حل لگاریتم های سطح پایه امتحانی. لگاریتم چیست؟ حل لگاریتم

در این آموزش ویدیویی ما به حل یک معادله لگاریتمی نسبتاً جدی نگاه خواهیم کرد، که در آن نه تنها باید ریشه ها را پیدا کنید، بلکه آنهایی را که در یک بخش معین قرار دارند نیز انتخاب کنید.

مسئله C1. معادله را حل کنید. تمام ریشه های این معادله را که به بازه تعلق دارند بیابید.

نکته ای در مورد معادلات لگاریتمی

با این حال، سال به سال دانش‌آموزانی به سراغ من می‌آیند که در صدد حل این مشکل هستند، صادقانه بگویم، معادلات دشوار، اما در عین حال نمی توانند بفهمند: از کجا باید شروع کنند و چگونه به لگاریتم ها نزدیک شوند؟ این مشکل می تواند حتی در بین دانش آموزان قوی و آماده به وجود بیاید.

در نتیجه، بسیاری از این موضوع می ترسند یا حتی خود را احمق می دانند. بنابراین، به یاد داشته باشید: اگر نمی توانید چنین معادله ای را حل کنید، این به هیچ وجه به این معنی نیست که شما احمق هستید. زیرا، برای مثال، می توانید این معادله را تقریباً شفاهی انجام دهید:

log 2 x = 4

و اگر اینطور نبود، اکنون این متن را نمی‌خوانید، زیرا مشغول کارهای ساده‌تر و پیش پا افتاده‌تر بودید. البته، اکنون یک نفر اعتراض خواهد کرد: "این ساده ترین معادله چه ربطی به ساختار سالم ما دارد؟" من پاسخ می دهم: هر معادله لگاریتمی، مهم نیست که چقدر پیچیده باشد، در نهایت به این ساده ترین ساختارهایی که می توان به صورت شفاهی حل کرد، ختم می شود.

البته، باید از معادلات لگاریتمی پیچیده به معادلات ساده تر حرکت کرد، نه از طریق انتخاب یا رقصیدن با تنبور، بلکه بر اساس قوانین واضح و طولانی تعریف شده، که به نام - قوانین تبدیل عبارات لگاریتمی. با دانستن آنها، می توانید به راحتی حتی با پیچیده ترین معادلات در آزمون دولتی واحد در ریاضیات مقابله کنید.

و این قوانینی است که در درس امروز در مورد آنها صحبت خواهیم کرد. برو!

حل معادله لگاریتمی در مسئله C1

بنابراین، معادله را حل می کنیم:

اول از همه، وقتی صحبت از معادلات لگاریتمی می شود، تاکتیک های اساسی را به یاد می آوریم - به اصطلاح، قانون اساسی برای حل معادلات لگاریتمی. از موارد زیر تشکیل شده است:

قضیه شکل متعارف. هر معادله لگاریتمی، صرف نظر از اینکه شامل چه چیزی باشد، چه لگاریتمی، چه مبنایی، و مهم نیست که حاوی چه چیزی باشد، لزوما باید به معادله ای به شکل تقلیل یابد:

log a f (x) = log a g (x)

اگر به معادله خود نگاه کنیم، بلافاصله متوجه دو مشکل می شویم:

1. در سمت چپ ما داریم مجموع دو عددکه یکی از آنها اصلا لگاریتمی نیست.
2. در سمت راست کاملاً یک لگاریتم وجود دارد، اما در پایه آن یک ریشه وجود دارد. و لگاریتم سمت چپ به سادگی 2 است، یعنی. پایه لگاریتم در سمت چپ و راست متفاوت است.

بنابراین، ما این لیست از مسائل را گردآوری کرده‌ایم که معادله ما را از آن جدا می‌کند معادله متعارف، که هر معادله لگاریتمی باید در طول فرآیند حل به آن کاهش یابد. بنابراین، حل معادله ما در این مرحله به حذف دو مشکل توضیح داده شده در بالا ختم می شود.

هر معادله لگاریتمی را می توان به سرعت و به راحتی حل کرد اگر آن را به شکل متعارف خود کاهش دهید.

مجموع لگاریتم ها و لگاریتم حاصلضرب

به ترتیب پیش برویم. ابتدا به ساختار سمت چپ نگاه می کنیم. در مورد مجموع دو لگاریتم چه می توانیم بگوییم؟ بیایید فرمول فوق العاده را به خاطر بسپاریم:

log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)

اما شایان توجه است که در مورد ما عبارت اول اصلا لگاریتمی نیست. این بدان معنی است که ما باید واحد را به صورت لگاریتم به پایه 2 نشان دهیم (دقیقاً 2، زیرا لگاریتم به پایه 2 در سمت چپ است). چگونه انجامش بدهیم؟ بیایید دوباره فرمول فوق العاده را به یاد بیاوریم:

a = log b b a

در اینجا باید درک کنید: وقتی می گوییم "هر پایه b"، منظور ما این است که b هنوز نمی تواند یک عدد دلخواه باشد. اگر عددی را در لگاریتم وارد کنیم، مسلم است محدودیت های، یعنی: پایه لگاریتم باید بزرگتر از 0 باشد و نباید برابر با 1 باشد. در غیر این صورت، لگاریتم به سادگی معنا ندارد. بیایید این را بنویسیم:

0 < b ≠ 1

بیایید ببینیم در مورد ما چه اتفاقی می افتد:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

حالا بیایید کل معادله خود را با در نظر گرفتن این واقعیت بازنویسی کنیم. و بلافاصله قانون دیگری را اعمال می کنیم: مجموع لگاریتم ها برابر است با لگاریتم حاصلضرب آرگومان ها. در نتیجه دریافت می کنیم:

ما یک معادله جدید داریم. همانطور که می بینیم، در حال حاضر به معادله متعارفی که ما برای آن تلاش می کنیم بسیار نزدیکتر است. اما یک مشکل وجود دارد، ما آن را به عنوان نقطه دوم یادداشت کردیم: لگاریتم های ما، که در سمت چپ و راست هستند، دلایل مختلف. بیایید به مرحله بعدی برویم.

قوانینی برای تفریق توان ها از لگاریتم

بنابراین لگاریتم سمت چپ دارای پایه فقط 2 است و لگاریتم سمت راست دارای یک ریشه در پایه است. اما اگر به یاد داشته باشیم که پایه های استدلال های لگاریتم را می توان به توان رساند، مشکلی نیست. بیایید یکی از این قوانین را بنویسیم:

log a b n = n log a b

ترجمه شده به زبان انسان: می توانید توان را از پایه لگاریتم خارج کنید و آن را به عنوان ضریب در جلو قرار دهید. عدد n از لگاریتم به بیرون مهاجرت کرد و به ضریب جلو تبدیل شد.

به همین راحتی می توانیم توان را از پایه لگاریتم استخراج کنیم. شبیه این خواهد شد:

به عبارت دیگر، اگر درجه را از آرگومان لگاریتم حذف کنید، این درجه نیز به عنوان یک عامل قبل از لگاریتم نوشته می شود، اما نه به صورت عدد، بلکه به صورت عدد متقابل 1/k.

با این حال، این همه چیز نیست! می توانیم این دو فرمول را با هم ترکیب کنیم و به فرمول زیر برسیم:

هنگامی که توانی هم در مبنا و هم در آرگومان لگاریتم ظاهر می‌شود، می‌توانیم با حذف فوری توان‌ها از پایه و آرگومان، در زمان صرفه‌جویی کنیم و محاسبات را ساده کنیم. در این صورت، آنچه در استدلال بود (در مورد ما، این ضریب n است) در صورتگر ظاهر می شود. و درجه در قاعده چقدر بود، a k، به مخرج خواهد رفت.

و این فرمول ها هستند که اکنون برای کاهش لگاریتم های خود به یک پایه استفاده خواهیم کرد.

اول از همه بیایید یک پایه کم و بیش زیبا انتخاب کنیم. بدیهی است که کار با دو در پایه بسیار خوشایندتر از ریشه است. پس بیایید سعی کنیم لگاریتم دوم را به پایه 2 کاهش دهیم. بیایید این لگاریتم را جداگانه بنویسیم:

اینجا چه کار می توانیم بکنیم؟ اجازه دهید فرمول توان را با توان گویا به یاد بیاوریم. به عبارت دیگر می‌توان ریشه‌ها را به‌عنوان یک توان با توان منطقی نوشت. و سپس توان 1/2 را هم از استدلال و هم از پایه لگاریتم می گیریم. دوتا را در ضرایب صورت و مخرج روبروی لگاریتم کاهش می دهیم:

در نهایت، اجازه دهید معادله اصلی را با در نظر گرفتن ضرایب جدید بازنویسی کنیم:

log 2 2 (9x 2 + 5) = log 2 (8x 4 + 14)

ما معادله لگاریتمی متعارف را به دست آورده ایم. هم در سمت چپ و هم در سمت راست ما یک لگاریتم به همان پایه 2 داریم. به غیر از این لگاریتم ها، هیچ ضرایبی، هیچ عبارتی در سمت چپ یا راست وجود ندارد.

در نتیجه، می توانیم از علامت لگاریتم خلاص شویم. البته با در نظر گرفتن حوزه تعریف. اما قبل از انجام این کار، اجازه دهید به عقب برگردیم و کمی در مورد کسرها توضیح دهیم.

تقسیم کسر بر کسری: ملاحظات اضافی

همه دانش‌آموزان نمی‌دانند که عوامل مقابل لگاریتم درست از کجا می‌آیند و به کجا می‌روند. بیایید دوباره آن را بنویسیم:

بیایید بفهمیم کسر چیست. بیایید بنویسیم:

حالا بیایید قانون تقسیم کسرها را به خاطر بسپاریم: برای تقسیم بر 1/2 باید در کسر معکوس ضرب شود:

البته، برای راحتی محاسبات بیشتر، می توانیم دو را به صورت 2/1 بنویسیم - و این همان چیزی است که به عنوان ضریب دوم در فرآیند حل مشاهده می کنیم.

امیدوارم اکنون همه بفهمند که ضریب دوم از کجا می آید، بنابراین بیایید مستقیماً به حل معادله لگاریتمی متعارف خود برویم.

خلاص شدن از شر علامت لگاریتم

بگذارید به شما یادآوری کنم که اکنون می توانیم از شر لگاریتم خلاص شویم و عبارت زیر را بگذاریم:

2 (9x 2 + 5) = 8x 4 + 14

بیایید براکت های سمت چپ را باز کنیم. ما گرفتیم:

18 x 2 + 10 = 8 x 4 + 14

بیایید همه چیز را از سمت چپ به راست حرکت دهیم:

8 x 4 + 14 − 18 x 2 − 10 = 0

بیایید موارد مشابه را بیاوریم و دریافت کنیم:

8 x 4 - 18 x 2 + 4 = 0

برای ساده کردن ضرایب می توانیم هر دو طرف این معادله را بر 2 تقسیم کنیم و به دست می آوریم:

4 x 4 − 9x 2 + 2 = 0

قبل از ما معمول است معادله دو درجه ای، و ریشه های آن به راحتی از طریق ممیز محاسبه می شود. بنابراین، بیایید تفکیک کننده را بنویسیم:

D = 81 − 4 4 2 = 81 − 32 = 49

عالی است، متمایز کننده "زیبا" است، ریشه آن 7 است. همین، بیایید X را خودمان بشماریم. اما در این صورت ریشه ها x نمی شوند، بلکه x 2 خواهند بود، زیرا معادله دو درجه ای داریم. بنابراین، گزینه های ما:

لطفا توجه داشته باشید: ما ریشه ها را استخراج کردیم، بنابراین دو پاسخ وجود دارد، زیرا ... مربع - حتی عملکرد. و اگر فقط ریشه دو را بنویسیم، به سادگی ریشه دوم را از دست خواهیم داد.

اکنون ریشه دوم معادله دو درجه ای خود را می نویسیم:

باز هم جذر حسابی دو طرف معادله خود را می گیریم و دو ریشه می گیریم. با این حال، به یاد داشته باشید:

کافی نیست که استدلال های لگاریتم ها را به شکل متعارف یکسان کنیم. حوزه تعریف را به خاطر بسپار!

در مجموع ما چهار ریشه گرفتیم. همه آنها در واقع راه حلی برای معادله اصلی ما هستند. نگاهی بیندازید: در معادله لگاریتمی اصلی ما، لگاریتم های داخل یا 9x 2 + 5 هستند (این تابع همیشه مثبت است) یا 8x 4 + 14 - که همچنین همیشه مثبت است. بنابراین، دامنه تعریف لگاریتم در هر صورت، صرف نظر از اینکه چه ریشه ای به دست می آوریم، برآورده می شود، یعنی هر چهار ریشه راه حل معادله ما هستند.

عالی، حالا بیایید به قسمت دوم مشکل برویم.

انتخاب ریشه های یک معادله لگاریتمی در یک قطعه

از بین چهار ریشه خود، آنهایی را که در قسمت قرار دارند انتخاب می کنیم [-1; 8/9]. ما به ریشه های خود باز می گردیم و اکنون انتخاب آنها را انجام خواهیم داد. برای شروع، من پیشنهاد می کنم یک محور مختصات ترسیم کنید و انتهای بخش را روی آن علامت بزنید:

هر دو نقطه سایه خواهند داشت. آن ها با توجه به شرایط مشکل، ما به بخش سایه دار علاقه مند هستیم. حالا بیایید به ریشه ها نگاه کنیم.

ریشه های غیر منطقی

بیایید با ریشه های غیر منطقی شروع کنیم. توجه داشته باشید که 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

از این نتیجه می شود که ریشه دو در بخش مورد علاقه ما قرار نمی گیرد. به همین ترتیب، با یک ریشه منفی به دست می آوریم: آن کمتر از -1 است، یعنی در سمت چپ بخش مورد نظر ما قرار دارد.

ریشه های عقلانی

دو ریشه باقی مانده است: x = 1/2 و x = -1/2. بیایید توجه کنیم که انتهای سمت چپ بخش (-1) منفی است و انتهای سمت راست (8/9) مثبت است. بنابراین، جایی بین این انتهای عدد 0 قرار دارد. ریشه x = -1/2 بین -1 و 0 خواهد بود، یعنی. به پاسخ نهایی ختم خواهد شد. همین کار را با ریشه x = 1/2 انجام می دهیم. این ریشه نیز در بخش مورد بررسی قرار دارد.

می توانید مطمئن شوید که 8/9 بزرگتر از 1/2 است. بیایید این اعداد را از یکدیگر کم کنیم:

ما کسری 7/18 > 0 را دریافت کردیم، که طبق تعریف به این معنی است که 8/9 > 1/2.

بیایید ریشه های مناسب را روی محور مختصات علامت گذاری کنیم:

پاسخ نهایی دو ریشه خواهد بود: 1/2 و −1/2.

مقایسه اعداد غیر منطقی: یک الگوریتم جهانی

در پایان، من می خواهم یک بار دیگر به اعداد غیر منطقی بازگردم. با استفاده از مثال آنها، اکنون به نحوه مقایسه کمیت های منطقی و غیرمنطقی در ریاضیات خواهیم پرداخت. برای شروع، چنین تیکی بین آنها V وجود دارد - علامت "بیشتر" یا "کمتر"، اما ما هنوز نمی دانیم به کدام جهت هدایت می شود. بیایید بنویسیم:

اصلاً چرا به الگوریتم های مقایسه ای نیاز داریم؟ واقعیت این است که در این مشکل ما بسیار خوش شانس بودیم: در روند حل شماره تقسیم 1 به وجود آمد که در مورد آن قطعاً می توان گفت:

با این حال، شما همیشه چنین عددی را بلافاصله نخواهید دید. بنابراین بیایید سعی کنیم اعداد خود را مستقیماً مقایسه کنیم.

چگونه انجام می شود؟ ما همان کار را با نابرابری های معمولی انجام می دهیم:

1. اولاً، اگر در جایی ضرایب منفی داشتیم، هر دو طرف نابرابری را در -1 ضرب می‌کردیم. البته تغییر علامت. این علامت V به این تغییر می کند - Λ.
2. اما در مورد ما، هر دو طرف از قبل مثبت هستند، بنابراین نیازی به تغییر چیزی نیست. آنچه واقعاً مورد نیاز است این است دو طرف مربعبرای خلاص شدن از شر رادیکال

اگر هنگام مقایسه اعداد غیرمنطقی، امکان انتخاب فورا عنصر جداکننده وجود ندارد، توصیه می کنم چنین مقایسه ای را "سر به سر" انجام دهید - آن را به عنوان یک نابرابری معمولی توصیف کنید.

هنگام حل آن، به این صورت رسمی می شود:

اکنون مقایسه همه چیز آسان است. نکته این است که 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

تمام است، ما اثبات دقیقی دریافت کرده ایم که همه اعداد در خط عددی x به درستی و دقیقاً به ترتیبی که در واقع باید باشند مشخص شده اند. هیچ کس با این راه حل ایراد نخواهد گرفت، بنابراین به یاد داشته باشید: اگر بلافاصله عدد تقسیم را نمی بینید (در مورد ما 1 است)، با خیال راحت ساختار فوق را بنویسید، ضرب کنید، مربع آن را - و در پایان خواهید دید. یک نابرابری زیبا دریافت کنید از این نابرابری مشخص خواهد شد که کدام عدد بیشتر و کدام کمتر است.

با بازگشت به مسئله خود، می خواهم یک بار دیگر توجه شما را به آنچه در همان ابتدا هنگام حل معادله خود انجام دادیم جلب کنم. یعنی: ما به معادله لگاریتمی اصلی خود نگاه دقیقی انداختیم و سعی کردیم آن را به کاهش دهیم ابتداییمعادله لگاریتمی جایی که فقط لگاریتم در سمت چپ و راست وجود دارد - بدون هیچ عبارت اضافی، ضرایب جلو و غیره. ما به دو لگاریتم بر اساس a یا b نیاز نداریم، بلکه به لگاریتمی برابر با لگاریتم دیگر نیاز داریم.

علاوه بر این، پایه های لگاریتم ها نیز باید برابر باشند. علاوه بر این، اگر معادله به درستی تشکیل شده باشد، با کمک تبدیل های لگاریتمی ابتدایی (مجموع لگاریتم ها، تبدیل یک عدد به لگاریتم و غیره) این معادله را به معادله متعارف کاهش می دهیم.

بنابراین، از این پس، وقتی معادله لگاریتمی را می بینید که بلافاصله قابل حل نیست، نباید گم شوید یا سعی کنید جواب آن را پیدا کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که این مراحل را دنبال کنید:

1. تمام عناصر رایگان را به لگاریتم تبدیل کنید.
2. سپس این لگاریتم ها را اضافه کنید.
3. در ساخت به دست آمده، تمام لگاریتم ها را به یک پایه کاهش دهید.

در نتیجه یک معادله ساده بدست می آورید که می توان آن را با استفاده از ابزارهای جبر ابتدایی از مواد درجه 8-9 حل کرد. در کل برو تو سایت من حل لگاریتم رو تمرین کن مثل من معادلات لگاریتمی حل کن بهتر از من حل کن. و این همه برای من است. پاول بردوف با شما بود. دوباره می بینمت!

لگاریتم چیست؟

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

لگاریتم چیست؟ چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟ این سوالات بسیاری از فارغ التحصیلان را سردرگم می کند. به طور سنتی، موضوع لگاریتم پیچیده، غیرقابل درک و ترسناک در نظر گرفته می شود. به خصوص معادلات با لگاریتم.

این مطلقا درست نیست. کاملا! باور نمی کنی؟ خوب. اکنون، تنها در 10 تا 20 دقیقه شما:

1. متوجه خواهید شد لگاریتم چیست.

2. حل یک کلاس کامل از معادلات نمایی را یاد بگیرید. حتی اگر چیزی در مورد آنها نشنیده باشید.

3. محاسبه لگاریتم های ساده را یاد بگیرید.

علاوه بر این، برای این کار فقط باید جدول ضرب و نحوه افزایش یک عدد به توان را بدانید...

احساس میکنم شک داری...خب باشه، ساعت رو مشخص کن! برو!

ابتدا این معادله را در ذهن خود حل کنید:

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک سیاست حفظ حریم خصوصی ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی را جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - برای افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

عبارات لگاریتمی، حل مثال. در این مقاله به مسائل مربوط به حل لگاریتم می پردازیم. وظایف سؤال پیدا کردن معنای یک عبارت را مطرح می کنند. لازم به ذکر است که مفهوم لگاریتم در بسیاری از کارها استفاده می شود و درک معنای آن از اهمیت فوق العاده ای برخوردار است. در مورد آزمون دولتی واحد، لگاریتم هنگام حل معادلات، در مسائل کاربردی و همچنین در کارهای مربوط به مطالعه توابع استفاده می شود.

بیایید برای درک معنای لگاریتم مثال هایی بیاوریم:

هویت لگاریتمی پایه:

خواص لگاریتم که همیشه باید به خاطر بسپارید:

*لگاریتم حاصلضرب برابر است با مجموع لگاریتم عوامل.

* * *

*لگاریتم یک ضریب (کسری) برابر است با اختلاف لگاریتم عوامل.

* * *

*لگاریتم یک توان برابر است با حاصل ضرب توان و لگاریتم پایه آن.

* * *

* گذار به یک پایه جدید

* * *

خواص بیشتر:

* * *

محاسبه لگاریتم ارتباط تنگاتنگی با استفاده از خواص توانها دارد.

بیایید برخی از آنها را فهرست کنیم:

ماهیت این خاصیت این است که وقتی صورت به مخرج و بالعکس منتقل می شود، علامت توان به خلاف آن تغییر می کند. مثلا:

نتیجه ای از این ویژگی:

* * *

هنگام افزایش توان به توان، پایه ثابت می ماند، اما توان ها ضرب می شوند.

* * *

همانطور که دیدید، مفهوم لگاریتم خود ساده است. نکته اصلی این است که شما به تمرین خوب نیاز دارید، که به شما مهارت خاصی می دهد. البته دانش فرمول ها الزامی است. اگر مهارت تبدیل لگاریتم های ابتدایی ایجاد نشده باشد، در هنگام حل کارهای ساده می توانید به راحتی اشتباه کنید.

تمرین کنید، ابتدا ساده ترین مثال های درس ریاضی را حل کنید، سپس به سراغ نمونه های پیچیده تر بروید. در آینده، من قطعا نشان خواهم داد که چگونه لگاریتم های "زشت" حل می شوند؛ این ها در آزمون یکپارچه دولت ظاهر نمی شوند، اما مورد علاقه هستند، آنها را از دست ندهید!

همین! موفق باشی!

با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ

P.S: اگر در شبکه های اجتماعی درباره سایت به من بگویید ممنون می شوم.

همانطور که می دانید، هنگام ضرب عبارات با توان، نشان دهنده های آنها همیشه با هم جمع می شوند (a b *a c = a b+c). این قانون ریاضی توسط ارشمیدس استخراج شد و بعدها، در قرن هشتم، ریاضیدان ویراسن جدولی از توانای اعداد صحیح ایجاد کرد. این آنها بودند که برای کشف بیشتر لگاریتم ها خدمت کردند. نمونه‌هایی از استفاده از این تابع را می‌توان تقریباً در همه جا یافت که باید ضرب دست و پا گیر را با جمع ساده ساده کنید. اگر 10 دقیقه برای خواندن این مقاله وقت بگذارید، ما به شما توضیح خواهیم داد که لگاریتم چیست و چگونه با آنها کار کنید. به زبانی ساده و در دسترس.

تعریف در ریاضیات

لگاریتم عبارتی از شکل زیر است: log a b=c، یعنی لگاریتم هر عدد غیر منفی (یعنی هر مثبت) "b" به پایه آن "a" توان "c" در نظر گرفته می شود. ” که پایه “a” باید به آن افزایش یابد تا در نهایت مقدار “b” به دست آید. بیایید لگاریتم را با استفاده از مثال ها تجزیه و تحلیل کنیم، فرض کنید یک عبارت log وجود دارد 2 8. چگونه پاسخ را پیدا کنیم؟ خیلی ساده است، باید توانی پیدا کنید که از 2 به توان مورد نیاز 8 بگیرید. پس از انجام محاسباتی در ذهن شما، عدد 3 را به دست می آوریم! و این درست است، زیرا 2 به توان 3 پاسخ 8 را می دهد.

انواع لگاریتم

برای بسیاری از دانش آموزان و دانشجویان، این موضوع پیچیده و غیرقابل درک به نظر می رسد، اما در واقع لگاریتم ها چندان ترسناک نیستند، نکته اصلی درک معنای کلی آنها و به خاطر سپردن ویژگی ها و برخی قوانین است. سه نوع مختلف از عبارت لگاریتمی وجود دارد:

1. لگاریتم طبیعی ln a، که در آن پایه عدد اویلر است (e = 2.7).
2. اعشاری a که پایه آن 10 است.
3. لگاریتم هر عدد b تا مبنای a>1.

هر یک از آنها به روشی استاندارد از جمله ساده سازی، کاهش و کاهش متعاقب آن به یک لگاریتم واحد با استفاده از قضایای لگاریتمی حل می شوند. برای به دست آوردن مقادیر صحیح لگاریتم ها، هنگام حل آنها باید ویژگی های آنها و دنباله اقدامات را به خاطر بسپارید.

قوانین و برخی محدودیت ها

در ریاضیات چندین قاعده-قید وجود دارد که به عنوان بدیهیات پذیرفته شده است، یعنی موضوع بحث نیست و حقیقت است. به عنوان مثال، تقسیم اعداد بر صفر غیرممکن است و همچنین نمی توان ریشه زوج اعداد منفی را استخراج کرد. لگاریتم ها نیز قوانین خاص خود را دارند که به دنبال آن می توانید به راحتی کار با عبارات لگاریتمی طولانی و بزرگ را یاد بگیرید:

• پایه "a" باید همیشه بزرگتر از صفر باشد و مساوی 1 نباشد، در غیر این صورت این عبارت معنای خود را از دست می دهد، زیرا "1" و "0" به هر درجه ای همیشه با مقادیر خود برابر هستند.
• اگر a > 0، سپس a b > 0، معلوم می شود که "c" نیز باید بزرگتر از صفر باشد.

چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟

به عنوان مثال، وظیفه یافتن پاسخ معادله 10 x = 100 داده می شود. این کار بسیار آسان است، شما باید یک توان را با بالا بردن عدد ده انتخاب کنید که به عدد 100 می رسیم. البته این 10 2 = است. 100.

حال بیایید این عبارت را به شکل لگاریتمی نشان دهیم. ما log 10 100 = 2 را دریافت می کنیم. هنگام حل لگاریتم، همه اقدامات عملاً همگرا می شوند تا توانی را که برای به دست آوردن یک عدد معین وارد کردن پایه لگاریتم لازم است، پیدا کنیم.

برای تعیین دقیق مقدار یک درجه مجهول، باید نحوه کار با جدول درجات را یاد بگیرید. به نظر می رسد این است:

همانطور که می بینید، اگر ذهن فنی و دانش جدول ضرب داشته باشید، می توان برخی از توان ها را به طور مستقیم حدس زد. با این حال، برای مقادیر بزرگتر به میز برق نیاز دارید. حتی برای کسانی که اصلاً در مورد موضوعات پیچیده ریاضی چیزی نمی دانند، می توان از آن استفاده کرد. ستون سمت چپ شامل اعداد (مبنای a) است، ردیف بالای اعداد مقدار توان c است که عدد a به آن افزایش می یابد. در محل تقاطع، سلول ها حاوی مقادیر عددی هستند که پاسخ هستند (a c =b). به عنوان مثال، اولین خانه را با عدد 10 در نظر می گیریم و مربع آن را مربع می کنیم، مقدار 100 را می گیریم که در محل تقاطع دو خانه ما نشان داده شده است. همه چیز به قدری ساده و آسان است که حتی واقعی ترین انسان گرا هم می فهمد!

معادلات و نابرابری ها

معلوم می شود که تحت شرایط معین، توان لگاریتم است. بنابراین، هر عبارت عددی ریاضی را می توان به عنوان یک برابری لگاریتمی نوشت. به عنوان مثال، 3 4 = 81 را می توان به عنوان لگاریتم پایه 3 81 برابر با چهار نوشت (log 3 81 = 4). برای توان های منفی قوانین یکسان است: 2 -5 = 1/32 آن را به صورت لگاریتم می نویسیم، log 2 (1/32) = -5 را دریافت می کنیم. یکی از جذاب ترین بخش های ریاضیات، موضوع "لگاریتم" است. ما بلافاصله پس از مطالعه خواص معادلات، نمونه ها و حل معادلات را در زیر بررسی خواهیم کرد. حال بیایید ببینیم که نابرابری ها چگونه هستند و چگونه آنها را از معادلات متمایز کنیم.

عبارت زیر داده می شود: log 2 (x-1) > 3 - این یک نابرابری لگاریتمی است، زیرا مقدار مجهول "x" زیر علامت لگاریتمی است. و همچنین در عبارت دو کمیت با هم مقایسه می شود: لگاریتم عدد مورد نظر به پایه دو بزرگتر از عدد سه است.

مهمترین تفاوت بین معادلات لگاریتمی و نابرابری ها این است که معادلات با لگاریتم (مثلا لگاریتم 2 x = √9) دلالت بر یک یا چند مقدار عددی خاص در پاسخ دارند، در حالی که هنگام حل نابرابری، هر دو محدوده قابل قبول است. مقادیر و نقاط با شکستن این تابع تعیین می شوند. در نتیجه، پاسخ یک مجموعه ساده از اعداد منفرد نیست، مانند پاسخ به یک معادله، بلکه یک سری یا مجموعه ای از اعداد پیوسته است.

قضایای اساسی در مورد لگاریتم

هنگام حل وظایف ابتدایی یافتن مقادیر لگاریتم، ممکن است ویژگی های آن مشخص نباشد. با این حال، هنگامی که صحبت از معادلات لگاریتمی یا نابرابری ها می شود، قبل از هر چیز، لازم است که به وضوح تمام ویژگی های اصلی لگاریتم ها را درک کرده و در عمل اعمال کنیم. در ادامه به نمونه‌هایی از معادلات خواهیم پرداخت؛ اجازه دهید ابتدا هر ویژگی را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم.

1. هویت اصلی به این صورت است: alogaB =B. فقط زمانی اعمال می شود که a بزرگتر از 0 باشد نه برابر یک و B بزرگتر از صفر باشد.
2. لگاریتم محصول را می توان در فرمول زیر نشان داد: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. در این مورد، شرط اجباری است: d، s 1 و s 2 > 0; a≠1. شما می توانید برای این فرمول لگاریتمی با مثال و راه حل اثبات کنید. اجازه دهید log a s 1 = f 1 و log a s 2 = f 2، سپس a f1 = s 1، a f2 = s 2. به دست می آوریم که s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (خواص درجه) و سپس طبق تعریف: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 که باید ثابت شود.
3. لگاریتم ضریب به این صورت است: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. قضیه به شکل فرمول به شکل زیر است: log a q b n = n/q log a b.

این فرمول "ویژگی درجه لگاریتم" نامیده می شود. این شبیه خواص درجات معمولی است و جای تعجب نیست، زیرا تمام ریاضیات بر اساس فرضیه های طبیعی است. بیایید به اثبات نگاه کنیم.

اجازه دهید log a b = t، به نظر می رسد t =b. اگر هر دو قسمت را به توان m برسانیم: a tn = b n ;

اما از آنجایی که a tn = (a q) nt/q = b n، بنابراین log a q b n = (n*t)/t، سپس log a q b n = n/q log a b. قضیه ثابت شده است.

نمونه هایی از مشکلات و نابرابری ها

رایج ترین انواع مسائل در لگاریتم مثال هایی از معادلات و نابرابری ها هستند. آنها تقریباً در تمام کتاب های مسئله یافت می شوند و همچنین جزء ضروری امتحانات ریاضی هستند. برای ورود به دانشگاه یا قبولی در امتحانات ورودی ریاضی، باید بدانید که چگونه به درستی چنین کارهایی را حل کنید.

متأسفانه هیچ طرح یا طرح واحدی برای حل و تعیین مقدار مجهول لگاریتم وجود ندارد، اما قوانین خاصی را می توان برای هر نابرابری ریاضی یا معادله لگاریتمی اعمال کرد. اول از همه، باید دریابید که آیا عبارت را می توان ساده کرد یا به یک فرم کلی تقلیل داد. اگر از خصوصیات آنها به درستی استفاده کنید، می توانید عبارات لگاریتمی طولانی را ساده کنید. بیایید سریع با آنها آشنا شویم.

هنگام حل معادلات لگاریتمی، باید مشخص کنیم که چه نوع لگاریتمی داریم: یک عبارت مثال ممکن است شامل یک لگاریتم طبیعی یا یک اعشاری باشد.

در اینجا نمونه هایی از ln100، ln1026 آورده شده است. راه حل آنها به این واقعیت خلاصه می شود که آنها باید قدرتی را تعیین کنند که پایه 10 به ترتیب برابر با 100 و 1026 خواهد بود. برای حل لگاریتم های طبیعی، باید از هویت های لگاریتمی یا ویژگی های آنها استفاده کنید. بیایید به نمونه هایی از حل مسائل لگاریتمی در انواع مختلف نگاه کنیم.

نحوه استفاده از فرمول های لگاریتمی: با مثال ها و راه حل ها

بنابراین، بیایید به نمونه هایی از استفاده از قضایای اساسی در مورد لگاریتم نگاه کنیم.

1. از خاصیت لگاریتم یک محصول می توان در کارهایی استفاده کرد که لازم است مقدار زیادی از عدد b را به عوامل ساده تر تجزیه کنیم. مثلاً log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. جواب 9 است.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - همانطور که می بینید با استفاده از چهارمین خاصیت توان لگاریتمی موفق به حل یک عبارت به ظاهر پیچیده و غیرقابل حل شدیم. شما فقط باید پایه را فاکتور بگیرید و سپس مقادیر توان را از علامت لگاریتم خارج کنید.

تکالیف از آزمون دولتی واحد

لگاریتم ها اغلب در امتحانات ورودی یافت می شوند، به ویژه بسیاری از مشکلات لگاریتمی در آزمون یکپارچه دولتی (امتحان دولتی برای همه فارغ التحصیلان مدرسه). به طور معمول، این وظایف نه تنها در بخش A (آسان ترین بخش آزمایشی امتحان)، بلکه در قسمت C (پیچیده ترین و پرحجم ترین کارها) نیز وجود دارد. آزمون نیاز به دانش دقیق و کامل از مبحث لگاریتم های طبیعی دارد.

نمونه ها و راه حل های مشکلات از نسخه های رسمی آزمون یکپارچه دولتی گرفته شده است. بیایید ببینیم چنین وظایفی چگونه حل می شوند.

با توجه به log 2 (2x-1) = 4. راه حل:
بیایید عبارت را بازنویسی کنیم، آن را کمی ساده کنیم log 2 (2x-1) = 2 2، با تعریف لگاریتم دریافت می کنیم که 2x-1 = 2 4، بنابراین 2x = 17. x = 8.5.

• بهتر است تمام لگاریتم ها را به یک پایه کاهش دهید تا راه حل دست و پا گیر و گیج کننده نباشد.
• تمام عبارات زیر علامت لگاریتم مثبت نشان داده می شوند، بنابراین، هنگامی که توان یک عبارتی که زیر علامت لگاریتم است و به عنوان پایه آن به عنوان ضریب خارج می شود، عبارت باقی مانده در زیر لگاریتم باید مثبت باشد.