Taisnleņķa trīsstūru līdzības zīme
Vispirms ieviesīsim taisnleņķa trīsstūru līdzības zīmi.
1. teorēma
Taisnleņķa trīsstūru līdzības zīme: divi taisnleņķa trīsstūri ir līdzīgi, ja tiem ir viens vienāds akūts leņķis (1. att.).
1. attēls. Līdzīgi taisnstūra trīsstūri
Pierādījums.
Pieņemsim, ka $\angle B=\angle B_1$. Tā kā trīsstūri ir taisnleņķi, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Tāpēc tie ir līdzīgi pēc pirmās trīsstūru līdzības zīmes.
Teorēma ir pierādīta.
Augstuma teorēma taisnleņķa trijstūrī
2. teorēma
No taisnleņķa virsotnes novilkta taisnleņķa trijstūra augstums sadala trijstūri divos līdzīgos taisnleņķa trīsstūros, no kuriem katrs ir līdzīgs dotajam trīsstūrim.
Pierādījums.
Dosim taisnleņķa trīsstūri $ABC$ ar taisnu leņķi $C$. Uzzīmējiet augstumu $CD$ (2. att.).
2. attēls. 2. teorēmas ilustrācija
Pierādīsim, ka trijstūri $ACD$ un $BCD$ ir līdzīgi trijstūrim $ABC$ un ka trijstūri $ACD$ un $BCD$ ir līdzīgi.
Tā kā $\angle ADC=(90)^0$, trīsstūris $ACD$ ir taisnleņķis. Trijstūriem $ACD$ un $ABC$ ir kopīgs leņķis $A$, tāpēc saskaņā ar 1. teorēmu trijstūri $ACD$ un $ABC$ ir līdzīgi.
Tā kā $\angle BDC=(90)^0$, trīsstūris $BCD$ ir taisnleņķis. Trijstūriem $BCD$ un $ABC$ ir kopīgs leņķis $B$, tāpēc saskaņā ar 1. teorēmu trijstūri $BCD$ un $ABC$ ir līdzīgi.
Tagad apsveriet trīsstūrus $ACD$ un $BCD$
\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\angle A\]
Tāpēc saskaņā ar 1. teorēmu trijstūri $ACD$ un $BCD$ ir līdzīgi.
Teorēma ir pierādīta.
Vidējais proporcionāls
3. teorēma
Taisnleņķa trijstūra augstums, kas novilkts no taisnā leņķa virsotnes, ir vidējais proporcionāls segmentiem, kuros augstums sadala šī trijstūra hipotenūzu.
Pierādījums.
Tādējādi saskaņā ar 2. teorēmu trijstūri $ACD$ un $BCD$ ir līdzīgi
Teorēma ir pierādīta.
4. teorēma
Taisnleņķa trijstūra kāja ir vidējais proporcionāls starp hipotenūzu un hipotenūzas segmentu, kas atrodas starp kāju, un augstumu, kas novilkts no leņķa virsotnes.
Pierādījums.
Teorēmas pierādīšanā izmantosim apzīmējumu no 2. attēla.
Saskaņā ar 2. teorēmu trijstūri $ACD$ un $ABC$ ir līdzīgi, tāpēc
Teorēma ir pierādīta.
40. nodarbība C. b. a. h. C. bc. H. ac. A. V. Taisnleņķa trijstūra augstums, kas novilkts no taisnleņķa virsotnes, sadala trijstūri 2 līdzīgos taisnleņķa trīsstūros, no kuriem katrs ir līdzīgs dotajam trīsstūrim. Taisnleņķa trīsstūru līdzības zīme. Divi taisnleņķa trīsstūri ir līdzīgi, ja tiem katram ir vienāds akūts leņķis. Nogriezni XY sauc par vidējo proporcionālo (ģeometrisko vidējo) segmentiem AB un CD, ja īpašība 1. No taisnā leņķa virsotnes novilkta taisnleņķa trijstūra augstums ir vidējais proporcionālais starp kāju projekcijām uz hipotenūzu. Īpašība 2. Taisnstūra trīsstūra kājiņa ir vidējais proporcionāls starp hipotenūzu un šīs kājas projekciju uz hipotenūzu.
28. slaids no prezentācijas "Ģeometrija "Līdzīgi trīsstūri"". Arhīva izmērs ar prezentāciju ir 232 KB.Ģeometrija 8. klase
citu prezentāciju kopsavilkums"Pitagora teorēmas problēmu risinājums" - ABC vienādsānu trīsstūris. Pitagora teorēmas praktiskais pielietojums. ABCD ir četrstūris. Kvadrātveida laukums. Atrodi sauli. Pierādījums. Vienādsānu trapeces pamati. Apsveriet Pitagora teorēmu. Četrstūra laukums. Taisnstūra trīsstūri. Pitagora teorēma. Hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu.
"Paralelograma laukuma atrašana" - pamats. Augstums. Paralelograma augstuma noteikšana. Taisnstūra trīsstūru vienādības zīmes. Paralelograma laukums. Atrodiet trīsstūra laukumu. Teritorijas īpašības. mutes dobuma vingrinājumi. Atrodiet paralelograma laukumu. Paralēlogrammas augstumi. Atrodiet laukuma perimetru. Trijstūra laukums. Atrodiet laukuma laukumu. Atrodiet taisnstūra laukumu. Kvadrātveida laukums.
“Kvadrat 8.klase” - Melnais kvadrāts. Uzdevumi mutiskajam darbam pa laukuma perimetru. Kvadrātveida laukums. Kvadrātveida zīmes. Laukums ir mūsu vidū. Kvadrāts ir taisnstūris ar vienādām malām. Kvadrāts. Soma ar kvadrātveida pamatni. mutiski uzdevumi. Cik kvadrātu ir parādīts attēlā. Kvadrātveida īpašības. Bagāts tirgotājs. Uzdevumi mutiskam darbam laukuma laukumā. Kvadrāta perimetrs.
"Aksiālās simetrijas definīcija" — punkti, kas atrodas vienā perpendikulā. Uzzīmējiet divas līnijas. Būvniecība. Sižeta punkti. Padoms. Figūras, kurām nav aksiālās simetrijas. Līnijas segments. Trūkst koordinātas. attēls. Formas, kurām ir vairāk nekā divas simetrijas asis. Simetrija. Simetrija dzejā. Veidojiet trīsstūrus. Simetrijas asis. Segmenta veidošana. Punkta veidošana. Figūras ar divām simetrijas asīm. Tautas. Trīsstūri. Proporcionalitāte.
"Līdzīgu trīsstūru noteikšana" - daudzstūri. proporcionāli griezumi. Līdzīgu trīsstūru laukumu attiecība. Divus trīsstūrus sauc par līdzīgiem. Noteikumi. Konstruējiet trīsstūri, kam ir divi leņķi un bisektrise virsotnē. Pieņemsim, ka mums ir jānosaka attālums līdz stabam. Trešā trijstūra līdzības zīme. Veidosim trīsstūri. ABC. Trijstūriem ABC un ABC ir trīs vienādas malas. Objekta augstuma noteikšana.
"Pitagora teorēmas risinājums" - Logu daļas. Vienkāršākais pierādījums. Hammurabi. Diagonāli. Pilnīgs pierādījums. Pierādījums ar atņemšanu. Pitagorieši. Pierādīšana ar dekompozīcijas metodi. Teorēmas vēsture. Diametrs. Pierādīšana ar komplementa metodi. Epšteina pierādījums. Kantors. Trīsstūri. sekotāji. Pitagora teorēmas pielietojumi. Pitagora teorēma. Teorēmas paziņojums. Perigalas pierādījums. Teorēmas pielietojums.
Taisnleņķa trīsstūru līdzības zīme
Vispirms ieviesīsim taisnleņķa trīsstūru līdzības zīmi.
1. teorēma
Taisnleņķa trīsstūru līdzības zīme: divi taisnleņķa trīsstūri ir līdzīgi, ja tiem ir viens vienāds akūts leņķis (1. att.).
1. attēls. Līdzīgi taisnstūra trīsstūri
Pierādījums.
Pieņemsim, ka $\angle B=\angle B_1$. Tā kā trīsstūri ir taisnleņķi, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Tāpēc tie ir līdzīgi pēc pirmās trīsstūru līdzības zīmes.
Teorēma ir pierādīta.
Augstuma teorēma taisnleņķa trijstūrī
2. teorēma
No taisnleņķa virsotnes novilkta taisnleņķa trijstūra augstums sadala trijstūri divos līdzīgos taisnleņķa trīsstūros, no kuriem katrs ir līdzīgs dotajam trīsstūrim.
Pierādījums.
Dosim taisnleņķa trīsstūri $ABC$ ar taisnu leņķi $C$. Uzzīmējiet augstumu $CD$ (2. att.).
2. attēls. 2. teorēmas ilustrācija
Pierādīsim, ka trijstūri $ACD$ un $BCD$ ir līdzīgi trijstūrim $ABC$ un ka trijstūri $ACD$ un $BCD$ ir līdzīgi.
Tā kā $\angle ADC=(90)^0$, trīsstūris $ACD$ ir taisnleņķis. Trijstūriem $ACD$ un $ABC$ ir kopīgs leņķis $A$, tāpēc saskaņā ar 1. teorēmu trijstūri $ACD$ un $ABC$ ir līdzīgi.
Tā kā $\angle BDC=(90)^0$, trīsstūris $BCD$ ir taisnleņķis. Trijstūriem $BCD$ un $ABC$ ir kopīgs leņķis $B$, tāpēc saskaņā ar 1. teorēmu trijstūri $BCD$ un $ABC$ ir līdzīgi.
Tagad apsveriet trīsstūrus $ACD$ un $BCD$
\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\angle A\]
Tāpēc saskaņā ar 1. teorēmu trijstūri $ACD$ un $BCD$ ir līdzīgi.
Teorēma ir pierādīta.
Vidējais proporcionāls
3. teorēma
Taisnleņķa trijstūra augstums, kas novilkts no taisnā leņķa virsotnes, ir vidējais proporcionāls segmentiem, kuros augstums sadala šī trijstūra hipotenūzu.
Pierādījums.
Tādējādi saskaņā ar 2. teorēmu trijstūri $ACD$ un $BCD$ ir līdzīgi
Teorēma ir pierādīta.
4. teorēma
Taisnleņķa trijstūra kāja ir vidējais proporcionāls starp hipotenūzu un hipotenūzas segmentu, kas atrodas starp kāju, un augstumu, kas novilkts no leņķa virsotnes.
Pierādījums.
Teorēmas pierādīšanā izmantosim apzīmējumu no 2. attēla.
Saskaņā ar 2. teorēmu trijstūri $ACD$ un $ABC$ ir līdzīgi, tāpēc
Teorēma ir pierādīta.
Nodarbības mērķi:
- ieviest divu segmentu vidējā proporcionālā (ģeometriskā vidējā) jēdzienu;
- aplūkosim taisnleņķa trijstūra proporcionālo nogriežņu problēmu: taisnleņķa trijstūra augstuma īpašību, kas novilkta no taisnleņķa virsotnes;
- veidot studentu prasmes pētāmās tēmas izmantošanā problēmu risināšanas procesā.
Nodarbības veids: stunda, kurā apgūst jaunu materiālu.
Plāns:
- Organizatoriskais brīdis.
- Zināšanu atjaunināšana.
- Izpētot taisnleņķa trijstūra augstuma īpašību, kas novilkta no taisnleņķa virsotnes:
- sagatavošanās posms;
– ievads;
- asimilācija. - Diviem segmentiem proporcionāla vidējā jēdziena ieviešana.
- Divu segmentu vidējā proporcionālā jēdziena asimilācija.
- Seku pierādījums:
- taisnleņķa trijstūra augstums, kas novilkts no taisnā leņķa virsotnes, ir vidējais proporcionāls segmentiem, kuros hipotenūza ir dalīta ar šo augstumu;
- taisnleņķa trijstūra kāja ir vidējais proporcionāls starp hipotenūzu un hipotenūzas segmentu, kas atrodas starp kāju un augstumu. - Problēmu risināšana.
- Apkopojot.
- Mājas darbu iestatīšana.
Nodarbību laikā
I. ORGANIZĀCIJA
Sveiki, puiši, apsēdieties. Vai visi ir gatavi nodarbībai?
Sākam darbu.
II. ZINĀŠANU ATJAUNINĀJUMS
Kādu svarīgu matemātisko jēdzienu jūs apguvāt iepriekšējās stundās? ( ar trīsstūra līdzības jēdzienu)
- Atcerēsimies, kurus divus trīsstūrus sauc par līdzīgiem? (divus trīsstūrus sauc par līdzīgiem, ja to leņķi ir attiecīgi vienādi un viena trijstūra malas ir proporcionālas otra trijstūra līdzīgām malām)
Ko mēs izmantojam, lai pierādītu divu trīsstūru līdzību? (
- Uzskaitiet šīs pazīmes. (noformulē trīs trīsstūru līdzības zīmes)
III. TAISNSTURA Trijstūra AUGSTUMA ĪPAŠĪBU IZPĒTE, KAS IZVEIDA NO TAISNLEŅA VAIRSOTNES
a) sagatavošanās posms
- Puiši, lūdzu, paskatieties uz pirmo slaidu. ( Pieteikums) Šeit ir divi taisnleņķa trīsstūri - un . un ir attiecīgi augstumi un. 
.
1. uzdevums. a) Nosakiet, vai un ir līdzīgi.
Ko mēs izmantojam, lai pierādītu trīsstūru līdzību? ( trīsstūru līdzības pazīmes)
(pirmā zīme, jo nekas nav zināms par problēmas trijstūra malām)
. (Divi pāri: 1. ∟B= ∟B1 (taisnas līnijas), 2. ∟A= ∟A 1)
- Izdari secinājumu. ( pēc pirmās trīsstūru līdzības zīmes ~)
1. uzdevums. b) Nosakiet, vai un ir līdzīgi.
Kādu līdzības kritēriju izmantosim un kāpēc? (pirmā zīme, jo uzdevumā nekas nav zināms par trijstūra malām)
Cik vienādu leņķu pāru mums jāatrod? Atrodiet šos pārus (tā kā trijstūri ir taisnleņķi, pietiek ar vienu vienādu leņķu pāri: ∟A= ∟A 1)
- Izdari secinājumu. (pēc pirmās trīsstūru līdzības zīmes mēs secinām, ka šie trīsstūri ir līdzīgi).
Sarunas rezultātā 1. slaids izskatās šādi:
b) teorēmas atklāšana
2. uzdevums.
Nosakiet, vai un , un ir līdzīgi. Sarunas rezultātā tiek veidotas atbildes, kuras tiek atspoguļotas slaidā.
- Skaitlis norādīja, ka . Vai izmantojām šo pakāpes mēru, atbildot uz uzdevumu jautājumiem? ( Nē, nav lietots)
- Puiši, izdariet secinājumu: kuros trīsstūros no taisnā leņķa virsotnes novilktais augstums sadala taisnstūri? (izdari secinājumu)
- Rodas jautājums: vai šie divi taisnleņķa trijstūri, kuros augstums sadala taisnleņķa trijstūri, būs līdzīgi viens otram? Mēģināsim atrast vienādu leņķu pārus.
Sarunas rezultātā top ieraksts:
- Un tagad izdarīsim pilnīgu secinājumu. ( SECINĀJUMS: taisnleņķa trijstūra augstums, kas novilkts no taisnā leņķa virsotnes, sadala trīsstūri divās daļās līdzīgi
- Tas. esam formulējuši un pierādījuši teorēmu par taisnleņķa trijstūra augstuma īpašību.
Izveidosim teorēmas struktūru un izveidosim zīmējumu. Kas ir dots teorēmā un kas jāpierāda? Skolēni savās piezīmju grāmatiņās ieraksta:
Pierādīsim teorēmas pirmo punktu jaunajam zīmējumam. Kādu līdzības kritēriju izmantosim un kāpēc? (Pirmkārt, jo teorēmā nekas nav zināms par trīsstūru malām)
Cik vienādu leņķu pāru mums jāatrod? Atrodiet šos pārus. (Šajā gadījumā pietiek ar vienu pāri: ∟A-vispārīgi)
- Izdari secinājumu. Trīsstūri ir līdzīgi. Rezultātā tiek parādīts teorēmas formulēšanas piemērs
- Otro un trešo punktu raksti mājās pats.
c) teorēmas asimilācija
- Tātad vēlreiz formulējiet teorēmu (Taisnstūra trīsstūra augstums, kas novilkts no taisnā leņķa virsotnes, sadala trīsstūri divās daļās līdzīgi taisnleņķa trīsstūri, no kuriem katrs ir līdzīgs šim)
- Cik līdzīgu trīsstūru pāru konstrukcijā "taisnleņķa trijstūrī augstums no taisna leņķa virsotnes" var atrast ar šo teorēmu? ( Trīs pāri)
Studentiem tiek dots šāds uzdevums:
IV. DIVU RINDU VIDĒJĀS PROPORCIONĀLĀS JĒDZIENAS IEVADS
Tagad mēs apgūsim jaunu koncepciju.
Uzmanību!
Definīcija. Līnijas segments XY sauca vidēji proporcionāls (ģeometriskais vidējais) starp segmentiem AB un CD, ja
(rakstiet piezīmju grāmatiņā).
V. DIVU RINDU VIDĒJĀS PROPORCIONĀLĀS JĒDZIENA ASOCIĀCIJA
Tagad pāriesim uz nākamo slaidu.
1. vingrinājums. Atrodiet vidējo proporcionālo posmu MN un KP garumus, ja MN = 9 cm, KP = 16 cm.
- Kas dots uzdevumā? ( Divi segmenti un to garumi: MN = 9 cm, KP = 16 cm)
- Kas tev jāatrod? ( Šo segmentu vidējā proporcionālā garums)
- Kāda ir vidējā proporcionālā formula un kā mēs to atrodam?
(Mēs aizvietojam datus formulā un atrodam vidējās balsta garumu.)
Uzdevums numurs 2. Atrodiet segmenta AB garumu, ja segmentu AB un CD vidējais proporcionālais ir 90 cm un CD = 100 cm
- Kas dots uzdevumā? (segmenta CD garums = 100 cm un segmentu AB un CD vidējais proporcionālais garums ir 90 cm)
Kas ir jāatrod problēmā? ( segmenta AB garums)
- Kā mēs risināsim problēmu? (Pierakstīsim vidējo proporcionālo segmentu AB un CD formulu, izteiksim no tās AB garumu un aizvietosim uzdevuma datus.)
VI. SECINĀJUMS
- Labi darīti zēni. Un tagad atgriezīsimies pie trīsstūru līdzības, ko mēs pierādījām teorēmā. Atkārtoti atkārtojiet teorēmu. ( Taisnstūra trīsstūra augstums, kas novilkts no taisnā leņķa virsotnes, sadala trīsstūri divās daļās līdzīgi taisnleņķa trīsstūri, no kuriem katrs ir līdzīgs dotajam)
- Vispirms izmantosim trīsstūru līdzību un . Kas no tā izriet? ( Pēc līdzības definīcijas malas ir proporcionālas līdzīgām pusēm)
- Kāda vienlīdzība tiks iegūta, izmantojot proporcijas pamatīpašību? ()
– Izsakiet kompaktdisku un izdariet secinājumu (
;
.
Secinājums: taisnleņķa trijstūra augstums, kas novilkts no taisnā leņķa virsotnes, ir vidējais proporcionāls segmentiem, kuros hipotenūza ir dalīta ar šo augstumu)
- Un tagad pierādiet paši, ka taisnleņķa trijstūra kāja ir vidējais proporcionāls starp hipotenūzu un hipotenūzas segmentu, kas atrodas starp kāju un augstumu. Mēs atrodam no - ... segmentus, kuros hipotenūza ir sadalīta ar šis augstums )
Taisnleņķa trijstūra kāja ir vidējais proporcionāls starp ... (- ... hipotenūza un hipotenūzas segments, kas atrodas starp šo kāju un augstumu )
– Kur mēs izmantojam apgūtos apgalvojumus? ( Risinot problēmas)
IX. MĀJAS DARBU UZSTĀDĪŠANA
d/z: Nr.571, Nr.572 (a, e), patstāvīgais darbs piezīmju grāmatiņā, teorija.
Šodien jūsu uzmanība tiek aicināta uz citu prezentāciju par pārsteidzošu un noslēpumainu tēmu - ģeometriju. Šajā prezentācijā mēs jūs iepazīstināsim ar jaunu ģeometrisko formu īpašību, jo īpaši ar proporcionālu segmentu jēdzienu taisnleņķa trīsstūros.
Vispirms jums jāatceras, kas ir trīsstūris? Šis ir vienkāršākais daudzstūris, kas sastāv no trim virsotnēm, kuras savieno trīs segmenti. Taisnstūris ir trīsstūris, kura viens no leņķiem ir 90 grādi. Jūs jau esat ar tiem sīkāk iepazinies mūsu iepriekšējos apmācību materiālos, kas tika prezentēti jūsu uzmanībai.
Tātad, atgriežoties pie mūsu šodienas tēmas, mēs apzīmējam, ka taisnleņķa trijstūra augstums, kas novilkts no 90 grādu leņķa, sadala to divos trīsstūros, kas ir līdzīgi gan viens otram, gan sākotnējam. Visi jūs interesējošie zīmējumi un grafiki ir sniegti piedāvātajā prezentācijā, un mēs iesakām uz tiem atsaukties, pievienojot aprakstītajam paskaidrojumam.
Iepriekš minētā darba grafisks piemērs ir redzams otrajā slaidā. Trijstūri ir līdzīgi, jo tiem ir divi identiski leņķi. Ja precizējat sīkāk, tad līdz hipotenūzai nolaistais augstums veido taisnu leņķi ar to, tas ir, jau ir identiski leņķi, un katram no izveidotajiem leņķiem ir arī viens kopīgs leņķis kā oriģināls. Rezultāts ir divi leņķi, kas ir vienādi viens ar otru. Tas ir, trīsstūri ir līdzīgi.
Apzīmēsim arī to, ko pats par sevi nozīmē jēdziens “proporcionālais vidējais” vai “ģeometriskais vidējais”? Šis ir noteikts XY segments segmentiem AB un CD, ja tas ir vienāds ar to garumu reizinājuma kvadrātsakni.
No tā arī izriet, ka taisnleņķa trijstūra kāja ir ģeometriskais vidējais starp hipotenūzu un šīs kājas projekciju uz hipotenūzu, tas ir, otru kāju.
Vēl viena taisnleņķa trijstūra īpašība ir tāda, ka tā augstums, kas novilkts no 90 o leņķa, ir vidējais proporcionāls starp kāju projekcijām uz hipotenūzu. Ja atsauksieties uz prezentāciju un citiem jūsu uzmanībai pievērstajiem materiāliem, jūs redzēsiet, ka šai disertācijai ir pierādījums ļoti vienkāršā un pieejamā veidā. Iepriekš mēs jau esam pierādījuši, ka iegūtie trīsstūri ir līdzīgi viens otram un sākotnējam trīsstūrim. Pēc tam, izmantojot šo ģeometrisko figūru kāju attiecību, mēs nonākam pie secinājuma, ka taisnleņķa trijstūra augstums ir tieši proporcionāls kvadrātsaknei no to segmentu reizinājuma, kas izveidoti, pazeminot augstumu no oriģinālā trijstūra taisnais leņķis.
Pēdējā lieta prezentācijā ir tāda, ka taisnleņķa trijstūra kāja ir ģeometriskais vidējais hipotenūzai un tās segmentam, kas atrodas starp kāju un augstumu, kas novilkts no leņķa, kas vienāds ar 90 grādiem. Šis gadījums ir jāņem vērā no malas, ka šie trīsstūri ir līdzīgi viens otram, un viena no tiem kāju iegūst ar otra hipotenūzu. Bet jūs to uzzināsit sīkāk, izpētot piedāvātos materiālus.
