ششمین عدد در سری فیبوناچی. اعداد فیبوناچی: حقایق جالب ریاضی

آیا تا به حال شنیده اید که ریاضیات را "ملکه همه علوم" می نامند؟ آیا شما با این شرایط موافق هستید؟ تا زمانی که ریاضیات برای شما مجموعه ای از مشکلات خسته کننده در یک کتاب درسی باقی بماند ، به سختی می توانید زیبایی ، تطبیق پذیری و حتی طنز این علم را تجربه کنید.

اما موضوعاتی در ریاضیات وجود دارد که به مشاهدات جالب در مورد چیزها و پدیده هایی که برای ما مشترک است کمک می کند. و حتی سعی کنید در پرده رمز و راز خلقت جهان ما نفوذ کنید. الگوهای جالبی در دنیا وجود دارد که می توان آنها را با استفاده از ریاضیات توصیف کرد.

معرفی اعداد فیبوناچی

اعداد فیبوناچیعناصر یک دنباله اعداد را نام ببرید. در آن هر عدد بعدی در یک سری از جمع دو عدد قبلی بدست می آید.

دنباله مثال: 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144، 233، 377، 610، 987…

می توانید آن را اینگونه بنویسید:

F 0 = 0، F 1 = 1، F n = F n-1 + F n-2، n ≥ 2

می توانید یک سری اعداد فیبوناچی را با مقادیر منفی شروع کنید n. علاوه بر این، دنباله در این مورد دو طرفه است (یعنی اعداد منفی و مثبت را پوشش می دهد) و در هر دو جهت به بی نهایت میل می کند.

نمونه ای از چنین دنباله ای: -55، -34، -21، -13، -8، 5، 3، 2، -1، 1، 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21 ، 34، 55.

فرمول در این مورد به این صورت است:

F n = F n + 1 - F n + 2یا می توانید این کار را انجام دهید: F -n = (-1) n+1 Fn.

چیزی که ما اکنون به عنوان "اعداد فیبوناچی" می شناسیم، مدت ها قبل از شروع استفاده در اروپا برای ریاضیدانان هندی باستان شناخته شده بود. و این نام عموماً یک حکایت تاریخی پیوسته است. بیایید با این واقعیت شروع کنیم که خود فیبوناچی در طول زندگی خود هرگز خود را فیبوناچی نمی نامید - این نام فقط چند قرن پس از مرگ وی برای لئوناردو از پیزا اعمال شد. اما بیایید در مورد همه چیز به ترتیب صحبت کنیم.

لئوناردو اهل پیزا، با نام مستعار فیبوناچی

پسر تاجری که ریاضی دان شد و متعاقباً به عنوان اولین ریاضیدان بزرگ اروپا در قرون وسطی از آیندگان به رسمیت شناخته شد. حداقل به لطف اعداد فیبوناچی (که، به یاد داشته باشیم، هنوز به این نام خوانده نشده اند). که او در آغاز قرن سیزدهم در اثر خود "Liber abaci" ("کتاب چرتکه"، 1202) توصیف کرد.

من با پدرم به شرق سفر کردم، لئوناردو ریاضیات را نزد معلمان عرب خواند (و در آن روزها آنها از بهترین متخصصان در این موضوع و در بسیاری از علوم دیگر بودند). او آثار ریاضیدانان دوران باستان و هند باستان را در ترجمه های عربی خواند.

فیبوناچی با درک کامل همه چیزهایی که خوانده بود و با استفاده از ذهن کنجکاو خود، چندین رساله علمی در مورد ریاضیات نوشت، از جمله «کتاب چرتکه» که در بالا ذکر شد. علاوه بر این من ایجاد کردم:

• «Practica geometriae» («عمل هندسه»، 1220);
• "Flos" ("گل"، 1225 - مطالعه ای در مورد معادلات مکعبی)؛
• "Liber quadatorum" ("کتاب مربع"، 1225 - مسائل در معادلات درجه دوم نامعین).

او از طرفداران پر و پا قرص مسابقات ریاضی بود، بنابراین در رساله های خود به تجزیه و تحلیل مسائل مختلف ریاضی توجه زیادی داشت.

اطلاعات بیوگرافیک بسیار کمی از زندگی لئوناردو باقی مانده است. در مورد نام فیبوناچی، که تحت آن وارد تاریخ ریاضیات شد، تنها در قرن نوزدهم به او اختصاص یافت.

فیبوناچی و مشکلاتش

بعد از فیبوناچی تعداد زیادی مسئله باقی ماند که در قرن های بعدی در بین ریاضیدانان بسیار محبوب بود. ما به مسئله خرگوش می پردازیم که با استفاده از اعداد فیبوناچی حل می شود.

خرگوش ها نه تنها خز ارزشمندی هستند

فیبوناچی شرایط زیر را تعیین می کند: یک جفت خرگوش تازه متولد شده (زن و مرد) از چنین نژاد جالبی وجود دارد که آنها به طور مرتب (از ماه دوم شروع می شوند) فرزندان تولید می کنند - همیشه یک جفت جدید خرگوش. همچنین، همانطور که ممکن است حدس بزنید، یک مرد و یک ماده.

این خرگوش های مشروط در یک فضای محدود قرار می گیرند و با اشتیاق تولید مثل می کنند. همچنین مقرر شده است که حتی یک خرگوش به دلیل بیماری مرموز خرگوش نمی میرد.

ما باید محاسبه کنیم که در یک سال چند خرگوش خواهیم داشت.

• در ابتدای 1 ماه ما 1 جفت خرگوش داریم. در پایان ماه جفت می شوند.
• ماه دوم - ما در حال حاضر 2 جفت خرگوش داریم (یک جفت والدین دارند + 1 جفت فرزندان آنها هستند).
• ماه سوم: جفت اول یک جفت جدید به دنیا می آورد، جفت دوم جفت می گیرند. مجموع - 3 جفت خرگوش.
• ماه چهارم: جفت اول یک جفت جدید به دنیا می آورد ، جفت دوم وقت خود را تلف نمی کند و همچنین یک جفت جدید به دنیا می آورد ، جفت سوم هنوز فقط جفت گیری است. مجموع - 5 جفت خرگوش.

تعداد خرگوش در nماه هفتم = تعداد جفت خرگوش از ماه قبل + تعداد جفت های تازه متولد شده (همان تعداد جفت خرگوش وجود دارد زیرا 2 ماه قبل از آن جفت خرگوش وجود دارد). و همه اینها با فرمولی که قبلاً در بالا آورده ایم توضیح داده شده است: F n = F n-1 + F n-2.

بنابراین، ما یک تکرار (توضیح درباره بازگشت- زیر) دنباله اعداد. که در آن هر عدد بعدی برابر است با مجموع دو عدد قبلی:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

می توانید دنباله را برای مدت طولانی ادامه دهید: 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144، 233، 377، 610، 987<…>. اما از آنجایی که دوره خاصی را تعیین کرده ایم - یک سال، به نتیجه به دست آمده در "حرکت" دوازدهم علاقه مندیم. آن ها نفر سیزدهم سکانس: 377.

پاسخ مسئله: در صورت رعایت تمامی شرایط ذکر شده، 377 خرگوش به دست می آید.

یکی از ویژگی های دنباله اعداد فیبوناچی بسیار جالب است. اگر دو جفت متوالی از یک سری بگیرید و عدد بزرگتر را بر عدد کوچکتر تقسیم کنید، نتیجه به تدریج نزدیک می شود. نسبت طلایی(می توانید در ادامه مقاله در مورد آن بیشتر بخوانید).

از نظر ریاضی، "محدودیت روابط یک n+1به برابر با نسبت طلایی".

مشکلات بیشتر نظریه اعداد

1. عددی را پیدا کنید که بر 7 تقسیم شود. همچنین اگر آن را بر 2، 3، 4، 5، 6 تقسیم کنید، باقیمانده یک می شود.
2. عدد مربع را پیدا کنید. در مورد آن معلوم است که اگر 5 را به آن اضافه کنید یا 5 را کم کنید، دوباره یک عدد مربع به دست می آورید.

پیشنهاد می کنیم پاسخ این مشکلات را خودتان جستجو کنید. شما می توانید گزینه های خود را در نظرات این مقاله برای ما بگذارید. و سپس به شما خواهیم گفت که آیا محاسبات شما درست بوده است یا خیر.

توضیح بازگشت

بازگشت- تعریف، توصیف، تصویر یک شی یا فرآیندی که حاوی این شی یا فرآیند است. یعنی در اصل یک شیء یا فرآیند جزئی از خودش است.

بازگشت به طور گسترده در ریاضیات و علوم کامپیوتر و حتی در هنر و فرهنگ عامه استفاده می شود.

اعداد فیبوناچی با استفاده از یک رابطه بازگشتی تعیین می شوند. برای شماره n> 2 n-عدد e برابر است (n – 1) + (n – 2).

توضیح نسبت طلایی

نسبت طلایی- تقسیم یک کل (مثلاً یک پاره) به قطعاتی که طبق اصل زیر به هم مرتبط هستند: قسمت بزرگتر به اندازه کل مقدار (مثلاً مجموع دو بخش) به کوچکتر مربوط می شود. به بخش بزرگتر

اولین ذکر نسبت طلایی را می توان در اقلیدس در رساله «عناصر» (حدود 300 سال قبل از میلاد) یافت. در زمینه ساخت مستطیل منظم.

اصطلاح آشنا برای ما در سال 1835 توسط ریاضیدان آلمانی مارتین اهم وارد گردش شد.

اگر نسبت طلایی را تقریباً توصیف کنیم، نشان دهنده یک تقسیم متناسب به دو قسمت نابرابر است: تقریباً 62٪ و 38٪. از نظر عددی، نسبت طلایی عدد است 1,6180339887 .

نسبت طلایی در هنرهای زیبا (نقاشی های لئوناردو داوینچی و دیگر نقاشان دوره رنسانس)، معماری، سینما ("نبرد کشتی پوتمکین" اثر اس. اسنشتاین) و سایر زمینه ها کاربرد عملی پیدا می کند. برای مدت طولانی اعتقاد بر این بود که نسبت طلایی زیباترین نسبت است. این عقیده امروزه نیز رایج است. اگرچه طبق نتایج تحقیقات، بیشتر افراد از نظر بصری این نسبت را به عنوان موفق ترین گزینه درک نمی کنند و آن را بیش از حد دراز (نامتناسب) می دانند.

• طول بخش با = 1, آ = 0,618, ب = 0,382.
• نگرش بابه آ = 1, 618.
• نگرش بابه ب = 2,618

حالا بیایید به اعداد فیبوناچی برگردیم. بیایید دو عبارت متوالی را از دنباله آن بگیریم. عدد بزرگتر را بر عدد کوچکتر تقسیم کنید و تقریباً 1.618 بدست آورید. و اکنون از همان عدد بزرگتر و عضو بعدی سری (یعنی یک عدد حتی بزرگتر) استفاده می کنیم - نسبت آنها اولیه 0.618 است.

در اینجا یک مثال آورده شده است: 144، 233، 377.

233/144 = 1.618 و 233/377 = 0.618

به هر حال، اگر سعی کنید همان آزمایش را با اعداد از ابتدای دنباله انجام دهید (مثلاً 2، 3، 5)، هیچ کاری درست نمی شود. تقریبا. قانون نسبت طلایی به سختی برای شروع سکانس رعایت می شود. اما همانطور که در طول سریال حرکت می کنید و اعداد افزایش می یابد، عالی کار می کند.

و برای محاسبه کل سری اعداد فیبوناچی کافی است که سه جمله از دنباله را بدانید که یکی پس از دیگری می آیند. شما می توانید این را برای خودتان ببینید!

مستطیل طلایی و مارپیچ فیبوناچی

موازی جالب دیگر بین اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی، به اصطلاح "مستطیل طلایی" است: اضلاع آن به نسبت 1.618 به 1 است. اما ما قبلاً می دانیم که عدد 1.618 چیست، درست است؟

به عنوان مثال، بیایید دو عبارت متوالی از سری فیبوناچی - 8 و 13 - را در نظر بگیریم و یک مستطیل با پارامترهای زیر بسازیم: عرض = 8، طول = 13.

و سپس مستطیل بزرگ را به مستطیل های کوچکتر تقسیم می کنیم. شرط الزامی: طول اضلاع مستطیل ها باید با اعداد فیبوناچی مطابقت داشته باشد. آن ها طول ضلع مستطیل بزرگتر باید برابر با مجموع اضلاع دو مستطیل کوچکتر باشد.

نحوه انجام این کار در این شکل (برای راحتی، شکل ها با حروف لاتین امضا شده اند).

به هر حال، می توانید مستطیل ها را به ترتیب معکوس بسازید. آن ها ساختن را با مربع هایی با ضلع 1 شروع کنید. با توجه به اصل ذکر شده در بالا، شکل هایی با اضلاع برابر با اعداد فیبوناچی تکمیل می شوند. از نظر تئوری، این را می توان به طور نامحدود ادامه داد - هر چه باشد، سری فیبوناچی به طور رسمی نامحدود است.

اگر گوشه های مستطیل های به دست آمده در شکل را با یک خط صاف به هم وصل کنیم، یک مارپیچ لگاریتمی به دست می آید. یا بهتر است بگوییم مورد خاص آن مارپیچ فیبوناچی است. به ویژه با این واقعیت مشخص می شود که هیچ مرزی ندارد و شکل خود را تغییر نمی دهد.

یک مارپیچ مشابه اغلب در طبیعت یافت می شود. صدف های صدف یکی از بارزترین نمونه ها هستند. علاوه بر این، برخی از کهکشان هایی که از زمین دیده می شوند، شکل مارپیچی دارند. اگر به پیش بینی آب و هوا در تلویزیون توجه کنید، ممکن است متوجه شده باشید که طوفان ها هنگام عکسبرداری از ماهواره ها شکل مارپیچی مشابهی دارند.

کنجکاو است که مارپیچ DNA نیز از قانون بخش طلایی پیروی می کند - الگوی مربوطه را می توان در فواصل خم های آن مشاهده کرد.

چنین "تصادفی" شگفت انگیزی نمی تواند ذهن ها را برانگیزد و باعث صحبت در مورد الگوریتم واحدی شود که همه پدیده های زندگی جهان از آن پیروی می کنند. حالا متوجه شدید که چرا این مقاله به این شکل نامیده می شود؟ و ریاضیات چه نوع دنیای شگفت انگیزی را می تواند برای شما باز کند؟

اعداد فیبوناچی در طبیعت

ارتباط بین اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی الگوهای جالبی را نشان می دهد. آنقدر کنجکاو است که تلاش برای یافتن دنباله هایی شبیه به اعداد فیبوناچی در طبیعت و حتی در طول رویدادهای تاریخی وسوسه انگیز است. و طبیعت واقعاً چنین فرضیاتی را به وجود می آورد. اما آیا همه چیز در زندگی ما با استفاده از ریاضیات قابل توضیح و توصیف است؟

نمونه هایی از موجودات زنده که می توان با استفاده از دنباله فیبوناچی توصیف کرد:

• ترتیب برگها (و شاخه ها) در گیاهان - فواصل بین آنها با اعداد فیبوناچی (phyllotaxis) در ارتباط است.

• چیدمان دانه های آفتابگردان (دانه ها در دو ردیف مارپیچ که در جهات مختلف پیچ خورده اند قرار گرفته اند: یک ردیف در جهت عقربه های ساعت و دیگری در خلاف جهت عقربه های ساعت).

• ترتیب فلس های مخروط کاج؛
• گلبرگ گل؛
• سلول های آناناس؛
• نسبت طول فالانژهای انگشتان دست انسان (تقریبا) و غیره.

مسائل ترکیبی

اعداد فیبوناچی به طور گسترده ای در حل مسائل ترکیبی استفاده می شوند.

ترکیبیاتشاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه انتخاب تعداد معینی از عناصر از یک مجموعه تعیین شده، شمارش و غیره می پردازد.

بیایید به نمونه هایی از مسائل ترکیبی که برای سطح دبیرستان طراحی شده اند نگاه کنیم (منبع - http://www.problems.ru/).

وظیفه شماره 1:

لشا از یک پلکان 10 پله ای بالا می رود. یک دفعه یا یک پله یا دو پله می پرد بالا. لشا از چند طریق می تواند از پله ها بالا برود؟

تعداد راه هایی که لشا می تواند از آنها از پله ها بالا برود nمراحل، بیایید نشان دهیم و n.نتیجه می شود که یک 1 = 1, یک 2= 2 (پس از همه، لشا یک یا دو مرحله می پرد).

همچنین توافق شده است که لشا از پله ها بالا می پرد n> 2 مراحل فرض کنید بار اول دو پله پرید. این بدان معناست که با توجه به شرایط مشکل، او نیاز به پریدن دیگری دارد n – 2مراحل سپس تعداد راه های تکمیل صعود به شرح زیر است یک n–2. و اگر فرض کنیم که اولین باری که لشا فقط یک پله پرید، تعداد راه‌های تکمیل صعود را به صورت زیر توصیف می‌کنیم. یک n–1.

از اینجا برابری زیر را بدست می آوریم: a n = a n–1 + a n–2(آشنایی به نظر می رسد، اینطور نیست؟).

از آنجایی که می دانیم یک 1و یک 2و به یاد داشته باشید که با توجه به شرایط مسئله 10 مرحله وجود دارد، همه را به ترتیب محاسبه کنید و n: یک 3 = 3, یک 4 = 5, یک 5 = 8, یک 6 = 13, یک 7 = 21, یک 8 = 34, یک 9 = 55, یک 10 = 89.

جواب: 89 راه.

وظیفه شماره 2:

شما باید تعداد کلماتی به طول 10 حرف را پیدا کنید که فقط از حروف "a" و "b" تشکیل شده است و نباید شامل دو حرف "b" در یک ردیف باشد.

بیایید نشان دهیم تعداد طول کلمات nحروفی که فقط از حروف "الف" و "ب" تشکیل شده و دارای دو حرف "ب" در یک ردیف نیستند. به معنای، یک 1= 2, یک 2= 3.

در دنباله یک 1, یک 2, <…>, هر یک از اعضای بعدی آن را از طریق اعضای قبلی بیان خواهیم کرد. بنابراین، تعداد کلمات طولی است nحروفی که حاوی حرف دوتایی «ب» نیستند و با حرف «الف» شروع می شوند، هستند یک n–1. و اگر کلمه طولانی باشد nحروف با حرف "ب" شروع می شوند، منطقی است که حرف بعدی در چنین کلمه ای "الف" باشد (از همه اینها، با توجه به شرایط مسئله نمی توان دو "ب" وجود داشت). بنابراین، تعداد کلمات طولی است nدر این حالت ما حروف را به عنوان نشان می دهیم یک n–2. در هر دو مورد اول و دوم، هر کلمه (طول n – 1و n – 2حروف به ترتیب) بدون دو "ب".

ما توانستیم دلیل آن را توجیه کنیم a n = a n–1 + a n–2.

حالا بیایید محاسبه کنیم یک 3= یک 2+ یک 1= 3 + 2 = 5, یک 4= یک 3+ یک 2= 5 + 3 = 8, <…>, یک 10= یک 9+ یک 8= 144. و دنباله فیبوناچی آشنا را دریافت می کنیم.

جواب: 144.

وظیفه شماره 3:

تصور کنید که نواری وجود دارد که به سلول ها تقسیم شده است. به سمت راست می رود و به طور نامحدود ادامه می یابد. یک ملخ را روی مربع اول نوار قرار دهید. روی هر سلول نواری که باشد، فقط می تواند به سمت راست حرکت کند: یا یک سلول، یا دو. چند راه وجود دارد که ملخ می تواند از ابتدای نوار به آن بپرد n-ام سلول؟

اجازه دهید تعداد راه هایی را برای حرکت ملخ در طول کمربند مشخص کنیم n-ام سلول مانند . در این مورد یک 1 = یک 2= 1. همچنین در n+1ملخ می تواند از هر دو وارد سلول -ام شود nسلول -ام یا با پریدن از روی آن. از اینجا a n + 1 = a n – 1 + . جایی که = Fn - 1.

پاسخ: Fn - 1.

شما می توانید مسائل مشابهی را خودتان ایجاد کنید و سعی کنید در درس ریاضی با همکلاسی های خود آنها را حل کنید.

اعداد فیبوناچی در فرهنگ عامه

البته، چنین پدیده غیرعادی مانند اعداد فیبوناچی نمی تواند توجه را جلب کند. هنوز چیزی جذاب و حتی مرموز در این الگوی کاملاً تأیید شده وجود دارد. جای تعجب نیست که دنباله فیبوناچی به نوعی در بسیاری از آثار فرهنگ عامه مدرن در ژانرهای مختلف "روشن" شده است.

ما در مورد برخی از آنها به شما خواهیم گفت. و دوباره سعی می کنی خودت را جستجو کنی. اگر آن را پیدا کردید، آن را در نظرات با ما به اشتراک بگذارید - ما نیز کنجکاو هستیم!

• اعداد فیبوناچی در کتاب پرفروش دن براون به نام رمز داوینچی ذکر شده است: دنباله فیبوناچی به عنوان کدی است که شخصیت های اصلی کتاب برای باز کردن گاوصندوق استفاده می کنند.
• در فیلم آمریکایی آقای هیچ کس محصول 2009، در یک قسمت آدرس یک خانه بخشی از دنباله فیبوناچی است - 12358. علاوه بر این، در قسمت دیگر شخصیت اصلی باید با شماره تلفنی تماس بگیرد که در اصل یکسان است، اما کمی تحریف شده است. (رقم اضافی بعد از عدد 5) دنباله: 123-581-1321.
• در سری 2012 "ارتباط"، شخصیت اصلی، پسری که از اوتیسم رنج می‌برد، می‌تواند الگوهایی را در رویدادهایی که در جهان رخ می‌دهد تشخیص دهد. از جمله از طریق اعداد فیبوناچی. و این رویدادها را نیز از طریق اعداد مدیریت کنید.
• توسعه دهندگان بازی جاوا برای گوشی های موبایل Doom RPG یک در مخفی را در یکی از سطوح قرار دادند. کدی که آن را باز می کند دنباله فیبوناچی است.
• در سال 2012، گروه راک روسی اسپلین آلبوم مفهومی "فریب نوری" را منتشر کرد. آهنگ هشتم "فیبوناچی" نام دارد. آیات رهبر گروه الکساندر واسیلیف روی دنباله اعداد فیبوناچی می نوازند. برای هر یک از نه عبارت متوالی، تعداد خطوط مربوطه وجود دارد (0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21):

0 قطار راه افتاد

1 یک مفصل شکست

1 یکی از آستین ها می لرزید

2 همین، چیزها را بگیرید

همین، چیزها را بگیرید

3 درخواست آب جوش

قطار به سمت رودخانه می رود

قطار از تایگا عبور می کند<…>.

• یک لیمریک (شعر کوتاهی با فرم خاص - معمولاً پنج بیت، با طرح قافیه خاص، با محتوای طنز، که در آن سطرهای اول و آخر تکرار می شوند یا تا حدی تکرار می شوند) اثر جیمز لیندون نیز از ارجاع به فیبوناچی استفاده می کند. سکانس به عنوان یک موتیف طنز:

غذای غلیظ همسران فیبوناچی

فقط به نفع آنها بود نه چیز دیگری.

طبق شایعات، همسران وزن کردند،

هر کدام مانند دو مورد قبلی است.

بیایید آن را جمع بندی کنیم

امیدواریم امروز توانسته باشیم مطالب جالب و مفید زیادی را به شما بگوییم. به عنوان مثال، اکنون می توانید به دنبال مارپیچ فیبوناچی در طبیعت اطراف خود بگردید. شاید شما کسی باشید که بتوانید "راز زندگی، جهان و به طور کلی" را کشف کنید.

هنگام حل مسائل ترکیبی از فرمول اعداد فیبوناچی استفاده کنید. می توانید به مثال هایی که در این مقاله توضیح داده شده است اعتماد کنید.

blog.site، هنگام کپی کردن کامل یا جزئی مطالب، پیوند به منبع اصلی الزامی است.

از دستش ندهمشترک شوید و لینک مقاله را در ایمیل خود دریافت کنید.

البته شما با این ایده آشنا هستید که ریاضیات از همه علوم مهمتر است. اما ممکن است بسیاری با این موضوع مخالف باشند، زیرا ... گاهی اوقات به نظر می رسد که ریاضیات فقط مسائل، مثال ها و چیزهای خسته کننده ای مشابه است. با این حال، ریاضیات می تواند به راحتی چیزهای آشنا را از جنبه ای کاملاً ناآشنا به ما نشان دهد. علاوه بر این، او حتی می تواند اسرار جهان را فاش کند. چگونه؟ بیایید به اعداد فیبوناچی نگاه کنیم.

اعداد فیبوناچی چیست؟

اعداد فیبوناچی عناصر یک دنباله عددی هستند که هر یک از اعداد بعدی با جمع کردن دو عدد قبلی است، به عنوان مثال: 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89... به عنوان یک قاعده، چنین دنباله ای با فرمول نوشته می شود: F 0 = 0، F 1 = 1، F n = F n-1 + F n-2، n ≥ 2.

اعداد فیبوناچی می توانند با مقادیر منفی "n" شروع شوند، اما در این مورد دنباله دو طرفه خواهد بود - اعداد مثبت و منفی را پوشش می دهد و در هر دو جهت به سمت بی نهایت متمایل می شود. نمونه ای از چنین دنباله ای خواهد بود: -34، -21، -13، -8، -5، -3، -2، -1، 1، 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13 ، 21، 34، و فرمول به این صورت خواهد بود: F n = F n+1 - F n+2 یا F -n = (-1) n+1 Fn.

خالق اعداد فیبوناچی یکی از اولین ریاضیدانان اروپا در قرون وسطی به نام لئوناردو پیزا است که در واقع به فیبوناچی معروف است - او این نام مستعار را سالها پس از مرگش دریافت کرد.

لئوناردو پیزا در طول زندگی خود علاقه زیادی به مسابقات ریاضی داشت، به همین دلیل در آثارش ("Liber abaci" / "Book of Abacus"، 1202؛ "Practica geometriae" / "Practica of Geometry"، 1220، "Flos" / "گل"، 1225) - مطالعه ای در مورد معادلات مکعبی و "Liber Quadatorum" / "کتاب مربع ها"، 1225 - مسائل مربوط به معادلات درجه دوم نامشخص) اغلب انواع مسائل ریاضی را تجزیه و تحلیل می کند.

در مورد مسیر زندگی خود فیبوناچی اطلاعات بسیار کمی وجود دارد. اما آنچه مسلم است این است که مشکلات او در قرن های بعد از محبوبیت زیادی در محافل ریاضی برخوردار شد. در ادامه یکی از این موارد را بررسی خواهیم کرد.

مشکل فیبوناچی با خرگوش

برای تکمیل کار، نویسنده شرایط زیر را تعیین کرد: یک جفت خرگوش تازه متولد شده (ماده و نر) وجود دارد که با یک ویژگی جالب متمایز می شوند - از ماه دوم زندگی آنها یک جفت خرگوش جدید تولید می کنند - همچنین یک ماده و یک مرد خرگوش ها در فضاهای محدود نگهداری می شوند و دائماً تولید مثل می کنند. و حتی یک خرگوش نمی میرد.

وظیفه: تعیین تعداد خرگوش در یک سال.

راه حل:

ما داریم:

• یک جفت خرگوش در ابتدای ماه اول که در پایان ماه جفت گیری می کنند
• دو جفت خرگوش در ماه دوم (جفت اول و فرزندان)
• سه جفت خرگوش در ماه سوم (جفت اول، نسل جفت اول از ماه قبل و نسل جدید)
• پنج جفت خرگوش در ماه چهارم (جفت اول، نسل اول و دوم از جفت اول، سومین نسل از جفت اول و اولین نسل از جفت دوم)

تعداد خرگوش در ماه "n" = تعداد خرگوش در ماه گذشته + تعداد جفت خرگوش جدید، به عبارت دیگر فرمول فوق: F n = F n-1 + F n-2. این منجر به یک دنباله اعداد مکرر می شود (ما بعداً در مورد بازگشت صحبت خواهیم کرد)، که در آن هر عدد جدید با مجموع دو عدد قبلی مطابقت دارد:

1 ماه: 1 + 1 = 2

2 ماه: 2 + 1 = 3

3 ماه: 3 + 2 = 5

4 ماه: 5 + 3 = 8

5 ماه: 8 + 5 = 13

6 ماه: 13 + 8 = 21

ماه هفتم: 21 + 13 = 34

ماه هشتم: 34 + 21 = 55

9 ماه: 55 + 34 = 89

ماه دهم: 89 + 55 = 144

ماه یازدهم: 144 + 89 = 233

12 ماه: 233+ 144 = 377

و این توالی می تواند به طور نامحدود ادامه یابد، اما با توجه به اینکه کار این است که پس از یک سال تعداد خرگوش ها را دریابیم، نتیجه 377 جفت است.

در اینجا ذکر این نکته نیز ضروری است که یکی از ویژگی های اعداد فیبوناچی این است که اگر دو جفت متوالی را با هم مقایسه کنید و سپس جفت بزرگتر را به کوچکتر تقسیم کنید، نتیجه به سمت نسبت طلایی حرکت می کند که در زیر نیز در مورد آن صحبت خواهیم کرد. .

در همین حال، ما دو مشکل دیگر در مورد اعداد فیبوناچی را به شما پیشنهاد می کنیم:

• یک عدد مربعی تعیین کنید که فقط می دانیم که اگر 5 را از آن کم کنید یا 5 را به آن اضافه کنید، دوباره یک عدد مربع به دست خواهید آورد.
• عددی را تعیین کنید که بر 7 بخش پذیر باشد، اما به شرطی که با تقسیم آن بر 2، 3، 4، 5 یا 6، 1 باقی بماند.

چنین کارهایی نه تنها راهی عالی برای رشد ذهن، بلکه یک سرگرمی سرگرم کننده نیز خواهد بود. همچنین می توانید با جستجوی اطلاعات در اینترنت متوجه شوید که چگونه این مشکلات حل می شوند. ما روی آنها تمرکز نخواهیم کرد، بلکه داستان خود را ادامه خواهیم داد.

بازگشت و نسبت طلایی چیست؟

بازگشت

بازگشت توصیف، تعریف یا تصویری از هر شی یا فرآیندی است که شامل خود شی یا فرآیند داده شده است. به عبارت دیگر، یک شی یا فرآیند را می توان بخشی از خود نامید.

بازگشت به طور گسترده نه تنها در علوم ریاضی، بلکه در علوم کامپیوتر، فرهنگ عامه و هنر نیز استفاده می شود. در مورد اعداد فیبوناچی می توان گفت که اگر عدد "n>2" باشد، "n" = (n-1)+(n-2) است.

نسبت طلایی

نسبت طلایی تقسیم کل به قطعاتی است که بر اساس این اصل مرتبط هستند: بزرگتر به همان شکلی که ارزش کل به قسمت بزرگتر مربوط می شود به کوچکتر مربوط می شود.

نسبت طلایی برای اولین بار توسط اقلیدس (رساله "عناصر"، حدود 300 قبل از میلاد) ذکر شد و در مورد ساخت مستطیل منظم صحبت کرد. با این حال، یک مفهوم آشناتر توسط ریاضیدان آلمانی مارتین اهم معرفی شد.

به طور تقریبی، نسبت طلایی را می توان به عنوان یک تقسیم متناسب به دو بخش مختلف، به عنوان مثال، 38٪ و 68٪ نشان داد. بیان عددی نسبت طلایی تقریباً 1.6180339887 است.

در عمل از نسبت طلایی در معماری، هنرهای زیبا (به آثار نگاه کنید)، سینما و سایر زمینه ها استفاده می شود. برای مدت طولانی، مانند اکنون، نسبت طلایی به عنوان یک نسبت زیبایی شناختی در نظر گرفته می شد، اگرچه اکثر مردم آن را نامتناسب - دراز می دانند.

می توانید سعی کنید نسبت طلایی را خودتان با توجه به نسبت های زیر تخمین بزنید:

• طول قطعه a = 0.618
• طول قطعه b= 0.382
• طول قطعه c = 1
• نسبت c و a = 1.618
• نسبت c و b = 2.618

حالا بیایید نسبت طلایی را به اعداد فیبوناچی اعمال کنیم: دو عبارت مجاور دنباله آن را می گیریم و عدد بزرگتر را بر عدد کوچکتر تقسیم می کنیم. ما تقریباً 1.618 دریافت می کنیم. اگر همان عدد بزرگتر را بگیریم و آن را بر عدد بزرگتر بعدی بعد از آن تقسیم کنیم، تقریباً 0.618 به دست می آید. خودتان آن را امتحان کنید: با اعداد 21 و 34 یا برخی دیگر "بازی" کنید. اگر این آزمایش را با اعداد اول دنباله فیبوناچی انجام دهیم، دیگر چنین نتیجه ای وجود نخواهد داشت، زیرا نسبت طلایی "کار نمی کند" در ابتدای دنباله. به هر حال، برای تعیین تمام اعداد فیبوناچی، فقط باید سه عدد اول متوالی را بدانید.

و در خاتمه، غذای بیشتری برای فکر کردن.

مستطیل طلایی و مارپیچ فیبوناچی

"مستطیل طلایی" رابطه دیگری بین نسبت طلایی و اعداد فیبوناچی است، زیرا ... نسبت تصویر آن 1.618 به 1 است (عدد 1.618 را به خاطر بسپارید!).

یک مثال: از دنباله فیبوناچی دو عدد مثلا 8 و 13 می گیریم و یک مستطیل به عرض 8 سانتی متر و طول 13 سانتی متر می کشیم و بعد مستطیل اصلی را به مستطیل های کوچک تقسیم می کنیم. طول و عرض باید با اعداد فیبوناچی مطابقت داشته باشد - طول یک لبه مستطیل بزرگ باید برابر با دو طول لبه لبه کوچکتر باشد.

پس از این، گوشه های تمام مستطیل هایی را که داریم با یک خط صاف به هم وصل می کنیم و یک مورد خاص از یک مارپیچ لگاریتمی - مارپیچ فیبوناچی به دست می آوریم. ویژگی های اصلی آن عدم وجود مرزها و تغییر شکل است. چنین مارپیچی را اغلب می‌توان در طبیعت یافت: بارزترین نمونه‌ها پوسته نرم تنان، طوفان‌ها در تصاویر ماهواره‌ای و حتی تعدادی کهکشان هستند. اما جالب‌تر این است که DNA موجودات زنده نیز از همین قانون پیروی می‌کند، زیرا به یاد دارید که شکل مارپیچی دارد؟

این و بسیاری از تصادفات "تصادفی" دیگر حتی امروز آگاهی دانشمندان را برانگیخته و نشان می دهد که همه چیز در جهان تابع یک الگوریتم واحد است، علاوه بر این، یک الگوریتم ریاضی. و این علم تعداد زیادی راز و رمز و راز کاملاً خسته کننده را پنهان می کند.

با این حال، این تمام چیزی نیست که می توان با نسبت طلایی انجام داد. اگر یک را بر 0.618 تقسیم کنیم، 1.618، اگر آن را مربع کنیم، 2.618 و اگر آن را مکعب کنیم، 4.236 به دست می آید. اینها نسبت های انبساط فیبوناچی هستند. تنها عدد گم شده در اینجا 3236 است که توسط جان مورفی پیشنهاد شده است.

نظر کارشناسان در مورد ثبات چیست؟

برخی ممکن است بگویند که این اعداد از قبل آشنا هستند زیرا در برنامه های تحلیل تکنیکال برای تعیین میزان اصلاحات و گسترش استفاده می شوند. علاوه بر این، همین سریال ها نقش مهمی در نظریه موج الیوت دارند. مبنای عددی آن هستند.

نیکولای متخصص ما یک مدیر نمونه کار ثابت در شرکت سرمایه گذاری Vostok است.

• - نیکولای، آیا به نظر شما ظهور اعداد فیبوناچی و مشتقات آن در نمودارهای ابزارهای مختلف تصادفی است؟ و آیا می توان گفت: "کاربرد عملی سری فیبوناچی" صورت می گیرد؟
• - من نسبت به عرفان نگرش بدی دارم. و حتی بیشتر از آن در نمودارهای بورس. هر چیزی دلایل خودش را دارد. در کتاب "سطوح فیبوناچی" او به زیبایی توضیح داد که نسبت طلایی در کجا ظاهر می شود، از اینکه در نمودار قیمت بورس ظاهر شد تعجب نکرد. اما بیهوده! در بسیاری از مثال‌هایی که او آورد، عدد Pi اغلب ظاهر می‌شود. اما به دلایلی در نسبت قیمت لحاظ نشده است.
• - پس شما به اثربخشی اصل موج الیوت اعتقاد ندارید؟
• - نه، موضوع این نیست. اصل موج یک چیز است. نسبت عددی متفاوت است. و دلایل ظاهر شدن آنها در نمودار قیمت سومین است
• - به نظر شما دلایل ظاهر شدن نسبت طلایی در نمودارهای سهام چیست؟
• - پاسخ صحیح به این سوال ممکن است جایزه نوبل اقتصاد را برای شما به ارمغان آورد. در حال حاضر می توانیم دلایل واقعی را حدس بزنیم. آنها به وضوح با طبیعت هماهنگ نیستند. مدل های زیادی برای قیمت گذاری مبادله ای وجود دارد. آنها پدیده تعیین شده را توضیح نمی دهند. اما درک نکردن ماهیت یک پدیده نباید آن پدیده را انکار کند.
• - و اگر این قانون باز شود، آیا می تواند روند مبادلات را از بین ببرد؟
• - همانطور که همان تئوری موج نشان می دهد، قانون تغییرات قیمت سهام یک روانشناسی ناب است. به نظر من آگاهی از این قانون چیزی را تغییر نمی دهد و نمی تواند بورس را از بین ببرد.

مطالب ارائه شده توسط وب مستر وبلاگ Maxim.

همزمانی اصول بنیادی ریاضیات در انواع نظریه ها باورنکردنی به نظر می رسد. شاید فانتزی باشد یا برای نتیجه نهایی سفارشی شده باشد. صبر کن و ببین. بسیاری از چیزهایی که قبلاً غیرعادی تلقی می شد یا امکان پذیر نبود: برای مثال، اکتشاف فضایی امری عادی شده است و هیچ کس را شگفت زده نمی کند. همچنین تئوری موج که ممکن است غیرقابل درک باشد به مرور زمان قابل دسترس تر و قابل فهم تر خواهد شد. آنچه قبلاً غیر ضروری بود، در دست یک تحلیلگر با تجربه، به ابزاری قدرتمند برای پیش‌بینی رفتار آینده تبدیل خواهد شد.

اعداد فیبوناچی در طبیعت

نگاه کن

حالا بیایید در مورد اینکه چگونه می توانید این واقعیت را که سری دیجیتال فیبوناچی در هر الگوی در طبیعت دخیل است را رد کنید صحبت کنیم.

بیایید هر دو عدد دیگر را بگیریم و دنباله ای با همان منطق اعداد فیبوناچی بسازیم. یعنی عضو بعدی دنباله برابر با مجموع دو نفر قبلی است. به عنوان مثال دو عدد 6 و 51 را در نظر می گیریم. حالا دنباله ای می سازیم که با دو عدد 1860 و 3009 کامل می کنیم. توجه داشته باشید که هنگام تقسیم این اعداد عددی نزدیک به نسبت طلایی به دست می آوریم.

در همان زمان، اعدادی که هنگام تقسیم جفت های دیگر به دست آمد، از اول به آخر کاهش یافت، که به ما اجازه می دهد بگوییم که اگر این سری به طور نامحدود ادامه یابد، عددی برابر با نسبت طلایی به دست خواهیم آورد.

بنابراین، اعداد فیبوناچی به هیچ وجه برجسته نیستند. دنباله های دیگری از اعداد وجود دارد که یک عدد نامتناهی از آنها وجود دارد که در نتیجه همان عملیات عدد طلایی فی را می دهند.

فیبوناچی باطنی نبود. او نمی خواست هیچ عرفانی را در اعداد وارد کند، او به سادگی یک مشکل معمولی در مورد خرگوش ها را حل می کرد. و او دنباله ای از اعداد را نوشت که در ماه های اول، دوم و ماه های دیگر، بعد از تولید مثل چند خرگوش وجود دارد. در عرض یک سال، او همان سکانس را دریافت کرد. و من رابطه ای انجام ندادم. هیچ صحبتی از نسبت طلایی یا نسبت الهی وجود نداشت. همه اینها پس از او در دوران رنسانس اختراع شد.

در مقایسه با ریاضیات، مزایای فیبوناچی بسیار زیاد است. او سیستم اعداد را از اعراب اقتباس کرد و اعتبار آن را ثابت کرد. این یک مبارزه سخت و طولانی بود. از سیستم اعداد رومی: سنگین و نامناسب برای شمارش. پس از انقلاب فرانسه ناپدید شد. فیبوناچی ربطی به نسبت طلایی ندارد.

متن اثر بدون تصویر و فرمول درج شده است.
نسخه کامل اثر در برگه «فایل‌های کاری» با فرمت PDF موجود است

معرفی

بالاترین هدف ریاضیات یافتن نظم پنهان در هرج و مرج است که ما را احاطه کرده است.

واینر ن.

یک فرد در تمام زندگی خود برای دانش تلاش می کند و سعی می کند دنیای اطراف خود را مطالعه کند. و در فرآیند مشاهده، سوالاتی مطرح می شود که نیاز به پاسخ دارند. پاسخ ها پیدا می شود، اما سؤالات جدیدی مطرح می شود. در یافته های باستان شناسی، در آثار تمدن، دور از یکدیگر در زمان و مکان، یک عنصر مشابه یافت می شود - الگویی به شکل مارپیچ. برخی آن را نمادی از خورشید می دانند و آن را با آتلانتیس افسانه ای مرتبط می دانند، اما معنای واقعی آن ناشناخته است. شکل یک کهکشان و یک گردباد جوی، چیدمان برگ ها روی ساقه و چینش دانه ها در گل آفتابگردان چه وجه اشتراکی دارند؟ این الگوها به مارپیچ "طلایی" می رسد، دنباله شگفت انگیز فیبوناچی که توسط ریاضیدان بزرگ ایتالیایی قرن سیزدهم کشف شد.

تاریخچه اعداد فیبوناچی

برای اولین بار از یک معلم ریاضی در مورد اعداد فیبوناچی شنیدم. اما، علاوه بر این، من نمی دانستم ترتیب این اعداد چگونه با هم جمع شده اند. این همان چیزی است که این سکانس در واقع به آن معروف است، می خواهم به شما بگویم که چگونه روی شخص تأثیر می گذارد. اطلاعات کمی در مورد لئوناردو فیبوناچی وجود دارد. حتی تاریخ تولد دقیقی هم در دست نیست. معروف است که او در سال 1170 در خانواده ای بازرگان در شهر پیزا در ایتالیا به دنیا آمد. پدر فیبوناچی اغلب در مورد مسائل تجاری از الجزایر بازدید می کرد و لئوناردو در آنجا ریاضیات را نزد معلمان عرب خواند. متعاقباً چندین اثر ریاضی نوشت که مشهورترین آنها «کتاب چرتکه» است که تقریباً تمام اطلاعات حسابی و جبری آن زمان را در خود دارد. 2

اعداد فیبوناچی دنباله ای از اعداد هستند که دارای تعدادی ویژگی هستند. فیبوناچی این دنباله اعداد را به طور تصادفی کشف کرد که در سال 1202 سعی در حل یک مسئله عملی در مورد خرگوش داشت. «شخصی یک جفت خرگوش را در جایی قرار داد که از هر طرف با دیوار حصار شده بود تا بفهمد در طول سال چند جفت خرگوش به دنیا می‌آید، اگر ماهیت خرگوش‌ها طوری باشد که بعد از یک ماه یک جفت خرگوش به دنیا بیاید. از خرگوش ها یک جفت دیگر به دنیا می آید و خرگوش ها از ماه دوم بعد از تولد شما زایمان می کنند." او هنگام حل این مشکل در نظر گرفت که هر جفت خرگوش در طول زندگی خود دو جفت دیگر به دنیا می آورد و سپس می میرند. ترتیب اعداد به این ترتیب ظاهر شد: 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، ... در این دنباله هر عدد بعدی برابر است با مجموع دو عدد قبلی. آن را دنباله فیبوناچی نامیدند. خواص ریاضی دنباله

من می خواستم این دنباله را کشف کنم و برخی از ویژگی های آن را کشف کردم. این الگو از اهمیت بالایی برخوردار است. دنباله به آرامی به یک نسبت ثابت معین تقریباً 1.618 نزدیک می شود و نسبت هر عدد به عدد بعدی تقریباً 0.618 است.

می توانید به تعدادی از ویژگی های جالب اعداد فیبوناچی توجه کنید: دو عدد همسایه نسبتا اول هستند. هر عدد سوم زوج است. هر پانزدهم به صفر ختم می شود. هر چهارم یک نفر از سه است. اگر هر 10 عدد مجاور را از دنباله فیبوناچی انتخاب کنید و آنها را با هم جمع کنید، همیشه عددی مضربی از 11 به دست می آورید. اما این تمام نیست. هر مجموع برابر است با عدد 11 ضرب در جمله هفتم دنباله داده شده. در اینجا یکی دیگر از ویژگی های جالب است. برای هر n، مجموع جمله های اول دنباله همیشه برابر با اختلاف بین (n+ 2)امین و اولین جمله های دنباله خواهد بود. این واقعیت را می توان با فرمول بیان کرد: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. اکنون ترفند زیر را در اختیار داریم: برای یافتن مجموع همه عبارت ها

دنباله ای بین دو عبارت داده شده، کافی است تفاوت ترم های مربوطه (n+2)-x را پیدا کنید. به عنوان مثال ، یک 26 +… +a 40 = a 42 - A 27. حالا بیایید به دنبال ارتباط فیبوناچی، فیثاغورث و «نسبت طلایی» باشیم. مشهورترین شواهد نبوغ ریاضی بشر، قضیه فیثاغورث است: در هر مثلث قائم الزاویه، مجذور هیپوتانوس برابر است با مجموع مجذورهای پاهای آن: c 2 =b 2 +a 2. از نظر هندسی می توان تمام اضلاع یک مثلث قائم الزاویه را اضلاع سه مربع ساخته شده بر روی آنها در نظر گرفت. قضیه فیثاغورث بیان می کند که مساحت مجموع مربع های ساخته شده در اضلاع یک مثلث قائم الزاویه برابر با مساحت مربع ساخته شده روی هیپوتنوس است. اگر طول اضلاع یک مثلث قائم الزاویه اعداد صحیح باشد، گروهی متشکل از سه عدد به نام سه گانه فیثاغورثی را تشکیل می دهند. با استفاده از دنباله فیبوناچی می توانید چنین سه قلوهایی را پیدا کنید. بیایید هر چهار عدد متوالی را از دنباله مثلاً 2، 3، 5 و 8 بگیریم و سه عدد دیگر را به صورت زیر بسازیم: 1) حاصل ضرب دو عدد انتهایی: 2*8=16؛ 2) حاصل ضرب دوگانه از دو عدد وسط: 2* (3*5)=30;3) مجموع مربعات دو عدد متوسط: 3 2 +5 2 =34; 34 2 = 30 2 + 16 2. این روش برای هر چهار عدد فیبوناچی متوالی کار می کند. هر سه عدد متوالی در سری فیبوناچی رفتاری قابل پیش بینی دارند. اگر دو عدد افراطی را ضرب کنید و نتیجه را با مجذور عدد متوسط ​​مقایسه کنید، نتیجه همیشه یک تفاوت خواهد داشت. به عنوان مثال برای اعداد 5، 8 و 13 به دست می آید: 5*13=8 2 +1. اگر از منظر هندسی به این خاصیت نگاه کنید متوجه چیز عجیبی خواهید شد. مربع را تقسیم کنید

اندازه 8x8 (در مجموع 64 مربع کوچک) به چهار قسمت تقسیم می شود که طول اضلاع برابر با اعداد فیبوناچی است. حالا از این قسمت ها یک مستطیل به ابعاد 5x13 می سازیم. مساحت آن 65 مربع کوچک است. مربع اضافی از کجا می آید؟ مسئله این است که یک مستطیل ایده آل تشکیل نمی شود، اما شکاف های کوچکی باقی می ماند که در مجموع این واحد مساحت اضافی را می دهد. مثلث پاسکال نیز با دنباله فیبوناچی ارتباط دارد. شما فقط باید خطوط مثلث پاسکال را یکی زیر دیگری بنویسید و سپس عناصر را به صورت مورب اضافه کنید. نتیجه دنباله فیبوناچی است.

حال یک مستطیل طلایی را در نظر بگیرید که یک ضلع آن 1.618 برابر بیشتر از دیگری است. در نگاه اول ممکن است برای ما یک مستطیل معمولی به نظر برسد. با این حال، اجازه دهید یک آزمایش ساده با دو کارت بانکی معمولی انجام دهیم. یکی از آنها را به صورت افقی و دیگری را به صورت عمودی طوری قرار می دهیم که اضلاع پایینی آنها روی یک خط باشد. اگر یک خط مورب در یک نقشه افقی بکشیم و آن را گسترش دهیم، خواهیم دید که دقیقاً از گوشه سمت راست بالای نقشه عمودی عبور می کند - یک شگفتی دلپذیر. شاید این یک تصادف باشد، یا شاید این مستطیل ها و سایر اشکال هندسی که از «نسبت طلایی» استفاده می کنند، به ویژه برای چشم خوشایند باشند. آیا لئوناردو داوینچی هنگام کار بر روی شاهکار خود به نسبت طلایی فکر می کرد؟ این بعید به نظر می رسد. با این حال، می توان ادعا کرد که او به ارتباط بین زیبایی شناسی و ریاضیات اهمیت زیادی می داد.

اعداد فیبوناچی در طبیعت

ارتباط نسبت طلایی با زیبایی فقط به ادراک انسان مربوط نمی شود. به نظر می رسد که طبیعت خود نقش ویژه ای به ف. اگر مربع ها را به صورت متوالی در یک مستطیل طلایی بنویسید، سپس در هر مربع یک قوس بکشید، یک منحنی ظریف به نام مارپیچ لگاریتمی دریافت خواهید کرد. اصلاً یک کنجکاوی ریاضی نیست. 5

برعکس، این خط چشمگیر اغلب در دنیای فیزیکی یافت می‌شود: از پوسته یک ناتیلوس تا بازوهای کهکشان‌ها، و در مارپیچ زیبای گلبرگ‌های یک گل رز در حال شکوفه. ارتباط بین نسبت طلایی و اعداد فیبوناچی متعدد و شگفت انگیز است. بیایید گلی را در نظر بگیریم که بسیار متفاوت از گل رز است - یک گل آفتابگردان با دانه. اولین چیزی که می بینیم این است که دانه ها در دو نوع مارپیچ قرار گرفته اند: در جهت عقربه های ساعت و خلاف جهت عقربه های ساعت. اگر مارپیچ ها را در جهت عقربه های ساعت بشماریم، دو عدد به ظاهر معمولی به دست می آوریم: 21 و 34. این تنها مثالی نیست که اعداد فیبوناچی را می توان در ساختار گیاهان یافت.

طبیعت نمونه های متعددی از آرایش اجسام همگن که با اعداد فیبوناچی توصیف شده اند به ما می دهد. در آرایش های مارپیچی مختلف قسمت های کوچک گیاه، معمولاً دو خانواده مارپیچ قابل تشخیص است. در یکی از این خانواده ها مارپیچ ها در جهت عقربه های ساعت پیچ می خورند، در حالی که در دیگری خلاف جهت عقربه های ساعت می پیچند. اعداد مارپیچ از یک نوع و نوع دیگر اغلب اعداد فیبوناچی مجاور هستند. بنابراین، با گرفتن یک شاخه کاج جوان، به راحتی می توان متوجه شد که سوزن ها دو مارپیچ را تشکیل می دهند که از پایین سمت چپ به سمت راست بالا می روند. در بسیاری از مخروط ها، دانه ها در سه مارپیچ قرار گرفته اند و به آرامی دور ساقه مخروط می پیچند. آنها در پنج مارپیچ قرار دارند که به شدت در جهت مخالف پیچ می شوند. در مخروط های بزرگ می توان مارپیچ های 5 و 8 و حتی 8 و 13 را مشاهده کرد. مارپیچ های فیبوناچی نیز به وضوح روی یک آناناس قابل مشاهده است: معمولاً 8 و 13 عدد از آنها وجود دارد.

شاخساره کاسنی پرتاب شدیدی به فضا می‌کند، می‌ایستد، برگ رها می‌کند، اما این زمان کوتاه‌تر از اولی است، دوباره به فضا پرتاب می‌کند، اما با نیروی کمتر، یک برگ با اندازه کوچک‌تر را رها می‌کند و دوباره پرتاب می‌شود. . تکانه های رشد آن به تدریج متناسب با بخش "طلایی" کاهش می یابد. برای درک نقش عظیم اعداد فیبوناچی، فقط باید به زیبایی طبیعت اطراف خود نگاه کنید. اعداد فیبوناچی را می توان در کمیت یافت

شاخه های روی ساقه هر گیاه در حال رشد و به تعداد گلبرگ.

بیایید گلبرگ های چند گل را بشماریم - زنبق با 3 گلبرگ، گل پامچال با 5 گلبرگ، ابروسیا با 13 گلبرگ، گل ذرت با 34 گلبرگ، ستاره گل با 55 گلبرگ و غیره. آیا این یک تصادف است یا یک قانون طبیعت است؟ به ساقه ها و گل های بومادران نگاه کنید. بنابراین، توالی فیبوناچی کل به راحتی می تواند الگوی تجلی اعداد "طلایی" موجود در طبیعت را تفسیر کند. این قوانین بدون توجه به آگاهی و تمایل ما به پذیرش یا عدم پذیرش آنها عمل می کنند. الگوهای تقارن "طلایی" در انتقال انرژی ذرات بنیادی، در ساختار برخی از ترکیبات شیمیایی، در سیستم های سیاره ای و کیهانی، در ساختارهای ژنی موجودات زنده، در ساختار اندام های فردی انسان و بدن ظاهر می شوند. یک کل، و همچنین خود را در بیوریتم ها و عملکرد مغز و ادراک بصری نشان می دهند.

اعداد فیبوناچی در معماری

«نسبت طلایی» در بسیاری از خلاقیت‌های معماری قابل توجه در طول تاریخ بشر نیز مشهود است. معلوم شد که ریاضیدانان یونان باستان و مصر باستان این ضرایب را خیلی قبل از فیبوناچی می دانستند و آنها را "نسبت طلایی" نامیدند. یونانیان از اصل «نسبت طلایی» در ساخت پارتنون استفاده کردند و مصریان از هرم بزرگ جیزه استفاده کردند. پیشرفت در تکنولوژی ساخت و ساز و توسعه مصالح جدید فرصت های جدیدی را برای معماران قرن بیستم گشود. فرانک لوید رایت آمریکایی یکی از حامیان اصلی معماری ارگانیک بود. او کمی قبل از مرگش، موزه سولومون گوگنهایم را در نیویورک طراحی کرد که به صورت مارپیچ وارونه است و فضای داخلی موزه شبیه پوسته ناتیلوس است. زوی هکر معمار لهستانی-اسرائیلی نیز در طراحی مدرسه هاینز گالینسکی در برلین که در سال 1995 تکمیل شد، از سازه های مارپیچی استفاده کرد. هکر با ایده یک گل آفتابگردان با دایره مرکزی شروع کرد، از کجا

همه عناصر معماری متفاوت هستند. ساختمان ترکیبی است

مارپیچ های متعامد و متحدالمرکز، نمادی از تعامل دانش محدود انسانی و هرج و مرج کنترل شده طبیعت. معماری آن از گیاهی تقلید می کند که حرکت خورشید را دنبال می کند، بنابراین کلاس های درس در طول روز روشن می شوند.

در پارک کوئینسی، واقع در کمبریج، ماساچوست (ایالات متحده آمریکا)، مارپیچ "طلایی" را اغلب می توان یافت. این پارک در سال 1997 توسط هنرمند دیوید فیلیپس طراحی شد و در نزدیکی موسسه ریاضی Clay قرار دارد. این موسسه یک مرکز مشهور برای تحقیقات ریاضی است. در پارک کوئینسی، می‌توانید در میان مارپیچ‌های طلایی و منحنی‌های فلزی، نقش برجسته‌های دو پوسته و صخره‌ای با نماد ریشه مربع قدم بزنید. این علامت حاوی اطلاعاتی در مورد نسبت "طلایی" است. حتی پارک دوچرخه هم از علامت F استفاده می کند.

اعداد فیبوناچی در روانشناسی

در روان‌شناسی، نقاط عطف، بحران‌ها و انقلاب‌ها مورد توجه قرار گرفته‌اند که تغییراتی را در ساختار و عملکرد روح در مسیر زندگی فرد نشان می‌دهند. اگر فردی با موفقیت بر این بحران ها غلبه کند، در آن صورت قادر به حل مشکلات طبقه جدیدی می شود که قبلاً حتی به آن فکر نکرده بود.

وجود تغییرات اساسی دلیلی برای در نظر گرفتن زمان زندگی به عنوان یک عامل تعیین کننده در رشد کیفیت های معنوی می دهد. به هر حال، طبیعت زمان را سخاوتمندانه برای ما اندازه گیری نمی کند، «هرچقدر هم که باشد، آنقدر خواهد بود»، بلکه به اندازه ای است که فرآیند توسعه محقق شود:

در ساختارهای بدن؛

در احساسات، تفکر و مهارت های روانی-حرکتی - تا زمانی که به دست آورند هماهنگیبرای ظهور و راه اندازی مکانیسم ضروری است

خلاقیت؛

در ساختار پتانسیل انرژی انسان

رشد بدن را نمی توان متوقف کرد: کودک بالغ می شود. با مکانیسم خلاقیت، همه چیز به این سادگی نیست. توسعه آن را می توان متوقف کرد و جهت آن را تغییر داد.

آیا فرصتی برای رسیدن به زمان وجود دارد؟ بی شک. اما برای این کار باید روی خودتان کار زیادی انجام دهید. آنچه آزادانه رشد می کند، به طور طبیعی، نیاز به تلاش خاصی ندارد: کودک آزادانه رشد می کند و متوجه این کار عظیم نمی شود، زیرا روند رشد آزاد بدون خشونت علیه خود ایجاد می شود.

معنای سفر زندگی در آگاهی روزمره چگونه درک می شود؟ افراد معمولی به این شکل می بینند: در پایین تولد وجود دارد، در بالا اوج زندگی وجود دارد، و سپس همه چیز به سراشیبی می رود.

حکیم خواهد گفت: همه چیز بسیار پیچیده تر است. او صعود را به مراحلی تقسیم می کند: کودکی، نوجوانی، جوانی... چرا اینطور است؟ تعداد کمی می توانند پاسخ دهند، اگرچه همه مطمئن هستند که این مراحل بسته و جدایی ناپذیر زندگی هستند.

برای یافتن چگونگی توسعه مکانیسم خلاقیت، V.V. کلیمنکو از ریاضیات استفاده کرد، یعنی قوانین اعداد فیبوناچی و نسبت "بخش طلایی" - قوانین طبیعت و زندگی انسان.

اعداد فیبوناچی زندگی ما را با توجه به تعداد سال های زندگی به مراحل تقسیم می کنند: 0 - شروع شمارش معکوس - کودک متولد می شود. او هنوز نه تنها مهارت های روانی حرکتی، تفکر، احساسات، تخیل، بلکه پتانسیل انرژی عملیاتی را نیز ندارد. او آغاز یک زندگی جدید، هماهنگی جدید است.

1- کودک بر راه رفتن مسلط است و بر محیط اطراف خود تسلط دارد.

2- گفتار را می فهمد و با دستورات کلامی عمل می کند.

3 - از طریق کلمات عمل می کند، سؤال می کند.

5 - "سن فیض" - هماهنگی روانی حرکتی، حافظه، تخیل و احساسات، که از قبل به کودک اجازه می دهد تا جهان را با تمامیت آن در آغوش بگیرد.

8 - احساسات به منصه ظهور می رسند. تخیل به آنها خدمت می کند، و تفکر از طریق انتقادی بودن، هدفش حمایت از هماهنگی درونی و بیرونی زندگی است.

13 - مکانیسم استعداد شروع به کار می کند، با هدف تبدیل مواد به دست آمده در فرآیند وراثت، توسعه استعداد خود.

21 - مکانیسم خلاقیت به حالت هماهنگی نزدیک شده است و تلاش می شود کارهای با استعداد انجام شود.

34- هماهنگی تفکر، احساسات، تخیل و مهارت های روانی حرکتی: توانایی کار مبتکرانه متولد می شود.

55 - در این سن به شرط حفظ هماهنگی روح و جسم، انسان آماده خالق شدن است. و غیره…

سری اعداد فیبوناچی چیست؟ آنها را می توان به سدهایی در مسیر زندگی تشبیه کرد. این سدها در انتظار هر کدام از ما هستند. اول از همه، شما باید بر هر یک از آنها غلبه کنید، و سپس با صبر و حوصله سطح رشد خود را بالا ببرید تا یک روز خوب از هم بپاشد و راه را برای جریان آزاد به روز بعدی باز کنید.

اکنون که معنای این نکات کلیدی رشد مرتبط با سن را فهمیدیم، بیایید سعی کنیم رمزگشایی کنیم که همه اینها چگونه اتفاق می افتد.

سال B1کودک بر راه رفتن مسلط است او قبل از این دنیا را با جلوی سر تجربه می کرد. اکنون او جهان را با دستان خود می شناسد - یک امتیاز استثنایی انسانی. حیوان در فضا حرکت می کند و او با یادگیری بر فضا مسلط می شود و بر قلمرویی که در آن زندگی می کند تسلط پیدا می کند.

2 سال- کلمه را می فهمد و مطابق آن عمل می کند. این به آن معنا است:

کودک حداقل تعداد کلمات - معانی و شیوه های عمل را می آموزد.

هنوز خود را از محیط جدا نکرده است و به یکپارچگی با محیط ادغام شده است،

بنابراین طبق دستور شخص دیگری عمل می کند. او در این سن مطیع ترین و خوشایندترین نسبت به پدر و مادر است. از یک فرد شهوانی، کودک به یک فرد شناختی تبدیل می شود.

3 سال- عمل با استفاده از کلمه خود. جدایی این شخص از محیط قبلاً اتفاق افتاده است - و او یاد می گیرد که یک فرد مستقل باشد. از اینجا او:

آگاهانه با محیط و والدین، مربیان مهدکودک و غیره مخالفت می کند.

به حاکمیت خود پی می برد و برای استقلال مبارزه می کند.

سعی می کند افراد نزدیک و شناخته شده را مطیع اراده خود کند.

در حال حاضر برای یک کودک، یک کلمه یک عمل است. اینجاست که فرد فعال شروع می کند.

5 سال- "عصر فیض." او مظهر هماهنگی است. بازی، رقص، حرکات ماهرانه - همه چیز از هماهنگی اشباع شده است که فرد سعی می کند با قدرت خود به آن تسلط یابد. رفتار روانی حرکتی هماهنگ به ایجاد یک حالت جدید کمک می کند. بنابراین، کودک بر فعالیت های روانی حرکتی متمرکز است و برای فعال ترین اقدامات تلاش می کند.

مادیت سازی محصولات کار حساسیت از طریق زیر انجام می شود:

توانایی نمایش محیط و خودمان به عنوان بخشی از این جهان (می شنویم، می بینیم، لمس می کنیم، بو می کنیم و غیره - همه حواس برای این فرآیند کار می کنند).

توانایی طراحی دنیای بیرونی، از جمله خود

(ایجاد ماهیت دوم، فرضیه ها - فردا این و آن را انجام دهید، یک ماشین جدید بسازید، یک مشکل را حل کنید)، توسط نیروهای تفکر انتقادی، احساسات و تخیل.

توانایی ایجاد یک طبیعت دوم، ساخته دست بشر، محصولات فعالیت (تحقق برنامه ها، اقدامات ذهنی یا روانی حرکتی خاص با اشیاء و فرآیندهای خاص).

پس از 5 سال، مکانیسم تخیل جلو می آید و شروع به تسلط بر دیگران می کند. کودک حجم عظیمی از کار را انجام می دهد، تصاویری خارق العاده خلق می کند و در دنیای افسانه ها و افسانه ها زندگی می کند. تخیل هیپرتروفیک کودک باعث تعجب بزرگسالان می شود، زیرا تخیل با واقعیت مطابقت ندارد.

8 سال- احساسات به منصه ظهور می رسند و معیارهای احساسات خود (شناختی، اخلاقی، زیبایی شناختی) زمانی به وجود می آیند که کودک به طور غیرقابل انکار:

معلوم و مجهول را ارزیابی می کند.

اخلاقی را از غیر اخلاقی، اخلاقی را از غیراخلاقی متمایز می کند.

زیبایی از آنچه زندگی را تهدید می کند، هماهنگی از هرج و مرج.

13 سال- مکانیسم خلاقیت شروع به کار می کند. اما این بدان معنا نیست که با ظرفیت کامل کار می کند. یکی از عناصر مکانیسم به منصه ظهور می رسد و بقیه به کار آن کمک می کنند. اگر در این عصر رشد، هماهنگی حفظ شود، که تقریباً دائماً ساختار خود را بازسازی می کند، آنگاه جوانان بی دردسر به سد بعدی می رسند، بدون توجه به خود بر آن غلبه می کنند و در سن انقلابی زندگی می کنند. در سنین انقلابی، یک جوان باید گام جدیدی به جلو بردارد: از نزدیکترین جامعه جدا شود و در آن زندگی و فعالیتی هماهنگ داشته باشد. همه نمی توانند این مشکل را که پیش روی هر یک از ما پیش می آید حل کنند.

21 ساله.اگر یک انقلابی اولین قله هماهنگ زندگی را با موفقیت پشت سر بگذارد، مکانیسم استعداد او می تواند با استعداد عمل کند.

کار احساسات (شناختی، اخلاقی یا زیبایی‌شناختی) گاهی بر تفکر سایه می‌اندازد، اما به طور کلی همه عناصر هماهنگ عمل می‌کنند: احساسات به روی جهان باز هستند و تفکر منطقی قادر است از این اوج چیزها را نام‌گذاری و اندازه‌گیری کند.

مکانیسم خلاقیت که به طور معمول در حال توسعه است، به حالتی می رسد که به آن امکان می دهد میوه های خاصی را دریافت کند. او شروع به کار می کند. در این سن مکانیسم احساسات جلو می آید. همانطور که تخیل و محصولات آن توسط حواس و ذهن ارزیابی می شود، تضاد بین آنها به وجود می آید. احساسات پیروز می شوند. این توانایی به تدریج قدرت می گیرد و پسر شروع به استفاده از آن می کند.

34 سال- تعادل و هماهنگی، اثربخشی مولد استعداد. هماهنگی تفکر، احساسات و تخیل، مهارت های روانی حرکتی، که با پتانسیل انرژی بهینه پر می شود، و مکانیسم به طور کلی - فرصتی برای انجام کار درخشان متولد می شود.

55 سال- یک فرد می تواند خالق شود. سومین قله هماهنگ زندگی: تفکر قدرت احساسات را تحت سلطه خود در می آورد.

اعداد فیبوناچی به مراحل رشد انسان اشاره دارد. اینکه آیا شخص بدون توقف این مسیر را طی خواهد کرد بستگی به والدین و معلمان، سیستم آموزشی و سپس - به خودش و اینکه چگونه شخص بر خود خواهد آموخت و غلبه خواهد کرد بستگی دارد.

در مسیر زندگی، فرد 7 موضوع رابطه را کشف می کند:

از تولد تا 2 سالگی - کشف دنیای فیزیکی و عینی محیط نزدیک.

از 2 تا 3 سال - خودشناسی: "من خودم هستم."

از 3 تا 5 سال - گفتار، دنیای فعال کلمات، هماهنگی و سیستم "من - تو".

از 5 تا 8 سال - کشف دنیای افکار، احساسات و تصاویر دیگران - سیستم "من - ما".

از 8 تا 13 سال - کشف دنیای وظایف و مشکلات حل شده توسط نوابغ و استعدادهای بشریت - سیستم "من - معنویت".

از 13 تا 21 سال - کشف توانایی حل مستقل مشکلات شناخته شده، هنگامی که افکار، احساسات و تخیل شروع به کار فعال می کنند، سیستم "I - Noosphere" بوجود می آید.

از 21 تا 34 سالگی - کشف توانایی ایجاد دنیای جدید یا قطعات آن - آگاهی از خودپنداره "من خالق هستم".

مسیر زندگی دارای ساختار مکانی – زمانی است. این شامل سن و مراحل فردی است که توسط بسیاری از پارامترهای زندگی تعیین می شود. انسان تا حدودی بر شرایط زندگی خود مسلط می شود، خالق تاریخ خود و خالق تاریخ جامعه می شود. با این حال، یک نگرش واقعا خلاقانه به زندگی بلافاصله و حتی در هر فردی ظاهر نمی شود. بین مراحل مسیر زندگی ارتباطات ژنتیکی وجود دارد و این ویژگی طبیعی آن را تعیین می کند. نتیجه این است که اصولاً می توان توسعه آینده را بر اساس دانش در مورد مراحل اولیه آن پیش بینی کرد.

اعداد فیبوناچی در نجوم

از تاریخ نجوم مشخص است که I. Titius، ستاره شناس آلمانی قرن هجدهم، با استفاده از سری فیبوناچی، الگو و نظمی را در فواصل بین سیارات منظومه شمسی یافت. اما یک مورد به نظر می‌رسید که با قانون تناقض داشت: هیچ سیاره‌ای بین مریخ و مشتری وجود نداشت. اما پس از مرگ تیتیوس در آغاز قرن نوزدهم. رصد متمرکز این قسمت از آسمان منجر به کشف کمربند سیارکی شد.

نتیجه

در طول تحقیق متوجه شدم که اعداد فیبوناچی به طور گسترده در تحلیل تکنیکال قیمت سهام استفاده می شود. یکی از ساده ترین راه ها برای استفاده از اعداد فیبوناچی در عمل، تعیین بازه های زمانی است که پس از آن یک رویداد خاص رخ می دهد، مثلاً تغییر قیمت. تحلیلگر تعداد معینی روز یا هفته فیبوناچی (13،21،34،55 و غیره) را از رویداد مشابه قبلی می شمارد و پیش بینی می کند. اما هنوز درک این موضوع برای من خیلی سخت است. اگرچه فیبوناچی بزرگ‌ترین ریاضی‌دان قرون وسطی بود، اما تنها بنای یادبود فیبوناچی مجسمه‌ای در مقابل برج پیزا و دو خیابانی است که نام او را به خود اختصاص داده‌اند: یکی در پیزا و دیگری در فلورانس. و با این حال، در ارتباط با همه چیزهایی که دیده ام و خوانده ام، سؤالات کاملاً طبیعی مطرح می شود. این اعداد از کجا آمده اند؟ این معمار جهان کیست که سعی کرده آن را ایده آل کند؟ بعدی چه خواهد بود؟ با یافتن پاسخ یک سوال، سوال بعدی را دریافت خواهید کرد. اگر آن را حل کنید، دو مورد جدید دریافت خواهید کرد. پس از برخورد با آنها، سه مورد دیگر ظاهر می شوند. با حل آنها نیز، پنج مورد حل نشده خواهید داشت. سپس هشت، سیزده و غیره. فراموش نکنید که دو دست دارای پنج انگشت هستند که دو تای آن از دو فالانژ و هشت انگشت از سه انگشت تشکیل شده است.

ادبیات:

ولوشینوف A.V. «ریاضی و هنر»، م.، آموزش و پرورش، 1371.

وروبیوف N.N. "اعداد فیبوناچی"، M.، Nauka، 1984.

استاخوف A.P. "کد داوینچی و سری فیبوناچی"، قالب سن پترزبورگ، 2006

F. Corvalan «نسبت طلایی. زبان ریاضی زیبایی»، ام، دی آگوستینی، 2014.

ماکسیمنکو اس.د. "دوره های حساس زندگی و رمزهای آنها."

"اعداد فیبوناچی". ویکیپدیا