Το απλούστερο σχέδιο μαθήματος τριγωνομετρικών ανισώσεων. Σχέδιο μαθήματος Άλγεβρας με θέμα "Τριγωνομετρικές ανισότητες"

Μοντέλο μαθήματος με θέμα:

«Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων και ανισώσεων»

ως μέρος της εφαρμογής της περιφερειακής συνιστώσας στα μαθηματικά

για μαθητές της 10ης τάξης.

Πομυκάλοβα

Έλενα Βικτόροβνα

καθηγητής μαθηματικών

Δημοτικό εκπαιδευτικό ίδρυμα γυμνάσιο του χωριού Voskhod

Περιοχή Μπαλασόφσκι

Περιοχή Σαράτοφ

Ο σκοπός του μαθήματος.

1. Συνοψίστε τις θεωρητικές γνώσεις σχετικά με το θέμα: «Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων και ανισώσεων», επαναλάβετε τις βασικές μεθόδους για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων και ανισώσεων.

2. Αναπτύξτε τις ιδιότητες της σκέψης: ευελιξία, εστίαση, ορθολογισμός. Οργανώστε την εργασία των μαθητών για το καθορισμένο θέμα σε επίπεδο που αντιστοιχεί στο επίπεδο γνώσης που έχει ήδη διαμορφωθεί.

3. Καλλιεργήστε την ακρίβεια των σημειώσεων, την κουλτούρα του λόγου και την ανεξαρτησία.

Τύπος μαθήματος: ένα μάθημα γενίκευσης και συστηματοποίησης της γνώσης που αποκτήθηκε κατά τη μελέτη αυτού του θέματος.

ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: γενίκευση συστήματος, έλεγχος του επιπέδου γνώσης, επίλυση προβλημάτων γενίκευσης.

Μορφές οργάνωσης μαθήματος: μετωπική, ατομική.

Εξοπλισμός: υπολογιστή , προβολέας πολυμέσων, φύλλα απαντήσεων, κάρτες εργασιών, πίνακας τύπων για ρίζες τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων.

Εγώ . Έναρξη του μαθήματος

Ο δάσκαλος ενημερώνει τους μαθητές για το θέμα του μαθήματος, το σκοπό και εφιστά την προσοχή των μαθητών στα φυλλάδια.

II . Παρακολούθηση της γνώσης των μαθητών

1) Προφορική εργασία (Η εργασία προβάλλεται στην οθόνη)

Υπολογίζω:

ΕΝΑ) ;

β) ;

V) ;

Ζ) ;

δ) ;
ε) .

2) Μετωπική έρευνα μαθητών.

Ποιες εξισώσεις ονομάζονται τριγωνομετρικές;

Ποιους τύπους τριγωνομετρικών εξισώσεων γνωρίζετε;

Ποιες εξισώσεις ονομάζονται απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις;

Ποιες εξισώσεις ονομάζονται ομοιογενείς;

Ποιες εξισώσεις ονομάζονται τετραγωνικές;

Ποιες εξισώσεις ονομάζονται ανομοιογενείς;

Ποιες μεθόδους επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων γνωρίζετε;

Αφού απαντήσουν οι μαθητές, προβάλλονται στην οθόνη κάποιοι τρόποι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Εισαγωγή νέας μεταβλητής:

№1 . 2sin²x – 5sinx + 2 = 0.№2. tg + 3ctg = 4.

Αφήνω sinx = t, |t|≤1,Αφήνω tg = z,

Εχουμε: 2 t² – 5 t + 2 = 0. Εχουμε: z + = 4.

2. Παραγοντοποίηση :

2 sinxcos 5 Χ – cos 5 Χ = 0;

cos5x (2sinx – 1) = 0.

Εχουμε : cos5x = 0,

2sinx – 1 = 0; ...

3. Ομογενείς τριγωνομετρικές εξισώσεις:

Εγώβαθμούς IIβαθμούς

a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0.

Διαιρέστε με cosx≠ 0. 1) αν a ≠ 0, διαιρέστε μεcos² Χ ≠ 0

Εχουμε : a tgx + b = 0; ...έχουμε : a tg²x + b tgx + c = 0.

2) αν a = 0, τότε

έχουμε: σιsinxcosx + ντοcos² Χ =0;…

4. Ανομοιογενείς τριγωνομετρικές εξισώσεις:

Εξισώσεις της μορφής: asinx + bcosx = ντο

4 sinx + 3 cosx = 5.

(Δείξε δύο τρόπους)

1) χρήση καθολικής υποκατάστασης:

sinx = (2 tgΧ/2) / (1 + tg 2 Χ/2);

cosx = (1– tg 2 Χ/2) / (1 + tg 2 Χ/2);

2) εισάγοντας ένα βοηθητικό όρισμα:

4 sinx + 3 cosx = 5

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με το 5:

4/5 sinx + 3/5 cosx = 1

Αφού (4/5) 2 + (3/5) 2 = 1, τότε έστω 4/5 = sinφ; 3/5= cosφ, όπου 0< φ < π /2, λοιπόν

sinφsinx + cosφcosx = 1

cos(Χ – φ ) = 1

Χ – φ = 2 πn, n € Ζ

Χ = 2 πn + φ , n € Ζ

φ = τόξα 3/5 σημαίνει Χ = arcos 3/5 +2 πn, n € Ζ

Απάντηση: τόξα 3/5 + 2 πn, n € Ζ

3) Επίλυση εξισώσεων με χρήση τύπων για τη μείωση του βαθμού.

4) Εφαρμογή τύπων διπλού και τριπλού ορίσματος.

α) 2sin4xcos2x = 4cos 3 2x – 3cos2x

cos6x +cos2x = cos6x

III . Εκτέλεση δοκιμαστικής εργασίας

Ο δάσκαλος ζητά από τους μαθητές να εφαρμόσουν τα θεωρητικά γεγονότα που μόλις διατυπώθηκαν για να λύσουν εξισώσεις.

Η εργασία πραγματοποιείται με τη μορφή δοκιμής. Οι μαθητές συμπληρώνουν τη φόρμα απαντήσεων που βρίσκεται στα θρανία τους.

Η εργασία προβάλλεται στην οθόνη.

Προτείνετε έναν τρόπο επίλυσης αυτής της τριγωνομετρικής εξίσωσης:

1) Αναγωγή σε τετράγωνο.

2) Αναγωγή σε ομοιογένεια.

3) παραγοντοποίηση?

4) μείωση πτυχίου?

5) μετατροπή του αθροίσματος των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε γινόμενο.

Έντυπο απάντησης.

Επιλογή Εγώ

Η εξίσωση

Λύσεις

3 sin²x + cos²x = 1 - sinx cosx

4 συν s²x- cosx– 1 = 0

2 αμαρτία² Χ / 2 +cosx=1

cosx + cos3x = 0

2 sinx cos5x – cos5x = 0

Επιλογή II

Η εξίσωση

Λύσεις

2sinxcosx – sinx = 0

3 cos²x - cos2x = 1

6 sin²x + 4 sinx cosx = 1

4 sin²x + 11 sin²x = 3

sin3x = sin17x

Απαντήσεις:

Επιλογή ΕγώΕπιλογή II

IV . Επανάληψη τύπων για επίλυση εξισώσεων

Τύποι για ρίζες τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Είναι κοινά

Ιδιωτικός

Η εξίσωση

Φόρμουλα ρίζας

Η εξίσωση

Φόρμουλα ρίζας

1. sinx = a, |a|≤1

x = (-1) n arcsin a + πk,

κє Ζ

1. sinx = 0

x = πk, kє Ζ

2. cosx = a, |a|≤1

x = ±arccos a + 2πk,

κє Ζ

2. sinx = 1

x = + 2πk, κ є Ζ

3. tg x = α

x = αρκτάν a + πk, kє Ζ

3. sinx = –1

x = – + 2πk, κ є Ζ

4.ctg x = α

x = arcctg a + πk,kє Ζ

4. cosx = 0

x = + πk, κ є Ζ

5. cosx = 1

x = 2πk, κ є Ζ

6. cosx = –1

x = π + 2πk, κ є Ζ

Προφορική εργασία για την επίλυση απλών τριγωνομετρικών εξισώσεων

Ο δάσκαλος ζητά από τους μαθητές να εφαρμόσουν τα θεωρητικά γεγονότα που μόλις διατυπώθηκαν για να λύσουν εξισώσεις. Ένας προσομοιωτής για προφορική εργασία με θέμα: «Τριγωνομετρικές εξισώσεις» προβάλλεται στην οθόνη.

Λύστε εξισώσεις.

αμαρτίαΧ = 0

cosΧ = 1

tan x = 0

ctg x = 1

αμαρτία x = - 1 / 2

αμαρτία x = 1

cos x = 1 / 2

αμαρτία x = - √3 / 2

cos x = √2 / 2

αμαρτία x = √2 / 2

cos x = √3 / 2

tan x = √3

αμαρτία x = 1 / 2

αμαρτία x = -1

cos x = - 1 / 2

αμαρτία x = √3 / 2

tan x = -√3

ctg x = √3 / 3

tan x = - √3 / 3

κούνια x = -√3

cos x – 1 =0

2 αμαρτία x – 1 =0

2ctg x + √3 = 0

V . Επίλυση παραδειγμάτων.

Οι κάρτες με τις εργασίες διανέμονται σε κάθε θρανίο, μία είναι στο γραφείο του δασκάλου για τους μαθητές που έρχονται στον πίνακα.

№1. Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο όλων των ριζών της εξίσωσης , ικανοποιώντας την προϋπόθεση ;

Λύση.

Ας βρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο όλων των ριζών μιας δεδομένης εξίσωσης από το διάστημα .

.

Απάντηση: α) .

№2 . Λύστε την ανισότητα .

Λύση.

,

,

.

Απάντηση:

№3. Λύστε την εξίσωση .

(Καθορίστε από κοινού μια μέθοδο για την επίλυση του προβλήματος)

Λύση.

Ας υπολογίσουμε τη δεξιά και την αριστερή πλευρά της τελευταίας ισότητας.

Επομένως, η ισότητα ισχύει εάν και μόνο εάν ισχύει το σύστημα

Απάντηση: 0,5

VI . Ανεξάρτητη εργασία

Ο δάσκαλος δίνει καθήκοντα για ανεξάρτητη εργασία. Οι κάρτες ετοιμάζονται ανάλογα με τα επίπεδα δυσκολίας.

Οι πιο προετοιμασμένοι μαθητές μπορούν να λάβουν κάρτες με εργασίες αυξημένου επιπέδου πολυπλοκότητας.

Ο δάσκαλος έδωσε στους μαθητές της 2ης ομάδας κάρτες με εργασίες βασικού επιπέδου πολυπλοκότητας.

Για τους μαθητές της 3ης ομάδας, ο δάσκαλος συνέταξε κάρτες με εργασίες βασικού επιπέδου πολυπλοκότητας, αλλά αυτοί είναι, κατά κανόνα, μαθητές με κακή μαθηματική προετοιμασία, μπορούν να ολοκληρώσουν εργασίες υπό την επίβλεψη του δασκάλου.

Μαζί με τις εργασίες, οι μαθητές λαμβάνουν φόρμες για να ολοκληρώσουν τις εργασίες.

1 ομάδα

Επιλογή #1 (1)

1. Λύστε την εξίσωση

2. Λύστε την εξίσωση .

Επιλογή #2 (1)

1. Λύστε την εξίσωση .

2. Λύστε την εξίσωση .

2η ομάδα

Επιλογή #1 (2)

1. Λύστε την εξίσωση .

2. Λύστε την εξίσωση .

Για να δείτε την παρουσίαση με εικόνες, σχέδιο και διαφάνειες, κατεβάστε το αρχείο του και ανοίξτε το στο PowerPointστον υπολογιστή σου.
Περιεχόμενο κειμένου των διαφανειών παρουσίασης: Επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων με τη μέθοδο των διαστημάτων 10 Α τάξη Δάσκαλος: Uskova N.N. Λύκειο ΜΒΟΥ Νο. 60 Στόχοι μαθήματος: Εκπαιδευτικός: διεύρυνση και εμβάθυνση γνώσεων σχετικά με το θέμα «Μέθοδος διαστημάτων». απόκτηση πρακτικών δεξιοτήτων για την ολοκλήρωση εργασιών με τη μέθοδο του διαστήματος· αύξηση του επιπέδου μαθηματικής κατάρτισης των μαθητών· Αναπτυξιακή: ανάπτυξη ερευνητικών δεξιοτήτων· Εκπαιδευτική: σχηματισμός παρατήρησης, ανεξαρτησία, ικανότητα αλληλεπίδρασης με άλλους ανθρώπους, καλλιέργεια κουλτούρας σκέψης, κουλτούρας του λόγου, ενδιαφέρον για το ακαδημαϊκό αντικείμενο. Πρόοδος μαθήματος Έλεγχος εργασιών για το σπίτι Ανεξάρτητη εργασία Επεξήγηση νέου υλικού με θέμα «Επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων με τη μέθοδο του διαστήματος»: αλγόριθμος λύσης παραδείγματα ανισώσεων Περίληψη μαθήματος Εργασία για το σπίτι. Έλεγχος εργασιών Λύστε ανισώσεις: Ανεξάρτητη εργασία Επιπλέον: 1) 2) Έλεγχος εργασίας Λύστε ανισώσεις: α) Λύση. Απάντηση: β) Λύση. Απάντηση: γ) Λύση. Απάντηση: δ) Λύση. Απάντηση: . Λύση ανισότητας Λύση. Απάντηση: Παράδειγμα 1. Λύστε την ανισότητα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διαστήματος Λύση. 1) 2) Μηδενικά της συνάρτησης: 3) Σημάδια της συνάρτησης σε διαστήματα: + - + - + 4) Εφόσον η ανίσωση δεν είναι αυστηρή, περιλαμβάνονται οι ρίζες 5) Λύση: Απάντηση: Παράδειγμα 2. Λύστε την ανίσωση: Λύση . Απάντηση: Μέθοδος Ι: Μέθοδος ΙΙ: Απάντηση: Επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων με τη μέθοδο του διαστήματος Αλγόριθμος: Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς τύπους, παραγοντοποιήστε Βρείτε τα σημεία ασυνέχειας και τα μηδενικά της συνάρτησης, τοποθετήστε τα στον κύκλο. Πάρτε οποιοδήποτε σημείο x0 (αλλά δεν βρέθηκε προηγουμένως) και μάθετε ότι η πινακίδα λειτουργεί. Εάν το προϊόν είναι θετικό, τότε τοποθετήστε ένα «+» πίσω από τον κύκλο μονάδας στην ακτίνα που αντιστοιχεί στη γωνία. Διαφορετικά, βάλτε ένα σύμβολο «-» μέσα στον κύκλο. Αν ένα σημείο εμφανίζεται άρτιες φορές, το λέμε σημείο ζυγού πολλαπλασιασμού, αν είναι περιττό, το λέμε σημείο περιττής πολλαπλότητας. Σχεδιάστε τόξα ως εξής: ξεκινήστε από το σημείο x0, εάν το επόμενο σημείο είναι περιττής πολλαπλότητας, τότε το τόξο τέμνει τον κύκλο σε αυτό το σημείο, αλλά αν το σημείο είναι άρτιος πολλαπλασιασμός, τότε όχι. Τα τόξα πέρα ​​από τον κύκλο είναι θετικά διαστήματα ; μέσα στον κύκλο υπάρχουν αρνητικά κενά. Λύση παραδειγμάτων 1) 2) 3) 4) 5) Παράδειγμα 1. Λύση. Σημεία πρώτης σειράς: Σημεία δεύτερης σειράς: - - - + + + Απάντηση: Παράδειγμα 2. Λύση. Σημεία πρώτης σειράς: Σημεία δεύτερης σειράς: Σημεία τρίτης σειράς: Σημεία τέταρτης σειράς: Σημεία άρτιου πολλαπλασιασμού: + + + + - - - - Απάντηση: Παράδειγμα 3. Λύση. Σύνολο: Πόντοι πρώτης σειράς: Πόντοι δεύτερης σειράς: Πόντοι τρίτης σειράς: + + + + + + - - - - - - - - Απάντηση. Σημεία άρτιας πολλαπλότητας: Παράδειγμα 4. Λύση. + + + + - - - - Απάντηση. Παράδειγμα 5. Λύση. 1) 2) Μηδενικά της συνάρτησης: 3) + - - + - δεν υπάρχουν μηδενικά Άρα, στην Απάντηση: Γραφικά: Εργασία για το σπίτι: Να λύσετε τριγωνομετρικές ανισώσεις με τη μέθοδο των διαστημάτων: α) β) γ) δ) ε) στ) ζ) Πρόσθετες εργασίες:

Συνημμένα αρχεία

Το θέμα «Τριγωνομετρικές ανισότητες» είναι αντικειμενικά δύσκολο να το αντιληφθούν και να το κατανοήσουν οι μαθητές της 10ης τάξης. Ως εκ τούτου, είναι πολύ σημαντικό να αναπτύσσουμε με συνέπεια, από απλό σε σύνθετο, κατανόηση του αλγορίθμου και να αναπτύσσουμε μια σταθερή ικανότητα επίλυσης τριγωνομετρικών ανισοτήτων.

Το άρθρο παρουσιάζει έναν αλγόριθμο για την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών ανισώσεων και παρέχει μια περίληψη ενός μαθήματος στο οποίο κατακτώνται πιο περίπλοκοι τύποι τριγωνομετρικών ανισώσεων.

Κατεβάστε:

Προεπισκόπηση:

Shchalpegina I.V.

Το θέμα «Τριγωνομετρικές ανισότητες» είναι αντικειμενικά δύσκολο να το αντιληφθούν και να το κατανοήσουν οι μαθητές της 10ης τάξης. Ως εκ τούτου, είναι πολύ σημαντικό να αναπτύσσουμε με συνέπεια, από απλό σε σύνθετο, κατανόηση του αλγορίθμου και να αναπτύσσουμε μια σταθερή ικανότητα επίλυσης τριγωνομετρικών ανισοτήτων.

Η επιτυχία στην κατάκτηση αυτού του θέματος εξαρτάται από τη γνώση των βασικών ορισμών και των ιδιοτήτων των τριγωνομετρικών και αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων, τη γνώση τριγωνομετρικών τύπων, την ικανότητα επίλυσης ακεραίων και κλασματικών ορθολογικών ανισώσεων και τους κύριους τύπους τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Ιδιαίτερη έμφαση πρέπει να δοθεί στη μέθοδο διδασκαλίας λύσεωνπρωτόζωα τριγωνομετρικές ανισώσεις, γιατί οποιαδήποτε τριγωνομετρική ανισότητα ανάγεται στην επίλυση των απλούστερων ανισώσεων.

Είναι προτιμότερο να εισαχθεί η κύρια ιδέα της επίλυσης απλών τριγωνομετρικών ανισώσεων χρησιμοποιώντας γραφήματα ημιτονοειδούς, συνημιτονοειδούς, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης. Και μόνο τότε μάθετε να λύνετε τριγωνομετρικές ανισότητες σε έναν κύκλο.

Θα σταθώ στα κύρια στάδια του συλλογισμού κατά την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών ανισώσεων.

1. Βρίσκουμε σημεία στον κύκλο του οποίου το ημίτονο (συνημίτονο) είναι ίσο με τον δεδομένο αριθμό.
2. Σε περίπτωση αυστηρής ανισότητας, σημειώνουμε αυτά τα σημεία στον κύκλο ως τρυπημένα, ενώ σε περίπτωση μη αυστηρής ανισότητας, τα σημειώνουμε ως σκιασμένα.
3. Το σημείο που βρίσκεταιτο κύριο διάστημα της μονοτονίαςσυναρτήσεις ημιτονοειδούς (συνημιτονοειδούς), που ονομάζονται P t1, ένα άλλο σημείο - Π t2.
4. Σημειώνουμε κατά μήκος του ημιτονοειδούς (συνημιτονοειδούς) άξονα το διάστημα που ικανοποιεί αυτή την ανισότητα.
5. Επιλέγουμε ένα τόξο στον κύκλο που αντιστοιχεί σε αυτό το διάστημα.
6. Καθορίζουμε την κατεύθυνση κίνησης κατά μήκος του τόξου (από το σημείο P t1 στο σημείο P t2 κατά μήκος ενός τόξου ), σχεδιάζουμε ένα βέλος προς την κατεύθυνση της κίνησης, πάνω από το οποίο γράφουμε ένα σύμβολο «+» ή «-», ανάλογα με την κατεύθυνση κίνησης. (Αυτό το στάδιο είναι σημαντικό για την παρακολούθηση των γωνιών που βρέθηκαν. Οι μαθητές μπορούν να απεικονίσουν το κοινό λάθος της εύρεσης των ορίων ενός διαστήματος χρησιμοποιώντας το παράδειγμα επίλυσης της ανισότηταςσύμφωνα με το χρονοδιάγραμμα ημίτονο ή συνημίτονο καιγύρω από την περιφέρεια).
7. Βρίσκοντας τις συντεταγμένες των σημείων Π t1 (ως αρξίνη ή αρκοσίνη δεδομένου αριθμού)και Р t2 εκείνοι. όρια του διαστήματος, ελέγχουμε την ορθότητα εύρεσης των γωνιών συγκρίνοντας t 1 και t 2.
8. Γράφουμε την απάντηση με τη μορφή διπλής ανισότητας (ή κενού) από τη μικρότερη γωνία προς τη μεγαλύτερη.

Παρόμοιο είναι και το σκεπτικό για την επίλυση ανισώσεων με εφαπτομένη και συνεφαπτομένη.

Το σχέδιο και η καταγραφή της λύσης, που θα πρέπει να αποτυπωθεί στα τετράδια των μαθητών, δίνονται στο προτεινόμενο περίγραμμα.

Περίληψη μαθήματος με θέμα: «Επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων».

Στόχος μαθήματος – συνεχίστε τη μελέτη της λύσης τριγωνομετρικών ανισώσεων που περιέχουν τις συναρτήσεις ημιτονο και συνημίτονο, μετακινηθείτε από τις απλούστερες ανισώσεις σε πιο σύνθετες.

Στόχοι μαθήματος:

1. ενοποίηση γνώσεων τριγωνομετρικών τύπων, πινακικών τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων, τύπων για τις ρίζες τριγωνομετρικών εξισώσεων.
2. ανάπτυξη της ικανότητας επίλυσης απλών τριγωνομετρικών ανισώσεων.
3. κατοχή τεχνικών για την επίλυση πιο περίπλοκων τριγωνομετρικών ανισώσεων.
4. ανάπτυξη λογικής σκέψης, σημασιολογική μνήμη, δεξιότητες ανεξάρτητης εργασίας, αυτοέλεγχος.
5. ενθάρρυνση της ακρίβειας και της σαφήνειας στη διατύπωση λύσεων, του ενδιαφέροντος για το αντικείμενο, του σεβασμού προς τους συμμαθητές.
6. διαμόρφωση εκπαιδευτικών, γνωστικών, πληροφοριακών και επικοινωνιακών ικανοτήτων.

Εξοπλισμός: προβολέας γραφημάτων, κάρτες με έτοιμα σχέδια τριγωνομετρικών κύκλων, φορητός πίνακας, κάρτες με εργασίες για το σπίτι.

Μορφή οργάνωση εκπαίδευσης – μαθήματος.Μέθοδοι διδασκαλία που χρησιμοποιείται στο μάθημα - λεκτική, οπτική, αναπαραγωγική, αναζήτηση προβλημάτων, ατομική και μετωπική ερώτηση, προφορικός και γραπτός αυτοέλεγχος, ανεξάρτητη εργασία.

N p/p	Στάδια μαθήματος.
	Οργάνωση τάξης για εργασία.
	Έλεγχος εργασιών για το σπίτι.	(Συλλέγοντας σημειωματάρια με εργασίες για το σπίτι)
	Δήλωση του σκοπού του μαθήματος.	Σήμερα στο μάθημα θα επαναλάβουμε τη λύση των απλούστερων τριγωνομετρικών ανισώσεων και θα εξετάσουμε πιο σύνθετες περιπτώσεις.
	Προφορική εργασία.	(Οι εργασίες και οι απαντήσεις γράφονται σε μια ταινία προβολέα, ανοίγω τις απαντήσεις καθώς τις λύνω) Λύστε τριγωνομετρικές εξισώσεις: sinx = -, 2sinx =, sin2x = , sin(x -) = 0, cosx = , cosx = -, cos2x = 1, tgx = -1. Να ονομάσετε τα κύρια διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων ημιτονο και συνημίτονο.
	Επανάληψη.	Ας θυμηθούμε τον αλγόριθμο για την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών ανισώσεων. (Στον πίνακα υπάρχουν κενά δύο κύκλων. Καλώ δύο μαθητές έναν έναν για να λύσουν ανισότητες. Ο μαθητής εξηγεί λεπτομερώς τον αλγόριθμο επίλυσης. Η τάξη δουλεύει μαζί με αυτούς που απαντούν στον πίνακα σε προετοιμασμένες κάρτες με την εικόνα ενός κύκλου). 1) sinx ≥ -; t 1  t 2 ; t 1 = arcsin(-) = -; t 2 =  + = ; 2) cosx ≥ -; t 1  t 2 ; t 1 = arccos(-) =  - arccos = =  - = ; t 2 = - ; 2  n ≤ x ≤ + 2  n, n  Z. Πώς επηρεάζει την απάντηση η λύση της αυστηρής ανισότητας; (3) και 4) δύο μαθητές λύνουν ανισότητες σε μια ταινία προβολέα, η τάξη τις λύνει ανεξάρτητα σε κάρτες). 3) cosx  ; t 1  t 2 ; t 1 = arccos = ; t 2 = 2  - = ; 4) sinx  ; t 1  t 2 ; t 1 = arcsin = ; t 2 = -  - = -; 2  n  x  + 2  n, n  Z. Ανταλλάξτε επιλογές, πάρτε ένα στυλό διαφορετικού χρώματος, ελέγξτε την εργασία του φίλου σας. (Αυτοέλεγχος από κασέτα προβολέα. Ο μαθητής που ολοκληρώνει την εργασία σχολιάζει τη λύση. Μετά την επιστροφή της εργασίας, προβληματισμός). Πώς αλλάζει η λύση της ανισότητας όταν το όρισμα x αντικαθίσταται από 2x, από; (Αξιολόγηση της εργασίας των μαθητών).
	Νέο υλικό.	Ας προχωρήσουμε σε πιο σύνθετες τριγωνομετρικές ανισότητες, η λύση του οποίου θα ανάγεται στην επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών ανισώσεων. Ας δούμε παραδείγματα. (Επίλυση ανισοτήτων στον πίνακα με την καθοδήγηση του δασκάλου). Νο. 1. cos 2 2x – 2cos2x ≥ 0. (Ας θυμηθούμε την τεχνική επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων τοποθετώντας τον κοινό παράγοντα εκτός αγκύλων). cos2x(cos2x – 2) ≥ 0. Αντικατάσταση: cos2x = t, ≤ 1; t(t – 2) ≥ 0;Η δεύτερη ανισότητα δεν ικανοποιεί τη συνθήκη ≤ 1. cos2x ≤ 0. (Λύστε την ανισότητα μόνοι σας. Ελέγξτε την απάντηση). Απάντηση: +  n  x  +  n, n  Z. Νο 2. 6sin 2 x – 5sinx + 1 ≥ 0. (Θυμηθείτε την τεχνική επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων αλλάζοντας μια μεταβλητή. Ο μαθητής τη λύνει στον πίνακα με σχόλια). Αντικατάσταση sinx = t, ≤ 1. 6t 2 – 5t +1 ≥ 0,6(t -)(t -), Απάντηση: + 2  n ≤ x ≤ + 2  n, -  -arcsin+ 2  k ≤ x ≤ arcsin+ 2  k, n, k  Z. Νο 3. sinx + cos2x  1. (Συζητάμε επιλογές λύσης. Υπενθυμίζουμε τον τύπο για το συνημίτονο διπλής γωνίας. Η τάξη αποφασίζει ανεξάρτητα, ένας μαθητής - σε έναν ατομικό πίνακα, ακολουθούμενο από επαλήθευση). sinx + cos2x - 1  0, sinx – 2sin 2 x  0, sinx(1 - 2 sinx)  0, Απάντηση: 2  n  x  + 2  n, 2  n  x   + 2  n, n  Z. Αναλύστε καταστάσεις όταν η απάντηση στην επίλυση μιας τετραγωνικής ανισότητας γράφεται με τη μορφή ενός συνόλου δύο ανισώσεων και πότε - με τη μορφή συστήματος. Το παρακάτω διάγραμμα είναι χρήσιμο: Νο 4. coscosx - sinsinx  -. (Συζήτηση. Ένας μαθητής καλείται στον πίνακα για κάθε βήμα της λύσης, σχολιάζονται τα στάδια. Ο δάσκαλος ελέγχει την ηχογράφηση με τους μαθητές που εργάζονται επιτόπου). cos(x +)  -, κόστος  -. 2  n  t  + 2  n, n  Z, 2  n  x +  + 2  n, n  Z, Απάντηση: 2  n  x  + 2  n, n  Z. Νο 5. Ορίστε τα πάνταΕΝΑ , για καθένα από τα οποία η ανισότητα 4sinx + 3cosx ≤ α έχει τουλάχιστον μία λύση. (Θυμηθείτε τον αλγόριθμο για την επίλυση τριγωνομετρικής εξίσωσης με συντελεστή κανονικοποίησης. Η λύση είναι γραμμένη σε μια ταινία προβολέα. Την ανοίγω βήμα-βήμα όπως συλλογίζομαι. Διαφοροποιημένη εργασία). 4sinx + 3cosx ≤ α , M = = 5. Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της ανίσωσης με το 5: sinx + cosx ≤ . Επειδή () 2 + () 2 = 1, τότε υπάρχει μια γωνία α τέτοια ώστε cosα = και sinα = . Ας ξαναγράψουμε την προηγούμενη ανισότητα με τη μορφή: sin(x + α) ≤ . Η τελευταία ανισότητα, άρα και η αρχική ανισότητα, έχει τουλάχιστον μία λύση για την καθεμίακαι τέτοια που ≥ -1, δηλαδή για κάθε a ≥ -5. Απάντηση: a ≥ -5.
	Εργασία για το σπίτι.	(Μοιράζω κάρτες με γραπτή εργασία. Σχολιάζω τη λύση κάθε ανισότητας). cosx  sin 2 x; 4sin2xcos2x  -; cos 2 ≤ αμαρτία 2 - 0,5; sinx + cosx  1. Εξετάστε τους τύπους τριγωνομετρικής πρόσθεσης και προετοιμαστείτε για ανεξάρτητη εργασία.
	Συνοψίζοντας, προβληματισμός.	Ονομάστε μεθόδους για την επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων. Πώς χρησιμοποιείται η γνώση ενός αλγορίθμου για την επίλυση απλών τριγωνομετρικών ανισώσεων για την επίλυση πιο σύνθετων ανισώσεων; Ποιες ανισότητες προκάλεσαν τη μεγαλύτερη δυσκολία; (Αξιολογώ την εργασία των μαθητών στην τάξη).

Ανεξάρτητη εργασία

με βάση τα αποτελέσματα της κατάκτησης του υλικού.

Επιλογή 1. Λύστε τις ανισώσεις 1 – 3: sin3x -  0; cos 2 x + 3cosx  0; coscos2x - sinsin2x ≥ -. Ορίστε όλα α , για καθένα από τα οποία η ανίσωση 12sinx + 5cosx ≤ΕΝΑ έχει τουλάχιστον μία λύση.

Επιλογή 2. Λύστε τις ανισώσεις 1 – 3: 2cos  1; sin 2 x – 4sinx  0; sincos3x - cossin3x ≤ -. Ορίστε όλα α , για καθένα από τα οποία η ανίσωση 6sinx - 8cosx ≤ΕΝΑ έχει τουλάχιστον μία λύση.

ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Επίλυση απλών τριγωνομετρικών ανισώσεων

Σκοπός του μαθήματος:να δείξετε έναν αλγόριθμο για την επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων χρησιμοποιώντας τον μοναδιαίο κύκλο.

Στόχοι μαθήματος:

Εκπαιδευτικό – εξασφάλιση επανάληψης και συστηματοποίησης του θεματικού υλικού. δημιουργία συνθηκών για την παρακολούθηση της απόκτησης γνώσεων και δεξιοτήτων·

Αναπτυξιακή - προώθηση του σχηματισμού δεξιοτήτων εφαρμογής τεχνικών: σύγκριση, γενίκευση, αναγνώριση του κύριου πράγματος, μεταφορά γνώσης σε μια νέα κατάσταση, ανάπτυξη μαθηματικών οριζόντων, σκέψη και ομιλία, προσοχή και μνήμη.

Εκπαιδευτικό – για την προώθηση του ενδιαφέροντος για τα μαθηματικά και τις εφαρμογές τους, τη δραστηριότητα, την κινητικότητα, τις επικοινωνιακές δεξιότητες και τη γενική κουλτούρα.

Γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών:
- γνωρίζει τον αλγόριθμο για την επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων.

Να μπορεί να λύνει απλές τριγωνομετρικές ανισώσεις.

Εξοπλισμός:διαδραστικός πίνακας, παρουσίαση μαθήματος, κάρτες με ανεξάρτητες εργασίες εργασίας.

ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ:
1. Οργανωτική στιγμή(1 λεπτό)

Προτείνω τα λόγια του Σουχομλίνσκι ως σύνθημα του μαθήματος: «Σήμερα μαθαίνουμε μαζί: εγώ, ο δάσκαλός σας και εσείς είστε μαθητές μου. Αλλά στο μέλλον ο μαθητής πρέπει να ξεπεράσει τον δάσκαλο, διαφορετικά δεν θα υπάρξει πρόοδος στην επιστήμη».

2. Ζέσταμα.Υπαγόρευση "Σωστό - Λάθος"

3. Επανάληψη

Για κάθε επιλογή - εργασία στη διαφάνεια, συνεχίστε κάθε καταχώριση. Χρόνος λειτουργίας 3 λεπτά.

Ας διασταυρώσουμε αυτή τη δουλειά μας χρησιμοποιώντας τον πίνακα απαντήσεων στον πίνακα.

Κριτήριο αξιολόγησης:"5" - και τα 9 "+", "4" - 8 "+", "3" - 6-7 "+"

4. Επικαιροποίηση των γνώσεων των μαθητών(8 λεπτά)
Σήμερα στην τάξη πρέπει να μάθουμε την έννοια των τριγωνομετρικών ανισώσεων και να κατακτήσουμε τις δεξιότητες επίλυσης τέτοιων ανισώσεων.
– Ας θυμηθούμε πρώτα τι είναι μοναδιαίος κύκλος, ακτινικό μέτρο γωνίας και πώς σχετίζεται η γωνία περιστροφής ενός σημείου σε έναν κύκλο μονάδας με το μέτρο ακτινίου μιας γωνίας. (εργασία με την παρουσίαση)

Κύκλος μονάδαςείναι ένας κύκλος με ακτίνα 1 και κέντρο στην αρχή.

Η γωνία που σχηματίζεται από τη θετική φορά του άξονα ΟΧ και της ακτίνας ΟΑ ονομάζεται γωνία περιστροφής. Είναι σημαντικό να θυμάστε πού βρίσκονται οι 0 γωνίες. 90; 180; 270; 360.

Εάν το Α μετακινηθεί αριστερόστροφα, λαμβάνονται θετικές γωνίες.

Εάν το Α μετακινηθεί δεξιόστροφα, λαμβάνονται αρνητικές γωνίες.

сos t είναι η τετμημένη ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο, sin t είναι η τεταγμένη ενός σημείου του κύκλου μονάδας, t είναι η γωνία περιστροφής με συντεταγμένες (1;0).
5 . Επεξήγηση νέου υλικού (17 λεπτά.)
Σήμερα θα γνωρίσουμε τις απλούστερες τριγωνομετρικές ανισώσεις.
Ορισμός.
Οι απλούστερες τριγωνομετρικές ανισώσεις είναι ανισώσεις της μορφής:

Τα παιδιά θα μας πουν πώς να λύσουμε τέτοιες ανισότητες (παρουσίαση έργων από μαθητές με παραδείγματα). Οι μαθητές καταγράφουν ορισμούς και παραδείγματα στο τετράδιό τους.

Κατά τη διάρκεια της παρουσίασης, οι μαθητές εξηγούν τη λύση της ανισότητας και ο δάσκαλος συμπληρώνει τις ζωγραφιές στον πίνακα.
Μετά την παρουσίαση των μαθητών δίνεται αλγόριθμος επίλυσης απλών τριγωνομετρικών ανισώσεων. Οι μαθητές βλέπουν όλα τα στάδια επίλυσης μιας ανισότητας στην οθόνη. Αυτό προάγει την οπτική απομνημόνευση του αλγορίθμου για την επίλυση ενός δεδομένου προβλήματος.

Αλγόριθμος για την επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων με χρήση του κύκλου μονάδας:
1. Στον άξονα που αντιστοιχεί σε μια δεδομένη τριγωνομετρική συνάρτηση, σημειώστε τη δεδομένη αριθμητική τιμή αυτής της συνάρτησης.
2. Σχεδιάστε μια γραμμή στο σημειωμένο σημείο που τέμνει τον κύκλο της μονάδας.
3. Επιλέξτε τα σημεία τομής της ευθείας και του κύκλου, λαμβάνοντας υπόψη το αυστηρό ή μη πρόσημο της ανισότητας.
4. Επιλέξτε το τόξο του κύκλου στο οποίο βρίσκονται οι λύσεις της ανισότητας.
5. Προσδιορίστε τις τιμές των γωνιών στα σημεία έναρξης και λήξης του κυκλικού τόξου.
6. Να γράψετε τη λύση της ανίσωσης λαμβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα της δεδομένης τριγωνομετρικής συνάρτησης.
Για την επίλυση ανισώσεων με εφαπτομένη και συνεφαπτομένη, είναι χρήσιμη η έννοια μιας γραμμής εφαπτομένων και συνεφαπτομένων. Αυτές είναι οι ευθείες x = 1 και y = 1, αντίστοιχα, που εφάπτονται στον τριγωνομετρικό κύκλο.
6. Πρακτικό μέρος(12 λεπτά)
Για να εξασκηθούμε και να εμπεδώσουμε τις θεωρητικές γνώσεις, θα ολοκληρώσουμε μικρές εργασίες. Κάθε μαθητής λαμβάνει κάρτες εργασιών. Έχοντας λύσει τις ανισότητες, πρέπει να επιλέξετε μια απάντηση και να σημειώσετε τον αριθμό της.

7. Αναστοχασμός στις δραστηριότητες στο μάθημα
-Ποιος ήταν ο στόχος μας;
- Ονομάστε το θέμα του μαθήματος
- Καταφέραμε να χρησιμοποιήσουμε έναν πολύ γνωστό αλγόριθμο
- Αναλύστε την εργασία σας στην τάξη.

8. Εργασία για το σπίτι(2 λεπτά)

Λύστε την ανισότητα:

9. Περίληψη μαθήματος(2 λεπτά)

Προτείνω να τελειώσει το μάθημα με τα λόγια του Y.A. Komensky: «Θεωρείτε δυστυχισμένη εκείνη την ημέρα ή εκείνη την ώρα κατά την οποία δεν έχετε μάθει τίποτα νέο και δεν έχετε προσθέσει τίποτα στην εκπαίδευσή σας».

Κατά τη διάρκεια του πρακτικού μαθήματος θα επαναλάβουμε κύριοι τύποι εργασιών από το θέμα "Τριγωνομετρία", θα αναλύσουμε περαιτέρω εργασίες αυξημένης πολυπλοκότηταςκαι σκεφτείτε παραδείγματα επίλυσης διαφόρων τριγωνομετρικών ανισώσεων και των συστημάτων τους.

Αυτό το μάθημα θα σας βοηθήσει να προετοιμαστείτε για έναν από τους τύπους εργασιών Β5, Β7, Γ1Και C3.

Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά

Πείραμα

Μάθημα 11. Ενοποίηση της καλυπτόμενης ύλης. Τριγωνομετρικές ανισότητες. Επίλυση διαφόρων προβλημάτων αυξημένης πολυπλοκότητας

Πρακτική

Περίληψη μαθήματος

Ανασκόπηση τριγωνομετρίας

Ας ξεκινήσουμε εξετάζοντας τους κύριους τύπους εργασιών που καλύψαμε στο θέμα "Τριγωνομετρία" και λύνουμε αρκετά μη τυπικά προβλήματα.

Εργασία Νο. 1. Μετατρέψτε τις γωνίες σε ακτίνια και μοίρες: α) ; β) .

α) Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τη μετατροπή των μοιρών σε ακτίνια

Ας αντικαταστήσουμε την καθορισμένη τιμή σε αυτό.

β) Εφαρμόστε τον τύπο για τη μετατροπή των ακτίνων σε μοίρες

Ας κάνουμε την αντικατάσταση .

Απάντηση. ΕΝΑ) ; β) .

Εργασία Νο. 2. Υπολογίστε: α) ; β) .

α) Εφόσον η γωνία υπερβαίνει κατά πολύ τον πίνακα, θα τη μειώσουμε αφαιρώντας την ημιτονοειδή περίοδο. Δεδομένου ότι η γωνία υποδεικνύεται σε ακτίνια, θα θεωρήσουμε την περίοδο ως .

β) Σε αυτή την περίπτωση η κατάσταση είναι παρόμοια. Δεδομένου ότι η γωνία υποδεικνύεται σε μοίρες, θα θεωρήσουμε την περίοδο της εφαπτομένης ως .

Η γωνία που προκύπτει, αν και μικρότερη από την περίοδο, είναι μεγαλύτερη, πράγμα που σημαίνει ότι δεν αναφέρεται πλέον στο κύριο, αλλά στο εκτεταμένο τμήμα του πίνακα. Για να μην εξασκήσετε ξανά τη μνήμη σας απομνημονεύοντας τον εκτεταμένο πίνακα τιμών τριγωνικών συναρτήσεων, ας αφαιρέσουμε ξανά την εφαπτομενική περίοδο:

Εκμεταλλευτήκαμε την παραδοξότητα της εφαπτομένης συνάρτησης.

Απάντηση. Α'1; β) .

Εργασία Νο. 3. Υπολογίζω , Αν .

Ας ανάγουμε ολόκληρη την έκφραση σε εφαπτομένες διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με . Ταυτόχρονα, δεν μπορούμε να το φοβόμαστε αυτό, αφού σε αυτή την περίπτωση η τιμή της εφαπτομένης δεν θα υπήρχε.

Εργασία Νο. 4. Απλοποιήστε την έκφραση.

Οι καθορισμένες εκφράσεις μετατρέπονται χρησιμοποιώντας τύπους αναγωγής. Απλώς γράφονται ασυνήθιστα χρησιμοποιώντας βαθμούς. Η πρώτη έκφραση αντιπροσωπεύει γενικά έναν αριθμό. Ας απλοποιήσουμε όλες τις τριγωνικές συναρτήσεις μία προς μία:

Επειδή, η συνάρτηση αλλάζει σε συνσυνάρτηση, δηλ. σε συνεφαπτομένη, και η γωνία πέφτει στο δεύτερο τέταρτο, στο οποίο η αρχική εφαπτομένη έχει αρνητικό πρόσημο.

Για τους ίδιους λόγους όπως και στην προηγούμενη έκφραση, η συνάρτηση αλλάζει σε συνσυνάρτηση, δηλ. σε συνεφαπτομένη, και η γωνία πέφτει στο πρώτο τέταρτο, στο οποίο η αρχική εφαπτομένη έχει θετικό πρόσημο.

Ας αντικαταστήσουμε τα πάντα σε μια απλοποιημένη έκφραση:

Πρόβλημα #5. Απλοποιήστε την έκφραση.

Ας γράψουμε την εφαπτομένη της διπλής γωνίας χρησιμοποιώντας τον κατάλληλο τύπο και να απλοποιήσουμε την έκφραση:

Η τελευταία ταυτότητα είναι ένας από τους γενικούς τύπους αντικατάστασης του συνημιτόνου.

Πρόβλημα #6. Υπολογίζω.

Το κύριο πράγμα είναι να μην κάνουμε το τυπικό λάθος να μην δίνουμε την απάντηση που ισούται με την έκφραση. Δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη βασική ιδιότητα του τόξου εφ' όσον υπάρχει ένας παράγοντας με τη μορφή δύο δίπλα του. Για να απαλλαγούμε από αυτό, θα γράψουμε την έκφραση σύμφωνα με τον τύπο για την εφαπτομένη διπλής γωνίας, ενώ αντιμετωπίζουμε το , ως ένα συνηθισμένο όρισμα.

Τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε τη βασική ιδιότητα της εφαπτομένης· να θυμάστε ότι δεν υπάρχουν περιορισμοί στο αριθμητικό της αποτέλεσμα.

Πρόβλημα Νο. 7. Λύστε την εξίσωση.

Κατά την επίλυση μιας κλασματικής εξίσωσης που είναι ίση με το μηδέν, υποδεικνύεται πάντα ότι ο αριθμητής είναι ίσος με το μηδέν, αλλά ο παρονομαστής δεν είναι, αφού δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν.

Η πρώτη εξίσωση είναι μια ειδική περίπτωση της απλούστερης εξίσωσης που μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας έναν τριγωνομετρικό κύκλο. Θυμηθείτε αυτή τη λύση μόνοι σας. Η δεύτερη ανισότητα λύνεται ως η απλούστερη εξίσωση χρησιμοποιώντας τον γενικό τύπο για τις ρίζες της εφαπτομένης, αλλά μόνο με το πρόσημο όχι ίσο.

Όπως βλέπουμε, μια οικογένεια ριζών αποκλείει μια άλλη οικογένεια ακριβώς του ίδιου τύπου ριζών που δεν ικανοποιούν την εξίσωση. Δηλαδή δεν υπάρχουν ρίζες.

Απάντηση. Δεν υπάρχουν ρίζες.

Πρόβλημα Νο 8. Λύστε την εξίσωση.

Ας σημειώσουμε αμέσως ότι μπορούμε να βγάλουμε τον κοινό παράγοντα και ας το κάνουμε:

Η εξίσωση έχει αναχθεί σε μία από τις τυπικές μορφές, όπου το γινόμενο πολλών παραγόντων ισούται με μηδέν. Γνωρίζουμε ήδη ότι σε αυτή την περίπτωση, είτε το ένα είναι ίσο με μηδέν, είτε το άλλο, είτε το τρίτο. Ας το γράψουμε με τη μορφή ενός συνόλου εξισώσεων:

Οι δύο πρώτες εξισώσεις είναι ειδικές περιπτώσεις των απλούστερων, έχουμε ήδη συναντήσει πολλές φορές παρόμοιες εξισώσεις, οπότε θα υποδείξουμε αμέσως τις λύσεις τους. Μειώνουμε την τρίτη εξίσωση σε μία συνάρτηση χρησιμοποιώντας τον τύπο ημιτόνου διπλής γωνίας.

Ας λύσουμε την τελευταία εξίσωση χωριστά:

Αυτή η εξίσωση δεν έχει ρίζες, γιατί η ημιτονοειδής τιμή δεν μπορεί να υπερβαίνει .

Έτσι, η λύση είναι μόνο οι δύο πρώτες οικογένειες ριζών· μπορούν να συνδυαστούν σε μία, η οποία είναι εύκολο να φανεί στον τριγωνομετρικό κύκλο:

Αυτή είναι μια οικογένεια όλων των μισών, δηλ.

Τριγωνομετρικές ανισότητες

Ας προχωρήσουμε στην επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων. Αρχικά, θα αναλύσουμε την προσέγγιση για την επίλυση του παραδείγματος χωρίς τη χρήση τύπων για γενικές λύσεις, αλλά χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο.

Πρόβλημα Νο. 9. Λύστε την ανισότητα.

Ας σχεδιάσουμε μια βοηθητική γραμμή στον τριγωνομετρικό κύκλο που αντιστοιχεί σε τιμή ημιτόνου ίση με , και ας δείξουμε το εύρος των γωνιών που ικανοποιούν την ανισότητα.

Είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε ακριβώς πώς να υποδείξουμε το προκύπτον διάστημα γωνιών, δηλαδή ποια είναι η αρχή και ποιο το τέλος του. Η αρχή του διαστήματος θα είναι η γωνία που αντιστοιχεί στο σημείο που θα μπούμε στην αρχή του διαστήματος αν κινηθούμε αριστερόστροφα. Στην περίπτωσή μας, αυτό είναι το σημείο που βρίσκεται στα αριστερά, γιατί κινούμενοι αριστερόστροφα και περνώντας από το δεξί σημείο, αντίθετα αφήνουμε το απαιτούμενο εύρος γωνιών. Το σωστό σημείο θα αντιστοιχεί επομένως στο τέλος του κενού.

Τώρα πρέπει να κατανοήσουμε τις γωνίες της αρχής και του τέλους του διαστήματος των λύσεών μας στην ανισότητα. Ένα τυπικό λάθος είναι να υποδείξετε αμέσως ότι το σωστό σημείο αντιστοιχεί στη γωνία, το αριστερό και να δώσετε την απάντηση. Αυτό δεν είναι αληθινό! Σημειώστε ότι μόλις υποδείξαμε το διάστημα που αντιστοιχεί στο πάνω μέρος του κύκλου, αν και μας ενδιαφέρει το κάτω μέρος, με άλλα λόγια, έχουμε μπερδέψει την αρχή και το τέλος του διαστήματος λύσης που χρειαζόμαστε.

Προκειμένου το διάστημα να ξεκινά από τη γωνία του δεξιού σημείου και να τελειώνει με τη γωνία του αριστερού σημείου, είναι απαραίτητο η πρώτη καθορισμένη γωνία να είναι μικρότερη από τη δεύτερη. Για να γίνει αυτό, θα πρέπει να μετρήσουμε τη γωνία του σωστού σημείου στην αρνητική κατεύθυνση αναφοράς, δηλαδή δεξιόστροφα και θα είναι ίση με . Στη συνέχεια, αρχίζοντας να κινούμαστε από αυτό με θετική φορά δεξιόστροφα, θα φτάσουμε στο δεξί σημείο μετά το αριστερό σημείο και θα πάρουμε την τιμή της γωνίας για αυτό. Τώρα η αρχή του διαστήματος των γωνιών είναι μικρότερη από το τέλος και μπορούμε να γράψουμε το διάστημα των λύσεων χωρίς να λάβουμε υπόψη την περίοδο:

Λαμβάνοντας υπόψη ότι τέτοια διαστήματα θα επαναληφθούν άπειρες φορές μετά από οποιονδήποτε ακέραιο αριθμό περιστροφών, λαμβάνουμε μια γενική λύση λαμβάνοντας υπόψη την ημιτονοειδή περίοδο:

Βάζουμε παρενθέσεις γιατί η ανισότητα είναι αυστηρή και διαλέγουμε τα σημεία του κύκλου που αντιστοιχούν στα άκρα του διαστήματος.

Συγκρίνετε την απάντηση που λαμβάνετε με τον τύπο για τη γενική λύση που δώσαμε στη διάλεξη.

Απάντηση. .

Αυτή η μέθοδος είναι καλή για να κατανοήσουμε από πού προέρχονται οι τύποι για τις γενικές λύσεις των απλούστερων ανισώσεων τριγώνου. Επιπλέον, είναι χρήσιμο για όσους είναι πολύ τεμπέληδες να μάθουν όλες αυτές τις δυσκίνητες φόρμουλες. Ωστόσο, η ίδια η μέθοδος δεν είναι επίσης εύκολη· επιλέξτε ποια προσέγγιση στη λύση είναι πιο βολική για εσάς.

Για την επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε γραφήματα συναρτήσεων στις οποίες κατασκευάζεται μια βοηθητική γραμμή, παρόμοια με τη μέθοδο που παρουσιάζεται χρησιμοποιώντας έναν κύκλο μονάδας. Αν σας ενδιαφέρει, προσπαθήστε να βρείτε μόνοι σας αυτήν την προσέγγιση στη λύση. Σε αυτό που ακολουθεί θα χρησιμοποιήσουμε γενικούς τύπους για να λύσουμε απλές τριγωνομετρικές ανισώσεις.

Πρόβλημα Νο. 10. Λύστε την ανισότητα.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τη γενική λύση, λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι η ανισότητα δεν είναι αυστηρή:

Στην περίπτωσή μας παίρνουμε:

Απάντηση.

Πρόβλημα Νο. 11. Λύστε την ανισότητα.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον γενικό τύπο λύσης για την αντίστοιχη αυστηρά ανισότητα:

Απάντηση. .

Πρόβλημα Νο. 12. Λύστε ανισώσεις: α) ; β) .

Σε αυτές τις ανισότητες, δεν χρειάζεται να βιαστείτε να χρησιμοποιήσετε τύπους για γενικές λύσεις ή τον τριγωνομετρικό κύκλο, αρκεί απλώς να θυμάστε το εύρος τιμών του ημιτόνου και του συνημιτόνου.

α) Από τότε , τότε η ανισότητα δεν έχει νόημα. Επομένως, δεν υπάρχουν λύσεις.

β) Αφού ομοίως, το ημίτονο οποιουδήποτε ορίσματος ικανοποιεί πάντα την ανισότητα που καθορίζεται στη συνθήκη. Επομένως, όλες οι πραγματικές τιμές του επιχειρήματος ικανοποιούν την ανισότητα.

Απάντηση. α) δεν υπάρχουν λύσεις. β) .

Πρόβλημα 13. Λύστε την ανισότητα .

Αυτή η απλούστερη ανισότητα με ένα σύνθετο όρισμα λύνεται παρόμοια με μια παρόμοια εξίσωση. Αρχικά, βρίσκουμε μια λύση για ολόκληρο το όρισμα που υποδεικνύεται σε αγκύλες και στη συνέχεια το μετατρέπουμε στη μορφή "", δουλεύοντας και με τα δύο άκρα του διαστήματος, όπως με τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης.