constante de Boltzmann (k (\displaystyle k) o k B (\displaystyle k_(\rm (B)))) - una constante física que determina la relación entre temperatura y energía. Debe su nombre al físico austriaco Ludwig Boltzmann, quien hizo importantes contribuciones a la física estadística, en la que esta constante juega un papel clave. Su valor experimental en el Sistema Internacional de Unidades (SI) es:
k = 1,380 648 52 (79) × 10 − 23 (\displaystyle k=1(,)380\,648\,52(79)\times 10^(-23)) J/.Los números entre paréntesis indican el error estándar en los últimos dígitos del valor de la cantidad.
YouTube enciclopédico
1 / 3
✪ Radiación térmica. ley de stefan-boltzmann
✪ Modelo de distribución de Boltzmann.
✪ Física. MKT: Ecuación de Mendeleev-Clapeyron para un gas ideal. Centro de aprendizaje en línea de Foxford
Subtítulos
Relación entre temperatura y energía.
En un gas ideal homogéneo a temperatura absoluta. T (\displaystyle T), la energía por cada grado de libertad de traslación es igual, como se desprende de la distribución de Maxwell, k T / 2 (\displaystyle kT/2). A temperatura ambiente (300 ) esta energía es 2, 07 × 10 − 21 (\displaystyle 2(,)07\times 10^(-21)) J, o 0,013 eV. En un gas ideal monoatómico, cada átomo tiene tres grados de libertad correspondientes a tres ejes espaciales, lo que significa que cada átomo tiene una energía de 3 2 k T (\displaystyle (\frac (3)(2))kT).
Conociendo la energía térmica, podemos calcular la velocidad cuadrática media de los átomos, que es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa atómica. La velocidad cuadrática media a temperatura ambiente varía de 1370 m/s para el helio a 240 m/s para el xenón. En el caso de un gas molecular, la situación se vuelve más complicada, por ejemplo, un gas diatómico tiene cinco grados de libertad (a bajas temperaturas, cuando las vibraciones de los átomos en la molécula no están excitadas).
Definición de entropía
La entropía de un sistema termodinámico se define como el logaritmo natural del número de microestados diferentes. Z (\displaystyle Z), correspondiente a un estado macroscópico determinado (por ejemplo, un estado con una energía total determinada).
S = k ln Z . (\displaystyle S=k\ln Z.)Factor de proporcionalidad k (\displaystyle k) y es la constante de Boltzmann. Esta es una expresión que define la relación entre lo microscópico ( Z (\displaystyle Z)) y estados macroscópicos ( S (\displaystyle S)), expresa la idea central de la mecánica estadística.
Fijación de valor asumido
La XXIV Conferencia General de Pesos y Medidas, celebrada del 17 al 21 de octubre de 2011, adoptó una resolución en la que, en particular, se proponía que la futura revisión del Sistema Internacional de Unidades se llevara a cabo de forma que fijar el valor de la constante de Boltzmann, después de lo cual se considerará definida exactamente. Como resultado, se ejecutará. exacto igualdad k=1,380 6X⋅10 −23 J/K, donde X representa una o más cifras significativas, que se determinarán con mayor detalle en función de las recomendaciones CODATA más precisas. Esta supuesta fijación está asociada al deseo de redefinir la unidad de temperatura termodinámica kelvin, relacionando su valor con el valor de la constante de Boltzmann.
La constante de Boltzmann, que es un coeficiente igual a k = 1,38 · 10 - 23 J K, forma parte de un número importante de fórmulas en física. Debe su nombre al físico austriaco, uno de los fundadores de la teoría cinética molecular. Formulemos la definición de la constante de Boltzmann:
Definición 1
constante de Boltzmann es una constante física que se utiliza para determinar la relación entre energía y temperatura.
No debe confundirse con la constante de Stefan-Boltzmann, que está asociada a la radiación de energía de un cuerpo completamente sólido.
Existen varios métodos para calcular este coeficiente. En este artículo veremos dos de ellos.
Encontrar la constante de Boltzmann mediante la ecuación del gas ideal
Esta constante se puede encontrar usando la ecuación que describe el estado de un gas ideal. Se puede determinar experimentalmente que calentar cualquier gas desde T 0 = 273 K hasta T 1 = 373 K produce un cambio en su presión de p 0 = 1,013 10 5 Pa a p 0 = 1,38 10 5 Pa. Este es un experimento bastante simple que se puede realizar incluso solo con aire. Para medir la temperatura, debe usar un termómetro y la presión, un manómetro. Es importante recordar que el número de moléculas en un mol de cualquier gas es aproximadamente igual a 6 · 10 23, y el volumen a una presión de 1 atm es igual a V = 22,4 litros. Teniendo en cuenta todos estos parámetros, podemos proceder a calcular la constante de Boltzmann k:
Para hacer esto, escribimos la ecuación dos veces, sustituyéndole los parámetros de estado.
Conociendo el resultado, podemos encontrar el valor del parámetro k:
Encontrar la constante de Boltzmann mediante la fórmula del movimiento browniano
Para el segundo método de cálculo, también necesitaremos realizar un experimento. Para hacer esto, tome un espejo pequeño y cuélguelo en el aire con un hilo elástico. Supongamos que el sistema espejo-aire se encuentra en un estado estable (equilibrio estático). Las moléculas de aire chocan contra el espejo, que esencialmente se comporta como una partícula browniana. Sin embargo, teniendo en cuenta su estado suspendido, podemos observar vibraciones rotacionales alrededor de un determinado eje coincidente con la suspensión (rosca dirigida verticalmente). Ahora dirijamos un rayo de luz sobre la superficie del espejo. Incluso con pequeños movimientos y rotaciones del espejo, el haz reflejado en él se desplazará notablemente. Esto nos da la oportunidad de medir las vibraciones rotacionales de un objeto.
Denotando el módulo de torsión como L, el momento de inercia del espejo con respecto al eje de rotación como J y el ángulo de rotación del espejo como φ, podemos escribir la ecuación de oscilación de la siguiente forma:
El signo menos en la ecuación está asociado con la dirección del momento de las fuerzas elásticas, que tiende a devolver el espejo a su posición de equilibrio. Ahora multipliquemos ambos lados por φ, integremos el resultado y obtenemos:
La siguiente ecuación es la ley de conservación de la energía, que se cumplirá para estas vibraciones (es decir, la energía potencial se transformará en energía cinética y viceversa). Podemos considerar estas vibraciones como armónicas, por tanto:
Al derivar una de las fórmulas anteriores, utilizamos la ley de distribución uniforme de energía en grados de libertad. Entonces podemos escribirlo así:
Como ya hemos dicho, se puede medir el ángulo de rotación. Entonces, si la temperatura es de aproximadamente 290 K y el módulo de torsión L ≈ 10 - 15 N m; φ ≈ 4 · 10 - 6, entonces podemos calcular el valor del coeficiente que necesitamos de la siguiente manera:
Por tanto, conociendo los conceptos básicos del movimiento browniano, podemos encontrar la constante de Boltzmann midiendo macroparámetros.
Valor constante de Boltzmann
La importancia del coeficiente en estudio es que se puede utilizar para relacionar los parámetros del micromundo con aquellos parámetros que describen el macromundo, por ejemplo, la temperatura termodinámica con la energía del movimiento de traslación de las moléculas:
Este coeficiente está incluido en las ecuaciones de la energía promedio de una molécula, el estado de un gas ideal, la teoría cinética de los gases, la distribución de Boltzmann-Maxwell y muchas otras. La constante de Boltzmann también es necesaria para determinar la entropía. Desempeña un papel importante en el estudio de semiconductores, por ejemplo, en la ecuación que describe la dependencia de la conductividad eléctrica de la temperatura.
Ejemplo 1
Condición: Calcule la energía promedio de una molécula de gas que consta de moléculas N-atómicas a una temperatura T, sabiendo que todos los grados de libertad están excitados en las moléculas: rotacional, traslacional, vibratoria. Todas las moléculas se consideran volumétricas.
Solución
La energía se distribuye uniformemente entre los grados de libertad de cada uno de sus grados, lo que significa que estos grados tendrán la misma energía cinética. Será igual a ε i = 1 2 k T . Luego para calcular la energía promedio podemos usar la fórmula:
ε = i 2 k T , donde i = m p o s t + m υ r + 2 m k o l representa la suma de los grados de libertad de rotación traslacional. La letra k denota la constante de Boltzmann.
Pasemos a determinar el número de grados de libertad de la molécula:
m p o s t = 3, m υ r = 3, lo que significa m k o l = 3 N - 6.
yo = 6 + 6 norte - 12 = 6 norte - 6 ; ε = 6 norte - 6 2 k T = 3 norte - 3 k T .
Respuesta: En estas condiciones, la energía promedio de la molécula será igual a ε = 3 N - 3 k T.
Ejemplo 2
Condición: es una mezcla de dos gases ideales cuya densidad en condiciones normales es igual a p. Determine cuál será la concentración de un gas en la mezcla, siempre que conozcamos las masas molares de ambos gases μ 1, μ 2.
Solución
Primero, calculemos la masa total de la mezcla.
metro = ρ V = norte 1 metro 01 + norte 2 metro 02 = norte 1 V metro 01 + norte 2 V metro 02 → ρ = norte 1 metro 01 + norte 2 metro 02.
El parámetro m 01 denota la masa de una molécula de un gas, m 02 – la masa de una molécula de otro, n 2 – la concentración de moléculas de un gas, n 2 – la concentración del segundo. La densidad de la mezcla es ρ.
Ahora a partir de esta ecuación expresamos la concentración del primer gas:
norte 1 = ρ - norte 2 metro 02 metro 01 ; n 2 = n - n 1 → n 1 = ρ - (n - n 1) m 02 m 01 → n 1 = ρ - n m 02 + n 1 m 02 m 01 → n 1 m 01 - n 1 m 02 = ρ - norte metro 02 → norte 1 (metro 01 - metro 02) = ρ - norte metro 02.
pags = norte k T → norte = pag k T .
Sustituyamos el valor igual resultante:
norte 1 (metro 01 - metro 02) = ρ - p k T metro 02 → norte 1 = ρ - p k T metro 02 (metro 01 - metro 02) .
Como conocemos las masas molares de los gases, podemos encontrar las masas de las moléculas del primer y segundo gas:
m 01 = μ 1 N A, m 02 = μ 2 N A.
También sabemos que la mezcla de gases es en condiciones normales, es decir. la presión es de 1 at m y la temperatura es de 290 K. Esto significa que podemos considerar el problema resuelto.
Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter
Como ciencia cuantitativa exacta, la física no puede prescindir de un conjunto de constantes muy importantes que se incluyen como coeficientes universales en ecuaciones que establecen relaciones entre determinadas cantidades. Se trata de constantes fundamentales, gracias a las cuales dichas relaciones se vuelven invariantes y pueden explicar el comportamiento de los sistemas físicos a diferentes escalas.
Entre los parámetros que caracterizan las propiedades inherentes a la materia de nuestro Universo se encuentra la constante de Boltzmann, una magnitud incluida en varias de las ecuaciones más importantes. Sin embargo, antes de pasar a considerar sus características y significado, no podemos dejar de decir algunas palabras sobre el científico cuyo nombre lleva.
Ludwig Boltzmann: logros científicos
Uno de los más grandes científicos del siglo XIX, el austriaco Ludwig Boltzmann (1844-1906), hizo una importante contribución al desarrollo de la teoría cinética molecular, convirtiéndose en uno de los creadores de la mecánica estadística. Fue autor de la hipótesis ergódica, un método estadístico en la descripción de un gas ideal y de la ecuación básica de la cinética física. Trabajó mucho en cuestiones de termodinámica (teorema H de Boltzmann, principio estadístico de la segunda ley de la termodinámica), teoría de la radiación (ley de Stefan-Boltzmann). En sus obras también abordó algunas cuestiones de electrodinámica, óptica y otras ramas de la física. Su nombre está inmortalizado en dos constantes físicas, de las que hablaremos a continuación.
Ludwig Boltzmann fue un partidario convencido y consecuente de la teoría de la estructura atómico-molecular de la materia. Durante muchos años tuvo que luchar contra la incomprensión y el rechazo de estas ideas en la comunidad científica de la época, cuando muchos físicos consideraban que los átomos y las moléculas eran una abstracción innecesaria, en el mejor de los casos, un dispositivo convencional para facilitar los cálculos. Una dolorosa enfermedad y los ataques de colegas conservadores provocaron en Boltzmann una grave depresión que, incapaz de soportar, llevó al destacado científico al suicidio. En la tumba, encima del busto de Boltzmann, como señal de reconocimiento a sus méritos, está grabada la ecuación S = k∙logW, uno de los resultados de su fructífero trabajo científico. La constante k en esta ecuación es la constante de Boltzmann.
Energía de las moléculas y temperatura de la materia.
El concepto de temperatura sirve para caracterizar el grado de calentamiento de un cuerpo en particular. En física, se utiliza una escala de temperatura absoluta, que se basa en la conclusión de la teoría cinética molecular sobre la temperatura como medida que refleja la cantidad de energía del movimiento térmico de las partículas de una sustancia (es decir, por supuesto, la energía cinética promedio de un conjunto de partículas).
Tanto el julio SI como el ergio utilizados en el sistema CGS son unidades demasiado grandes para expresar la energía de las moléculas y, en la práctica, era muy difícil medir la temperatura de esta manera. Una unidad de temperatura cómoda es el grado, y la medición se realiza de forma indirecta, registrando las características macroscópicas cambiantes de una sustancia, por ejemplo el volumen.
¿Cómo se relacionan la energía y la temperatura?
Para calcular los estados de la materia real a temperaturas y presiones cercanas a la normal se utiliza con éxito el modelo de un gas ideal, es decir, aquel cuyo tamaño molecular es mucho menor que el volumen que ocupa una determinada cantidad de gas, y la distancia entre partículas excede significativamente el radio de su interacción. Con base en las ecuaciones de la teoría cinética, la energía promedio de tales partículas se determina como E av = 3/2∙kT, donde E es la energía cinética, T es la temperatura y 3/2∙k es el coeficiente de proporcionalidad introducido por Boltzmann. El número 3 aquí caracteriza el número de grados de libertad del movimiento de traslación de las moléculas en tres dimensiones espaciales.
El valor k, que más tarde recibió el nombre de constante de Boltzmann en honor al físico austriaco, muestra cuánto de un julio o ergio contiene un grado. En otras palabras, su valor determina cuánto aumenta estadísticamente, en promedio, la energía del movimiento térmico caótico de una partícula de un gas monoatómico ideal, en promedio, con un aumento de temperatura de 1 grado.
¿Cuántas veces es un grado menor que un julio?
El valor numérico de esta constante se puede obtener de varias maneras, por ejemplo, midiendo la temperatura y la presión absolutas, utilizando la ecuación del gas ideal o utilizando un modelo de movimiento browniano. La derivación teórica de este valor con el nivel actual de conocimiento no es posible.
La constante de Boltzmann es igual a 1,38 × 10 -23 J/K (aquí K es kelvin, un grado en la escala de temperatura absoluta). Para un grupo de partículas en 1 mol de gas ideal (22,4 litros), el coeficiente que relaciona la energía con la temperatura (constante universal de los gases) se obtiene multiplicando la constante de Boltzmann por el número de Avogadro (el número de moléculas en un mol): R = kN A, y es 8,31 J/(mol∙kelvin). Sin embargo, a diferencia de esta última, la constante de Boltzmann es de naturaleza más universal, ya que está incluida en otras relaciones importantes y también sirve para determinar otra constante física.
Distribución estadística de energías moleculares.
Dado que los estados macroscópicos de la materia son el resultado del comportamiento de una gran colección de partículas, se describen mediante métodos estadísticos. Esto último también incluye descubrir cómo se distribuyen los parámetros energéticos de las moléculas de gas:
- Distribución maxwelliana de energías cinéticas (y velocidades). Muestra que en un gas en estado de equilibrio, la mayoría de las moléculas tienen velocidades cercanas a alguna velocidad más probable v = √(2kT/m 0), donde m 0 es la masa de la molécula.
- Distribución de Boltzmann de energías potenciales para gases ubicados en el campo de cualquier fuerza, por ejemplo, la gravedad de la Tierra. Depende de la relación entre dos factores: la atracción hacia la Tierra y el caótico movimiento térmico de las partículas de gas. Como resultado, cuanto menor es la energía potencial de las moléculas (más cerca de la superficie del planeta), mayor es su concentración.
Ambos métodos estadísticos se combinan en una distribución de Maxwell-Boltzmann que contiene un factor exponencial e - E/ kT, donde E es la suma de las energías cinética y potencial, y kT es la energía promedio ya conocida del movimiento térmico, controlada por la constante de Boltzmann.
Constante k y entropía
En sentido general, la entropía se puede caracterizar como una medida de la irreversibilidad de un proceso termodinámico. Esta irreversibilidad está asociada a la disipación -disipación- de la energía. En el enfoque estadístico propuesto por Boltzmann, la entropía es función del número de formas en que se puede realizar un sistema físico sin cambiar su estado: S = k∙lnW.
Aquí la constante k especifica la escala de crecimiento de la entropía con un aumento en este número (W) de opciones de implementación del sistema, o microestados. Max Planck, quien llevó esta fórmula a su forma moderna, sugirió darle a la constante k el nombre de Boltzmann.
Ley de radiación de Stefan-Boltzmann
La ley física que establece cómo depende la luminosidad energética (potencia de radiación por unidad de superficie) de un cuerpo absolutamente negro de su temperatura tiene la forma j = σT 4, es decir, el cuerpo emite proporcionalmente a la cuarta potencia de su temperatura. Esta ley se utiliza, por ejemplo, en astrofísica, ya que la radiación de las estrellas tiene características cercanas a la radiación del cuerpo negro.
En esta relación hay otra constante, que también controla la escala del fenómeno. Esta es la constante de Stefan-Boltzmann σ, que es aproximadamente 5,67 × 10 -8 W/(m 2 ∙K 4). Su dimensión incluye los grados Kelvin, lo que significa que está claro que aquí también interviene la constante de Boltzmann k. De hecho, el valor de σ se define como (2π 2 ∙k 4)/(15c 2 h 3), donde c es la velocidad de la luz y h es la constante de Planck. Así, la constante de Boltzmann, combinada con otras constantes mundiales, forma una cantidad que nuevamente conecta la energía (potencia) y la temperatura, en este caso en relación con la radiación.
La esencia física de la constante de Boltzmann.
Ya se señaló anteriormente que la constante de Boltzmann es una de las llamadas constantes fundamentales. La cuestión no es sólo que nos permite establecer una conexión entre las características de los fenómenos microscópicos a nivel molecular y los parámetros de los procesos observados en el macrocosmos. Y no sólo eso, esta constante está incluida en una serie de ecuaciones importantes.
Actualmente se desconoce si existe algún principio físico a partir del cual se pueda deducir teóricamente. En otras palabras, de nada se sigue que el valor de una constante dada deba ser exactamente ese. Podríamos usar otras cantidades y otras unidades en lugar de grados como medida de cumplimiento de la energía cinética de las partículas, entonces el valor numérico de la constante sería diferente, pero seguiría siendo un valor constante. Junto con otras cantidades fundamentales de este tipo (la velocidad límite c, la constante de Planck h, la carga elemental e, la constante gravitacional G), la ciencia acepta la constante de Boltzmann como un dato de nuestro mundo y la utiliza para una descripción teórica de la física. procesos que ocurren en él.
(k o kB) es una constante física que define la relación entre temperatura y energía. Debe su nombre al físico austriaco Ludwig Boltzmann, quien realizó importantes contribuciones a la física estadística, en la que ésta se convirtió en una posición clave. Su valor experimental en el sistema SI esLos números entre paréntesis indican el error estándar en los últimos dígitos del valor de la cantidad. En principio, la constante de Boltzmann se puede obtener a partir de la definición de temperatura absoluta y otras constantes físicas (para hacer esto, es necesario poder calcular la temperatura del punto triple del agua a partir de los primeros principios). Pero determinar la constante de Boltzmann utilizando primeros principios es demasiado complejo y poco realista con el desarrollo actual del conocimiento en este campo.
La constante de Boltzmann es una constante física redundante si se mide la temperatura en unidades de energía, lo que se hace muy a menudo en física. Se trata, de hecho, de una conexión entre una cantidad bien definida: energía y grado, cuyo significado se ha desarrollado históricamente.
Definición de entropía
La entropía de un sistema termodinámico se define como el logaritmo natural del número de microestados Z diferentes correspondientes a un estado macroscópico determinado (por ejemplo, estados con una energía total determinada).
Factor de proporcionalidad k y es la constante de Boltzmann. Esta expresión, que define la relación entre características microscópicas (Z) y macroscópicas (S), expresa la idea principal (central) de la mecánica estadística.
