Модел на урока по темата:
"Решаване на тригонометрични уравнения и неравенства"
като част от реализацията на регионалния компонент по математика
за ученици от 10 клас.
Помикалова
Елена Викторовна
учител по математика
Общинска образователна институция средно училище село Восход
Балашовски район
Саратовска област
Целта на урока.
1. Обобщете теоретичните знания по темата: „Решаване на тригонометрични уравнения и неравенства“, повторете основните методи за решаване на тригонометрични уравнения и неравенства.
2. Развийте качествата на мисленето: гъвкавост, фокус, рационалност. Организирайте работата на учениците по определената тема на ниво, съответстващо на нивото на вече формирани знания.
3. Култивирайте точността на бележките, културата на речта и независимостта.
Тип урок: урок за обобщаване и систематизиране на знанията, придобити по време на изучаването на тази тема.
Методи на обучение: системно обобщение, тестова проверка на нивото на знанията, решаване на задачи за обобщение.
Форми на организация на урока: челен, индивидуален.
Оборудване: компютър , мултимедиен проектор, листове за отговори, карти със задачи, таблица с формули за корени на тригонометрични уравнения.
По време на часовете.
аз . Начало на урока
Учителят информира учениците за темата на урока, целта и привлича вниманието на учениците към раздавателните материали.
II . Контрол на знанията на учениците
1) Устна работа (Задачата се прожектира на екрана)
Изчисли:
А) ;
б) ;
V) ;
G) ;
д) ;
д) .
2) Фронтално анкетиране на учениците.
Какви уравнения се наричат тригонометрични?
Какви видове тригонометрични уравнения познавате?
Кои уравнения се наричат най-простите тригонометрични уравнения?
Какви уравнения се наричат хомогенни?
Какви уравнения се наричат квадратни?
Кои уравнения се наричат нееднородни?
Какви методи за решаване на тригонометрични уравнения знаете?
След като учениците отговорят, на екрана се проектират някои начини за решаване на тригонометрични уравнения.
Въвеждане на нова променлива:
№1 . 2sin²x – 5sinx + 2 = 0.№2. tg + 3ctg = 4.
Позволявам sinx = t, |t|≤1,Позволявам tg = z,
Ние имаме: 2 T² – 5 T + 2 = 0. Ние имаме: z + = 4.
2. Факторизация :
2 sinxcos 5 х – cos 5 х = 0;
cos5x (2sinx – 1) = 0.
Ние имаме : cos5x = 0,
2sinx – 1 = 0; ...
3. Хомогенни тригонометрични уравнения:
азстепени IIстепени
a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0.
Разделете на cosx≠ 0. 1) ако a ≠ 0, разделете наcos² х ≠ 0
Ние имаме : a tgx + b = 0; ...ние имаме : a tg²x + b tgx + c = 0.
2) ако a = 0, тогава
ние имаме: bsinxcosx + ° Сcos² х =0;…
4. Нехомогенни тригонометрични уравнения:
Уравнения от вида: асинкс + bcosx = ° С
4 sinx + 3 cosx = 5.
(Покажете два начина)
1) използване на универсално заместване:
sinx = (2 tgх/2) / (1 + tg 2 х/2);
cosx = (1– tg 2 х/2) / (1 + tg 2 х/2);
2) въвеждане на спомагателен аргумент:
4 sinx + 3 cosx = 5
Разделете двете страни на 5:
4/5 sinx + 3/5 cosx = 1
Тъй като (4/5) 2 + (3/5) 2 = 1, тогава нека 4/5 = sinφ; 3/5= cosφ, където 0< φ < π /2, тогава
sinφsinx + cosφcosx = 1
cos(х – φ ) = 1
х – φ = 2 πn, н € З
х = 2 πn + φ , н € З
φ = arccos 3/5 означава х = аркос 3/5 +2 πn, н € З
Отговор: arccos 3/5 + 2 πn, н € З
3) Решаване на уравнения чрез формули за намаляване на степента.
4) Приложение на формули с двоен и троен аргумент.
а) 2sin4xcos2x = 4cos 3 2x – 3cos2x
cos6x +cos2x = cos6x
III . Изпълнение на тестова задача
Учителят моли учениците да приложат току-що формулираните теоретични факти за решаване на уравнения.
Задачата се изпълнява под формата на тест. Учениците попълват формуляра за отговори, който се намира на бюрата им.
Задачата се прожектира на екрана.
Предложете начин за решаване на това тригонометрично уравнение:
1) редуциране на квадрат;
2) свеждане до хомогенност;
3) факторизация;
4) намаляване на степента;
5) преобразуване на сумата от тригонометрични функции в продукт.
Форма за отговор.
опция аз
Уравнението
Решения
3 sin²x + cos²x = 1 - sinx cosx
4 ко s²x- cosx– 1 = 0
2 sin² х / 2 +cosx=1
cosx + cos3x = 0
2 sinx cos5x – cos5x = 0
опция II
Уравнението
Решения
2sinxcosx – sinx = 0
3 cos²x - cos2x = 1
6 sin²x + 4 sinx cosx = 1
4 sin²x + 11 sin²x = 3
sin3x = sin17x
Отговори:
опция азопция II
IV . Повтаряне на формули за решаване на уравнения
Формули за корени на тригонометрични уравнения.
са често срещани
Частно
Уравнението
Коренна формула
Уравнението
Коренна формула
1. sinx = a, |a|≤1
x = (-1) н arcsin a + πk,
кє З
1. sinx = 0
x = πk, kє З
2. cosx = a, |a|≤1
x = ±arccos a + 2πk,
кє З
2. sinx = 1
x = + 2πk, к є З
3. tg x = a
x = arctan a + πk, kє З
3. sinx = –1
x = – + 2πk, к є З
4.ctg x = a
x = arcctg a + πk,kє З
4. cosx = 0
x = + πk, к є З
5. cosx = 1
x = 2πk, к є З
6. cosx = –1
x = π + 2πk, к є З
Устна работа по решаване на прости тригонометрични уравнения
Учителят моли учениците да приложат току-що формулираните теоретични факти за решаване на уравнения. На екрана се прожектира тренажор за устна работа по темата: „Тригонометрични уравнения“.
Решете уравнения.
гряхх = 0
cosх = 1
тен x = 0
ctg x = 1
грях x = - 1 / 2
sin x = 1
cos x = 1 / 2
грях x = - √3 / 2
cos x = √2 / 2
грях x = √2 / 2
cos x = √3 / 2
тен x = √3
грях x = 1 / 2
sin x = -1
cos x = - 1 / 2
грях x = √3 / 2
тен x = -√3
ctg x = √3 / 3
тен x = - √3 / 3
детско легло x = -√3
cos x – 1 =0
2 sin x – 1 =0
2ctg x + √3 = 0
V . Решаване на примери.
Карти със задачи се раздават на всеки чин, една е на бюрото на учителя за учениците, идващи на дъската.
№1. Намерете средноаритметичната стойност на всички корени на уравнението , отговарящи на условието ;
Решение.
Нека намерим средноаритметичното на всички корени на дадено уравнение от интервала .
.
Отговор: а) .
№2 . Решете неравенството .
Решение.
,
,
.
Отговор: 
№3. Решете уравнението .
(Определете съвместно метод за решаване на проблема)
Решение.
Нека оценим дясната и лявата страна на последното равенство.
Следователно равенството е в сила тогава и само ако е в сила системата
Отговор: 0,5
VI . Самостоятелна работа
Учителят дава задачи за самостоятелна работа. Картите се подготвят според нивата на трудност.
По-подготвените ученици могат да получат карти със задачи с повишено ниво на сложност.
Учителят раздаде на учениците от 2-ра група карти със задачи от основно ниво на сложност.
За учениците от 3-та група учителят състави карти със задачи с основно ниво на сложност, но това по правило са ученици с лоша математическа подготовка, те могат да изпълняват задачи под наблюдението на учителя.
Заедно със задачите учениците получават формуляри за изпълнение на задачите.
1 група
Вариант №1 (1)
1. Решете уравнението
2. Решете уравнението .
Вариант №2 (1)
1. Решете уравнението .
2. Решете уравнението .
2-ра група
Вариант №1 (2)
1. Решете уравнението .
2. Решете уравнението .
За да видите презентацията със снимки, дизайн и слайдове, изтеглете неговия файл и го отворете в PowerPointна вашия компютър.
Текстово съдържание на презентационни слайдове: Решаване на тригонометрични неравенства по метода на интервалите 10 А клас Учител: Ускова Н.Н. MBOU Lyceum № 60 Цели на урока: Образователни: разширяване и задълбочаване на знанията по темата „Метод на интервалите“; придобиване на практически умения за изпълнение на задачи по интервалния метод; повишаване на нивото на математическа подготовка на учениците; Развитие: развитие на изследователски умения; Образователни: формиране на наблюдателност, независимост, способност за взаимодействие с други хора, възпитаване на култура на мислене, култура реч, интерес към учебния предмет. Ход на урока Проверка на домашната Самостоятелна работа Обяснение на нов материал по темата „Решаване на тригонометрични неравенства по интервалния метод“: алгоритъм за решение; примери за неравенства. Обобщение на урока. Домашна работа. Проверка на домашна работа Решаване на неравенства: Самостоятелна работа Допълнително: 1) 2) Проверка на домашна работа Решаване на неравенства: а) Реш. Отговор: б) Решение. Отговор: в) Решение. Отговор: г) Решение. Отговор: . Решете неравенство Решение. Отговор: Пример 1. Решете неравенство с помощта на интервалния метод Решение. 1) 2) Нули на функцията: 3) Знаци на функцията върху интервали: + - + - + 4) Тъй като неравенството не е строго, корените са включени 5) Решение: Отговор: Пример 2. Решете неравенството: Решение . Отговор: Метод I: Метод II: Отговор: Решаване на тригонометрични неравенства с помощта на интервалния метод Алгоритъм: Използвайки тригонометрични формули, разложете на множители Намерете точките на прекъсване и нули на функцията, поставете ги върху окръжността Вземете произволна точка x0 (но ненамерена преди това) и разберете, че знакът работи. Ако произведението е положително, тогава поставете „+“ зад единичния кръг на лъча, съответстващ на ъгъла. В противен случай поставете знак "-" вътре в кръга. Ако точка се среща четен брой пъти, ние я наричаме точка с четна кратност, ако нечетен брой пъти, ние я наричаме точка с нечетна кратност. Начертайте дъги по следния начин: започнете от точка x0, ако следващата точка е с нечетна множественост, тогава дъгата пресича окръжността в тази точка, но ако точката е с четна множественост, тогава не е. Дъгите извън окръжността са положителни интервали ; вътре в кръга има отрицателни интервали. Решение на примери 1) 2) 3) 4) 5) Пример 1. Решение. Точки от първа серия: Точки от втора серия: - - - + + + Отговор: Пример 2. Решение. Точки от първа серия: Точки от втора серия: Точки от трета серия: Точки от четвърта серия: Точки с четна кратност: + + + + - - - - Отговор: Пример 3. Решение. Общо: Точки от първа серия: Точки от втора серия: Точки от трета серия: + + + + + + - - - - - - - - Отговор. Точки с четна кратност: Пример 4. Решение. + + + + - - - - Отговор. Пример 5. Решение. 1) 2) Нули на функцията: 3) + - - + - няма нули И така, при Отговор: Графично: Домашна работа: Решете тригонометрични неравенства по метода на интервалите: а) б) в) г) д) е) ж) Допълнителни задачи:
Прикачени файлове
Темата „Тригонометрични неравенства” е обективно трудна за възприемане и осмисляне от учениците в 10 клас. Ето защо е много важно последователно, от просто към сложно, да се развие разбиране на алгоритъма и да се развие стабилно умение за решаване на тригонометрични неравенства.
В статията е представен алгоритъм за решаване на най-прости тригонометрични неравенства и е дадено обобщение на урок, в който се усвояват по-сложни видове тригонометрични неравенства.
Изтегли:
Преглед:
Шчалпегина И.В.
Темата „Тригонометрични неравенства” е обективно трудна за възприемане и осмисляне от учениците в 10 клас. Ето защо е много важно последователно, от просто към сложно, да се развие разбиране на алгоритъма и да се развие стабилно умение за решаване на тригонометрични неравенства.
Успехът в усвояването на тази тема зависи от познаването на основните дефиниции и свойства на тригонометрични и обратни тригонометрични функции, познаване на тригонометрични формули, умение за решаване на цели и дробни рационални неравенства и основните видове тригонометрични уравнения.
Особено внимание трябва да се постави върху метода на преподаване на решенияпротозои тригонометрични неравенства, т.к всяко тригонометрично неравенство се свежда до решаване на най-простите неравенства.
За предпочитане е да се въведе основната идея за решаване на прости тригонометрични неравенства с помощта на графики на синус, косинус, тангенс и котангенс. И едва тогава се научете да решавате тригонометрични неравенства върху окръжност.
Ще се спра на основните етапи на разсъжденията при решаването на най-простите тригонометрични неравенства.
- На окръжността намираме точки, чийто синус (косинус) е равен на даденото число.
- В случай на строго неравенство, маркираме тези точки на окръжността като пунктирани, в случай на нестрого неравенство, ние ги маркираме като защриховани.
- Точката, лежаща върхуосновният интервал на монотонностсинусови (косинусови) функции, наречени P t1, друга точка - П t2.
- Отбелязваме по синусовата (косинусовата) ос интервала, който удовлетворява това неравенство.
- Избираме дъга върху окръжността, съответстваща на този интервал.
- Определяме посоката на движение по дъгата (от точка P t1 до точка P t2 по дъга ), рисуваме стрелка по посока на движението, над която пишем знак „+“ или „-“ в зависимост от посоката на движение. (Този етап е важен за наблюдение на намерените ъгли. Учениците могат да илюстрират често срещаната грешка при намиране на границите на интервал, като използват примера за решаване на неравенствотонавреме синус или косинус иоколо обиколката).
- Намиране на координатите на точки P t1 (като аркуссинус или аркосинус на дадено число)и Р t2 тези. границите на интервала, ние контролираме правилността на намирането на ъглите чрез сравняване на t 1 и t 2.
- Записваме отговора под формата на двойно неравенство (или пропуск) от по-малкия ъгъл към по-големия.
Причината за решаване на неравенства с тангенс и котангенс е подобна.
Чертежът и записът на решението, което трябва да се отрази в ученическите тетрадки, са дадени в предложения конспект.
Обобщение на урока по темата: „Решаване на тригонометрични неравенства“.
Цел на урока – продължават да изучават решението на тригонометрични неравенства, съдържащи функциите синус и косинус, преминават от най-простите неравенства към по-сложни.
Цели на урока:
- консолидиране на знанията за тригонометрични формули, таблични стойности на тригонометрични функции, формули за корените на тригонометрични уравнения;
- развиване на умение за решаване на прости тригонометрични неравенства;
- усвояване на техники за решаване на по-сложни тригонометрични неравенства;
- развитие на логическо мислене, семантична памет, умения за самостоятелна работа, самопроверка;
- насърчаване на точност и яснота при формулирането на решения, интерес към темата, уважение към съучениците.
- формиране на образователни, когнитивни, информационни и комуникационни компетентности.
Оборудване: графопроектор, раздатъчни карти с готови чертежи на тригонометрични окръжности, преносима дъска, карти с домашна работа.
форма организация на обучението – уч.Методи обучение, използвано в урока - словесно, нагледно, репродуктивно, проблемно-търсещо, индивидуално и фронтално анкетиране, устен и писмен самоконтрол, самостоятелна работа.
N p/p | Етапи на урока. | |||||||||
Организиране на час за работа. | ||||||||||
Проверка на домашните. | (Събиране на тетрадки с домашни) |
|||||||||
Изявление на целта на урока. | Днес в урока ще повторим решението на най-простите тригонометрични неравенства и ще разгледаме по-сложни случаи. |
|||||||||
Устна работа. | (Задачите и отговорите са записани на лента на шрайбпроектор, отварям отговорите докато ги решавам)
sinx = -, 2sinx =, sin2x =, sin(x -) = 0, cosx =, cosx = -, cos2x = 1, tgx = -1.
|
|||||||||
Повторение. | Нека си припомним алгоритъма за решаване на най-простите тригонометрични неравенства. (На дъската има заготовки от два кръга. Извиквам двама ученика един по един да решават неравенства. Ученикът обяснява подробно алгоритъма за решаване. Класът работи заедно с отговарящите на дъската върху предварително подготвени карти с изображението от кръг).
Как решението на строгото неравенство влияе на отговора? (3) и 4) двама ученици решават неравенства на лента на шрайбпроектор, класът ги решава самостоятелно на карти).
Разменете опциите, вземете химикалка с различен цвят, проверете работата на приятеля си. (Самопроверка от лента на шрайбпроектор. Ученикът, който изпълнява задачата, коментира решението. След връщане на работата, размисъл). Как се променя решението на неравенството, когато аргументът x се замени с 2x, с? (Оценяване на работата на учениците). |
|||||||||
Нов материал. | Нека да преминем към по-сложни тригонометрични неравенства, чието решение ще се сведе до решаване на най-простите тригонометрични неравенства. Нека да разгледаме примерите. (Решаване на неравенства на дъската под ръководството на учителя). номер 1. cos 2 2x – 2cos2x ≥ 0. (Нека си припомним техниката за решаване на тригонометрични уравнения чрез поставяне на общия множител извън скоби). cos2x(cos2x – 2) ≥ 0. Заместване: cos2x = t, ≤ 1; t(t – 2) ≥ 0;Второто неравенство не удовлетворява условието ≤ 1. cos2x ≤ 0. (Решете неравенството сами. Проверете отговора). Отговор: + n x + n, n Z. номер 2. 6sin 2 x – 5sinx + 1 ≥ 0. (Запомнете техниката за решаване на тригонометрични уравнения чрез промяна на променлива. Ученикът го решава на дъската с коментари). Замяна sinx = t, ≤ 1. 6t 2 – 5t +1 ≥ 0,6(t -)(t -), Отговор: + 2 n ≤ x ≤ + 2 n, - -arcsin+ 2 k ≤ x ≤ arcsin+ 2 k, n, k Z. номер 3. sinx + cos2x 1. (Обсъждаме вариантите за решение. Припомняме формулата за косинус на двоен ъгъл. Класът решава самостоятелно, един ученик – на индивидуална дъска, следва проверка). sinx + cos2x - 1 0, sinx – 2sin 2 x 0, sinx(1 - 2 sinx) 0,
Анализирайте ситуации, когато отговорът за решаване на квадратно неравенство е записан под формата на набор от две неравенства и когато - под формата на система. Следната диаграма е полезна: номер 4. coscosx - sinsinx -. (Беседа. За всяка стъпка от решението се извиква по един ученик на дъската, етапите се коментират. Учителят проверява записа с учениците, работещи на място). cos(x +) -, цена -.
номер 5. Дефинирайте всичкоА , за всяко от които неравенството 4sinx + 3cosx ≤ a има поне едно решение. (Запомнете алгоритъма за решаване на тригонометрично уравнение с нормализиращ коефициент. Решението е записано на лента на шрайбпроектор. Отварям го стъпка по стъпка, докато разсъждавам. Диференцирана работа). 4sinx + 3cosx ≤ a , M = = 5. Разделете двете страни на неравенството на 5: sinx + cosx ≤ . защото () 2 + () 2 = 1, тогава има ъгъл α, такъв че cosα = и sinα = . Нека пренапишем предишното неравенство във формата: sin(x + α) ≤ . Последното неравенство и следователно първоначалното неравенство имат поне едно решение за всякои такова нещо ≥ -1, тоест за всеки a ≥ -5. Отговор: a ≥ -5. |
|||||||||
Домашна работа. | (Раздавам карти с написани домашни. Коментирам решението на всяко неравенство).
Преглед на тригонометрични формули за събиране и подготовка за самостоятелна работа. |
|||||||||
Обобщаване, размисъл. | Назовете методи за решаване на тригонометрични неравенства. Как знанията за алгоритъм за решаване на прости тригонометрични неравенства се използват при решаването на по-сложни неравенства? Кои неравенства предизвикаха най-много трудности? (Оценявам работата на учениците в час). |
Самостоятелна работа
въз основа на резултатите от усвояването на материала.
Опция 1. Решете неравенства 1 – 3:
| Вариант 2. Решете неравенства 1 – 3:
|
ТЕМА НА УРОКА: Решаване на прости тригонометрични неравенства
Целта на урока:показват алгоритъм за решаване на тригонометрични неравенства с помощта на единичната окръжност.
Цели на урока:
Образователни – осигуряват повторение и систематизиране на материала по темата; създават условия за контрол върху усвояването на знания и умения;
Развитие - да се насърчи формирането на умения за прилагане на техники: сравнение, обобщение, идентифициране на основното, прехвърляне на знания в нова ситуация, развитие на математически хоризонти, мислене и реч, внимание и памет;
Образователни – за насърчаване на интерес към математиката и нейните приложения, активност, мобилност, комуникативни умения и обща култура.
Знания и умения на учениците:
- познават алгоритъма за решаване на тригонометрични неравенства;
Да може да решава прости тригонометрични неравенства.
Оборудване:интерактивна дъска, презентация на урока, карти със задачи за самостоятелна работа.
ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА:
1. Организационен момент(1 минута)
Предлагам думите на Сухомлински като мото на урока: „Днес ние учим заедно: аз, вашият учител и вие сте моите ученици. Но в бъдеще ученикът трябва да надмине учителя, иначе няма да има напредък в науката.”
2. Загрейте.Диктовка "Вярно - невярно"
3. Повторение
За всяка опция - задача на слайда, продължете всеки запис. Времетраене 3 мин.
Нека проверим тази наша работа, като използваме таблицата с отговори на дъската.
Критерий за оценка:“5” - всички 9 “+”, “4” - 8 “+”, “3” - 6-7 “+”
4. Актуализиране на знанията на учениците(8 минути)
Днес в клас трябва да научим понятието тригонометрични неравенства и да овладеем уменията за решаване на такива неравенства.
– Нека първо си припомним какво е единична окръжност, радианова мярка на ъгъл и как ъгълът на завъртане на точка от единична окръжност е свързан с радианова мярка на ъгъл. (работа с презентация)
Единична окръжносте окръжност с радиус 1 и център в началото.
Ъгълът, образуван от положителната посока на оста OX и лъча OA, се нарича ъгъл на завъртане. Важно е да запомните къде са нулевите ъгли; 90; 180; 270; 360.
Ако A се премести обратно на часовниковата стрелка, се получават положителни ъгли.
Ако A се премести по посока на часовниковата стрелка, се получават отрицателни ъгли.
сos t е абсцисата на точка от единичната окръжност, sin t е ординатата на точка от единичната окръжност, t е ъгълът на завъртане с координати (1;0).
5. Обяснение на нов материал (17 мин.)
Днес ще се запознаем с най-простите тригонометрични неравенства.
Определение.
Най-простите тригонометрични неравенства са неравенства от формата:
Момчетата ще ни кажат как да решаваме такива неравенства (представяне на проекти от ученици с примери). Учениците записват определения и примери в тетрадките си.
По време на презентацията учениците обясняват решението на неравенството, а учителят допълва чертежите на дъската.
След презентацията на учениците е даден алгоритъм за решаване на прости тригонометрични неравенства. Учениците виждат на екрана всички етапи на решаване на неравенство. Това насърчава визуалното запаметяване на алгоритъма за решаване на даден проблем.
Алгоритъм за решаване на тригонометрични неравенства с единична окръжност:
1. На оста, съответстваща на дадена тригонометрична функция, отбележете дадената числена стойност на тази функция.
2. Начертайте линия през маркираната точка, пресичаща единичната окръжност.
3. Изберете точките на пресичане на линията и окръжността, като вземете предвид строгия или нестрогия знак за неравенство.
4. Изберете дъгата на окръжността, на която са разположени решенията на неравенството.
5. Определете стойностите на ъглите в началната и крайната точка на кръговата дъга.
6. Запишете решението на неравенството, като вземете предвид периодичността на дадената тригонометрична функция.
За решаване на неравенства с тангенс и котангенс е полезна концепцията за линия от тангенси и котангенси. Това са правите x = 1 и y = 1, съответно, допирателни към тригонометричната окръжност.
6. Практическа част(12 минути)
За да практикуваме и консолидираме теоретичните знания, ще изпълняваме малки задачи. Всеки ученик получава карти със задачи. След като решите неравенствата, трябва да изберете отговор и да запишете номера му.
7. Рефлексия върху дейности в урока
- Каква беше нашата цел?
- Назовете темата на урока
- Успяхме да използваме добре познат алгоритъм
- Анализирайте работата си в клас.
8. Домашна работа(2 минути)
Решете неравенството:
9. Обобщение на урока(2 минути)
Предлагам да завърша урока с думите на Y.A. Komensky: „Смятайте за нещастен този ден или този час, в който не сте научили нищо ново и не сте добавили нищо към своето образование.“
По време на практическото занятие ще повторим основни типове задачи от темата “Тригонометрия”, ще анализираме допълнително задачи с повишена сложности помислете примери за решаване на различни тригонометрични неравенства и техните системи.
Този урок ще ви помогне да се подготвите за един от видовете задачи B5, B7, C1И C3.
Подготовка за Единния държавен изпит по математика
Експериментирайте
Урок 11. Затвърдяване на преминатия материал. Тригонометрични неравенства. Решаване на различни проблеми с повишена сложност
Практикувайте
Обобщение на урока
Тригонометричен преглед
Нека започнем с преглед на основните типове задачи, които разгледахме в темата "Тригонометрия" и решим няколко нестандартни задачи.
Задача No1. Преобразувайте ъглите в радиани и градуси: а) ; б) .
а) Нека използваме формулата за преобразуване на градуси в радиани
Нека заместим посочената стойност в него.
б) Приложете формулата за преобразуване на радиани в градуси
Нека извършим замяната 
.
Отговор. А) ; б) .
Задача No2. Пресметнете: а) ; б) .
а) Тъй като ъгълът е далеч извън таблицата, ще го намалим, като извадим периода на синуса. Тъй като ъгълът е посочен в радиани, ще считаме периода като .
б) В този случай ситуацията е подобна. Тъй като ъгълът е посочен в градуси, ще считаме периода на допирателната като .
Полученият ъгъл, макар и по-малък от периода, е по-голям, което означава, че вече не се отнася за основната, а за разширената част на таблицата. За да не тренирате отново паметта си, като запомняте разширената таблица със стойности на тригофункцията, нека отново извадим периода на тангенса:
Възползвахме се от странността на функцията тангенс.
Отговор. а) 1; б) .
Задача No3. Изчисли 
, Ако .
Нека намалим целия израз до тангенси, като разделим числителя и знаменателя на дробта на . В същото време не можем да се страхуваме от това, тъй като в този случай стойността на допирателната няма да съществува.
Задача No4. Опростете израза.
Посочените изрази се преобразуват с помощта на редукционни формули. Те просто са необичайно написани с помощта на степени. Първият израз обикновено представлява число. Нека опростим всички тригофункции една по една:
Тъй като , функцията се променя на кофункция, т.е. на котангенс, и ъгълът попада във втората четвърт, в която първоначалният тангенс има отрицателен знак.
Поради същите причини, както в предишния израз, функцията се променя на кофункция, т.е. на котангенс, и ъгълът попада в първата четвърт, в която първоначалният тангенс има положителен знак.
Нека заместим всичко в опростен израз:
Проблем №5. Опростете израза.
Нека запишем тангенса на двойния ъгъл с помощта на подходящата формула и опростим израза:
Последното тъждество е една от универсалните формули за заместване на косинуса.
Проблем №6. Изчисли.
Основното нещо е да не правите стандартната грешка да не давате отговора, че изразът е равен на . Не можете да използвате основното свойство на арктангенса, докато има коефициент под формата на две до него. За да се отървем от него, ще напишем израза според формулата за тангенс на двоен ъгъл, като третираме , като обикновен аргумент.
Сега можем да приложим основното свойство на арктангенса; не забравяйте, че няма ограничения за числения му резултат.
Проблем No7. Решете уравнението.
Когато решавате дробно уравнение, което е равно на нула, винаги се посочва, че числителят е равен на нула, но знаменателят не е, тъй като не можете да делите на нула.
Първото уравнение е специален случай на най-простото уравнение, което може да се реши с помощта на тригонометрична окръжност. Запомнете това решение сами. Второто неравенство се решава като най-простото уравнение с помощта на общата формула за корените на допирателната, но само със знак не равен на.
Както виждаме, едно семейство от корени изключва друго семейство от точно същия тип корени, които не отговарят на уравнението. Тоест няма корени.
Отговор. Няма корени.
Проблем No8. Решете уравнението.
Нека веднага да отбележим, че можем да извадим общия множител и да го направим:
Уравнението е сведено до една от стандартните форми, където произведението на няколко фактора е равно на нула. Вече знаем, че в този случай или единият от тях е равен на нула, или другият, или третият. Нека запишем това под формата на набор от уравнения:
Първите две уравнения са специални случаи на най-простите; вече сме срещали подобни уравнения много пъти, така че веднага ще посочим техните решения. Редуцираме третото уравнение до една функция, като използваме формулата за синус на двоен ъгъл.
Нека решим последното уравнение отделно:
Това уравнение няма корени, тъй като синусовата стойност не може да надхвърли 
.
По този начин решението е само първите две семейства от корени; те могат да бъдат комбинирани в едно, което е лесно да се покаже на тригонометричния кръг:
 |
Това е семейство от всички половини, т.е.
Тригонометрични неравенства
Нека да преминем към решаване на тригонометрични неравенства. Първо ще анализираме подхода за решаване на примера, без да използваме формули за общи решения, а използвайки тригонометричната окръжност.
Проблем No9. Решете неравенство.
Нека начертаем спомагателна линия върху тригонометричната окръжност, съответстваща на синусова стойност, равна на , и да покажем диапазона от ъгли, които удовлетворяват неравенството.
 |
Много е важно да разберете как точно да посочите получения интервал от ъгли, т.е. какво е неговото начало и какъв е неговият край. Началото на интервала ще бъде ъгълът, съответстващ на точката, която ще влезем в самото начало на интервала, ако се движим обратно на часовниковата стрелка. В нашия случай това е точката, която е отляво, защото, движейки се обратно на часовниковата стрелка и преминавайки през дясната точка, напротив, оставяме необходимия диапазон от ъгли. Следователно правилната точка ще съответства на края на празнината.
Сега трябва да разберем ъглите на началото и края на нашия интервал от решения на неравенството. Типична грешка е веднага да посочите, че дясната точка съответства на ъгъла, лявата и да дадете отговора. Това не е вярно! Моля, обърнете внимание, че току-що посочихме интервала, съответстващ на горната част на кръга, въпреки че се интересуваме от долната част, с други думи, сме объркали началото и края на интервала на решение, от който се нуждаем.
За да започне интервалът от ъгъла на дясната точка и да завърши с ъгъла на лявата точка, е необходимо първият зададен ъгъл да е по-малък от втория. За да направим това, ще трябва да измерим ъгъла на дясната точка в отрицателната референтна посока, т.е. по часовниковата стрелка и той ще бъде равен на . След това, започвайки да се движим от нея в положителна посока на часовниковата стрелка, ще стигнем до дясната точка след лявата точка и ще получим стойността на ъгъла за нея. Сега началото на интервала от ъгли е по-малко от края и можем да напишем интервала от решения, без да вземаме предвид периода:
Като се има предвид, че такива интервали ще се повтарят безкраен брой пъти след всяко цяло число завъртания, получаваме общо решение, като се вземе предвид периодът на синуса:
Поставяме скоби, защото неравенството е строго, и избираме точките от окръжността, които отговарят на краищата на интервала.
Сравнете получения отговор с формулата за общото решение, която дадохме в лекцията.
Отговор. 
.
Този метод е добър за разбиране откъде идват формулите за общи решения на най-простите тригонални неравенства. Освен това е полезно за тези, които са твърде мързеливи, за да научат всички тези тромави формули. Самият метод обаче също не е лесен, изберете кой подход към решението е най-удобен за вас.
За решаване на тригонометрични неравенства можете също да използвате графики на функции, върху които е изградена спомагателна линия, подобно на метода, показан с използване на единична окръжност. Ако се интересувате, опитайте сами да разберете този подход към решението. По-нататък ще използваме общи формули за решаване на прости тригонометрични неравенства.
Задача No10. Решете неравенство.
Нека използваме формулата за общото решение, като вземем предвид факта, че неравенството не е строго:
В нашия случай получаваме:
Отговор. 
Задача No11. Решете неравенство.
Нека използваме общата формула за решение на съответното строго неравенство:
Отговор. 
.
Задача No12. Решете неравенства: а) ; б) .
В тези неравенства няма нужда да бързате да използвате формули за общи решения или тригонометричен кръг, достатъчно е просто да запомните диапазона от стойности на синус и косинус.
а) Тъй като 
, тогава неравенството няма смисъл. Следователно решения няма.
б) Тъй като по подобен начин синусът на всеки аргумент винаги удовлетворява неравенството, посочено в условието. Следователно всички реални стойности на аргумента отговарят на неравенството.
Отговор. а) няма решения; б) .
Проблем 13. Решете неравенство 
.
Това най-просто неравенство със сложен аргумент се решава подобно на подобно уравнение. Първо намираме решение за целия аргумент, посочен в скоби, и след това го трансформираме във формата „“, работейки с двата края на интервала, както с дясната страна на уравнението.
