Modelo de lección sobre el tema:
"Resolución de ecuaciones y desigualdades trigonométricas"
como parte de la implementación del componente regional en matemáticas
para estudiantes de décimo grado.
Pomikalova
Elena Viktorovna
profesor de matematicas
Institución educativa municipal escuela secundaria del pueblo de Voskhod
Distrito de Balashovsky
región de saratov
El propósito de la lección.
1. Resumir los conocimientos teóricos sobre el tema: “Resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas”, repetir los métodos básicos para resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas.
2. Desarrollar las cualidades del pensamiento: flexibilidad, concentración, racionalidad. Organizar el trabajo de los estudiantes sobre el tema especificado en un nivel correspondiente al nivel de conocimientos ya formado.
3. Cultivar la precisión de las notas, la cultura del habla y la independencia.
Tipo de lección: una lección de generalización y sistematización de los conocimientos adquiridos en el estudio de este tema.
Métodos de enseñanza: generalización del sistema, prueba de comprobación del nivel de conocimientos, resolución de problemas de generalización.
Formas de organización de lecciones: frontal, individual.
Equipo: computadora , proyector multimedia, hojas de respuestas, tarjetas de tareas, tabla de fórmulas para raíces de ecuaciones trigonométricas.
Durante las clases.
I . Inicio de la lección
El maestro informa a los estudiantes sobre el tema de la lección, el propósito y les llama la atención sobre los folletos.
II . Seguimiento del conocimiento de los estudiantes
1) Trabajo oral (La tarea se proyecta en la pantalla)
Calcular:
A) ;
b) ;
V);
G);
d) ;
mi).
2) Encuesta frontal a los estudiantes.
¿Qué ecuaciones se llaman trigonométricas?
¿Qué tipos de ecuaciones trigonométricas conoces?
¿Qué ecuaciones se llaman ecuaciones trigonométricas más simples?
¿Qué ecuaciones se llaman homogéneas?
¿Qué ecuaciones se llaman cuadráticas?
¿Qué ecuaciones se llaman no homogéneas?
¿Qué métodos para resolver ecuaciones trigonométricas conoces?
Después de que los estudiantes respondan, se proyectan en la pantalla algunas formas de resolver ecuaciones trigonométricas.
Introduciendo una nueva variable:
№1 . 2sen²x – 5senx + 2 = 0.№2. tg + 3ctg = 4.
Dejar senx = t, |t|≤1, Dejar tg =z,
Tenemos: 2 t² – 5 t + 2 = 0. Tenemos: z + = 4.
2. Factorización :
2 pecadoporque 5 X – porque 5 X = 0;
cos5x (2sinx – 1) = 0.
Tenemos : cos5x = 0,
2sinx – 1 = 0; ...
3. Ecuaciones trigonométricas homogéneas:
I grados II grados
a senx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). a sen²x + b senx cosx + c cos²x = 0.
Dividido por cosx≠ 0. 1) si a ≠ 0, dividir porporque² X ≠ 0
Tenemos : a tgx + b = 0; ...tenemos : a tg²x + b tgx + c = 0.
2) si a = 0, entonces
tenemos: bpecadocosx + Cporque² X =0;…
4. Ecuaciones trigonométricas no homogéneas:
Ecuaciones de la forma: asinx + bcosx = C
4 pecado + 3 cosx = 5.
(Muestre dos formas)
1) uso de sustitución universal:
pecado = (2 tgX/2) / (1 + tg 2 X/2);
cosx = (1– tg 2 X/2) / (1 + tg 2 X/2);
2) introducir un argumento auxiliar:
4 pecado + 3 cosx = 5
Divida ambos lados por 5:
4/5 pecado + 3/5 cosx = 1
Como (4/5) 2 + (3/5) 2 = 1, entonces sea 4/5 = pecadoφ; 3/5= cosφ, donde 0< φ < π /2, entonces
pecadoφsinx + cosφcosx = 1
porque(X – φ ) = 1
X – φ = 2 n, norte € z
X = 2 n + φ , norte € z
φ = arccos 3/5 significa X = arcos 3/5 +2 n, norte € z
Respuesta: arccos 3/5 + 2 n, norte € z
3) Resolver ecuaciones utilizando fórmulas para reducir el grado.
4) Aplicación de fórmulas de doble y triple argumento.
a) 2sen4xcos2x = 4cos 3 2x – 3cos2x
cos6x + cos2x = cos6x
III . Ejecutar una tarea de prueba
El profesor pide a los estudiantes que apliquen los hechos teóricos recién formulados para resolver ecuaciones.
La tarea se realiza en forma de prueba. Los estudiantes completan el formulario de respuestas ubicado en sus escritorios.
La tarea se proyecta en la pantalla.
Sugiera una manera de resolver esta ecuación trigonométrica:
1) reducción al cuadrado;
2) reducción a la homogeneidad;
3) factorización;
4) reducción de grado;
5) convertir la suma de funciones trigonométricas en un producto.
Formulario de respuesta.
Opción I
La ecuacion
Soluciones
3 sen²x + cos²x = 1 - senx cosx
4 co sexo²x- cosx– 1 = 0
2 pecado² X / 2 +cosx=1
cosx + cos3x = 0
2 sinx cos5x – cos5x = 0
Opción II
La ecuacion
Soluciones
2senxcosx – senx = 0
3 cos²x - cos2x = 1
6 sen²x + 4 senx cosx = 1
4 sen²x + 11 sen²x = 3
pecado3x = pecado17x
Respuestas:
Opción I Opción II
IV . Repetir fórmulas para resolver ecuaciones.
Fórmulas para raíces de ecuaciones trigonométricas.
Son comunes
Privado
La ecuacion
Fórmula raíz
La ecuacion
Fórmula raíz
1. pecado = a, |a|≤1
x = (-1) norte arcosen a + πk,
kє z
1. senx = 0
x = πk, kє z
2. cosx = a, |a|≤1
x = ±arccos a + 2πk,
kє z
2. senx = 1
x = + 2πk, k є z
3.tg x = a
x = arctan a + πk, kє z
3. senx = –1
x = – + 2πk, k є z
4.ctg x = a
x = arcctg a + πk,kє z
4. cosx = 0
x = + πk, k є z
5. cosx = 1
x = 2πk, k є z
6. cosx = –1
x = π + 2πk, k є z
Trabajo oral de resolución de ecuaciones trigonométricas simples.
El profesor pide a los estudiantes que apliquen los hechos teóricos recién formulados para resolver ecuaciones. En la pantalla se proyecta un simulador para el trabajo oral sobre el tema: “Ecuaciones trigonométricas”.
Resolver ecuaciones.
pecadoX = 0
porqueX = 1
bronceado x = 0
caja x = 1
pecado x = - 1 / 2
pecado x = 1
porque x = 1 / 2
pecado x = - √3 / 2
porque x = √2 / 2
pecado x = √2 / 2
porque x = √3 / 2
tan x = √3
pecado x = 1 / 2
pecado x = -1
porque x = - 1 / 2
pecado x = √3 / 2
tan x = -√3
ctg x = √3 / 3
bronceado x = - √3 / 3
cuna x = -√3
porque x – 1 =0
2 sen x – 1 =0
2ctg x + √3 = 0
V . Resolver ejemplos.
Se distribuyen tarjetas con tareas en cada escritorio, una está en el escritorio del maestro para que los estudiantes se acerquen a la pizarra.
№1. Encuentra la media aritmética de todas las raíces de la ecuación. , satisfaciendo la condición ;
Solución.
Encontremos la media aritmética de todas las raíces de una ecuación dada del intervalo .
.
Respuesta: a).
№2 . Resuelve la desigualdad .
Solución.
,
,
.
Respuesta: 
№3. Resuelve la ecuación .
(Determinen conjuntamente un método para resolver el problema.)
Solución.
Estimemos los lados derecho e izquierdo de la última igualdad.
Por lo tanto, la igualdad se cumple si y sólo si el sistema se cumple
Respuesta: 0,5
VI . Trabajo independiente
El profesor asigna tareas para el trabajo independiente. Las cartas se preparan según los niveles de dificultad.
A los estudiantes más preparados se les pueden entregar tarjetas con tareas de mayor nivel de complejidad.
El profesor entregó a los alumnos del 2º grupo tarjetas con tareas de nivel básico de complejidad.
Para los estudiantes del tercer grupo, el maestro compiló tarjetas con tareas de un nivel básico de complejidad, pero estos son, por regla general, estudiantes con mala preparación matemática, pueden completar las tareas bajo la supervisión del maestro.
Junto con las tareas, los estudiantes reciben formularios para completar las tareas.
1 grupo
Opción #1 (1)
1. Resuelve la ecuación
2. Resuelve la ecuación .
Opción #2 (1)
1. Resuelve la ecuación .
2. Resuelve la ecuación .
2do grupo
Opción #1 (2)
1. Resuelve la ecuación .
2. Resuelve la ecuación .
Para ver la presentación con imágenes, diseño y diapositivas, descargue su archivo y ábralo en PowerPoint en tu ordenador.
Contenido del texto de las diapositivas de la presentación: Resolver desigualdades trigonométricas mediante el método de intervalos 10 Una clase Profesora: Uskova N.N. MBOU Lyceum No. 60 Objetivos de la lección: Educativo: ampliar y profundizar el conocimiento sobre el tema “Método de intervalos”; adquirir habilidades prácticas para completar tareas utilizando el método de intervalos; aumentar el nivel de formación matemática de los escolares; De desarrollo: desarrollo de habilidades de investigación; Educativo: formación de observación, independencia, capacidad de interactuar con otras personas, fomentar una cultura de pensamiento, una cultura del habla, interés por el tema académico. Progreso de la lección Comprobación de la tarea Trabajo independiente Explicación de material nuevo sobre el tema "Resolver desigualdades trigonométricas por el método de intervalo": algoritmo de solución, ejemplos de desigualdades Resumen de la lección Tarea Verificar tareas Resolver desigualdades: Trabajo independiente Además: 1) 2) Verificar tareas Resolver desigualdades: a) Solución. Respuesta: b) Solución. Respuesta: c) Solución. Respuesta: d) Solución. Respuesta: . Resolver desigualdad Solución. Respuesta: Ejemplo 1. Resuelve la desigualdad usando el método de intervalo Solución. 1) 2) Ceros de la función: 3) Signos de la función en intervalos: + - + - + 4) Como la desigualdad no es estricta, se incluyen las raíces 5) Solución: Respuesta: Ejemplo 2. Resolver la desigualdad: Solución . Respuesta: Método I: Método II: Respuesta: Resolver desigualdades trigonométricas usando el método de intervalos Algoritmo: Usando fórmulas trigonométricas factorizar Encontrar puntos de discontinuidad y ceros de la función, ubicarlos en el círculo Tomar cualquier punto x0 (pero no encontrado previamente) y descubre que el letrero funciona. Si el producto es positivo, entonces coloque un “+” detrás del círculo unitario en el rayo correspondiente al ángulo. De lo contrario, coloque un signo "-" dentro del círculo. Si un punto ocurre un número par de veces, lo llamamos punto de multiplicidad par, si es un número impar de veces, lo llamamos punto de multiplicidad impar. Dibuje arcos de la siguiente manera: comience desde el punto x0, si el siguiente punto es de multiplicidad impar, entonces el arco cruza el círculo en este punto, pero si el punto es de multiplicidad par, entonces no. Los arcos más allá del círculo son intervalos positivos ; dentro del círculo hay espacios negativos. Solución de ejemplos 1) 2) 3) 4) 5) Ejemplo 1. Solución. Puntos de la primera serie: Puntos de la segunda serie: - - - + + + Respuesta: Ejemplo 2. Solución. Puntos de la primera serie: Puntos de la segunda serie: Puntos de la tercera serie: Puntos de la cuarta serie: Puntos de multiplicidad par: + + + + - - - - Respuesta: Ejemplo 3. Solución. Total: Puntos de la primera serie: Puntos de la segunda serie: Puntos de la tercera serie: + + + + + + - - - - - - - - Respuesta. Puntos de multiplicidad par: Ejemplo 4. Solución. + + + + - - - - Respuesta. Ejemplo 5. Solución. 1) 2) Ceros de la función: 3) + - - + - no hay ceros Entonces, en Respuesta: Gráficamente: Tarea: Resolver desigualdades trigonométricas por el método de intervalos: a) b) c) d) e) f) g) Tareas adicionales:
Archivos adjuntos
El tema “Desigualdades trigonométricas” es objetivamente difícil de percibir y comprender para los estudiantes de décimo grado. Por lo tanto, es muy importante desarrollar consistentemente, de simple a complejo, una comprensión del algoritmo y desarrollar una habilidad estable para resolver desigualdades trigonométricas.
El artículo presenta un algoritmo para resolver las desigualdades trigonométricas más simples y proporciona un resumen de una lección en la que se dominan tipos más complejos de desigualdades trigonométricas.
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Schalpegina I.V.
El tema “Desigualdades trigonométricas” es objetivamente difícil de percibir y comprender para los estudiantes de décimo grado. Por lo tanto, es muy importante desarrollar consistentemente, de simple a complejo, una comprensión del algoritmo y desarrollar una habilidad estable para resolver desigualdades trigonométricas.
El éxito en dominar este tema depende del conocimiento de las definiciones y propiedades básicas de las funciones trigonométricas y trigonométricas inversas, el conocimiento de las fórmulas trigonométricas, la capacidad de resolver desigualdades racionales enteras y fraccionarias y los principales tipos de ecuaciones trigonométricas.
Se debe poner especial énfasis en el método de enseñanza de soluciones. protozoos desigualdades trigonométricas, porque cualquier desigualdad trigonométrica se reduce a resolver las desigualdades más simples.
Es preferible introducir la idea principal de resolver desigualdades trigonométricas simples utilizando gráficas de seno, coseno, tangente y cotangente. Y solo entonces aprenderá a resolver desigualdades trigonométricas en un círculo.
Me detendré en las principales etapas del razonamiento al resolver las desigualdades trigonométricas más simples.
- Encontramos puntos en el círculo cuyo seno (coseno) es igual al número dado.
- En el caso de una desigualdad estricta, marcamos estos puntos en el círculo como perforados; en el caso de una desigualdad no estricta, los marcamos como sombreados.
- El punto que se encuentra enel principal intervalo de monotoníafunciones seno (coseno), llamadas P t1, otro punto - P t2.
- Marcamos a lo largo del eje del seno (coseno) el intervalo que satisface esta desigualdad.
- Seleccionamos un arco en el círculo correspondiente a este intervalo.
- Determinamos la dirección del movimiento a lo largo del arco (desde el punto P t1 al punto P t2 a lo largo de un arco ), dibujamos una flecha en la dirección del movimiento, encima de la cual escribimos un signo “+” o “-”, según la dirección del movimiento. (Esta etapa es importante para monitorear los ángulos encontrados. Los estudiantes pueden ilustrar el error común de encontrar los límites de un intervalo usando el ejemplo de resolución de la desigualdad en la fecha prevista seno o coseno y alrededor de la circunferencia).
- Encontrar las coordenadas de los puntos P. t1 (como arcoseno o arcocoseno de un número dado) y Р t2 aquellos. límites del intervalo, controlamos la exactitud de encontrar los ángulos comparando t 1 yt 2.
- Escribimos la respuesta en forma de doble desigualdad (o brecha) desde el ángulo menor al mayor.
El razonamiento para resolver desigualdades con tangente y cotangente es similar.
El dibujo y registro de la solución, que deberá quedar reflejado en los cuadernos de los alumnos, se da en el esquema propuesto.
Resumen de la lección sobre el tema: "Resolver desigualdades trigonométricas".
Objetivo de la lección – continuar estudiando la solución de desigualdades trigonométricas que contienen las funciones seno y coseno, pasar de las desigualdades más simples a las más complejas.
Objetivos de la lección:
- consolidación del conocimiento de fórmulas trigonométricas, valores tabulares de funciones trigonométricas, fórmulas para las raíces de ecuaciones trigonométricas;
- desarrollar la habilidad de resolver desigualdades trigonométricas simples;
- dominar técnicas para resolver desigualdades trigonométricas más complejas;
- desarrollo del pensamiento lógico, memoria semántica, habilidades para el trabajo independiente, autoevaluación;
- Fomentar la precisión y claridad en la formulación de soluciones, el interés por el tema, el respeto por los compañeros.
- formación de competencias educativas, cognitivas, de información y comunicación.
Equipo: proyector gráfico, tarjetas con dibujos confeccionados de círculos trigonométricos, pizarra portátil, tarjetas con tareas.
Forma organización de la formación - lección. Métodos enseñanza utilizada en la lección: verbal, visual, reproductiva, búsqueda de problemas, cuestionamiento individual y frontal, autocontrol oral y escrito, trabajo independiente.
norte p/p | Etapas de la lección. | |||||||||
Organizar una clase para el trabajo. | ||||||||||
Revisando la tarea. | (Recogiendo cuadernos con tareas) |
|||||||||
Declaración del propósito de la lección. | Hoy en la lección repetiremos la solución de las desigualdades trigonométricas más simples y consideraremos casos más complejos. |
|||||||||
Trabajo oral. | (Las tareas y respuestas están escritas en una cinta de retroproyector, abro las respuestas a medida que las resuelvo)
sinx = -, 2sinx =, sin2x = , sin(x -) = 0, cosx = , cosx = -, cos2x = 1, tgx = -1.
|
|||||||||
Repetición. | Recordemos el algoritmo para resolver las desigualdades trigonométricas más simples. (En la pizarra hay espacios en blanco de dos círculos. Llamo a dos estudiantes uno a la vez para resolver desigualdades. El estudiante explica en detalle el algoritmo de solución. La clase trabaja junto con los que responden en la pizarra en tarjetas preparadas previamente con la imagen de un círculo).
¿Cómo afecta la solución de la desigualdad estricta a la respuesta? (3) y 4) dos estudiantes resuelven desigualdades en una cinta de retroproyector, la clase las resuelve de forma independiente en tarjetas).
Intercambia opciones, toma un bolígrafo de otro color, revisa el trabajo de tu amigo. (Autoevaluación a partir de una cinta de retroproyector. El alumno que completa la tarea comenta la solución. Después de devolver el trabajo, reflexión). ¿Cómo cambia la solución a la desigualdad cuando el argumento x se reemplaza por 2x, por? (Evaluación del trabajo del estudiante). |
|||||||||
Nuevo material. | Pasemos a desigualdades trigonométricas más complejas, cuya solución se reducirá a resolver las desigualdades trigonométricas más simples. Veamos ejemplos. (Resolución de desigualdades en la pizarra bajo la guía del profesor). N° 1. porque 2 2x – 2cos2x ≥ 0. (Recordemos la técnica de resolver ecuaciones trigonométricas colocando el factor común entre paréntesis). cos2x(cos2x – 2) ≥ 0. Reemplazo: cos2x = t, ≤ 1; t(t – 2) ≥ 0;La segunda desigualdad no satisface la condición ≤ 1. cos2x ≤ 0. (Resuelve la desigualdad tú mismo. Comprueba la respuesta). Respuesta: + n x + n, n Z. No. 2. 6sin 2 x – 5sinx + 1 ≥ 0. (Recordar la técnica de resolución de ecuaciones trigonométricas cambiando una variable. El alumno la resuelve en la pizarra con comentarios). Reemplazo sinx = t, ≤ 1, 6t 2 – 5t +1 ≥ 0,6(t -)(t -), Respuesta: + 2 n ≤ x ≤ + 2 n, - -arcsin+ 2 k ≤ x ≤ arcsin+ 2 k, norte, k Z. Numero 3. senx + cos2x 1. (Discutimos las opciones de solución. Recordamos la fórmula del coseno de un ángulo doble. La clase decide de forma independiente, un estudiante, en una pizarra individual, y luego se verifica). senx + cos2x - 1 0, senx – 2sen 2 x 0, senx(1 - 2 senx) 0,
Analice situaciones en las que la respuesta para resolver una desigualdad cuadrática se escribe en forma de un conjunto de dos desigualdades y cuando, en forma de sistema. El siguiente diagrama es útil: No. 4. coscosx-sinsinx-. (Discusión. Se llama a un alumno a la pizarra para cada paso de la solución, se comentan las etapas. El profesor comprueba la grabación con los alumnos que trabajan en el lugar). cos(x +) -, costo -.
Numero 5. Definir todo A , para cada uno de los cuales la desigualdad 4sinx + 3cosx ≤ a tiene al menos una solución. (Recuerde el algoritmo para resolver una ecuación trigonométrica con factor de normalización. La solución está escrita en una cinta de retroproyector. La abro paso a paso mientras razona. Trabajo diferenciado). 4sinx + 3cosx ≤ a , M = = 5. Divide ambos lados de la desigualdad entre 5: sinx + cosx ≤ . Porque () 2 + () 2 = 1, entonces existe un ángulo α tal que cosα = y sinα = . Reescribamos la desigualdad anterior en la forma: sin(x + α) ≤ . La última desigualdad, y por tanto la desigualdad original, tiene al menos una solución para cada y tal que ≥ -1, es decir, por cada a ≥ -5. Respuesta: a ≥ -5. |
|||||||||
Tarea. | (Reparto tarjetas con los deberes anotados. Comento la solución a cada desigualdad).
Revise las fórmulas de suma trigonométrica y prepárese para el trabajo independiente. |
|||||||||
Resumiendo, reflexión. | Nombra métodos para resolver desigualdades trigonométricas. ¿Cómo se utiliza el conocimiento de un algoritmo para resolver desigualdades trigonométricas simples para resolver desigualdades más complejas? ¿Qué desigualdades causaron más dificultades? (Evalúo el trabajo de los estudiantes en clase). |
Trabajo independiente
basado en los resultados del dominio del material.
Opción 1. Resuelve las desigualdades 1 – 3:
| Opcion 2. Resuelve las desigualdades 1 – 3:
|
TEMA DE LA LECCIÓN: Resolver desigualdades trigonométricas simples
El propósito de la lección: Muestre un algoritmo para resolver desigualdades trigonométricas usando el círculo unitario.
Objetivos de la lección:
Educativo – asegurar la repetición y sistematización del material temático; crear condiciones para monitorear la adquisición de conocimientos y habilidades;
De desarrollo: promover la formación de habilidades para aplicar técnicas: comparación, generalización, identificación de lo principal, transferencia de conocimientos a una nueva situación, desarrollo de horizontes matemáticos, pensamiento y habla, atención y memoria;
Educativo: promover el interés por las matemáticas y sus aplicaciones, la actividad, la movilidad, las habilidades comunicativas y la cultura general.
Conocimientos y habilidades de los estudiantes:
- conocer el algoritmo para resolver desigualdades trigonométricas;
Ser capaz de resolver desigualdades trigonométricas simples.
Equipo: pizarra interactiva, presentación de lecciones, tarjetas con tareas de trabajo independiente.
DURANTE LAS CLASES:
1. Momento organizacional(1 minuto)
Propongo las palabras de Sukhomlinsky como lema de la lección: “Hoy aprendemos juntos: yo, tu maestro y ustedes somos mis alumnos. Pero en el futuro el alumno debe superar al maestro, de lo contrario no habrá progreso en la ciencia”.
2. Calentar. Dictado “Verdadero - Falso”
3. Repetición
Para cada opción - tarea en la diapositiva, continúe con cada entrada. Tiempo de ejecución 3 min.
Verifiquemos este trabajo nuestro usando la tabla de respuestas en la pizarra.
Criterio de evaluación:“5” - todos los 9 “+”, “4” - 8 “+”, “3” - 6-7 “+”
4. Actualizar los conocimientos de los estudiantes(8 minutos)
Hoy en clase debemos aprender el concepto de desigualdades trigonométricas y dominar las habilidades para resolver dichas desigualdades.
– Recordemos primero qué es un círculo unitario, una medida en radianes de un ángulo, y cómo se relaciona el ángulo de rotación de un punto en un círculo unitario con la medida en radianes de un ángulo. (trabajando con la presentación)
Circulo unitario es una circunferencia de radio 1 y centro en el origen.
El ángulo formado por la dirección positiva del eje OX y el rayo OA se llama ángulo de rotación. Es importante recordar dónde están las 0 esquinas; 90; 180; 270; 360.
Si se mueve A en sentido contrario a las agujas del reloj, se obtienen ángulos positivos.
Si se mueve A en el sentido de las agujas del reloj, se obtienen ángulos negativos.
cos t es la abscisa de un punto en el círculo unitario, sen t es la ordenada de un punto en el círculo unitario, t es el ángulo de rotación con coordenadas (1;0).
5 . Explicación de material nuevo (17 min.)
Hoy nos familiarizaremos con las desigualdades trigonométricas más simples.
Definición.
Las desigualdades trigonométricas más simples son desigualdades de la forma:
Los chicos nos dirán cómo resolver este tipo de desigualdades (presentación de proyectos por parte de los alumnos con ejemplos). Los estudiantes escriben definiciones y ejemplos en sus cuadernos.
Durante la presentación, los alumnos explican la solución de la desigualdad y el profesor completa los dibujos en la pizarra.
Después de la presentación de los estudiantes se proporciona un algoritmo para resolver desigualdades trigonométricas simples. Los estudiantes ven todas las etapas de la resolución de una desigualdad en la pantalla. Esto promueve la memorización visual del algoritmo para resolver un problema determinado.
Algoritmo para resolver desigualdades trigonométricas usando el círculo unitario:
1. En el eje correspondiente a una función trigonométrica determinada, marque el valor numérico dado de esta función.
2. Dibuje una línea que pase por el punto marcado y que corte el círculo unitario.
3. Seleccione los puntos de intersección de la recta y el círculo, teniendo en cuenta el signo de desigualdad estricta o no estricta.
4. Seleccione el arco del círculo en el que se ubican las soluciones de la desigualdad.
5. Determinar los valores de los ángulos en los puntos inicial y final del arco circular.
6. Escribe la solución a la desigualdad teniendo en cuenta la periodicidad de la función trigonométrica dada.
Para resolver desigualdades con tangente y cotangente, es útil el concepto de recta de tangentes y cotangentes. Estas son las rectas x = 1 e y = 1, respectivamente, tangentes al círculo trigonométrico.
6. Parte práctica(12 minutos)
Para practicar y consolidar conocimientos teóricos, realizaremos pequeñas tareas. Cada estudiante recibe tarjetas de tareas. Una vez resueltas las desigualdades, debes elegir una respuesta y anotar su número.
7. Reflexión sobre las actividades de la lección.
-¿Cuál era nuestro objetivo?
- Nombra el tema de la lección.
- Logramos utilizar un algoritmo conocido.
- Analiza tu trabajo en clase.
8. Tarea(2 minutos)
Resuelve la desigualdad:
9. Resumen de la lección(2 minutos)
Propongo terminar la lección con las palabras de Y.A. Komensky: "Considera infeliz ese día o esa hora en la que no has aprendido nada nuevo y no has añadido nada a tu educación".
Durante la lección práctica repetiremos principales tipos de tareas del tema "Trigonometría", analizaremos más a fondo tareas de mayor complejidad y considerar ejemplos de resolución de varias desigualdades trigonométricas y sus sistemas.
Esta lección le ayudará a prepararse para uno de los tipos de tareas. B5, B7, C1 Y C3.
Preparación para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas.
Experimento
Lección 11. Consolidación del material tratado. Desigualdades trigonométricas. Resolver diversos problemas de mayor complejidad.
Práctica
Resumen de la lección
Revisión de trigonometría
Comencemos revisando los principales tipos de tareas que cubrimos en el tema "Trigonometría" y resolvamos varios problemas no estándar.
Tarea número 1. Convertir ángulos a radianes y grados: a) ; b) .
a) Usemos la fórmula para convertir grados a radianes.
Sustituyamos el valor especificado en él.
b) Aplicar la fórmula para convertir radianes a grados.
Realicemos la sustitución. 
.
Respuesta. A) ; b) .
Tarea número 2. Calcular: a) ; b) .
a) Como el ángulo va mucho más allá de la tabla, lo reduciremos restando el período del seno. Como el ángulo está indicado en radianes, consideraremos el período como .
b) En este caso la situación es similar. Como el ángulo se indica en grados, consideraremos el período de la tangente como .
El ángulo resultante, aunque menor que el punto, es mayor, lo que significa que ya no se refiere a la parte principal, sino a la extendida de la tabla. Para no volver a entrenar tu memoria memorizando la tabla extendida de valores de trigofunciones, restemos nuevamente el período tangente:
Aprovechamos la rareza de la función tangente.
Respuesta. a) 1; b) .
Tarea número 3. Calcular 
, Si .
Reduzcamos toda la expresión a tangentes dividiendo el numerador y el denominador de la fracción por . Al mismo tiempo, no podemos tener miedo de eso, ya que en este caso el valor de la tangente no existiría.
Tarea número 4. Simplifica la expresión.
Las expresiones especificadas se convierten mediante fórmulas de reducción. Simplemente están escritos inusualmente usando títulos. La primera expresión generalmente representa un número. Simplifiquemos todas las trigofunciones una por una:
Porque , la función cambia a cofunción, es decir, a cotangente, y el ángulo cae en el segundo cuarto, en el que la tangente original tiene signo negativo.
Por las mismas razones que en la expresión anterior, la función cambia a cofunción, es decir, a cotangente, y el ángulo cae en el primer cuarto, en el que la tangente original tiene signo positivo.
Sustituyamos todo en una expresión simplificada:
Problema #5. Simplifica la expresión.
Escribamos la tangente del ángulo doble usando la fórmula adecuada y simplifiquemos la expresión:
La última identidad es una de las fórmulas universales de sustitución del coseno.
Problema #6. Calcular.
Lo principal es no cometer el error típico de no dar la respuesta a la que la expresión es igual. No puedes utilizar la propiedad básica del arcotangente mientras haya un factor en forma de dos al lado. Para deshacernos de él, escribiremos la expresión según la fórmula para la tangente de un ángulo doble, mientras tratamos a , como un argumento ordinario.
Ahora podemos aplicar la propiedad básica del arcotangente; recuerda que no hay restricciones en su resultado numérico.
Problema número 7. Resuelve la ecuación.
Al resolver una ecuación fraccionaria que es igual a cero, siempre se indica que el numerador es igual a cero, pero el denominador no, ya que no se puede dividir por cero.
La primera ecuación es un caso especial de la ecuación más simple que se puede resolver usando un círculo trigonométrico. Recuerde esta solución usted mismo. La segunda desigualdad se resuelve como la ecuación más simple usando la fórmula general para las raíces de la tangente, pero solo con el signo distinto de.
Como vemos, una familia de raíces excluye a otra familia de raíces exactamente del mismo tipo que no satisfacen la ecuación. Es decir, no hay raíces.
Respuesta. No hay raíces.
Problema número 8. Resuelve la ecuación.
Notemos inmediatamente que podemos sacar el factor común y hagámoslo:
La ecuación se ha reducido a una de las formas estándar, donde el producto de varios factores es igual a cero. Ya sabemos que en este caso uno de ellos es igual a cero, o el otro, o el tercero. Escribamos esto en forma de un conjunto de ecuaciones:
Las dos primeras ecuaciones son casos especiales de las más simples, ya nos hemos encontrado con ecuaciones similares muchas veces, por lo que indicaremos inmediatamente sus soluciones. Reducimos la tercera ecuación a una función usando la fórmula del seno de doble ángulo.
Resolvamos la última ecuación por separado:
Esta ecuación no tiene raíces, porque el valor del seno no puede ir más allá 
.
Por lo tanto, la solución son solo las dos primeras familias de raíces; se pueden combinar en una, lo cual es fácil de mostrar en el círculo trigonométrico:
 |
Esta es una familia de todas las mitades, es decir.
Desigualdades trigonométricas
Pasemos a resolver desigualdades trigonométricas. Primero, analizaremos el enfoque para resolver el ejemplo sin usar fórmulas para soluciones generales, sino usando el círculo trigonométrico.
Problema número 9. Resuelve la desigualdad.
Dibujemos una línea auxiliar en el círculo trigonométrico correspondiente a un valor de seno igual a y mostremos el rango de ángulos que satisfacen la desigualdad.
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Es muy importante entender exactamente cómo indicar el intervalo de ángulos resultante, es decir, cuál es su comienzo y cuál es su final. El inicio del intervalo será el ángulo correspondiente al punto en el que entraremos al principio del intervalo si nos movemos en sentido antihorario. En nuestro caso, este es el punto que está a la izquierda, porque moviéndose en sentido antihorario y pasando por el punto derecho, por el contrario, salimos del rango de ángulos requerido. Por tanto, el punto correcto corresponderá al final del hueco.
Ahora necesitamos entender los ángulos del principio y del final de nuestro intervalo de soluciones a la desigualdad. Un error típico es indicar inmediatamente que al ángulo le corresponde el punto derecho, el izquierdo y dar la respuesta. ¡Esto no es verdad! Tenga en cuenta que acabamos de indicar el intervalo correspondiente a la parte superior del círculo, aunque nos interesa la parte inferior, es decir, hemos confundido el inicio y el final del intervalo de solución que necesitamos.
Para que el intervalo comience desde la esquina del punto derecho y termine en la esquina del punto izquierdo, es necesario que el primer ángulo especificado sea menor que el segundo. Para ello tendremos que medir el ángulo del punto derecho en el sentido negativo de referencia, es decir en el sentido de las agujas del reloj y será igual a . Luego, comenzando a movernos desde allí en el sentido positivo de las agujas del reloj, llegaremos al punto derecho después del punto izquierdo y obtendremos el valor del ángulo. Ahora el inicio del intervalo de ángulos es menor que el final, y podemos escribir el intervalo de soluciones sin tener en cuenta el periodo:
Considerando que dichos intervalos se repetirán un número infinito de veces después de cualquier número entero de rotaciones, obtenemos una solución general teniendo en cuenta el período sinusoidal:
Ponemos paréntesis porque la desigualdad es estricta y seleccionamos los puntos del círculo que corresponden a los extremos del intervalo.
Compara la respuesta que recibes con la fórmula para la solución general que dimos en la conferencia.
Respuesta. 
.
Este método es bueno para comprender de dónde provienen las fórmulas para las soluciones generales de las desigualdades trígonas más simples. Además, es útil para aquellos a los que les da pereza aprender todas estas fórmulas engorrosas. Sin embargo, el método en sí tampoco es fácil: elija el enfoque de solución que le resulte más conveniente.
Para resolver desigualdades trigonométricas, también puedes usar gráficas de funciones en las que se construye una línea auxiliar, similar al método que se muestra usando un círculo unitario. Si está interesado, intente descubrir este enfoque de solución usted mismo. En lo que sigue usaremos fórmulas generales para resolver desigualdades trigonométricas simples.
Problema número 10. Resuelve la desigualdad.
Usemos la fórmula para la solución general, teniendo en cuenta que la desigualdad no es estricta:
En nuestro caso obtenemos:
Respuesta. 
Problema número 11. Resuelve la desigualdad.
Usemos la fórmula de solución general para la desigualdad estricta correspondiente:
Respuesta. 
.
Problema número 12. Resolver desigualdades: a) ; b) .
En estas desigualdades, no hay necesidad de apresurarse a utilizar fórmulas para soluciones generales o el círculo trigonométrico, basta con recordar el rango de valores del seno y el coseno.
a) Desde 
, entonces la desigualdad no tiene sentido. Por tanto, no hay soluciones.
b) Dado que de manera similar, el seno de cualquier argumento siempre satisface la desigualdad especificada en la condición. Por tanto, todos los valores reales del argumento satisfacen la desigualdad.
Respuesta. a) no hay soluciones; b) .
Problema 13. Resolver desigualdad 
.
Esta desigualdad más simple con un argumento complejo se resuelve de manera similar a una ecuación similar. Primero, encontramos una solución para todo el argumento indicado entre paréntesis, y luego lo transformamos a la forma “”, trabajando con ambos extremos del intervalo, como con el lado derecho de la ecuación.
