Теорема за пресичащите се акорди. аз

Визуализация:

Свързан урок:

„Теорема за произведението на отсечки от пресичащи се хорди»

Тема: геометрия

Оценка: 8

учител б: Херат Людмила Василиевна

Училище : MOBU "Дружбинская средно училище" район Сол-Илецк, област Оренбург

Тип урок: Урок "откриване" на нови знания.

Форми на работа: индивидуални, фронтални, групови.

Методи на преподаване:словесно, визуално, практично, проблематично.

Оборудване: компютърен клас, мултимедиен проектор,

Раздаване (карти), презентация.

Цели на урока:

образователен- изучаване на теоремата за произведението на пресичащите се хорди и показване на нейното приложение при решаване на задачи.

Подобряване на уменията за решаване на задачи по прилагането на теоремата за вписан ъгъл и последствията от нея.

развиващи се - да развива творческата и мисловна дейност на учениците в класната стая; да развива интелектуалните качества на личността на учениците, като самостоятелност, гъвкавост, способност за оценъчни действия, обобщаване; допринасят за формирането на умения за колективни и самостоятелна работа; развиват способността да изразяват ясно и ясно своите мисли.
образователен - да възпитава у учениците интерес към предмета чрез използване на информационни технологии (с помощта на компютър); за да формирате способност за точно и компетентно извършване на математически записи, начертайте картина за проблема.

Образователните дейности са насочени към подобряване на ефективността, производителността на педагогическата работа чрез преместване на учениците от длъжносттаобект дейностите на учителя в длъжностпредмет на доктрината , допринася за развитието на потенциала на всяко дете, разкриването на присъщите му възможности.

Възпитанието (развитието) на субектността е възможно само в дейности,в който участва субектът, в който тойсам: а) си поставя цели; б) концентрира волеви усилия за постигане на целта; в) отразява напредъка и резултатите от работата им. Рефлексията е най-мощният инструмент за личностно саморазвитие(самоизграждане на личността).

Проблемът за развитието на субективността на ученикане може да бъде напълно разрешен с еднократни мерки. Това качество се развивапоследователно чрез включване на ученика в учебното и познавателнотодейност (в идеалния случай във всеки урок), който той/тя изпълнявасебе си, прилагайки своето собствени усилия,техен сами по себе си, с минимална външна помощ, всички действия в тяхната логическа последователност. Урокът предоставя на учениците размисъл върху всичките 4 етапа на работа плюс резултатите, отговарящи напълно на изискваниятадейностен подходв образованието.

Чрез предложения дизайн на урока и използването на компютърни технологии се преследват целите на развитие:

интелектуална култура;
Информационна култура;
Култури на самоорганизация;
Изследователска култура;

Дейностите на учениците трябва да бъдат организирани по такъв начин, че да предоставят на учениците вътрешни цели-мотиви; необходимостта от търсене е най-важната задача на обучението и възпитанието, за това е необходимо да се създават ситуации на успех, ситуации на търсене, които предизвикват положителни емоции.

План на урока

1. Доказателство на теоремата за вписан ъгъл (3 случая); работа с карти,

Решаване на задачи въз основа на готови чертежи.

2. Работете по двойки.

3. Изучаване на теоремата за произведението на отсечки от пресичащи се хорди.

4. Решаване на задачи за фиксиране на теоремата.

По време на занятията.

Актуализиране на знанията на учениците по изучаваната тема.

Трима ученици се извикват на дъската за доказване на теореми, двама ученици получават карти със задачи, останалите ученици решават задачи по готови чертежи. Доказателството на теоремите се изслушва от целия клас, след като учениците решават задачи върху готови чертежи.

Карта номер 1..

1. Вмъкнете липсващите думи „Ъгъл се нарича вписан, ако върхът му лежи на ……………….., а страните на ъгъла са ……………………………..“.

2. Намерете и запишете вписаните ъгли, показани на фигурата:

3. Намерете градусната мярка на ъгъла ABC, показан на фигурата, ако градусната мярка на дъгата ABC = 270.

Карта номер 2.

1. Вмъкнете липсващите думи: „Вписаният ъгъл се измерва с ………….”.

Дадено: OA=AB. Намерете градусната мярка на дъгата AB.

Решаване на задачи въз основа на готови чертежи.

Фиг. 1. Намерете Фиг.2. Фиг. 3. Фиг. 4. Фиг. 5.

AOD, ACD Намери ABC Намери BCD Намери BAC Намери BCD

II. Работете по двойки.

Доказателството на теоремата за отсечки от пресичащи се хорди се извършва под формата на задача:

Докажете, че ако две хорди AB и CD на окръжност се пресичат в точка E, тогава

AE * BE = CE * DE

Предлага се задачата да се реши самостоятелно по двойки и след това да се обсъди нейното решение. В тетрадки и на дъската запишете схемата на доказателството на теоремата.

Контурен план

а) АСЕ ДВЕ (А = D като вписани ъгли, базирани на дъга BC;

AEC = DEB като вертикален).

Въпроси за обсъждане:

Какво можете да кажете за ъглите CAB и CDB? За ъглите AEC и DEB?

Какво представляват триъгълниците ACE и DBE? Какво е съотношението на техните страни, които са отсечки от допирателните хорди?

Какво равенство може да се запише от равенството на две съотношения, като се използва основното свойство на пропорциите?

IV. Затвърдяване на изучавания материал.

Решете задачата: Хордите на окръжността RT и KM се пресичат в точка E. Намерете ME, ако

KE = 4 см, TE = 6 см, PE = 2 см.

Решение: AE * BE = CE * DE

AE * 4 = 2 * 6

AE = 3 см.

№ 666 б. х*х =16*9

X * x \u003d 144

X = 12

V. Рефлексия. (използвайки стикери в три цвята)

Vi. Домашна работа.

стр. 71, No 666 а, в; 667.

\[(\Large(\text(централен и вписани ъгли)))\]

Определения

Централен ъгъл е ъгъл, чийто връх лежи в центъра на окръжността.

Вписан ъгъл е ъгъл, чийто връх лежи върху окръжността.

Градусната мярка на дъга на окръжност е градусната мярка на централния ъгъл, който лежи върху нея.

Теорема

Мярката на вписан ъгъл е половината от мярката на дъгата, която пресича.

Доказателство

Ще извършим доказателството на два етапа: първо, доказваме валидността на твърдението за случая, когато една от страните на вписания ъгъл съдържа диаметър. Нека точката \(B\) е върхът на вписания ъгъл \(ABC\) и \(BC\) е диаметърът на окръжността:

Триъгълникът \(AOB\) е равнобедрен, \(AO = OB\) , \(\ъгъл AOC\) е външен, тогава \(\ъгъл AOC = \ъгъл OAB + \ъгъл ABO = 2\ъгъл ABC\), където \(\ъгъл ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Сега разгледайте произволен вписан ъгъл \(ABC\) . Начертайте диаметъра на окръжността \(BD\) от върха на вписания ъгъл. Възможни са два случая:

1) диаметърът разрязва ъгъла на два ъгъла \(\ъгъл ABD, \ъгъл CBD\) (за всеки от които теоремата е вярна, както е доказано по-горе, следователно е вярно и за първоначалния ъгъл, който е сумата от тези две и следователно е равна на половината от сбора на дъгите, върху които се опират, тоест е равна на половината от дъгата, върху която се опира). Ориз. един.

2) диаметърът не разрязва ъгъла на два ъгъла, тогава имаме още два нови вписани ъгъла \(\ъгъл ABD, \ъгъл CBD\), чиято страна съдържа диаметъра, следователно, теоремата е вярна за тях, тогава тя е вярно и за първоначалния ъгъл (който е равен на разликата на тези два ъгъла, което означава, че е равен на полуразликата на дъгите, върху които те лежат, тоест е равен на половината от дъгата, върху която е почива). Ориз. 2.

Последствия

1. Вписаните ъгли, базирани на една и съща дъга, са равни.

2. Вписан ъгъл на базата на полукръг е прав ъгъл.

3. Вписан ъгъл е равен на половината от централния ъгъл на базата на същата дъга.

\[(\Large(\text(Допирателна към кръг)))\]

Определения

Има три вида взаимно подреждане на линия и кръг:

1) правата \(a\) пресича окръжността в две точки. Такава права се нарича секанс. В този случай разстоянието \(d\) от центъра на окръжността до правата линия е по-малко от радиуса \(R\) на окръжността (фиг. 3).

2) правата \(b\) пресича окръжността в една точка. Такава права линия се нарича допирателна, а тяхната обща точка \(B\) се нарича допирателна точка. В този случай \(d=R\) (фиг. 4).

Теорема

1. Допирателната към окръжността е перпендикулярна на радиуса, изтеглен до точката на контакт.

2. Ако правата минава през края на радиуса на окръжността и е перпендикулярна на този радиус, тогава тя е допирателна към окръжността.

Последица

Отсечките на допирателните, изтеглени от една точка към окръжността, са равни.

Доказателство

Начертайте две допирателни \(KA\) и \(KB\) към окръжността от точка \(K\):

Така че \(OA\perp KA, OB\perp KB\) като радиуси. правоъгълни триъгълници\(\триъгълник KAO\) и \(\триъгълник KBO\) са равни по катет и хипотенуза, следователно \(KA=KB\) .

Последица

Центърът на окръжността \(O\) лежи върху ъглополовящата на ъгъла \(AKB\), образуван от две допирателни, изтеглени от една и съща точка \(K\).

\[(\Large(\text(Теореми, свързани с ъгли)))\]

Теоремата за ъгъла между секущите

Ъгълът между две секущи, изтеглени от една и съща точка, е равен на полуразликата на градусните мерки на по-големите и по-малките дъги, изрязани от тях.

Доказателство

Нека \(M\) е точка, от която се изтеглят две секущи, както е показано на фигурата:

Нека покажем това \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\angle DAB\) е външният ъгъл на триъгълника \(MAD\) , тогава \(\ъгъл DAB = \ъгъл DMB + \ъгъл MDA\), където \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\), но ъглите \(\ъгъл DAB\) и \(\ъгъл MDA\) са вписани, тогава \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), както се изисква за доказване.

Теорема за ъгъла между пресичащите се хорди

Ъгълът между две пресичащи се хорди е равен на половината от сумата от градусните мерки на дъгите, които изрязват: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Доказателство

\(\angle BMA = \angle CMD\) като вертикално.

От триъгълник \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Но \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\), откъдето заключаваме, че \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ усмивка\над (CD)).\]

Теорема за ъгъла между хорда и допирателна

Ъгълът между допирателната и хордата, преминаваща през допирателната точка, е равен на половината от градусната мярка на дъгата, извадена от хордата.

Доказателство

Нека правата \(a\) докосва окръжността в точката \(A\) , \(AB\) да бъде хордата на тази окръжност, \(O\) да бъде нейният център. Нека правата, съдържаща \(OB\), се пресича \(a\) в точка \(M\) . Нека докажем това \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

Означете \(\ъгъл OAB = \alpha\) . Тъй като \(OA\) и \(OB\) са радиуси, тогава \(OA = OB\) и \(\ъгъл OBA = \angle OAB = \alpha\). По този начин, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

Тъй като \(OA\) е радиусът, изтеглен към допирателната точка, тогава \(OA\perp a\) , т.е. \(\angle OAM = 90^\circ\), следователно, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Теорема за дъги, свити от равни хорди

Равните акорди удължават равни дъги, по-малки полукръгове.

И обратното: равните дъги се свиват от равни хорди.

Доказателство

1) Нека \(AB=CD\) . Нека докажем, че по-малките полуокръжности на дъгата .

Следователно от три страни \(\ъгъл AOB=\ъгъл COD\) . Но тъй като \(\angle AOB, \angle COD\) - централни ъгли, базирани на дъги \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)съответно тогава \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Ако \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), тогава \(\триъгълник AOB=\триъгълник COD\)по две страни \(AO=BO=CO=DO\) и ъгълът между тях \(\angle AOB=\angle COD\) . Следователно, \(AB=CD\) .

Теорема

Ако радиус разполовява хорда, тогава тя е перпендикулярна на нея.

Обратното също е вярно: ако радиусът е перпендикулярен на хордата, тогава пресечната точка я разполовява.

Доказателство

1) Нека \(AN=NB\) . Нека докажем, че \(OQ\perp AB\) .

Помислете за \(\триъгълник AOB\): той е равнобедрен, защото \(OA=OB\) – радиуси на окръжност. Защото \(ON\) е медианата, изтеглена към основата, тогава тя е и височината, следователно \(ON\perp AB\) .

2) Нека \(OQ\perp AB\) . Нека докажем, че \(AN=NB\) .

По същия начин, \(\триъгълник AOB\) е равнобедрен, \(ON\) е височината, така че \(ON\) е медианата. Следователно, \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Теореми, свързани с дължините на отсечки)))\]

Теорема за произведението на отсечки от хорди

Ако две хорди на окръжността се пресичат, тогава произведението на сегментите на една хорда е равно на произведението на сегментите на другата хорда.

Доказателство

Нека хордите \(AB\) и \(CD\) се пресичат в точката \(E\) .

Помислете за триъгълниците \(ADE\) и \(CBE\) . В тези триъгълници ъглите \(1\) и \(2\) са равни, тъй като те са вписани и разчитат на една и съща дъга \(BD\) , а ъглите \(3\) и \(4\) са равни като вертикални. Триъгълниците \(ADE\) и \(CBE\) са подобни (според критерия за сходство на първия триъгълник).

Тогава \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), откъдето \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Допирателна и секуща теорема

Квадратът на допирателен сегмент е равен на произведението на секанса и неговата външна част.

Доказателство

Нека допирателната да премине през точката \(M\) и да докосне окръжността в точката \(A\) . Нека секаната преминава през точката \(M\) и пресича окръжността в точките \(B\) и \(C\), така че \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Помислете за триъгълниците \(MBA\) и \(MCA\) : \(\ъгъл M\) е общ, \(\ъгъл BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Съгласно теоремата за ъгъла между допирателна и секуща, \(\ъгъл BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). По този начин триъгълниците \(MBA\) и \(MCA\) са подобни в два ъгъла.

От сходството на триъгълниците \(MBA\) и \(MCA\) имаме: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), което е еквивалентно на \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Последица

Произведението на секущата, изтеглена от точката \(O\) и нейната външна част, не зависи от избора на секущата, изтеглена от точката \(O\) .

Назад напред

Внимание! Прегледите на слайдове са само за информационни цели и може да не представляват всички опции за презентация. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Цел:повишаване на мотивацията за учене; развиват изчислителни умения, бърза съобразителност и способност за работа в екип.

Напредък на урока

Актуализация на знанията. Днес ще продължим да говорим за кръга. Нека ви напомня определението за кръг: какво се нарича кръг?

кръге права, състояща се от всички точки в равнината, които са на определено разстояние от една точка на равнината, наречена център на окръжността.

Слайдът показва кръг, центърът му е отбелязан - точка O, начертани са два сегмента: OA и CB. Отсечката OA свързва центъра на окръжността с точка от окръжността. Нарича се RADIUS (на латински, radius е „спица в колело“). Отсечката CB свързва две точки от окръжността и минава през нейния център. Това е диаметърът на кръга (в превод от гръцки - „диаметър“).

Нуждаем се и от определението за хорда на окръжност - това е отсечка, свързваща две точки от окръжност (на фигурата - хорда DE).

Нека изясним въпроса за относителното положение на правата линия и окръжността.

Следващият въпрос и той ще бъде основният: разберете свойствата на пресичащите се хорди, секущи и допирателни.

Вие ще докажете тези свойства в уроците по математика, а нашата задача е да се научим как да прилагаме тези свойства при решаване на задачи, тъй като те се използват широко в изпитите както под формата на изпит, така и под формата на GIA.

Задача за отбори.

Начертайте и запишете свойството на хордите KM и NF, пресичащи се в точката P.
Начертайте и запишете свойството на допирателната KM и секущата KF.
Показване и записване на свойствата на секущите KM и MF.

Намерете x, като използвате данните от фигурата. Слайд 5-6

Който е по-бърз, по-правилен. С последващо обсъждане и проверка на решението на всички проблеми. Респондентите печелят поощрителни точки за своя екип.

Е, сега да се заемем с решаването на по-сериозни проблеми. На вашето внимание се предлагат три блока: пресичащи се акорди, допирателна и секанс, две секущи. Нека анализираме подробно решението за един проблем от всеки блок.

(Разтворът се анализира с подробен запис № 4, № 7, № 12)

2. Работилница за решаване на проблеми

а) Пресичащи се акорди

1. E - пресечната точка на хордите AB и CD. AE = 4, AB = 10, CE: ED = 1: 6. Намерете CD.

Решение:

2. E - пресечната точка на хордите AB и CD. AB = 17, CD = 18, ED = 2CE. Намерете AE и BE.

Решение:

3. E - пресечната точка на хордите AB и CD. AB = 10, CD = 11, BE = CE + 1. Намерете CE.

Решение:

4. E - пресечната точка на хордите AB и CD. ED = 2AE, CE = DE-1, BE = 10. Намерете CD.

Решение:

б) Допирателна и секуща

5. От една точка допирателната и секущата се изтеглят към окръжността. Тангенсът е 6, секансът е 18. Определете вътрешния сегмент на секанса.

Решение:

6. От една точка допирателната и секущата се изтеглят към окръжността. Намерете допирателната права, ако е известно, че тя е по-малка от вътрешния сегмент на секанса с 4 и повече от външния сегмент с 4.

Решение:

7. От една точка допирателната и секущата се изтеглят към окръжността. Намерете секанса, ако е известно, че неговият вътрешен сегмент се отнася до външния, като 3: 1, а дължината на допирателната е 12.

Решение:

8. От една точка допирателната и секущата се изтеглят към окръжността. Намерете външния сегмент, секанс, ако е известно, че вътрешният му сегмент е 12, а дължината на допирателната е 8.

Решение:

9. Допирателната и секансът, произхождащи от една точка, са съответно равни на 12 и 24. Определете радиуса на окръжността, ако секущата е на 12 от центъра.

Решение:

в) Две секанти

10. От една точка към окръжността се изтеглят две секачки, чиито вътрешни отсечки са равни съответно на 8 и 16. Външният сегмент на втората сека е с 1 по-малък от външния отсечка на първия. Намерете дължината на всяка секуща.

Решение:

11. От една точка към окръжността се изтеглят две секачки. Външният сегмент на първата секанта се отнася до нейния вътрешен, като 1: 3. Външният сегмент на втория секант е с 1 по-малък от външния сегмент на първия и се отнася до вътрешния му сегмент като 1: 8. Намерете дължината на всяка секуща.

Решение:

12. През точка А, която е извън окръжността на разстояние 7 от центъра му, е проведена права линия, която пресича окръжността в точки B и C. Намерете дължината на радиуса на окръжността, ако AB = 3, BC = 5.

Решение:

13. От точка А към окръжност се изтеглят секуща с дължина 12 см и допирателна, съставна част на вътрешния сегмент на секащата. Намерете дължината на допирателната.

Решение:

10,5; 17,5
12;18

3. Затвърдяване на знанията

Вярвам, че имате достатъчен запас от знания, за да отидете на кратко пътуване през лабиринтите на интелекта си, посещавайки следните станции:

Премисли го!
Реши!
Отговори ми!

Можете да останете на гарата за не повече от 6 минути. За всяко правилно решение на задачата екипът получава поощрителни точки.

На отборите се раздават маршрутни листове:

Маршрутен лист

гара	Номера на задачите	Знак за решение
Реши!	№1, №3
Премисли го!	№5, №8
Отговори ми!	№10, №11

бих искал да пусна резултатите от нашия урок:

Освен нови знания, надявам се, че сте се опознали по-добре, натрупали опит в работата в екип. Смятате ли, че придобитите знания се използват някъде в живота?

Поетът Г. Лонгфелоу също е бил математик. Вероятно това е причината ярките образи, които украсяват математическите понятия, които той използва в романа си "Каванг", позволяват да се уловят някои теореми и техните приложения за живота. В романа четем следния проблем:

„Лилията, издигаща се един инч над повърхността на водата, под порив на свеж вятър докосна повърхността на езерото на два лакътя от предишното си място; въз основа на това беше необходимо да се определи дълбочината на езерото ”(1 инч е равен на 10 инча, 2 лакътя - 21 инча).

И този проблем се решава въз основа на свойството на пресичащи се акорди. Погледнете снимката и ще стане ясно каква е дълбочината на езерото.

Решение:

Общинска автономна образователна институция

СОУ No45

Разработване на урок по тема

"Теорема за отсечки от пресичащи се хорди",

геометрия, 8 клас.

първа категория

MAOU средно училище №45, Калининград

Борисова Алла Николаевна

Калининград

2016 – 2017 учебна година

Образователна институция - общинска автономна образователна институция средно училище № 45 на град Калининград

Нещо - математика (геометрия)

клас – 8

Тема – "Теорема за отсечки от пресичащи се хорди"

Учебно-методическа помощ:

Геометрия, 7 - 9: учебник за учебни заведения / Л. С. Атанасян и др., - 17 изд., - М .: Образование, 2015

Работна тетрадка "Геометрия, 8 клас", автори L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, Yu.A. Глазков, И.И. Юдина /учебник за ученици на учебни заведения/ - М. Образование, 2016г

Данни за програми, в които се изпълнява мултимедийният компонент на работата - Microsoft Office Power point 2010

Цел: да се запознаят с теоремата за отсечките от пресичащи се хорди и да развият умения за прилагането й при решаване на задачи.

Цели на урока:

Образователни:

да систематизират теоретичните знания по темата: “Централен и вписан ъгли” и да усъвършенстват уменията за решаване на задачи по тази тема;

формулират и доказват теоремата за отсечки от пресичащи се хорди;

прилага теоремата при решаване на геометрични задачи;

Разработване:

развитие на познавателен интерес към предмета.

формиране на ключови и предметни компетентности.

развитие на творчеството.

да се развиват уменията на учениците за самостоятелна работа и работа по двойки.

Образователни:

възпитание на познавателна активност, култура на общуване, отговорност, самостоятелно развитие на зрителната памет;

да възпитава у учениците самостоятелност, любознателност, съзнателно отношение към изучаването на математиката;

обосновка на избора на методи, средства и форми на обучение;

оптимизиране на обучението чрез разумна комбинация и съотношение на методи, средства и форми, насочени към получаване на висок резултат по време на урока.

Оборудване и материали за урока : проектор, екран, презентация към урока.

Тип урок: комбиниран.

Структура на урока:

1) Учениците са информирани за темата на урока и целите, подчертава се уместността на тази тема(слайд номер 1).

2) Обявява се планът на урока.

1. Проверка домашна работа.

2. Повторение.

3. Откриване на нови знания.

4. Закотвяне.

II . Проверка на домашната работа.

1) трима ученици се доказват на черната дъскатеорема за вписан ъгъл.

Първи ученик - случай 1;
Втори ученик - случай 2;
Третият ученик е случай 3.

2) Останалите работят по това време устно, за да повторят покрития материал.

1. Теоретичен преглед (фронтално)(слайд номер 2) .

Довършете изречението:

Ъгъл се нарича централен, ако...

Ъгъл се нарича вписан, ако...

Централният ъгъл се измерва...

Вписаният ъгъл се измерва...

Вписаните ъгли са равни, ако...

Вписан ъгъл въз основа на полукръг...

2. Решаване на задачи по готови чертежи(слайд номер 3) .

Учителят в този момент индивидуално проверява решението на домашната работа за някои ученици.

Доказателството на теоремите се изслушва от целия клас след проверка на правилността на решенията на задачите върху готовите чертежи.

II I. Въвеждане на нов материал.

1) Работете по двойки.Решете задача 1, за да подготвите учениците за възприемане на нов материал(слайд номер 4).

2) Доказваме теоремата за отсечките от пресичащи се хорди под формата на задача(слайд номер 5).

Въпроси за обсъждане(слайд номер 6) :

Какво можете да кажете за ъглите CAB и CDB?

Относно ъглите AEC и DEB ?

Какво представляват триъгълниците ACE и DBE?

Какво е съотношението на техните страни, които са отсечки от допирателните хорди?

Какво равенство може да се запише от равенството на две съотношения, като се използва основното свойство пропорция?

Опитайте се да формулирате твърдението, което сте доказали. На дъската и в тетрадките запишете формулировката и обобщението на доказателството на теоремата за отсечки от пресичащи се хорди. Един човек е извикан в борда(слайд номер 7).

аз V. Физическо възпитание.

Един ученик идва до дъската и пита прости упражненияза врата, ръцете и гърба.

V . Затвърдяване на изучавания материал.

1) Основно закрепване.

1 ученикс коментаррешава№ 667 На бюрото

Решение.

1) ABA 1 - правоъгълна, тъй като вписан ъгълА 1 VA лежи на полукръг.

2) 5 = 3, както е вписано и базирано на една дъгаАБ 1 .

3) 1 = 90° -5, 4 = 90°–3 но3 = 5, значи1= 4.

4) А 1 BB 1 - равнобедрен, значиBC = B 1 С .

5) По теоремата за произведението на отсечки от пресичащи се хорди

AC A 1 C \u003d пр.н.е. B 1 С.

6) (см);

Отговор:

2) Независимо решениезадачи.

1. 1-ва група ученици („слаби“ ученици). Решете сами№ 93, 94 („Работна тетрадка”, автор Л. С. Атанасян, 2015 г.), учителят, ако е необходимо, съветва учениците, анализира резултатите от задачите на учениците

2. 2-ра група ученици (други ученици). Работете върху нестандартна задача. Работят самостоятелно (при необходимост използват помощта на учител или съученик). Един ученик работи на сгъваема дъска. След приключване на работата проверка.

Задача .
АкордиАБ иCD пресичат се в точкаС , освен товаAS:SB = 2:3, DS = 12 см,SC=5см , намирамАБ .
Решение .

Тъй като съотношениетоAS:SB = 2:3 , след това нека дължинатаAS = 2x, SB = 3x
Според свойството на акордитеAS ∙ SB = CS ∙ SD , тогава
2x ∙ 3x = 5 ∙ 12
6x 2 = 60
х 2 = 10
x = √10.

Където
AB=AS+SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10 Отговор : 5√10

VI . Обобщаване на урока, отразяване на дейностите

Обобщаване на урока, мобилизиране на учениците за самооценка на дейността си;

И така, какво научихте в клас днес?

Какво научихте в клас днес?

Оценете дейността си за урока по 5-точкова система.

Оценяване на урок.

VIII . Домашна работа

стр. 71 (учете теория),

№ 659, 661, 666 (б, в).

Първо, нека разберем разликата между кръг и кръг. За да видите тази разлика, достатъчно е да разгледаме какви са двете фигури. Това е безброй точки на равнината, еднакво отдалечени от една централна точка. Но, ако кръгът се състои от вътрешно пространство, то не принадлежи на кръга. Оказва се, че кръгът е едновременно окръжност, която го ограничава (о-кръг (d) zness), и безброй точки, които са вътре в кръга.

За всяка точка L, лежаща върху окръжността, е валидно равенството OL = R. (Дължината на отсечката OL е равна на радиуса на окръжността).

Отсечката, която свързва две точки от окръжността, е нейната акорд.

Хорда, минаваща директно през центъра на окръжността е диаметъртози кръг (D). Диаметърът може да се изчисли по формулата: D = 2R

Обиколкаизчислено по формулата: C = 2 \ pi R

Площ на кръг: S = \ pi R ^ (2)

Дъга на окръжностнарича се онази част от нея, която се намира между двете му точки. Тези две точки определят две кръгови дъги. CD акордът свива две дъги: CMD и CLD. Еднаквите хорди свиват подобни дъги.

Централен ъгълсе нарича ъгъл, който е между два радиуса.

Дължината на дъгатаможе да се намери по формулата:

Използване на градусова мярка: CD = \ frac (\ pi R \ alpha ^ (\ circ)) (180 ^ (\ circ))
Използване на радианска мярка: CD = \ alpha R

Диаметърът, който е перпендикулярен на хордата, разделя хордата и свитите от нея дъги наполовина.

Ако хордите AB и CD на окръжността се пресичат в точка N, тогава произведенията на отсечките на хордите, разделени от точка N, са равни едно на друго.

AN \ cdot NB = CN \ cdot ND

Допирателна в кръг

Допирателна към окръжносттаобичайно е да се нарича права линия, която има една обща точка с окръжност.

Ако правата има две общи точки, тя се нарича секанс.

Ако начертаете радиус към допирателна точка, той ще бъде перпендикулярен на допирателната към окръжността.

Нека начертаем две допирателни от тази точка към нашата окръжност. Оказва се, че сегментите на допирателните ще бъдат подравнени една с друга, а центърът на окръжността ще бъде разположен върху ъглополовящата на ъгъла с върха в тази точка.

AC = CB

Сега начертайте допирателна и секуща към окръжността от нашата точка. Получаваме, че квадратът на дължината на допирателния сегмент ще бъде равен на произведението на целия секасен сегмент от външната му част.

AC ^ (2) = CD \ cdot BC

Можем да заключим, че произведението на цял сегмент от първата секуща спрямо външната му част е равно на произведението на цял отсечка от втората секуща спрямо външната му част.

AC \ cdot BC = EC \ cdot DC

Ъгли в кръг

Градусните мерки на централния ъгъл и дъгата, върху която той лежи, са равни.

\ ъгъл COD = \ чаша CD = \ alpha ^ (\ circ)

Вписан ъгълТова е ъгъл, чийто връх е върху окръжност и чиито страни съдържат хорди.

Можете да го изчислите, като знаете размера на дъгата, тъй като той е равен на половината от тази дъга.

\ ъгъл AOB = 2 \ ъгъл ADB

Въз основа на диаметъра, вписан ъгъл, права линия.

\ ъгъл CBD = \ ъгъл CED = \ ъгъл CAD = 90 ^ (\ circ)

Вписаните ъгли, които почиват на една дъга, са идентични.

Вписаните ъгли, почиващи върху една хорда, са еднакви или тяхната сума е равна на 180 ^ (\ circ).

\ ъгъл ADB + \ ъгъл AKB = 180 ^ (\ circ)

\ ъгъл ADB = \ ъгъл AEB = \ ъгъл AFB

На един кръг са върховете на триъгълници с еднакви ъгли и дадена основа.

Ъгълът с върха вътре в кръга и разположен между две хорди е идентичен на половината от сумата от ъгловите стойности на дъгите на окръжността, които са вътре в този и вертикалния ъгъл.

\ ъгъл DMC = \ ъгъл ADM + \ ъгъл DAM = \ frac (1) (2) \ ляв (\ чаша DmC + \ чаша AlB \ дясно)

Ъгълът с върха извън окръжността и разположен между двете пресичащи линии е идентичен на половината от разликата в ъгловите стойности на дъгите на окръжността, които са вътре в ъгъла.

\ ъгъл M = \ ъгъл CBD - \ ъгъл ACB = \ frac (1) (2) \ ляв (\ чаша DmC - \ чаша AlB \ дясно)

Вписан кръг

Вписан кръгТова е окръжност, допирателна към страните на многоъгълника.

В точката, където ъглите на ъглите на многоъгълника се пресичат, се намира неговият център.

Окръжност не може да бъде вписана във всеки многоъгълник.

Площта на многоъгълник с вписан кръг се намира по формулата:

S = pr,

p е полупериметърът на многоъгълника,

r е радиусът на вписаната окръжност.

От това следва, че радиусът на вписаната окръжност е:

r = \ frac (S) (p)

Сумите от дължините на противоположните страни ще бъдат еднакви, ако окръжността е вписана в изпъкнал четириъгълник. И обратно: окръжност е вписана в изпъкнал четириъгълник, ако сумите от дължините на противоположните страни в него са еднакви.

AB + DC = AD + BC

Възможно е да се впише кръг във всеки от триъгълниците. Само една единствена. В точката, където ъглополовящите на вътрешните ъгли на фигурата се пресичат, центърът на тази вписана окръжност ще лежи.

Радиусът на вписаната окръжност се изчислява по формулата:

r = \ frac (S) (p),

където p = \ frac (a + b + c) (2)

Описан кръг

Ако окръжност минава през всеки връх на многоъгълника, тогава такъв кръг обикновено се нарича описано около многоъгълник.

Центърът на описаната окръжност ще бъде разположен в пресечната точка на средните перпендикуляри на страните на тази фигура.

Радиусът може да се намери, като се изчисли като радиус на окръжност, описана около триъгълник, определен от всеки 3 върха на многоъгълника.

Има следното условие: възможно е да се опише кръг около четириъгълник само ако сумата от противоположните му ъгли е равна на 180 ^ (\ circ).

\ ъгъл A + \ ъгъл C = \ ъгъл B + \ ъгъл D = 180 ^ (\ окръжност)

Около всеки триъгълник можете да опишете кръг и един и само един. Центърът на такъв кръг ще бъде разположен в точката, където се пресичат средните перпендикуляри на страните на триъгълника.

Радиусът на описаната окръжност може да се изчисли по формулите:

R = \ frac (a) (2 \ sin A) = \ frac (b) (2 \ sin B) = \ frac (c) (2 \ sin C)

R = \ frac (abc) (4 S)

a, b, c - дължините на страните на триъгълника,

S е площта на триъгълника.

Теорема на Птолемей

И накрая, разгледайте теоремата на Птолемей.

Теоремата на Птолемей гласи, че произведението на диагоналите е идентично на сбора от произведения на противоположните страни на вписан четириъгълник.

AC \ cdot BD = AB \ cdot CD + BC \ cdot AD