¿Has oído alguna vez que a las matemáticas se las llama “la reina de todas las ciencias”? ¿Está de acuerdo con esta afirmación? Mientras las matemáticas sigan siendo para usted un conjunto de problemas aburridos en un libro de texto, es poco probable que experimente la belleza, la versatilidad e incluso el humor de esta ciencia.
Pero hay temas en matemáticas que ayudan a hacer observaciones interesantes sobre cosas y fenómenos que nos son comunes. E incluso intentar traspasar el velo del misterio de la creación de nuestro Universo. Hay patrones interesantes en el mundo que pueden describirse utilizando las matemáticas.
Introduciendo los números de Fibonacci
Números de Fibonacci nombrar los elementos de una secuencia numérica. En él, cada número siguiente de una serie se obtiene sumando los dos números anteriores.
Secuencia de ejemplo: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…
Puedes escribirlo así:
F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2
Puedes iniciar una serie de números de Fibonacci con valores negativos. norte. Además, la secuencia en este caso es bidireccional (es decir, cubre números negativos y positivos) y tiende al infinito en ambas direcciones.
Un ejemplo de tal secuencia: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.
La fórmula en este caso se ve así:
F norte = F norte +1 - F norte +2 o sino puedes hacer esto: F -n = (-1) n+1 Fn.
Lo que hoy conocemos como “números de Fibonacci” ya lo conocían los antiguos matemáticos indios mucho antes de que comenzaran a utilizarse en Europa. Y este nombre es generalmente una anécdota histórica continua. Comencemos con el hecho de que el propio Fibonacci nunca se llamó Fibonacci durante su vida; este nombre comenzó a aplicarse a Leonardo de Pisa solo unos siglos después de su muerte. Pero hablemos de todo en orden.
Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci
Hijo de un comerciante que se convirtió en matemático y posteriormente recibió el reconocimiento de la posteridad como el primer matemático importante de Europa durante la Edad Media. Sobre todo gracias a los números de Fibonacci (que, recordemos, todavía no se llamaban así). Lo cual describió a principios del siglo XIII en su obra “Liber abaci” (“Libro del Ábaco”, 1202).
Viajé con mi padre a Oriente, Leonardo estudió matemáticas con profesores árabes (y en aquella época estaban entre los mejores especialistas en esta materia y en muchas otras ciencias). Leyó las obras de matemáticos de la Antigüedad y la India antigua en traducciones al árabe.
Después de comprender a fondo todo lo que había leído y utilizando su propia mente inquisitiva, Fibonacci escribió varios tratados científicos sobre matemáticas, incluido el mencionado "Libro del Ábaco". Además de esto creé:
- "Practica geometriae" ("Práctica de la Geometría", 1220);
- "Flos" ("Flor", 1225 - un estudio sobre ecuaciones cúbicas);
- "Liber quadratorum" ("Libro de los cuadrados", 1225 - problemas sobre ecuaciones cuadráticas indefinidas).
Era un gran aficionado a los torneos matemáticos, por lo que en sus tratados prestó mucha atención al análisis de diversos problemas matemáticos.
Queda muy poca información biográfica sobre la vida de Leonardo. En cuanto al nombre Fibonacci, con el que entró en la historia de las matemáticas, no se le asignó hasta el siglo XIX.
Fibonacci y sus problemas
Después de Fibonacci quedaron una gran cantidad de problemas que fueron muy populares entre los matemáticos en los siglos siguientes. Veremos el problema del conejo, que se resuelve utilizando números de Fibonacci.
Los conejos no sólo son pieles valiosas
Fibonacci estableció las siguientes condiciones: hay un par de conejos recién nacidos (macho y hembra) de una raza tan interesante que regularmente (a partir del segundo mes) producen descendencia; siempre un nuevo par de conejos. Además, como podrás imaginar, un hombre y una mujer.
Estos conejos condicionales se colocan en un espacio reducido y se reproducen con entusiasmo. También se estipula que ningún conejo muere a causa de alguna misteriosa enfermedad de los conejos.
Necesitamos calcular cuántos conejos tendremos en un año.
- Al comienzo de 1 mes tenemos 1 par de conejos. A finales de mes se aparean.
- El segundo mes, ya tenemos 2 parejas de conejos (una pareja tiene padres + 1 pareja es su descendencia).
- Tercer mes: La primera pareja da a luz a una nueva pareja, la segunda pareja se aparea. Total: 3 pares de conejos.
- Cuarto mes: La primera pareja da a luz a una nueva pareja, la segunda pareja no pierde el tiempo y también da a luz a una nueva pareja, la tercera pareja todavía está apenas apareándose. Total: 5 pares de conejos.
Número de conejos en norte mes = número de parejas de conejos del mes anterior + número de parejas recién nacidas (hay la misma cantidad de parejas de conejos que parejas de conejos había 2 meses antes). Y todo esto se describe mediante la fórmula que ya hemos dado anteriormente: F norte = F norte-1 + F norte-2.
Así, obtenemos una recurrente (explicación sobre recursividad– abajo) secuencia numérica. En el que cada número siguiente es igual a la suma de los dos anteriores:
- 1 + 1 = 2
- 2 + 1 = 3
- 3 + 2 = 5
- 5 + 3 = 8
- 8 + 5 = 13
- 13 + 8 = 21
- 21 + 13 = 34
- 34 + 21 = 55
- 55 + 34 = 89
- 89 + 55 = 144
- 144 + 89 = 233
- 233+ 144 = 377 <…>
Puedes continuar la secuencia durante mucho tiempo: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987.<…>. Pero como hemos fijado un período específico, un año, nos interesa el resultado obtenido en el duodécimo "movimiento". Aquellos. 13.º miembro de la secuencia: 377.
La respuesta al problema: se obtendrán 377 conejos si se cumplen todas las condiciones establecidas.
Una de las propiedades de la secuencia numérica de Fibonacci es muy interesante. Si tomas dos pares consecutivos de una serie y divides el número mayor por el menor, el resultado se acercará gradualmente proporción áurea(puedes leer más sobre esto más adelante en el artículo).
En términos matemáticos, "el límite de las relaciones un n+1 A un igual a la proporción áurea".
Más problemas de teoría de números
- Encuentra un número que se pueda dividir entre 7. Además, si lo divides entre 2, 3, 4, 5, 6, el resto será uno.
- Encuentra el número cuadrado. Se sabe que si le sumas 5 o le restas 5, obtienes nuevamente un número cuadrado.
Le sugerimos que busque usted mismo las respuestas a estos problemas. Puedes dejarnos tus opciones en los comentarios de este artículo. Y luego te diremos si tus cálculos fueron correctos.
Explicación de la recursividad
recursividad– definición, descripción, imagen de un objeto o proceso que contiene este objeto o proceso en sí. Es decir, en esencia, un objeto o proceso es parte de sí mismo.
La recursividad se utiliza ampliamente en matemáticas e informática, e incluso en arte y cultura popular.
Los números de Fibonacci se determinan mediante una relación de recurrencia. por numero norte>2 norte- el numero es igual (norte – 1) + (norte – 2).
Explicación de la proporción áurea.
proporción áurea- dividir un todo (por ejemplo, un segmento) en partes que están relacionadas según el siguiente principio: la parte más grande está relacionada con la más pequeña de la misma manera que el valor completo (por ejemplo, la suma de dos segmentos) está relacionado a la mayor parte.
La primera mención de la proporción áurea se puede encontrar en Euclides en su tratado "Elementos" (alrededor del 300 a. C.). En el contexto de la construcción de un rectángulo regular.
El término que conocemos fue introducido en circulación en 1835 por el matemático alemán Martin Ohm.
Si describimos aproximadamente la proporción áurea, representa una división proporcional en dos partes desiguales: aproximadamente 62% y 38%. En términos numéricos, la proporción áurea es el número 1,6180339887 .
La proporción áurea encuentra aplicación práctica en las bellas artes (pinturas de Leonardo da Vinci y otros pintores del Renacimiento), arquitectura, cine (“El acorazado Potemkin” de S. Esenstein) y otras áreas. Durante mucho tiempo se creyó que la proporción áurea es la proporción más estética. Esta opinión sigue siendo popular hoy en día. Aunque, según los resultados de la investigación, visualmente la mayoría de las personas no perciben esta proporción como la opción más exitosa y la consideran demasiado alargada (desproporcionada).
- Longitud de la sección Con = 1, A = 0,618, b = 0,382.
- Actitud Con A A = 1, 618.
- Actitud Con A b = 2,618
Ahora volvamos a los números de Fibonacci. Tomemos dos términos consecutivos de su secuencia. Divida el número mayor por el número menor y obtenga aproximadamente 1,618. Y ahora usamos el mismo número mayor y el siguiente miembro de la serie (es decir, un número aún mayor); su relación es de 0,618.
Aquí hay un ejemplo: 144, 233, 377.
233/144 = 1,618 y 233/377 = 0,618
Por cierto, si intentas hacer el mismo experimento con números del principio de la secuencia (por ejemplo, 2, 3, 5), nada funcionará. Casi. La regla de la proporción áurea apenas se sigue al comienzo de la secuencia. Pero a medida que avanzas en la serie y los números aumentan, funciona muy bien.
Y para calcular toda la serie de números de Fibonacci, basta con conocer tres términos de la secuencia, uno tras otro. ¡Puedes verlo por ti mismo!
Rectángulo Dorado y Espiral de Fibonacci
Otro paralelo interesante entre los números de Fibonacci y la proporción áurea es el llamado “rectángulo áureo”: sus lados están en proporción 1,618 a 1. Pero ya sabemos qué es el número 1,618, ¿verdad?
Por ejemplo, tomemos dos términos consecutivos de la serie de Fibonacci (8 y 13) y construyamos un rectángulo con los siguientes parámetros: ancho = 8, largo = 13.
Y luego dividiremos el rectángulo grande en otros más pequeños. Condición obligatoria: las longitudes de los lados de los rectángulos deben corresponder a los números de Fibonacci. Aquellos. La longitud de los lados del rectángulo más grande debe ser igual a la suma de los lados de los dos rectángulos más pequeños.
La forma en que está hecho en esta figura (por conveniencia, las figuras están firmadas en letras latinas).
Por cierto, puedes construir rectángulos en orden inverso. Aquellos. se comienza a construir con cuadrados de lado 1. Para lo cual, guiados por el principio expuesto anteriormente, se completan figuras con lados iguales a los números de Fibonacci. En teoría, esto puede continuar indefinidamente; después de todo, la serie de Fibonacci es formalmente infinita.
Si conectamos las esquinas de los rectángulos obtenidos en la figura con una línea suave, obtenemos una espiral logarítmica. O mejor dicho, su caso especial es la espiral de Fibonacci. Se caracteriza, en particular, por no tener fronteras y no cambiar de forma.
Una espiral similar se encuentra a menudo en la naturaleza. Las conchas de almeja son uno de los ejemplos más llamativos. Además, algunas galaxias que se pueden ver desde la Tierra tienen forma de espiral. Si prestas atención a las previsiones meteorológicas de la televisión, te habrás dado cuenta de que los ciclones tienen una forma de espiral similar cuando se fotografían desde satélites.
Es curioso que la hélice del ADN también obedezca la regla de la sección áurea: en los intervalos de sus curvas se puede ver el patrón correspondiente.
Estas "coincidencias" sorprendentes no pueden dejar de excitar las mentes y dar lugar a hablar de un algoritmo único al que obedecen todos los fenómenos de la vida del Universo. ¿Ahora entiendes por qué este artículo se llama así? ¿Y qué tipo de mundos asombrosos pueden abrirte las matemáticas?
Números de Fibonacci en la naturaleza.
La conexión entre los números de Fibonacci y la proporción áurea sugiere patrones interesantes. Tan curioso que resulta tentador intentar encontrar secuencias similares a los números de Fibonacci en la naturaleza e incluso durante acontecimientos históricos. Y la naturaleza realmente da lugar a tales suposiciones. Pero, ¿se puede explicar y describir todo en nuestra vida utilizando las matemáticas?
Ejemplos de seres vivos que se pueden describir mediante la secuencia de Fibonacci:
- la disposición de las hojas (y ramas) de las plantas: las distancias entre ellas están correlacionadas con los números de Fibonacci (filotaxis);
- disposición de las semillas de girasol (las semillas están dispuestas en dos filas de espirales retorcidas en diferentes direcciones: una fila en el sentido de las agujas del reloj y la otra en el sentido contrario a las agujas del reloj);
- disposición de escamas de piñas;
- Pétalos de flor;
- células de piña;
- relación de las longitudes de las falanges de los dedos de la mano humana (aproximadamente), etc.
Problemas de combinatoria
Los números de Fibonacci se utilizan ampliamente para resolver problemas de combinatoria.
combinatoria es una rama de las matemáticas que estudia la selección de un determinado número de elementos de un conjunto designado, enumeración, etc.
Veamos ejemplos de problemas de combinatoria diseñados para el nivel de escuela secundaria (fuente: http://www.problems.ru/).
Tarea 1:
Lesha sube una escalera de 10 escalones. En un momento dado salta uno o dos escalones. ¿De cuántas maneras puede Lesha subir las escaleras?
El número de formas en que Lesha puede subir las escaleras desde norte pasos, denotemos y N. Resulta que un 1 = 1, un 2= 2 (después de todo, Lesha salta uno o dos pasos).
También se acuerda que Lesha salte las escaleras desde n> 2 pasos. Digamos que saltó dos pasos la primera vez. Esto significa que, según las condiciones del problema, necesita saltar otro norte – 2 pasos. Luego, el número de formas de completar el ascenso se describe como un n-2. Y si asumimos que la primera vez que Lesha saltó solo un escalón, entonces describimos el número de formas de terminar el ascenso como un n–1.
De aquí obtenemos la siguiente igualdad: un norte = un norte – 1 + un norte – 2(Parece familiar, ¿no?).
ya que sabemos un 1 Y un 2 y recuerda que según las condiciones del problema hay 10 pasos, calcula todos en orden y N: un 3 = 3, un 4 = 5, un 5 = 8, un 6 = 13, un 7 = 21, un 8 = 34, un 9 = 55, un 10 = 89.
Respuesta: 89 formas.
Tarea 2:
Debes encontrar la cantidad de palabras de 10 letras que constan solo de las letras “a” y “b” y no deben contener dos letras “b” seguidas.
Denotemos por un número de palabras longitud norte letras que constan únicamente de las letras “a” y “b” y no contienen dos letras “b” seguidas. Medio, un 1= 2, un 2= 3.
En secuencia un 1, un 2, <…>, un expresaremos a cada uno de sus próximos integrantes a través de los anteriores. Por lo tanto, el número de palabras de longitud es norte Las letras que tampoco contienen una doble letra “b” y comienzan con la letra “a” son un n–1. Y si la palabra es larga norte las letras comienzan con la letra "b", es lógico que la siguiente letra en dicha palabra sea "a" (después de todo, no puede haber dos "b" según las condiciones del problema). Por lo tanto, el número de palabras de longitud es norte en este caso denotamos las letras como un n-2. Tanto en el primer como en el segundo caso, cualquier palabra (longitud de norte – 1 Y norte – 2 letras respectivamente) sin doble “b”.
Pudimos justificar por qué un norte = un norte – 1 + un norte – 2.
Calculemos ahora un 3= un 2+ un 1= 3 + 2 = 5, un 4= un 3+ un 2= 5 + 3 = 8, <…>, un 10= un 9+ un 8= 144. Y obtenemos la conocida secuencia de Fibonacci.
Respuesta: 144.
Tarea #3:
Imaginemos que hay una cinta dividida en celdas. Va hacia la derecha y dura indefinidamente. Coloca un saltamontes en el primer cuadrado de la cinta. Cualquiera que sea la celda de la cinta en la que se encuentre, solo puede moverse hacia la derecha: una celda o dos. ¿Cuántas formas hay en las que un saltamontes puede saltar desde el principio de la cinta hasta norte-ésimas células?
Denotemos el número de formas de mover un saltamontes a lo largo del cinturón para norte-ésimas células como un. En este caso un 1 = un 2= 1. También en n+1 El saltamontes puede ingresar a la celda -ésima desde norte-ésima celda, o saltando sobre ella. De aquí un n + 1 = un – 1 + un. Dónde un = Fn – 1.
Respuesta: Fn – 1.
Puedes crear problemas similares tú mismo e intentar resolverlos en lecciones de matemáticas con tus compañeros.
Los números de Fibonacci en la cultura popular
Por supuesto, un fenómeno tan inusual como los números de Fibonacci no puede dejar de llamar la atención. Todavía hay algo atractivo e incluso misterioso en este patrón estrictamente verificado. No es sorprendente que la secuencia de Fibonacci de alguna manera se haya "iluminado" en muchas obras de la cultura popular moderna de diversos géneros.
Te contamos algunos de ellos. Y vuelves a intentar buscarte a ti mismo. Si lo encuentras, compártelo con nosotros en los comentarios. ¡Nosotros también tenemos curiosidad!
- Los números de Fibonacci se mencionan en el bestseller de Dan Brown, El código Da Vinci: la secuencia de Fibonacci sirve como código utilizado por los personajes principales del libro para abrir una caja fuerte.
- En la película estadounidense de 2009 Mr. Nobody, en un episodio la dirección de una casa forma parte de la secuencia de Fibonacci: 12358. Además, en otro episodio el personaje principal debe llamar a un número de teléfono, que es esencialmente el mismo, pero ligeramente distorsionado. (dígito adicional después del número 5) secuencia: 123-581-1321.
- En la serie de 2012 “Conexión”, el personaje principal, un niño que sufre de autismo, es capaz de discernir patrones en los acontecimientos que ocurren en el mundo. Incluso a través de los números de Fibonacci. Y gestionar estos eventos también a través de números.
- Los desarrolladores del juego java para teléfonos móviles Doom RPG colocaron una puerta secreta en uno de los niveles. El código que lo abre es la secuencia de Fibonacci.
- En 2012, la banda de rock rusa Splin lanzó el álbum conceptual "Optical Deception". La octava pista se llama "Fibonacci". Los versos del líder del grupo Alexander Vasiliev juegan con la secuencia de los números de Fibonacci. Para cada uno de los nueve términos consecutivos hay un número correspondiente de líneas (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):
0 El tren partió
1 Se rompió una articulación
1 Una manga tembló
2 Eso es todo, consigue las cosas.
Eso es todo, consigue las cosas.
3 Solicitud de agua hirviendo
El tren va al río.
El tren atraviesa la taiga.<…>.
- Un limerick (un poema corto de una forma específica, generalmente de cinco líneas, con un esquema de rima específico, de contenido humorístico, en el que la primera y la última línea se repiten o se duplican parcialmente) de James Lyndon también utiliza una referencia a Fibonacci. secuencia como motivo humorístico:
La densa comida de las esposas de Fibonacci
Fue sólo para su beneficio, nada más.
Las esposas pesaron, según los rumores,
Cada uno es como los dos anteriores.
resumámoslo
Esperamos haber podido contarles hoy muchas cosas interesantes y útiles. Por ejemplo, ahora puedes buscar la espiral de Fibonacci en la naturaleza que te rodea. Quizás seas tú quien consiga desentrañar “el secreto de la vida, del Universo y en general”.
Utilice la fórmula de los números de Fibonacci al resolver problemas de combinatoria. Puede confiar en los ejemplos descritos en este artículo.
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Por supuesto, usted está familiarizado con la idea de que las matemáticas son la más importante de todas las ciencias. Pero muchos pueden no estar de acuerdo con esto, porque... A veces parece que las matemáticas son sólo problemas, ejemplos y cosas aburridas similares. Sin embargo, las matemáticas pueden mostrarnos fácilmente cosas familiares desde un lado completamente desconocido. Además, incluso puede revelar los secretos del universo. ¿Cómo? Veamos los números de Fibonacci.
¿Qué son los números de Fibonacci?
Los números de Fibonacci son elementos de una secuencia numérica, donde cada uno subsiguiente es sumando los dos anteriores, por ejemplo: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... Como regla general, dicha secuencia se escribe mediante la fórmula: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2.
Los números de Fibonacci pueden comenzar con valores negativos de "n", pero en este caso la secuencia será bidireccional: cubrirá números tanto positivos como negativos, tendiendo al infinito en ambas direcciones. Un ejemplo de tal secuencia sería: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, 34, y la fórmula será: F n = F n+1 - F n+2 o F -n = (-1) n+1 Fn.
El creador de los números de Fibonacci es uno de los primeros matemáticos de Europa en la Edad Media llamado Leonardo de Pisa, quien, de hecho, es conocido como Fibonacci; recibió este apodo muchos años después de su muerte.
Durante su vida, a Leonardo de Pisa le gustaban mucho los torneos matemáticos, por lo que en sus obras (“Liber abaci” / “Libro del ábaco”, 1202; “Practica geometriae” / “Práctica de la geometría”, 1220, “Flos” / “Flor”, 1225) - un estudio sobre ecuaciones cúbicas y "Liber quadratorum" / "Libro de los cuadrados", 1225 - problemas sobre ecuaciones cuadráticas indefinidas) analizaba muy a menudo todo tipo de problemas matemáticos.
Se sabe muy poco sobre la vida del propio Fibonacci. Pero lo que es seguro es que sus problemas gozaron de enorme popularidad en los círculos matemáticos en los siglos siguientes. Consideraremos uno de estos más a fondo.
Problema de Fibonacci con conejos
Para completar la tarea, el autor estableció las siguientes condiciones: hay un par de conejos recién nacidos (hembra y macho), que se distinguen por una característica interesante: a partir del segundo mes de vida, dan a luz un nuevo par de conejos, también una hembra y Un macho. Los conejos se mantienen en espacios reducidos y se reproducen constantemente. Y no muere ni un solo conejo.
Tarea: determinar el número de conejos en un año.
Solución:
Tenemos:
- Un par de conejos al comienzo del primer mes, que se aparean al final del mes.
- Dos parejas de conejos en el segundo mes (primera pareja y cría)
- Tres parejas de conejos en el tercer mes (la primera pareja, la cría de la primera pareja del mes anterior y la nueva cría)
- Cinco parejas de conejos en el cuarto mes (la primera pareja, la primera y segunda cría de la primera pareja, la tercera cría de la primera pareja y la primera cría de la segunda pareja)
Número de conejos por mes “n” = número de conejos del último mes + número de nuevas parejas de conejos, es decir, la fórmula anterior: F n = F n-1 + F n-2. Esto da como resultado una secuencia numérica recurrente (hablaremos de recursividad más adelante), donde cada nuevo número corresponde a la suma de los dos números anteriores:
1 mes: 1 + 1 = 2
2 meses: 2 + 1 = 3
3 meses: 3 + 2 = 5
4 meses: 5 + 3 = 8
5 meses: 8 + 5 = 13
6 meses: 13 + 8 = 21
7mo mes: 21 + 13 = 34
8vo mes: 34 + 21 = 55
9 meses: 55 + 34 = 89
Décimo mes: 89 + 55 = 144
11.º mes: 144 + 89 = 233
12 meses: 233+ 144 = 377
Y esta secuencia puede continuar indefinidamente, pero dado que la tarea es saber el número de conejos al cabo de un año, el resultado es 377 parejas.
También es importante señalar aquí que una de las propiedades de los números de Fibonacci es que si comparas dos pares consecutivos y luego divides el mayor por el menor, el resultado se moverá hacia la proporción áurea, de la que también hablaremos a continuación. .
Mientras tanto, te ofrecemos dos problemas más sobre los números de Fibonacci:
- Determine un número cuadrado, del cual solo sabemos que si le resta 5 o le suma 5, obtendrá nuevamente un número cuadrado.
- Determinar un número divisible por 7, pero con la condición de que al dividirlo por 2, 3, 4, 5 o 6 quede un resto de 1.
Estas tareas no sólo serán una excelente manera de desarrollar la mente, sino también un pasatiempo entretenido. También puedes descubrir cómo se solucionan estos problemas buscando información en Internet. No nos centraremos en ellos, sino que continuaremos nuestra historia.
¿Qué son la recursividad y la proporción áurea?
recursividad
La recursividad es una descripción, definición o imagen de cualquier objeto o proceso, que contiene el objeto o proceso dado en sí. En otras palabras, un objeto o proceso puede considerarse parte de sí mismo.
La recursividad se utiliza ampliamente no sólo en las ciencias matemáticas, sino también en la informática, la cultura popular y el arte. Aplicable a los números de Fibonacci, podemos decir que si el número es “n>2”, entonces “n” = (n-1)+(n-2).
proporción áurea
La proporción áurea es la división del todo en partes que se relacionan según el principio: lo mayor se relaciona con lo menor de la misma manera que el valor total se relaciona con la parte mayor.
La proporción áurea fue mencionada por primera vez por Euclides (en el tratado “Elementos”, ca. 300 a. C.), hablando de la construcción de un rectángulo regular. Sin embargo, el matemático alemán Martin Ohm introdujo un concepto más familiar.
Aproximadamente, la proporción áurea se puede representar como una división proporcional en dos partes diferentes, por ejemplo, 38% y 68%. La expresión numérica de la proporción áurea es aproximadamente 1,6180339887.
En la práctica, la proporción áurea se utiliza en arquitectura, bellas artes (mira las obras), cine y otras áreas. Durante mucho tiempo, como ahora, la proporción áurea se consideró una proporción estética, aunque la mayoría de la gente la percibe como desproporcionada: alargada.
Puede intentar estimar la proporción áurea usted mismo, guiándose por las siguientes proporciones:
- Longitud del segmento a = 0,618
- Longitud del segmento b= 0,382
- Longitud del segmento c = 1
- Relación de c y a = 1,618
- Relación de cyb = 2,618
Ahora apliquemos la proporción áurea a los números de Fibonacci: tomamos dos términos adyacentes de su secuencia y dividimos el mayor por el menor. Obtenemos aproximadamente 1.618. Si tomamos el mismo número mayor y lo dividimos por el siguiente número mayor, obtenemos aproximadamente 0,618. Pruébalo tú mismo: “juega” con los números 21 y 34 o algunos otros. Si realizamos este experimento con los primeros números de la secuencia de Fibonacci, ese resultado ya no existirá, porque la proporción áurea "no funciona" al comienzo de la secuencia. Por cierto, para determinar todos los números de Fibonacci, solo necesitas conocer los primeros tres números consecutivos.
Y para concluir, algo más para reflexionar.
Rectángulo Dorado y Espiral de Fibonacci
El “Rectángulo Áureo” es otra relación entre la proporción áurea y los números de Fibonacci, porque... su relación de aspecto es 1,618 a 1 (¡recuerde el número 1,618!).
Aquí hay un ejemplo: tomamos dos números de la secuencia de Fibonacci, por ejemplo 8 y 13, y dibujamos un rectángulo de 8 cm de ancho y 13 cm de largo, luego dividimos el rectángulo principal en otros pequeños, pero sus el largo y el ancho deben corresponder a los números de Fibonacci; la longitud de un borde del rectángulo grande debe ser igual a dos longitudes del borde del más pequeño.
Después de esto, conectamos las esquinas de todos los rectángulos que tenemos con una línea suave y obtenemos un caso especial de espiral logarítmica: la espiral de Fibonacci. Sus principales propiedades son la ausencia de límites y cambios de forma. Esta espiral se puede encontrar a menudo en la naturaleza: los ejemplos más llamativos son las conchas de moluscos, los ciclones en las imágenes de satélite e incluso algunas galaxias. Pero lo más interesante es que el ADN de los organismos vivos también obedece a la misma regla, porque ¿recordáis que tiene forma de espiral?
Estas y muchas otras coincidencias "aleatorias" aún hoy excitan la conciencia de los científicos y sugieren que todo en el Universo está sujeto a un único algoritmo, además, matemático. Y esta ciencia esconde una gran cantidad de secretos y misterios completamente aburridos.
Sin embargo, esto no es todo lo que se puede hacer con la proporción áurea. Si dividimos uno por 0,618, obtenemos 1,618; si lo elevamos al cuadrado, obtenemos 2,618; si lo elevamos al cubo, obtenemos 4,236. Estas son las razones de expansión de Fibonacci. El único número que falta aquí es 3236, propuesto por John Murphy.
¿Qué piensan los expertos sobre la coherencia?
Algunos podrían decir que estos números ya les resultan familiares porque se utilizan en programas de análisis técnico para determinar la magnitud de las correcciones y ampliaciones. Además, estas mismas series juegan un papel importante en la teoría ondulatoria de Eliot. Son su base numérica.
Nuestro experto Nikolay es un gestor de cartera acreditado en la sociedad de inversión Vostok.
- — Nikolay, ¿crees que la aparición de los números de Fibonacci y sus derivados en los gráficos de varios instrumentos es accidental? ¿Y es posible decir: se produce la “aplicación práctica de la serie de Fibonacci”?
- — Tengo una mala actitud hacia el misticismo. Y más aún en los gráficos bursátiles. Todo tiene sus razones. En el libro “Niveles de Fibonacci” describió maravillosamente dónde aparece la proporción áurea, por lo que no le sorprendió que apareciera en los gráficos de cotizaciones bursátiles. ¡Pero en vano! En muchos de los ejemplos que dio, el número Pi aparece con frecuencia. Pero por alguna razón no está incluido en las relaciones de precios.
- — ¿Entonces no cree en la eficacia del principio ondulatorio de Eliot?
- - No, ese no es el punto. El principio ondulatorio es una cosa. La proporción numérica es diferente. Y las razones de su aparición en los gráficos de precios son la tercera.
- — ¿Cuáles son, en su opinión, las razones de la aparición de la proporción áurea en los gráficos de acciones?
- — La respuesta correcta a esta pregunta puede hacerte ganar el Premio Nobel de Economía. Por ahora podemos adivinar las verdaderas razones. Claramente no están en armonía con la naturaleza. Hay muchos modelos de fijación de precios de cambio. No explican el fenómeno señalado. Pero no comprender la naturaleza de un fenómeno no debería negarlo como tal.
- — Y si alguna vez se abre esta ley, ¿podrá destruir el proceso de intercambio?
- — Como muestra la misma teoría ondulatoria, la ley de los cambios en los precios de las acciones es pura psicología. Me parece que el conocimiento de esta ley no cambiará nada y no podrá destruir la bolsa de valores.
Material proporcionado por el blog del webmaster Maxim.
La coincidencia de los principios fundamentales de las matemáticas en diversas teorías parece increíble. Quizás sea fantasía o personalizado para el resultado final. Espera y verás. Mucho de lo que antes se consideraba inusual o no era posible: la exploración espacial, por ejemplo, se ha convertido en algo habitual y no sorprende a nadie. Además, la teoría ondulatoria, que puede resultar incomprensible, se volverá más accesible y comprensible con el tiempo. Lo que antes era innecesario, en manos de un analista experimentado, se convertirá en una poderosa herramienta para predecir el comportamiento futuro.
Números de Fibonacci en la naturaleza.
Mirar
Ahora, hablemos de cómo se puede refutar el hecho de que la serie digital de Fibonacci esté involucrada en cualquier patrón de la naturaleza.
Tomemos otros dos números y construyamos una secuencia con la misma lógica que los números de Fibonacci. Es decir, el siguiente miembro de la secuencia es igual a la suma de los dos anteriores. Por ejemplo, tomemos dos números: 6 y 51. Ahora construiremos una secuencia que completaremos con dos números 1860 y 3009. Tenga en cuenta que al dividir estos números, obtenemos un número cercano a la proporción áurea.
Al mismo tiempo, los números que se obtuvieron al dividir otros pares disminuyeron del primero al último, lo que nos permite decir que si esta serie continúa indefinidamente, entonces obtendremos un número igual a la proporción áurea.
Por tanto, los números de Fibonacci no se destacan de ninguna manera. Hay otras secuencias de números, de los cuales hay un número infinito, que como resultado de las mismas operaciones dan el número áureo phi.
Fibonacci no era un esoterista. No quería poner ningún misticismo en los números, simplemente estaba resolviendo un problema común y corriente sobre conejos. Y escribió una secuencia de números que surgieron de su problema, en el primer, segundo y otros meses, cuántos conejos habría después de la reproducción. Al cabo de un año, recibió la misma secuencia. Y no hice una relación. No se habló de ninguna proporción áurea o relación divina. Todo esto fue inventado después de él durante el Renacimiento.
En comparación con las matemáticas, las ventajas de Fibonacci son enormes. Adoptó el sistema numérico de los árabes y demostró su validez. Fue una lucha dura y larga. Del sistema numérico romano: pesado e incómodo para contar. Desapareció después de la Revolución Francesa. Fibonacci no tiene nada que ver con la proporción áurea.
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EL PROPÓSITO MÁS ALTO DE LAS MATEMÁTICAS ES ENCONTRAR EL ORDEN OCULTO EN EL CAOS QUE NOS RODEA.
Viner N.
Una persona se esfuerza por adquirir conocimiento toda su vida, tratando de estudiar el mundo que la rodea. Y en el proceso de observación surgen preguntas que requieren respuesta. Se encuentran las respuestas, pero surgen nuevas preguntas. En los hallazgos arqueológicos, en rastros de civilización, distantes entre sí en el tiempo y el espacio, se encuentra el mismo elemento: un patrón en forma de espiral. Algunos lo consideran un símbolo del sol y lo asocian con la legendaria Atlántida, pero se desconoce su verdadero significado. ¿Qué tienen en común las formas de una galaxia y un ciclón atmosférico, la disposición de las hojas en un tallo y la disposición de las semillas en un girasol? Estos patrones se reducen a la llamada espiral "dorada", la sorprendente secuencia de Fibonacci descubierta por el gran matemático italiano del siglo XIII.
Historia de los números de Fibonacci
Por primera vez escuché a un profesor de matemáticas acerca de qué son los números de Fibonacci. Pero, además, no sabía cómo se unía la secuencia de estos números. Esto es por lo que esta secuencia es realmente famosa, cómo afecta a una persona, quiero decírtelo. Poco se sabe sobre Leonardo Fibonacci. Ni siquiera hay una fecha exacta de su nacimiento. Se sabe que nació en 1170 en una familia de comerciantes en la ciudad de Pisa en Italia. El padre de Fibonacci visitaba a menudo Argelia por cuestiones comerciales, y Leonardo estudió matemáticas allí con profesores árabes. Posteriormente, escribió varios trabajos matemáticos, el más famoso de los cuales es el "Libro del Ábaco", que contiene casi toda la información aritmética y algebraica de esa época. 2
Los números de Fibonacci son una secuencia de números que tienen varias propiedades. Fibonacci descubrió esta secuencia numérica por accidente cuando intentaba resolver un problema práctico sobre conejos en 1202. “Alguien colocó un par de conejos en un lugar determinado, cercado por todos lados por un muro, para saber cuántas parejas de conejos nacerían durante el año, si la naturaleza de los conejos es tal que al cabo de un mes una pareja de conejos da a luz a otra pareja, y los conejos dan a luz a partir del segundo mes después de tu nacimiento." Al resolver el problema, tuvo en cuenta que cada pareja de conejos da a luz a dos parejas más a lo largo de su vida y luego muere. Así apareció la secuencia de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... En esta secuencia, cada número siguiente es igual a la suma de los dos anteriores. Se llamó secuencia de Fibonacci. Propiedades matemáticas de la secuencia.
Quería explorar esta secuencia y descubrí algunas de sus propiedades. Este patrón es de gran importancia. La secuencia se acerca lentamente a una cierta proporción constante de aproximadamente 1,618, y la proporción de cualquier número con respecto al siguiente es aproximadamente 0,618.
Puede observar una serie de propiedades interesantes de los números de Fibonacci: dos números vecinos son primos relativos; uno de cada tres números es par; cada quinceavo termina en cero; cada cuarto es múltiplo de tres. Si eliges 10 números adyacentes de la secuencia de Fibonacci y los sumas, siempre obtendrás un número que es múltiplo de 11. Pero eso no es todo. Cada suma es igual al número 11 multiplicado por el séptimo término de la secuencia dada. Aquí hay otra característica interesante. Para cualquier n, la suma de los primeros n términos de la secuencia siempre será igual a la diferencia entre el (n+ 2)ésimo y el primer término de la secuencia. Este hecho se puede expresar mediante la fórmula: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. Ahora tenemos a nuestra disposición el siguiente truco: encontrar la suma de todos los términos
secuencia entre dos términos dados, basta con encontrar la diferencia de los términos correspondientes (n+2)-x. Por ejemplo, un 26 +…+un 40 = un 42 - un 27. Ahora busquemos la conexión entre Fibonacci, Pitágoras y la “proporción áurea”. La evidencia más famosa del genio matemático de la humanidad es el teorema de Pitágoras: en cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos: c 2 =b 2 +a 2. Desde un punto de vista geométrico, podemos considerar todos los lados de un triángulo rectángulo como los lados de tres cuadrados construidos sobre ellos. El teorema de Pitágoras establece que el área total de los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa. Si las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son números enteros, entonces forman un grupo de tres números llamados trillizos pitagóricos. Usando la secuencia de Fibonacci puedes encontrar estos tripletes. Tomemos cuatro números consecutivos de la secuencia, por ejemplo, 2, 3, 5 y 8, y construyamos tres números más de la siguiente manera: 1) el producto de los dos números extremos: 2*8=16; 2) el producto doble de los dos números del medio: 2* (3*5)=30;3) la suma de los cuadrados de dos números promedio: 3 2 +5 2 =34; 34 2 = 30 2 +16 2. Este método funciona para cuatro números de Fibonacci consecutivos. Tres números consecutivos cualesquiera de la serie de Fibonacci se comportan de forma predecible. Si multiplicas los dos extremos y comparas el resultado con el cuadrado del número medio, el resultado siempre diferirá en uno. Por ejemplo, para los números 5, 8 y 13 obtenemos: 5*13=8 2 +1. Si observa esta propiedad desde un punto de vista geométrico, notará algo extraño. dividir el cuadrado
8x8 de tamaño (64 cuadrados pequeños en total) en cuatro partes, siendo las longitudes de los lados iguales a los números de Fibonacci. Ahora a partir de estas partes construiremos un rectángulo de 5x13. Su área es de 65 cuadrados pequeños. ¿De dónde viene el cuadrado extra? El caso es que no se forma un rectángulo ideal, pero quedan pequeños huecos que en total dan esta unidad adicional de área. El triángulo de Pascal también tiene una conexión con la secuencia de Fibonacci. Solo necesitas escribir las líneas del triángulo de Pascal una debajo de la otra y luego agregar los elementos en diagonal. El resultado es la secuencia de Fibonacci.
Consideremos ahora un rectángulo áureo, cuyo lado es 1,618 veces más largo que el otro. A primera vista, puede parecernos un rectángulo normal y corriente. Sin embargo, hagamos un experimento sencillo con dos tarjetas bancarias normales. Coloquemos uno de ellos en horizontal y el otro en vertical para que sus lados inferiores queden en la misma línea. Si dibujamos una línea diagonal en un mapa horizontal y la extendemos, veremos que pasará exactamente por la esquina superior derecha del mapa vertical, una agradable sorpresa. Quizás esto sea un accidente, o quizás estos rectángulos y otras formas geométricas que utilizan la “proporción áurea” sean especialmente agradables a la vista. ¿Pensó Leonardo da Vinci en la proporción áurea mientras trabajaba en su obra maestra? Esto parece poco probable. Sin embargo, se puede argumentar que concedía gran importancia a la conexión entre estética y matemáticas.
Números de Fibonacci en la naturaleza.
La conexión de la proporción áurea con la belleza no es sólo una cuestión de percepción humana. Parece que la propia naturaleza le ha asignado un papel especial a F. Si inscribes cuadrados secuencialmente en un rectángulo "dorado" y luego dibujas un arco en cada cuadrado, obtendrás una curva elegante llamada espiral logarítmica. No es en absoluto una curiosidad matemática. 5
Por el contrario, esta notable línea se encuentra a menudo en el mundo físico: desde el caparazón de un nautilo hasta los brazos de las galaxias, y en la elegante espiral de pétalos de una rosa en flor. Las conexiones entre la proporción áurea y los números de Fibonacci son numerosas y sorprendentes. Consideremos una flor que se ve muy diferente a una rosa: un girasol con semillas. Lo primero que vemos es que las semillas están dispuestas en dos tipos de espirales: en sentido horario y antihorario. Si contamos las espirales en el sentido de las agujas del reloj, obtenemos dos números aparentemente ordinarios: 21 y 34. Este no es el único ejemplo en el que se pueden encontrar números de Fibonacci en la estructura de las plantas.
La naturaleza nos da numerosos ejemplos de la disposición de objetos homogéneos descrita por los números de Fibonacci. En las distintas disposiciones en espiral de las pequeñas partes de las plantas se pueden distinguir normalmente dos familias de espirales. En una de estas familias las espirales se curvan en el sentido de las agujas del reloj, mientras que en la otra se curvan en el sentido contrario a las agujas del reloj. Los números de espirales de uno u otro tipo a menudo resultan ser números de Fibonacci adyacentes. Entonces, tomando una ramita de pino joven, es fácil notar que las agujas forman dos espirales, que van de abajo a la izquierda hacia arriba a la derecha. En muchos conos, las semillas están dispuestas en tres espirales, enrollándose suavemente alrededor del tallo del cono. Están ubicados en cinco espirales, que se enrollan abruptamente en la dirección opuesta. En los conos grandes se pueden observar 5 y 8, e incluso 8 y 13 espirales. Las espirales de Fibonacci también son claramente visibles en una piña: generalmente hay 8 y 13.
El brote de achicoria hace una fuerte expulsión al espacio, se detiene, suelta una hoja, pero esta vez es más corto que el primero, nuevamente hace una expulsión al espacio, pero con menos fuerza, suelta una hoja de un tamaño aún menor y es expulsada nuevamente. . Los impulsos de su crecimiento disminuyen gradualmente en proporción a la sección "áurea". Para apreciar el enorme papel de los números de Fibonacci, sólo hay que observar la belleza de la naturaleza que nos rodea. Los números de Fibonacci se pueden encontrar en cantidades.
ramas en el tallo de cada planta en crecimiento y en el número de pétalos.
Contemos los pétalos de algunas flores: iris con sus 3 pétalos, prímula con 5 pétalos, ambrosía con 13 pétalos, aciano con 34 pétalos, aster con 55 pétalos, etc. ¿Es esto una coincidencia o es una ley de la naturaleza? Mira los tallos y las flores de la milenrama. Por lo tanto, la secuencia total de Fibonacci puede interpretar fácilmente el patrón de manifestaciones de los números "áureos" que se encuentran en la naturaleza. Estas leyes operan independientemente de nuestra conciencia y deseo de aceptarlas o no. Los patrones de simetría "áurea" se manifiestan en las transiciones de energía de las partículas elementales, en la estructura de algunos compuestos químicos, en los sistemas planetarios y cósmicos, en las estructuras genéticas de los organismos vivos, en la estructura de los órganos humanos individuales y en el cuerpo como en su conjunto, y también se manifiestan en los biorritmos y el funcionamiento del cerebro y la percepción visual.
Números de Fibonacci en arquitectura.
La “Proporción Áurea” también es evidente en muchas creaciones arquitectónicas notables a lo largo de la historia de la humanidad. Resulta que los antiguos matemáticos griegos y egipcios conocían estos coeficientes mucho antes que Fibonacci y los llamaron "proporción áurea". Los griegos utilizaron el principio de la “proporción áurea” en la construcción del Partenón y los egipcios utilizaron la Gran Pirámide de Giza. Los avances en la tecnología de la construcción y el desarrollo de nuevos materiales abrieron nuevas oportunidades para los arquitectos del siglo XX. El estadounidense Frank Lloyd Wright fue uno de los principales defensores de la arquitectura orgánica. Poco antes de su muerte, diseñó el Museo Solomon Guggenheim de Nueva York, que es una espiral invertida y el interior del museo se asemeja a la concha de un nautilo. El arquitecto polaco-israelí Zvi Hecker también utilizó estructuras en espiral en su diseño para la escuela Heinz Galinski de Berlín, terminada en 1995. Hecker partió de la idea de un girasol con un círculo central, de donde
Todos los elementos arquitectónicos son divergentes. El edificio es una combinación
Espirales ortogonales y concéntricas, que simbolizan la interacción del conocimiento humano limitado y el caos controlado de la naturaleza. Su arquitectura imita una planta que sigue el movimiento del sol, por lo que las aulas se encuentran iluminadas durante todo el día.
En Quincy Park, situado en Cambridge, Massachusetts (EE.UU.), es frecuente encontrar la espiral “dorada”. El parque fue diseñado en 1997 por el artista David Phillips y está ubicado cerca del Clay Mathematical Institute. Esta institución es un reconocido centro de investigación matemática. En Quincy Park puedes pasear entre espirales “doradas” y curvas de metal, relieves de dos conchas y una roca con el símbolo de una raíz cuadrada. El letrero contiene información sobre la proporción "áurea". Incluso los aparcamientos para bicicletas utilizan el símbolo F.
Números de Fibonacci en psicología
En psicología se han observado puntos de inflexión, crisis y revoluciones que marcan transformaciones en la estructura y funciones del alma en el camino de la vida de una persona. Si una persona supera con éxito estas crisis, entonces se vuelve capaz de resolver problemas de una nueva clase en los que ni siquiera había pensado antes.
La presencia de cambios fundamentales da motivos para considerar el tiempo de vida como un factor decisivo en el desarrollo de las cualidades espirituales. Después de todo, la naturaleza no nos mide el tiempo generosamente, “por mucho que sea, tanto será”, sino lo suficiente para que se materialice el proceso de desarrollo:
en estructuras corporales;
en sentimientos, pensamiento y habilidades psicomotoras - hasta que adquieran armonía necesario para el surgimiento y lanzamiento del mecanismo
creatividad;
en la estructura del potencial energético humano.
El desarrollo del cuerpo no se puede detener: el niño se convierte en adulto. Con el mecanismo de la creatividad, no todo es tan sencillo. Se puede detener su desarrollo y cambiar su dirección.
¿Existe la posibilidad de ponerse al día con el tiempo? Indudablemente. Pero para ello necesitas trabajar mucho en ti mismo. Lo que se desarrolla libremente, naturalmente, no requiere esfuerzos especiales: el niño se desarrolla libremente y no nota este enorme trabajo, porque el proceso de libre desarrollo se crea sin violencia contra uno mismo.
¿Cómo se entiende el significado del viaje de la vida en la conciencia cotidiana? La persona promedio lo ve de esta manera: en la base está el nacimiento, en la cima está la flor de la vida, y luego todo va cuesta abajo.
El sabio dirá: todo es mucho más complicado. Divide el ascenso en etapas: infancia, adolescencia, juventud... ¿Por qué es así? Pocos son capaces de responder, aunque todos están seguros de que se trata de etapas cerradas e integrales de la vida.
Para saber cómo se desarrolla el mecanismo de la creatividad, V.V. Klimenko utilizó las matemáticas, es decir, las leyes de los números de Fibonacci y la proporción de la "sección áurea", las leyes de la naturaleza y la vida humana.
Los números de Fibonacci dividen nuestra vida en etapas según el número de años vividos: 0 - el comienzo de la cuenta atrás - nace el niño. Todavía le falta no sólo la psicomotricidad, el pensamiento, los sentimientos, la imaginación, sino también el potencial energético operativo. Él es el comienzo de una nueva vida, de una nueva armonía;
1 - el niño ha dominado la marcha y está dominando su entorno inmediato;
2 - comprende el habla y actúa siguiendo instrucciones verbales;
3 - actúa mediante palabras, hace preguntas;
5 - “edad de gracia” - armonía de la psicomotricidad, la memoria, la imaginación y los sentimientos, que ya permiten al niño abrazar el mundo en toda su integridad;
8 - los sentimientos pasan a primer plano. Les sirve la imaginación y el pensamiento, a través de su criticidad, tiene como objetivo apoyar la armonía interna y externa de la vida;
13 - comienza a funcionar el mecanismo del talento, destinado a transformar el material adquirido en el proceso de herencia, desarrollando el propio talento;
21 - el mecanismo de la creatividad se ha acercado a un estado de armonía y se están intentando realizar trabajos talentosos;
34—armonía de pensamiento, sentimientos, imaginación y psicomotricidad: nace la capacidad de trabajar ingeniosamente;
55 - a esta edad, siempre que se preserve la armonía del alma y el cuerpo, una persona está lista para convertirse en creador. Etcétera…
¿Qué son las serifas de los números de Fibonacci? Se pueden comparar con represas a lo largo del camino de la vida. Estas represas nos esperan a cada uno de nosotros. En primer lugar, debes superar cada uno de ellos y luego, pacientemente, elevar tu nivel de desarrollo hasta que un buen día se desmorone, abriendo el camino al siguiente para fluir libremente.
Ahora que entendemos el significado de estos puntos clave del desarrollo relacionado con la edad, intentemos descifrar cómo sucede todo.
B1 año el niño domina la marcha. Antes de esto, experimentó el mundo con la parte frontal de su cabeza. Ahora conoce el mundo con sus manos, un privilegio humano excepcional. El animal se mueve en el espacio y, al aprender, domina el espacio y domina el territorio en el que vive.
2 años- comprende la palabra y actúa de acuerdo con ella. Esto significa que:
el niño aprende un número mínimo de palabras: significados y modos de acción;
aún no se ha separado del medio ambiente y está fusionado en integridad con el medio ambiente,
por lo tanto actúa según las instrucciones de otra persona. A esta edad es el más obediente y agradable con sus padres. De una persona sensual, un niño pasa a una persona cognitiva.
3 años- acción utilizando la propia palabra. La separación de esta persona del entorno ya se ha producido y aprende a ser una persona que actúa de forma independiente. Desde aquí él:
se opone conscientemente al medio ambiente y a los padres, maestros de jardín de infantes, etc.;
realiza su soberanía y lucha por la independencia;
Intenta someter a su voluntad a personas cercanas y conocidas.
Ahora bien, para un niño, una palabra es una acción. Aquí comienza la persona activa.
5 años- “era de la gracia”. Él es la personificación de la armonía. Juegos, bailes, movimientos hábiles: todo está saturado de armonía, que una persona intenta dominar con sus propias fuerzas. Un comportamiento psicomotor armonioso ayuda a lograr un nuevo estado. Por tanto, el niño se centra en la actividad psicomotora y se esfuerza por realizar las acciones más activas.
La materialización de los productos del trabajo de sensibilidad se realiza a través de:
la capacidad de visualizar el entorno y a nosotros mismos como parte de este mundo (oímos, vemos, tocamos, olemos, etc.; todos los sentidos trabajan en este proceso);
capacidad de diseñar el mundo exterior, incluido uno mismo
(creación de una segunda naturaleza, hipótesis: haz esto y aquello mañana, construye una nueva máquina, resuelve un problema), por las fuerzas del pensamiento crítico, los sentimientos y la imaginación;
la capacidad de crear una segunda naturaleza creada por el hombre, productos de la actividad (realización de planes, acciones mentales o psicomotoras específicas con objetos y procesos específicos).
Después de 5 años, el mecanismo de la imaginación se adelanta y comienza a dominar a los demás. El niño trabaja muchísimo, crea imágenes fantásticas y vive en el mundo de los cuentos de hadas y los mitos. La imaginación hipertrofiada de un niño causa sorpresa en los adultos, porque la imaginación no se corresponde con la realidad.
8 años— los sentimientos pasan a primer plano y los propios estándares de sentimientos (cognitivos, morales, estéticos) surgen cuando el niño inequívocamente:
evalúa lo conocido y lo desconocido;
distingue lo moral de lo inmoral, lo moral de lo inmoral;
la belleza de lo que amenaza la vida, la armonía del caos.
13 años— el mecanismo de la creatividad comienza a funcionar. Pero esto no significa que esté funcionando a pleno rendimiento. Uno de los elementos del mecanismo pasa a primer plano y todos los demás contribuyen a su funcionamiento. Si en este período de desarrollo se mantiene la armonía, que reconstruye casi constantemente su estructura, entonces el joven alcanzará sin dolor la siguiente presa, la superará imperceptiblemente y vivirá en la edad de un revolucionario. En la edad de un revolucionario, un joven debe dar un nuevo paso adelante: separarse de la sociedad más cercana y vivir una vida y actividad armoniosas en ella. No todo el mundo puede solucionar este problema que se nos presenta a cada uno de nosotros.
21 años. Si un revolucionario ha superado con éxito la primera cima armoniosa de la vida, entonces su mecanismo de talento es capaz de realizar talentos talentosos.
trabajar. Los sentimientos (cognitivos, morales o estéticos) a veces eclipsan el pensamiento, pero en general todos los elementos funcionan en armonía: los sentimientos están abiertos al mundo y el pensamiento lógico es capaz de nombrar y encontrar medidas de las cosas desde esta cima.
El mecanismo de la creatividad, desarrollándose con normalidad, alcanza un estado que le permite recibir determinados frutos. Él comienza a trabajar. A esta edad, el mecanismo de los sentimientos avanza. A medida que los sentidos y la mente evalúan la imaginación y sus productos, surge el antagonismo entre ellos. Los sentimientos ganan. Esta habilidad gradualmente gana poder y el niño comienza a usarla.
34 años- equilibrio y armonía, eficacia productiva del talento. De la armonía del pensamiento, los sentimientos y la imaginación, las habilidades psicomotoras, que se reponen con un potencial energético óptimo, y el mecanismo en su conjunto, nace la oportunidad de realizar un trabajo brillante.
55 años- una persona puede convertirse en creador. El tercer pico armonioso de la vida: el pensamiento subyuga el poder de los sentimientos.
Los números de Fibonacci hacen referencia a las etapas del desarrollo humano. Si una persona recorrerá este camino sin parar depende de los padres y maestros, del sistema educativo y luego de sí mismo y de cómo una persona aprenderá y se superará a sí misma.
En el camino de la vida, una persona descubre 7 objetos de relación:
Desde el cumpleaños hasta los 2 años: descubrimiento del mundo físico y objetivo del entorno inmediato.
De 2 a 3 años - autodescubrimiento: “Yo soy Yo Mismo”.
De 3 a 5 años: el habla, el mundo activo de las palabras, la armonía y el sistema "yo - tú".
De 5 a 8 años - descubrimiento del mundo de los pensamientos, sentimientos e imágenes de otras personas - el sistema "Yo - Nosotros".
De 8 a 13 años - descubrimiento del mundo de las tareas y problemas resueltos por los genios y talentos de la humanidad - el sistema "Yo - Espiritualidad".
De 13 a 21 años: el descubrimiento de la capacidad de resolver de forma independiente problemas conocidos, cuando los pensamientos, los sentimientos y la imaginación comienzan a funcionar activamente, surge el sistema "I - Noosfera".
De 21 a 34 años - descubrimiento de la capacidad de crear un mundo nuevo o sus fragmentos - conciencia del autoconcepto "Yo soy el Creador".
El camino de la vida tiene una estructura espaciotemporal. Consta de edad y fases individuales, determinadas por muchos parámetros de la vida. Una persona domina, hasta cierto punto, las circunstancias de su vida, se convierte en creadora de su historia y creadora de la historia de la sociedad. Sin embargo, una actitud verdaderamente creativa ante la vida no aparece de inmediato, ni siquiera en todas las personas. Existen conexiones genéticas entre las fases del camino de la vida, y esto determina su carácter natural. De ello se deduce que, en principio, es posible predecir el desarrollo futuro sobre la base del conocimiento sobre sus primeras fases.
Números de Fibonacci en astronomía
De la historia de la astronomía se sabe que I. Titius, un astrónomo alemán del siglo XVIII, utilizando la serie de Fibonacci, encontró un patrón y orden en las distancias entre los planetas del sistema solar. Pero un caso parecía contradecir la ley: no había ningún planeta entre Marte y Júpiter. Pero tras la muerte de Ticio a principios del siglo XIX. La observación concentrada de esta parte del cielo condujo al descubrimiento del cinturón de asteroides.
Conclusión
Durante la investigación, descubrí que los números de Fibonacci se utilizan ampliamente en el análisis técnico de los precios de las acciones. Una de las formas más sencillas de utilizar los números de Fibonacci en la práctica es determinar los intervalos de tiempo después de los cuales ocurrirá un evento particular, por ejemplo, un cambio de precio. El analista cuenta un cierto número de días o semanas de Fibonacci (13,21,34,55, etc.) desde el evento similar anterior y hace un pronóstico. Pero esto todavía me resulta demasiado difícil de entender. Aunque Fibonacci fue el mayor matemático de la Edad Media, los únicos monumentos a Fibonacci son una estatua frente a la Torre Inclinada de Pisa y dos calles que llevan su nombre: una en Pisa y otra en Florencia. Y, sin embargo, en relación con todo lo que he visto y leído, surgen preguntas bastante naturales. ¿De dónde vinieron estos números? ¿Quién es este arquitecto del universo que intentó hacerlo ideal? ¿Qué será lo próximo? Habiendo encontrado la respuesta a una pregunta, obtendrá la siguiente. Si lo resuelves, obtendrás dos nuevos. Una vez que te ocupes de ellos, aparecerán tres más. Habiéndolos resuelto también, tendrás cinco sin resolver. Luego ocho, trece, etc. No olvides que dos manos tienen cinco dedos, dos de los cuales constan de dos falanges y ocho de tres.
Literatura:
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Vorobyov N.N. “Números de Fibonacci”, M., Nauka, 1984.
Stajov A.P. “El Código Da Vinci y la Serie Fibonacci”, formato de San Petersburgo, 2006
F. Corvalán “La proporción áurea. Lenguaje matemático de la belleza”, M., De Agostini, 2014.
Maksimenko S.D. "Períodos sensibles de la vida y sus códigos".
"Números de Fibonacci". Wikipedia
