Rencana pembelajaran pertidaksamaan trigonometri paling sederhana. Rencana pembelajaran aljabar dengan topik "Pertidaksamaan trigonometri"

Model pelajaran tentang topik:

"Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri"

sebagai bagian dari implementasi komponen daerah dalam matematika

untuk siswa kelas 10.

Pomykalova

Elena Viktorovna

guru matematika

Sekolah menengah lembaga pendidikan kota di desa Voskhod

Distrik Balashovsky

wilayah Saratov

Tujuan pelajaran.

1. Ringkaslah pengetahuan teoritis tentang topik: “Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri”, ulangi metode dasar untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri.

2. Mengembangkan kualitas berpikir: fleksibilitas, fokus, rasionalitas. Mengatur pekerjaan siswa pada topik tertentu pada tingkat yang sesuai dengan tingkat pengetahuan yang telah terbentuk.

3. Menumbuhkan ketepatan nada, budaya berbicara, dan kemandirian.

Jenis pelajaran: pelajaran dalam menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan yang diperoleh selama mempelajari topik ini.

Metode pengajaran: generalisasi sistem, tes pengecekan tingkat pengetahuan, penyelesaian masalah generalisasi.

Bentuk organisasi pembelajaran: depan, individu.

Peralatan: komputer , proyektor multimedia, lembar jawaban, kartu tugas, tabel rumus akar persamaan trigonometri.

Selama kelas.

SAYA . Mulai dari pelajaran

Guru menginformasikan siswa tentang topik pelajaran, tujuan, dan menarik perhatian siswa pada handout.

II . Memantau pengetahuan siswa

1) Pekerjaan lisan (Tugas diproyeksikan ke layar)

Menghitung:

A) ;

B) ;

V) ;

G) ;

D) ;
e) .

2) Survei frontal terhadap siswa.

Persamaan apa yang disebut trigonometri?

Jenis persamaan trigonometri apa yang kamu ketahui?

Persamaan apa yang disebut persamaan trigonometri paling sederhana?

Persamaan apa yang disebut homogen?

Persamaan apa yang disebut persamaan kuadrat?

Persamaan apa yang disebut tidak homogen?

Metode penyelesaian persamaan trigonometri apa yang Anda ketahui?

Setelah siswa menjawab, beberapa cara menyelesaikan persamaan trigonometri diproyeksikan di layar.

Memperkenalkan variabel baru:

№1 . 2sin²x – 5sinx + 2 = 0.№2. tg + 3ctg = 4.

Membiarkan sinx = t, |t|≤1, Membiarkan tg = z,

Kita punya: 2 T² – 5 T + 2 = 0. Kita punya: z + = 4.

2. Faktorisasi :

2 dosakarena 5 X – karena 5 X = 0;

cos5x (2sinx – 1) = 0.

Kita punya : cos5x = 0,

2sinx – 1 = 0; ...

3. Persamaan trigonometri homogen:

SAYA derajat II derajat

a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0.

Dibagi dengan karena≠ 0. 1) jika a ≠ 0, bagi dengankarena² X ≠ 0

Kita punya : a tgx + b = 0; ...kita punya : a tg²x + b tgx + c = 0.

2) jika a = 0, maka

kita punya: Bdosakarena + Ckarena² X =0;…

4. Persamaan trigonometri tak homogen:

Persamaan bentuk: bodoh + bcosx = C

4 dosa + 3 karena = 5.

(Tunjukkan dua cara)

1) penggunaan substitusi universal:

dosa = (2 tgX/2) / (1 + tg 2 X/2);

karena = (1– tg 2 X/2) / (1 + tg 2 X/2);

2) memperkenalkan argumen tambahan:

4 dosa + 3 karena = 5

Bagilah kedua ruas dengan 5:

4/5 dosa + 3/5 karena = 1

Karena (4/5) 2 + (3/5) 2 = 1, maka misalkan 4/5 = dosaφ; 3/5= cosφ, di mana 0< φ < π /2, lalu

sinφsinx + cosφcosx = 1

karena(X – φ ) = 1

X – φ = 2 πn, N € Z

X = 2 πn + φ , N € Z

φ = arccos 3/5 artinya X = arcos 3/5 +2 πn, N € Z

Menjawab: arccos 3/5 + 2 πn, N € Z

3) Menyelesaikan persamaan menggunakan rumus pengurangan derajat.

4) Penerapan rumus argumen rangkap dua dan rangkap tiga.

a) 2sin4xcos2x = 4cos 3 2x – 3cos2x

cos6x+cos2x = cos6x

AKU AKU AKU . Menjalankan tugas tes

Guru meminta siswa menerapkan fakta teoritis yang baru saja dirumuskan untuk menyelesaikan persamaan.

Tugas tersebut dilaksanakan dalam bentuk tes. Siswa mengisi formulir jawaban yang terletak di mejanya.

Tugas tersebut diproyeksikan ke layar.

Sarankan cara untuk menyelesaikan persamaan trigonometri ini:

1) pengurangan menjadi persegi;

2) reduksi menuju homogenitas;

3) faktorisasi;

4) penurunan derajat;

5) mengubah jumlah fungsi trigonometri menjadi produk.

Formulir jawaban.

Pilihan SAYA

Persamaannya

Solusi

3 sin²x + cos²x = 1 - sinx cosx

4 bersama s²x- karena– 1 = 0

2 dosa² X / 2 +cosx=1

cosx + cos3x = 0

2 sinx cos5x – cos5x = 0

Pilihan II

Persamaannya

Solusi

2sinxcosx – sinx = 0

3 cos²x - cos2x = 1

6 sin²x + 4 sinx cosx = 1

4 sin²x + 11 sin²x = 3

dosa3x = dosa17x

Jawaban:

Pilihan SAYA Pilihan II

IV . Mengulangi rumus untuk menyelesaikan persamaan

Rumus akar persamaan trigonometri.

Biasa saja

Pribadi

Persamaannya

Rumus akar

Persamaannya

Rumus akar

1. dosa = sebuah, |sebuah|≤1

x = (-1) N busursin a + πk,

kє Z

1.sinx = 0

x = k, kє Z

2. cosx = a, |a|≤1

x = ±arcos a + 2πk,

kє Z

2. sinx = 1

x = + 2πk, k є Z

3.tg x = a

x = arctan a + πk, kє Z

3. sinx = –1

x = – + 2πk, k є Z

4.ctg x = a

x = arcctg a + πk,kє Z

4. cosx = 0

x = + πk, k є Z

5. cosx = 1

x = 2πk, k є Z

6. cosx = –1

x = π + 2πk, k є Z

Pekerjaan lisan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana

Guru meminta siswa menerapkan fakta teoritis yang baru saja dirumuskan untuk menyelesaikan persamaan. Sebuah simulator untuk pekerjaan lisan dengan topik: "Persamaan trigonometri" diproyeksikan ke layar.

Selesaikan persamaan.

dosaX = 0

karenaX = 1

tan x = 0

ctg x = 1

dosa x = - 1 / 2

dosa x = 1

karena x = 1 / 2

dosa x = - √3 / 2

karena x = √2 / 2

dosa x = √2 / 2

karena x = √3 / 2

tan x = √3

dosa x = 1 / 2

dosa x = -1

karena x = - 1 / 2

dosa x = √3 / 2

tan x = -√3

ctg x = √3 / 3

tan x = - √3 / 3

cot x = -√3

karena x – 1 =0

2 dosa x – 1 =0

2ctg x + √3 = 0

V . Contoh pemecahan.

Kartu berisi tugas dibagikan ke setiap meja, satu di meja guru untuk siswa yang datang ke papan tulis.

№1. Temukan mean aritmatika dari semua akar persamaan , memenuhi kondisi ;

Larutan.

Mari kita cari rata-rata aritmatika dari semua akar persamaan tertentu dari interval .

.

Jawaban: a) .

№2 . Selesaikan ketimpangan tersebut .

Larutan.

,

,

.

Menjawab:

№3. Selesaikan persamaannya .

(Bersama-sama menentukan metode untuk memecahkan masalah)

Larutan.

Mari kita perkirakan ruas kanan dan kiri persamaan terakhir.

Oleh karena itu, kesetaraan berlaku jika dan hanya jika sistem tersebut berlaku

Jawaban: 0,5

VI . Pekerjaan mandiri

Guru memberikan tugas untuk kerja mandiri. Kartu disiapkan sesuai dengan tingkat kesulitan.

Siswa yang lebih siap dapat diberikan kartu dengan tugas-tugas yang tingkat kerumitannya meningkat.

Guru memberikan siswa kelompok ke-2 kartu dengan tugas-tugas tingkat kerumitan dasar.

Untuk siswa kelompok ke-3, guru menyusun kartu dengan tugas-tugas tingkat kerumitan dasar, tetapi biasanya siswa dengan persiapan matematika yang buruk, mereka dapat menyelesaikan tugas di bawah pengawasan guru.

Bersamaan dengan tugas, siswa menerima formulir untuk menyelesaikan tugas.

1 kelompok

Opsi #1 (1)

1. Selesaikan persamaannya

2. Selesaikan persamaannya .

Opsi #2 (1)

1. Selesaikan persamaannya .

2. Selesaikan persamaannya .

kelompok ke-2

Opsi #1 (2)

1. Selesaikan persamaannya .

2. Selesaikan persamaannya .

Untuk melihat presentasi dengan gambar, desain dan slide, unduh filenya dan buka di PowerPoint di komputer Anda.
Isi teks slide presentasi: Menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri dengan metode interval 10 A Guru kelas: Uskova N.N. MBOU Lyceum No. 60 Tujuan pembelajaran: Pendidikan: memperluas dan memperdalam pengetahuan tentang topik “Metode interval”; memperoleh keterampilan praktis dalam menyelesaikan tugas dengan menggunakan metode interval; meningkatkan tingkat pelatihan matematika anak sekolah; Perkembangan: pengembangan keterampilan penelitian; Pendidikan: pembentukan observasi, kemandirian, kemampuan berinteraksi dengan orang lain, menumbuhkan budaya berpikir, budaya pidato, minat pada mata pelajaran akademik. Kemajuan pelajaran Mengecek pekerjaan rumah Pekerjaan mandiri Penjelasan materi baru dengan topik “Menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri dengan metode interval”: algoritma penyelesaian; contoh pertidaksamaan. Ringkasan pelajaran. Pekerjaan rumah. Mengecek pekerjaan rumah Mengatasi kesenjangan: Kerja mandiri Selain itu: 1) 2) Mengecek pekerjaan rumah Mengatasi kesenjangan: a) Solusi. Jawaban: b) Solusi. Jawaban: c) Solusi. Jawaban: d) Solusi. Menjawab: . Selesaikan Solusi Ketimpangan. Jawaban: Contoh 1. Selesaikan pertidaksamaan dengan menggunakan metode interval Solusi. 1) 2) Nol suatu fungsi: 3) Tanda-tanda fungsi pada interval: + - + - + 4) Karena pertidaksamaan tidak tegas, maka akar-akarnya dimasukkan 5) Penyelesaian: Jawaban: Contoh 2. Selesaikan pertidaksamaan: Penyelesaian . Jawaban: Metode I: Metode II: Jawaban: Menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri dengan metode interval Algoritma: Dengan menggunakan rumus trigonometri, faktorkan Temukan titik diskontinuitas dan nol dari fungsi tersebut, letakkan pada lingkaran Ambil sembarang titik x0 (tetapi belum ditemukan sebelumnya) dan temukan tandanya berfungsi. Jika hasil perkaliannya positif, beri tanda “+” di belakang lingkaran satuan pada sinar yang sesuai dengan sudutnya. Jika tidak, beri tanda “-” di dalam lingkaran. Jika suatu titik muncul beberapa kali genap, kita menyebutnya titik multiplisitas genap, jika ganjil, kita menyebutnya titik multiplisitas ganjil. Gambarlah busur sebagai berikut: mulai dari titik x0, jika titik berikutnya berganda ganjil, maka busur tersebut memotong lingkaran di titik ini, tetapi jika titik tersebut berganda genap, maka tidak. Busur di luar lingkaran adalah interval positif ; di dalam lingkaran terdapat ruang negatif. Penyelesaian contoh 1) 2) 3) 4) 5) Contoh 1. Penyelesaian. Poin-poin seri pertama: Poin-poin seri kedua: - - - + + + Jawaban: Contoh 2. Penyelesaian. Poin seri pertama: Poin seri kedua: Poin seri ketiga: Poin seri keempat: Poin multiplisitas genap: + + + + - - - - Jawaban: Contoh 3. Penyelesaian. Total: Poin seri pertama: Poin seri kedua: Poin seri ketiga: + + + + + + - - - - - - - - Jawaban. Poin multiplisitas genap: Contoh 4. Solusi. +++ + - - - - Jawab. Contoh 5. Solusi. 1) 2) Angka nol pada fungsi: 3) + - - + - tidak ada angka nol Jadi, pada Jawaban: Secara grafis: Pekerjaan Rumah: Menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri dengan metode interval: a) b) c) d) e) f) g) Tugas tambahan:

File-file terlampir

Topik “Pertidaksamaan trigonometri” secara obyektif sulit dipahami dan dipahami oleh siswa kelas 10. Oleh karena itu, sangat penting untuk secara konsisten, dari yang sederhana hingga yang kompleks, mengembangkan pemahaman tentang algoritma dan mengembangkan keterampilan yang stabil dalam menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri.

Artikel ini menyajikan algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri paling sederhana dan memberikan ringkasan pelajaran yang mempelajari jenis pertidaksamaan trigonometri yang lebih kompleks.

Unduh:

Pratinjau:

Schalpegina I.V.

Topik “Pertidaksamaan trigonometri” secara obyektif sulit dipahami dan dipahami oleh siswa kelas 10. Oleh karena itu, sangat penting untuk secara konsisten, dari yang sederhana hingga yang kompleks, mengembangkan pemahaman tentang algoritma dan mengembangkan keterampilan yang stabil dalam menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri.

Keberhasilan menguasai topik ini bergantung pada pengetahuan tentang definisi dasar dan sifat-sifat fungsi trigonometri dan invers trigonometri, pengetahuan tentang rumus-rumus trigonometri, kemampuan menyelesaikan pertidaksamaan rasional bilangan bulat dan pecahan, serta jenis-jenis utama persamaan trigonometri.

Penekanan khusus harus diberikan pada metode pengajaran solusi protozoa pertidaksamaan trigonometri, karena setiap pertidaksamaan trigonometri direduksi menjadi penyelesaian pertidaksamaan yang paling sederhana.

Ide utama penyelesaian pertidaksamaan trigonometri sederhana sebaiknya diperkenalkan dengan menggunakan grafik sinus, kosinus, tangen, dan kotangen. Dan baru kemudian belajar menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri pada lingkaran.

Saya akan membahas tahapan utama penalaran saat menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri paling sederhana.

1. Kita mencari titik-titik pada lingkaran yang sinus (kosinusnya) sama dengan bilangan yang diberikan.
2. Dalam kasus pertidaksamaan tegas, kita tandai titik-titik pada lingkaran sebagai tertusuk; dalam kasus pertidaksamaan tidak tegas, kita tandai titik-titik tersebut sebagai berbayang.
3. Intinya terletak padainterval utama monotonfungsi sinus (kosinus), disebut P t1, poin lain - P t2.
4. Kami menandai sepanjang sumbu sinus (kosinus) interval yang memenuhi pertidaksamaan ini.
5. Kami memilih busur pada lingkaran yang sesuai dengan interval ini.
6. Kita menentukan arah pergerakan sepanjang busur (dari titik P t1 ke titik P t2 sepanjang busur ), kita gambar panah searah gerakan, di atasnya kita tulis tanda “+” atau “-”, tergantung arah gerakan. (Tahap ini penting untuk memantau sudut yang ditemukan. Siswa dapat mengilustrasikan kesalahan umum dalam mencari batas suatu interval dengan menggunakan contoh penyelesaian pertidaksamaan. sesuai jadwal sinus atau cosinus dan sekitar keliling).
7. Mencari koordinat titik P t1 (sebagai arcsinus atau arccosine dari bilangan tertentu) dan P t2 itu. batas interval, kami mengontrol kebenaran pencarian sudut dengan membandingkan t 1 dan t 2.
8. Jawabannya kita tuliskan dalam bentuk pertidaksamaan (atau celah) ganda dari sudut yang lebih kecil ke sudut yang lebih besar.

Alasan penyelesaian pertidaksamaan dengan garis singgung dan kotangen serupa.

Gambar dan pencatatan solusi, yang harus tercermin dalam buku catatan siswa, diberikan dalam kerangka yang diusulkan.

Ringkasan pelajaran dengan topik: “Menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri.”

Tujuan Pelajaran – melanjutkan mempelajari penyelesaian pertidaksamaan trigonometri yang memuat fungsi sinus dan kosinus, beralih dari pertidaksamaan yang paling sederhana ke pertidaksamaan yang lebih kompleks.

Tujuan pelajaran:

1. konsolidasi pengetahuan tentang rumus trigonometri, nilai tabel fungsi trigonometri, rumus akar persamaan trigonometri;
2. mengembangkan keterampilan menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri sederhana;
3. menguasai teknik menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri yang lebih kompleks;
4. pengembangan pemikiran logis, memori semantik, keterampilan kerja mandiri, pengujian diri;
5. menumbuhkan ketelitian dan kejelasan dalam perumusan keputusan, minat terhadap mata pelajaran, rasa hormat terhadap teman sekelas.
6. pembentukan kompetensi pendidikan, kognitif, informasi, dan komunikasi.

Peralatan: proyektor grafik, kartu selebaran dengan gambar lingkaran trigonometri yang sudah jadi, papan portabel, kartu dengan pekerjaan rumah.

Membentuk organisasi pelatihan - pelajaran. Metode pengajaran yang digunakan dalam pembelajaran - verbal, visual, reproduktif, pencarian masalah, pertanyaan individu dan frontal, pengendalian diri lisan dan tertulis, kerja mandiri.

Tidak hal/hal	Tahapan pelajaran.
	Menyelenggarakan kelas untuk bekerja.
	Memeriksa pekerjaan rumah.	(Mengumpulkan buku catatan dengan pekerjaan rumah)
	Pernyataan tujuan pelajaran.	Hari ini dalam pelajaran kita akan mengulangi penyelesaian pertidaksamaan trigonometri paling sederhana dan mempertimbangkan kasus-kasus yang lebih kompleks.
	Pekerjaan lisan.	(Tugas dan jawaban ditulis pada pita proyektor overhead, saya membuka jawaban saat saya menyelesaikannya) Selesaikan persamaan trigonometri: sinx = -, 2sinx =, sin2x = , sin(x -) = 0, cosx = , cosx = -, cos2x = 1, tgx = -1. Sebutkan interval utama monotonisitas fungsi sinus dan kosinus.
	Pengulangan.	Mari kita mengingat kembali algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri yang paling sederhana. (Ada dua lingkaran kosong di papan. Saya memanggil dua siswa satu per satu untuk menyelesaikan pertidaksamaan. Siswa menjelaskan secara rinci algoritma penyelesaiannya. Kelas bekerja sama dengan mereka yang menjawab di papan tulis pada kartu yang sudah disiapkan sebelumnya dengan gambar dari sebuah lingkaran). 1) sinx ≥ -; t 1  t 2 ; t 1 = arcsin(-) = -; t 2 =  + = ; 2) karenax ≥ -; t 1  t 2 ; t 1 = arccos(-) =  - arccos = =  - = ; t 2 = - ; 2  n ≤ x ≤ + 2  n, n  Z. Bagaimana solusi dari ketimpangan tegas mempengaruhi jawabannya? (3) dan 4) dua siswa menyelesaikan pertidaksamaan pada pita proyektor overhead, kelas menyelesaikannya secara mandiri pada kartu). 3) karena  ; t 1  t 2 ; t 1 = arccos = ; t 2 = 2  - = ; 4) sinx  ; t 1  t 2 ; t 1 = arcsin = ; t 2 = -  - = -; 2  n  x  + 2  n, n  Z. Tukar opsi, ambil pena dengan warna berbeda, periksa pekerjaan teman Anda. (Tes mandiri dari pita proyektor overhead. Siswa yang menyelesaikan tugas mengomentari solusinya. Setelah mengembalikan pekerjaan, refleksi). Bagaimana penyelesaian pertidaksamaan tersebut berubah jika argumen x diganti dengan 2x, oleh? (Menilai pekerjaan siswa).
	materi baru.	Mari beralih ke pertidaksamaan trigonometri yang lebih kompleks, penyelesaiannya akan direduksi menjadi penyelesaian pertidaksamaan trigonometri yang paling sederhana. Mari kita lihat contohnya. (Memecahkan kesenjangan di papan tulis di bawah bimbingan guru). No.1. cos 2 2x – 2cos2x ≥ 0. (Mari kita mengingat kembali teknik menyelesaikan persamaan trigonometri dengan menempatkan faktor persekutuan di luar tanda kurung). cos2x(cos2x – 2) ≥ 0. Penggantian: cos2x = t, ≤ 1; t(t – 2) ≥ 0;Pertidaksamaan kedua tidak memenuhi kondisi ≤ 1. cos2x ≤ 0. (Selesaikan sendiri pertidaksamaannya. Periksa jawabannya). Jawaban: +  n  x  +  n, n  Z. No.2. 6sin 2 x – 5sinx + 1 ≥ 0. (Ingat teknik menyelesaikan persamaan trigonometri dengan mengubah suatu variabel. Siswa menyelesaikannya di papan tulis dengan komentar). Penggantian sinx = t, ≤ 1. 6t 2 – 5t +1 ≥ 0,6(t -)(t -), Jawaban: + 2  n ≤ x ≤ + 2  n, -  -arcsin+ 2  k ≤ x ≤ arcsin+ 2  k, n, k  Z. Nomor 3. sinx + cos2x  1. (Kami mendiskusikan pilihan solusi. Kami mengingat rumus kosinus sudut ganda. Kelas memutuskan secara mandiri, satu siswa - di papan individu, diikuti dengan verifikasi). sinx + cos2x - 1  0, sinx – 2sin 2 x  0, sinx(1 - 2 sinx)  0, Menjawab: 2  n  x  + 2  n, 2  n  x   + 2  n, n  Z. Analisislah situasi ketika jawaban penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ditulis dalam bentuk himpunan dua pertidaksamaan, dan kapan – dalam bentuk sistem. Diagram berikut berguna: Nomor 4. coscosx - sinsinx  -. (Diskusi. Satu siswa dipanggil ke papan tulis untuk setiap langkah penyelesaian, tahapannya dikomentari. Guru memeriksa rekaman dengan siswa yang mengerjakan di tempat). cos(x +)  -, biaya  -. 2  n  t  + 2  n, n  Z, 2  n  x +  + 2  n, n  Z, Menjawab: 2  n  x  + 2  n, n  Z. Nomor 5. Definisikan semuanya A , yang masing-masing memiliki pertidaksamaan 4sinx + 3cosx ≤ a memiliki setidaknya satu solusi. (Ingat algoritma untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dengan faktor normalisasi. Solusinya tertulis pada pita proyektor overhead. Saya membukanya langkah demi langkah sesuai alasan. Pekerjaan yang dibedakan). 4sinx + 3cosx ≤ a , M = = 5. Bagilah kedua ruas pertidaksamaan dengan 5: sinx + cosx ≤ . Karena () 2 + () 2 = 1, maka terdapat sudut α sehingga cosα = dan sinα = . Mari kita tulis ulang pertidaksamaan sebelumnya dalam bentuk: sin(x + α) ≤ . Pertidaksamaan terakhir, dan juga pertidaksamaan awal, mempunyai setidaknya satu solusi untuk masing-masing pertidaksamaan dan seperti itu ≥ -1, yaitu untuk setiap sebuah ≥ -5. Jawaban: a ≥ -5.
	Pekerjaan rumah.	(Saya membagikan kartu berisi pekerjaan rumah yang tertulis. Saya mengomentari solusi untuk setiap ketidaksetaraan). cosx  sin 2 x; 4sin2xcos2x  -; cos 2 ≤ sin 2 - 0,5; sinx + cosx  1. Tinjau rumus penjumlahan trigonometri dan bersiaplah untuk kerja mandiri.
	Kesimpulannya, refleksi.	Sebutkan metode penyelesaian pertidaksamaan trigonometri. Bagaimana pengetahuan tentang algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri sederhana digunakan dalam menyelesaikan pertidaksamaan yang lebih kompleks? Ketimpangan manakah yang paling menimbulkan kesulitan? (Saya mengevaluasi pekerjaan siswa di kelas).

Pekerjaan mandiri

berdasarkan hasil penguasaan materi.

Pilihan 1. Selesaikan pertidaksamaan 1 – 3: sin3x -  0; cos 2 x + 3cosx  0; coscos2x - sinsin2x ≥ -. Definisikan semua a , yang masing-masing pertidaksamaannya 12sinx + 5cosx ≤ A memiliki setidaknya satu solusi.

Pilihan 2. Selesaikan pertidaksamaan 1 – 3: 2cos  1; dosa 2 x – 4sinx  0; sincos3x - cossin3x ≤ -. Definisikan semua a , yang masing-masing pertidaksamaannya 6sinx - 8cosx ≤ A memiliki setidaknya satu solusi.

TOPIK PELAJARAN: Menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri sederhana

Tujuan pelajaran: tunjukkan algoritma penyelesaian pertidaksamaan trigonometri menggunakan lingkaran satuan.

Tujuan Pelajaran:

Pendidikan – memastikan pengulangan dan sistematisasi materi topik; menciptakan kondisi untuk memantau perolehan pengetahuan dan keterampilan;

Perkembangan - untuk mempromosikan pembentukan keterampilan menerapkan teknik: perbandingan, generalisasi, identifikasi hal utama, transfer pengetahuan ke situasi baru, pengembangan cakrawala matematika, pemikiran dan ucapan, perhatian dan memori;

Pendidikan – untuk meningkatkan minat terhadap matematika dan penerapannya, aktivitas, mobilitas, keterampilan komunikasi, dan budaya umum.

Pengetahuan dan keterampilan siswa:
- mengetahui algoritma penyelesaian pertidaksamaan trigonometri;

Mampu menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri sederhana.

Peralatan: papan tulis interaktif, presentasi pelajaran, kartu dengan tugas kerja mandiri.

SELAMA KELAS:
1. Momen organisasi(1 menit)

Saya mengusulkan kata-kata Sukhomlinsky sebagai moto pelajaran: “Hari ini kita belajar bersama: saya, gurumu, dan kamu adalah murid-muridku. Namun kedepannya siswa harus melampaui gurunya, jika tidak maka tidak akan ada kemajuan dalam ilmu pengetahuan.”

2. Pemanasan. Dikte “Benar - Salah”

3. Pengulangan

Untuk setiap opsi - tugas pada slide, lanjutkan setiap entri. Waktu berjalan 3 menit.

Mari kita periksa ulang pekerjaan kita ini dengan menggunakan tabel jawaban di papan tulis.

Kriteria evaluasi:“5” - semua 9 “+”, “4” - 8 “+”, “3” - 6-7 “+”

4. Memperbarui pengetahuan siswa(8 menit)
Hari ini di kelas kita harus mempelajari konsep pertidaksamaan trigonometri dan menguasai keterampilan menyelesaikan pertidaksamaan tersebut.
– Mari kita ingat dulu apa itu lingkaran satuan, besaran radian suatu sudut, dan bagaimana sudut rotasi suatu titik pada lingkaran satuan berhubungan dengan besaran radian suatu sudut. (bekerja dengan presentasi)

Lingkaran satuan adalah lingkaran dengan jari-jari 1 dan berpusat di titik asal.

Sudut yang dibentuk oleh arah positif sumbu OX dan sinar OA disebut sudut rotasi. Penting untuk mengingat di mana letak 0 sudut; 90; 180; 270; 360.

Jika A digerakkan berlawanan arah jarum jam, diperoleh sudut positif.

Jika A digerakkan searah jarum jam, diperoleh sudut negatif.

cos t adalah absis suatu titik pada lingkaran satuan, sin t adalah ordinat suatu titik pada lingkaran satuan, t adalah sudut rotasi dengan koordinat (1;0).
5. Penjelasan materi baru (17 menit.)
Hari ini kita akan berkenalan dengan pertidaksamaan trigonometri paling sederhana.
Definisi.
Pertidaksamaan trigonometri yang paling sederhana adalah pertidaksamaan yang bentuknya:

Orang-orang akan memberi tahu kita cara mengatasi ketidaksetaraan tersebut (presentasi proyek oleh siswa dengan contoh). Siswa menuliskan definisi dan contoh di buku catatannya.

Selama presentasi, siswa menjelaskan penyelesaian pertidaksamaan, dan guru melengkapi gambar di papan tulis.
Algoritma penyelesaian pertidaksamaan trigonometri sederhana diberikan setelah presentasi siswa. Siswa melihat semua tahapan penyelesaian pertidaksamaan di layar. Ini mendorong penghafalan visual dari algoritma untuk memecahkan masalah tertentu.

Algoritma penyelesaian pertidaksamaan trigonometri menggunakan lingkaran satuan:
1. Pada sumbu yang berhubungan dengan fungsi trigonometri tertentu, tandai nilai numerik yang diberikan dari fungsi ini.
2. Tariklah garis melalui titik yang ditandai yang memotong lingkaran satuan.
3. Pilih titik potong garis dan lingkaran dengan memperhatikan tanda pertidaksamaan tegas atau tidak tegas.
4. Pilih busur lingkaran tempat penyelesaian pertidaksamaan berada.
5. Tentukan nilai sudut pada titik awal dan titik akhir busur lingkaran.
6. Tuliskan penyelesaian pertidaksamaan dengan memperhatikan periodisitas fungsi trigonometri yang diberikan.
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan garis singgung dan kotangen, konsep garis singgung dan kotangen berguna. Ini adalah garis x = 1 dan y = 1 yang bersinggungan dengan lingkaran trigonometri.
6. Bagian praktis(12 menit)
Untuk melatih dan mengkonsolidasikan pengetahuan teoretis, kami akan menyelesaikan tugas-tugas kecil. Setiap siswa menerima kartu tugas. Setelah menyelesaikan pertidaksamaan, Anda harus memilih jawaban dan menuliskan nomornya.

7. Refleksi kegiatan dalam pembelajaran
-Apa tujuan kita?
- Sebutkan topik pelajaran
- Kami berhasil menggunakan algoritma yang terkenal
- Analisis pekerjaan Anda di kelas.

8. Pekerjaan rumah(2 menit)

Selesaikan pertidaksamaan:

9. Ringkasan pelajaran(2 menit)

Saya mengusulkan untuk mengakhiri pelajaran dengan kata-kata Y.A. Komensky: "Pertimbangkanlah ketidakbahagiaan pada hari atau jam di mana Anda belum mempelajari sesuatu yang baru dan belum menambahkan apa pun pada pendidikan Anda."

Selama pelajaran praktis kami akan mengulanginya jenis tugas utama dari topik "Trigonometri", kami akan menganalisis lebih lanjut tugas-tugas yang semakin kompleks dan pertimbangkan contoh penyelesaian berbagai pertidaksamaan trigonometri dan sistemnya.

Pelajaran ini akan membantu Anda mempersiapkan salah satu jenis tugas B5, B7, C1 Dan C3.

Persiapan Ujian Negara Terpadu Matematika

Percobaan

Pelajaran 11. Konsolidasi materi yang dibahas. Pertidaksamaan trigonometri. Memecahkan berbagai masalah yang semakin kompleks

Praktik

Ringkasan pelajaran

Ulasan trigonometri

Mari kita mulai dengan meninjau jenis tugas utama yang kita bahas dalam topik "Trigonometri" dan menyelesaikan beberapa masalah non-standar.

Tugas No.1. Ubah sudut menjadi radian dan derajat: a) ; B) .

a) Mari kita gunakan rumus untuk mengubah derajat menjadi radian

Mari kita gantikan nilai yang ditentukan ke dalamnya.

b) Terapkan rumus untuk mengubah radian menjadi derajat

Mari kita lakukan substitusi .

Menjawab. A) ; B) .

Tugas No.2. Hitung: a) ; B) .

a) Karena sudutnya jauh melampaui tabel, kita akan menguranginya dengan mengurangkan periode sinus. Karena sudut dinyatakan dalam radian, kita anggap periodenya sebagai .

b) Dalam hal ini situasinya serupa. Karena sudut dinyatakan dalam derajat, kita anggap periode garis singgungnya sebagai .

Sudut yang dihasilkan, meskipun lebih kecil dari periode, namun lebih besar, artinya tidak lagi mengacu pada bagian utama, melainkan bagian tabel yang diperpanjang. Agar tidak melatih ingatan Anda sekali lagi dengan menghafal tabel nilai trigofungsi yang diperluas, mari kita kurangi lagi periode singgungnya:

Kami memanfaatkan keanehan fungsi tangen.

Menjawab. a) 1; B) .

Tugas No.3. Menghitung , Jika .

Mari kita kurangi seluruh ekspresi menjadi garis singgung dengan membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan . Pada saat yang sama, kita tidak perlu takut, karena dalam hal ini nilai tangen tidak akan ada.

Tugas No.4. Sederhanakan ekspresi tersebut.

Ekspresi yang ditentukan diubah menggunakan rumus reduksi. Mereka ditulis dengan menggunakan derajat yang tidak biasa. Ekspresi pertama umumnya mewakili angka. Mari kita sederhanakan semua fungsi trigo satu per satu:

Karena , fungsinya berubah menjadi kofungsi, yaitu menjadi kotangen, dan sudutnya jatuh ke kuarter kedua, yang garis singgung aslinya bertanda negatif.

Untuk alasan yang sama seperti pada ekspresi sebelumnya, fungsinya berubah menjadi kofungsi, yaitu menjadi kotangen, dan sudutnya jatuh ke kuarter pertama, yang garis singgung aslinya bertanda positif.

Mari kita gantikan semuanya ke dalam ekspresi yang disederhanakan:

Masalah #5. Sederhanakan ekspresi tersebut.

Mari kita tuliskan garis singgung sudut ganda menggunakan rumus yang sesuai dan sederhanakan persamaannya:

Identitas terakhir adalah salah satu rumus penggantian universal kosinus.

Masalah #6. Menghitung.

Hal utama adalah jangan membuat kesalahan standar dengan tidak memberikan jawaban yang persamaannya dengan . Sifat dasar garis singgung busur tidak dapat digunakan selama ada faktor berbentuk dua di sebelahnya. Untuk menghilangkannya, kita akan menulis ekspresi sesuai dengan rumus tangen sudut ganda, sambil memperlakukan , sebagai argumen biasa.

Sekarang kita dapat menerapkan sifat dasar tangen busur; ingatlah bahwa tidak ada batasan pada hasil numeriknya.

Soal No.7. Selesaikan persamaannya.

Saat menyelesaikan persamaan pecahan yang sama dengan nol, selalu dinyatakan bahwa pembilangnya sama dengan nol, tetapi penyebutnya tidak, karena tidak dapat dibagi dengan nol.

Persamaan pertama merupakan kasus khusus dari persamaan paling sederhana yang dapat diselesaikan dengan menggunakan lingkaran trigonometri. Ingat solusi ini sendiri. Pertidaksamaan kedua diselesaikan sebagai persamaan paling sederhana dengan menggunakan rumus umum akar-akar garis singgung, tetapi hanya dengan tanda tidak sama.

Seperti yang bisa kita lihat, satu famili akar mengecualikan famili lain yang memiliki jenis akar yang persis sama dan tidak memenuhi persamaan tersebut. Artinya, tidak ada akarnya.

Menjawab. Tidak ada akar.

Soal No.8. Selesaikan persamaannya.

Mari kita segera perhatikan bahwa kita dapat menghilangkan faktor persekutuannya dan melakukannya:

Persamaan tersebut telah direduksi menjadi salah satu bentuk standar, dimana hasil kali beberapa faktor sama dengan nol. Kita sudah tahu bahwa dalam kasus ini, salah satunya sama dengan nol, atau yang lain, atau yang ketiga. Mari kita tuliskan dalam bentuk himpunan persamaan:

Dua persamaan pertama merupakan kasus khusus dari persamaan paling sederhana, persamaan serupa sudah sering kita jumpai, jadi kami akan segera menunjukkan penyelesaiannya. Kami mengurangi persamaan ketiga menjadi satu fungsi menggunakan rumus sinus sudut ganda.

Mari selesaikan persamaan terakhir secara terpisah:

Persamaan ini tidak mempunyai akar, karena nilai sinus tidak dapat melebihinya .

Jadi, solusinya hanyalah dua keluarga akar pertama; keduanya dapat digabungkan menjadi satu, yang mudah ditunjukkan pada lingkaran trigonometri:

Ini adalah keluarga dari semua bagian, mis.

Pertidaksamaan trigonometri

Mari kita lanjutkan menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri. Pertama, kita akan menganalisis pendekatan penyelesaian contoh tanpa menggunakan rumus solusi umum, tetapi menggunakan lingkaran trigonometri.

Soal No.9. Selesaikan ketimpangan.

Mari kita menggambar garis bantu pada lingkaran trigonometri yang sesuai dengan nilai sinus sama dengan , dan menunjukkan rentang sudut yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Sangat penting untuk memahami dengan tepat bagaimana menunjukkan interval sudut yang dihasilkan, yaitu apa awalnya dan apa akhirnya. Awal interval akan menjadi sudut yang sesuai dengan titik yang akan kita masuki di awal interval jika kita bergerak berlawanan arah jarum jam. Dalam kasus kami, ini adalah titik di sebelah kiri, karena bergerak berlawanan arah jarum jam dan melewati titik kanan, sebaliknya, kami meninggalkan rentang sudut yang diperlukan. Oleh karena itu, titik yang tepat akan berhubungan dengan akhir kesenjangan.

Sekarang kita perlu memahami sudut awal dan akhir interval solusi pertidaksamaan kita. Kesalahan umum adalah segera menunjukkan bahwa titik kanan berhubungan dengan sudut, titik kiri dan memberikan jawabannya. Ini tidak benar! Harap dicatat bahwa kami baru saja menunjukkan interval yang sesuai dengan bagian atas lingkaran, meskipun kami tertarik pada bagian bawah, dengan kata lain, kami telah mencampuradukkan awal dan akhir interval solusi yang kami butuhkan.

Agar interval dimulai dari sudut titik kanan dan diakhiri dengan sudut titik kiri, sudut tertentu pertama harus lebih kecil dari sudut kedua. Untuk melakukan ini, kita harus mengukur sudut titik kanan dalam arah acuan negatif, yaitu searah jarum jam dan hasilnya akan sama dengan . Kemudian, mulai bergerak searah jarum jam positif, kita akan sampai ke titik kanan setelah titik kiri dan mendapatkan nilai sudutnya. Sekarang awal interval sudut lebih kecil dari akhir, dan kita dapat menulis interval penyelesaian tanpa memperhitungkan periode:

Mengingat bahwa interval tersebut akan diulang berkali-kali setelah sejumlah rotasi bilangan bulat, kita memperoleh solusi umum dengan mempertimbangkan periode sinus:

Kita memberi tanda kurung karena pertidaksamaannya sangat ketat, dan kita memilih titik-titik pada lingkaran yang sesuai dengan ujung-ujung interval.

Bandingkan jawaban yang Anda terima dengan rumus solusi umum yang kami berikan pada kuliah.

Menjawab. .

Metode ini bagus untuk memahami dari mana rumus solusi umum pertidaksamaan trigon paling sederhana berasal. Selain itu, berguna bagi mereka yang terlalu malas untuk mempelajari semua rumus yang rumit tersebut. Namun, caranya sendiri juga tidak mudah, pilihlah pendekatan solusi mana yang paling nyaman bagi Anda.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri, Anda juga dapat menggunakan grafik fungsi yang memiliki garis bantu, mirip dengan metode yang ditunjukkan menggunakan lingkaran satuan. Jika Anda tertarik, cobalah mencari tahu sendiri pendekatan solusi ini. Berikut ini kita akan menggunakan rumus umum untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri sederhana.

Soal No.10. Selesaikan ketimpangan.

Mari kita gunakan rumus untuk penyelesaian umum, dengan mempertimbangkan fakta bahwa pertidaksamaan tidak tegas:

Dalam kasus kami, kami mendapatkan:

Menjawab.

Soal No.11. Selesaikan ketimpangan.

Mari kita gunakan rumus solusi umum untuk pertidaksamaan ketat yang bersesuaian:

Menjawab. .

Soal No.12. Selesaikan pertidaksamaan: a) ; B) .

Pada pertidaksamaan tersebut, tidak perlu terburu-buru menggunakan rumus penyelesaian umum atau lingkaran trigonometri, cukup mengingat rentang nilai sinus dan kosinus.

a) Sejak , maka ketimpangan tersebut tidak masuk akal. Oleh karena itu, tidak ada solusi.

b) Karena demikian pula, sinus dari setiap argumen selalu memenuhi pertidaksamaan yang ditentukan dalam kondisi. Oleh karena itu, semua nilai riil argumen tersebut memenuhi pertidaksamaan.

Menjawab. a) tidak ada solusi; B) .

Masalah 13. Selesaikan ketimpangan .

Pertidaksamaan paling sederhana dengan argumen kompleks diselesaikan dengan cara yang sama dengan persamaan serupa. Pertama, kita temukan solusi untuk seluruh argumen yang ditunjukkan dalam tanda kurung, lalu kita ubah ke bentuk "", bekerja dengan kedua ujung interval, seperti pada ruas kanan persamaan.