A hosszt, mint már említettük, a modul jele jelzi.
Ha a és a sík két pontja adott, akkor a szakasz hossza a képlettel számítható ki
Ha a és két térpont adott, akkor a szakasz hossza a képlettel számítható ki
Jegyzet:A képletek helyesek maradnak, ha a megfelelő koordinátákat átrendezzük: és, de az első lehetőség szabványosabb.
3. példa
Megoldás: a megfelelő képlet szerint:
Válasz:
Az egyértelműség kedvéért készítek egy rajzot
szakasz - ez nem vektor, és természetesen nem mozgathatja sehova. Ezen kívül, ha méretarányos rajzot készít: 1 egység. = 1 cm (két jegyzetfüzet cella), akkor a kapott válasz egy közönséges vonalzóval ellenőrizhető a szakasz hosszának közvetlen megmérésével.
Igen, a megoldás rövid, de van még egy pár fontos pontokat, amit szeretnék pontosítani:
Először a válaszban adjuk meg a dimenziót: "egységek". A feltétel nem mondja meg, MI az, milliméter, centiméter, méter vagy kilométer. Ezért a matematikailag helyes megoldás az általános megfogalmazás: „egységek” - rövidítve „egység”.
Másodszor, ismételjük meg iskolai anyag, ami nem csak a megfontolt feladathoz hasznos:
figyelni fontos technika – tényezőt kiszedve a gyökér alól... A számítások eredményeként megkaptuk az eredményt, és a jó matematikai stílushoz hozzátartozik, hogy a faktort a gyökér alól kivesszük (ha lehetséges). Részletesebben a folyamat így néz ki:. Természetesen a válasz űrlapon hagyása nem hiba - de hiba, az biztos, és nyomós érv a tanári nyaggatás mellett.
Egyéb gyakori esetek a következők:
Gyakran meglehetősen nagy számot kapunk például a gyökér alatt. Mi a teendő ilyen esetekben? A számológépen ellenőrizze, hogy a szám osztható-e 4-gyel:. Igen, teljesen felosztották, így:. Vagy esetleg a szám ismét osztható 4-gyel? ... Ilyen módon: . A szám utolsó számjegye páratlan, így harmadszorra egyértelműen nem lehet osztani 4-gyel. Megpróbáljuk kilenccel osztani:. Ennek eredményeként:
Kész.
Következtetés: ha a gyökér alatt nem kivonható számot kapunk, akkor megpróbáljuk a faktort kivenni a gyökér alól - a számológépen megnézzük, hogy a szám osztható-e: 4, 9, 16, 25, 36, 49 stb. .
A különféle problémák megoldása során gyakran találkoznak a gyökerekkel, mindig a gyökér alól igyekezzenek kiszedni a tényezőket, hogy elkerüljék az alacsonyabb osztályzatot és a felesleges problémákat a tanári megjegyzés szerint a megoldások kiegészítésével.
Ismételjük meg a négyzetre emelést és a többi hatványt egyszerre:
A diplomák kezelésének szabályai Általános nézet egy iskolai algebrai tankönyvben megtalálható, de szerintem a felhozott példákból már minden vagy majdnem minden világos.
Hozzárendelés ehhez önálló döntés szegmenssel a térben:
4. példa
Pontokat és kapnak. Keresse meg a szakasz hosszát.
Megoldás és válasz a lecke végén.
adni fogok részletes példa, hogyan határozhatja meg a szakasz hosszát a megadott koordinátákon, az Examination Ru oldalon található online szolgáltatás segítségével.
Tegyük fel, hogy meg kell találni egy szakasz hosszát egy síkon
(térben analógiával lehet számolni, csak a pontot három dimenzióra kell módosítani)
Az AB szakasznak A (1, 2) és B (3, 4) koordinátái vannak.
Az AB szakasz hosszának kiszámításához kövesse a következő lépéseket:
1. Látogasson el a szolgáltatás oldalára két pont közötti távolság online megkereséséhez:
Ezt azért használhatjuk, mert a szegmens hossza in koordinációban. pontosan egyenlő az A és B pont távolságával.
Az A pont megfelelő méretének beállításához húzza a jobb alsó élt balra, amint az az ábrán látható.
Miután megadta az első A pont koordinátáit (1, 2), majd kattintson a gombra
3. A második lépésben megjelenik egy űrlap a második B pont beviteléhez, adja meg annak koordinátáit, ahogy az ábrán látható. lent:
Az a és b pont be van írva! Megoldás:
| Pontokat adnak a = | és b= |
Keresse meg a pontok közötti távolságot
Egy szakasz mérése azt jelenti, hogy megtaláljuk a hosszát. Szegmens hossza a végei közötti távolság.
A szegmensek mérése úgy történik, hogy ezt a szegmenst összehasonlítják egy másik, mértékegységnek vett szegmenssel. A mértékegységnek vett szakaszt ún egyetlen szegmens.
Ha egy centimétert egységszegmensnek veszünk, akkor egy adott szakasz hosszának meghatározásához meg kell találni, hogy egy centiméter hányszor fér bele egy adott szegmensbe. Ebben az esetben célszerű centiméteres vonalzóval mérni.
Rajzoljunk egy szakaszt ABés mérje meg a hosszát. A centiméteres vonalzó skáláját alkalmazzuk a szakaszra AB hogy a nullapontja (0) egybeessen azzal a ponttal A:
Ha kiderül, hogy a lényeg B egybeesik a skála valamilyen felosztásával - például 5, akkor azt mondják: a szakasz hossza AB egyenlő 5 cm-rel, és írja be: AB= 5 cm.
Vonalmérés tulajdonságai
Amikor egy pont egy szakaszt két részre (két szegmensre) oszt, a teljes szakasz hossza megegyezik e két szakasz hosszának összegével.
Tekintsük a szegmenst AB:
Pont C két részre osztja: ACés CB... Ezt látjuk AC= 3 cm, CB= 4 cm és AB= 7 cm. Így AC + CB = AB.
Bármely szegmensnek van egy bizonyos hossza, nagyobb, mint nulla.
A hosszt, mint már említettük, a modul jele jelzi.
Ha a és a sík két pontja adott, akkor a szakasz hossza a képlettel számítható ki
Ha a és két térpont adott, akkor a szakasz hossza a képlettel számítható ki
Jegyzet: A képletek helyesek maradnak, ha a megfelelő koordinátákat átrendezzük: és , de az első lehetőség szabványosabb
3. példa
Megoldás: a megfelelő képlet szerint:
Válasz: 
Az egyértelműség kedvéért készítek egy rajzot 
szakasz - ez nem vektor, és természetesen nem mozgathatja sehova. Ezen kívül, ha méretarányos rajzot készít: 1 egység. = 1 cm (két jegyzetfüzet cella), akkor a kapott válasz egy közönséges vonalzóval ellenőrizhető a szakasz hosszának közvetlen megmérésével.
Igen, a megoldás rövid, de van még néhány fontos szempont, amit szeretnék tisztázni:
Először a válaszban adjuk meg a dimenziót: "egységek". A feltétel nem mondja meg, MI az, milliméter, centiméter, méter vagy kilométer. Ezért a matematikailag helyes megoldás az általános megfogalmazás: „egységek” - rövidítve „egység”.
Másodszor, megismételjük az iskolai anyagot, amely nemcsak a vizsgált probléma szempontjából hasznos:
figyelni fontos technika – tényezőt kiszedve a gyökér alól... A számítások eredményeként megkaptuk az eredményt, és a jó matematikai stílushoz hozzátartozik, hogy a faktort a gyökér alól kivesszük (ha lehetséges). Részletesebben a folyamat így néz ki: 
... Természetesen a válasz űrlapon hagyása nem hiba - de hiba, az biztos, és nyomós érv a tanári nyaggatás mellett.
Egyéb gyakori esetek a következők: 
Gyakran meglehetősen nagy számot kapunk például a gyökér alatt. Mi a teendő ilyen esetekben? A számológépen ellenőrizze, hogy a szám osztható-e 4-gyel:. Igen, teljesen felosztották, így: 
... Vagy esetleg a szám ismét osztható 4-gyel? ... Ilyen módon: 
... A szám utolsó számjegye páratlan, így harmadszorra egyértelműen nem lehet osztani 4-gyel. Megpróbáljuk kilenccel osztani:. Ennek eredményeként:
Kész.
Következtetés: ha a gyökér alatt nem kivonható számot kapunk, akkor megpróbáljuk a faktort kivenni a gyökér alól - a számológépen megnézzük, hogy a szám osztható-e: 4, 9, 16, 25, 36, 49 stb. .
A különféle problémák megoldása során gyakran találkoznak a gyökerekkel, mindig a gyökér alól igyekezzenek kiszedni a tényezőket, hogy elkerüljék az alacsonyabb osztályzatot és a felesleges problémákat a tanári megjegyzés szerint a megoldások kiegészítésével.
Ismételjük meg a négyzetre emelést és a többi hatványt egyszerre: 
A fokozatok általános kezelésének szabályait egy iskolai algebrai tankönyvben találjuk, de azt gondolom, hogy a felhozott példákból már minden vagy majdnem minden világos.
Feladat független megoldáshoz térbeli szegmenssel:
4. példa
Pontokat és kapnak. Keresse meg a szakasz hosszát.
Megoldás és válasz a lecke végén.
Ebben a cikkben arról lesz szó, hogy egy szakasz felezőpontjának koordinátáit a végei koordinátái alapján találjuk meg. Először megadjuk a szükséges fogalmakat, majd képleteket kapunk egy szakasz felezőpontjának koordinátáinak meghatározásához, végül megfontoljuk a tipikus példák és problémák megoldásait.
Oldalnavigáció.
A szakasz felezőpontjának fogalma.
Ahhoz, hogy bemutassuk a szakasz felezőpontja fogalmát, meg kell határoznunk a szakaszt és annak hosszát.
A szegmens fogalmát a gimnázium ötödik osztályában a matematika órákon a következőképpen adjuk meg: ha veszünk két tetszőleges, nem egybeeső A és B pontot, csatoljunk hozzájuk egy vonalzót, és húzzunk egy vonalat A-ból B-be (vagy B-be). A), akkor kapjuk AB szegmens(vagy B A szegmens). Az A és B pontot hívjuk a szegmens végeit... Szem előtt kell tartanunk, hogy az AB szakasz és a BA szakasz egy és ugyanaz a szegmens.
Ha az AB szakasz mindkét irányban végtelenül folytatódik a végeitől, akkor azt kapjuk egyenes AB(vagy közvetlen VA). Az AB szakasz az AB egyenes része, amely az A és B pontok közé van zárva. Így az AB szakasz az A, B pontok és az AB egyenes A és B pontok között elhelyezkedő összes pontjának halmaza. Ha vesszük az AB egyenes tetszőleges M pontját, amely az A és B pontok között található, akkor azt mondják, hogy az M pont hazugságok az AB szakaszon.
A szegmens hossza AB az A és B pont közötti távolság egy adott léptékben (egységnyi hosszúságú szakasz). Az AB szakasz hosszát a következőképpen jelöljük.
Meghatározás.
Pont C-t hívják a szegmens közepe AB, ha az AB szakaszon fekszik, és ugyanolyan távolságra van a végeitől.
Vagyis ha a C pont az AB szakasz felezőpontja, akkor azon fekszik és.
Ezután az lesz a feladatunk, hogy megkeressük az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit, ha az A és B pont koordinátái a koordinátaegyenesen vagy derékszögű koordinátarendszerben vannak megadva.
A szakasz felezőpontjának koordinátája a koordinátaegyenesen.
Adjunk egy Ox koordináta egyenest és rajta két nem egybeeső A és B pontot, amelyek megfelelnek valós számokés . Legyen C pont az AB szakasz felezőpontja. Keresse meg a C pont koordinátáját.
Mivel a C pont az AB szakasz felezőpontja, így az egyenlőség igaz. A koordinátaegyenes ponttól pontig terjedő szakaszban megmutattuk, hogy a pontok távolsága egyenlő a koordinátáik különbségének modulusával, ezért,. Azután 
vagy 
... Az egyenlőségtől a koordinátaegyenesen megtaláljuk az AB szakasz közepének koordinátáját: 
- egyenlő a szakasz végei koordinátáinak félösszegével. A második egyenlőségből azt kapjuk, hogy ez lehetetlen, mivel nem egyező A és B pontot vettünk.
Így, a végekkel rendelkező AB szakasz felezőpontjának koordinátáinak megkeresésére szolgáló képlet és alakja .
Az egyenes szakasz felezőpontjának koordinátái a síkon.
Vezessünk be egy derékszögű Oxyz koordinátarendszert a síkon. Adjunk két pontot, és ismert, hogy a C pont az AB szakasz felezőpontja. Keresse meg a C koordinátákat és pontokat.
Felépítés szerint egyenes vonalak 
párhuzamos és párhuzamos egyenesek 
, ezért által Thalész tétele az AC és CB szegmensek egyenlősége magában foglalja a szegmensek egyenlőségét és, valamint a szegmensek és a szegmensek egyenlőségét. Ezért a pont a szakasz felezőpontja, és a szakasz felezőpontja. Ezután a cikk előző bekezdése értelmében és 
.
Ezekkel a képletekkel kiszámíthatja az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit, illetve olyan esetekben, amikor az A és B pontok valamelyik koordinátatengelyen vagy az egyik koordinátatengelyre merőleges egyenesen helyezkednek el. Hagyjuk ezeket az eseteket kommentár nélkül, és adjunk grafikus illusztrációkat.
Ily módon az AB szakasz felezőpontja egy olyan síkon, amelynek végei pontokban vannak, és koordinátái vannak 
.
A szakasz felezőpontjának koordinátái a térben.
Vezessünk be egy Oxyz téglalap alakú koordinátarendszert háromdimenziós térben és két pontban 
és 
... Adjunk képleteket a C pont koordinátáinak megtalálásához, amely az AB szakasz felezőpontja.
Nézzük az általános esetet.
Legyen és az A, B és C pontok vetületei az Ox, Oy és Oz koordinátatengelyekre.
Thalész tétele szerint tehát a pontok a szakaszok felezőpontjai 
illetőleg. Ezután (lásd a cikk első pontját). Így jutottunk el képletek egy szakasz felezőpontjának koordinátáinak a térbeli végeinek koordinátái alapján történő kiszámításához.
Ezek a képletek olyan esetekben is alkalmazhatók, amikor az A és B pont az egyik koordinátatengelyen vagy az egyik koordinátatengelyre merőleges egyenesen fekszik, valamint ha az A és B pontok valamelyik koordinátasíkban vagy az egyik koordinátatengellyel párhuzamos sík.síkok.
A szakasz felezőpontjának koordinátái a végei sugárvektorainak koordinátáin keresztül.
Egy szakasz felezőpontjának koordinátáinak megkeresésére a vektorok algebrájához fordulva könnyen előállíthatók képletek.
Legyen adott egy derékszögű Oxy koordinátarendszer a síkon és a C pont - az AB szakasz felezőpontja, továbbá és.
A vektorokon végzett műveletek geometriai meghatározása szerint az egyenlőség 
(a C pont a vektorokra épített paralelogramma átlóinak metszéspontja, vagyis a C pont a paralelogramma átlójának közepe). A cikkben, egy vektor koordinátái téglalap alakú koordinátarendszerben, azt találtuk, hogy egy pont sugárvektorának koordinátái megegyeznek ennek a pontnak a koordinátáival, ezért 
... Ezután, miután elvégeztük a megfelelő műveleteket a koordinátákban lévő vektorokon, megvan. Ebből arra következtethetünk, hogy a C pontnak vannak koordinátái .
Teljesen ugyanígy az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit a térbeli végeinek koordinátáin keresztül találhatjuk meg. Ebben az esetben, ha C az AB és szakasz felezőpontja, akkor megvan 
.
Szakasz felezőpontjának koordinátáinak megkeresése, példák, megoldások.
Sok feladatban képletekkel kell megkeresni egy szakasz felezőpontjának koordinátáit. Tekintsük a legjellemzőbb példák megoldásait.
Kezdjük egy példával, amelyhez csak egy képletet kell alkalmazni.
Példa.
A síkon két pont koordinátái vannak beállítva 
... Keresse meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit!
Megoldás.
Legyen C pont az AB szakasz felezőpontja. Koordinátái megegyeznek az A és B pont megfelelő koordinátáinak felével: 
Így az AB szakasz közepének koordinátái vannak.
