Каква е височината на правоъгълен триъгълник. Правоъгълен триъгълник

Всъщност всичко изобщо не е толкова страшно. Разбира се, "реалното" определение на синус, косинус, тангенс и котангенс трябва да се разгледа в статията. Но ти наистина не искаш, нали? Можем да се радваме: за да решите задачи за правоъгълен триъгълник, можете просто да попълните следните прости неща:

Какво ще кажете за ъгъла? Има ли крак, който е срещу ъгъла, тоест противоположния крак (за ъгъла)? Разбира се има! Това е катет!

Но какво да кажем за ъгъла? Вгледай се по-внимателно. Кой крак е в непосредствена близост до ъгъла? Разбира се, котката. Така че за ъгъла кракът е съседен и

А сега внимание! Вижте какво имаме:

Вижте колко е страхотно:

Сега да преминем към допирателната и котангенса.

Как да го изразя с думи сега? Какъв е кракът по отношение на ъгъла? Срещу, разбира се - "лежи" срещу ъгъла. А катета? В непосредствена близост до ъгъла. И така, какво получихме?

Вижте как се обръщат числителят и знаменателят?

И сега отново ъглите и направихме размяната:

Резюме

Нека запишем накратко какво сме научили.

Питагорова теорема:

Основната теорема за правоъгълен триъгълник е Питагоровата теорема.

Питагорова теорема

Между другото, помните ли добре какво представляват катета и хипотенузата? Ако не, тогава погледнете снимката - освежете знанията си

Възможно е вече да сте използвали питагоровата теорема много пъти, но замисляли ли сте се защо такава теорема е вярна. Как ще го докажеш? Да постъпим като древните гърци. Нека начертаем квадрат със страна.

Виждате колко хитро разделихме страните му на отсечки от дължини и!

Сега нека свържем маркираните точки

Тук обаче отбелязахме нещо друго, но вие сами погледнете снимката и се замислете защо.

Каква е площта на по-големия квадрат?

Точно така, .

Ами по-малката площ?

Разбира се,.

Общата площ на четирите ъгъла остава. Представете си, че взехме две от тях и се опряхме един на друг с хипотенузи.

Какво стана? Два правоъгълника. Така че площта на "резниците" е равна.

Нека сглобим всичко сега.

Нека трансформираме:

Така че посетихме Питагор – доказахме неговата теорема по древен начин.

Правоъгълен триъгълник и тригонометрия

За правоъгълен триъгълник са валидни следните отношения:

Синусът на острия ъгъл е равен на съотношението на противоположния катет към хипотенузата

Косинусът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на остър ъгъл е равен на съотношението на противоположния крак към съседния крак.

Котангенсът на остър ъгъл е равен на съотношението на съседния крак към противоположния.

И още веднъж, всичко това под формата на чиния:

Много е удобно!

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници

I. На два крака

II. По крак и хипотенуза

III. По хипотенуза и остър ъгъл

IV. По протежение на крака и остър ъгъл

а)

б)

Внимание! Тук е много важно краката да си "съответстват". Например, ако стане така:

ТОГАВА ТРИЪГЪЛНИЦИТЕ НЕ СА РАВНИ, въпреки факта, че имат един идентичен остър ъгъл.

Трябва да и в двата триъгълника кракът е бил съседен, или и в двата - противоположен.

Забелязали ли сте как знаците за равенство на правоъгълните триъгълници се различават от обичайните знаци за равенство на триъгълниците?

Погледнете темата „и обърнете внимание на факта, че за равенството на „обикновените“ триъгълници се нуждаете от равенството на техните три елемента: две страни и ъгъл между тях, два ъгъла и страна между тях или три страни.

Но за равенството на правоъгълните триъгълници са достатъчни само два съответни елемента. Страхотно е, нали?

Приблизително същата ситуация с признаци на сходство на правоъгълни триъгълници.

Признаци за сходство на правоъгълни триъгълници

I. Остър ъгъл

II. На два крака

III. По крак и хипотенуза

Медиана в правоъгълен триъгълник

Защо е така?

Помислете за цял правоъгълник вместо правоъгълен триъгълник.

Да начертаем диагонал и да разгледаме точка - пресечната точка на диагоналите. Какво знаете за диагоналите на правоъгълника?

И какво следва от това?

Така се случи така

- Медиана:

Запомнете този факт! Помага много!

Още по-изненадващо е, че обратното също е вярно.

Каква полза може да се извлече от факта, че медианата, изтеглена към хипотенузата, е равна на половината от хипотенузата? Нека разгледаме снимката

Вгледай се по-внимателно. Имаме: , тоест разстоянията от точката до трите върха на триъгълника се оказаха равни. Но в триъгълника има само една точка, разстоянията, от които и трите върха на триъгълника са равни, и това е ЦЕНТЪРЪТ НА ОПИСАНАТА КРЪГРА. И какво стана?

Така че нека започнем с това "освен...".

Нека да разгледаме i.

Но в подобни триъгълници всички ъгли са равни!

Същото може да се каже и за и

Сега нека го нарисуваме заедно:

Каква полза може да се извлече от това "тройно" сходство.

Е, например - две формули за височината на правоъгълен триъгълник.

Пишем отношенията на съответните страни:

За да намерим височината, решаваме пропорцията и получаваме първа формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

Е, сега, прилагайки и комбинирайки тези знания с други, ще решите всеки проблем с правоъгълен триъгълник!

И така, нека приложим сходството: .

Какво ще стане сега?

Отново решаваме пропорцията и получаваме втората формула:

И двете формули трябва да се запомнят много добре и тази, която е по-удобна за прилагане.

Нека ги запишем отново.

Питагорова теорема:

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катета:.

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

на два крака:
по протежение на катета и хипотенузата: или
по протежение на крака и прилежащия остър ъгъл: или
по протежение на крака и срещуположния остър ъгъл: или
по хипотенуза и остър ъгъл: или.

Признаци за сходство на правоъгълни триъгълници:

един остър ъгъл: или
от пропорционалността на двата крака:
от пропорционалността на катета и хипотенузата: или.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник

Синусът на острия ъгъл на правоъгълен триъгълник е съотношението на противоположния катет към хипотенузата:
Косинусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е съотношението на съседния крак към хипотенузата:
Тангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е съотношението на противоположния крак към съседния:
Котангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседния крак към противоположния:.

Височина на правоъгълен триъгълник: или.

В правоъгълен триъгълник медианата, изтеглена от върха на правия ъгъл, е равна на половината от хипотенузата: .

Площ на правоъгълен триъгълник:

през катетрите:

триъгълници.

Основни понятия.

триъгълник- това е фигура, състояща се от три сегмента и три точки, които не лежат на една права линия.

Сегментите се наричат партии, и точките върхове.

Сбор от ъглитриъгълник е равен на 180º.

Височината на триъгълника.

Височина на триъгълнике перпендикуляр, начертан от връх към противоположната страна.

В триъгълник с остър ъгъл височината се съдържа вътре в триъгълника (фиг. 1).

В правоъгълен триъгълник катетите са височините на триъгълника (фиг. 2).

При тъп триъгълник височината минава извън триъгълника (фиг. 3).

Свойства на височината на триъгълника:

Симетрала на триъгълник.

Симетрала на триъгълник- това е сегмент, който разполовява ъгъла на върха и свързва върха с точка от противоположната страна (фиг. 5).

Свойства на бисектриса:

Медиана на триъгълник.

Медиана на триъгълник- това е сегмент, свързващ върха със средата на противоположната страна (фиг. 9а).

Дължината на медианата може да се изчисли по формулата:

2б 2 + 2° С 2 - а 2
м а 2 = ——————
4

където м а- медиана, изтеглена настрани но.

В правоъгълен триъгълник медианата, изтеглена към хипотенузата, е половината от хипотенузата:

° С
mc = —
2

където mcе медианата, изтеглена към хипотенузата ° С(фиг. 9в)

Медианите на триъгълника се пресичат в една точка (в центъра на масата на триъгълника) и се делят на тази точка в съотношение 2:1, като се брои от върха. Тоест отсечката от върха до центъра е два пъти по-голяма от отсечката от центъра до страната на триъгълника (фиг. 9в).

Трите медиани на триъгълник го разделят на шест триъгълника с еднаква площ.

Средната линия на триъгълника.

Средна линия на триъгълника- това е сегмент, свързващ средните точки на двете му страни (фиг. 10).

Средната линия на триъгълник е успоредна на третата страна и равна на половината от нея.

Външният ъгъл на триъгълника.

външен ъгълтриъгълник е равен на сбора от два несъседни вътрешни ъгъла (фиг. 11).

Външният ъгъл на триъгълник е по-голям от всеки несъседен ъгъл.

Правоъгълен триъгълник.

Правоъгълен триъгълник- това е триъгълник, който има прав ъгъл (фиг. 12).

Нарича се страната на правоъгълен триъгълник, противоположна на правия ъгъл хипотенуза.

Другите две страни се наричат крака.

Пропорционални сегменти в правоъгълен триъгълник.

1) В правоъгълен триъгълник височината, изтеглена от правия ъгъл, образува три подобни триъгълника: ABC, ACH и HCB (фиг. 14а). Съответно ъглите, образувани от височината, са равни на ъглите A и B.

Фиг.14а

Равнобедрен триъгълник.

Равнобедрен триъгълник- това е триъгълник, в който две страни са равни (фиг. 13).

Тези равни страни се наричат страни, и третият основатриъгълник.

В равнобедрен триъгълник ъглите в основата са равни. (В нашия триъгълник ъгъл A е равен на ъгъл C).

В равнобедрен триъгълник медианата, изтеглена към основата, е едновременно ъглополовящата и височината на триъгълника.

Равностранен триъгълник.

Равностранният триъгълник е триъгълник, в който всички страни са равни (фиг. 14).

Свойства на равностранен триъгълник:

Забележителни свойства на триъгълниците.

Триъгълниците имат оригинални свойства, които ще ви помогнат успешно да решите проблеми, свързани с тези форми. Някои от тези свойства са описани по-горе. Но ние ги повтаряме отново, добавяйки няколко други страхотни функции към тях:

1) В правоъгълен триъгълник с ъгли 90º, 30º и 60º, катета б, лежащ срещу ъгъл от 30º, е равен на половината от хипотенузата. Крака повече кракб√3 пъти (фиг. 15 но). Например, ако катета на b е 5, тогава хипотенузата ° Сзадължително равно на 10, а кракът ное равно на 5√3.

2) В правоъгълен равнобедрен триъгълник с ъгли 90º, 45º и 45º хипотенузата е √2 пъти катета (фиг. 15 б). Например, ако краката са 5, тогава хипотенузата е 5√2.

3) Средната линия на триъгълника е равна на половината от успоредната страна (фиг.15 от). Например, ако страната на триъгълник е 10, тогава средната линия, успоредна на нея, е 5.

4) В правоъгълен триъгълник медианата, проведена към хипотенузата, е равна на половината от хипотенузата (фиг. 9в): mc= c/2.

5) Медианите на триъгълник, пресичащи се в една точка, се делят на тази точка в съотношение 2:1. Тоест отсечката от върха до точката на пресичане на медианите е два пъти по-голяма от отсечката от пресечната точка на медианите до страната на триъгълника (фиг. 9в)

6) В правоъгълен триъгълник средата на хипотенузата е центърът на описаната окръжност (фиг. 15 д).

Признаци за равенство на триъгълници.

Първият знак за равенство: Ако две страни и ъгълът между тях на един триъгълник са равни на две страни и ъгълът между тях на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

Вторият знак за равенство: ако страната и прилежащите към нея ъгли на един триъгълник са равни на страната и ъглите, прилежащи към нея на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

Третият знак за равенство: Ако три страни на един триъгълник са равни на три страни на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

Неравенство на триъгълника.

Във всеки триъгълник всяка страна е по-малка от сбора на другите две страни.

Питагорова теорема.

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катета:

° С 2 = а 2 + б 2 .

Площ на триъгълник.

1) Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на неговата страна и височината, изтеглена към тази страна:

ах
С = ——
2

2) Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на всички две от неговите страни и синуса на ъгъла между тях:

1
С = — AB · AC · грях А
2

Триъгълник, описан около окръжност.

Кръг се нарича вписан в триъгълник, ако докосва всичките му страни (фиг.16 но).

Триъгълник, вписан в кръг.

Триъгълник се нарича вписан в окръжност, ако го докосва с всички върхове (фиг. 17 а).

Синус, косинус, тангенс, котангенс на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник (фиг. 18).

Синусостър ъгъл х противоположнокатетър към хипотенузата.
Означава се така: гряхх.

косинусостър ъгъл хправоъгълен триъгълник е съотношението съседенкатетър към хипотенузата.
Означава се по следния начин: cos х.

Тангентаостър ъгъл хе съотношението на противоположния крак към съседния крак.
Означава се така: tgх.

Котангенсостър ъгъл хе съотношението на съседния крак към противоположния крак.
Означава се така: ctgх.

правила:

Крак в противоположния ъгъл х, е равно на произведението на хипотенузата и греха х:

b=cгрях х

Крак в непосредствена близост до ъгъла х, е равно на произведението на хипотенузата и cos х:

a = c cos х

Крак в противоположния ъгъл х, е равно на произведението на втория крак и tg х:

b = a tg х

Крак в непосредствена близост до ъгъла х, е равно на произведението на втория крак и ctg х:

a = b ctg х.

За всеки остър ъгъл х:

грях (90° - х) = cos х

cos (90° - х) = грях х

Правоъгълен триъгълнике триъгълник, в който един от ъглите е прав, тоест равен на 90 градуса.

Страната, противоположна на правия ъгъл, се нарича хипотенуза. ° Сили AB)
Страната, съседна на десния ъгъл, се нарича крак. Всеки правоъгълен триъгълник има два катета (означени като аи b или AC и BC)

Формули и свойства на правоъгълен триъгълник

Обозначения на формули:

(виж снимката по-горе)

а, б- катета на правоъгълен триъгълник

° С- хипотенуза

α, β - остри ъгли на триъгълник

С- ■ площ

з- височината, паднала от върха на правия ъгъл до хипотенузата

м а аот противоположния ъгъл ( α )

м б- медиана, изтеглена настрани бот противоположния ъгъл ( β )

mc- медиана, изтеглена настрани ° Сот противоположния ъгъл ( γ )

IN правоъгълен триъгълник всеки крак е по-малък от хипотенузата(Формула 1 и 2). Това свойство е следствие от Питагоровата теорема.

Косинус на всеки от острите ъглипо-малко от едно (Формула 3 и 4). Това свойство следва от предишното. Тъй като всеки от катетите е по-малък от хипотенузата, отношението на катета към хипотенузата винаги е по-малко от едно.

Квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на катета (теоремата на Питагор). (Формула 5). Това свойство се използва постоянно при решаване на проблеми.

Площ на правоъгълен триъгълникравно на половината от произведението на краката (Формула 6)

Сбор на квадратите на медианитена катета е равно на пет квадрата от медианата на хипотенузата и пет квадрата от хипотенузата, разделени на четири (Формула 7). В допълнение към горното, има Още 5 формули, затова се препоръчва да се запознаете и с урока "Медиана на правоъгълен триъгълник", който описва свойствата на медианата по-подробно.

Височинана правоъгълен триъгълник е равно на произведението на катетите, разделено на хипотенузата (Формула 8)

Квадратите на катета са обратно пропорционални на квадрата на височината, спусната до хипотенузата (Формула 9). Това тъждество е и едно от следствията на питагоровата теорема.

Дължина на хипотенузатаравен на диаметъра (два радиуса) на описаната окръжност (Формула 10). Хипотенуза на правоъгълен триъгълник е диаметърът на описаната окръжност. Това свойство често се използва при решаване на проблеми.

Вписан радиусв правоъгълен триъгълник кръговеможе да се намери като половината от израза, който включва сумата от краката на този триъгълник минус дължината на хипотенузата. Или като произведението на краката, разделено на сумата от всички страни (периметър) на даден триъгълник. (Формула 11)
Синус на ъгъл противоположнотози ъгъл крак към хипотенуза(по дефиниция на синус). (Формула 12). Това свойство се използва при решаване на проблеми. Познавайки размерите на страните, можете да намерите ъгъла, който те образуват.

Косинусът на ъгъл A (α, alpha) в правоъгълен триъгълник ще бъде равен на отношение съседентози ъгъл крак към хипотенуза(по дефиниция на синус). (Формула 13)

(ABC)и неговите свойства, което е показано на фигурата. Правоъгълният триъгълник има хипотенуза, страната, противоположна на правия ъгъл.

Съвет 1: Как да намерите височината в правоъгълен триъгълник

Страните, които образуват прав ъгъл, се наричат крака. Страничен чертеж AD, DC и BD, DC- крака и страни ACИ ЮЗ- хипотенуза.

Теорема 1. В правоъгълен триъгълник с ъгъл 30° противоположният на този ъгъл катет ще се разкъса до половината от хипотенузата.

АБ- хипотенуза;

АДИ DB

триъгълник
Има една теорема:
система за коментиране CACKLЕ

Решение: 1) Диагоналите на всеки правоъгълник са равни. Вярно 2) Ако в триъгълника има един остър ъгъл, тогава този триъгълник е остър. Не е вярно. Видове триъгълници. Триъгълник се нарича остроъгълен, ако и трите му ъгъла са остри, тоест по-малки от 90° 3) Ако точката лежи върху.

Или в друга публикация,

Според Питагоровата теорема

Каква е височината във формулата за правоъгълен триъгълник

Височина на правоъгълен триъгълник

Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена към хипотенузата, може да се намери по един или друг начин, в зависимост от данните в формулировката на задачата.

Или в друга публикация,

Където BK и KC са проекциите на катета върху хипотенузата (сегментите, на които височината разделя хипотенузата).

Височината, изтеглена към хипотенузата, може да се намери чрез площта на правоъгълен триъгълник. Ако приложим формулата за намиране на площта на триъгълник

(половината произведение на страна и височината, изтеглена към тази страна) към хипотенузата и височината, изтеглена към хипотенузата, получаваме:

От тук можем да намерим височината като съотношението на удвоената площ на триъгълника към дължината на хипотенузата:

Тъй като площта на правоъгълен триъгълник е половината от произведението на краката:

Тоест дължината на височината, изтеглена към хипотенузата, е равна на съотношението на произведението на краката към хипотенузата. Ако обозначим дължините на катетите през a и b, дължината на хипотенузата през c, формулата може да се пренапише като

Тъй като радиусът на окръжността, описана около правоъгълен триъгълник, е равен на половината от хипотенузата, дължината на височината може да бъде изразена чрез краката и радиуса на описаната окръжност:

Тъй като височината, изтеглена към хипотенузата, образува още два правоъгълни триъгълника, нейната дължина може да се намери чрез съотношенията в правоъгълния триъгълник.

От правоъгълен триъгълник ABK

От правоъгълен триъгълник ACK

Дължината на височината на правоъгълен триъгълник може да се изрази чрез дължините на краката. Защото

Според Питагоровата теорема

Ако поставим на квадрат и двете страни на уравнението:

Можете да получите друга формула за свързване на височината на правоъгълен триъгълник с краката:

Каква е височината във формулата за правоъгълен триъгълник

Правоъгълен триъгълник. Средно ниво.

Искате ли да изпробвате силите си и да разберете резултата от това доколко сте готови за Единния държавен изпит или OGE?

Основната теорема за правоъгълен триъгълник е Питагоровата теорема.

Питагорова теорема

Виждате колко хитро разделихме страните му на отсечки от дължини и!

Сега нека свържем маркираните точки

Тук обаче отбелязахме нещо друго, но вие сами погледнете снимката и се замислете защо.

Каква е площта на по-големия квадрат? Точно така, . Ами по-малката площ? Разбира се,. Общата площ на четирите ъгъла остава. Представете си, че взехме две от тях и се опряхме един на друг с хипотенузи. Какво стана? Два правоъгълника. Така че площта на "резниците" е равна.

Нека сглобим всичко сега.

Така че посетихме Питагор – доказахме неговата теорема по древен начин.

Правоъгълен триъгълник и тригонометрия

За правоъгълен триъгълник са валидни следните отношения:

Синусът на острия ъгъл е равен на съотношението на противоположния катет към хипотенузата

Косинусът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на остър ъгъл е равен на съотношението на противоположния крак към съседния крак.

Котангенсът на остър ъгъл е равен на съотношението на съседния крак към противоположния.

И още веднъж, всичко това под формата на чиния:

Забелязали ли сте едно много удобно нещо? Погледнете внимателно чинията.

Много е удобно!

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници

II. По крак и хипотенуза

III. По хипотенуза и остър ъгъл

IV. По протежение на крака и остър ъгъл

Внимание! Тук е много важно краката да си "съответстват". Например, ако стане така:

ТОГАВА ТРИЪГЪЛНИЦИТЕ НЕ СА РАВНИ, въпреки факта, че имат един идентичен остър ъгъл.

Трябва да И в двата триъгълника кракът е бил съседен, или и в двата - противоположен.

Забелязали ли сте как знаците за равенство на правоъгълните триъгълници се различават от обичайните знаци за равенство на триъгълниците? Разгледайте темата „Триъгълник“ и обърнете внимание на факта, че за равенството на „обикновените“ триъгълници се нуждаете от равенството на техните три елемента: две страни и ъгъл между тях, два ъгъла и страна между тях, или три страни. Но за равенството на правоъгълните триъгълници са достатъчни само два съответни елемента. Страхотно е, нали?

Приблизително същата ситуация с признаци на сходство на правоъгълни триъгълници.

Признаци за сходство на правоъгълни триъгълници

III. По крак и хипотенуза

Медиана в правоъгълен триъгълник

Помислете за цял правоъгълник вместо правоъгълен триъгълник.

Начертайте диагонал и разгледайте точката, където диагоналите се пресичат. Какво знаете за диагоналите на правоъгълника?

Диагоналната пресечна точка разполовява Диагоналите са равни

И какво следва от това?

Така се случи така

Запомнете този факт! Помага много!

Още по-изненадващо е, че обратното също е вярно.

Така че нека започнем с това „освен това. ".

Но в подобни триъгълници всички ъгли са равни!

Същото може да се каже и за и

Сега нека го нарисуваме заедно:

И двете имат еднакви остри ъгли!

Каква полза може да се извлече от това "тройно" сходство.

Е, например - Две формули за височината на правоъгълен триъгълник.

Пишем отношенията на съответните страни:

За да намерим височината, решаваме пропорцията и получаваме Първата формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

Как да получа втори?

И сега прилагаме сходството на триъгълници и.

И така, нека приложим сходството: .

Какво ще стане сега?

Отново решаваме пропорцията и получаваме втората формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

И двете формули трябва да се запомнят много добре и тази, която е по-удобна за прилагане. Нека ги запишем отново.

Е, сега, прилагайки и комбинирайки тези знания с други, ще решите всеки проблем с правоъгълен триъгълник!

Коментари

Разпространението на материали без одобрение е разрешено, ако има връзка dofollow към изходната страница.

Политика за поверителност

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или връзка с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

Следват някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и т.н.

Как използваме вашата лична информация:

Свойството на височината на правоъгълен триъгълник е паднало до хипотенузата

Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкрийте личната си информация. Може също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес. В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния правоприемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние предприемаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на ниво компания

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Благодаря за съобщението!

Вашият коментар е приет, след модериране ще бъде публикуван на тази страница.

Искате ли да знаете какво се крие под разфасовката и да получите ексклузивни материали за подготовка за OGE и USE? Оставете имейл

Свойства на правоъгълен триъгълник

Помислете за правоъгълен триъгълник (ABC)и неговите свойства, което е показано на фигурата. Правоъгълният триъгълник има хипотенуза, страната, противоположна на правия ъгъл. Страните, които образуват прав ъгъл, се наричат крака. Страничен чертеж AD, DC и BD, DC- крака и страни ACИ ЮЗ- хипотенуза.

Признаци за равенство на правоъгълен триъгълник:

Теорема 1. Ако хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник са подобни на хипотенузата и катета на друг триъгълник, то такива триъгълници са равни.

Теорема 2. Ако два катета на правоъгълен триъгълник са равни на два катета на друг триъгълник, то такива триъгълници са равни.

Теорема 3. Ако хипотенузата и острия ъгъл на правоъгълен триъгълник са подобни на хипотенузата и острия ъгъл на друг триъгълник, то такива триъгълници са равни.

Теорема 4. Ако катета и съседния (противоположен) остър ъгъл на правоъгълен триъгълник са равни на катета и съседния (противоположния) остър ъгъл на друг триъгълник, то такива триъгълници са равни.

Свойства на крака срещу ъгъл от 30 °:

Теорема 1.

Височина в правоъгълен триъгълник

В правоъгълен триъгълник с ъгъл 30° катетът, противоположен на този ъгъл, ще се разкъса до половината от хипотенузата.

Теорема 2. Ако в правоъгълен триъгълник катетът е равен на половината от хипотенузата, то противоположният ъгъл е 30°.

Ако височината се изтегли от върха на правия ъгъл до хипотенузата, тогава такъв триъгълник се разделя на два по-малки, подобни на изходящия и подобен един на друг. От това следват следните изводи:

Височината е средното геометрично (средно пропорционално) на двата сегмента на хипотенузата.
Всеки катет на триъгълника е средната пропорционална на хипотенузата и съседните сегменти.

В правоъгълен триъгълник краката действат като височини. Ортоцентърът е точката, където се пресичат височините на триъгълника. Той съвпада с горната част на десния ъгъл на фигурата.

hC- височината, излизаща от правия ъгъл на триъгълника;

АБ- хипотенуза;

АДИ DB- сегментите, възникнали при разделяне на хипотенузата по височина.

Назад към разглеждане на референции по дисциплината "Геометрия"

триъгълнике геометрична фигура, състояща се от три точки (върхове), които не са на една и съща права линия и три отсечки, свързващи тези точки. Правоъгълният триъгълник е триъгълник, който има един от ъглите от 90° (прав ъгъл).
Има една теорема:сумата от острите ъгли на правоъгълен триъгълник е 90°.
система за коментиране CACKLЕ

Ключови думи:триъгълник, правоъгълник, катет, хипотенуза, питагорова теорема, кръг

Триъгълник се обади правоъгълнаако има прав ъгъл.
Правоъгълният триъгълник има две взаимно перпендикулярни страни, наречени крака; третата страна се нарича хипотенуза.

Според свойствата на перпендикулярната и наклонената хипотенуза всеки от катетите е по-дълъг (но по-малък от тяхната сума).
Сумата от два остри ъгъла на правоъгълен триъгълник е равна на правия ъгъл.
Две височини на правоъгълен триъгълник съвпадат с неговите катети. Следователно една от четирите забележителни точки попада върху върховете на правия ъгъл на триъгълника.
Центърът на описаната окръжност на правоъгълен триъгълник лежи в средата на хипотенузата.
Медианата на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл до хипотенузата, е радиусът на окръжността, описана около този триъгълник.

Разгледайте произволен правоъгълен триъгълник ABC и начертайте височина CD = hc от върха C на неговия десен ъгъл.

Той ще раздели дадения триъгълник на два правоъгълни триъгълника ACD и BCD; всеки от тези триъгълници има общ остър ъгъл с триъгълник ABC и следователно е подобен на триъгълник ABC.

И трите триъгълника ABC, ACD и BCD са подобни един на друг.

От сходството на триъгълниците се определят следните отношения:

$$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
c = ac + bc;
$$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
$$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Питагорова теоремаедна от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката между страните на правоъгълен триъгълник.

Геометрична формулировка.В правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху катета.

Алгебрична формулировка.В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катета.
Тоест, обозначавайки дължината на хипотенузата на триъгълника през c и дължините на катетите през a и b:
a2 + b2 = c2

Обратната питагорова теорема.

Височина на правоъгълен триъгълник

За всяка тройка положителни числа a, b и c такива, че
a2 + b2 = c2,
има правоъгълен триъгълник с катети a и b и хипотенуза c.

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

по протежение на крака и хипотенузата;
на два крака;
по протежение на крака и остър ъгъл;
хипотенуза и остър ъгъл.

Вижте също:
Площ на триъгълник, равнобедрен триъгълник, равностранен триъгълник

Геометрия. 8 клас. Тест 4. Опция 1 .

АД : CD=CD : Б.Д. Следователно CD2 = AD ∙ Б.Д. Те казват:

АД : AC=AC : АБ. Следователно AC2 = AB ∙ АД. Те казват:

BD : BC=BC : АБ. Следователно BC2 = AB ∙ Б.Д.

Решавам проблеми:

а) 70 см; б) 55 см; ° С) 65 см; Д) 45 см; д) 53 см

2. Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена към хипотенузата, разделя хипотенузата на отсечки 9 и 36.

Определете дължината на тази височина.

а) 22,5; б) 19; ° С) 9; Д) 12; д) 18.

а) 30,25; б) 24,5; ° С) 18,45; Д) 32; д) 32,25.

а) 25; б) 24; ° С) 27; Д) 26; д) 21.

а) 8; б) 7; ° С) 6; Д) 5; д) 4.

8. Катетът на правоъгълен триъгълник е 30.

Как да намерим височината в правоъгълен триъгълник?

Намерете разстоянието от върха на правия ъгъл до хипотенузата, ако радиусът на окръжността, описана около този триъгълник, е 17.

а) 17; б) 16; ° С) 15; Д) 14; д) 12.

10.

а) 15; б) 18; ° С) 20; Д) 16; д) 12.

а) 80; б) 72; ° С) 64; Д) 81; д) 75.

12.

а) 7,5; б) 8; ° С) 6,25; Д) 8,5; д) 7.

Провери отговорите!

D8.04.1. Пропорционални сегменти в правоъгълен триъгълник

Геометрия. 8 клас. Тест 4. Опция 1 .

В Δ ABC ∠ACV = 90°. AC и BC катети, AB хипотенуза.

CD е височината на триъгълника, изтеглен към хипотенузата.

AD проекция на AC крак върху хипотенузата,

BD проекция на BC крак върху хипотенузата.

Надморска височина CD разделя триъгълника ABC на два триъгълника, подобни на него (и един на друг): Δ ADC и Δ CDB.

От пропорционалността на страните на подобни Δ ADC и Δ CDB следва:

АД : CD=CD : Б.Д.

Свойство на височината на правоъгълен триъгълник, паднала до хипотенузата.

Следователно CD2 = AD ∙ Б.Д. Те казват: височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена към хипотенузата,е средната пропорционална стойност между проекциите на катета върху хипотенузата.

От сходството на Δ ADC и Δ ACB следва:

АД : AC=AC : АБ. Следователно AC2 = AB ∙ АД. Те казват: всеки катет е средната пропорционална стойност между цялата хипотенуза и проекцията на този катет върху хипотенузата.

По същия начин, от сходството на Δ CDB и Δ ACB следва:

BD : BC=BC : АБ. Следователно BC2 = AB ∙ Б.Д.

Решавам проблеми:

1. Намерете височината на правоъгълен триъгълник, начертан на хипотенузата, ако той разделя хипотенузата на отсечки 25 cm и 81 cm.

а) 70 см; б) 55 см; ° С) 65 см; Д) 45 см; д) 53 см

2. Височината на правоъгълен триъгълник, начертан на хипотенузата, разделя хипотенузата на отсечки 9 и 36. Определете дължината на тази височина.

а) 22,5; б) 19; ° С) 9; Д) 12; д) 18.

4. Височината на правоъгълен триъгълник, начертан на хипотенузата, е 22, проекцията на единия катет е 16. Намерете проекцията на другия катет.

а) 30,25; б) 24,5; ° С) 18,45; Д) 32; д) 32,25.

5. Катетът на правоъгълен триъгълник е 18, а проекцията му върху хипотенузата е 12. Намерете хипотенузата.

а) 25; б) 24; ° С) 27; Д) 26; д) 21.

6. Хипотенузата е 32. Намерете катета, чиято проекция върху хипотенузата е 2.

а) 8; б) 7; ° С) 6; Д) 5; д) 4.

7. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 45. Намерете катета, чиято проекция върху хипотенузата е 9.

8. Катетът на правоъгълен триъгълник е 30. Намерете разстоянието от върха на правия ъгъл до хипотенузата, ако радиусът на окръжността, описана около този триъгълник, е 17.

а) 17; б) 16; ° С) 15; Д) 14; д) 12.

10. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 41, а проекцията на един от катетите е 16. Намерете дължината на височината, изтеглена от върха на правия ъгъл до хипотенузата.

а) 15; б) 18; ° С) 20; Д) 16; д) 12.

а) 80; б) 72; ° С) 64; Д) 81; д) 75.

12. Разликата в проекциите на катетите върху хипотенузата е 15, а разстоянието от върха на правия ъгъл до хипотенузата е 4. Намерете радиуса на описаната окръжност.

а) 7,5; б) 8; ° С) 6,25; Д) 8,5; д) 7.

Имот: 1.Във всеки правоъгълен триъгълник надморската височина, паднала от правия ъгъл (до хипотенузата), разделя правоъгълния триъгълник на три подобни триъгълника.

Имот: 2.Височината на правоъгълен триъгълник, спуснат до хипотенузата, е равна на средната геометрична стойност на проекциите на краката върху хипотенузата (или на средната геометрична стойност на тези отсечки, на които височината разделя хипотенузата).

Имот: 3.Катетът е равен на средната геометрична стойност на хипотенузата и проекцията на този катет върху хипотенузата.

Имот: 4.Катетът срещу ъгъл от 30 градуса е равен на половината от хипотенузата.

Формула 1.

Формула 2.където е хипотенузата; , кънки.

Имот: 5.В правоъгълен триъгълник медианата, проведена към хипотенузата, е равна на половината от нея и е равна на радиуса на описаната окръжност.

Свойство: 6. Зависимост между страни и ъгли на правоъгълен триъгълник:

44. Теорема за косинусите. Последици: връзка между диагонали и страни на паралелограма; определяне на вида на триъгълника; формула за изчисляване на дължината на медианата на триъгълник; изчисляване на косинуса на ъгъла на триъгълник.

Край на работата -

Тази тема принадлежи към:

клас. Програма на колоквиума Основи на планиметрията

Свойството на съседни ъгли.. дефиницията на два ъгъла са съседни, ако едната страна имат обща в другите две, образуват права линия..

Ако имате нужда от допълнителен материал по тази тема или не сте намерили това, което търсите, препоръчваме да използвате търсенето в нашата база данни с произведения:

Какво ще правим с получения материал:

Ако този материал се оказа полезен за вас, можете да го запишете на страницата си в социалните мрежи: