Vienkāršākais trigonometrisko nevienādību stundu plāns. Algebras stundu plāns par tēmu "Trigonometriskās nevienādības"

Nodarbības modelis par tēmu:

"Trigonometrisko vienādojumu un nevienādību risināšana"

kā daļa no reģionālās komponentes īstenošanas matemātikā

10. klases skolēniem.

Pomikalova

Jeļena Viktorovna

matemātikas skolotājs

Voshodas ciema pašvaldības izglītības iestāde vidusskola

Balašovskas rajons

Saratovas apgabals

Nodarbības mērķis.

1. Apkopojiet teorētiskās zināšanas par tēmu: “Trigonometrisko vienādojumu un nevienādību risināšana”, atkārtojiet trigonometrisko vienādojumu un nevienādību risināšanas pamatmetodes.

2. Attīstīt domāšanas īpašības: lokanību, koncentrēšanos, racionalitāti. Organizēt studentu darbu par norādīto tēmu līmenī, kas atbilst jau izveidotajam zināšanu līmenim.

3. Izkopt piezīmju precizitāti, runas kultūru un neatkarību.

Nodarbības veids: nodarbība apgūto zināšanu vispārināšanai un sistematizēšanai, apgūstot šo tēmu.

Mācību metodes: sistēmas vispārināšana, tests zināšanu līmeņa pārbaude, vispārināšanas uzdevumu risināšana.

Nodarbību organizēšanas formas: frontāls, individuāls.

Aprīkojums: dators , multimediju projektors, atbilžu lapas, uzdevumu kartītes, trigonometrisko vienādojumu sakņu formulu tabula.

Nodarbību laikā.

es . Nodarbības sākums

Skolotājs informē skolēnus par nodarbības tēmu, mērķi, vērš skolēnu uzmanību uz izdales materiāliem.

II . Studentu zināšanu uzraudzība

1) Mutiskais darbs (Uzdevums tiek projicēts uz ekrāna)

Aprēķināt:

A) ;

b) ;

V) ;

G) ;

d) ;
e) .

2) Studentu frontālā aptauja.

Kādus vienādojumus sauc par trigonometriskajiem?

Kādus trigonometrisko vienādojumu veidus jūs zināt?

Kādus vienādojumus sauc par vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem?

Kādus vienādojumus sauc par viendabīgiem?

Kādus vienādojumus sauc par kvadrātvienādojumu?

Kādus vienādojumus sauc par nehomogēniem?

Kādas trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes jūs zināt?

Pēc studentu atbildes uz ekrāna tiek projicēti daži veidi, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus.

Iepazīstinām ar jaunu mainīgo:

№1 . 2sin²x – 5sinx + 2 = 0.№2. tg + 3 ctg = 4.

Ļaujiet sinx = t, |t|≤1,Ļaujiet tg = z,

Mums ir: 2 t² – 5 t + 2 = 0. Mums ir: z + = 4.

2. Faktorizācija :

2 sinxcos 5 x – cos 5 x = 0;

cos5x (2sinx – 1) = 0.

Mums ir : cos5x = 0,

2sinx – 1 = 0; ...

3. Homogēni trigonometriskie vienādojumi:

es grādiem II grādiem

a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0.

Sadalīt ar cosx≠ 0. 1) ja a ≠ 0, dalīt arcos² x ≠ 0

Mums ir : a tgx + b = 0; ...mums ir : a tg²x + b tgx + c = 0.

2) ja a = 0, tad

mums ir: bsinxcosx + ccos² x =0;…

4. Nehomogēni trigonometriskie vienādojumi:

Formas vienādojumi: asinx + bcosx = c

4 sinx + 3 cosx = 5.

(Rādīt divus veidus)

1) universālās aizstāšanas izmantošana:

sinx = (2 tgx/2) / (1 + tg 2 x/2);

cosx = (1– tg 2 x/2) / (1 + tg 2 x/2);

2) ieviešot palīgargumentu:

4 sinx + 3 cosx = 5

Sadaliet abas puses ar 5:

4/5 sinx + 3/5 cosx = 1

Tā kā (4/5) 2 + (3/5) 2 = 1, tad ļaujiet 4/5 = sinφ; 3/5= cosφ, kur 0< φ < π /2, tad

sinφsinx + cosφcosx = 1

cos(x – φ ) = 1

x – φ = 2 πn, n € Z

x = 2 πn + φ , n € Z

φ = arccos 3/5 nozīmē x = arcos 3/5 +2 πn, n € Z

Atbilde: arccos 3/5 + 2 πn, n € Z

3) Vienādojumu risināšana, izmantojot pakāpes samazināšanas formulas.

4) Dubulto un trīskāršo argumentu formulu pielietošana.

a) 2sin4xcos2x = 4cos 3 2x – 3cos2x

cos6x + cos2x = cos6x

III . Pārbaudes uzdevuma izpilde

Skolotājs lūdz skolēnus pielietot tikko formulētos teorētiskos faktus, lai atrisinātu vienādojumus.

Uzdevums tiek veikts testa veidā. Studenti aizpilda atbildes veidlapu, kas atrodas uz viņu galdiem.

Uzdevums tiek projicēts uz ekrāna.

Iesakiet veidu, kā atrisināt šo trigonometrisko vienādojumu:

1) samazināšana kvadrātā;

2) samazināšana līdz viendabīgumam;

3) faktorizēšana;

4) pakāpes samazinājums;

5) trigonometrisko funkciju summas pārvēršana reizinājumā.

Atbildes forma.

Opcija es

Vienādojums

Risinājumi

3 sin²x + cos²x = 1 - sinx cosx

4 co s²x- cosx– 1 = 0

2 sin² x / 2 +cosx=1

cosx + cos3x = 0

2 sinx cos5x – cos5x = 0

Opcija II

Vienādojums

Risinājumi

2sinxcosx – sinx = 0

3 cos²x — cos2x = 1

6 sin²x + 4 sinx cosx = 1

4 sin²x + 11 sin²x = 3

sin3x = sin17x

Atbildes:

Opcija es Opcija II

IV . Formulu atkārtošana, lai atrisinātu vienādojumus

Formulas trigonometrisko vienādojumu saknēm.

Ir izplatītas

Privāts

Vienādojums

Saknes formula

Vienādojums

Saknes formula

1. sinx = a, |a|≤1

x = (-1) n arcsin a + πk,

kє Z

1. sinx = 0

x = πk, kє Z

2. cosx = a, |a|≤1

x = ±arccos a + 2πk,

kє Z

2. sinx = 1

x = + 2πk, k є Z

3. tg x = a

x = arctan a + πk, kє Z

3. sinx = –1

x = – + 2πk, k є Z

4.ctg x = a

x = arcctg a + πk,kє Z

4. cosx = 0

x = + πk, k є Z

5. cosx = 1

x = 2πk, k є Z

6. cosx = –1

x = π + 2πk, k є Z

Mutisks darbs pie vienkāršu trigonometrisko vienādojumu risināšanas

Skolotājs lūdz skolēnus pielietot tikko formulētos teorētiskos faktus, lai atrisinātu vienādojumus. Uz ekrāna tiek projicēts simulators mutiskam darbam par tēmu: “Trigonometriskie vienādojumi”.

Atrisiniet vienādojumus.

grēksx = 0

cosx = 1

iedegums x = 0

ctg x = 1

grēks x = - 1 / 2

grēks x = 1

cos x = 1 / 2

grēks x = - √3 / 2

cos x = √2 / 2

grēks x = √2 / 2

cos x = √3 / 2

iedegums x = √3

grēks x = 1 / 2

sin x = -1

cos x = - 1 / 2

grēks x = √3 / 2

iedegums x = -√3

ctg x = √3 / 3

iedegums x = - √3 / 3

bērnu gultiņa x = -√3

cos x – 1 =0

2 sin x – 1 =0

2 ctg x + √3 = 0

V . Piemēru risināšana.

Uz katra galda tiek izdalītas kartītes ar uzdevumiem, viena atrodas uz skolotāja galda skolēniem, kas nāk pie tāfeles.

№1. Atrodiet visu vienādojuma sakņu vidējo aritmētisko , apmierinot nosacījumu ;

Risinājums.

Atradīsim visu dotā vienādojuma sakņu vidējo aritmētisko no intervāla .

.

Atbilde: a).

№2 . Atrisiniet nevienlīdzību .

Risinājums.

,

,

.

Atbilde:

№3. Atrisiniet vienādojumu .

(Kopīgi nosakiet problēmas risināšanas metodi)

Risinājums.

Novērtēsim pēdējās vienādības labo un kreiso pusi.

Tāpēc vienlīdzība ir spēkā tad un tikai tad, ja pastāv sistēma

Atbilde: 0,5

VI . Patstāvīgs darbs

Skolotājs dod uzdevumus patstāvīgam darbam. Kartes tiek sagatavotas atbilstoši grūtības pakāpei.

Sagatavotākiem skolēniem var izdalīt kartītes ar paaugstinātas sarežģītības pakāpes uzdevumiem.

Skolotāja iedeva 2.grupas skolēniem kartītes ar pamata sarežģītības pakāpes uzdevumiem.

3. grupas skolēniem skolotājs sastādīja kartītes ar pamata sarežģītības līmeņa uzdevumiem, taču tie parasti ir skolēni ar vāju matemātisko sagatavotību, viņi var izpildīt uzdevumus skolotāja uzraudzībā.

Kopā ar uzdevumiem studenti saņem veidlapas, lai izpildītu uzdevumus.

1 grupa

1. iespēja (1)

1. Atrisiniet vienādojumu

2. Atrisiniet vienādojumu .

2. iespēja (1)

1. Atrisiniet vienādojumu .

2. Atrisiniet vienādojumu .

2. grupa

1. iespēja (2)

1. Atrisiniet vienādojumu .

2. Atrisiniet vienādojumu .

Lai skatītu prezentāciju ar attēliem, dizainu un slaidiem, lejupielādējiet tā failu un atveriet to programmā PowerPoint savā datorā.
Prezentācijas slaidu teksta saturs: Trigonometrisko nevienādību risināšana ar intervālu metodi 10 A klase Skolotājs: Uskova N.N. MBOU licejs Nr. 60 Nodarbības mērķi: Izglītojoši: zināšanu paplašināšana un padziļināšana par tēmu “Intervālu metode”; praktiskās iemaņas uzdevumu izpildē, izmantojot intervālu metodi; skolēnu matemātiskās sagatavotības līmeņa paaugstināšana; attīstīšana: pētniecisko prasmju attīstīšana; izglītojoša: novērošanas, patstāvības, spējas mijiedarboties ar citiem cilvēkiem veidošana, domāšanas kultūras, kultūras kopšana. runa, interese par akadēmisko priekšmetu. Nodarbības gaita Mājas darbu pārbaude Patstāvīgais darbs Jaunā materiāla skaidrojums par tēmu "Trigonometrisko nevienādību risināšana ar intervālu metodi": risinājuma algoritms Nevienādību piemēri Nodarbības kopsavilkums Mājas darbs. Mājas darbu pārbaude Atrisiniet nevienādības: Patstāvīgais darbs Papildus: 1) 2) Mājas darbu pārbaude Atrisiniet nevienādības: a) Risinājums. Atbilde: b) Risinājums. Atbilde: c) Risinājums. Atbilde: d) Risinājums. Atbilde: . Atrisiniet nevienlīdzību Risinājums. Atbilde: Piemērs 1. Atrisiniet nevienādību, izmantojot intervālu metodi Risinājums. 1) 2) Funkcijas nulles: 3) Funkcijas zīmes uz intervāliem: + - + - + 4) Tā kā nevienādība nav stingra, tad tiek iekļautas saknes 5) Risinājums: Atbilde: Piemērs 2. Atrisiniet nevienādību: Risinājums . Atbilde: I metode: Metode II: Atbilde: Trigonometrisko nevienādību risināšana, izmantojot intervālu metodi Algoritms: Izmantojot trigonometriskās formulas, faktorizēt Atrodiet funkcijas pārtraukuma punktus un nulles, novietojiet tos uz riņķa Ņem jebkuru punktu x0 (bet iepriekš nav atrasts) un uzzini, ka zīme darbojas. Ja reizinājums ir pozitīvs, novietojiet “+” aiz vienības apļa uz stara, kas atbilst leņķim. Pretējā gadījumā apļa iekšpusē ievietojiet zīmi "-". Ja punkts ir sastopams pāra daudzuma reižu, mēs to saucam par punktu ar pāra daudzveidību, ja nepāra skaitu reižu, mēs to saucam par nepāra daudzveidības punktu. Zīmējiet lokus šādi: sāciet no punkta x0, ja nākamais punkts ir ar nepāra daudzveidību, tad loks šķērso apli šajā punktā, bet, ja punkts ir ar pāra daudzveidību, tad tā nav Loki aiz apļa ir pozitīvi intervāli ; apļa iekšpusē ir negatīvas atstarpes. Piemēru risinājums 1) 2) 3) 4) 5) Piemērs 1. Risinājums. Pirmās sērijas punkti: Otrās sērijas punkti: - - - + + + Atbilde: Piemērs 2. Risinājums. Pirmās sērijas punkti: Otrās sērijas punkti: Trešās sērijas punkti: Ceturtās sērijas punkti: Pāra daudzuma punkti: + + + + - - - - Atbilde: Piemērs 3. Risinājums. Kopā: Pirmās sērijas punkti: Otrās sērijas punkti: Trešās sērijas punkti: + + + + + + - - - - - - - - Atbilde. Pāra daudzuma punkti: 4. piemērs. Risinājums. + + + + - - - - Atbilde. Piemērs 5. Risinājums. 1) 2) Funkcijas nulles: 3) + - - + - nulles nav Tātad, pie Atbilde: Grafiski: Mājas darbs: Atrisiniet trigonometriskās nevienādības ar intervālu metodi: a) b) c) d) e) f) g) Papildu uzdevumi:

Pievienotie faili

Tēma “Trigonometriskās nevienādības” 10. klases skolēniem ir objektīvi grūti uztverama un aptverama. Tāpēc ir ļoti svarīgi konsekventi, no vienkārša līdz sarežģītam, attīstīt izpratni par algoritmu un attīstīt stabilu prasmi trigonometrisko nevienādību risināšanā.

Rakstā ir sniegts algoritms vienkāršāko trigonometrisko nevienādību risināšanai un sniegts stundas kopsavilkums, kurā tiek apgūti sarežģītāki trigonometrisko nevienādību veidi.

Lejupielādēt:

Priekšskatījums:

Shchalpegina I.V.

Tēma “Trigonometriskās nevienādības” 10. klases skolēniem ir objektīvi grūti uztverama un aptverama. Tāpēc ir ļoti svarīgi konsekventi, no vienkārša līdz sarežģītam, attīstīt izpratni par algoritmu un attīstīt stabilu prasmi trigonometrisko nevienādību risināšanā.

Panākumi šīs tēmas apguvē ir atkarīgi no zināšanām par trigonometrisko un apgriezto trigonometrisko funkciju pamatdefinīcijām un īpašībām, zināšanām par trigonometriskajām formulām, spējas atrisināt veselo skaitļu un daļskaitļu racionālās nevienādības, kā arī no galvenajiem trigonometrisko vienādojumu veidiem.

Īpašs uzsvars jāliek uz risinājumu mācīšanas metodi vienšūņi trigonometriskās nevienādības, jo jebkura trigonometriskā nevienādība tiek reducēta līdz vienkāršāko nevienādību atrisināšanai.

Ir vēlams ieviest primāro ideju par vienkāršu trigonometrisko nevienādību risināšanu, izmantojot sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa grafikus. Un tikai tad iemācieties atrisināt trigonometriskās nevienādības uz apļa.

Es pakavēšos pie galvenajiem spriešanas posmiem, risinot visvienkāršākās trigonometriskās nevienādības.

1. Mēs atrodam punktus uz apļa, kuru sinuss (kosinuss) ir vienāds ar doto skaitli.
2. Stingras nevienādības gadījumā mēs atzīmējam šos punktus uz apļa kā caurdurtus, bet nevienādības gadījumā atzīmējam tos kā iekrāsotus.
3. Punkts guļ uzgalvenais monotonijas intervālssinusa (kosinusa) funkcijas, ko sauc par P t1, vēl viens punkts - P t2.
4. Mēs atzīmējam pa sinusa (kosinusa) asi intervālu, kas apmierina šo nevienlīdzību.
5. Mēs izvēlamies loku uz apļa, kas atbilst šim intervālam.
6. Mēs nosakām kustības virzienu pa loku (no punkta P t1 līdz punktam P t2 pa loku ), velkam kustības virzienā bultiņu, virs kuras rakstām “+” vai “-” zīmi atkarībā no kustības virziena. (Šis posms ir svarīgs, lai uzraudzītu atrastos leņķus. Studenti var ilustrēt bieži sastopamo kļūdu, meklējot intervāla robežas, izmantojot nevienādības risināšanas piemēru pēc grafika sinusu vai kosinusu un ap apkārtmēru).
7. Punktu P koordinātu atrašana t1 (kā noteikta skaitļa arkosīns vai arkosīns) un Р t2 tie. intervāla robežas, mēs kontrolējam leņķu atrašanas pareizību, salīdzinot t 1 un t 2.
8. Mēs rakstām atbildi dubultās nevienādības (vai atstarpes) veidā no mazākā leņķa uz lielāko.

Pamatojums nevienādību risināšanai ar tangensu un kotangensu ir līdzīgs.

Risinājuma zīmējums un ieraksts, kas jāatspoguļo skolēnu piezīmju grāmatiņās, ir sniegts piedāvātajā kontūrā.

Nodarbības kopsavilkums par tēmu: “Trigonometrisko nevienādību risināšana”.

Nodarbības mērķis – turpināt pētīt trigonometrisko nevienādību atrisinājumu, kas satur funkcijas sinusu un kosinusu, pārejot no vienkāršākajām nevienādībām uz sarežģītākām.

Nodarbības mērķi:

1. zināšanu nostiprināšana par trigonometriskajām formulām, trigonometrisko funkciju tabulas vērtībām, trigonometrisko vienādojumu sakņu formulām;
2. attīstot prasmi risināt vienkāršas trigonometriskās nevienādības;
3. sarežģītāku trigonometrisko nevienādību risināšanas paņēmienu apgūšana;
4. loģiskās domāšanas, semantiskās atmiņas, patstāvīgā darba prasmju attīstīšana, pašpārbaude;
5. veicinot precizitāti un skaidrību risinājumu formulēšanā, interesi par mācību priekšmetu, cieņu pret klasesbiedriem.
6. izglītības, izziņas, informācijas un komunikācijas kompetenču veidošana.

Aprīkojums: grafu projektors, izdales kartītes ar gataviem trigonometrisko apļu zīmējumiem, pārnēsājama tāfele, kartītes ar mājasdarbiem.

Veidlapa apmācību organizēšana - nodarbība. Metodes nodarbībā izmantotā mācīšana - verbālā, vizuālā, reproduktīvā, problēmu meklēšana, individuālā un frontālā iztaujāšana, mutiskā un rakstiskā paškontrole, patstāvīgais darbs.

N p/p	Nodarbību posmi.
	Nodarbības organizēšana darbam.
	Mājas darbu pārbaude.	(Piezīmju grāmatiņu vākšana ar mājasdarbiem)
	Paziņojums par nodarbības mērķi.	Šodien nodarbībā atkārtosim vienkāršāko trigonometrisko nevienādību risinājumu un aplūkosim sarežģītākus gadījumus.
	Mutiskais darbs.	(Uzdevumi un atbildes ir uzrakstītas uz kodoskopa lentes, es atveru atbildes, kad tās risinu) Atrisiniet trigonometriskos vienādojumus: sinx = -, 2sinx =, sin2x = , sin(x -) = 0, cosx = , cosx = -, cos2x = 1, tgx = -1. Nosauc galvenos funkciju sinusa un kosinusa monotonitātes intervālus.
	Atkārtojums.	Atcerēsimies visvienkāršāko trigonometrisko nevienādību risināšanas algoritmu. (Uz tāfeles ir divu apļu tukšas vietas. Es aicinu divus skolēnus pa vienam, lai atrisinātu nevienādības. Skolēns detalizēti izskaidro risināšanas algoritmu. Klase strādā kopā ar atbildētājiem pie tāfeles uz iepriekš sagatavotām kartītēm ar attēlu no apļa). 1) sinx ≥ -; t 1  t 2; t 1 = arcsin(-) = -; t 2 =  + = ; 2) cosx ≥ -; t 1  t 2; t 1 = arccos(-) =  - arccos = =  - = ; t 2 = - ; 2  n ≤ x ≤ + 2  n, n  Z. Kā stingras nevienlīdzības risinājums ietekmē atbildi? (3) un 4) divi skolēni risina nevienādības uz kodoskopa lentes, klase tās risina patstāvīgi uz kartēm). 3) cosx  ; t 1  t 2; t 1 = arccos = ; t 2 = 2  - = ; 4) sinx  ; t 1  t 2; t 1 = arcsin = ; t 2 = -  - = -; 2  n  x  + 2  n, n  Z. Apmainiet iespējas, paņemiet citas krāsas pildspalvu, pārbaudiet drauga darbu. (Pašpārbaudījums no kodoskopa lentes. Skolēns, pildot uzdevumu, komentē risinājumu. Pēc darba atdošanas refleksija). Kā mainās nevienlīdzības risinājums, ja arguments x tiek aizstāts ar 2x, ar? (Skolēnu darba vērtēšana).
	Jauns materiāls.	Pāriesim pie sarežģītākām trigonometriskām nevienādībām, kuras risinājums tiks reducēts līdz vienkāršāko trigonometrisko nevienādību atrisināšanai. Apskatīsim piemērus. (Nevienlīdzību risināšana uz tāfeles skolotāja vadībā). Nr.1. cos 2 2x – 2cos2x ≥ 0. (Atcerēsimies trigonometrisko vienādojumu risināšanas paņēmienu, kopējo koeficientu izliekot iekavās). cos2x(cos2x – 2) ≥ 0. Aizstāšana: cos2x = t, ≤ 1; t(t – 2) ≥ 0;Otrā nevienādība neizpilda nosacījumu ≤ 1. cos2x ≤ 0. (Nevienādību atrisiniet pats. Pārbaudi atbildi). Atbilde: +  n  x  +  n, n  Z. Nr.2. 6sin 2 x – 5sinx + 1 ≥ 0. (Atcerieties trigonometrisko vienādojumu risināšanas paņēmienu, mainot mainīgo. Skolēns to risina pie tāfeles ar komentāriem). Aizvietošanas sinx = t, ≤ 1. 6t 2 – 5t +1 ≥ 0,6(t -)(t -), Atbilde: + 2  n ≤ x ≤ + 2  n, -  -arcsin+ 2  k ≤ x ≤ arcsin+ 2  k, n, k  Z. Nr.3. sinx + cos2x  1. (Apspriežam risinājuma variantus. Atgādinām dubultleņķa kosinusa formulu. Klase lemj patstāvīgi, viens skolēns - uz individuālas tāfeles, kam seko pārbaude). sinx + cos2x - 1  0, sinx - 2sin 2 x  0, sinx(1 - 2 sinx)  0, Atbilde: 2  n  x  + 2  n, 2  n  x   + 2  n, n  Z. Analizēt situācijas, kad atbilde uz kvadrātvienādības atrisināšanu tiek uzrakstīta divu nevienādību kopas formā, bet kad – sistēmas formā. Noderīga ir šāda diagramma: Nr.4. coscosx - sinsinx  -. (Diskusija. Katram risinājuma solim pie tāfeles tiek izsaukts viens skolēns, posmus komentē. Skolotājs pārbauda ierakstu ar skolēniem, kas strādā uz vietas). cos(x +)  -, izmaksas  -. 2  n  t  + 2  n, n  Z, 2  n  x +  + 2  n, n  Z, Atbilde: 2  n  x  + 2  n, n  Z. Nr.5. Definējiet visu A , katram no kuriem nevienlīdzība 4sinx + 3cosx ≤ a ir vismaz viens risinājums. (Atcerieties trigonometriskā vienādojuma risināšanas algoritmu ar normalizējošo koeficientu. Atrisinājums ir uzrakstīts uz kodoskopa lentes. Es to atveru soli pa solim, kā prātoju. Diferencēts darbs). 4sinx + 3cosx ≤ a , M = = 5. Sadaliet abas nevienādības puses ar 5: sinx + cosx ≤ . Tā kā () 2 + () 2 = 1, tad ir tāds leņķis α, ka cosα = un sinα = . Pārrakstīsim iepriekšējo nevienādību formā: sin(x + α) ≤ . Pēdējai nevienādībai un līdz ar to arī sākotnējai nevienādībai katrai ir vismaz viens risinājums un tāda tā ≥ -1, tas ir, katram a ≥ -5. Atbilde: a ≥ -5.
	Mājasdarbs.	(Izdalu kartītes ar pierakstītiem mājasdarbiem. Katras nevienlīdzības risinājumu komentēju). cosx  sin 2 x; 4sin2xcos2x  -; cos 2 ≤ sin 2 - 0,5; sinx + cosx  1. Pārskatīt trigonometriskās saskaitīšanas formulas un sagatavoties patstāvīgam darbam.
	Rezumēšana, pārdomas.	Nosauc metodes trigonometrisko nevienādību risināšanai. Kā zināšanas par vienkāršu trigonometrisko nevienādību risināšanas algoritmu tiek izmantotas sarežģītāku nevienādību risināšanā? Kuras nevienlīdzības radīja vislielākās grūtības? (Es vērtēju skolēnu darbus stundā).

Patstāvīgs darbs

pamatojoties uz materiāla apgūšanas rezultātiem.

1. iespēja. Atrisiniet nevienādības 1–3: sin3x -  0; cos 2 x + 3cosx  0; coscos2x - sinsin2x ≥ -. Definējiet visus a , katram no kuriem nevienādība 12sinx + 5cosx ≤ A ir vismaz viens risinājums.

2. iespēja. Atrisiniet nevienādības 1–3: 2cos  1; sin 2 x – 4sinx  0; sincos3x - cossin3x ≤ -. Definējiet visus a , katram no kuriem nevienādība 6sinx - 8cosx ≤ A ir vismaz viens risinājums.

Stundas TĒMA: Vienkāršu trigonometrisko nevienādību risināšana

Nodarbības mērķis: parādīt trigonometrisko nevienādību risināšanas algoritmu, izmantojot vienību apli.

Nodarbības mērķi:

Izglītojoši – nodrošināt tēmas materiāla atkārtošanu un sistematizēšanu; radīt apstākļus zināšanu un prasmju apguves uzraudzībai;

Attīstošā - veicināt prasmju veidošanos pielietot paņēmienus: salīdzināšanu, vispārināšanu, galvenā apzināšanu, zināšanu pārnesi jaunā situācijā, matemātiskā apvāršņa, domāšanas un runas, uzmanības un atmiņas attīstību;

Izglītojoši – veicināt interesi par matemātiku un tās pielietojumu, aktivitāti, mobilitāti, komunikācijas prasmēm un vispārējo kultūru.

Studentu zināšanas un prasmes:
- zināt trigonometrisko nevienādību risināšanas algoritmu;

Prast atrisināt vienkāršas trigonometriskās nevienādības.

Aprīkojums: interaktīvā tāfele, nodarbības prezentācija, kartītes ar patstāvīgā darba uzdevumiem.

NODARBĪBU LAIKĀ:
1. Organizatoriskais moments(1 minūte)

Kā stundas moto es piedāvāju Sukhomlinska vārdus: “Šodien mēs mācāmies kopā: es, jūsu skolotājs un jūs esat mani skolēni. Taču turpmāk skolēnam jāpārspēj skolotājs, citādi zinātnē progresa nebūs.”

2. Iesildīties. Diktāts "Patiesi - Nepatiesi"

3. Atkārtošana

Katrai opcijai - uzdevums slaidā, turpiniet katru ierakstu. Darbības laiks 3 min.

Pārbaudīsim šo mūsu darbu, izmantojot atbilžu tabulu uz tāfeles.

Vērtēšanas kritērijs:"5" - visi 9 "+", "4" - 8 "+", "3" - 6-7 "+"

4. Studentu zināšanu papildināšana(8 min)
Šodien klasē mums ir jāapgūst trigonometrisko nevienādību jēdziens un jāapgūst šādas nevienlīdzības risināšanas prasmes.
- Vispirms atcerēsimies, kas ir vienības aplis, leņķa radiāna mērs un kā punkta rotācijas leņķis uz vienības apļa ir saistīts ar leņķa radiānu. (darbs ar prezentāciju)

Vienības aplis ir aplis ar rādiusu 1 un centru sākuma punktā.

Leņķi, ko veido ass OX pozitīvais virziens un stars OA, sauc par griešanās leņķi. Ir svarīgi atcerēties, kur atrodas 0 stūri; 90; 180; 270; 360.

Ja A tiek pārvietots pretēji pulksteņrādītāja virzienam, tiek iegūti pozitīvi leņķi.

Ja A tiek pārvietots pulksteņrādītāja virzienā, tiek iegūti negatīvi leņķi.

сos t ir vienības apļa punkta abscisa, sin t ir punkta ordināta uz vienības apļa, t ir griešanās leņķis ar koordinātām (1;0).
5 . Jaunā materiāla skaidrojums (17 min.)
Šodien mēs iepazīsimies ar vienkāršākajām trigonometriskajām nevienādībām.
Definīcija.
Vienkāršākās trigonometriskās nevienādības ir formas nevienādības:

Puiši pastāstīs, kā risināt šādas nevienlīdzības (skolēnu projektu prezentācija ar piemēriem). Studenti piezīmju grāmatiņās pieraksta definīcijas un piemērus.

Prezentācijas laikā skolēni skaidro nevienlīdzības risinājumu, un skolotājs pabeidz zīmējumus uz tāfeles.
Pēc studentu prezentācijas tiek dots algoritms vienkāršu trigonometrisko nevienādību risināšanai. Skolēni ekrānā redz visus nevienlīdzības risināšanas posmus. Tas veicina dotās problēmas risināšanas algoritma vizuālu iegaumēšanu.

Algoritms trigonometrisko nevienādību risināšanai, izmantojot vienību apli:
1. Uz dotajai trigonometriskajai funkcijai atbilstošās ass atzīmējiet šīs funkcijas doto skaitlisko vērtību.
2. Novelciet līniju caur atzīmēto punktu, kas krusto vienības apli.
3. Izvēlieties taisnes un apļa krustošanās punktus, ņemot vērā stingro vai nestingro nevienlīdzības zīmi.
4. Izvēlieties loku aplim, uz kura atrodas nevienādības atrisinājumi.
5. Nosakiet leņķu vērtības apļa loka sākuma un beigu punktos.
6. Pierakstiet nevienādības atrisinājumu, ņemot vērā dotās trigonometriskās funkcijas periodiskumu.
Lai atrisinātu nevienādības ar tangensu un kotangensu, noder pieskares un kotangensu līnijas jēdziens. Tās ir attiecīgi taisnes x = 1 un y = 1, kas pieskaras trigonometriskajam aplim.
6. Praktiskā daļa(12 min)
Lai praktizētu un nostiprinātu teorētiskās zināšanas, izpildīsim nelielus uzdevumus. Katrs skolēns saņem uzdevumu kartītes. Atrisinot nevienlīdzības, jums jāizvēlas atbilde un jāpieraksta tās numurs.

7. Pārdomas par aktivitātēm nodarbībā
- Kāds bija mūsu mērķis?
- Nosauciet nodarbības tēmu
- Mums izdevās izmantot labi zināmu algoritmu
- Analizējiet savu darbu klasē.

8. Mājas darbs(2 minūtes)

Atrisiniet nevienlīdzību:

9. Nodarbības kopsavilkums(2 minūtes)

Es ierosinu beigt nodarbību ar Y.A. Komensky vārdiem: “Uzskatiet par nelaimīgu to dienu vai stundu, kurā neesat iemācījies neko jaunu un neko neesat pievienojis savai izglītībai.”

Praktiskās nodarbības laikā atkārtosim galvenie uzdevumu veidi no tēmas “Trigonometrija”, mēs turpināsim analizēt paaugstinātas sarežģītības uzdevumi un apsvērt dažādu trigonometrisko nevienādību un to sistēmu risināšanas piemēri.

Šī nodarbība palīdzēs sagatavoties kādam no uzdevumu veidiem B5, B7, C1 Un C3.

Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam matemātikā

Eksperimentējiet

Nodarbība 11. Aptvertā materiāla konsolidācija. Trigonometriskās nevienādības. Dažādu paaugstinātas sarežģītības problēmu risināšana

Prakse

Nodarbības kopsavilkums

Trigonometrijas apskats

Sāksim ar galveno uzdevumu veidu pārskatīšanu, kurus apskatījām tēmā "Trigonometrija", un atrisināsim vairākas nestandarta problēmas.

Uzdevums Nr.1. Pārvērst leņķus radiānos un grādos: a) ; b) .

a) Izmantosim formulu grādu pārvēršanai radiānos

Aizstāsim tajā norādīto vērtību.

b) Izmantojiet formulu radiānu pārvēršanai grādos

Veiksim aizstāšanu .

Atbilde. A) ; b) .

Uzdevums Nr.2. Aprēķināt: a) ; b) .

a) Tā kā leņķis pārsniedz tabulu, mēs to samazināsim, atņemot sinusa periodu. Tā kā leņķis ir norādīts radiānos, mēs uzskatīsim periodu kā .

b) Šajā gadījumā situācija ir līdzīga. Tā kā leņķis ir norādīts grādos, mēs uzskatīsim pieskares periodu kā .

Iegūtais leņķis, lai arī mazāks par periodu, ir lielāks, kas nozīmē, ka tas vairs neattiecas uz galveno, bet gan uz paplašināto tabulas daļu. Lai vēlreiz netrenētu atmiņu, iegaumējot paplašināto trigofunkciju vērtību tabulu, vēlreiz atņemsim tangences periodu:

Mēs izmantojām tangences funkcijas dīvainības priekšrocības.

Atbilde. a) 1; b) .

Uzdevums Nr.3. Aprēķināt , Ja.

Reducēsim visu izteiksmi līdz tangensiem, dalot skaitītāju un saucēju ar . Tajā pašā laikā mēs nevaram no tā baidīties, jo šajā gadījumā pieskares vērtība nepastāvētu.

Uzdevums Nr.4. Vienkāršojiet izteiksmi.

Norādītās izteiksmes tiek konvertētas, izmantojot samazināšanas formulas. Tie ir vienkārši neparasti rakstīti, izmantojot grādus. Pirmā izteiksme parasti apzīmē skaitli. Vienkāršosim visas trigofunkcijas pa vienam:

Tā kā , funkcija mainās uz kofunkciju, t.i., par kotangensu, un leņķis iekrīt otrajā ceturksnī, kurā sākotnējai pieskarei ir negatīva zīme.

Tādu pašu iemeslu dēļ kā iepriekšējā izteiksmē funkcija mainās uz kofunkciju, t.i., par kotangensu, un leņķis iekrīt pirmajā ceturksnī, kurā sākotnējai pieskarei ir pozitīva zīme.

Aizstāsim visu ar vienkāršotu izteiksmi:

Problēma #5. Vienkāršojiet izteiksmi.

Uzrakstīsim dubultā leņķa tangensu, izmantojot atbilstošo formulu, un vienkāršosim izteiksmi:

Pēdējā identitāte ir viena no universālajām kosinusa aizstāšanas formulām.

Problēma #6. Aprēķināt.

Galvenais ir nepieļaut standarta kļūdu un nedot atbildi, ka izteiksme ir vienāda ar . Arktangenta pamatīpašību nevar izmantot, ja blakus ir faktors divi. Lai no tā atbrīvotos, mēs uzrakstīsim izteiksmi pēc dubultā leņķa tangensas formulas, vienlaikus uzskatot , kā parastu argumentu.

Tagad mēs varam izmantot arktangenta pamatīpašību; atcerieties, ka tā skaitliskajam rezultātam nav ierobežojumu.

Problēma Nr.7. Atrisiniet vienādojumu.

Risinot daļvienādojumu, kas ir vienāds ar nulli, vienmēr tiek norādīts, ka skaitītājs ir vienāds ar nulli, bet saucējs nav, jo nevar dalīt ar nulli.

Pirmais vienādojums ir īpašs vienkāršākā vienādojuma gadījums, ko var atrisināt, izmantojot trigonometrisko apli. Atcerieties šo risinājumu pats. Otrā nevienādība tiek atrisināta kā vienkāršākais vienādojums, izmantojot pieskares sakņu vispārīgo formulu, bet tikai ar zīmi, kas nav vienāda ar.

Kā redzam, viena sakņu saime izslēdz citu tieši tāda paša veida sakņu saimi, kas neapmierina vienādojumu. Tas ir, nav sakņu.

Atbilde. Sakņu nav.

Problēma Nr.8. Atrisiniet vienādojumu.

Uzreiz atzīmēsim, ka varam izņemt kopējo faktoru un darīsim tā:

Vienādojums ir reducēts uz vienu no standarta formām, kur vairāku faktoru reizinājums ir vienāds ar nulli. Mēs jau zinām, ka šajā gadījumā vai nu viens no tiem ir vienāds ar nulli, vai otrs, vai trešais. Uzrakstīsim to vienādojumu kopas veidā:

Pirmie divi vienādojumi ir vienkāršāko īpašie gadījumi, ar līdzīgiem vienādojumiem esam sastapušies jau daudzas reizes, tāpēc nekavējoties norādīsim to risinājumus. Mēs reducējam trešo vienādojumu līdz vienai funkcijai, izmantojot dubultā leņķa sinusa formulu.

Atrisināsim pēdējo vienādojumu atsevišķi:

Šim vienādojumam nav sakņu, jo sinusa vērtība nevar pārsniegt .

Tādējādi risinājums ir tikai pirmās divas sakņu ģimenes, tās var apvienot vienā, ko ir viegli parādīt trigonometriskā aplī:

Šī ir visu pušu ģimene, t.i.

Trigonometriskās nevienādības

Pāriesim pie trigonometrisko nevienādību risināšanas. Pirmkārt, mēs analizēsim pieeju piemēra risināšanai, neizmantojot vispārīgu risinājumu formulas, bet izmantojot trigonometrisko apli.

Problēma Nr.9. Atrisiniet nevienlīdzību.

Uzzīmēsim uz trigonometriskā apļa palīglīniju, kas atbilst sinusa vērtībai, kas vienāda ar , un parādīsim leņķu diapazonu, kas apmierina nevienlīdzību.

Ir ļoti svarīgi precīzi saprast, kā norādīt iegūto leņķu intervālu, t.i., kāds ir tā sākums un kāds ir tā beigas. Intervāla sākums būs leņķis, kas atbilst punktam, kurā mēs ieiesim pašā intervāla sākumā, ja virzīsimies pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Mūsu gadījumā tas ir punkts, kas atrodas kreisajā pusē, jo, virzoties pretēji pulksteņrādītāja virzienam un ejot garām labajam punktam, mēs atstājam nepieciešamo leņķu diapazonu. Tāpēc pareizais punkts atbildīs atstarpes beigām.

Tagad mums ir jāsaprot mūsu nevienlīdzības risinājumu intervāla sākuma un beigu leņķi. Tipiska kļūda ir uzreiz norādīt, ka labais punkts atbilst leņķim, kreisais un sniegt atbildi. Tā nav taisnība! Lūdzu, ņemiet vērā, ka mēs tikko norādījām intervālu, kas atbilst apļa augšējai daļai, lai gan mūs interesē apakšējā daļa, citiem vārdiem sakot, mēs esam sajaucuši mums nepieciešamā risinājuma intervāla sākumu un beigas.

Lai intervāls sāktos no labā punkta stūra un beigtos ar kreisā punkta stūri, ir nepieciešams, lai pirmais norādītais leņķis būtu mazāks par otro. Lai to izdarītu, mums būs jāmēra labā punkta leņķis negatīvā atskaites virzienā, t.i., pulksteņrādītāja virzienā, un tas būs vienāds ar . Tad, sākot no tā virzīties pozitīvā pulksteņrādītāja virzienā, mēs nokļūsim labajā punktā aiz kreisā punkta un iegūsim tam leņķa vērtību. Tagad leņķu intervāla sākums ir mazāks par beigas, un mēs varam uzrakstīt risinājumu intervālu, neņemot vērā periodu:

Ņemot vērā, ka šādi intervāli tiks atkārtoti bezgalīgi daudz reižu pēc jebkura vesela apgriezienu skaita, mēs iegūstam vispārīgu risinājumu, ņemot vērā sinusa periodu:

Mēs ievietojam iekavas, jo nevienlīdzība ir stingra, un mēs izvēlamies apļa punktus, kas atbilst intervāla galiem.

Salīdziniet saņemto atbildi ar lekcijā sniegto vispārīgā risinājuma formulu.

Atbilde. .

Šī metode ir piemērota, lai saprastu, no kurienes nāk formulas vienkāršāko trigonu nevienādību vispārīgiem risinājumiem. Turklāt tas ir noderīgi tiem, kam ir pārāk slinks, lai apgūtu visas šīs apgrūtinošās formulas. Taču arī pati metode nav viegla, izvēlieties sev ērtāko pieeju risinājumam.

Lai atrisinātu trigonometriskās nevienādības, varat izmantot arī funkciju grafikus, uz kurām ir izveidota palīglīnija, līdzīgi kā parādīts, izmantojot vienības apli. Ja jūs interesē, mēģiniet pats izdomāt šo pieeju risinājumam. Tālāk mēs izmantosim vispārīgas formulas, lai atrisinātu vienkāršas trigonometriskās nevienādības.

Problēma Nr.10. Atrisiniet nevienlīdzību.

Izmantosim vispārīgā risinājuma formulu, ņemot vērā to, ka nevienlīdzība nav stingra:

Mūsu gadījumā mēs iegūstam:

Atbilde.

Problēma Nr.11. Atrisiniet nevienlīdzību.

Attiecīgajai strikti nevienādībai izmantosim vispārīgo risinājuma formulu:

Atbilde. .

Problēma Nr.12. Atrisiniet nevienādības: a) ; b) .

Šajās nevienādībās nav jāsteidzas ar vispārīgu risinājumu vai trigonometriskā apļa formulu izmantošanu, pietiek tikai atcerēties sinusa un kosinusa vērtību diapazonu.

a) Kopš , tad nevienlīdzībai nav jēgas. Tāpēc risinājumu nav.

b) Tā kā tāpat jebkura argumenta sinuss vienmēr apmierina nosacījumā norādīto nevienādību. Tāpēc visas argumenta patiesās vērtības apmierina nevienlīdzību.

Atbilde. a) nav risinājumu; b) .

13. problēma. Atrisiniet nevienlīdzību .

Šī vienkāršākā nevienādība ar sarežģītu argumentu tiek atrisināta līdzīgi kā līdzīgs vienādojums. Pirmkārt, mēs atrodam risinājumu visam argumentam, kas norādīts iekavās, un pēc tam pārveidojam to formā “”, strādājot ar abiem intervāla galiem, tāpat kā ar vienādojuma labo pusi.