tüm açıların 90°'ye eşit olduğu ve karşılıklı kenarların paralel ve çiftler halinde eşit olduğu bir paralelkenardır.
Bir dikdörtgenin, dikdörtgenin alanı ve çevresi formüllerinde birçok problemin çözümünde kullanılan inkar edilemez birçok özelliği vardır. İşte buradalar:
Bir dikdörtgenin bilinmeyen bir tarafının veya köşegeninin uzunluğu, Pisagor teoremi kullanılarak veya kullanılarak hesaplanır. Bir dikdörtgenin alanı iki şekilde bulunabilir: kenarlarının çarpımı veya köşegen boyunca dikdörtgenin alanı formülü ile. İlk ve en basit formül şuna benzer:
Bu formülü kullanarak bir dikdörtgenin alanını hesaplamanın bir örneği çok basittir. İki kenarı bilerek, örneğin a = 3 cm, b = 5 cm, dikdörtgenin alanını kolaylıkla hesaplayabiliriz:
Böyle bir dikdörtgende alanın 15 metrekareye eşit olacağını görüyoruz. santimetre.
Köşegenlerden geçen bir dikdörtgenin alanı
Bazen dikdörtgenin alanı formülünü köşegenlerden uygulamanız gerekir. Sadece köşegenlerin uzunluğunu değil aynı zamanda aralarındaki açıyı da bulmayı gerektirir:
Köşegenleri kullanarak bir dikdörtgenin alanını hesaplama örneğine bakalım. Köşegeni d = 6 cm, açısı = 30° olan bir dikdörtgen verilsin. Verileri zaten bilinen formülle değiştiriyoruz:
Yani bir dikdörtgenin alanını köşegenden hesaplama örneği bize, eğer açı verilirse alanı bu şekilde bulmanın oldukça basit olduğunu gösterdi.
Beynimizi biraz esnetmemize yardımcı olacak ilginç bir soruna daha bakalım.
Görev: Bir kare verildi. Alanı 36 metrekaredir. cm Bir kenar uzunluğu 9 cm olan ve alanı yukarıda verilen kare ile aynı olan dikdörtgenin çevresini bulun.
Yani birkaç şartımız var. Anlaşılır olması açısından, bilinen ve bilinmeyen tüm parametreleri görmek için bunları yazalım: 
Şeklin kenarları çiftler halinde paralel ve eşittir. Bu nedenle şeklin çevresi, kenar uzunluklarının toplamının iki katına eşittir:
Şeklin iki tarafının çarpımına eşit olan dikdörtgenin alan formülünden b tarafının uzunluğunu buluyoruz.
Buradan:
Bilinen verileri yerine koyarız ve b tarafının uzunluğunu buluruz:
Şeklin çevresini hesaplayın: 
Birkaç basit formülü bilerek, alanını bilerek bir dikdörtgenin çevresini bu şekilde hesaplayabilirsiniz.
Konsepte zaten aşina olduk şeklin alanı, alan ölçüm birimlerinden birini öğrendi - Santimetrekare. Bu dersimizde dikdörtgenin alanının nasıl hesaplanacağına dair bir kural türeteceğiz.
Santimetre kareye bölünen rakamların alanını nasıl bulacağımızı zaten biliyoruz.
Örneğin:
Birinci şeklin alanının 8 cm2, ikinci şeklin alanının ise 7 cm2 olduğunu tespit edebiliriz.
Kenar uzunlukları 3 cm ve 4 cm olan dikdörtgenin alanı nasıl bulunur?
Sorunu çözmek için dikdörtgeni her biri 3 cm 2'lik 4 şeride bölüyoruz.
O zaman dikdörtgenin alanı 3 * 4 = 12 cm2'ye eşit olacaktır.
Aynı dikdörtgen, her biri 4 cm 2 olan 3 şeride bölünebilir.
O zaman dikdörtgenin alanı 4 * 3 = 12 cm2'ye eşit olacaktır.
Her iki durumda da Bir dikdörtgenin alanını bulmak için dikdörtgenin kenar uzunluklarını ifade eden sayılar çarpılır.
Her dikdörtgenin alanını bulun.
AKMO dikdörtgenini düşünün.
Bir şeritte 6 cm2 var ve bu dikdörtgende bu tür 2 şerit var, bu da aşağıdaki işlemi gerçekleştirebileceğimiz anlamına geliyor:
6 sayısı dikdörtgenin uzunluğunu, 2 sayısı ise dikdörtgenin genişliğini temsil eder. Yani dikdörtgenin alanını bulmak için dikdörtgenin kenarlarını çarptık.
KDCO dikdörtgenini düşünün.
KDCO dikdörtgeninde bir şeritte 2 cm2 vardır ve bu tür 3 şerit vardır, bu nedenle işlemi gerçekleştirebiliriz.
3 sayısı dikdörtgenin uzunluğunu, 2 sayısı ise dikdörtgenin genişliğini belirtir. Bunları çarparak dikdörtgenin alanını bulduk.
Şu sonuca varabiliriz: Dikdörtgenin alanını bulmak için her seferinde rakamı santimetre kareye bölmenize gerek yok.
Bir dikdörtgenin alanını hesaplamak için uzunluğunu ve genişliğini bulmanız (dikdörtgenin kenarlarının uzunlukları aynı ölçü birimlerinde ifade edilmelidir) ve ardından elde edilen sayıların çarpımını (alan) hesaplamanız gerekir. karşılık gelen alan birimleriyle ifade edilecektir)
Özetleyelim: Bir dikdörtgenin alanı, uzunluğu ve genişliğinin çarpımına eşittir.
Problemi çöz.
Dikdörtgenin uzunluğu 9 cm ve genişliği 2 cm ise dikdörtgenin alanını hesaplayın.
Şöyle düşünelim. Bu problemde dikdörtgenin hem uzunluğu hem de genişliği bilinmektedir. Bu nedenle şu kuralı uyguluyoruz: Bir dikdörtgenin alanı, uzunluğunun ve genişliğinin çarpımına eşittir.
Çözümü yazalım.
Cevap: dikdörtgen alan 18cm 2
Böyle bir alana sahip bir dikdörtgenin kenar uzunluklarının başka hangi uzunlukları olduğunu düşünüyorsunuz?
Şöyle düşünebilirsiniz. Alan bir dikdörtgenin kenar uzunluklarının çarpımı olduğundan çarpım tablosunu hatırlamanız gerekir. 18 cevabını vermek için hangi sayılar çarpılır?
Doğru, 6 ile 3'ü çarptığınızda yine 18 elde edersiniz. Bu, bir dikdörtgenin kenarlarının 6 cm ve 3 cm olabileceği ve alanının da 18 cm 2 olacağı anlamına gelir.
Problemi çöz.
Dikdörtgenin uzunluğu 8 cm, genişliği 2 cm'dir. Alanını ve çevresini bulun.
Dikdörtgenin uzunluğunu ve genişliğini biliyoruz. Alanı bulmak için uzunluğunun ve genişliğinin çarpımını bulmanız gerektiğini, çevreyi bulmak için ise uzunluk ve genişliğin toplamını ikiyle çarpmanız gerektiğini unutmamak gerekir.
Çözümü yazalım.
Cevap: Dikdörtgenin alanı 16 cm2, çevresi 20 cm'dir.
Problemi çöz.
Dikdörtgenin uzunluğu 4 cm, genişliği 3 cm'dir. Üçgenin alanı nedir? (resmi görmek)
Problemdeki soruyu cevaplamak için öncelikle dikdörtgenin alanını bulmanız gerekiyor. Bunun için uzunluğu genişlikle çarpmamız gerektiğini biliyoruz.
Çizime bakın. Köşegenin dikdörtgeni iki eşit üçgene nasıl böldüğünü fark ettiniz mi? Bu nedenle bir üçgenin alanı dikdörtgenin alanından 2 kat daha azdır. Bu, 12'nin yarıya indirilmesi gerektiği anlamına gelir.
Cevap:Üçgenin alanı 6 cm2'dir.
Bugün sınıfta dikdörtgenin alanını hesaplama kuralını öğrendik ve dikdörtgenin alanını bulma problemlerini çözerken bu kuralı uygulamayı öğrendik.
1. M.I.Moro, M.A.Bantova ve diğerleri Matematik: Ders Kitabı. 3. sınıf: 2 bölüm, bölüm 1. M., “Aydınlanma”, 2012.
2. M.I.Moro, M.A.Bantova ve diğerleri Matematik: Ders Kitabı. 3. sınıf: 2 bölüm halinde, bölüm 2. M., “Aydınlanma”, 2012.
3. M.I.Moro. Matematik dersleri: Öğretmenler için metodolojik öneriler. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
4. Düzenleyici belge. Öğrenme çıktılarının izlenmesi ve değerlendirilmesi. M., “Aydınlanma”, 2011.
5. “Rusya Okulu”: İlkokul programları. - M .: “Aydınlanma”, 2011.
6. S.I.Volkova. Matematik: Test çalışması. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
7. V.N.Rudnitskaya. Testler. M., “Sınav”, 2012 (127 s.)
2. "Prosveshcheniye" yayınevi ()
1. Dikdörtgenin uzunluğu 7 cm, genişliği 4 cm'dir Dikdörtgenin alanını bulun.
2. Karenin bir kenarı 5 cm'dir.Karenin alanını bulun.
3. Alanı 18 cm2 olan dikdörtgenler için olası seçenekleri çizin.
4. Arkadaşlarınız için dersin konusuyla ilgili bir ödev oluşturun.
Matematikte incelenen ilk formüllerden biri dikdörtgenle ilgilidir. Aynı zamanda en sık kullanılanıdır. Dikdörtgen yüzeyler bizi her yerde çevreliyor, bu nedenle alanlarını sıklıkla bilmemiz gerekiyor. En azından mevcut boyanın yerleri boyamak için yeterli olup olmadığını öğrenmek için.
Hangi alan birimleri var?
Uluslararası olarak kabul edilenden bahsedecek olursak o zaman bir metrekare olacaktır. Duvarların, tavanların veya zeminlerin alanlarını hesaplarken kullanılması uygundur. Konut alanını gösterirler.
Daha küçük nesneler söz konusu olduğunda desimetre kare, santimetre veya milimetre girilir. Şekil bir tırnaktan daha büyük değilse ikincisine ihtiyaç vardır.
Bir şehrin veya ülkenin alanını ölçerken kilometre kare en uygunudur. Ancak alanın büyüklüğünü belirtmek için kullanılan birimler de vardır: are ve hektar. Bunlardan ilkine yüz de denir.
Dikdörtgenin kenarları verilirse ne olur?
Benzer şekilde dikdörtgenin özel durumu da hesaplanır. Tüm kenarlar eşit olduğundan çarpım mektubun karesi olur A.
Peki ya rakam kareli kağıda tasvir edilmişse?
Bu durumda şeklin içindeki hücre sayısına güvenmeniz gerekir. Sayılarını kullanarak dikdörtgenin alanını hesaplamak kolaydır. Ancak bu, dikdörtgenin kenarları hücre çizgileriyle çakıştığında yapılabilir.
Genellikle dikdörtgen, kenarları kağıt çizgisine göre eğimli olacak şekilde konumlandırılır. O zaman hücre sayısını belirlemek zordur, bu nedenle dikdörtgenin alanının hesaplanması daha karmaşık hale gelir.
Öncelikle dikdörtgenin tam olarak etrafındaki hücrelere çizilebilecek alanını bulmanız gerekecek. Çok basit: yüksekliği ve genişliği çarpın. Sonra sonuçta ortaya çıkan alandan çıkarın ve bunlardan dört tane var. Bu arada bacakların çarpımının yarısı kadar hesaplanır.
Nihai sonuç bu dikdörtgenin alanını verecektir.
Kenarlar bilinmiyor ancak köşegeni ve köşegenler arasındaki açı verilmişse ne yapmalı?
Bundan önce, bu durumda zaten tanıdık olan formülü kullanmak için kenarlarını hesaplamanız gerekir. Öncelikle köşegenlerinin özelliğini hatırlamanız gerekir. Eşittirler ve kesişme noktasına göre ikiye bölünmüşlerdir. Çizimde köşegenlerin dikdörtgeni çiftler halinde eşit olan dört ikizkenar üçgene böldüğünü görebilirsiniz.
Bu üçgenlerin eşit kenarları bilinen köşegenin yarısı olarak tanımlanır. Yani her üçgenin iki kenarı ve aralarında problemde verilen bir açısı vardır. Kullanabilirsiniz
Dikdörtgenin bir kenarı, üçgenin eşit kenarlarını ve verilen açının kosinüsünü kullanan bir formül kullanılarak hesaplanacaktır. İkinciyi hesaplamak için kosinüs değerinin 180 ile bilinen açı farkına eşit açıdan alınması gerekecektir.
Sorun bir çevre verirse ne yapmalı?
Genellikle koşul aynı zamanda uzunluk ve genişlik oranını da gösterir. Bir dikdörtgenin alanının nasıl hesaplanacağı sorusu bu durumda belirli bir örnek kullanılarak daha basittir.
Problemde belli bir dikdörtgenin çevresinin 40 cm olduğunu varsayalım, ayrıca uzunluğunun genişliğinden bir buçuk kat daha fazla olduğu da biliniyor. Bölgesini öğrenmeniz gerekiyor.
Problemin çözümü çevre formülünün yazılmasıyla başlar. Her biri ayrı ayrı ikiyle çarpılan uzunluk ve genişliğin toplamı olarak yazmak daha uygundur. Sistemde çözülmesi gereken ilk denklem bu olacaktır.
İkincisi ise koşulla bilinen en-boy oranıyla ilgilidir. Birinci kenar yani uzunluk, ikinci kenar (genişlik) ile 1,5 sayısının çarpımına eşittir. Bu eşitlik çevre formülünde değiştirilmelidir.
İki tek terimlinin toplamına eşit olduğu ortaya çıktı. Birincisi 2 ile bilinmeyen bir genişliğin çarpımı, ikincisi ise 2 ile 1,5 sayılarının ve aynı genişliğin çarpımıdır. Bu denklemde bilinmeyen tek bir şey var: genişlik. Uzunluğu hesaplamak için onu saymanız ve ardından ikinci eşitliği kullanmanız gerekir. Geriye kalan tek şey dikdörtgenin alanını bulmak için bu iki sayıyı çarpmak.
Hesaplamalar şu değerleri verir: genişlik - 8 cm, uzunluk - 12 cm ve alan - 96 cm2. Son sayı, ele alınan sorunun cevabıdır.
Bir çokgenin alanı
Bir çokgenin alanı kavramını kare gibi geometrik bir figürle ilişkilendireceğiz. Bir çokgenin birim alanı için bir kenarı bire eşit olan karenin alanını alacağız. Bir çokgenin alanı kavramı için iki temel özelliği tanıtalım.
Özellik 1: Eşit çokgenlerin alanları eşittir.
Özellik 2: Herhangi bir çokgen birden fazla çokgene bölünebilir. Bu durumda orijinal çokgenin alanı, bu çokgenin bölündüğü tüm çokgenlerin alanlarının toplamına eşittir.
Kare alan
Teorem 1
Bir karenin alanı, bir kenarının uzunluğunun karesi olarak tanımlanır.
burada $a$ karenin kenar uzunluğudur.
Kanıt.
Bunu kanıtlamak için üç durumu ele almamız gerekiyor.
Teorem kanıtlandı.
Dikdörtgenin alanı
Teorem 2
Bir dikdörtgenin alanı, bitişik kenarlarının uzunluklarının çarpımı ile belirlenir.
Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir
Kanıt.
Bize $AB=b,\ AD=a$ olan bir $ABCD$ dikdörtgeni verilsin. Bunu, kenar uzunluğu $a+b$'ye eşit olan bir $APRV$ karesine kadar oluşturalım (Şekil 3).
Figür 3.
Sahip olduğumuz alanların ikinci özelliğine göre
\ \ \
Teorem 1'e göre
\ \
Teorem kanıtlandı.
Örnek görevler
örnek 1
Kenarları $5$ ve $3$ olan bir dikdörtgenin alanını bulun.
Dikdörtgen, dörtgenin özel bir halidir. Bu, dikdörtgenin dört kenarı olduğu anlamına gelir. Karşılıklı kenarları eşittir: örneğin, kenarlarından biri 10 cm ise, karşı kenar da 10 cm olacaktır Dikdörtgenin özel bir durumu karedir. Kare, tüm kenarları eşit olan bir dikdörtgendir. Bir karenin alanını hesaplamak için dikdörtgenin alanını hesaplamak için kullanılan algoritmanın aynısını kullanabilirsiniz.
İki tarafa dayalı bir dikdörtgenin alanı nasıl bulunur?
Bir dikdörtgenin alanını bulmak için uzunluğunu genişliğiyle çarpmanız gerekir: Alan = Uzunluk × Genişlik. Aşağıda verilen durumda: Alan = AB × BC.
Dikdörtgenin alanını yanlara ve köşegen uzunluğa göre nasıl bulabilirim?
Bazı problemler, köşegen uzunluğunu ve kenarlardan birini kullanarak dikdörtgenin alanını bulmanızı gerektirir. Bir dikdörtgenin köşegeni onu iki eşit dik üçgene böler. Bu nedenle Pisagor teoremini kullanarak dikdörtgenin ikinci kenarını belirleyebiliriz. Bundan sonra görev bir önceki noktaya indirilir.
Bir dikdörtgenin alanı çevresine ve kenarına göre nasıl bulunur?
Bir dikdörtgenin çevresi tüm kenarlarının toplamıdır. Dikdörtgenin çevresini ve bir kenarını (genişlik gibi) biliyorsanız aşağıdaki formülü kullanarak dikdörtgenin alanını hesaplayabilirsiniz:
Alan = (Çevre×genişlik – genişlik^2)/2.
Köşegenler ve köşegen uzunluğu arasındaki dar açının sinüsü boyunca dikdörtgenin alanı
Bir dikdörtgendeki köşegenler eşittir, bu nedenle alanı köşegenin uzunluğuna ve aralarındaki dar açının sinüsüne göre hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanmalısınız: Alan = Diyagonal^2 × sin(köşegenler arasındaki dar açı) )/2.
