Adición de ejemplos de raíces idénticas. Cómo sumar raíces cuadradas

Suma y resta de raíces.- uno de los "bloqueos de tropiezo" más comunes para quienes toman un curso de matemáticas (álgebra) en la escuela secundaria. Sin embargo, aprender a sumar y restar correctamente es muy importante, porque los ejemplos para la suma o diferencia de raíces están incluidos en el programa del Examen Estatal Unificado básico en la disciplina "matemáticas".

Para dominar la solución de tales ejemplos, necesita dos cosas: comprender las reglas y adquirir práctica. Habiendo resuelto una o dos docenas de ejemplos típicos, el estudiante llevará esta habilidad al automatismo y luego no tendrá nada que temer en el examen. Se recomienda comenzar a dominar las operaciones aritméticas con sumas, porque sumarlas es un poco más fácil que restarlas.

que es una raiz

La forma más fácil de explicar esto es con el ejemplo de una raíz cuadrada. En matemáticas, existe un término bien establecido "cuadrado". "Cuadrado" significa multiplicar un número específico por sí mismo una vez.. Por ejemplo, si elevas al cuadrado 2, obtienes 4. Si elevas al cuadrado 7, obtienes 49. El cuadrado de 9 es 81. Entonces, la raíz cuadrada de 4 es 2, de 49 es 7 y de 81 es 9.

Como regla general, la enseñanza de este tema en matemáticas comienza con raíces cuadradas. Para determinarlo de inmediato, un estudiante de secundaria debe saber la tabla de multiplicar de memoria. Para los que no conocen bien esta tabla, hay que usar pistas. Por lo general, el proceso de extraer la raíz cuadrada de un número se da en forma de tabla en las portadas de muchos cuadernos escolares de matemáticas.

Las raíces son de los siguientes tipos:

cuadrado;
cúbico (o el llamado tercer grado);
cuarto grado;
quinto grado

Reglas de adición

Para resolver con éxito un ejemplo típico, se debe tener en cuenta que no todos los números raíz se pueden apilar entre sí. Para poder juntarlos, deben ser llevados a un solo patrón. Si esto no es posible, entonces el problema no tiene solución. Tales problemas también se encuentran a menudo en los libros de texto de matemáticas como una especie de trampa para los estudiantes.

No se permite la suma en asignaciones cuando las expresiones radicales difieren entre sí. Esto se puede ilustrar con un ejemplo ilustrativo:

el estudiante se enfrenta a la tarea: sumar la raíz cuadrada de 4 y de 9;
un estudiante sin experiencia que no conoce la regla suele escribir: "raíz de 4 + raíz de 9 \u003d raíz de 13".
es muy fácil probar que esta forma de resolver es incorrecta. Para hacer esto, necesitas encontrar la raíz cuadrada de 13 y verificar si el ejemplo se resuelve correctamente;
usando una microcalculadora, puede determinar que es aproximadamente 3.6. Ahora queda comprobar la solución;
raíz de 4=2, y de 9=3;
La suma de dos y tres es cinco. Por lo tanto, este algoritmo de solución puede considerarse incorrecto.

Si las raíces tienen el mismo grado, pero diferentes expresiones numéricas, se quita entre paréntesis, y la suma de dos expresiones radicales. Por lo tanto, ya se extrae de esta cantidad.

Algoritmo de suma

Para resolver correctamente el problema más simple, es necesario:

Determine qué requiere exactamente la adición.
Averigüe si es posible sumar valores entre sí, guiado por las reglas existentes en matemáticas.
Si no se pueden agregar, debe transformarlos de tal manera que se puedan agregar.
Habiendo realizado todas las transformaciones necesarias, es necesario realizar la suma y anotar la respuesta final. La suma se puede hacer mentalmente o con una calculadora, dependiendo de la complejidad del ejemplo.

¿Qué son las raíces similares?

Para resolver correctamente un ejemplo de suma, es necesario, antes que nada, pensar en cómo se puede simplificar. Para hacer esto, necesitas tener un conocimiento básico de lo que es la similitud.

La capacidad de identificar ejemplos similares ayuda a resolver rápidamente el mismo tipo de ejemplos de suma, llevándolos a una forma simplificada. Para simplificar un ejemplo típico de suma, necesita:

Encuentre otros similares y asígnelos a un grupo (o varios grupos).
Reescriba el ejemplo existente de tal manera que las raíces que tienen el mismo indicador se sigan claramente (esto se llama "agrupación").
A continuación, debe volver a escribir la expresión, esta vez de tal manera que las similares (que tienen el mismo indicador y la misma raíz) también se suceden.

Después de eso, un ejemplo simplificado suele ser fácil de resolver.

Para resolver correctamente cualquier ejemplo de suma, debe comprender claramente las reglas básicas de la suma y también saber qué es una raíz y cómo sucede.

A veces, estas tareas parecen muy complicadas a primera vista, pero generalmente se resuelven fácilmente agrupando otras similares. Lo más importante es la práctica, y luego el estudiante comenzará a "hacer clic en las tareas como nueces". La suma de raíces es una de las ramas más importantes de las matemáticas, por lo que los profesores deben dedicar tiempo suficiente para estudiarla.

Video

Este video te ayudará a entender las ecuaciones con raíces cuadradas.

Hecho 1.
\(\bullet\) Tome algún número no negativo \(a\) (es decir, \(a\geqslant 0\) ). Entonces (aritmética) raíz cuadrada del número \(a\) tal número no negativo se llama \(b\), al elevarlo al cuadrado obtenemos el número \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(igual que )\quad a=b^2\] De la definición se sigue que \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). ¡Estas restricciones son una condición importante para la existencia de una raíz cuadrada y deben recordarse!
Recuerda que cualquier número elevado al cuadrado da un resultado no negativo. Es decir, \(100^2=10000\geqslant 0\) y \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) ¿Qué es \(\sqrt(25)\) ? Sabemos que \(5^2=25\) y \((-5)^2=25\) . Como por definición tenemos que encontrar un número no negativo, \(-5\) no es adecuado, por lo tanto \(\sqrt(25)=5\) (ya que \(25=5^2\) ).
Encontrar el valor \(\sqrt a\) se llama sacar la raíz cuadrada del número \(a\) , y el número \(a\) se llama la expresión raíz.
\(\bullet\) Según la definición, las expresiones \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , etc. no tiene sentido

Hecho 2.
Para cálculos rápidos, será útil aprender la tabla de cuadrados de los números naturales de \(1\) a \(20\) : \[\begin(matriz)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hlínea \end(matriz)\]

Hecho 3.
¿Qué se puede hacer con raíces cuadradas?
\(\bala\) La suma o diferencia de raíces cuadradas NO ES IGUAL a la raíz cuadrada de la suma o diferencia, es decir \[\raíz cuadrada a\pm\raíz cuadrada b\ne \raíz cuadrada(a\pm b)\] Por lo tanto, si necesita calcular, por ejemplo, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , entonces inicialmente debe encontrar los valores \(\sqrt(25)\) y \(\sqrt (49)\ ) y luego súmalos. Como consecuencia, \[\raíz cuadrada(25)+\raíz cuadrada(49)=5+7=12\] Si los valores \(\sqrt a\) o \(\sqrt b\) no se pueden encontrar al agregar \(\sqrt a+\sqrt b\), entonces dicha expresión no se convierte más y permanece como está. Por ejemplo, en la suma \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) podemos encontrar \(\sqrt(49)\) - esto es \(7\) , pero \(\sqrt 2\) no puede ser convertido de alguna manera, es por eso que \(\raíz cuadrada 2+\raíz cuadrada(49)=\raíz cuadrada 2+7\). Además, esta expresión, lamentablemente, no se puede simplificar de ninguna manera.\(\bullet\) El producto/cociente de raíces cuadradas es igual a la raíz cuadrada del producto/cociente, es decir \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (siempre que ambas partes de las igualdades tengan sentido)
Ejemplo: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Usando estas propiedades, es conveniente encontrar las raíces cuadradas de números grandes factorizándolos.
Considere un ejemplo. Encuentra \(\sqrt(44100)\) . Dado que \(44100:100=441\) , entonces \(44100=100\cdot 441\) . Según el criterio de divisibilidad, el número \(441\) es divisible por \(9\) (ya que la suma de sus dígitos es 9 y es divisible por 9), por tanto, \(441:9=49\), es decir, \(441=9\ cdot 49\) .
Así, obtuvimos: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Veamos otro ejemplo: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Vamos a mostrar cómo ingresar números bajo el signo de la raíz cuadrada usando el ejemplo de la expresión \(5\sqrt2\) (abreviatura de la expresión \(5\cdot \sqrt2\) ). Como \(5=\sqrt(25)\) , entonces \ Nótese también que, por ejemplo,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\raíz cuadrada a+\raíz cuadrada a=2\raíz cuadrada a\) .

¿Porqué es eso? Expliquemos con el ejemplo 1). Como ya entendiste, de alguna manera no podemos convertir el número \(\sqrt2\) . Imagina que \(\sqrt2\) es algún número \(a\) . En consecuencia, la expresión \(\sqrt2+3\sqrt2\) no es más que \(a+3a\) (un número \(a\) más tres números iguales \(a\) ). Y sabemos que esto es igual a cuatro de esos números \(a\) , es decir, \(4\sqrt2\) .

hecho 4.
\(\bullet\) A menudo se dice "no se puede extraer la raíz" cuando no es posible deshacerse del signo \(\sqrt () \ \) de la raíz (radical) al encontrar el valor de algún número. Por ejemplo, puede rootear el número \(16\) porque \(16=4^2\) , entonces \(\sqrt(16)=4\) . Pero extraer la raíz del número \(3\) , es decir, encontrar \(\sqrt3\) , es imposible, porque no existe tal número que al cuadrado dé \(3\) .
Tales números (o expresiones con tales números) son irracionales. Por ejemplo, números \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) etc son irracionales.
También son irracionales los números \(\pi\) (el número “pi”, aproximadamente igual a \(3,14\) ), \(e\) (este número se llama número de Euler, aproximadamente igual a \(2 ,7\) ) etc
\(\bullet\) Tenga en cuenta que cualquier número será racional o irracional. Y juntos todos los números racionales y todos los irracionales forman un conjunto llamado conjunto de números reales (reales). Este conjunto se denota con la letra \(\mathbb(R)\) .
Esto significa que todos los números que conocemos actualmente se llaman números reales.

Hecho 5.
\(\bullet\) Módulo de un número real \(a\) es un número no negativo \(|a|\) igual a la distancia del punto \(a\) a \(0\) en el real línea. Por ejemplo, \(|3|\) y \(|-3|\) son iguales a 3, ya que las distancias de los puntos \(3\) y \(-3\) a \(0\) son las igual e igual a \(3 \) .
\(\bullet\) Si \(a\) es un número no negativo, entonces \(|a|=a\) .
Ejemplo: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Si \(a\) es un número negativo, entonces \(|a|=-a\) .
Ejemplo: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Dicen que para los números negativos, el módulo se "come" el menos, y los números positivos, así como el número \(0\), el módulo se queda sin cambios.
PERO esta regla solo se aplica a los números. Si tiene una \(x\) desconocida (o alguna otra incógnita) bajo el signo del módulo, por ejemplo, \(|x|\) , de la que no sabemos si es positiva, igual a cero o negativa, entonces deshacerse del módulo que no podemos. En este caso, esta expresión queda así: \(|x|\) . \(\bullet\) Las siguientes fórmulas son válidas: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(proporcionado) a\geqslant 0\] A menudo se comete el siguiente error: dicen que \(\sqrt(a^2)\) y \((\sqrt a)^2\) son lo mismo. Esto es cierto solo cuando \(a\) es un número positivo o cero. Pero si \(a\) es un número negativo, entonces esto no es cierto. Basta considerar tal ejemplo. Tomemos el número \(-1\) en lugar de \(a\). Entonces \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , pero la expresión \((\sqrt (-1))^2\) no existe en absoluto (porque es ¡imposible poner números negativos bajo el signo raíz!).
Por lo tanto, llamamos su atención sobre el hecho de que \(\sqrt(a^2)\) no es igual a \((\sqrt a)^2\) ! Ejemplo 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), porque \(-\sqrt2<0\) ;

\(\fantasma(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Dado que \(\sqrt(a^2)=|a|\) , entonces \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (la expresión \(2n\) denota un número par)
Es decir, al sacar la raíz de un número que está en algún grado, este grado se reduce a la mitad.
Ejemplo:
1) \(\raíz cuadrada(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (tenga en cuenta que si el módulo no está configurado, resulta que la raíz del número es igual a \(-25 \); pero recordemos que, por definición de la raíz, esto no puede ser: al extraer la raíz, siempre debemos obtener un número positivo o cero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (ya que cualquier número elevado a una potencia par no es negativo)

hecho 6.
¿Cómo comparar dos raíces cuadradas?
\(\bullet\) Verdadero para raíces cuadradas: si \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aEjemplo:
1) compare \(\sqrt(50)\) y \(6\sqrt2\) . Primero, transformamos la segunda expresión en \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Así, dado que \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) ¿Entre qué enteros está \(\sqrt(50)\) ?
Dado que \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , y \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Compara \(\sqrt 2-1\) y \(0,5\) . Supongamos \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(alineado) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((añadir uno a ambos lados))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((cuadrar ambas partes))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(alineado)\] Vemos que hemos obtenido una desigualdad incorrecta. Por lo tanto, nuestra suposición era incorrecta y \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Tenga en cuenta que agregar un cierto número a ambos lados de la desigualdad no afecta su signo. Multiplicar/dividir ambas partes de la desigualdad por un número positivo tampoco afecta su signo, ¡pero multiplicar/dividir por un número negativo invierte el signo de la desigualdad!
Ambos lados de una ecuación/desigualdad pueden elevarse al cuadrado SOLO SI ambos lados no son negativos. Por ejemplo, en la desigualdad del ejemplo anterior, puedes elevar al cuadrado ambos lados, en la desigualdad \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Tenga en cuenta que \[\begin(alineado) &\sqrt 2\aprox. 1,4\\ &\sqrt 3\aprox. 1,7 \end(alineado)\]¡Conocer el significado aproximado de estos números te ayudará cuando compares números! \(\bullet\) Para sacar la raíz (si se saca) de algún número grande que no está en la tabla de cuadrados, primero hay que determinar entre qué “centenas” se encuentra, luego entre cuáles “decenas”, y luego determinar el último dígito de este número. Vamos a mostrar cómo funciona con un ejemplo.
Toma \(\sqrt(28224)\) . Sabemos que \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) y así sucesivamente. Tenga en cuenta que \(28224\) está entre \(10\,000\) y \(40\,000\) . Por lo tanto, \(\sqrt(28224)\) está entre \(100\) y \(200\) .
Ahora determinemos entre qué “decenas” está nuestro número (es decir, por ejemplo, entre \(120\) y \(130\) ). También sabemos por la tabla de cuadrados que \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., entonces \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\ ) . Entonces vemos que \(28224\) está entre \(160^2\) y \(170^2\) . Por lo tanto, el número \(\sqrt(28224)\) está entre \(160\) y \(170\) .
Tratemos de determinar el último dígito. ¿Recordemos qué números de un solo dígito al elevar al cuadrado dan al final \ (4 \) ? Estos son \(2^2\) y \(8^2\) . Por lo tanto, \(\sqrt(28224)\) terminará en 2 u 8. Verifiquemos esto. Encuentra \(162^2\) y \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Por lo tanto \(\sqrt(28224)=168\) . ¡Voila!

Para resolver adecuadamente el examen de matemáticas, en primer lugar, es necesario estudiar el material teórico, que introduce numerosos teoremas, fórmulas, algoritmos, etc. A primera vista, puede parecer que esto es bastante simple. Sin embargo, encontrar una fuente en la que la teoría para el Examen de Estado Unificado en matemáticas se presente de manera fácil y comprensible para estudiantes con cualquier nivel de capacitación es, de hecho, una tarea bastante difícil. Los libros de texto escolares no siempre se pueden tener a mano. Y encontrar las fórmulas básicas para el examen de matemáticas puede ser difícil incluso en Internet.

¿Por qué es tan importante estudiar teoría en matemáticas, no solo para quienes toman el examen?

Porque amplía tus horizontes. El estudio de material teórico en matemáticas es útil para cualquiera que quiera obtener respuestas a una amplia gama de preguntas relacionadas con el conocimiento del mundo. Todo en la naturaleza está ordenado y tiene una lógica clara. Esto es precisamente lo que se refleja en la ciencia, a través de la cual es posible comprender el mundo.
Porque desarrolla el intelecto.. Al estudiar materiales de referencia para el examen de matemáticas, además de resolver varios problemas, una persona aprende a pensar y razonar lógicamente, a formular pensamientos de manera correcta y clara. Desarrolla la capacidad de analizar, generalizar, sacar conclusiones.

Lo invitamos a evaluar personalmente todas las ventajas de nuestro enfoque para la sistematización y presentación de materiales educativos.

Extraer la raíz cuadrada de un número no es la única operación que se puede realizar con este fenómeno matemático. Al igual que los números ordinarios, las raíces cuadradas se pueden sumar y restar.

Reglas para sumar y restar raíces cuadradas

Definición 1

Acciones como sumar y restar una raíz cuadrada solo son posibles si la expresión de la raíz es la misma.

Ejemplo 1

Puedes sumar o restar expresiones 2 3 y 6 3, pero no 5 6 Y 9 4 . Si es posible simplificar la expresión y llevarla a raíces con el mismo número de raíz, entonces simplifica y luego suma o resta.

Acciones raíz: conceptos básicos

Ejemplo 2

6 50 - 2 8 + 5 12

Algoritmo de acción:

Simplifica la expresión raíz. Para ello, es necesario descomponer la expresión raíz en 2 factores, uno de los cuales es un número cuadrado (el número del que se extrae la raíz cuadrada entera, por ejemplo, 25 o 9).
Entonces necesitas sacar la raíz del número cuadrado. y escribe el valor resultante antes del signo de la raíz. Tenga en cuenta que el segundo factor se ingresa bajo el signo de la raíz.
Después del proceso de simplificación, es necesario subrayar las raíces con las mismas expresiones radicales, solo que se pueden sumar y restar.
Para raíces con las mismas expresiones radicales, es necesario sumar o restar los factores que preceden al signo de la raíz. La expresión raíz permanece sin cambios. ¡No sume ni reste números de raíz!

Consejo 1

Si tiene un ejemplo con una gran cantidad de expresiones radicales idénticas, subraye dichas expresiones con líneas simples, dobles y triples para facilitar el proceso de cálculo.

Ejemplo 3

Probemos este ejemplo:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Primero debes descomponer 50 en 2 factores 25 y 2, luego sacar la raíz de 25, que es 5, y sacar 5 de debajo de la raíz. Después de eso, debes multiplicar 5 por 6 (el multiplicador en la raíz) y obtener 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Primero, debes descomponer 8 en 2 factores: 4 y 2. Luego, de 4, extrae la raíz, que es igual a 2, y saca 2 de debajo de la raíz. Después de eso, necesitas multiplicar 2 por 2 (el factor en la raíz) y obtener 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Primero, necesitas descomponer 12 en 2 factores: 4 y 3. Luego extrae la raíz de 4, que es 2, y sácala de debajo de la raíz. Después de eso, debes multiplicar 2 por 5 (el factor en la raíz) y obtener 10 3 .

Resultado de la simplificación: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Como resultado, vimos cuántas expresiones radicales idénticas están contenidas en este ejemplo. Ahora vamos a practicar con otros ejemplos.

Ejemplo 4

Simplifica (45) . Factorizamos 45: (45) = (9 × 5) ;
Sacamos 3 de debajo de la raíz (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
Sumamos los factores en las raíces: 3 5 + 4 5 = 7 5 .

Ejemplo 5

6 40 - 3 10 + 5:

Simplificando 6 40 . Factorizamos 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
Sacamos 2 de debajo de la raíz (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
Multiplicamos los factores que están delante de la raíz: 12 10;
Escribimos la expresión en forma simplificada: 12 10 - 3 10 + 5;
Como los dos primeros términos tienen la misma raíz, podemos restarlos: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Ejemplo 6

Como podemos ver, no es posible simplificar los números radicales, por lo que buscamos miembros con los mismos números radicales en el ejemplo, realizamos operaciones matemáticas (suma, resta, etc.) y escribimos el resultado:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Consejo:

Antes de sumar o restar, es imperativo simplificar (si es posible) las expresiones radicales.
Está estrictamente prohibido sumar y restar raíces con diferentes expresiones de raíces.
No sume ni reste un número entero o raíz cuadrada: 3 + (2 x) 1/2.
Al realizar acciones con fracciones, debe encontrar un número que sea completamente divisible por cada denominador, luego llevar las fracciones a un denominador común, luego sumar los numeradores y dejar los denominadores sin cambios.

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Volví a mirar el plato... Y, ¡vamos!

Comencemos con uno simple:

Espera un minuto. esto, lo que significa que podemos escribirlo así:

¿Entiendo? Aquí está el siguiente para ti:

¿Las raíces de los números resultantes no se extraen exactamente? No te preocupes, aquí hay algunos ejemplos:

Pero, ¿y si no hay dos multiplicadores, sino más? ¡Mismo! La fórmula de multiplicación de raíces funciona con cualquier número de factores:

Ahora completamente independiente:

Respuestas:¡Bien hecho! De acuerdo, todo es muy fácil, ¡lo principal es conocer la tabla de multiplicar!

División de raíz

Descubrimos la multiplicación de las raíces, ahora procedamos a la propiedad de la división.

Déjame recordarte que la fórmula en general se ve así:

Y eso significa que la raíz del cociente es igual al cociente de las raíces.

Bueno, veamos ejemplos:

Eso es todo ciencia. Y aquí hay un ejemplo:

No todo es tan fluido como en el primer ejemplo, pero como puedes ver, no hay nada complicado.

¿Qué pasa si la expresión se ve así:

Solo necesitas aplicar la fórmula a la inversa:

Y aquí hay un ejemplo:

También puedes ver esta expresión:

Todo es igual, solo que aquí debes recordar cómo traducir fracciones (si no recuerdas, ¡mira el tema y vuelve!). ¿Recordado? ¡Ahora decidimos!

Estoy seguro de que te las arreglaste con todo, todo, ahora intentemos construir raíces en un grado.

exponenciación

¿Qué sucede si la raíz cuadrada se eleva al cuadrado? Es simple, recuerda el significado de la raíz cuadrada de un número: este es un número cuya raíz cuadrada es igual a.

Entonces, si elevamos al cuadrado un número cuya raíz cuadrada es igual, ¿qué obtenemos?

Bueno, por supuesto, !

Veamos ejemplos:

Todo es simple, ¿verdad? ¿Y si la raíz está en otro grado? ¡Está bien!

Sigue la misma lógica y recuerda las propiedades y las posibles acciones con grados.

Lea la teoría sobre el tema "" y todo se volverá extremadamente claro para usted.

Por ejemplo, aquí hay una expresión:

En este ejemplo, el grado es par, pero ¿y si es impar? Nuevamente, aplique las propiedades de potencia y factorice todo:

Con esto, todo parece estar claro, pero ¿cómo sacar la raíz de un número en un grado? Aquí, por ejemplo, está esto:

Bastante simple, ¿verdad? ¿Qué pasa si el grado es mayor que dos? Seguimos la misma lógica usando las propiedades de los grados:

Bueno, ¿está todo claro? Luego resuelve tus propios ejemplos:

Y aquí están las respuestas:

Introducción bajo el signo de la raíz

¡Lo que no hemos aprendido a hacer con las raíces! ¡Solo queda practicar ingresar el número debajo del signo raíz!

¡Es bastante fácil!

Digamos que tenemos un número

¿Qué podemos hacer con él? ¡Bueno, por supuesto, oculta el triple debajo de la raíz, recordando que el triple es la raíz cuadrada de!

¿Por qué lo necesitamos? Sí, solo para ampliar nuestras capacidades a la hora de resolver ejemplos:

¿Qué te parece esta propiedad de las raíces? hace la vida mucho más fácil? Para mí, eso es correcto! Solamente debemos recordar que solo podemos ingresar números positivos bajo el signo de la raíz cuadrada.

Prueba este ejemplo por ti mismo:
¿Lograste? Veamos lo que debe obtener:

¡Bien hecho! ¡Lograste ingresar un número debajo del signo raíz! Pasemos a algo igualmente importante: ¡considere cómo comparar números que contienen una raíz cuadrada!

Comparación de raíces

¿Por qué debemos aprender a comparar números que contienen una raíz cuadrada?

Muy simple. A menudo, en expresiones grandes y largas que encontramos en el examen, obtenemos una respuesta irracional (¿recuerdas cuál es? ¡Ya hablamos de esto hoy!)

Necesitamos colocar las respuestas recibidas en la línea de coordenadas, por ejemplo, para determinar qué intervalo es adecuado para resolver la ecuación. Y aquí es donde surge la pega: en el examen no hay calculadora, y sin ella, ¿cómo imaginar qué número es mayor y cuál es menor? ¡Eso es todo!

Por ejemplo, determinar cuál es mayor: o?

No lo dirás de buenas a primeras. Bueno, ¿vamos a usar la propiedad analizada de agregar un número debajo del signo raíz?

Luego adelante:

Bueno, obviamente, cuanto mayor sea el número bajo el signo de la raíz, ¡mayor será la raíz misma!

Esos. si significa.

De esto concluimos firmemente que ¡Y nadie nos convencerá de lo contrario!

Extrayendo raíces de grandes números

Antes de eso, introdujimos un factor bajo el signo de la raíz, pero ¿cómo sacarlo? ¡Solo necesita factorizarlo y extraer lo que se extrae!

Era posible ir por el otro lado y descomponer en otros factores:

No está mal, ¿verdad? Cualquiera de estos enfoques es correcto, decide cómo te sientes cómodo.

El factoraje es muy útil cuando se resuelven tareas no estándar como esta:

¡No nos asustamos, actuamos! Descomponemos cada factor bajo la raíz en factores separados:

Y ahora pruébalo tú mismo (¡sin calculadora! No estará en el examen):

¿Es este el final? ¡No nos detenemos a mitad de camino!

Eso es todo, no da tanto miedo, ¿verdad?

¿Sucedió? ¡Bien hecho, tienes razón!

Ahora prueba este ejemplo:

Y un ejemplo es un hueso duro de roer, por lo que no puede descubrir de inmediato cómo abordarlo. Pero nosotros, por supuesto, estamos en los dientes.

Bueno, comencemos a factorizar, ¿de acuerdo? Inmediatamente, notamos que puede dividir un número por (recuerde los signos de divisibilidad):

Y ahora, pruébalo tú mismo (¡otra vez, sin calculadora!):

Bueno, ¿funcionó? ¡Bien hecho, tienes razón!

Resumiendo

La raíz cuadrada (raíz cuadrada aritmética) de un número no negativo es un número no negativo cuyo cuadrado es igual.
.
Si solo tomamos la raíz cuadrada de algo, siempre obtenemos un resultado no negativo.
Propiedades de la raíz aritmética:
Al comparar raíces cuadradas, debe recordarse que cuanto mayor sea el número bajo el signo de la raíz, mayor será la raíz misma.

¿Qué te parece la raíz cuadrada? ¿Todo claro?

Tratamos de explicarte sin agua todo lo que necesitas saber en el examen sobre la raíz cuadrada.

Ahora es tu turno. Escríbanos si este tema es difícil para usted o no.

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Escribe en los comentarios y ¡buena suerte en los exámenes!

En nuestro tiempo de computadoras electrónicas modernas, calcular la raíz de un número no es una tarea difícil. Por ejemplo, √2704=52, cualquier calculadora lo calculará por ti. Afortunadamente, hay una calculadora no solo en Windows, sino también en un teléfono normal, incluso en el más simple. Es cierto que si de repente (con un pequeño grado de probabilidad, cuyo cálculo, por cierto, incluye la suma de raíces) se encuentra sin fondos disponibles, entonces, por desgracia, tendrá que confiar solo en su cerebro.

El entrenamiento mental nunca falla. Sobre todo para aquellos que no trabajan tanto con números, y más aún con raíces. Sumar y restar raíces es un buen ejercicio para una mente aburrida. Y te mostraré la adición de raíces paso a paso. Ejemplos de expresiones pueden ser los siguientes.

La ecuación a simplificar es:

√2+3√48-4×√27+√128

Esta es una expresión irracional. Para simplificarlo, debe llevar todas las expresiones radicales a una forma común. Lo hacemos por etapas:

El primer número ya no se puede simplificar. Pasemos al segundo término.

3√48 factorizamos 48: 48=2×24 o 48=3×16. de 24 no es un número entero, es decir tiene resto fraccionario. Como necesitamos un valor exacto, las raíces aproximadas no son adecuadas para nosotros. La raíz cuadrada de 16 es 4, sácala de abajo Obtenemos: 3×4×√3=12×√3

Nuestra próxima expresión es negativa, i.e. escrito con un signo menos -4×√(27.) Factorización 27. Obtenemos 27=3×9. No usamos factores fraccionarios, porque es más difícil calcular la raíz cuadrada de las fracciones. Sacamos 9 de debajo del letrero, es decir. calcular la raíz cuadrada. Obtenemos la siguiente expresión: -4×3×√3 = -12×√3

El siguiente término √128 calcula la parte que se puede sacar de debajo de la raíz. 128=64×2 donde √64=8. Si te resulta más fácil, puedes representar esta expresión así: √128=√(8^2×2)

Reescribimos la expresión con términos simplificados:

√2+12×√3-12×√3+8×√2

Ahora sumamos los números con la misma expresión radical. No puede sumar o restar expresiones con diferentes expresiones radicales. La adición de raíces requiere el cumplimiento de esta regla.

Obtenemos la siguiente respuesta:

√2+12√3-12√3+8√2=9√2

√2=1×√2 - Espero que la costumbre en álgebra de omitir tales elementos no sea una novedad para ti.

Las expresiones se pueden representar no solo con raíces cuadradas, sino también con raíces cúbicas o enésimas.

La suma y resta de raíces con diferentes exponentes, pero con una expresión de raíz equivalente, ocurre de la siguiente manera:

Si tenemos una expresión como √a+∛b+∜b, entonces podemos simplificar esta expresión así:

∛b+∜b=12×√b4 +12×√b3

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Hemos reducido dos términos similares al exponente común de la raíz. Aquí se usó la propiedad de las raíces, que dice: si el número del grado de la expresión radical y el número del exponente de la raíz se multiplican por el mismo número, entonces su cálculo permanecerá sin cambios.

Nota: los exponentes se suman solo cuando se multiplican.

Considere un ejemplo donde las fracciones están presentes en una expresión.

5√8-4×√(1/4)+√72-4×√2

Vamos a resolverlo paso a paso:

5√8=5*2√2 - sacamos la parte extraída de debajo de la raíz.

4√(1/4)=-4 √1/(√4)= - 4 *1/2= - 2

Si el cuerpo de la raíz está representado por una fracción, a menudo esta fracción no cambiará si se toma la raíz cuadrada del dividendo y el divisor. Como resultado, hemos obtenido la igualdad descrita anteriormente.

√72-4√2=√(36×2)- 4√2=2√2

10√2+2√2-2=12√2-2

Aquí está la respuesta.

Lo principal a recordar es que una raíz con un exponente par no se extrae de números negativos. Si una expresión radical de grado par es negativa, entonces la expresión no tiene solución.

La suma de las raíces solo es posible si las expresiones radicales coinciden, ya que son términos similares. Lo mismo se aplica a la diferencia.

La suma de raíces con diferentes exponentes numéricos se realiza reduciendo ambos términos a un grado de raíz común. Esta ley opera de la misma manera que la reducción a un denominador común al sumar o restar fracciones.

Si la expresión radical contiene un número elevado a una potencia, entonces esta expresión se puede simplificar siempre que haya un denominador común entre la raíz y el exponente.