Faktanya, semuanya tidak begitu menakutkan sama sekali. Tentu saja, definisi "nyata" dari sinus, kosinus, tangen, dan kotangen harus dilihat dalam artikel ini. Tapi kamu benar-benar tidak mau, kan? Kita bisa bergembira: untuk menyelesaikan soal tentang segitiga siku-siku, Anda cukup mengisi hal-hal sederhana berikut ini:
Bagaimana dengan sudutnya? Apakah ada kaki yang berhadapan dengan sudut, yaitu kaki yang berlawanan (untuk sudut)? Tentu saja punya! Ini adalah sebuah kateter!
Tapi bagaimana dengan sudutnya? Lihat dari dekat. Kaki mana yang berdekatan dengan sudut? Tentu saja, kucing. Jadi, untuk sudut, kaki berdekatan, dan
Dan sekarang, perhatian! Lihat apa yang kami dapatkan:
Lihat betapa hebatnya itu:
Sekarang mari kita beralih ke tangen dan kotangen.
Bagaimana memasukkannya ke dalam kata-kata sekarang? Apa kaki dalam kaitannya dengan sudut? Berlawanan, tentu saja - itu "terletak" di seberang sudut. Dan kateter? Berdekatan dengan sudut. Jadi apa yang kami dapatkan?
Lihat bagaimana pembilang dan penyebut dibalik?
Dan sekarang lagi sudut dan melakukan pertukaran:
Ringkasan
Mari kita tuliskan secara singkat apa yang telah kita pelajari.
 |
Teori Pitagoras: |
Teorema utama tentang segitiga siku-siku- Teori Pitagoras.
teori Pitagoras
Ngomong-ngomong, apakah Anda ingat dengan baik apa itu kaki dan sisi miring? Jika tidak, maka lihat gambarnya - segarkan pengetahuan Anda
Ada kemungkinan bahwa Anda telah menggunakan teorema Pythagoras berkali-kali, tetapi apakah Anda pernah bertanya-tanya mengapa teorema seperti itu benar. Bagaimana Anda akan membuktikannya? Mari kita lakukan seperti orang Yunani kuno. Mari kita menggambar persegi dengan sisi.
Anda lihat betapa liciknya kami membagi sisi-sisinya menjadi segmen-segmen panjang dan!
Sekarang mari kita hubungkan titik-titik yang ditandai
Di sini kami, bagaimanapun, mencatat sesuatu yang lain, tetapi Anda sendiri melihat gambar itu dan memikirkan mengapa.
Berapa luas persegi yang lebih besar?
Benar, .
Bagaimana dengan daerah yang lebih kecil?
Tentu saja, .
Total luas keempat sudut tetap. Bayangkan kita mengambil dua dari mereka dan bersandar satu sama lain dengan sisi miring.
Apa yang terjadi? Dua persegi panjang. Jadi, luas "stek" sama.
Mari kita kumpulkan semuanya sekarang.
Mari kita ubah:
Jadi kami mengunjungi Pythagoras - kami membuktikan teoremanya dengan cara kuno.
Segitiga siku-siku dan trigonometri
Untuk segitiga siku-siku, hubungan berikut berlaku:
Sinus sudut lancip sama dengan rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring
Kosinus sudut lancip sama dengan rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.
Garis singgung sudut lancip sama dengan rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan.
Kotangen sudut lancip sama dengan rasio kaki yang berdekatan dengan kaki yang berlawanan.
Dan sekali lagi, semua ini dalam bentuk piring:
Sangat nyaman!
Tanda-tanda persamaan segitiga siku-siku
I. Dengan dua kaki
II. Dengan kaki dan sisi miring
AKU AKU AKU. Berdasarkan sisi miring dan sudut lancip
IV. Sepanjang kaki dan sudut lancip
sebuah) 
b) 
Perhatian! Di sini sangat penting bahwa kaki "sesuai". Misalnya, jika berjalan seperti ini:
MAKA SEGITIGA TIDAK SAMA, meskipun fakta bahwa mereka memiliki satu sudut lancip yang identik.
perlu di kedua segitiga kakinya berdekatan, atau di keduanya - berlawanan.
Pernahkah Anda memperhatikan bagaimana tanda persamaan segitiga siku-siku berbeda dari tanda persamaan segitiga biasa?
Lihatlah topik "dan perhatikan fakta bahwa untuk kesetaraan segitiga "biasa", Anda memerlukan kesetaraan tiga elemennya: dua sisi dan sudut di antara mereka, dua sudut dan satu sisi di antara mereka, atau tiga sisi.
Tetapi untuk persamaan segitiga siku-siku, hanya dua elemen yang bersesuaian saja yang cukup. Ini bagus, kan?
Kira-kira situasinya sama dengan tanda-tanda kesamaan segitiga siku-siku.
Tanda-tanda kesamaan segitiga siku-siku
I. Sudut akut
II. Dengan dua kaki
AKU AKU AKU. Dengan kaki dan sisi miring
Median dalam segitiga siku-siku
Kenapa gitu?
Pertimbangkan seluruh persegi panjang, bukan segitiga siku-siku.
Mari kita gambarkan diagonal dan perhatikan sebuah titik – titik perpotongan diagonal-diagonal tersebut. Apa yang kamu ketahui tentang diagonal persegi panjang?
Dan apa yang mengikuti dari ini?
Jadi itu terjadi
- - median:
Ingat fakta ini! Membantu banyak!
Yang lebih mengejutkan adalah bahwa kebalikannya juga benar.
Apa manfaat yang dapat diperoleh dari fakta bahwa median yang ditarik ke sisi miring sama dengan setengah sisi miring? Mari kita lihat gambarnya
Lihat dari dekat. Kami memiliki: , yaitu, jarak dari titik ke ketiga simpul segitiga ternyata sama. Tetapi dalam segitiga hanya ada satu titik, jarak dari ketiga simpul segitiga adalah sama, dan ini adalah PUSAT LINGKARAN yang dijelaskan. Jadi apa yang terjadi?
Jadi mari kita mulai dengan ini "selain ...".
Mari kita lihat saya.
Tetapi pada segitiga-segitiga yang sebangun semua sudutnya sama besar!
Hal yang sama dapat dikatakan tentang dan
Sekarang mari kita menggambar bersama:
Apa gunanya dapat ditarik dari kesamaan "tiga" ini.
Nah, misalnya - dua rumus tinggi segitiga siku-siku.
Kami menulis hubungan pihak terkait:
Untuk menemukan tinggi, kami memecahkan proporsi dan mendapatkan rumus pertama "Tinggi dalam segitiga siku-siku":
Nah, sekarang, menerapkan dan menggabungkan pengetahuan ini dengan orang lain, Anda akan menyelesaikan masalah apa pun dengan segitiga siku-siku!
Jadi, mari kita terapkan kesamaannya: .
Apa yang akan terjadi sekarang?
Sekali lagi kami memecahkan proporsi dan mendapatkan rumus kedua:
Kedua formula ini harus diingat dengan baik dan yang lebih nyaman untuk diterapkan.
Mari kita tuliskan lagi.
Teori Pitagoras:
Dalam segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kaki:.
Tanda-tanda persamaan segitiga siku-siku:
- dengan dua kaki:
- sepanjang kaki dan sisi miring: or
- sepanjang kaki dan sudut lancip yang berdekatan: or
- sepanjang kaki dan sudut lancip yang berlawanan: or
- dengan sisi miring dan sudut lancip: atau.
Tanda-tanda kesamaan segitiga siku-siku:
- satu sudut tajam: atau
- dari proporsionalitas kedua kaki:
- dari proporsionalitas kaki dan sisi miring: atau.
Sinus, kosinus, tangen, kotangen dalam segitiga siku-siku
- Sinus sudut lancip segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring:
- Kosinus sudut lancip segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring:
- Garis singgung sudut lancip segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan:
- Kotangen sudut lancip segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan yang berlawanan:.
Tinggi segitiga siku-siku: atau.
Dalam segitiga siku-siku, median yang ditarik dari titik sudut siku-siku sama dengan setengah sisi miring: .
Luas segitiga siku-siku:
- melalui kateter:
Segitiga.
Konsep dasar.
Segi tiga- ini adalah gambar yang terdiri dari tiga segmen dan tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus.
Segmen disebut Para Pihak, dan titik puncak.
Jumlah sudut segitiga sama dengan 180 .
Tinggi segitiga.
Tinggi Segitiga adalah garis tegak lurus yang ditarik dari sebuah titik ke sisi yang berlawanan.
Dalam segitiga siku-siku, tingginya terkandung di dalam segitiga (Gbr. 1).
Dalam segitiga siku-siku, kaki adalah tinggi segitiga (Gbr. 2).
Dalam segitiga tumpul, tingginya melewati luar segitiga (Gbr. 3).
Sifat tinggi segitiga:
Pembagi segitiga.
Garis bagi segitiga- ini adalah segmen yang membagi dua sudut simpul dan menghubungkan simpul ke titik di sisi yang berlawanan (Gbr. 5).
Properti bagi-bagi:
Median segitiga.
median segitiga- ini adalah segmen yang menghubungkan simpul dengan bagian tengah sisi yang berlawanan (Gbr. 9a).
| Panjang median dapat dihitung dengan menggunakan rumus: 2b 2 + 2c 2 - sebuah 2 di mana saya- median ditarik ke samping sebuah. Dalam segitiga siku-siku, median yang ditarik ke sisi miring adalah setengah sisi miring: c di mana mc adalah median yang ditarik ke sisi miring c(Gbr. 9c) Median segitiga berpotongan di satu titik (di pusat massa segitiga) dan dibagi dengan titik ini dengan perbandingan 2:1, dihitung dari atas. Artinya, segmen dari titik ke pusat adalah dua kali segmen dari pusat ke sisi segitiga (Gbr. 9c). Tiga median suatu segitiga membaginya menjadi enam segitiga yang luasnya sama. |
Garis tengah segitiga.
Garis tengah segitiga- ini adalah segmen yang menghubungkan titik tengah kedua sisinya (Gbr. 10).
Garis tengah segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan sama dengan setengahnya.
Sudut luar segitiga.
sudut luar segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berdekatan (Gbr. 11).
Sudut luar segitiga lebih besar dari sudut yang tidak berdekatan.
Segitiga siku-siku.
Segitiga siku-siku- ini adalah segitiga yang memiliki sudut siku-siku (Gbr. 12).
Sisi segitiga siku-siku di depan sudut siku-siku disebut sisi miring.
Dua sisi lainnya disebut kaki.
Segmen proporsional dalam segitiga siku-siku.
1) Dalam segitiga siku-siku, tinggi yang ditarik dari sudut siku-siku membentuk tiga segitiga yang sebangun: ABC, ACH dan HCB (Gbr. 14a). Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh ketinggian sama dengan sudut A dan B.
Gbr.14a
Segitiga sama kaki.
Segitiga sama kaki- ini adalah segitiga di mana dua sisinya sama (Gbr. 13).
Sisi-sisi yang sama ini disebut sisi, dan ketiga dasar segi tiga.
Pada segitiga sama kaki, sudut-sudut di alasnya sama besar. (Dalam segitiga kami, sudut A sama dengan sudut C).
Dalam segitiga sama kaki, median yang ditarik ke alas adalah garis bagi dan tinggi segitiga.
Segitiga sama sisi.
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang semua sisinya sama panjang (Gbr. 14).
Sifat-sifat segitiga sama sisi:
Sifat luar biasa dari segitiga.
Segitiga memiliki sifat asli yang akan membantu Anda berhasil memecahkan masalah yang terkait dengan bentuk-bentuk ini. Beberapa properti ini diuraikan di atas. Tetapi kami mengulanginya lagi, menambahkan beberapa fitur hebat lainnya:
| 1) Dalam segitiga siku-siku dengan sudut 90º, 30º dan 60º, kaki b, terletak di seberang sudut 30º, sama dengan setengah dari hipotenusa. Sebuah kakisebuah lebih banyak kakib 3 kali (Gbr. 15 sebuah). Misalnya, jika kaki b adalah 5, maka sisi miringnya c tentu sama dengan 10, dan kaki sebuah sama dengan 5√3. 2) Dalam segitiga siku-siku sama kaki dengan sudut 90º, 45º dan 45º, sisi miringnya adalah √2 kali kaki (Gbr. 15 b). Misalnya, jika kakinya adalah 5, maka sisi miringnya adalah 5√2. 3) Garis tengah segitiga sama dengan setengah dari sisi sejajar (Gbr. 15 Dengan). Misalnya, jika sisi segitiga adalah 10, maka garis tengahnya adalah 5. 4) Dalam segitiga siku-siku, median yang ditarik ke sisi miring sama dengan setengah sisi miring (Gbr. 9c): mc= c/2. 5) Median sebuah segitiga, yang berpotongan di satu titik, dibagi dengan titik ini dengan perbandingan 2:1. Artinya, ruas dari titik puncak ke titik perpotongan median adalah dua kali ruas dari titik perpotongan median ke sisi segitiga (Gbr. 9c) 6) Dalam segitiga siku-siku, titik tengah sisi miring adalah pusat lingkaran yang dibatasi (Gbr. 15 d). |
Tanda persamaan segitiga.
Tanda pertama kesetaraan: Jika dua sisi dan sudut antara satu segitiga sama dengan dua sisi dan sudut di antara mereka dari segitiga lain, maka segitiga tersebut kongruen.
Tanda kedua kesetaraan: jika sisi-sisi dan sudut-sudut yang berdampingan dengan suatu segitiga sama dengan sisi dan sudut-sudut yang berdekatan dengan segitiga lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.
Tanda ketiga kesetaraan: Jika tiga sisi dari suatu segitiga sama dengan tiga sisi dari segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.
Ketimpangan Segitiga.
Dalam segitiga apa pun, setiap sisi lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya.
Teori Pitagoras.
Dalam segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya:
c 2 = sebuah 2 + b 2 .
Luas segitiga.
1) Luas segitiga sama dengan setengah produk sisinya dan tinggi yang ditarik ke sisi ini:
ah
S = ——
2
2) Luas segitiga sama dengan setengah produk dari setiap dua sisinya dan sinus sudut di antara mereka:
1
S = —
AB ·
AC ·
dosa SEBUAH
2
Sebuah segitiga dibatasi sekitar lingkaran.
Sebuah lingkaran disebut bertulisan dalam segitiga jika menyentuh semua sisinya (Gbr. 16 sebuah).
Segitiga tertulis dalam lingkaran.
Segitiga disebut tertulis dalam lingkaran jika menyentuhnya dengan semua simpulnya (Gbr. 17 sebuah).
Sinus, kosinus, tangen, kotangen dari sudut lancip segitiga siku-siku (Gbr. 18).
sinus sudut lancip x di depan kateter ke hipotenusa.
Dilambangkan seperti ini: sinx.
Kosinus sudut lancip x segitiga siku-siku adalah rasio bersebelahan kateter ke hipotenusa.
Dilambangkan sebagai berikut: cos x.
Garis singgung sudut lancip x adalah rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan.
Dilambangkan seperti ini: tgx.
Kotangens sudut lancip x adalah rasio kaki yang berdekatan dengan kaki yang berlawanan.
Dilambangkan seperti ini: ctgx.
Aturan:
Sudut berlawanan kaki x, sama dengan produk dari sisi miring dan sin x:
b=c dosa x
Kaki berdekatan dengan sudut x, sama dengan produk dari sisi miring dan cos x:
a = c karena x
Sudut berlawanan kaki x, sama dengan produk dari leg kedua dan tg x:
b = a tg x
Kaki berdekatan dengan sudut x, sama dengan produk dari leg kedua dan ctg x:
a = b ctg x.
Untuk setiap sudut lancip x:
dosa (90° - x) = cos x
cos (90 ° - x) = sin x
Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku, yaitu sama dengan 90 derajat.
- Sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku disebut hipotenusa. c atau AB)
- Sisi yang berdekatan dengan sudut siku-siku disebut kaki. Setiap segitiga siku-siku memiliki dua kaki (ditunjukkan sebagai sebuah dan b atau AC dan BC)
Rumus dan sifat segitiga siku-siku
Sebutan rumus:(lihat gambar di atas)
a, b- kaki segitiga siku-siku
c- sisi miring
α, β - sudut lancip segitiga
S- kotak
h- ketinggian turun dari titik sudut siku-siku ke sisi miring
saya sebuah dari sudut yang berlawanan ( α )
m b- median ditarik ke samping b dari sudut yang berlawanan ( β )
mc- median ditarik ke samping c dari sudut yang berlawanan ( γ )
PADA segitiga siku-siku kedua kaki kurang dari sisi miring(Formula 1 dan 2). Sifat ini merupakan konsekuensi dari teorema Pythagoras.
Cosinus dari salah satu sudut lancip kurang dari satu (Formula 3 dan 4). Properti ini mengikuti dari yang sebelumnya. Karena salah satu kaki lebih kecil dari sisi miring, rasio kaki terhadap sisi miring selalu kurang dari satu.
Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya (teorema Pythagoras). (Formula 5). Properti ini terus-menerus digunakan dalam memecahkan masalah.
Luas segitiga siku-siku sama dengan setengah hasil kali kaki (Rumus 6)
Jumlah median kuadrat ke kaki sama dengan lima kuadrat median sisi miring dan lima kuadrat sisi miring dibagi empat (Rumus 7). Selain di atas, ada 5 formula lagi, jadi disarankan agar Anda juga membiasakan diri dengan pelajaran " Median segitiga siku-siku", yang menjelaskan sifat-sifat median secara lebih rinci.
Tinggi dari segitiga siku-siku sama dengan produk kaki dibagi dengan sisi miring (Rumus 8)
Kuadrat kaki berbanding terbalik dengan kuadrat tinggi badan yang dijatuhkan ke sisi miring (Rumus 9). Identitas ini juga merupakan salah satu konsekuensi dari teorema Pythagoras.
Panjang sisi miring sama dengan diameter (dua jari-jari) lingkaran yang dibatasi (Rumus 10). Hipotenusa segitiga siku-siku adalah diameter lingkaran yang dibatasi. Sifat ini sering digunakan dalam pemecahan masalah.
Jari-jari tertulis di segitiga siku-siku lingkaran dapat ditemukan sebagai setengah dari ekspresi, yang mencakup jumlah kaki segitiga ini dikurangi panjang sisi miring. Atau sebagai produk dari kaki dibagi dengan jumlah semua sisi (keliling) dari segitiga yang diberikan. (Formula 11)
Sinus sudut di depan sudut ini kaki ke sisi miring(menurut definisi sinus). (Formula 12). Properti ini digunakan saat memecahkan masalah. Mengetahui dimensi sisi, Anda dapat menemukan sudut yang mereka bentuk.
Kosinus sudut A (α, alfa) dalam segitiga siku-siku akan sama dengan hubungan bersebelahan sudut ini kaki ke sisi miring(menurut definisi sinus). (Formula 13)
(ABC) dan sifat-sifatnya, yang ditunjukkan pada gambar. Segitiga siku-siku memiliki sisi miring, sisi di depan sudut siku-siku.
Tip 1: Cara menemukan tinggi dalam segitiga siku-siku
Sisi yang membentuk sudut siku-siku disebut kaki. Gambar samping AD, DC dan BD, DC- kaki, dan samping AC dan SW- hipotenusa.
Teorema 1. Dalam segitiga siku-siku dengan sudut 30°, kaki yang berlawanan dengan sudut ini akan robek menjadi setengah dari sisi miring.
hC
AB- sisi miring;
IKLAN dan DB
Segi tiga
Ada teorema:
sistem komentar CACKLE
Penyelesaian: 1) Diagonal suatu persegi panjang adalah sama Benar 2) Jika dalam sebuah segitiga terdapat satu sudut lancip, maka segitiga tersebut adalah siku-siku. Tidak benar. Jenis-jenis segitiga. Segitiga disebut siku-siku jika ketiga sudutnya lancip, yaitu kurang dari 90 ° 3) Jika titiknya terletak pada.
Atau di postingan lain,
Menurut teorema Pythagoras
Berapa tinggi dalam rumus segitiga siku-siku?
Tinggi segitiga siku-siku
Ketinggian segitiga siku-siku yang ditarik ke sisi miring dapat ditemukan dengan satu atau lain cara, tergantung pada data dalam pernyataan masalah.
Atau di postingan lain,
Dimana BK dan KC adalah proyeksi kaki pada sisi miring (segmen di mana ketinggian membagi sisi miring).
Ketinggian yang ditarik ke sisi miring dapat ditemukan melalui area segitiga siku-siku. Jika kita menerapkan rumus untuk mencari luas segitiga
(setengah produk dari sisi dan tinggi yang ditarik ke sisi ini) ke sisi miring dan tinggi yang ditarik ke sisi miring, kita mendapatkan:
Dari sini kita dapat menemukan tinggi sebagai rasio dua kali luas segitiga dengan panjang sisi miring:
Karena luas segitiga siku-siku adalah setengah dari hasil kali kaki:
Artinya, panjang tinggi yang ditarik ke sisi miring sama dengan rasio produk kaki ke sisi miring. Jika kita menyatakan panjang kaki melalui a dan b, panjang sisi miring melalui c, rumus dapat ditulis ulang sebagai
Karena jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga siku-siku sama dengan setengah sisi miring, panjang tinggi dapat dinyatakan dalam kaki dan jari-jari lingkaran yang dibatasi:
Karena ketinggian yang ditarik ke sisi miring membentuk dua segitiga siku-siku lagi, panjangnya dapat ditemukan melalui rasio dalam segitiga siku-siku.
Dari segitiga siku-siku ABK
Dari segitiga siku-siku ACK
Panjang tinggi segitiga siku-siku dapat dinyatakan dalam panjang kaki. Karena
Menurut teorema Pythagoras
Jika kita kuadratkan kedua sisi persamaan:
Anda bisa mendapatkan rumus lain untuk menghubungkan tinggi segitiga siku-siku dengan kaki:
Berapa tinggi dalam rumus segitiga siku-siku?
Segitiga siku-siku. Level rata-rata.
Apakah Anda ingin menguji kekuatan Anda dan mengetahui hasil seberapa siap Anda untuk Unified State Examination atau OGE?
Teorema segitiga siku-siku utama adalah teorema Pythagoras.
teori Pitagoras
Ngomong-ngomong, apakah Anda ingat dengan baik apa itu kaki dan sisi miring? Jika tidak, maka lihat gambarnya - segarkan pengetahuan Anda
Ada kemungkinan bahwa Anda telah menggunakan teorema Pythagoras berkali-kali, tetapi apakah Anda pernah bertanya-tanya mengapa teorema seperti itu benar. Bagaimana Anda akan membuktikannya? Mari kita lakukan seperti orang Yunani kuno. Mari kita menggambar persegi dengan sisi.
Anda lihat betapa liciknya kami membagi sisi-sisinya menjadi segmen-segmen panjang dan!
Sekarang mari kita hubungkan titik-titik yang ditandai
Di sini kami, bagaimanapun, mencatat sesuatu yang lain, tetapi Anda sendiri melihat gambar itu dan memikirkan mengapa.
Berapa luas persegi yang lebih besar? Benar, . Bagaimana dengan daerah yang lebih kecil? Tentu saja, . Total luas keempat sudut tetap. Bayangkan kita mengambil dua dari mereka dan bersandar satu sama lain dengan sisi miring. Apa yang terjadi? Dua persegi panjang. Jadi, luas "stek" sama.
Mari kita kumpulkan semuanya sekarang.
Jadi kami mengunjungi Pythagoras - kami membuktikan teoremanya dengan cara kuno.
Segitiga siku-siku dan trigonometri
Untuk segitiga siku-siku, hubungan berikut berlaku:
Sinus sudut lancip sama dengan rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring
Kosinus sudut lancip sama dengan rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.
Garis singgung sudut lancip sama dengan rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan.
Kotangen sudut lancip sama dengan rasio kaki yang berdekatan dengan kaki yang berlawanan.
Dan sekali lagi, semua ini dalam bentuk piring:
Pernahkah Anda memperhatikan satu hal yang sangat berguna? Perhatikan piring dengan seksama.
Sangat nyaman!
Tanda-tanda persamaan segitiga siku-siku
II. Dengan kaki dan sisi miring
AKU AKU AKU. Berdasarkan sisi miring dan sudut lancip
IV. Sepanjang kaki dan sudut lancip
Perhatian! Di sini sangat penting bahwa kaki "sesuai". Misalnya, jika berjalan seperti ini:
MAKA SEGITIGA TIDAK SAMA, meskipun fakta bahwa mereka memiliki satu sudut lancip yang identik.
perlu Di kedua segitiga, kakinya berdekatan, atau di keduanya - berlawanan.
Pernahkah Anda memperhatikan bagaimana tanda persamaan segitiga siku-siku berbeda dari tanda persamaan segitiga biasa? Lihatlah topik "Segitiga" dan perhatikan fakta bahwa untuk persamaan segitiga "biasa", Anda memerlukan persamaan tiga elemennya: dua sisi dan satu sudut di antara mereka, dua sudut dan satu sisi di antara mereka, atau tiga sisi. Tetapi untuk persamaan segitiga siku-siku, hanya dua elemen yang bersesuaian saja yang cukup. Ini bagus, kan?
Kira-kira situasinya sama dengan tanda-tanda kesamaan segitiga siku-siku.
Tanda-tanda kesamaan segitiga siku-siku
AKU AKU AKU. Dengan kaki dan sisi miring
Median dalam segitiga siku-siku
Pertimbangkan seluruh persegi panjang, bukan segitiga siku-siku.
Gambarlah sebuah diagonal dan perhatikan titik di mana diagonal-diagonal tersebut berpotongan. Apa yang kamu ketahui tentang diagonal persegi panjang?
- Titik potong diagonal membagi dua Diagonalnya sama
Dan apa yang mengikuti dari ini?
Jadi itu terjadi
Ingat fakta ini! Membantu banyak!
Yang lebih mengejutkan adalah bahwa kebalikannya juga benar.
Apa manfaat yang dapat diperoleh dari fakta bahwa median yang ditarik ke sisi miring sama dengan setengah sisi miring? Mari kita lihat gambarnya
Lihat dari dekat. Kami memiliki: , yaitu, jarak dari titik ke ketiga simpul segitiga ternyata sama. Tetapi dalam segitiga hanya ada satu titik, jarak dari ketiga simpul segitiga adalah sama, dan ini adalah PUSAT LINGKARAN yang dijelaskan. Jadi apa yang terjadi?
Jadi mari kita mulai dengan ini "selain itu. ".
Tetapi pada segitiga-segitiga yang sebangun semua sudutnya sama besar!
Hal yang sama dapat dikatakan tentang dan
Sekarang mari kita menggambar bersama:
Keduanya memiliki sudut tajam yang sama!
Apa gunanya dapat ditarik dari kesamaan "tiga" ini.
Nah, misalnya - Dua rumus untuk tinggi segitiga siku-siku.
Kami menulis hubungan pihak terkait:
Untuk menemukan tinggi, kami memecahkan proporsi dan mendapatkan Rumus pertama "Tinggi dalam segitiga siku-siku":
Bagaimana cara mendapatkan yang kedua?
Dan sekarang kita menerapkan kesamaan segitiga dan.
Jadi, mari kita terapkan kesamaannya: .
Apa yang akan terjadi sekarang?
Sekali lagi kami memecahkan proporsi dan mendapatkan rumus kedua "Tinggi dalam segitiga siku-siku":
Kedua formula ini harus diingat dengan baik dan yang lebih nyaman untuk diterapkan. Mari kita tuliskan lagi.
Nah, sekarang, menerapkan dan menggabungkan pengetahuan ini dengan orang lain, Anda akan menyelesaikan masalah apa pun dengan segitiga siku-siku!
Komentar
Distribusi materi tanpa persetujuan diperbolehkan jika ada tautan dofollow ke halaman sumber.
Kebijakan pribadi
Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja ketika Anda menghubungi kami.
Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang dapat kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.
Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang. Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda. Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
Properti tinggi dari segitiga siku-siku turun ke sisi miring
Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.
Pengungkapan kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
- Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk alasan keamanan, penegakan hukum, atau kepentingan publik lainnya. Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.
Perlindungan informasi pribadi
Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.
Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.
Terima kasih atas pesannya!
Komentar Anda telah diterima, setelah moderasi akan dipublikasikan di halaman ini.
Apakah Anda ingin tahu apa yang tersembunyi di bawah potongan dan menerima materi eksklusif tentang persiapan OGE dan PENGGUNAAN? Tinggalkan email
Sifat-sifat segitiga siku-siku
Perhatikan segitiga siku-siku (ABC) dan sifat-sifatnya, yang ditunjukkan pada gambar. Segitiga siku-siku memiliki sisi miring, sisi di depan sudut siku-siku. Sisi yang membentuk sudut siku-siku disebut kaki. Gambar samping AD, DC dan BD, DC- kaki, dan samping AC dan SW- hipotenusa.
Tanda-tanda persamaan segitiga siku-siku:
Teorema 1. Jika sisi miring dan kaki segitiga siku-siku sama dengan sisi miring dan kaki segitiga lain, maka segitiga tersebut sama besar.
Teorema 2. Jika dua kaki segitiga siku-siku sama dengan dua kaki segitiga lain, maka segitiga tersebut kongruen.
Teorema 3. Jika sisi miring dan sudut lancip suatu segitiga siku-siku sama dengan sisi miring dan sudut lancip segitiga lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.
Teorema 4. Jika kaki dan sudut lancip yang bersebelahan (berlawanan) dari segitiga siku-siku sama dengan kaki dan sudut lancip yang bersebelahan (berlawanan) dari segitiga lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.
Sifat-sifat kaki yang berhadapan dengan sudut 30°:
Teorema 1.
Tinggi dalam segitiga siku-siku
Dalam segitiga siku-siku dengan sudut 30°, kaki yang berlawanan dengan sudut ini akan robek menjadi setengah dari sisi miring.
Teorema 2. Jika pada segitiga siku-siku panjang kakinya sama dengan setengah sisi miringnya, maka besar sudut yang berhadapan adalah 30°.
Jika ketinggian ditarik dari titik sudut siku-siku ke sisi miring, maka segitiga seperti itu dibagi menjadi dua yang lebih kecil, mirip dengan yang keluar dan serupa satu sama lain. Kesimpulan berikut mengikuti dari ini:
- Tingginya adalah rata-rata geometrik (rata-rata proporsional) dari dua segmen sisi miring.
- Setiap kaki segitiga adalah rata-rata yang sebanding dengan sisi miring dan segmen yang berdekatan.
Dalam segitiga siku-siku, kaki bertindak sebagai ketinggian. Orthocenter adalah titik di mana ketinggian segitiga berpotongan. Itu bertepatan dengan bagian atas sudut kanan gambar.
hC- ketinggian yang keluar dari sudut siku-siku segitiga;
AB- sisi miring;
IKLAN dan DB- segmen yang muncul saat membagi sisi miring dengan tinggi.
Kembali untuk melihat referensi pada disiplin "Geometri"
Segi tiga adalah bangun datar yang terdiri dari tiga titik (simpul) yang tidak berada pada garis lurus yang sama dan tiga ruas yang menghubungkan titik-titik tersebut. Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya 90° (sudut siku-siku).
Ada teorema: jumlah sudut lancip suatu segitiga siku-siku adalah 90°.
sistem komentar CACKLE
Kata kunci: segitiga, persegi panjang, kaki, sisi miring, teorema Pythagoras, lingkaran
Segitiga disebut persegi panjang jika memiliki sudut siku-siku.
Segitiga siku-siku memiliki dua sisi yang saling tegak lurus disebut kaki; sisi ketiga disebut sisi miring.
- Menurut sifat-sifat sisi miring tegak lurus dan miring, masing-masing kaki lebih panjang (tetapi kurang dari jumlah mereka).
- Jumlah dua sudut lancip pada segitiga siku-siku sama dengan sudut siku-siku.
- Dua ketinggian segitiga siku-siku bertepatan dengan kakinya. Oleh karena itu, salah satu dari empat titik luar biasa jatuh pada titik sudut siku-siku segitiga.
- Pusat lingkaran berbatas segitiga siku-siku terletak di titik tengah sisi miring.
- Median segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku ke sisi miring adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga ini.
Perhatikan segitiga siku-siku ABC dan gambarlah tinggi CD = hc dari titik sudut siku-siku C.
Ini akan membagi segitiga yang diberikan menjadi dua segitiga siku-siku ACD dan BCD; masing-masing segitiga ini memiliki sudut lancip yang sama dengan segitiga ABC dan oleh karena itu mirip dengan segitiga ABC.
Ketiga segitiga ABC, ACD dan BCD sebangun.
 |
Dari kesamaan segitiga, hubungan berikut ditentukan:
- $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
- c = ac + bc;
- $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
- $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.
teori Pitagoras salah satu teorema dasar geometri Euclidean, yang menetapkan hubungan antara sisi-sisi segitiga siku-siku.
Kata-kata geometris. Dalam segitiga siku-siku, luas bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring sama dengan jumlah luas bujur sangkar yang dibangun di atas kakinya.
Formulasi aljabar. Dalam segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya.
Artinya, menunjukkan panjang sisi miring segitiga melalui c, dan panjang kaki melalui a dan b:
a2 + b2 = c2
Teorema Pythagoras terbalik.
Tinggi segitiga siku-siku
Untuk setiap rangkap tiga bilangan positif a, b dan c sedemikian sehingga
a2 + b2 = c2,
ada segitiga siku-siku dengan kaki a dan b dan sisi miring c.
Tanda-tanda persamaan segitiga siku-siku:
- di sepanjang kaki dan sisi miring;
- dengan dua kaki;
- sepanjang kaki dan sudut lancip;
- hipotenusa dan sudut lancip.
Lihat juga:
Luas Segitiga, Segitiga Sama Kaki, Segitiga Sama Sisi
Geometri. 8 Kelas. Uji 4. Pilihan 1 .
IKLAN : CD=CD : B.D. Jadi CD2 = AD ∙ B.D. Mereka bilang:
IKLAN : AC=AC : AB Jadi AC2 = AB ∙ IKLAN. Mereka bilang:
BD : SM = SM : AB Jadi BC2 = AB ∙ B.D.
Menyelesaikan masalah:
1.
SEBUAH) 70cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm
2. Tinggi segitiga siku-siku yang ditarik ke sisi miring membagi sisi miring menjadi segmen 9 dan 36.
Tentukan panjang tinggi ini.
SEBUAH) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.
4.
SEBUAH) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.
5.
SEBUAH) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.
6.
SEBUAH) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.
7.
8. Kaki segitiga siku-siku adalah 30.
Bagaimana cara mencari tinggi pada segitiga siku-siku?
Hitunglah jarak dari titik sudut siku-siku ke sisi miring jika jari-jari lingkaran yang dibatasi segitiga ini adalah 17.
SEBUAH) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.
10.
SEBUAH) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.
SEBUAH) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.
12.
SEBUAH) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.
Periksa jawaban!
G8.04.1. Segmen proporsional dalam segitiga siku-siku
Geometri. 8 Kelas. Uji 4. Pilihan 1 .
Dalam ABC ACV = 90°. Kaki AC dan BC, sisi miring AB.
CD adalah ketinggian segitiga yang ditarik ke sisi miring.
Proyeksi AD kaki AC pada sisi miring,
Proyeksi BD kaki BC ke sisi miring.
CD Altitude membagi segitiga ABC menjadi dua segitiga yang serupa (dan satu sama lain): ADC dan CDB.
Dari perbandingan sisi-sisi yang sebangun ADC dan CDB berikut:
IKLAN : CD=CD : B.D.
Properti ketinggian segitiga siku-siku turun ke sisi miring.
Jadi CD2 = AD ∙ B.D. Mereka bilang: tinggi segitiga siku-siku yang ditarik ke sisi miring,adalah nilai proporsional rata-rata antara tonjolan kaki pada sisi miring.
Dari persamaan ADC dan ACB berikut ini:
IKLAN : AC=AC : AB Jadi AC2 = AB ∙ IKLAN. Mereka bilang: setiap kaki adalah nilai proporsional rata-rata antara seluruh sisi miring dan proyeksi kaki ini ke sisi miring.
Demikian pula dari persamaan CDB dan ACB berikut ini:
BD : SM = SM : AB Jadi BC2 = AB ∙ B.D.
Menyelesaikan masalah:
1. Tentukan tinggi segitiga siku-siku yang ditarik ke sisi miring jika membagi sisi miring menjadi segmen 25 cm dan 81 cm.
SEBUAH) 70cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm
2. Tinggi segitiga siku-siku yang ditarik ke sisi miring membagi sisi miring menjadi segmen 9 dan 36. Tentukan panjang tinggi ini.
SEBUAH) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.
4. Tinggi segitiga siku-siku yang ditarik ke sisi miring adalah 22, proyeksi salah satu kaki adalah 16. Temukan proyeksi kaki lainnya.
SEBUAH) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.
5. Kaki sebuah segitiga siku-siku adalah 18, dan proyeksinya pada sisi miring adalah 12. Temukan sisi miringnya.
SEBUAH) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.
6. Sisi miringnya adalah 32. Temukan kaki yang proyeksi ke sisi miringnya adalah 2.
SEBUAH) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.
7. Sisi miring dari segitiga siku-siku adalah 45. Temukan kaki yang proyeksinya ke sisi miring adalah 9.
8. Kaki sebuah segitiga siku-siku adalah 30. Hitunglah jarak dari titik sudut siku-siku ke sisi miring jika jari-jari lingkaran yang dibatasi segitiga ini adalah 17.
SEBUAH) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.
10. Sisi miring dari segitiga siku-siku adalah 41, dan proyeksi salah satu kaki adalah 16. Temukan panjang ketinggian yang ditarik dari titik sudut siku-siku ke sisi miring.
SEBUAH) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.
SEBUAH) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.
12. Perbedaan tonjolan kaki pada sisi miring adalah 15, dan jarak dari titik sudut siku-siku ke sisi miring adalah 4. Temukan jari-jari lingkaran yang dibatasi.
SEBUAH) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.
Properti: 1. Dalam segitiga siku-siku mana pun, ketinggian yang diturunkan dari sudut siku-siku (ke sisi miring) membagi segitiga siku-siku menjadi tiga segitiga serupa.
Properti: 2. Ketinggian segitiga siku-siku, diturunkan ke sisi miring, sama dengan rata-rata geometris dari proyeksi kaki pada sisi miring (atau rata-rata geometris dari segmen-segmen di mana ketinggian membagi sisi miring).
Properti: 3. Kaki sama dengan rata-rata geometrik dari sisi miring dan proyeksi kaki ini ke sisi miring.
Properti: 4. Kaki terhadap sudut 30 derajat sama dengan setengah sisi miring.
Formula 1.
Formula 2. di mana sisi miring; , sepatu roda.
Properti: 5. Dalam segitiga siku-siku, median yang ditarik ke sisi miring sama dengan setengahnya dan sama dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi.
Sifat: 6. Ketergantungan antara sisi dan sudut segitiga siku-siku:
44. Teorema kosinus. Konsekuensi: hubungan antara diagonal dan sisi jajar genjang; menentukan jenis segitiga; rumus untuk menghitung panjang median segitiga; menghitung cosinus sudut segitiga.
Akhir pekerjaan -
Topik ini milik:
Kelas. Program Kolokium Fundamentals of Planimetry
Sifat-sifat sudut yang bersebelahan.. Pengertian dua sudut bertetangga jika salah satu sisinya memiliki persamaan pada dua sisi lainnya membentuk garis lurus..
Jika Anda membutuhkan material tambahan pada topik ini, atau Anda tidak menemukan apa yang Anda cari, kami sarankan menggunakan pencarian di database karya kami:
Apa yang akan kami lakukan dengan materi yang diterima:
Jika materi ini ternyata bermanfaat bagi Anda, Anda dapat menyimpannya di halaman Anda di jejaring sosial:
