminimo pamoka.

Mokymo metodai: sistemos apibendrinimas, žinių lygio tikrinimo testas, apibendrinimo uždavinių sprendimas.

Pamokų organizavimo formos: priekinis, individualus.

Įranga: kompiuteris , multimedijos projektorius, atsakymų lapai, užduočių kortelės, trigonometrinių lygčių šaknų formulių lentelė.

Per užsiėmimus.

aš . Pamokos pradžia

Mokytojas informuoja mokinius apie pamokos temą, tikslą, atkreipia mokinių dėmesį į dalomąją medžiagą.

II . Studentų žinių stebėjimas

1) Darbas žodžiu (Užduotis projektuojama ekrane)

Apskaičiuoti:

A) ;

b) ;

V);

G);

d) ;
e) .

2) Frontali studentų apklausa.

Kokios lygtys vadinamos trigonometrinėmis?

Kokius trigonometrinių lygčių tipus žinote?

Kokios lygtys vadinamos paprasčiausiomis trigonometrinėmis lygtimis?

Kokios lygtys vadinamos vienarūšėmis?

Kokios lygtys vadinamos kvadratinėmis?

Kokios lygtys vadinamos nehomogeninėmis?

Kokius žinote trigonometrinių lygčių sprendimo būdus?

Mokiniams atsakius, ekrane projektuojami kai kurie trigonometrinių lygčių sprendimo būdai.

Pristatome naują kintamąjį:

№1 . 2sin²x – 5sinx + 2 = 0.№2. tg + 3 ctg = 4.

Leisti sinx = t, |t|≤1, Leisti tg = z,

Mes turime: 2 t² – 5 t + 2 = 0. Mes turime: z + = 4.

2. Faktorizavimas :

2 sinxcos 5 x – cos 5 x = 0;

cos5x (2sinx – 1) = 0.

Mes turime : cos5x = 0,

2sinx – 1 = 0; ...

3. Homogeninės trigonometrinės lygtys:

aš laipsnių II laipsnių

a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0.

Padalinti iš cosx≠ 0. 1) jei a ≠ 0, padalinkite išcos² x ≠ 0

Mes turime : a tgx + b = 0; ...mes turime : a tg²x + b tgx + c = 0.

2) jei a = 0, tada

mes turime: bsinxcosx + ccos² x =0;…

4. Nehomogeninės trigonometrinės lygtys:

Formos lygtys: asinx + bcosx = c

4 sinx + 3 cosx = 5.

(Rodyti du būdus)

1) universalaus pakeitimo naudojimas:

sinx = (2 tgx/2) / (1 + tg 2 x/2);

cosx = (1– tg 2 x/2) / (1 + tg 2 x/2);

2) pateikiame pagalbinį argumentą:

4 sinx + 3 cosx = 5

Padalinkite abi puses iš 5:

4/5 sinx + 3/5 cosx = 1

Kadangi (4/5) 2 + (3/5) 2 = 1, tada tegul 4/5 = sinφ; 3/5= cosφ, kur 0< φ < π /2, tada

sinφsinx + cosφcosx = 1

cos(x – φ ) = 1

x – φ = 2 πn, n € Z

x = 2 πn + φ , n € Z

φ = arccos 3/5 reiškia x = arcos 3/5 +2 πn, n € Z

Atsakymas: arccos 3/5 + 2 πn, n € Z

3) Lygčių sprendimas naudojant laipsnio mažinimo formules.

4) Dvigubo ir trigubo argumentų formulių taikymas.

a) 2sin4xcos2x = 4cos 3 2x – 3cos2x

cos6x + cos2x = cos6x

III . Bandomosios užduoties vykdymas

Mokytojas prašo mokinių pritaikyti ką tik suformuluotus teorinius faktus sprendžiant lygtis.

Užduotis atliekama testo forma. Mokiniai užpildo atsakymo formą, esančią ant jų stalų.

Užduotis projektuojama ekrane.

Pasiūlykite būdą, kaip išspręsti šią trigonometrinę lygtį:

1) sumažinimas į kvadratą;

2) redukcija iki homogeniškumo;

3) faktorizacija;

4) laipsnio sumažinimas;

5) trigonometrinių funkcijų sumos pavertimas sandauga.

Atsakymo forma.

Variantas aš

Lygtis

Sprendimai

3 sin²x + cos²x = 1 - sinx cosx

4 bendras s²x- cosx– 1 = 0

2 sin² x / 2 +cosx=1

cosx + cos3x = 0

2 sinx cos5x – cos5x = 0

Variantas II

Lygtis

Sprendimai

2sinxcosx – sinx = 0

3 cos²x – cos2x = 1

6 sin²x + 4 sinx cosx = 1

4 sin²x + 11 sin²x = 3

sin3x = sin17x

Atsakymai:

Variantas aš Variantas II

IV . Formulių kartojimas lygtims išspręsti

Trigonometrinių lygčių šaknų formulės.

Yra dažni

Privatus

Lygtis

Šaknies formulė

Lygtis

Šaknies formulė

1. sinx = a, |a|≤1

x = (-1) n arcsin a + πk,

kє Z

1. sinx = 0

x = πk, kє Z

2. cosx = a, |a|≤1

x = ±arccos a + 2πk,

kє Z

2. sinx = 1

x = + 2πk, k є Z

3. tg x = a

x = arctan a + πk, kє Z

3. sinx = –1

x = – + 2πk, k є Z

4.ctg x = a

x = arcctg a + πk,kє Z

4. cosx = 0

x = + πk, k є Z

5. cosx = 1

x = 2πk, k є Z

6. cosx = –1

x = π + 2πk, k є Z

Žodinis darbas sprendžiant paprastas trigonometrines lygtis

Mokytojas prašo mokinių pritaikyti ką tik suformuluotus teorinius faktus sprendžiant lygtis. Ekrane projektuojamas treniruoklis darbui žodžiu tema: „Trigonometrinės lygtys“.

Išspręskite lygtis.

nuodėmėx = 0

cosx = 1

įdegis x = 0

ctg x = 1

sin x = - 1 / 2

sin x = 1

cos x = 1 / 2

sin x = - √3 / 2

cos x = √2 / 2

sin x = √2 / 2

cos x = √3 / 2

įdegis x = √3

sin x = 1 / 2

sin x = -1

cos x = - 1 / 2

sin x = √3 / 2

įdegis x = -√3

ctg x = √3 / 3

įdegis x = - √3 / 3

vaikiška lovelė x = -√3

cos x – 1 =0

2 sin x – 1 =0

2 ctg x + √3 = 0

V . Spręsdami pavyzdžius.

Ant kiekvieno stalo išdalinamos kortelės su užduotimis, viena yra ant mokytojo stalo prie lentos ateinantiems mokiniams.

№1. Raskite visų lygties šaknų aritmetinį vidurkį , atitinkančią sąlygą ;

Sprendimas.

Raskime iš intervalo visų duotosios lygties šaknų aritmetinį vidurkį .

.

Atsakymas: a).

№2 . Išspręskite nelygybę .

Sprendimas.

,

,

.

Atsakymas:

№3. Išspręskite lygtį .

(Kartu nustatykite problemos sprendimo būdą)

Sprendimas.

Įvertinkime paskutinės lygybės dešinę ir kairę puses.

Todėl lygybė galioja tada ir tik tada, kai galioja sistema

Atsakymas: 0,5

VI . Savarankiškas darbas

Mokytojas duoda užduotis savarankiškam darbui. Kortelės ruošiamos pagal sudėtingumo lygius.

Labiau pasiruošusiems studentams gali būti įteiktos kortelės su didesnio sudėtingumo užduotimis.

Mokytojas 2-os grupės mokiniams įteikė korteles su bazinio sudėtingumo užduotimis.

3-osios grupės mokiniams mokytojas sudarė korteles su pagrindinio sudėtingumo užduotimis, tačiau tai paprastai yra prastai matematiškai pasirengę mokiniai, jie gali atlikti užduotis prižiūrint mokytojui.

Kartu su užduotimis studentai gauna formas, kad galėtų atlikti užduotis.

1 grupė

1 variantas (1)

1. Išspręskite lygtį

2. Išspręskite lygtį .

2 variantas (1)

1. Išspręskite lygtį .

2. Išspręskite lygtį .

2-oji grupė

1 variantas (2)

1. Išspręskite lygtį .

2. Išspręskite lygtį .

Norėdami peržiūrėti pristatymą su paveikslėliais, dizainu ir skaidrėmis, atsisiųskite failą ir atidarykite jį „PowerPoint“. kompiuteryje.
Pristatymo skaidrių tekstinis turinys: Trigonometrinių nelygybių sprendimas intervalų metodu 10 A klasė Mokytojas: Uskova N.N. MBOU licėjus Nr. 60 Pamokos tikslai: Edukacinis: plėsti ir gilinti žinias tema „Intervalų metodas“; įgyja praktinių įgūdžių atliekant užduotis intervaliniu metodu; mokinių matematinio pasirengimo lygio didinimas; Ugdomasis: tiriamųjų gebėjimų ugdymas; Ugdomasis: stebėjimo, savarankiškumo, gebėjimo bendrauti su kitais žmonėmis formavimas, mąstymo kultūros, kultūros ugdymas. kalbėjimo, domėjimosi akademiniu dalyku. Pamokos eiga Namų darbų tikrinimas Savarankiškas darbas Naujos medžiagos tema "Trigonometrinių nelygybių sprendimas intervalų metodu" paaiškinimas: sprendimo algoritmas Nelygybių pavyzdžiai Pamokos santrauka Namų darbai. Namų darbų tikrinimas Išspręskite nelygybes: Savarankiškas darbas Papildomai: 1) 2) Namų darbų tikrinimas Išspręskite nelygybes: a) Sprendimas. Atsakymas: b) Sprendimas. Atsakymas: c) Sprendimas. Atsakymas: d) Sprendimas. Atsakymas:. Išspręskite nelygybę Sprendimas. Atsakymas: 1 pavyzdys. Išspręskite nelygybę intervalų metodu Sprendimas. 1) 2) Funkcijos nuliai: 3) Funkcijos ženklai intervaluose: + - + - + 4) Kadangi nelygybė nėra griežta, įtraukiamos šaknys 5) Sprendimas: Atsakymas: Pavyzdys 2. Išspręskite nelygybę: Sprendimas . Atsakymas: I metodas: Metodas II: Atsakymas: Trigonometrinių nelygybių sprendimas intervalų metodu Algoritmas: Trigonometrinėmis formulėmis suskirstykite faktorius Raskite funkcijos nepertraukiamumo taškus ir nulius, padėkite juos ant apskritimo. Paimkite bet kurį tašką x0 (bet anksčiau nerasta) ir sužinokite, kaip veikia ženklas. Jei sandauga yra teigiama, už vienetinio apskritimo uždėkite „+“ ant spindulio, atitinkančio kampą. Kitu atveju į apskritimo vidų įdėkite ženklą "-". Jei taškas pasitaiko lyginį skaičių kartų, tai vadiname lyginio daugybos tašku, o jei nelyginį kartų - nelyginio daugybos tašku. Nubrėžkite lankus taip: pradėkite nuo taško x0, jei kitas taškas yra nelyginio daugialypumo, tai lankas kerta apskritimą šiame taške, bet jei taškas yra lyginio daugumo, tada ne. Lankai už apskritimo yra teigiami intervalai ; apskritimo viduje yra neigiamų erdvių. Pavyzdžių sprendimas 1) 2) 3) 4) 5) Pavyzdys 1. Sprendimas. Pirmosios serijos taškai: Antrosios serijos taškai: - - - + + + Atsakymas: 2 pavyzdys. Sprendimas. Pirmosios serijos taškai: Antrosios serijos taškai: trečios serijos taškai: ketvirtosios serijos taškai: lyginio daugumo taškai: + + + + - - - - Atsakymas: 3 pavyzdys. Sprendimas. Iš viso: Pirmos serijos taškai: antrosios serijos taškai: trečiosios serijos taškai: + + + + + + - - - - - - - - Atsakymas. Lyginio daugumo taškai: 4 pavyzdys. Sprendimas. + + + + - - - - Atsakymas. 5 pavyzdys. Sprendimas. 1) 2) Funkcijos nuliai: 3) + - - + - nulių nėra Taigi, ties Atsakymas: Grafiškai: Namų darbas: Išspręskite trigonometrines nelygybes intervalų metodu: a) b) c) d) e) f) g) Papildomos užduotys:

Prikabinti failai

Tema „Trigonometrinės nelygybės“ 10 klasės mokiniams objektyviai sunkiai suvokiama ir suvokiama. Todėl labai svarbu nuosekliai, nuo paprasto iki sudėtingo, ugdyti algoritmo supratimą ir ugdyti stabilius įgūdžius sprendžiant trigonometrines nelygybes.

Straipsnyje pateikiamas paprasčiausių trigonometrinių nelygybių sprendimo algoritmas ir apibendrinama pamoka, kurioje įvaldomi sudėtingesni trigonometrinių nelygybių tipai.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Shchalpegina I.V.

Tema „Trigonometrinės nelygybės“ 10 klasės mokiniams objektyviai sunkiai suvokiama ir suvokiama. Todėl labai svarbu nuosekliai, nuo paprasto iki sudėtingo, ugdyti algoritmo supratimą ir ugdyti stabilius įgūdžius sprendžiant trigonometrines nelygybes.

Sėkmė įsisavinant šią temą priklauso nuo pagrindinių trigonometrinių ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimų ir savybių išmanymo, trigonometrinių formulių išmanymo, gebėjimo spręsti sveikųjų ir trupmeninių racionaliųjų nelygybių bei pagrindinių trigonometrinių lygčių tipų.

Ypatingas dėmesys turėtų būti skiriamas sprendimų mokymo metodui pirmuonys trigonometrinės nelygybės, nes bet kokia trigonometrinė nelygybė redukuojama iki paprasčiausių nelygybių sprendimo.

Pageidautina pristatyti pagrindinę idėją, kaip išspręsti paprastas trigonometrines nelygybes, naudojant sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento grafikus. Ir tik tada išmokti spręsti trigonometrines nelygybes ant apskritimo.

Apsistosiu prie pagrindinių samprotavimo etapų sprendžiant paprasčiausias trigonometrines nelygybes.

1. Apskritime randame taškus, kurių sinusas (kosinusas) lygus duotam skaičiui.
2. Griežtos nelygybės atveju šiuos apskritimo taškus pažymime kaip pradurtus, o negriežtos nelygybės atveju pažymime kaip nuspalvintus.
3. Taškas gulipagrindinis monotonijos intervalassinuso (kosinuso) funkcijos, vadinamos P t1, Kitas punktas - P t2.
4. Išilgai sinuso (kosinuso) ašies pažymime intervalą, kuris tenkina šią nelygybę.
5. Apskritime pasirenkame lanką, atitinkantį šį intervalą.
6. Mes nustatome judėjimo kryptį išilgai lanko (nuo taško P t1 iki taško P t2 išilgai lanko ), nubrėžiame rodyklę judėjimo kryptimi, virš kurios rašome „+“ arba „-“ ženklą, priklausomai nuo judėjimo krypties. (Šis etapas svarbus stebint rastus kampus. Dažną klaidą ieškant intervalo ribų mokiniai gali iliustruoti nelygybės sprendimo pavyzdžiu laiku sinusas arba kosinusas ir aplink perimetrą).
7. Raskite taškų P koordinates t1 (kaip tam tikro skaičiaus arcsinusas arba arkosinusas) ir Р t2 tie. intervalo ribas, kampų radimo teisingumą kontroliuojame lygindami t 1 ir t 2.
8. Atsakymą rašome dvigubos nelygybės (arba tarpo) forma iš mažesnio kampo į didesnį.

Nelygybių su tangentu ir kotangentu sprendimo motyvai yra panašūs.

Sprendimo piešimas ir įrašymas, kuris turėtų atsispindėti mokinių sąsiuviniuose, pateiktas siūlomoje metmenyse.

Pamokos santrauka tema: „Trigonometrinių nelygybių sprendimas“.

Pamokos tikslas – toliau tirti trigonometrinių nelygybių, turinčių sinuso ir kosinuso funkcijas, sprendimo, pereiti nuo paprasčiausių nelygybių prie sudėtingesnių.

Pamokos tikslai:

1. žinių apie trigonometrines formules, trigonometrinių funkcijų lentelių reikšmes, trigonometrinių lygčių šaknų formules įtvirtinimas;
2. ugdyti gebėjimą spręsti paprastas trigonometrines nelygybes;
3. sudėtingesnių trigonometrinių nelygybių sprendimo būdų įsisavinimas;
4. loginio mąstymo, semantinės atminties, savarankiško darbo įgūdžių ugdymas, savęs patikrinimas;
5. ugdyti tikslumą ir aiškumą formuluojant sprendimus, domėjimąsi dalyku, pagarbą klasės draugams.
6. edukacinių, pažintinių, informacinių ir bendravimo kompetencijų formavimas.

Įranga: grafinis projektorius, dalomoji medžiaga su paruoštais trigonometrinių apskritimų piešiniais, nešiojama lenta, kortelės su namų darbais.

Forma mokymų – pamokos organizavimas. Metodai pamokoje naudojamas mokymas – žodinis, vaizdinis, reprodukcinis, problemų paieška, individualus ir frontalus klausinėjimas, savikontrolė žodžiu ir raštu, savarankiškas darbas.

N p/p	Pamokos etapai.
	Kurso organizavimas darbui.
	Namų darbų tikrinimas.	(Sąsiuvinių su namų darbais rinkimas)
	Pamokos tikslo išdėstymas.	Šiandien pamokoje pakartosime paprasčiausių trigonometrinių nelygybių sprendimą ir nagrinėsime sudėtingesnius atvejus.
	Darbas žodžiu.	(Užduotys ir atsakymai užrašomi ant projektoriaus juostos, spręsdamas atsakymus atsidarau) Išspręskite trigonometrines lygtis: sinx = -, 2sinx =, sin2x = , sin(x -) = 0, cosx = , cosx = -, cos2x = 1, tgx = -1. Įvardykite pagrindinius funkcijų sinuso ir kosinuso monotoniškumo intervalus.
	Kartojimas.	Prisiminkime paprasčiausių trigonometrinių nelygybių sprendimo algoritmą. (Ant lentos yra dviejų apskritimų blankai. Skambinu po du mokinius, kad spręstume nelygybes. Mokinys išsamiai paaiškina sprendimo algoritmą. Klasė dirba kartu su atsakančiaisiais prie lentos ant iš anksto paruoštų kortelių su atvaizdu apskritimo). 1) sinx ≥ -; t 1  t 2 ; t1 = arcsin(-) = -; t 2 =  + = ; 2) cosx ≥ -; t 1  t 2; t 1 = arccos(-) =  - arccos = =  - = ; t 2 = - ; 2  n ≤ x ≤ + 2  n, n  Z. Kaip griežtos nelygybės sprendimas paveikia atsakymą? (3) ir 4) du mokiniai sprendžia nelygybes grafinėje juostoje, klasė savarankiškai sprendžia ant kortelių). 3) cosx  ; t 1  t 2 ; t 1 = arckos = ; t 2 = 2  - = ; 4) sinx  ; t 1  t 2; t 1 = arcsin = ; t 2 = -  - = -; 2  n  x  + 2  n, n  Z. Pakeiskite parinktis, paimkite kitos spalvos rašiklį, patikrinkite draugo darbą. (Savikontrolė iš grafinės juostos. Užduotį atliekantis mokinys komentuoja sprendimą. Grąžinus darbą, refleksija). Kaip pasikeičia nelygybės sprendimas, kai argumentas x pakeičiamas 2x, į? (Mokinio darbo vertinimas).
	Nauja medžiaga.	Pereikime prie sudėtingesnių trigonometrinių nelygybių, kurių sprendimas bus sumažintas iki paprasčiausių trigonometrinių nelygybių sprendimo. Pažiūrėkime į pavyzdžius. (Nelygybių sprendimas lentoje, vadovaujant mokytojui). Nr. 1. cos 2 2x – 2cos2x ≥ 0. (Prisiminkime trigonometrinių lygčių sprendimo techniką, bendrąjį koeficientą dedant iš skliaustų). cos2x(cos2x – 2) ≥ 0. Pakeitimas: cos2x = t, ≤ 1; t(t – 2) ≥ 0;Antroji nelygybė netenkina sąlygos ≤ 1. cos2x ≤ 0. (Nelygybę išspręskite patys. Patikrinkite atsakymą). Atsakymas: +  n  x  +  n, n  Z. Nr. 2. 6sin 2 x – 5sinx + 1 ≥ 0. (Prisiminkite trigonometrinių lygčių sprendimo techniką keičiant kintamąjį. Mokinys sprendžia prie lentos su komentarais). Pakaitinis sinx = t, ≤ 1. 6t 2 – 5t +1 ≥ 0,6(t -)(t -), Atsakymas: + 2  n ≤ x ≤ + 2  n, -  -arcinas+ 2  k ≤ x ≤ arcsin+ 2  k, n, k  Z. Nr. 3. sinx + cos2x  1. (Aptariame sprendimo variantus. Prisimename dvigubo kampo kosinuso formulę. Klasė sprendžia savarankiškai, vienas mokinys – individualioje lentoje, po to – patikrinimas). sinx + cos2x - 1  0, sinx - 2sin 2 x  0, sinx (1 - 2 sinx)  0, Atsakymas: 2  n  x  + 2  n, 2  n  x   + 2  n, n  Z. Išanalizuoti situacijas, kai kvadratinės nelygybės sprendimo atsakymas rašomas dviejų nelygybių aibės, o kai – sistemos forma. Ši diagrama yra naudinga: Nr. 4. coscosx - sinsinx  -. (Diskusija. Kiekvienam sprendimo žingsniui prie lentos pakviečiamas po vieną mokinį, pakomentuojami etapai. Dėstytojas patikrina įrašą su vietoje dirbančiais mokiniais). cos(x +)  -, kaina  -. 2  n  t  + 2  n, n  Z, 2  n  x +  + 2  n, n  Z, Atsakymas: 2  n  x  + 2  n, n  Z. Nr. 5. Apibrėžkite viską A , kiekvienam iš kurių nelygybė 4sinx + 3cosx ≤ a turi bent vieną sprendimą. (Prisiminkite trigonometrinės lygties su normalizavimo koeficientu sprendimo algoritmą. Sprendimas užrašomas ant grafinio projektoriaus juostos. Atsiverčiu žingsnis po žingsnio, kaip samprotauju. Diferencijuotas darbas). 4sinx + 3cosx ≤ a , M = = 5. Abi nelygybės puses padalinkite iš 5: sinx + cosx ≤ . Nes () 2 + () 2 = 1, tada yra kampas α, kad cosα = ir sinα = . Ankstesnę nelygybę perrašykime į formą: sin(x + α) ≤ . Paskutinė nelygybė, taigi ir pradinė nelygybė, kiekvienai turi bent vieną sprendimą ir toks ≥ -1, tai yra, kiekvienam a ≥ -5. Atsakymas: a ≥ -5.
	Namų darbai.	(Išdaliju korteles su užrašytais namų darbais. Komentuoju kiekvienos nelygybės sprendimą). cosx  sin 2 x; 4sin2xcos2x  -; cos 2 ≤ sin 2 - 0,5; sinx + cosx  1. Peržiūrėkite trigonometrines sudėjimo formules ir pasiruoškite savarankiškam darbui.
	Apibendrinimas, apmąstymas.	Įvardykite trigonometrinių nelygybių sprendimo būdus. Kaip paprastų trigonometrinių nelygybių sprendimo algoritmo žinios naudojamos sprendžiant sudėtingesnes nelygybes? Kurios nelygybės sukėlė daugiausiai sunkumų? (mokinių darbus vertinu klasėje).

Savarankiškas darbas

remiantis medžiagos įsisavinimo rezultatais.

1 variantas. Išspręskite 1–3 nelygybes: sin3x -  0; cos 2 x + 3cosx  0; coscos2x - sinsin2x ≥ -. Apibrėžkite visus a , kurių kiekvienos nelygybė 12sinx + 5cosx ≤ A turi bent vieną sprendimą.

2 variantas. Išspręskite 1–3 nelygybes: 2cos  1; sin 2 x – 4sinx  0; sincos3x - cossin3x ≤ -. Apibrėžkite visus a , kurių kiekvienos nelygybė 6sinx - 8cosx ≤ A turi bent vieną sprendimą.

PAMOKOS TEMA: Paprastų trigonometrinių nelygybių sprendimas

Pamokos tikslas: parodykite trigonometrinių nelygybių sprendimo, naudojant vienetinį apskritimą, algoritmą.

Pamokos tikslai:

Edukacinis – užtikrinti temos medžiagos kartojimą ir sisteminimą; sudaryti sąlygas žinių ir įgūdžių įgijimo stebėsenai;

Lavinamieji – skatinti formuoti įgūdžius taikyti technikas: lyginimas, apibendrinimas, pagrindinio dalyko nustatymas, žinių perkėlimas į naują situaciją, matematinio akiračio, mąstymo ir kalbos, dėmesio ir atminties ugdymas;

Edukacinis – skatinti domėjimąsi matematika ir jos taikymu, aktyvumą, mobilumą, bendravimo įgūdžius, bendrą kultūrą.

Mokinių žinios ir įgūdžiai:
- žinoti trigonometrinių nelygybių sprendimo algoritmą;

Gebėti spręsti paprastas trigonometrines nelygybes.

Įranga: interaktyvi lenta, pamokos pristatymas, kortelės su savarankiško darbo užduotimis.

UŽSIĖMIMŲ LAIKOTARPIU:
1. Organizacinis momentas(1 minutė)

Kaip pamokos šūkį siūlau Sukhomlinskio žodžius: „Šiandien mes mokomės kartu: aš, jūsų mokytojas ir jūs esate mano mokiniai. Tačiau ateityje mokinys turi pranokti mokytoją, kitaip moksle nebus pažangos“.

2. Sušilti. Diktantas „Tiesa – Netiesa“

3. Kartojimas

Kiekvienam pasirinkimui – užduotis skaidrėje, tęskite kiekvieną įrašą. Veikimo laikas 3 min.

Patikrinkime šį savo darbą naudodami lentoje esančią atsakymų lentelę.

Vertinimo kriterijus:„5“ – visi 9 „+“, „4“ – 8 „+“, „3“ – 6–7 „+“

4. Mokinių žinių atnaujinimas(8 min.)
Šiandien klasėje turime išmokti trigonometrinių nelygybių sampratą ir įvaldyti tokių nelygybių sprendimo įgūdžius.
- Pirmiausia prisiminkime, kas yra vienetinis apskritimas, radianinis kampo matas ir kaip vienetinio apskritimo taško sukimosi kampas yra susijęs su kampo radianiniu mastu. (darbas su pristatymu)

Vieneto ratas yra apskritimas, kurio spindulys yra 1, o centras yra pradžioje.

Kampas, kurį sudaro teigiama ašies OX ir spindulio OA kryptis, vadinamas sukimosi kampu. Svarbu atsiminti, kur yra 0 kampai; 90; 180; 270; 360.

Jei A perkeliama prieš laikrodžio rodyklę, gaunami teigiami kampai.

Jei A perkeliama pagal laikrodžio rodyklę, gaunami neigiami kampai.

сos t – vienetinio apskritimo taško abscisė, sin t – vienetinio apskritimo taško ordinatės, t – sukimosi kampas su koordinatėmis (1;0).
5 . Naujos medžiagos paaiškinimas (17 min.)
Šiandien susipažinsime su paprasčiausiomis trigonometrinėmis nelygybėmis.
Apibrėžimas.
Paprasčiausios trigonometrinės nelygybės yra formos nelygybės:

Vaikinai pasakos, kaip išspręsti tokias nelygybes (mokinių projektų pristatymas su pavyzdžiais). Mokiniai į sąsiuvinius užsirašo apibrėžimus ir pavyzdžius.

Pristatymo metu mokiniai paaiškina nelygybės sprendimą, o mokytojas užbaigia brėžinius lentoje.
Po studentų pristatymo pateikiamas paprastų trigonometrinių nelygybių sprendimo algoritmas. Mokiniai ekrane mato visus nelygybės sprendimo etapus. Tai skatina vizualiai įsiminti tam tikros problemos sprendimo algoritmą.

Trigonometrinių nelygybių sprendimo vieneto apskritimu algoritmas:
1. Ašyje, atitinkančioje nurodytą trigonometrinę funkciją, pažymėkite duotą šios funkcijos skaitinę reikšmę.
2. Per pažymėtą tašką nubrėžkite liniją, kertančią vienetinį apskritimą.
3. Atsižvelgdami į griežtą arba negriežtą nelygybės ženklą, pasirinkite tiesės ir apskritimo susikirtimo taškus.
4. Pasirinkite apskritimo lanką, ant kurio yra nelygybės sprendiniai.
5. Nustatykite kampų vertes apskritimo lanko pradžios ir pabaigos taškuose.
6. Atsižvelgdami į duotosios trigonometrinės funkcijos periodiškumą, užrašykite nelygybės sprendinį.
Norint išspręsti nelygybes su liestine ir kotangentu, naudinga liestinių ir kotangentų linijos sąvoka. Tai yra atitinkamai tiesės x = 1 ir y = 1, liečiančios trigonometrinį apskritimą.
6. Praktinė dalis(12 min.)
Norėdami praktikuotis ir įtvirtinti teorines žinias, atliksime nedideles užduotis. Kiekvienas mokinys gauna užduočių korteles. Išsprendę nelygybes, turite pasirinkti atsakymą ir užrašyti jo numerį.

7. Veiklos refleksija pamokoje
- Koks buvo mūsų tikslas?
- Pavadinkite pamokos temą
– Pavyko panaudoti gerai žinomą algoritmą
- Analizuokite savo darbą klasėje.

8. Namų darbai(2 minutės)

Išspręskite nelygybę:

9. Pamokos santrauka(2 minutės)

Pamoką siūlau baigti Y.A. Komensky žodžiais: „Laikykite nelaimingu tą dieną ar valandą, kai nieko naujo neišmokote ir nieko nepridėjote prie savo išsilavinimo“.

Praktinės pamokos metu kartosime pagrindiniai užduočių tipai iš temos „Trigonometrija“, toliau analizuosime sudėtingesnės užduotys ir apsvarstyti įvairių trigonometrinių nelygybių ir jų sistemų sprendimo pavyzdžiai.

Ši pamoka padės jums pasiruošti atlikti vieną iš užduočių tipų B5, B7, C1 Ir C3.

Pasirengimas vieningam valstybiniam matematikos egzaminui

Eksperimentuokite

11 pamoka. Išnagrinėtos medžiagos konsolidavimas. Trigonometrinės nelygybės. Įvairių padidinto sudėtingumo problemų sprendimas

Praktika

Pamokos santrauka

Trigonometrijos apžvalga

Pradėkime nuo pagrindinių užduočių tipų, kuriuos apžvelgėme temoje „Trigonometrija“, ir išspręskime keletą nestandartinių uždavinių.

Užduotis Nr.1. Kampus paversti radianais ir laipsniais: a) ; b) .

a) Panaudokime formulę laipsnių konvertavimui į radianus

Pakeiskime į jį nurodytą reikšmę.

b) Taikykite radianų konvertavimo į laipsnius formulę

Atlikime pakeitimą .

Atsakymas. A) ; b) .

2 užduotis. Apskaičiuokite: a) ; b) .

a) Kadangi kampas gerokai viršija lentelę, jį sumažinsime atėmę sinuso periodą. Kadangi kampas nurodomas radianais, laikotarpį laikysime kaip .

b) Šiuo atveju situacija panaši. Kadangi kampas nurodomas laipsniais, liestinės laikotarpį laikysime kaip .

Gautas kampas, nors ir mažesnis už periodą, yra didesnis, vadinasi, jis reiškia nebe pagrindinę, o išplėstinę lentelės dalį. Kad dar kartą nelavintume atminties įsimenant išplėstinę trigofunkcinių reikšmių lentelę, dar kartą atimkime liestinės periodą:

Pasinaudojome liestinės funkcijos keistumu.

Atsakymas. a) 1; b) .

Užduotis Nr.3. Apskaičiuoti , Jei.

Visą išraišką sumažinkime iki liestinių, trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalydami iš . Tuo pačiu negalime to bijoti, nes tokiu atveju liestinės vertės nebūtų.

4 užduotis. Supaprastinkite išraišką.

Nurodytos išraiškos konvertuojamos naudojant redukcijos formules. Jie tiesiog neįprastai parašyti naudojant laipsnius. Pirmoji išraiška paprastai reiškia skaičių. Supaprastinkime visas trigofunkcijas po vieną:

Kadangi , funkcija pasikeičia į kofunkciją, t. y. į kotangentą, o kampas patenka į antrąjį ketvirtį, kuriame pradinė liestinė turi neigiamą ženklą.

Dėl tų pačių priežasčių, kaip ir ankstesnėje išraiškoje, funkcija pasikeičia į kofunkciją, t.y. į kotangentą, o kampas patenka į pirmąjį ketvirtį, kuriame pradinė liestinė turi teigiamą ženklą.

Viską pakeiskime supaprastinta išraiška:

5 problema. Supaprastinkite išraišką.

Parašykime dvigubo kampo liestinę naudodami atitinkamą formulę ir supaprastinkime išraišką:

Paskutinė tapatybė yra viena iš universalių kosinuso pakeitimo formulių.

6 problema. Apskaičiuoti.

Svarbiausia nepadaryti standartinės klaidos nepateikti atsakymo, kad išraiška lygi . Negalite naudoti pagrindinės arktangento savybės tol, kol šalia yra koeficientas du. Norėdami to atsikratyti, parašysime išraišką pagal dvigubo kampo liestinės formulę, laikant , kaip įprastą argumentą.

Dabar galime pritaikyti pagrindinę arktangento savybę; atminkite, kad jo skaitiniam rezultatui nėra jokių apribojimų.

Problema Nr.7. Išspręskite lygtį.

Sprendžiant trupmeninę lygtį, kuri lygi nuliui, visada nurodoma, kad skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis – ne, nes negalima dalyti iš nulio.

Pirmoji lygtis yra ypatingas paprasčiausios lygties atvejis, kurį galima išspręsti naudojant trigonometrinį apskritimą. Prisiminkite šį sprendimą patys. Antroji nelygybė išspręsta kaip paprasčiausia lygtis, naudojant bendrą liestinės šaknų formulę, bet tik su nelygiu ženklu.

Kaip matome, viena šaknų šeima išskiria kitą lygiai tokio paties tipo šaknų šeimą, kuri neatitinka lygties. Tai yra, nėra šaknų.

Atsakymas. Nėra šaknų.

Problema Nr.8. Išspręskite lygtį.

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad galime išimti bendrą veiksnį ir padarykime tai:

Lygtis buvo sumažinta iki vienos iš standartinių formų, kur kelių veiksnių sandauga lygi nuliui. Jau žinome, kad šiuo atveju arba vienas iš jų yra lygus nuliui, arba kitas, arba trečias. Parašykime tai lygčių rinkinio forma:

Pirmosios dvi lygtys yra ypatingi pačių paprasčiausių atvejai, su panašiomis lygtimis jau esame susidūrę ne kartą, todėl iš karto nurodysime jų sprendinius. Trečiąją lygtį sumažiname iki vienos funkcijos, naudodami dvigubo kampo sinuso formulę.

Paskutinę lygtį išspręskime atskirai:

Ši lygtis neturi šaknų, nes sinuso reikšmė negali viršyti .

Taigi sprendimas yra tik pirmosios dvi šaknų šeimos, jas galima sujungti į vieną, kurią lengva parodyti trigonometriniame apskritime:

Tai visų pusių šeima, t.y.

Trigonometrinės nelygybės

Pereikime prie trigonometrinių nelygybių sprendimo. Pirmiausia išanalizuosime pavyzdžio sprendimo būdą nenaudodami bendrųjų sprendinių formulių, o naudodami trigonometrinį apskritimą.

Problema Nr.9. Išspręskite nelygybę.

Ant trigonometrinio apskritimo nubrėžkime pagalbinę liniją, atitinkančią sinuso reikšmę, lygią , ir parodykime kampų diapazoną, kuris tenkina nelygybę.

Labai svarbu tiksliai suprasti, kaip nurodyti gautą kampų intervalą, t.y. kas yra jo pradžia ir kokia jo pabaiga. Intervalo pradžia bus kampas, atitinkantis tašką, kurį įvesime pačioje intervalo pradžioje, jei judėsime prieš laikrodžio rodyklę. Mūsų atveju tai yra taškas, kuris yra kairėje, nes judant prieš laikrodžio rodyklę ir praeinant dešinįjį tašką, priešingai, paliekame reikiamą kampų diapazoną. Todėl tinkamas taškas atitiks tarpo pabaigą.

Dabar turime suprasti mūsų nelygybės sprendimų intervalo pradžios ir pabaigos kampus. Tipiška klaida – iš karto nurodyti, kad dešinysis taškas atitinka kampą, kairysis – ir pateikti atsakymą. Tai netiesa! Atkreipkite dėmesį, kad mes ką tik nurodėme intervalą, atitinkantį viršutinę apskritimo dalį, nors mus domina apatinė dalis, kitaip tariant, sumaišėme mums reikalingo sprendimo intervalo pradžią ir pabaigą.

Kad intervalas prasidėtų nuo dešiniojo taško kampo ir baigtųsi kairiojo taško kampu, būtina, kad pirmasis nurodytas kampas būtų mažesnis už antrąjį. Norėdami tai padaryti, turėsime išmatuoti dešiniojo taško kampą neigiama atskaitos kryptimi, ty pagal laikrodžio rodyklę ir jis bus lygus . Tada, pradėdami nuo jo judėti teigiama kryptimi pagal laikrodžio rodyklę, po kairiojo taško pateksime į dešinįjį tašką ir gausime jo kampo reikšmę. Dabar kampų intervalo pradžia yra mažesnė už pabaigą, o sprendinių intervalą galime parašyti neatsižvelgdami į laikotarpį:

Atsižvelgiant į tai, kad tokie intervalai bus kartojami be galo daug kartų po bet kurio sveikojo skaičiaus apsisukimų, gauname bendrą sprendimą, atsižvelgiant į sinuso periodą:

Dedame skliaustus, nes nelygybė yra griežta, ir išrenkame apskritimo taškus, kurie atitinka intervalo galus.

Palyginkite gautą atsakymą su bendro sprendimo formule, kurią pateikėme paskaitoje.

Atsakymas. .

Šis metodas yra geras norint suprasti, iš kur kyla paprasčiausių trikampių nelygybių bendrųjų sprendinių formulės. Be to, tingintiems pravartu išmokti visas šias keblias formules. Tačiau pats metodas taip pat nėra lengvas, rinkitės, koks požiūris į sprendimą jums patogiausias.

Norėdami išspręsti trigonometrines nelygybes, taip pat galite naudoti funkcijų grafikus, ant kurių yra sudaryta pagalbinė linija, panašiai kaip parodyta naudojant vienetinį apskritimą. Jei jus domina, pabandykite patys išsiaiškinti šį požiūrį į sprendimą. Toliau mes naudosime bendrąsias formules, kad išspręstume paprastas trigonometrines nelygybes.

10 problema. Išspręskite nelygybę.

Naudokime bendro sprendimo formulę, atsižvelgdami į tai, kad nelygybė nėra griežta:

Mūsų atveju gauname:

Atsakymas.

Problema Nr.11. Išspręskite nelygybę.

Atitinkamai griežtai nelygybei panaudokime bendrą sprendimo formulę:

Atsakymas. .

12 problema. Išspręskite nelygybes: a) ; b) .

Šiose nelygybėse nereikia skubėti naudoti bendrųjų sprendinių ar trigonometrinio apskritimo formules, pakanka tiesiog prisiminti sinuso ir kosinuso reikšmių diapazoną.

a) Nuo tada , tada nelygybė neturi prasmės. Todėl sprendimų nėra.

b) Kadangi panašiai bet kurio argumento sinusas visada tenkina sąlygoje nurodytą nelygybę. Todėl visos tikrosios argumento vertės tenkina nelygybę.

Atsakymas. a) sprendimų nėra; b) .

13 problema. Išspręskite nelygybę .

Ši paprasčiausia nelygybė su sudėtingu argumentu išsprendžiama panašiai kaip ir panaši lygtis. Pirmiausia randame viso skliausteliuose nurodyto argumento sprendimą, o tada paverčiame jį forma „“, dirbdami su abiem intervalo galais, kaip ir su dešine lygties puse.