مساحت یک مستطیل توضیح داده شده است. نحوه محاسبه مساحت

متوازی الاضلاع است که در آن همه زوایا برابر 90 درجه و اضلاع مقابل آن دو به دو موازی و مساوی هستند.

یک مستطیل دارای چندین ویژگی غیرقابل انکار است که در حل بسیاری از مسائل، در فرمول های مساحت مستطیل و محیط آن استفاده می شود. آن ها اینجا هستند:

طول یک ضلع یا قطر مجهول مستطیل با استفاده از قضیه فیثاغورث یا با استفاده از آن محاسبه می شود. مساحت یک مستطیل را می توان به دو صورت یافت - با حاصل ضرب اضلاع آن یا با فرمول مساحت مستطیل از طریق مورب. اولین و ساده ترین فرمول به صورت زیر است:

یک مثال از محاسبه مساحت یک مستطیل با استفاده از این فرمول بسیار ساده است. با دانستن دو ضلع، به عنوان مثال a = 3 cm، b = 5 cm، می توانیم به راحتی مساحت مستطیل را محاسبه کنیم:
در می یابیم که در چنین مستطیلی مساحت برابر با 15 متر مربع خواهد بود. سانتی متر.

مساحت یک مستطیل از طریق قطرها

گاهی اوقات لازم است فرمول مساحت یک مستطیل را از طریق قطرها اعمال کنید. این نه تنها مستلزم یافتن طول قطرها، بلکه همچنین زاویه بین آنها است:

بیایید به مثالی از محاسبه مساحت یک مستطیل با استفاده از مورب نگاه کنیم. اجازه دهید مستطیلی با قطر d = 6 سانتی متر و زاویه = 30 درجه داده شود. ما داده ها را با فرمول از قبل شناخته شده جایگزین می کنیم:

بنابراین، مثال محاسبه مساحت یک مستطیل از طریق مورب به ما نشان داد که یافتن مساحت از این طریق، اگر یک زاویه داده شود، بسیار ساده است.
بیایید یک مشکل جالب دیگر را بررسی کنیم که به ما کمک می کند کمی مغزمان را بکشیم.

وظیفه:مربع داده شده است. مساحت آن 36 متر مربع است. سانتی متر محیط مستطیلی را بیابید که طول یک ضلع آن 9 سانتی متر و مساحت آن با مربع بالا برابر است.
پس چند شرط داریم. برای وضوح، بیایید آنها را بنویسیم تا تمام پارامترهای شناخته شده و ناشناخته را ببینیم:
اضلاع شکل به صورت جفت موازی و مساوی هستند. بنابراین، محیط شکل برابر است با دو برابر مجموع طول اضلاع:
از فرمول مساحت یک مستطیل که برابر با حاصل ضرب دو ضلع شکل است، طول ضلع b را پیدا می کنیم.
از اینجا:
داده های شناخته شده را جایگزین می کنیم و طول ضلع b را پیدا می کنیم:
محیط شکل را محاسبه کنید:
به این ترتیب با دانستن چند فرمول ساده می توانید محیط یک مستطیل را با دانستن مساحت آن محاسبه کنید.

ما قبلاً با مفهوم آشنا شده ایم مساحت شکل، یکی از واحدهای اندازه گیری مساحت را یاد گرفت - سانتی متر مربع. در این درس ما یک قانون در مورد نحوه محاسبه مساحت یک مستطیل استخراج می کنیم.

ما قبلاً می دانیم که چگونه مساحت شکل هایی را که به سانتی متر مربع تقسیم می شوند پیدا کنیم.

مثلا:

می توانیم تعیین کنیم که مساحت شکل اول 8 سانتی متر مربع و مساحت شکل دوم 7 سانتی متر مربع باشد.

چگونه مساحت مستطیلی را که اضلاع آن 3 سانتی متر و طول 4 سانتی متر است پیدا کنیم؟

برای حل مشکل، مستطیل را به 4 نوار هر کدام 3 سانتی متر مربع تقسیم می کنیم.

سپس مساحت مستطیل برابر با 3 * 4 = 12 سانتی متر مربع خواهد بود.

همان مستطیل را می توان به 3 نوار 4 سانتی متر مربع تقسیم کرد.

سپس مساحت مستطیل برابر با 4 * 3 = 12 سانتی متر مربع خواهد بود.

در هر دو مورد برای یافتن مساحت یک مستطیل، اعدادی که طول اضلاع مستطیل را بیان می کنند ضرب می شوند.

مساحت هر مستطیل را پیدا کنید.

مستطیل AKMO را در نظر بگیرید.

در یک نوار 6 سانتی متر مربع وجود دارد و در این مستطیل 2 نوار وجود دارد یعنی می توانیم عمل زیر را انجام دهیم:

عدد 6 نشان دهنده طول مستطیل و 2 نشان دهنده عرض مستطیل است. بنابراین اضلاع مستطیل را ضرب کردیم تا مساحت مستطیل را پیدا کنیم.

مستطیل KDCO را در نظر بگیرید.

در مستطیل KDCO 2 سانتی متر مربع در یک نوار و 3 نوار وجود دارد بنابراین می توانیم عمل را انجام دهیم.

عدد 3 طول مستطیل و 2 عرض مستطیل را نشان می دهد. آنها را ضرب کردیم و مساحت مستطیل را فهمیدیم.

می توانیم نتیجه بگیریم: برای پیدا کردن مساحت یک مستطیل، لازم نیست هر بار شکل را به سانتی متر مربع تقسیم کنید.

برای محاسبه مساحت یک مستطیل، باید طول و عرض آن را پیدا کنید (طول اضلاع مستطیل باید با همان واحدهای اندازه گیری بیان شود)، و سپس حاصل ضرب اعداد حاصل (مساحت) را محاسبه کنید. در واحدهای منطقه مربوطه بیان می شود)

بیایید خلاصه کنیم: مساحت یک مستطیل برابر است با حاصلضرب طول و عرض آن.

مشکل را حل کنید.

اگر طول مستطیل 9 سانتی متر و عرض آن 2 سانتی متر باشد، مساحت مستطیل را محاسبه کنید.

اینجوری فکر کنیم در این مسئله هم طول و هم عرض مستطیل مشخص است. بنابراین، از این قانون پیروی می کنیم: مساحت یک مستطیل برابر است با حاصلضرب طول و عرض آن.

بیایید راه حل را یادداشت کنیم.

پاسخ:مساحت مستطیل 18 سانتی متر 2

به نظر شما چه طول دیگری از اضلاع یک مستطیل با چنین مساحتی است؟

شما می توانید اینگونه فکر کنید. از آنجایی که مساحت حاصل ضرب طول اضلاع یک مستطیل است، باید جدول ضرب را به خاطر بسپارید. چه اعدادی ضرب می شوند تا جواب 18 به دست آید؟

درست است، وقتی 6 و 3 را ضرب کنید، 18 نیز به دست می آید. یعنی یک مستطیل می تواند اضلاع 6 سانتی متر و 3 سانتی متر داشته باشد و مساحت آن نیز برابر با 18 سانتی متر مربع باشد.

مشکل را حل کنید.

طول مستطیل 8 سانتی متر و عرض آن 2 سانتی متر است. مساحت و محیط آن را بیابید.

طول و عرض مستطیل را می دانیم. لازم به یادآوری است که برای یافتن مساحت باید حاصل ضرب طول و عرض آن و برای یافتن محیط باید مجموع طول و عرض را در دو ضرب کنید.

بیایید راه حل را یادداشت کنیم.

پاسخ:مساحت مستطیل 16 سانتی متر مربع و محیط مستطیل 20 سانتی متر است.

مشکل را حل کنید.

طول مستطیل 4 سانتی متر و عرض آن 3 سانتی متر است. مساحت مثلث چقدر است؟ (تصویر را ببینید)

برای پاسخ به سوال در مسئله، ابتدا باید مساحت مستطیل را پیدا کنید. می دانیم که برای این کار باید طول را در عرض ضرب کنیم.

به نقاشی نگاه کنید. آیا دقت کردید که چگونه مورب مستطیل را به دو مثلث مساوی تقسیم می کند؟ بنابراین مساحت یک مثلث 2 برابر کمتر از مساحت یک مستطیل است. این به این معنی است که 12 باید نصف شود.

پاسخ:مساحت مثلث 6 سانتی متر مربع است.

امروز در کلاس با قانون محاسبه مساحت مستطیل آشنا شدیم و یاد گرفتیم که این قانون را هنگام حل مسائل مربوط به یافتن مساحت مستطیل به کار ببریم.

1. M.I.Moro، M.A.Bantova و دیگران ریاضیات: کتاب درسی. کلاس سوم: در 2 قسمت، قسمت 1. م.، "روشنگری"، 1391.

2. M.I.Moro، M.A.Bantova و دیگران ریاضیات: کتاب درسی. کلاس سوم: در 2 قسمت، قسمت 2. م.، "روشنگری"، 1391.

3. M.I.Moro. دروس ریاضی: توصیه های روش شناختی برای معلمان. کلاس سوم. - م.: آموزش و پرورش، 2012.

4. سند تنظیمی. نظارت و ارزیابی نتایج یادگیری. م.، "روشنگری"، 2011.

5. "مدرسه روسیه": برنامه های مدرسه ابتدایی. - م.: "روشنگری"، 2011.

6. S.I.Volkova. ریاضی: کار تستی. کلاس سوم. - م.: آموزش و پرورش، 2012.

7. V.N.Rudnitskaya. تست ها M.، "Exam"، 2012 (127 ص.)

2. انتشارات "Prosveshcheniye" ()

1. طول مستطیل 7 سانتی متر عرض 4 سانتی متر است مساحت مستطیل را پیدا کنید.

2. ضلع مربع 5 سانتی متر است مساحت مربع را پیدا کنید.

3. گزینه های ممکن را برای مستطیل هایی با مساحت 18 سانتی متر مربع بکشید.

4. یک تکلیف در مورد موضوع درس برای دوستان خود ایجاد کنید.

یکی از اولین فرمول هایی که در ریاضیات مورد مطالعه قرار می گیرد مربوط به مستطیل است. همچنین بیشترین استفاده را دارد. سطوح مستطیلی همه جا ما را احاطه کرده اند، بنابراین اغلب نیاز داریم که ناحیه آنها را بشناسیم. حداقل برای اینکه بفهمیم آیا رنگ موجود برای رنگ آمیزی کف ها کافی است یا خیر.

چه واحدهای مساحت وجود دارد؟

اگر در مورد موردی که به عنوان بین المللی پذیرفته شده است صحبت کنیم، یک متر مربع خواهد بود. هنگام محاسبه مساحت دیوارها، سقف یا کف استفاده از آن راحت است. آنها مساحت مسکن را نشان می دهند.

وقتی صحبت از اجسام کوچکتر می شود، دسی متر مربع، سانتی متر یا میلی متر وارد می شود. اگر شکل از یک ناخن بزرگتر نباشد، مورد دوم مورد نیاز است.

هنگام اندازه گیری مساحت یک شهر یا کشور، کیلومتر مربع مناسب ترین است. اما واحدهایی نیز وجود دارد که برای نشان دادن وسعت منطقه استفاده می شود: هستند و هکتار. اولین آنها صد نیز نامیده می شود.

اگر اضلاع مستطیل داده شود چه؟

به روشی مشابه که حالت خاصی از یک مستطیل است محاسبه می شود. از آنجایی که همه اضلاع برابر هستند، حاصل ضرب به مربع حرف تبدیل می شود آ.

اگر شکل بر روی کاغذ شطرنجی به تصویر کشیده شود چه؟

در این شرایط باید به تعداد سلول های داخل شکل تکیه کنید. با استفاده از تعداد آنها، محاسبه مساحت یک مستطیل آسان است. اما زمانی می توان این کار را انجام داد که اضلاع مستطیل با خطوط سلول ها منطبق باشد.

غالباً مستطیل به گونه ای قرار می گیرد که اضلاع آن نسبت به خط کاغذ متمایل باشد. سپس تعیین تعداد سلول ها دشوار است، بنابراین محاسبه مساحت مستطیل پیچیده تر می شود.

ابتدا باید مساحت مستطیل را که می‌توان در سلول‌های اطراف آن ترسیم کرد، پیدا کرد. ساده است: ارتفاع و عرض را ضرب کنید. سپس از مساحت حاصل از همه کم کنید و چهار عدد از آنها وجود دارد. به هر حال، آنها به عنوان نصف حاصلضرب پاها محاسبه می شوند.

نتیجه نهایی مساحت این مستطیل را نشان می دهد.

اگر اضلاع ناشناخته هستند، اما قطر آن و زاویه بین قطرها مشخص شده است، چه باید کرد؟

قبل از آن، در این شرایط، باید اضلاع آن را محاسبه کنید تا از فرمول از قبل آشنا استفاده کنید. ابتدا باید ویژگی قطرهای آن را به خاطر بسپارید. آنها با نقطه تقاطع برابر و نصف می شوند. در نقاشی می بینید که مورب ها مستطیل را به چهار مثلث متساوی الساقین تقسیم می کنند که به صورت جفت با یکدیگر مساوی هستند.

اضلاع مساوی این مثلث ها به صورت نیمی از مورب تعریف می شوند که مشخص است. یعنی هر مثلث دو ضلع و یک زاویه بین آنها دارد که در مسئله آورده شده است. شما می توانید استفاده کنید

یک ضلع مستطیل با استفاده از فرمولی که از اضلاع مساوی مثلث و کسینوس زاویه داده شده استفاده می کند محاسبه می شود. برای محاسبه دومی، مقدار کسینوس باید از زاویه ای برابر با اختلاف 180 و زاویه شناخته شده گرفته شود.

اگر مشکل یک محیط می دهد چه باید کرد؟

معمولاً شرط نسبت طول و عرض را نیز نشان می دهد. سوال نحوه محاسبه مساحت یک مستطیل در این مورد با استفاده از یک مثال خاص ساده تر است.

فرض کنید در مسئله، محیط یک مستطیل معین 40 سانتی متر باشد، همچنین مشخص است که طول آن یک و نیم برابر بیشتر از عرض آن است. شما باید منطقه آن را پیدا کنید.

حل مسئله با نوشتن فرمول محیط شروع می شود. نوشتن آن به عنوان مجموع طول و عرض راحت تر است که هر کدام جداگانه در دو ضرب می شود. این اولین معادله در سیستم خواهد بود که باید حل شود.

دومی مربوط به نسبت ابعادی است که با شرط مشخص می شود. ضلع اول یعنی طول برابر است با حاصل ضرب دوم (عرض) و عدد 1.5. این برابری باید در فرمول محیط جایگزین شود.

معلوم می شود که برابر است با مجموع دو تک جمله. اولی حاصل ضرب 2 و عرض مجهول، دومی حاصلضرب اعداد 2 و 1.5 و همون عرض. تنها یک مجهول در این معادله وجود دارد: عرض. باید آن را بشمارید و سپس از تساوی دوم برای محاسبه طول استفاده کنید. تنها چیزی که باقی می ماند این است که این دو عدد را ضرب کنیم تا مساحت مستطیل را دریابیم.

محاسبات مقادیر زیر را نشان می دهد: عرض - 8 سانتی متر، طول - 12 سانتی متر و مساحت - 96 سانتی متر مربع. آخرین عدد پاسخ مشکل در نظر گرفته شده است.

مساحت یک چند ضلعی

ما مفهوم مساحت یک چندضلعی را با شکل هندسی مانند مربع مرتبط خواهیم کرد. برای واحد مساحت یک چند ضلعی، مساحت مربعی را با ضلع برابر یک می گیریم. اجازه دهید دو ویژگی اساسی برای مفهوم مساحت یک چند ضلعی معرفی کنیم.

خاصیت 1: برای چند ضلعی های مساوی، مساحت آنها برابر است.

خاصیت 2: هر چند ضلعی را می توان به چند ضلعی تقسیم کرد. در این حالت مساحت چند ضلعی اصلی برابر است با مجموع مساحت همه چند ضلعی هایی که این چند ضلعی به آنها تقسیم می شود.

مساحت مربع

قضیه 1

مساحت مربع به عنوان مربع طول ضلع آن تعریف می شود.

که $a$ طول ضلع مربع است.

اثبات

برای اثبات این موضوع باید سه مورد را در نظر بگیریم.

قضیه ثابت شده است.

مساحت یک مستطیل

قضیه 2

مساحت یک مستطیل با حاصل ضرب طول اضلاع مجاور آن تعیین می شود.

از نظر ریاضی این را می توان به صورت زیر نوشت

اثبات

اجازه دهید یک مستطیل $ABCD$ با $AB=b،\ AD=a$ به ما داده شود. اجازه دهید آن را تا یک مربع $APRV$ بسازیم که طول ضلع آن برابر با $a+b$ است (شکل 3).

شکل 3.

با خاصیت دوم مناطقی که داریم

\ \ \

توسط قضیه 1

\ \

قضیه ثابت شده است.

نمونه کارها

مثال 1

مساحت یک مستطیل با اضلاع 5$ و 3$ را پیدا کنید.

مستطیل حالت خاصی از چهار ضلعی است. این بدان معنی است که مستطیل دارای چهار ضلع است. اضلاع مقابل آن مساوی است: مثلاً اگر یکی از اضلاع آن 10 سانتی متر باشد، ضلع مقابل نیز برابر با 10 سانتی متر خواهد بود، حالت خاص مستطیل مربع است. مربع مستطیلی است که تمام اضلاع آن برابر است. برای محاسبه مساحت مربع می توان از همان الگوریتمی که مساحت مستطیل را محاسبه کرد استفاده کرد.

چگونه می توان مساحت یک مستطیل را بر اساس دو ضلع پیدا کرد

برای پیدا کردن مساحت یک مستطیل، باید طول آن را در عرض آن ضرب کنید: مساحت = طول × عرض. در حالت زیر: مساحت = AB × BC.

چگونه مساحت یک مستطیل را در کنار و طول مورب دریابیم

برخی مشکلات مستلزم یافتن مساحت یک مستطیل با استفاده از طول مورب و یکی از اضلاع هستند. قطر یک مستطیل آن را به دو مثلث قائم الزاویه مساوی تقسیم می کند. بنابراین می توانیم ضلع دوم مستطیل را با استفاده از قضیه فیثاغورث تعیین کنیم. پس از این، کار به نقطه قبلی کاهش می یابد.

چگونه مساحت یک مستطیل را با محیط و ضلع آن دریابیم

محیط یک مستطیل مجموع تمام اضلاع آن است. اگر محیط مستطیل و یک ضلع آن (مانند عرض) را می دانید، می توانید مساحت مستطیل را با استفاده از فرمول زیر محاسبه کنید:
مساحت = (محیط×عرض – عرض^2)/2.

مساحت مستطیل از طریق سینوس زاویه حاد بین قطرها و طول مورب

قطرهای یک مستطیل برابر هستند، بنابراین برای محاسبه مساحت بر اساس طول قطر و سینوس زاویه تند بین آنها، باید از فرمول زیر استفاده کنید: مساحت = مورب^2 × sin(زاویه تند بین قطرها )/2.