En la superficie. Sea uno x, el otro y. Y que estas líneas sean mutuamente perpendiculares (es decir, que se corten en ángulo recto). Además, el punto de su intersección será el origen de coordenadas de ambas rectas, y el segmento unidad es el mismo (Fig. 1).
Así que tenemos sistema de coordenadas rectangulares, y nuestro plano se ha convertido en una coordenada. Las rectas x e y se denominan ejes de coordenadas. Además, el eje x es el eje de abscisas y el eje y es el eje de ordenadas. Dicho plano generalmente se designa con el nombre de los ejes y el punto de referencia: xOy. El sistema de coordenadas rectangulares también se llama sistema de coordenadas Cartesianas, ya que por primera vez comenzó a ser utilizado activamente por el matemático y filósofo francés, René Descartes.
Los ángulos rectos formados por las rectas x e y se llaman ángulos de coordenadas. Cada esquina tiene su propio número como se muestra en la fig. 2.
Entonces, cuando hablamos de la línea de coordenadas, cada punto en esta línea tenía una coordenada. Ahora, cuando se trata del plano de coordenadas, cada punto de este plano ya tendrá dos coordenadas. Uno corresponde a la línea x (esta coordenada se llama abscisa), la otra corresponde a la recta y (esta coordenada se llama ordenada). Se escribe así: M(x;y), donde x es la abscisa y y es la ordenada. Se lee como: "Punto M con coordenadas x, y".
¿Cómo determinar las coordenadas de un punto en un plano?
Ahora sabemos que todo punto del plano tiene dos coordenadas. Para saber sus coordenadas, basta con que pasemos por este punto dos rectas, perpendiculares a los ejes de coordenadas. Los puntos de intersección de estas líneas con los ejes de coordenadas serán las coordenadas deseadas. Así, por ejemplo, en la Fig. 3, hemos determinado que las coordenadas del punto M son 5 y 3.
¿Cómo construir un punto en un plano por sus coordenadas?
También sucede que ya conocemos las coordenadas de un punto del plano. Y tenemos que encontrar su ubicación. Digamos que tenemos las coordenadas del punto (-2; 5). Es decir, la abscisa es -2 y la ordenada es 5. Tomemos un punto con la coordenada -2 en la línea x (eje de abscisas) y dibujemos una línea a a través de él, paralela al eje y. Tenga en cuenta que cualquier punto de esta línea tendrá una abscisa igual a -2. Ahora busquemos un punto con la coordenada 5 en la línea y (eje y) y dibujemos una línea b a través de él, paralela al eje x. Tenga en cuenta que cualquier punto en esta línea tendrá una ordenada igual a 5. En la intersección de las líneas ayb, habrá un punto con coordenadas (-2; 5). Lo denotamos con la letra P (Fig. 4).
Agregamos también que la recta a, cuyos puntos tienen abscisas -2 en todos sus puntos, viene dada por la ecuación
x = -2 o que x = -2 es la ecuación de la recta a. Por conveniencia, no podemos decir "la línea recta dada por la ecuación x \u003d -2", sino simplemente "la línea recta x \u003d -2". De hecho, para cualquier punto de la línea a, la igualdad x = -2 es cierta. Y la recta b, cuyos puntos tienen ordenada 5 en todos sus puntos, viene dada a su vez por la ecuación y = 5, o sea, que y = 5 es la ecuación de la recta b.
El texto de la obra se coloca sin imágenes ni fórmulas.
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Introducción
En el habla de los adultos se podía escuchar la siguiente frase: “Déjame tus coordenadas”. Esta expresión significa que el interlocutor debe dejar su dirección o número de teléfono por el cual puede ser localizado. Aquellos de ustedes que han jugado "batalla naval" usaron el sistema de coordenadas apropiado. En el ajedrez se utiliza un sistema de coordenadas similar. Los asientos en el auditorio del cine están dados por dos números: el primer número indica el número de la fila y el segundo es el número del asiento en esta fila. La idea de especificar la posición de un punto en un plano usando números se originó en la antigüedad. El sistema de coordenadas impregna toda la vida práctica de una persona y tiene una gran aplicación práctica. Por lo tanto, decidimos crear este proyecto para ampliar nuestro conocimiento sobre el tema "Plano de coordenadas".
Objetivos del proyecto:
familiarizarse con la historia de la aparición de un sistema de coordenadas rectangulares en un plano;
figuras eminentes que se ocupan de este tema;
encontrar hechos históricos interesantes;
percibir bien las coordenadas de oído; realizar construcciones con claridad y precisión;
Preparar una presentación.
Capítulo I. Plano coordinado
La idea de establecer la posición de un punto en un plano utilizando números se originó en la antigüedad, principalmente entre los astrónomos y geógrafos al compilar mapas estelares y geográficos, calendarios.
§una. Origen de coordenadas. sistema de coordenadas en geografia
Hace 200 años antes de Cristo, el científico griego Hiparco introdujo las coordenadas geográficas. Sugirió dibujar paralelos y meridianos en un mapa geográfico y marcar la latitud y la longitud con números. Con estos dos números, puede determinar con precisión la posición de una isla, un pueblo, una montaña o un pozo en el desierto y ponerlos en un mapa o globo terráqueo. Al aprender a determinar la latitud y la longitud de la ubicación del barco en el mundo abierto. , los marineros podían elegir la dirección que necesitaban.
La longitud este y la latitud norte se indican mediante números con un signo más, y la longitud oeste y la latitud sur se indican mediante signos menos. Por lo tanto, un par de números con signos define de manera única un punto en el globo.
latitud geografica? - el ángulo entre la plomada en un punto dado y el plano del ecuador, contado de 0 a 90 en ambas direcciones desde el ecuador. ¿Longitud geográfica? - el ángulo entre el plano del meridiano que pasa por el punto dado y el plano del comienzo del meridiano (ver meridiano de Greenwich). Las longitudes de 0 a 180 al este del comienzo del meridiano se denominan este, al oeste - oeste.
Para encontrar algún objeto en la ciudad, en la mayoría de los casos basta con saber su dirección. Surgen dificultades si necesita explicar dónde, por ejemplo, se encuentra una cabaña de verano, un lugar en el bosque. Las coordenadas geográficas sirven como un medio universal para especificar una ubicación.
Al entrar en una emergencia, una persona debe ante todo ser capaz de navegar por el terreno. A veces es necesario determinar las coordenadas geográficas de su ubicación, por ejemplo, para trasladar al servicio de rescate o para otros fines.
En la navegación moderna, el sistema mundial de coordenadas WGS-84 se utiliza como estándar. Todos los navegadores GPS y los principales proyectos cartográficos en Internet funcionan en este sistema de coordenadas. Las coordenadas en el sistema WGS-84 son tan comúnmente utilizadas y entendidas por todos como el tiempo universal. La precisión generalmente disponible cuando se trabaja con coordenadas geográficas es de 5 a 10 metros en el suelo.
Las coordenadas geográficas son números con signo (latitud de -90° a +90°, longitud de -180° a +180°) y se pueden escribir de varias formas: en grados (ddd.ddddd°); grados y minutos (ddd° mm.mmm"); grados, minutos y segundos (ddd° mm" ss.s"). Los formularios de registro se pueden convertir fácilmente uno en otro (1 grado = 60 minutos, 1 minuto = 60 segundos) Para indicar el signo de las coordenadas, se suelen utilizar letras, junto al nombre de los puntos cardinales: N y E - latitud norte y longitud este - números positivos, S y W - latitud sur y longitud oeste - números negativos.
La forma de escribir las coordenadas en GRADOS es la más conveniente para el ingreso manual y coincide con la notación matemática de un número. La forma de coordenadas GRADOS Y MINUTOS es el formato preferido en muchos casos, es el formato predeterminado en la mayoría de los navegadores GPS y es el estándar utilizado en la aviación y en el mar. La forma clásica de escribir las coordenadas en GRADOS, MINUTOS Y SEGUNDOS realmente no encuentra mucho uso práctico.
§2. Sistema de coordenadas en astronomía. mitos sobre las constelaciones
Como se mencionó anteriormente, la idea de establecer la posición de un punto en un plano usando números se originó en la antigüedad entre los astrónomos cuando compilaban mapas estelares. Las personas necesitaban contar el tiempo, predecir fenómenos estacionales (mareas, mareas, lluvias estacionales, inundaciones), tenían que navegar por el terreno mientras viajaban.
La astronomía es la ciencia de las estrellas, planetas, cuerpos celestes, su estructura y desarrollo.
Han pasado miles de años, la ciencia ha avanzado mucho y una persona todavía no puede apartar su mirada de admiración de la belleza del cielo nocturno.
Las constelaciones son secciones del cielo estrellado, figuras características formadas por estrellas brillantes. Todo el cielo está dividido en 88 constelaciones, lo que facilita la navegación entre las estrellas. La mayoría de los nombres de las constelaciones provienen de la antigüedad.
La constelación más famosa es Ursa Major. En el antiguo Egipto, se llamaba "Hipopótamo", y los kazajos lo llamaban "Caballo con correa", aunque exteriormente la constelación no se parece a ningún animal. ¿Qué es?
Los antiguos griegos tenían una leyenda sobre las constelaciones Ursa Major y Ursa Minor. El todopoderoso dios Zeus decidió casarse con la bella ninfa Calisto, una de las siervas de la diosa Afrodita, en contra de los deseos de esta última. Para salvar a Calisto de la persecución de la diosa, Zeus convirtió a Calisto en la Osa Mayor, a su amado perro en la Osa Menor y los llevó al cielo. Transfiere las constelaciones Ursa Major y Ursa Minor del cielo estrellado al plano de coordenadas. . Cada una de las estrellas de Ursa Major Bucket tiene su propio nombre.
EL OSO GRANDE
¡Reconozco por el CUBO!
Siete estrellas brillan aquí
Y así es como se llaman:
DUBHE ilumina la oscuridad,
MERAK arde junto a él,
Al lado está FEKDA con MEGRETS,
Un joven descarado.
De Megrets para la salida
ALIOT se encuentra,
Y detrás de él - MITSAR con ALCOR
(Estos dos brillan a coro).
Cierra nuestro balde
Benetnash incomparable.
El apunta al ojo
El camino a la constelación BOOTES,
Donde brilla la bella ARCTUR,
¡Todos lo notarán ahora!
No menos hermosa leyenda sobre las constelaciones de Cefeo, Casiopea y Andrómeda.
Etiopía fue una vez gobernada por el rey Cefeo. Una vez, su esposa, la reina Casiopea, tuvo la imprudencia de presumir de su belleza frente a los habitantes del mar: las nereidas. Este último, ofendido, se quejó al dios del mar, Poseidón, y el gobernante de los mares, enfurecido por la audacia de Casiopea, liberó a un monstruo marino, Kita, en las costas de Etiopía. Para salvar su reino de la destrucción, Cefeo, siguiendo el consejo del oráculo, decidió sacrificar al monstruo y darle a su amada hija Andrómeda para que se la comiera. Encadenó a Andrómeda a una roca costera y la dejó esperando la decisión de su destino.
Mientras tanto, al otro lado del mundo, el héroe mítico Perseo logró una atrevida hazaña. Penetró en una isla apartada donde vivían las gorgonas, monstruos asombrosos en forma de mujeres con serpientes en la cabeza en lugar de cabello. La mirada de las gorgonas era tan terrible que todos los que miraban instantáneamente se convertían en piedra.
Aprovechando el sueño de estos monstruos, Perseo cortó la cabeza de uno de ellos, la Gorgona Medusa. En ese momento, el caballo Pegaso salió revoloteando del cuerpo cercenado de Medusa. Perseo agarró la cabeza de una medusa, saltó sobre Pegaso y se precipitó por el aire hacia su tierra natal. Cuando voló sobre Etiopía, vio a Andrómeda encadenada a una roca. En este momento, la Ballena ya ha emergido de las profundidades del mar, preparándose para tragarse a su presa. Pero Perseo, lanzándose a una batalla mortal con Keith, derrotó al monstruo. Le mostró a Keith la cabeza de una medusa que aún no había perdido su fuerza, y el monstruo se petrificó, convirtiéndose en una isla. En cuanto a Perseo, habiendo desencadenado a Andrómeda, la devolvió a su padre, y Cefeo, movido por la felicidad, dio a Andrómeda por esposa a Perseo. Entonces esta historia terminó felizmente, cuyos personajes principales fueron colocados por los antiguos griegos en el cielo.
En el mapa estelar puedes encontrar no solo a Andrómeda con su padre, madre y esposo, sino también al caballo mágico Pegaso y al culpable de todos los problemas: el monstruo Kita.
La constelación Cetus se encuentra debajo de Pegasus y Andromeda. Desafortunadamente, no está marcado por ninguna estrella brillante característica y, por lo tanto, pertenece al grupo de constelaciones menores.
§3. Usando la idea de coordenadas rectangulares en la pintura.
Los rastros de la aplicación de la idea de coordenadas rectangulares en forma de cuadrícula cuadrada (paleta) se representan en la pared de una de las cámaras funerarias del Antiguo Egipto. En la cámara funeraria de la pirámide del padre de Ramsés, hay una red de cuadrados en la pared. Con su ayuda, la imagen se transfirió en forma ampliada. Los artistas del Renacimiento también utilizaron rejillas rectangulares.
La palabra "perspectiva" en latín significa "ver claramente". En las artes visuales, la perspectiva lineal es la representación de objetos en un plano de acuerdo con cambios aparentes en su tamaño. La base de la teoría de la perspectiva moderna fue establecida por los grandes artistas del Renacimiento: Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer y otros. Uno de los grabados de Durero (Fig. 3) muestra un método de dibujar del natural a través del vidrio con una rejilla cuadrada aplicada sobre él. Este proceso se puede describir de la siguiente manera: si se para frente a la ventana y, sin cambiar su punto de vista, encierra en un círculo todo lo que se ve detrás de él en el vidrio, el dibujo resultante será una imagen en perspectiva del espacio.
Métodos de diseño egipcios que parecen haberse basado en patrones de cuadrículas cuadradas. Hay numerosos ejemplos en el arte egipcio que muestran que los pintores y escultores dibujaron primero una cuadrícula en la pared, que debía pintarse o tallarse para mantener las proporciones establecidas. Las simples relaciones numéricas de estas cuadrículas están en el centro de todas las grandes obras artísticas de los egipcios.
El mismo método fue utilizado por muchos artistas del Renacimiento, incluido Leonardo da Vinci. En el antiguo Egipto, esto se materializó en la Gran Pirámide, lo que se ve reforzado por su estrecha conexión con el patrón de Marlborough Down.
Al ponerse a trabajar, el artista egipcio dibujó una cuadrícula de líneas rectas en la pared y luego transfirió cuidadosamente las figuras sobre ella. Pero el orden geométrico no le impidió recrear la naturaleza con precisión detallada. La apariencia de cada pez, cada ave, se transmite con tal veracidad que los zoólogos modernos pueden determinar fácilmente su especie. La figura 4 muestra un detalle de la composición de la ilustración: un árbol con pájaros atrapados en la red de Khnumhotep. El movimiento de la mano del artista fue guiado no solo por las reservas de sus habilidades, sino también por un ojo sensible a los contornos de la naturaleza.
Fig.4 Aves en acacia
Capitulo dos. Método de coordenadas en matemáticas
§una. Aplicación de coordenadas en matemáticas. Méritos
matemático francés René Descartes
Durante mucho tiempo, solo la geografía "descripción de la tierra" utilizó este maravilloso invento, y solo en el siglo XIV, el matemático francés Nicolas Orem (1323-1382) intentó aplicarlo a la "medición de la tierra": la geometría. Propuso cubrir el plano con una cuadrícula rectangular y llamar latitud y longitud a lo que ahora llamamos abscisa y ordenada.
A partir de esta exitosa innovación surgió el método de las coordenadas, que vincula la geometría con el álgebra. El principal mérito en la creación de este método pertenece al gran matemático francés René Descartes (1596 - 1650). En su honor, dicho sistema de coordenadas se llama cartesiano, que denota la ubicación de cualquier punto en el plano por las distancias desde este punto hasta la "latitud cero" - el eje de abscisas "y el" meridiano cero "- el eje de ordenadas.
Sin embargo, este brillante científico y pensador francés del siglo XVII (1596 - 1650) no encontró inmediatamente su lugar en la vida. Nacido en una familia noble, Descartes recibió una buena educación. En 1606, su padre lo envió al colegio de los jesuitas de La Fleche. Dada la no muy buena salud de Descartes, se le hicieron algunas indulgencias en el estricto régimen de esta institución educativa, por ejemplo, se le permitía levantarse más tarde que los demás. Habiendo adquirido muchos conocimientos en el colegio, Descartes al mismo tiempo estaba imbuido de una antipatía por la filosofía escolástica, que conservó durante toda su vida.
Después de graduarse de la universidad, Descartes continuó su educación. En 1616, en la Universidad de Poitiers, se licenció en derecho. En 1617 Descartes se unió al ejército y viajó mucho por Europa.
1619 resultó ser científicamente un año clave para Descartes.
Fue en ese momento, como él mismo escribió en su diario, cuando se le revelaron los fundamentos de una nueva “ciencia asombrosa”. Lo más probable es que Descartes tuviera en mente el descubrimiento de un método científico universal, que luego aplicó fructíferamente en una variedad de disciplinas.
En la década de 1620, Descartes conoció al matemático M. Mersenne, a través del cual “se mantuvo en contacto” con toda la comunidad científica europea durante muchos años.
En 1628, Descartes se instaló en los Países Bajos durante más de 15 años, pero no se instaló en ningún lugar, sino que cambió de lugar de residencia unas dos docenas de veces.
En 1633, al enterarse de la condena de Galileo por parte de la iglesia, Descartes se niega a publicar la obra natural-filosófica El Mundo, que esboza las ideas del origen natural del universo según las leyes mecánicas de la materia.
En 1637 se publicó en francés el Discurso del método de Descartes, con el que, como muchos creen, se inició la filosofía europea moderna.
También tuvo una gran influencia en el pensamiento europeo la última obra filosófica de Descartes, Las pasiones del alma, publicada en 1649. Ese mismo año, invitado por la reina sueca Cristina, Descartes viaja a Suecia. El clima riguroso y el régimen inusual (la reina obligó a Descartes a levantarse a las 5 de la mañana para darle lecciones y realizar otras tareas) minaron la salud de Descartes y, resfriado,
murió de neumonía.
Según la tradición introducida por Descartes, la "latitud" de un punto se denota con la letra x, "longitud" - con la letra y
Muchas formas de especificar un lugar se basan en este sistema.
Por ejemplo, hay dos números en una entrada de cine: una fila y un asiento; se pueden considerar como las coordenadas de un asiento en la sala.
En el ajedrez se aceptan coordenadas similares. En lugar de uno de los números, se toma una letra: las filas verticales de celdas se indican con letras del alfabeto latino y las filas horizontales con números. Por lo tanto, a cada celda del tablero de ajedrez se le asigna un par de letras y números, y los jugadores de ajedrez tienen la oportunidad de escribir sus juegos. Konstantin Simonov escribe sobre el uso de coordenadas en su poema "El hijo de un artillero".
Toda la noche, caminando como un péndulo
Mayor no cerró los ojos,
Mientras en la radio por la mañana
Llegó la primera señal:
"Está bien, lo tengo,
Los alemanes me dejaron
Coordenadas (3;10),
Más bien, ¡vamos a disparar!
Las armas estaban cargadas
El mayor calculó todo él mismo.
Y con estruendo las primeras andanadas
Golpearon las montañas.
Y de nuevo la señal en la radio:
"Los alemanes me dan la razón,
Coordenadas (5; 10),
¡Más fuego!
La tierra y las rocas volaron
Se elevó una columna de humo.
Parecía que ahora de ahí
Nadie sale con vida.
La tercera señal en la radio:
"Alemanes a mi alrededor,
Coordenadas (4; 10),
No ahorres el fuego.
El Mayor palideció al escuchar:
(4;10) - solo
El lugar donde su Lyonka
Debe sentarse ahora.
Konstantin Simonov "Hijo de un artillero"
§2. Leyendas sobre la invención del sistema de coordenadas
Hay varias leyendas sobre la invención del sistema de coordenadas que lleva el nombre de Descartes.
Leyenda 1
Tal historia ha llegado a nuestros tiempos.
En su visita a los teatros parisinos, Descartes no se cansaba de sorprenderse ante la confusión, las riñas ya veces los desafíos a duelo provocados por la falta de un orden elemental de distribución del público en el auditorio. El sistema de numeración que propuso, en el que cada lugar recibía un número de fila y un número de serie desde el borde, eliminó de inmediato todas las ocasiones de contención y causó sensación en la alta sociedad parisina.
Leyenda2. Una vez, René Descartes estuvo todo el día en la cama, pensando en algo, y una mosca zumbaba alrededor y no le permitía concentrarse. Empezó a pensar en cómo describir matemáticamente la posición de la mosca en un momento dado para poder aplastarla sin fallar. Y... se le ocurrió, las coordenadas cartesianas, uno de los mayores inventos de la historia de la humanidad.
Markovtsev Yu.
Érase una vez en una ciudad desconocida
Llegó el joven Descartes.
Estaba terriblemente hambriento.
Era un frío mes de marzo.
Decidió recurrir a un transeúnte
Descartes, tratando de calmar el temblor:
¿Dónde está el hotel, por favor?
Y la señora empezó a explicar:
- ir a la lechería
Luego a la panadería, detrás de ella.
Gypsy vende alfileres
y veneno para ratas y ratones,
Encuéntralos seguro
Quesos, galletas, frutas
Y sedas de colores...
Escuché todas estas explicaciones.
Descartes, temblando de frío.
el realmente queria comer
- Detrás de las tiendas hay una farmacia.
(el farmacéutico allí es un sueco bigotudo),
Y la iglesia, donde a principios de siglo
Casado, al parecer, mi abuelo ...
Cuando la dama guardó silencio por un momento,
De repente su criado dijo:
- Camina tres cuadras en línea recta
Y dos a la derecha. Entrada desde la esquina.
Esta es la tercera fábula sobre el acontecimiento que le dio a Descartes la idea de las coordenadas.
Conclusión
Al crear nuestro proyecto, aprendimos sobre el uso del plano de coordenadas en varios campos de la ciencia y la vida cotidiana, algunos datos de la historia del origen del plano de coordenadas y matemáticos que hicieron una gran contribución a esta invención. El material que hemos recopilado en el curso de la redacción del trabajo se puede utilizar en el aula como material adicional para las lecciones. Todo esto puede interesar a los estudiantes y alegrar el proceso de aprendizaje.
Y nos gustaría terminar con estas palabras:
“Imagina tu vida como un plano de coordenadas. El eje y es tu posición en la sociedad. El eje x avanza, hacia la meta, hacia tu sueño. Y como sabemos, es infinito… podemos caer, profundizar más y más en el menos, podemos quedarnos en cero y no hacer nada, absolutamente nada. Podemos levantarnos, podemos caer, podemos avanzar o retroceder, y todo porque toda nuestra vida es un plano de coordenadas y lo más importante aquí es cuál es tu coordenada..."
Bibliografía
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Steve Parker, Nicolás Harris. Enciclopedia ilustrada para niños. Secretos del universo. Járkov Bélgorod. 2008
Materiales del sitio http://istina.rin.ru/
Si construimos dos ejes numéricos perpendiculares entre sí en un plano: BUEY y OY, entonces se llamarán ejes de coordenadas. Eje horizontal BUEY llamó eje x(eje X), eje vertical OY - eje y(eje y).
Punto O, de pie en la intersección de los ejes, se llama origen. Es el punto cero para ambos ejes. Los números positivos se muestran en el eje de abscisas con puntos a la derecha, y en el eje de ordenadas, puntos hacia arriba desde el punto cero. Los números negativos están representados por puntos a la izquierda y hacia abajo desde el origen (puntos O). El plano en el que se encuentran los ejes de coordenadas se llama Plano coordinado.
Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro partes llamadas cuarteles o cuadrantes. Es costumbre numerar estos cuartos con números romanos en el orden en que están numerados en el dibujo.
Punto de coordenadas en el plano
Si tomamos un punto arbitrario en el plano de coordenadas A y dibuje perpendiculares desde allí a los ejes de coordenadas, entonces las bases de las perpendiculares estarán en dos números. El número al que apunta la perpendicular vertical se llama punto de abscisa A. El número al que apunta la perpendicular horizontal es - punto de ordenadas A.
Sobre el dibujo de la abscisa del punto. A es 3 y la ordenada es 5.
La abscisa y la ordenada se llaman las coordenadas de un punto dado en el plano.
Las coordenadas de los puntos se escriben entre paréntesis a la derecha de la designación del punto. Primero se escribe la abscisa, seguida de la ordenada. así que graba A(3; 5) significa que la abscisa del punto A es igual a tres, y la ordenada es cinco.
Las coordenadas de un punto son números que determinan su posición en el plano.
Si el punto se encuentra en el eje x, entonces su ordenada es cero (por ejemplo, el punto B con coordenadas -2 y 0). Si el punto se encuentra en el eje y, entonces su abscisa es cero (por ejemplo, el punto C con coordenadas 0 y -4).
Punto de origen O- tiene abscisas y ordenadas iguales a cero: O (0; 0).
Este sistema de coordenadas se llama rectangular o cartesiano.
Las matemáticas son una ciencia bastante compleja. Al estudiarlo, uno no solo tiene que resolver ejemplos y problemas, sino también trabajar con varias figuras e incluso planos. Uno de los más utilizados en matemáticas es el sistema de coordenadas en el plano. A los niños se les ha enseñado cómo trabajar con él correctamente durante más de un año. Por eso, es importante saber qué es y cómo trabajar con él correctamente.
Averigüemos qué es este sistema, qué acciones puede realizar con él y también descubramos sus principales características y características.
Definición del concepto
Un plano de coordenadas es un plano en el que se define un sistema de coordenadas determinado. Tal plano está definido por dos líneas rectas que se cortan en ángulo recto. El punto de intersección de estas líneas es el origen de coordenadas. Cada punto en el plano de coordenadas está dado por un par de números, que se llaman coordenadas.
En un curso de matemáticas de la escuela, los estudiantes tienen que trabajar muy de cerca con un sistema de coordenadas: construir figuras y puntos en él, determinar a qué plano pertenece una coordenada particular y también determinar las coordenadas de un punto y escribirlas o nombrarlas. Por lo tanto, hablemos con más detalle sobre todas las características de las coordenadas. Pero primero, toquemos la historia de la creación y luego hablaremos sobre cómo trabajar en el plano de coordenadas.
referencia histórica
Las ideas sobre la creación de un sistema de coordenadas datan de los días de Ptolomeo. Incluso entonces, los astrónomos y los matemáticos estaban pensando en cómo aprender a establecer la posición de un punto en un plano. Desafortunadamente, en ese momento no conocíamos ningún sistema de coordenadas y los científicos tuvieron que usar otros sistemas.
Inicialmente, establecen puntos especificando la latitud y la longitud. Durante mucho tiempo fue una de las formas más utilizadas de mapear tal o cual información. Pero en 1637, René Descartes creó su propio sistema de coordenadas, más tarde llamado "cartesiano".
Ya a finales del siglo XVII. el concepto de "plano de coordenadas" se ha vuelto muy utilizado en el mundo de las matemáticas. A pesar de que han pasado varios siglos desde la creación de este sistema, todavía se usa mucho en las matemáticas e incluso en la vida.
Ejemplos de plano de coordenadas
Antes de hablar de la teoría, daremos algunos ejemplos ilustrativos del plano de coordenadas para que puedas imaginarlo. El sistema de coordenadas se utiliza principalmente en el ajedrez. En el tablero, cada cuadrado tiene sus propias coordenadas: una coordenada de letras, la segunda, digital. Con su ayuda, puedes determinar la posición de una pieza en particular en el tablero.
El segundo ejemplo más llamativo es el amado juego "Battleship". Recuerda cómo, al jugar, nombras una coordenada, por ejemplo, B3, indicando así exactamente hacia dónde apuntas. Al mismo tiempo, al colocar los barcos, establece puntos en el plano de coordenadas.
Este sistema de coordenadas se usa ampliamente no solo en matemáticas, juegos lógicos, sino también en asuntos militares, astronomía, física y muchas otras ciencias.
Ejes de coordenadas
Como ya se mencionó, se distinguen dos ejes en el sistema de coordenadas. Hablemos un poco de ellos, ya que son de considerable importancia.
El primer eje, la abscisa, es horizontal. Se denota como ( Buey). El segundo eje es la ordenada, que pasa verticalmente por el punto de referencia y se denota como ( Oye). Son estos dos ejes los que forman el sistema de coordenadas, dividiendo el plano en cuatro cuartos. El origen se encuentra en el punto de intersección de estos dos ejes y toma el valor 0 . Sólo si el plano está formado por dos ejes que se cortan perpendicularmente y tienen un punto de referencia, es un plano de coordenadas.
También tenga en cuenta que cada uno de los ejes tiene su propia dirección. Por lo general, cuando se construye un sistema de coordenadas, se acostumbra indicar la dirección del eje en forma de flecha. Además, al construir el plano de coordenadas, se firma cada uno de los ejes.
cuarteles
Ahora digamos algunas palabras sobre un concepto como cuartos del plano de coordenadas. El plano está dividido por dos ejes en cuatro cuartos. Cada uno de ellos tiene su propio número, mientras que la numeración de los planos es en sentido contrario a las agujas del reloj.
Cada uno de los barrios tiene sus propias características. Entonces, en el primer cuarto, la abscisa y la ordenada son positivas, en el segundo cuarto, la abscisa es negativa, la ordenada es positiva, en el tercero, tanto la abscisa como la ordenada son negativas, en el cuarto, la abscisa es positivo y la ordenada es negativa.
Al recordar estas características, puede determinar fácilmente a qué trimestre pertenece un punto en particular. Además, esta información te puede ser útil si tienes que hacer cálculos usando el sistema cartesiano.
Trabajando con el plano de coordenadas
Cuando hayamos tratado el concepto de un plano y hayamos hablado sobre sus cuartos, podemos pasar a un problema como trabajar con este sistema, y también hablar sobre cómo poner puntos, coordenadas de figuras en él. En el plano de coordenadas, esto no es tan difícil como podría parecer a primera vista.
En primer lugar, se construye el sistema en sí, se le aplican todas las designaciones importantes. Luego está el trabajo directo con puntos o figuras. En este caso, incluso al construir figuras, primero se aplican puntos al plano y luego las figuras ya están dibujadas.
Reglas para construir un avión.
Si decide comenzar a marcar formas y puntos en papel, necesitará un plano de coordenadas. En él se trazan las coordenadas de los puntos. Para construir un plano de coordenadas, solo necesitas una regla y un bolígrafo o lápiz. Primero, se dibuja la abscisa horizontal, luego la ordenada vertical. Es importante recordar que los ejes se cortan en ángulo recto.
El siguiente elemento obligatorio es el marcado. Unidades-segmentos están marcados y firmados en cada uno de los ejes en ambas direcciones. Esto se hace para que luego pueda trabajar con el avión con la máxima comodidad.
Marcando un punto
Ahora hablemos de cómo trazar las coordenadas de los puntos en el plano de coordenadas. Estos son los conceptos básicos que necesita saber para colocar con éxito una variedad de formas en el plano e incluso marcar ecuaciones.
Al construir puntos, uno debe recordar cómo se registran correctamente sus coordenadas. Entonces, generalmente estableciendo un punto, se escriben dos números entre paréntesis. El primer dígito indica la coordenada del punto a lo largo del eje de abscisas, el segundo, a lo largo del eje de ordenadas.
El punto debe construirse de esta manera. Marcar en el eje primero Buey punto dado, luego marque un punto en el eje Oye. Luego, dibuje líneas imaginarias a partir de estas designaciones y encuentre el lugar de su intersección; este será el punto dado.
Todo lo que tienes que hacer es marcarlo y firmarlo. Como puede ver, todo es bastante simple y no requiere habilidades especiales.
Colocar una forma
Ahora pasemos a una pregunta como la construcción de figuras en el plano de coordenadas. Para construir cualquier figura en el plano de coordenadas, debes saber cómo colocar puntos en él. Si sabe cómo hacer esto, entonces colocar una figura en un plano no es tan difícil.
En primer lugar, necesitarás las coordenadas de los puntos de la figura. Es sobre ellos que aplicaremos los que ha elegido a nuestro sistema de coordenadas Consideremos dibujar un rectángulo, un triángulo y un círculo.
Comencemos con un rectángulo. Aplicarlo es bastante fácil. Primero, se aplican cuatro puntos al plano, indicando las esquinas del rectángulo. Entonces todos los puntos se conectan secuencialmente entre sí.
Dibujar un triángulo no es diferente. Lo único es que tiene tres esquinas, lo que significa que se aplican tres puntos al plano, que denotan sus vértices.
Respecto al círculo, aquí debes saber las coordenadas de dos puntos. El primer punto es el centro del círculo, el segundo es el punto que indica su radio. Estos dos puntos están trazados en un plano. Luego se toma una brújula, se mide la distancia entre dos puntos. La punta de la brújula se coloca en un punto que indica el centro y se describe un círculo.
Como puede ver, aquí tampoco hay nada complicado, lo principal es que siempre hay una regla y un compás a mano.
Ahora ya sabe cómo trazar coordenadas de formas. En el plano de coordenadas, esto no es tan difícil de hacer, como podría parecer a primera vista.
conclusiones
Entonces, hemos considerado con ustedes uno de los conceptos más interesantes y básicos de las matemáticas con los que todo estudiante tiene que lidiar.
Hemos descubierto que el plano de coordenadas es el plano formado por la intersección de dos ejes. Con su ayuda, puede establecer las coordenadas de los puntos, ponerles formas. El avión está dividido en cuartos, cada uno de los cuales tiene sus propias características.
La habilidad principal que debe desarrollarse cuando se trabaja con el plano de coordenadas es la capacidad de trazar correctamente puntos dados en él. Para hacer esto, debe conocer la ubicación correcta de los ejes, las características de los cuartos, así como las reglas por las cuales se establecen las coordenadas de los puntos.
Esperamos que la información proporcionada por nosotros haya sido accesible y comprensible, y también haya sido útil para usted y haya ayudado a comprender mejor este tema.
Comprender el plano de coordenadas
Cada objeto (por ejemplo, una casa, un lugar en el auditorio, un punto en el mapa) tiene su propia dirección ordenada (coordenadas), que tiene una designación numérica o alfabética.
Los matemáticos han desarrollado un modelo que permite determinar la posición de un objeto y se llama Plano coordinado.
Para construir un plano de coordenadas, debe dibujar $2$ líneas perpendiculares, al final de las cuales se indican con las flechas de dirección "derecha" y "arriba". Las divisiones se aplican a las líneas y el punto de intersección de las líneas es la marca cero para ambas escalas.
Definición 1
La línea horizontal se llama eje x y se denota por x, y la línea vertical se llama eje y y está marcado como y.
Dos ejes perpendiculares x e y con divisiones son rectangular, o cartesiano, sistema coordinado propuesto por el filósofo y matemático francés René Descartes.
Plano coordinado
Coordenadas del punto
Un punto en el plano de coordenadas está definido por dos coordenadas.
Para determinar las coordenadas del punto $A$ en el plano de coordenadas, debe dibujar líneas rectas a través de él, que serán paralelas a los ejes de coordenadas (en la figura están marcadas con una línea de puntos). La intersección de la línea con el eje x da la coordenada $x$ de $A$, y la intersección con el eje y da la coordenada y de $A$. Al escribir las coordenadas de un punto, primero se escribe la coordenada $x$ y luego la coordenada $y$.
El punto $A$ de la figura tiene las coordenadas $(3; 2)$ y el punto $B (–1; 4)$.
Para trazar un punto en un plano de coordenadas, proceda en orden inverso.
Construyendo un punto por coordenadas dadas
Ejemplo 1
Construya los puntos $A(2;5)$ y $B(3; –1).$ en el plano de coordenadas
Solución.
Punto de construcción $A$:
- coloque el número $2$ en el eje $x$ y dibuje una línea perpendicular;
- en el eje y trazamos el número $5$ y dibujamos una línea recta perpendicular al eje $y$. En la intersección de rectas perpendiculares, obtenemos el punto $A$ con coordenadas $(2; 5)$.
Punto de construcción $B$:
- trace el número $3$ en el eje $x$ y dibuje una línea recta perpendicular al eje x;
- trace el número $(–1)$ en el eje $y$ y dibuje una línea recta perpendicular al eje $y$. En la intersección de rectas perpendiculares, obtenemos el punto $B$ con coordenadas $(3; –1)$.
Ejemplo 2
Construye puntos en el plano de coordenadas con las coordenadas dadas $C (3; 0)$ y $D(0; 2)$.
Solución.
Construcción del punto $C$:
- poner el número $3$ en el eje $x$;
- la coordenada $y$ es igual a cero, por lo que el punto $C$ estará en el eje $x$.
Construcción del punto $D$:
- pon el número $2$ en el eje $y$;
- la coordenada $x$ es igual a cero, lo que significa que el punto $D$ estará en el eje $y$.
Observación 1
Por lo tanto, en la coordenada $x=0$ el punto estará en el eje $y$, y en la coordenada $y=0$ el punto estará en el eje $x$.
Ejemplo 3
Determinar las coordenadas de los puntos A, B, C, D.$
Solución.
Determinemos las coordenadas del punto $A$. Para ello trazamos rectas por este punto $2$, que serán paralelas a los ejes de coordenadas. La intersección de una línea recta con el eje de abscisas da la coordenada $x$, la intersección de la línea recta con el eje y da la coordenada $y$. Así, obtenemos que el punto $A (1; 3).$
Determinemos las coordenadas del punto $B$. Para ello trazamos rectas por este punto $2$, que serán paralelas a los ejes de coordenadas. La intersección de una línea recta con el eje de abscisas da la coordenada $x$, la intersección de la línea recta con el eje y da la coordenada $y$. Obtenemos que el punto $B (–2; 4).$
Determinemos las coordenadas del punto $C$. Porque se encuentra en el eje $y$, entonces la coordenada $x$ de este punto es igual a cero. La coordenada y es $–2$. Así, el punto es $C (0; –2)$.
Determinemos las coordenadas del punto $D$. Porque está en el eje $x$, entonces la coordenada $y$ es igual a cero. La coordenada $x$ de este punto es $–5$. Así, el punto $D (5; 0).$
Ejemplo 4
Construya los puntos $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$
Solución.
Construcción del punto $E$:
- coloque el número $(–3)$ en el eje $x$ y dibuje una línea perpendicular;
- coloque el número $(–2)$ en el eje $y$ y dibuje una línea perpendicular al eje $y$;
- en la intersección de rectas perpendiculares obtenemos el punto $E (–3; –2).$
Punto de construcción $F$:
- coordenada $y=0$, por lo que el punto se encuentra en el eje $x$;
- trace el número $5$ en el eje $x$ y obtenga el punto $F(5; 0).$
Construcción del punto $G$:
- coloque el número $3$ en el eje $x$ y dibuje una línea perpendicular al eje $x$;
- coloque el número $4$ en el eje $y$ y dibuje una línea perpendicular al eje $y$;
- en la intersección de rectas perpendiculares obtenemos el punto $G(3; 4).$
Construcción del punto $H$:
- coordenada $x=0$, por lo que el punto se encuentra en el eje $y$;
- trace el número $(–4)$ en el eje $y$ y obtenga el punto $H(0; –4).$
Construcción del punto $O$:
- ambas coordenadas del punto son iguales a cero, lo que significa que el punto se encuentra tanto en el eje $y$ como en el eje $x$, por lo tanto es el punto de intersección de ambos ejes (origen de coordenadas).
