Ilgis, kaip jau minėta, nurodomas modulio ženklu.
Jei pateikti du plokštumos taškai ir, tada atkarpos ilgį galima apskaičiuoti pagal formulę
Jei du taškai erdvėje yra pateikti, atkarpos ilgį galima apskaičiuoti pagal formulę
Pastaba:Formulės išliks teisingos, jei atitinkamos koordinatės bus pakeistos: ir , tačiau pirmoji parinktis yra labiau standartinė
3 pavyzdys
Sprendimas: pagal atitinkamą formulę:
Atsakymas:
Aiškumo dėlei padarysiu piešinį
Skyrius - tai ne vektorius, ir jūs, žinoma, jo niekur negalite perkelti. Be to, jei užpildysite brėžinį pagal mastelį: 1 vnt. \u003d 1 cm (dvi tetrados langeliai), tada atsakymą galima patikrinti įprastu liniuote, tiesiogiai išmatuojant atkarpos ilgį.
Taip, sprendimas trumpas, bet turi dar porą svarbius punktus Norėčiau patikslinti:
Pirma, atsakyme nustatome matmenį: „vienetai“. Sąlyga nenurodo, KAS tai yra, milimetrai, centimetrai, metrai ar kilometrai. Todėl bendra formuluotė bus matematiškai kompetentingas sprendimas: „vienetai“ - sutrumpinta kaip „vienetai“.
Antra, pakartokime mokyklinė medžiaga, kuris naudingas ne tik sprendžiant problemą:
atkreipkite dėmesį į svarbus techninis triukas – išimant daugiklį iš po šaknies. Skaičiuodami gavome rezultatą, o geras matematinis stilius apima daugiklio paėmimą iš šaknies (jei įmanoma). Išsamiau procesas atrodo taip: Žinoma, atsakymo palikimas formoje nebus klaida – bet tai tikrai trūkumas ir svarus argumentas dėl mokytojo niūrumo.
Štai kiti dažni atvejai:
Pavyzdžiui, dažnai pakankamai didelis skaičius gaunamas po šaknimi. Kaip tokiais atvejais būti? Skaičiuoklėje patikriname, ar skaičius dalijasi iš 4:. Taip, jis buvo visiškai padalintas, todėl: . O gal skaičių vėl galima padalyti iš 4? . Šiuo būdu: . Paskutinis skaičiaus skaitmuo yra nelyginis, todėl trečią kartą dalinti iš 4 aiškiai neįmanoma. Bandoma padalyti iš devynių: . Kaip rezultatas:
Paruošta.
Išvestis: jei po šaknimi gauname visiškai neišskiriamą skaičių, tada bandome ištraukti koeficientą iš po šaknies - skaičiuotuvu patikriname, ar skaičius dalijasi iš: 4, 9, 16, 25, 36, 49, ir tt
Sprendžiant įvairias problemas dažnai randamos šaknys, visada stengiamasi ištraukti veiksnius iš po šaknies, kad išvengtumėte mažesnio balo ir bereikalingų nesklandumų baigiant savo sprendimus pagal mokytojo pastabą.
Kartu pakartokime šaknų ir kitų galių kvadratūravimą:
Veiksmų su laipsniais taisyklės bendras vaizdas galima rasti mokykliniame algebros vadovėlyje, bet manau, kad viskas ar beveik viskas jau aišku iš pateiktų pavyzdžių.
Užduotis už savarankiškas sprendimas su segmentu erdvėje:
4 pavyzdys
Duoti taškai ir . Raskite atkarpos ilgį.
Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Aš atnešiu detalus pavyzdys, kaip galite nustatyti atkarpos ilgį pagal nurodytas koordinates, naudodamiesi internetine paslauga svetainėje Examination Ru.
Tarkime, reikia rasti atkarpos ilgį plokštumoje
(erdvėje galite apskaičiuoti pagal analogiją, tereikia pakeisti tašką į trijų matmenį)
Atkarpa AB baigiasi koordinatėmis A (1, 2) ir B (3, 4).
Norėdami apskaičiuoti atkarpos AB ilgį, atlikite šiuos veiksmus:
1. Norėdami sužinoti atstumą tarp dviejų taškų internete, eikite į paslaugos puslapį:
Galime tuo pasinaudoti, nes atkarpos ilgis išilgai koordinatės. yra lygiai lygus atstumui tarp taškų A ir B.
Norėdami nustatyti teisingą taško A matmenį, vilkite apatinį dešinįjį kraštą į kairę, kaip parodyta pav.
Įvedę pirmojo taško koordinates A(1, 2), tada paspauskite mygtuką
3. Antrame žingsnyje pamatysite antrojo taško B įvedimo formą, įveskite jo koordinates, kaip pav. žemiau:
Įvedami taškai a ir b! Sprendimas:
| Suteikti taškai a = | Ir b= |
Raskite atstumą tarp taškų (-ių)
Išmatuoti liniją reiškia rasti jos ilgį. Pjovimo ilgis yra atstumas tarp jo galų.
Segmentai matuojami lyginant šį segmentą su kitu segmentu, kuris laikomas matavimo vienetu. Atkarpa, imama matavimo vienetu, vadinama vienas segmentas.
Jei centimetras laikomas vienu segmentu, tada norėdami nustatyti šio segmento ilgį, turite išsiaiškinti, kiek kartų šiame segmente yra centimetras. Šiuo atveju patogu matuoti naudojant centimetrinę liniuotę.
Nubrėžkime segmentą AB ir išmatuokite jo ilgį. Segmentui pritaikykite centimetro liniuotės skalę AB kad jo nulinis taškas (0) sutaptų su tašku A:
Jei paaiškės, kad esmė B sutampa su tam tikru skalės padalijimu - pavyzdžiui, 5, tada jie sako: atkarpos ilgis AB lygus 5 cm, ir parašykite: AB= 5 cm.
Linijos matavimo savybės
Kai taškas padalija atkarpą į dvi dalis (dvi atkarpas), visos atkarpos ilgis yra lygus šių dviejų atkarpų ilgių sumai.
Apsvarstykite segmentą AB:
Taškas C padalija į dvi dalis: AC Ir CB. Mes tai matome AC= 3 cm, CB= 4 cm ir AB= 7 cm. Taigi, AC + CB = AB.
Bet kurio segmento ilgis yra didesnis nei nulis.
Ilgis, kaip jau minėta, nurodomas modulio ženklu.
Jei pateikti du plokštumos taškai ir, tada atkarpos ilgį galima apskaičiuoti pagal formulę
Jei du taškai erdvėje yra pateikti, atkarpos ilgį galima apskaičiuoti pagal formulę
Pastaba: Formulės išliks teisingos, jei atitinkamos koordinatės bus pertvarkytos: Ir , tačiau pirmasis variantas yra labiau standartinis
3 pavyzdys
Sprendimas: pagal atitinkamą formulę:
Atsakymas: 
Aiškumo dėlei padarysiu piešinį 
Skyrius - tai ne vektorius, ir jūs, žinoma, jo niekur negalite perkelti. Be to, jei užpildysite brėžinį pagal mastelį: 1 vnt. \u003d 1 cm (dvi tetrados langeliai), tada atsakymą galima patikrinti įprastu liniuote, tiesiogiai išmatuojant atkarpos ilgį.
Taip, sprendimas trumpas, bet jame yra keletas svarbių punktų, kuriuos norėčiau patikslinti:
Pirma, atsakyme nustatome matmenį: „vienetai“. Sąlyga nenurodo, KAS tai yra, milimetrai, centimetrai, metrai ar kilometrai. Todėl bendra formuluotė bus matematiškai kompetentingas sprendimas: „vienetai“ - sutrumpinta kaip „vienetai“.
Antra, pakartokime mokyklinę medžiagą, kuri naudinga ne tik nagrinėjamai problemai:
atkreipkite dėmesį į svarbus techninis triukas – išimant daugiklį iš po šaknies. Skaičiuodami gavome rezultatą, o geras matematinis stilius apima daugiklio paėmimą iš šaknies (jei įmanoma). Išsamiau procesas atrodo taip: 
. Žinoma, atsakymo palikimas formoje nebus klaida – bet tai tikrai trūkumas ir svarus argumentas dėl mokytojo niūrumo.
Štai kiti dažni atvejai: 
Pavyzdžiui, dažnai pakankamai didelis skaičius gaunamas po šaknimi. Kaip tokiais atvejais būti? Skaičiuoklėje patikriname, ar skaičius dalijasi iš 4:. Taip, visiškai padalinti, taigi: 
. O gal skaičių vėl galima padalyti iš 4? . Šiuo būdu: 
. Paskutinis skaičiaus skaitmuo yra nelyginis, todėl trečią kartą dalinti iš 4 aiškiai neįmanoma. Bandoma padalyti iš devynių: . Kaip rezultatas:
Paruošta.
Išvestis: jei po šaknimi gauname visiškai neišskiriamą skaičių, tada bandome ištraukti koeficientą iš po šaknies - skaičiuotuvu patikriname, ar skaičius dalijasi iš: 4, 9, 16, 25, 36, 49, ir tt
Sprendžiant įvairias problemas dažnai randamos šaknys, visada stengiamasi ištraukti veiksnius iš po šaknies, kad išvengtumėte mažesnio balo ir bereikalingų nesklandumų baigiant savo sprendimus pagal mokytojo pastabą.
Kartu pakartokime šaknų ir kitų galių kvadratūravimą: 
Veiksmų su laipsniais taisykles bendra forma galima rasti mokykliniame algebros vadovėlyje, bet manau, kad viskas arba beveik viskas jau aišku iš pateiktų pavyzdžių.
Užduotis savarankiškam sprendimui su segmentu erdvėje:
4 pavyzdys
Duoti taškai ir . Raskite atkarpos ilgį.
Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Šiame straipsnyje kalbėsime apie atkarpos vidurio koordinačių radimą iš jo galų koordinačių. Pirmiausia pateiksime reikiamas sąvokas, tada gausime atkarpos vidurio koordinačių nustatymo formules ir pabaigai apsvarstysime tipinių pavyzdžių ir problemų sprendimus.
Puslapio naršymas.
Segmento vidurio samprata.
Norint pristatyti atkarpos vidurio taško sąvoką, reikia atkarpos ir jos ilgio apibrėžimų.
Atkarpos samprata matematikos pamokose penktoje gimnazijos klasėje pateikiama taip: jei paimsime du savavališkus nesutampančius taškus A ir B, pritvirtiname prie jų liniuotę ir nubrėžiame liniją nuo A iki B (arba nuo B). į A), tada gauname AB segmentas(arba segmentas B A). Taškai A ir B vadinami segmento galai. Turėtume nepamiršti, kad segmentas AB ir segmentas BA yra tas pats segmentas.
Jei atkarpa AB be galo pratęsiama į abi puses iš galų, tai gauname tiesė AB(arba tiesioginis VA). Atkarpa AB yra tiesės AB dalis tarp taškų A ir B. Taigi atkarpa AB yra taškų A, B ir visų tiesės AB, esančios tarp taškų A ir B, taškų aibės sąjunga. Jei paimsime savavališką tiesės AB tašką M, esantį tarp taškų A ir B, tada jie sako, kad taškas M melas segmente AB.
Segmento ilgis AB yra atstumas tarp taškų A ir B tam tikroje skalėje (vieneto ilgio atkarpa). Atkarpos AB ilgis bus pažymėtas kaip .
Apibrėžimas.
Taškas C vadinamas segmento vidurys AB, jei ji guli ant atkarpos AB ir yra tokiu pat atstumu nuo jos galų.
Tai yra, jei taškas C yra atkarpos AB vidurio taškas, tada jis yra ant jo ir.
Be to, mūsų užduotis bus rasti atkarpos AB vidurio koordinates, jei taškų A ir B koordinatės pateiktos koordinačių tiesėje arba stačiakampėje koordinačių sistemoje.
Atkarpos vidurio taško koordinačių tiesėje koordinatė.
Duokime koordinačių tiesę Ox ir joje du nesutampančius taškus A ir B, kurie atitinka realūs skaičiai Ir . Tegul taškas C yra atkarpos AB vidurio taškas. Raskime taško C koordinates.
Kadangi taškas C yra atkarpos AB vidurio taškas, tai lygybė yra teisinga. Skyriuje apie atstumą nuo taško iki taško koordinačių tiesėje parodėme, kad atstumas tarp taškų yra lygus jų koordinačių skirtumo moduliui, todėl . Tada 
arba 
. Iš lygybės raskite atkarpos AB vidurio taško koordinačių tiesėje: 
- jis lygus pusei atkarpos galų koordinačių sumos. Iš antrosios lygybės gauname , o tai neįmanoma, nes paėmėme nesutampančius taškus A ir B.
Taigi, atkarpos AB su galais vidurio taško koordinatės radimo formulė ir turi formą .
Atkarpos vidurio taško koordinatės.
Įveskime stačiakampę Dekarto koordinačių sistemą Оxyz plokštumoje. Duokime du taškus ir žinome, kad taškas C yra atkarpos AB vidurio taškas. Raskime koordinates ir taškus C.
Pagal konstrukciją tiesiai 
lygiagrečios ir lygiagrečios linijos 
, todėl iki Talio teorema iš segmentų lygybės AC ir CB seka segmentų lygybė ir , taip pat segmentų ir . Todėl taškas yra atkarpos vidurio taškas ir atkarpos vidurio taškas. Tada, remiantis ankstesne šio straipsnio pastraipa Ir 
.
Pagal šias formules galima apskaičiuoti atkarpos AB vidurio koordinates tais atvejais, kai taškai A ir B yra vienoje iš koordinačių ašių arba tiesėje, statmenoje vienai iš koordinačių ašių. Palikime šiuos atvejus be komentarų ir pateiksime grafines iliustracijas.
Šiuo būdu, atkarpos AB vidurio taškas plokštumoje su galais taškuose ir turi koordinates 
.
Atkarpos vidurio koordinatės erdvėje.
Į trimatę erdvę ir du taškus įvesime stačiakampę koordinačių sistemą Oxyz 
Ir 
. Gauname formules, kaip rasti taško C, kuris yra atkarpos AB vidurio taškas, koordinates.
Panagrinėkime bendrą atvejį.
Tegul ir yra taškų A, B ir C projekcijos atitinkamai į koordinačių ašis Ox, Oy ir Oz.
Taigi pagal Thaleso teoremą taškai yra atkarpų vidurio taškai 
atitinkamai. Tada (žr. pirmąją šio straipsnio pastraipą). Taigi gavome atkarpos vidurio koordinačių skaičiavimo formulės iš jos galų koordinačių erdvėje.
Šios formulės taip pat gali būti taikomos tais atvejais, kai taškai A ir B yra vienoje iš koordinačių ašių arba tiesėje, statmenoje vienai iš koordinačių ašių, taip pat jei taškai A ir B yra vienoje iš koordinačių plokštumų arba plokštuma lygiagreti vienai iš koordinačių ašių.plokštumos.
Atkarpos vidurio koordinatės per jo galų spindulio vektorių koordinates.
Atkarpos vidurio koordinačių nustatymo formules nesunku gauti remiantis vektorių algebra.
Tegul stačiakampė Dekarto koordinačių sistema Oxy yra plokštumoje, o taškas C yra atkarpos AB vidurio taškas ir ir .
Pagal geometrinį vektorių operacijų apibrėžimą, lygybė 
(taškas C yra lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, įstrižainių susikirtimo taškas, o t. y. taškas C yra lygiagretainio įstrižainės vidurio taškas). Straipsnyje vektoriaus koordinatės stačiakampėje koordinačių sistemoje išsiaiškinome, kad taško spindulio vektoriaus koordinatės yra lygios šio taško koordinatėms, todėl 
. Tada, atlikę atitinkamas operacijas su vektoriais koordinatėse , turime . Kaip galime daryti išvadą, kad taškas C turi koordinates .
Visiškai panašiai atkarpos AB vidurio koordinates galima rasti per jos galų koordinates erdvėje. Šiuo atveju, jei C yra segmento AB vidurio taškas ir , tada mes turime 
.
Atkarpos vidurio koordinačių radimas, pavyzdžiai, sprendiniai.
Daugelyje problemų turite naudoti formules, kad surastumėte atkarpos vidurio taško koordinates. Panagrinėkime būdingiausių pavyzdžių sprendimus.
Pradėkime nuo pavyzdžio, kuriam tereikia taikyti formulę.
Pavyzdys.
Plokštumoje pateiktos dviejų taškų koordinatės 
. Raskite atkarpos AB vidurio taško koordinates.
Sprendimas.
Tegul taškas C yra atkarpos AB vidurio taškas. Jo koordinatės lygios pusei atitinkamų taškų A ir B koordinačių sumų: 
Taigi atkarpos AB vidurio taškas turi koordinates.
