Panagrinėkime įtempimo vektoriaus vertės ir krypties nustatymo metodą E kiekviename stacionarių krūvių sistemos sukurto elektrostatinio lauko taške q 1 , q 2 , ..., K n .
Patirtis rodo, kad Kulono jėgoms taikytinas mechanikoje aptartas jėgų veikimo nepriklausomumo principas (žr. §6), t.y. gaunama jėga F, veikiantis iš lauko ant bandomojo krūvio K 0, lygi vektorinei jėgų sumai F Aš pritaikiau jį iš kiekvieno įkrovimo Q i pusės:
Pagal (79.1), F=Q 0 E Ir F i = Q 0 E aš, kur E yra susidariusio lauko stiprumas ir E i yra krūvio sukurtas lauko stiprumas K i. Pakeitę paskutines išraiškas į (80.1), gauname
Formulė (80.2) išreiškia elektrostatinių laukų superpozicijos (uždėjimo) principas, pagal kurią įtampa E gautas mokesčių sistemos sukurtas laukas lygus geometrinė suma lauko stiprumas, kurį tam tikrame taške sukuria kiekvienas krūvis atskirai.
Elektrinio dipolio elektrostatiniam laukui apskaičiuoti taikomas superpozicijos principas. Elektrinis dipolis- dviejų vienodo modulio priešingų taškinių krūvių sistema (+ Q, - K), atstumas l tarp kurių yra žymiai mažesnis atstumas iki nagrinėjamų lauko taškų. Vektorius, nukreiptas išilgai dipolio ašies (tiesės, einančios per abu krūvius) nuo neigiamo krūvio iki teigiamo krūvio ir lygus atstumui tarp jų. dipolio rankal . Vektorius
kryptis sutampa su dipolio svirtimi ir lygi krūvio sandaugai
| K| ant peties l , paskambino elektrinis dipolio momentas p arba dipolio momentas(122 pav.).
Pagal superpozicijos principą (80.2) įtampa E dipolio laukai savavališkame taške
E=E + + E - ,
Kur E+ ir E- - atitinkamai teigiamų ir neigiamų krūvių sukuriami lauko stiprumai. Naudodami šią formulę apskaičiuojame lauko stiprumą išilgai dipolio ašies išplėtimo ir statmenai jos ašies viduriui.
1. Lauko stipris išilgai dipolio ašies išplėtimo taške A(123 pav.). Kaip matyti iš paveikslo, dipolio lauko stiprumas taške A yra nukreiptas išilgai dipolio ašies ir yra vienodo dydžio
E A =E + -E - .
Atstumo nuo taško žymėjimas A iki dipolio ašies vidurio per l, remiantis (79.2) vakuumo formule, galime parašyti
Pagal dipolio apibrėžimą, l/2< 2. Lauko stiprumas statmenai, pakeltame ašiai nuo jos vidurio, taške IN(123 pav.). Taškas IN tokiu pat atstumu nuo kaltinimų, todėl Kur r"
- atstumas nuo taško IN iki dipolio rankos vidurio. Iš lygiašonių panašumų- pateiktų trikampių, remiantis dipolio svirtimi ir vektoriumi еv, gauname E B =E +
l/
r".
(80.5) Pakeitę reikšmę (80.4) į išraišką (80.5), gauname Vektorius E B turi kryptį, priešingą dipolio elektriniam momentui (vektorius R nukreiptas iš neigiamo į teigiamą krūvį). Viena iš elektrostatikos uždavinių yra lauko parametrų įvertinimas tam tikram stacionariam krūvių pasiskirstymui erdvėje. O superpozicijos principas yra vienas iš tokios problemos sprendimo variantų. Tarkime, kad yra trijų taškų krūviai, sąveikaujantys vienas su kitu. Eksperimento pagalba galima išmatuoti jėgas, veikiančias kiekvieną iš krūvių. Norėdami sužinoti bendrą jėgą, kuria du kiti krūviai veikia vieną krūvį, turite pridėti kiekvieno iš šių dviejų jėgas pagal lygiagretainio taisyklę. Šiuo atveju kyla logiškas klausimas: ar išmatuota jėga, kuri veikia kiekvieną iš krūvių, ir dviejų kitų krūvių jėgų visuma yra lygi viena kitai, jei jėgos apskaičiuojamos pagal Kulono dėsnį. Tyrimo rezultatai rodo teigiamą atsakymą į šį klausimą: iš tikrųjų išmatuota jėga yra lygi kitų krūvių pagal Kulono dėsnį apskaičiuotų jėgų sumai. Ši išvada parašyta teiginių aibės forma ir vadinama superpozicijos principu. 1 apibrėžimas Superpozicijos principas: Krūvio laukų superpozicijos principas yra vienas iš tokio reiškinio kaip elektra tyrimo pagrindų: jo reikšmė prilygsta Kulono dėsnio svarbai. Tuo atveju, kai kalbame apie krūvių rinkinį N (t. y. kelis lauko šaltinius), visa jėga, kurią patiria bandomasis krūvis q, galima nustatyti pagal formulę: F → = ∑ i = 1 N F i a → , čia F i a → jėga, kuria ji veikia krūvį q mokestis
q i jei nėra kito N - 1 krūvio. Naudojant superpozicijos principą naudojant taškinių krūvių sąveikos dėsnį, galima nustatyti krūvių, esančių baigtinių matmenų kūne, sąveikos jėgą. Tam tikslui kiekvienas krūvis yra padalintas į mažus krūvius d q (laikysime juos taškiniais), kurie vėliau paimami poromis; apskaičiuojama sąveikos jėga ir galiausiai atliekamas susidariusių jėgų vektorinis sudėjimas. Lauko interpretacija: Dviejų taškinių krūvių lauko stipris yra intensyvumo, kurį sukuria kiekvienas iš krūvių, kai kito nėra, suma. Bendraisiais atvejais superpozicijos principas įtempimų atžvilgiu turi tokį žymėjimą: E → = ∑ E i → , čia E i → = 1 4 π ε 0 q i ε r i 3 r i → – i-ojo taško krūvio intensyvumas, r i → – vektoriaus, nubrėžto nuo i-ojo krūvio iki tam tikro erdvės taško, spindulys. Ši formulė mums sako, kad bet kokio skaičiaus taškinių krūvių lauko stipris yra kiekvieno taškinio krūvio lauko stiprumų suma, jei kitų nėra. Inžinerinė praktika patvirtina, kad superpozicijos principas laikomasi net esant labai dideliam lauko stiprumui. Atomuose ir branduoliuose esantys laukai turi didelį stiprumą (10 11 - 10 17 V m eilės), tačiau net ir šiuo atveju energijos lygiams apskaičiuoti buvo naudojamas superpozicijos principas. Šiuo atveju skaičiavimų rezultatai labai tiksliai sutapo su eksperimentiniais duomenimis. Tačiau taip pat reikia pažymėti, kad esant labai mažiems atstumams (maždaug ~ 10 - 15 m) ir ypač stipriems laukams, superpozicijos principas tikriausiai nėra tenkinamas. 1 pavyzdys Pavyzdžiui, sunkiųjų branduolių paviršiuje, kurio stiprumas yra ~ 10 22 V m, superpozicijos principas tenkinamas, o esant 10 20 V m stiprumui, atsiranda kvantinės mechaninės sąveikos netiesiškumas. Kai krūvio pasiskirstymas yra nepertraukiamas (t. y. nereikia atsižvelgti į diskretiškumą), bendras lauko stiprumas apskaičiuojamas pagal formulę: E → = ∫ d E → . Šiame įraše integracija vykdoma įkrovos paskirstymo regione: Superpozicijos principas leidžia rasti E → bet kuriam erdvės taškui žinomo tipo erdvinio krūvio pasiskirstymui. Duoti identiški taškiniai krūviai q, esantys kvadrato, kurio kraštinė a, viršūnėse. Būtina nustatyti, kokią jėgą kiekvieną krūvį veikia kiti trys krūviai. Sprendimas
1 paveiksle iliustruojame jėgas, veikiančias bet kurį iš nurodytų krūvių kvadrato viršūnėse. Kadangi sąlygoje nurodyta, kad mokesčiai yra identiški, iliustracijai galima pasirinkti bet kurį iš jų. Užrašykime sumuojančią jėgą, veikiančią krūvį q 1: F → = F 12 → + F 14 → + F 13 → . Jėgos F 12 → ir F 14 → yra lygios, jas apibrėžiame taip: F 13 → = k q 2 2 a 2 . Piešimas 1 Dabar nustatykime O X ašies kryptį (1 pav.), Sukurkime lygtį F → = F 12 → + F 14 → + F 13 →, pakeiskime ja aukščiau gautus jėgos modulius ir tada: F = 2 k q 2 a 2 · 2 2 + k q 2 2 a 2 = k q 2 a 2 2 2 + 1 2 . Atsakymas: jėga, veikianti kiekvieną iš nurodytų krūvių, esančių kvadrato viršūnėse, yra lygi F = k q 2 a 2 2 2 + 1 2. 3 pavyzdys Duodamas elektros krūvis, tolygiai paskirstytas plonu siūlu (tiesiniu tankiu τ). Būtina užrašyti išraišką, kuri nustato lauko stiprumą atstumu a nuo sriegio galo išilgai jo tęsinio. Siūlo ilgis – l .
Piešimas 2 Sprendimas
Mūsų pirmasis žingsnis bus pabrėžti taškinį krūvį ant sriegio d q. Pagal Kulono dėsnį sukurkime įrašą, išreiškiantį elektrostatinio lauko stiprumą: d E → = k d q r 3 r → . Tam tikrame taške visi įtempimo vektoriai turi tą pačią kryptį išilgai OX ašies, tada: d E x = k d q r 2 = d E . Problemos sąlyga yra ta, kad krūvis turi vienodą pasiskirstymą išilgai sriegio su tam tikru tankiu, ir mes rašome taip: Pakeiskime šiuo įrašu į anksčiau parašytą elektrostatinio lauko stiprumo išraišką, integruokime ir gaukime: E = k ∫ a l + a τ d r r 2 = k τ - 1 r a l + a = k τ l a (l + a) . Atsakymas: Lauko stiprumas nurodytame taške bus nustatomas pagal formulę E = k τ l a (l + a) . Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter Elektrostatika Elektrostatika- elektros studijų skyrius, tiriantis stacionarių elektros krūvių sąveiką ir pastovaus elektrinio lauko savybes. 1.Elektros krūvis.
Elektros krūvis yra vidinė savybė kūnus ar daleles, apibūdinančius jų gebėjimą elektromagnetinei sąveikai. Elektros krūvio vienetas yra kulonas (C)- elektros krūvis, einantis per laidininko skerspjūvį, kai srovės stipris yra 1 amperas per 1 sekundę. Egzistuoja elementarus (minimalus) elektros krūvis
Elementaraus neigiamo krūvio nešėjas yra elektronas
.
Jo masė Eksperimentiškai nustatytos pagrindinės elektros krūvio savybės: Yra du tipai: teigiamas
Ir neigiamas
.
Kaip krūviai atstumia, kitaip nei krūviai traukia. Elektros krūvis nekintamas- jo reikšmė nepriklauso nuo atskaitos sistemos, t.y. priklausomai nuo to, ar jis juda, ar ilsisi. Elektros krūvis diskretus- bet kurio kūno krūvis yra sveikasis elementariojo elektros krūvio kartotinis e. Elektros krūvis priedas- bet kurios kūnų (dalelių) sistemos krūvis lygus į sistemą įtrauktų kūnų (dalelių) krūvių sumai. Elektros krūvis paklūsta mokesčio išsaugojimo įstatymas
: Šiuo atveju uždara sistema suprantama kaip sistema, kuri nesikeičia krūviais su išoriniais kūnais. Elektrostatika naudoja fizinį modelį - taškinis elektros krūvis- įkrautas kūnas, kurio forma ir matmenys šioje problemoje nėra svarbūs. 2.Kulono dėsnis
Taškinių krūvių sąveikos dėsnis - Kulono dėsnis: sąveikos jėga F tarp dviejų stacionarių taškinių krūvių, esantis vakuume, yra proporcinga mokesčiams ir
atvirkščiai proporcingas atstumo kvadratui r tarp jų: Jėga
yra nukreiptas išilgai tiesia linija, jungiančia sąveikaujančius krūvius, t.y. yra centrinis ir atitinka trauką (F<0) в случае разноименных зарядов и отталкиванию (F> 0) to paties pavadinimo kaltinimų atveju. Vektorinėje formoje jėga, veikianti krūvį iš: Už mokestį q 2įkrovimo pusė
jėgos veiksmai - elektros konstanta,
viena iš pagrindinių fizinių konstantų: Kur faradas (F)- elektros galios vienetas (21 punktas). Jei sąveikaujantys krūviai yra izotropinėje terpėje, tada Kulono jėga kur - terpės dielektrinė konstanta- bematis dydis, rodantis, kiek kartų sąveikos jėga F tarp krūvių tam tikroje terpėje yra mažesnė nei jų sąveikos jėga
vakuume: Vakuumo dielektrinė konstanta. Dielektrikai ir jų savybės bus išsamiau aptartos toliau (15 skyrius). Bet koks įkrautas kūnas gali būti apsvarstyta Kaip visuma taškiniai mokesčiai, panašiai kaip mechanikoje bet kuris kūnas gali būti laikomas materialių taškų rinkiniu. Štai kodėl elektrostatinė jėga, kuriuo vienas įkrautas kūnas veikia kitą, yra lygus geometrinė jėgų suma, taikomas visiems antrojo kūno taškiniams krūviams iš kiekvieno pirmojo kūno taškinio krūvio pusės. Dažnai daug patogiau manyti, kad mokesčiai nuolat paskirstytas įkrautame kūne
- kartu kai kurie linijos(pavyzdžiui, įkrauto plono strypo atveju), paviršiai(pavyzdžiui, įkrautos plokštės atveju) arba apimtis. Jie atitinkamai vartoja sąvokas tiesinio, paviršiaus ir tūrinio krūvio tankiai. Elektros krūvių tūrinis tankis Kur dq- mažo įkrauto kūno elemento įkrovimas tūriu dV. Elektrinių krūvių paviršiaus tankis
Kur dq- nedidelės įkrauto paviršiaus atkarpos įkrovimas su plotu dS. Tiesinis elektros krūvių tankis Kur dq- nedidelės įkrautos linijos ilgio dalies įkrovimas dl. 3.
Elektrostatinis laukas yra laukas, sukurtas stacionarių elektros krūvių. Elektrostatinis laukas apibūdinamas dviem dydžiais: potencialus(energija skaliarinis lauko charakteristika) ir įtampa(galia vektorius lauko charakteristika). Elektrostatinio lauko stiprumas- vektorius fizikinis dydis, nulemtas veikiančios jėgos vienam vienetui teigiamas mokestis, padėtas tam tikrame lauko taške: Elektrostatinio lauko stiprio vienetas yra niutonas kulonui(N/Cl): 1 N/Kp=1 V/m, kur V (voltas) – elektrostatinio lauko potencialo vienetas. Taškinio krūvio lauko stiprumas vakuume (ir dielektrikoje) kur yra spindulio vektorius, jungiantis tam tikrą lauko tašką su krūviu q. Skaliarine forma: Vektorinė kryptissutampa su sipa kryptimi, veikiantis teigiamu krūviu. Jei laukas sukurtas teigiamas
krūvis, tada vektorius
nukreiptas palei spindulio vektorių nuo krūvio į kosmosą(testo teigiamo krūvio atstūmimas). Jei laukas sukurtas neigiamas krūvis, tada vektorius
nukreiptas į kaltinimą(trauka). Grafiškai elektrostatinis laukas pavaizduotas naudojant įtempimo linijos- tiesės, kurių liestinės kiekviename taške sutampa su vektoriaus kryptimi E(a pav.). Priskiriamos įtempimo linijos kryptis sutampa su įtempimo vektoriaus kryptimi. Kadangi tam tikrame erdvės taške įtempimo vektorius turi tik vieną kryptį, tai įtempimo linijos niekada nesikerta. Dėl vienodas laukas(kai įtempimo vektorius bet kuriame taške yra pastovus pagal dydį ir kryptį) įtempimo linijos yra lygiagrečios įtempimo vektoriui. Jei lauką sukuria taškinis krūvis, tada intensyvumo linijos yra radialinės tiesios linijos, išeinant nemokamai, jei jis teigiamas, Ir pašto dėžutę tuo susidomėjęs, jei krūvis neigiamas(b pav.). 4. Srauto vektorius .
Kad įtempimo linijų pagalba būtų galima apibūdinti ne tik kryptį, bet ir įtampos vertė elektrostatinio lauko, jie atliekami su tam tikras storis: įtempimo linijų, prasiskverbiančių į vienetinį paviršiaus plotą, statmeną įtempimo linijoms, skaičius turi būti lygus vektoriaus moduliui .
Tada įtempimo linijų, prasiskverbiančių į elementarią sritį, skaičius dS, lygus paskambino įtampos vektoriaus srautas
per platformą dS.Čia dS = dS- vektorius, kurio modulis lygus dS, o vektoriaus kryptis sutampa su kryptimi
į svetainę. Srauto vektorius
per savavališką uždarą paviršių S: Elektrostatinių laukų superpozicijos principas. Atsižvelgiant į mechaniką, mes taikome Kulono jėgoms savarankiško jėgų veikimo principas- atsirandantis iš lauko veikianti jėga bandomąjį krūvį lygi vektoriaus suma gurkšnis taikomas iš kiekvieno krūvio pusės, sukuriantis elektrostatinį lauką. Įtampa atsirandantis mokesčių sistemos sukurtas laukas taip pat lygus geometrinis
intensyvių laukų, kuriuos tam tikrame taške sukuria kiekvienas krūvis atskirai, suma. Ši formulė išreiškia elektrostatinių laukų superpozicijos (uždėjimo) principas
.
Tai leidžia apskaičiuoti bet kurios stacionarių krūvių sistemos elektrostatinius laukus, pateikiant juos kaip taškinių krūvių rinkinį. Prisiminkime dviejų vektorių sumos vektoriaus dydžio nustatymo taisyklę
Ir
: 6. Gauso teorema.
Elektros krūvių sistemos lauko stiprio apskaičiavimas naudojant elektrostatinių laukų superpozicijos principą gali būti žymiai supaprastintas naudojant Gauso teoremą, kuri nustato elektrinio lauko stiprumo vektoriaus srautą per bet koks uždaras paviršius. Apsvarstykite įtempimo vektoriaus srautą per sferinį spindulio paviršių G, apimantis taškinį mokestį q, esantis jo centre Šis rezultatas galioja bet kokiam uždaram savavališkos formos paviršiui, apimančiam krūvį. Jei uždaras paviršius neuždengia krūvio, tada srautas per jį lygus nuliui, kadangi į paviršių patenkančių įtempimo linijų skaičius lygus iš jo išeinančių įtempimo linijų skaičiui. Pasvarstykime bendras atvejis savavališkas paviršius supantis n krūvius. Pagal superpozicijos principą lauko stiprumas ,
sukurtas visų krūvių yra lygus kiekvieno krūvio atskirai sukurtų intensyvumų sumai. Štai kodėl Gauso teorema elektrostatiniam laukui vakuume: elektrostatinio lauko stiprumo vektoriaus srautas vakuume per savavališką uždarą paviršių yra lygus šio paviršiaus viduje esančių krūvių algebrinei sumai, padalytai iš. Jei krūvis paskirstytas erdvėje tūrio tankiu ,
tada Gauso teorema: 7. Įtempimo vektoriaus cirkuliacija.
Jeigu taškinio krūvio elektrostatiniame lauke q Kitas taškinis krūvis juda iš taško 1 į tašką 2 pagal savavališką trajektoriją, tada krūviui taikoma jėga veikia. Jėgos darbas apie elementarų judėjimą dl yra lygus: Dirbkite perkeldami įkrovą
nuo 1 punkto iki 2 punkto: Darbas
nepriklauso nuo judėjimo trajektorijos, bet lemia tik pradžios ir pabaigos taškų padėtis. Todėl taškinio krūvio elektrostatinis laukas yra potencialus,
ir elektrostatinės jėgos - konservatyvus.
Taigi, elektrostatinio krūvio judėjimas išilgai bet kurios uždaros grandinės L lygus nuliui: Jei pervestas mokestis vienetas
,
tada elementarus lauko jėgų darbas kelyje
lygus
, kur yra vektoriaus projekcija
į elementaraus judėjimo kryptį .
Integralinis
paskambino įtempimo vektoriaus cirkuliacija išilgai tam tikro uždaro kontūro L. Vektorių cirkuliacijos teorema
:
Elektrostatinio lauko stiprumo vektoriaus cirkuliacija išilgai bet kurios uždaros kilpos yra lygi nuliui Jėgos laukas, turintis šią savybę. paskambino potencialus.Ši formulė yra teisinga tik už elektrinis laukas stacionarus mokesčiai (elektrostatinis). 8. Potencialaus krūvio energija.
Potencialiame lauke kūnai turi potencinę energiją, o konservatyvių jėgų darbas atliekamas dėl potencinės energijos praradimo. Todėl darbas gali būti pavaizduotas kaip potencialaus krūvio energijos skirtumas q 0 pradiniame ir galutiniame krūvio lauko taškuose q:
Krūvio, esančio krūvio lauke, potenciali energija q ant atstumo r lygus Darant prielaidą, kad pašalinus krūvį iki begalybės, potenciali energija nukrenta iki nulio, gauname: const = 0. Dėl bendravardisįkrauna potencialią jų sąveikos energiją (atstumti)teigiamas, Dėl skirtingi vardaiįkrauna potencialią energiją iš sąveikos (trauka)neigiamas. Jei lauką sukuria sistema P taškiniai krūviai, tada krūvio potencinė energija d 0, esantis šiame lauke, yra lygus jo potencialių energijų sumai, kurią sukuria kiekvienas krūvis atskirai: 9. Elektrostatinio lauko potencialas. Santykis nepriklauso nuo bandymo įkrovos ir yra lauko charakteristika, paskambino potencialus
:
Potencialus
bet kuriame elektrostatinio lauko taške yra skaliarinis fizinis dydis, nulemtas tame taške esančio vienetinio teigiamo krūvio potencialios energijos. Pavyzdžiui, taškinio krūvio sukurtas lauko potencialas q, yra lygus 10.Potencialus skirtumas
Darbas, kurį atlieka elektrostatinio lauko jėgos judant krūviui
nuo 1 punkto iki 2 taško gali būti pavaizduotas kaip tai yra lygus pajudėjusio krūvio ir potencialų skirtumo sandaugai pradžios ir pabaigos taškuose. Potencialus skirtumas du taškus 1 ir 2 elektrostatiniame lauke lemia lauko jėgų darbas, kai vienetinis teigiamas krūvis perkeliamas iš taško 1 į tašką 2 Naudodamiesi elektrostatinio lauko stiprio apibrėžimu, galime užrašyti darbą
kaip kur integracija gali būti atliekama išilgai bet kurios linijos, jungiančios pradžios ir pabaigos taškus, nes elektrostatinio lauko jėgų darbas nepriklauso nuo judėjimo trajektorijos. Jei perkelsite įkrovą iš savavališkas taškas už lauko ribų
(iki begalybės), kur potencinė energija, taigi ir potencialas, yra lygus nuliui, tada elektrostatinio lauko darbas, iš kurio Taigi, kitas potencialo apibrėžimas: potencialus
- fizinis dydis, nustatomas atliktu darbu perkelti vienetinį teigiamą krūvį, perkeliant jį iš tam tikro taško į begalybę. Potencialo vienetas -
voltas (V): 1V – lauko taško potencialas, kuriame 1 C krūvio potencinė energija yra 1 J (1 V = 1 JL C). Elektrostatinių laukų potencialų superpozicijos principas
:
Jeigu lauką sukuria keli krūviai, tai krūvių sistemos lauko potencialas lygus algebrinė suma visų šių krūvių lauko potencialai. 11. Įtampos ir potencialo santykis.
Potencialiame lauke yra ryšys tarp potencialios (konservatyvios) jėgos ir potencialios energijos: kur ("nabla") - Hamiltono operatorius
: Nuo ir tada Minuso ženklas rodo, kad vektorius
nukreiptas į šoną nusileidžiantis potencialus. 12. Ekvipotencialūs paviršiai.
Norint grafiškai atvaizduoti potencialų pasiskirstymą, naudojami ekvipotencialūs paviršiai – paviršiai, kurių visuose taškuose potencialas turi vienodą reikšmę. Ekvipotencialūs paviršiai dažniausiai brėžiami taip, kad potencialų skirtumai tarp dviejų gretimų ekvipotencialų paviršių būtų vienodi. Tada ekvipotencialių paviršių tankis aiškiai apibūdina lauko stiprumą skirtinguose taškuose. Ten, kur šie paviršiai tankesni, lauko stiprumas yra didesnis. Paveiksle punktyrinė linija rodo jėgos linijas, ištisinės linijos rodo ekvipotencialių paviršių atkarpas: teigiamą taškinį krūvį (A), dipolis (b), du panašūs krūviai (V), sudėtingos konfigūracijos įkrautas metalinis laidininkas (G). Taškinio krūvio potencialas yra , todėl ekvipotencialūs paviršiai yra koncentrinės sferos. Kita vertus, įtempimo linijos yra radialinės tiesios linijos. Vadinasi, įtempimo linijos yra statmenos ekvipotencialiems paviršiams. Galima parodyti, kad visais atvejais 1) vektorius statmenai ekvipotencialūs paviršiai ir 2) visada nukreiptas į potencialo mažinimą. 13.Svarbiausių simetrinių elektrostatinių laukų vakuume skaičiavimų pavyzdžiai.
1. Elektrinio dipolio elektrostatinis laukas vakuume.
Elektrinis dipolis(arba dvigubas elektros polius) yra dviejų vienodo dydžio priešingų taškinių krūvių sistema (+q,-q), atstumas l tarp kurių yra žymiai mažesnis atstumas iki nagrinėjamų lauko taškų ( l< Dipolio ranka
- vektorius, nukreiptas išilgai dipolio ašies nuo neigiamo krūvio iki teigiamo ir lygus atstumui tarp jų. Elektrinis dipolio momentas p e- vektorius, kryptis sutampa su dipolio svirtimi ir lygus įkrovos modulio ir peties sandaugai: Leisti r- atstumas iki taško A nuo dipolio ašies vidurio. Tada, atsižvelgiant į tai r>>l. 2) Lauko stiprumas statmeno taške B, atkurta į dipolio ašį nuo jos centro ties r'>>l. Štai kodėl Superpozicijos principas Tarkime, kad turime trijų taškų mokesčius. Šie mokesčiai sąveikauja. Galite atlikti eksperimentą ir išmatuoti jėgas, veikiančias kiekvieną krūvį. Norint rasti bendrą jėgą, kuria antrasis ir trečiasis veikia vieną krūvį, pagal lygiagretainio taisyklę reikia pridėti jėgas, kuriomis kiekvienas iš jų veikia. Kyla klausimas, ar išmatuota jėga, kuri veikia kiekvieną iš krūvių, yra lygi kitų dviejų jėgų sumai, jei jėgos apskaičiuojamos pagal Kulono dėsnį. Tyrimai parodė, kad išmatuota jėga yra lygi dviejų krūvių apskaičiuotų jėgų sumai pagal Kulono dėsnį. Šis empirinis rezultatas išreiškiamas teiginiais: Šis teiginys vadinamas superpozicijos principu. Šis principas yra vienas iš elektros doktrinos pagrindų. Jis toks pat svarbus kaip Kulono dėsnis. Jos apibendrinimas daugelio kaltinimų atveju yra akivaizdus. Jei yra keli lauko šaltiniai (įkrovų skaičius N), tada gautą jėgą, veikiančią bandomąjį krūvį q, galima rasti taip: \[\overrightarrow(F)=\sum\limits^N_(i=1)(\overrightarrow(F_(ia)))\left(1\right),\] kur $\overrightarrow(F_(ia))$ yra jėga, kuria krūvis $q_i$ veikia krūvį q, jei nėra kitų N-1 krūvių. Superpozicijos principas (1) leidžia, naudojant taškinių krūvių sąveikos dėsnį, apskaičiuoti krūvių, esančių ant baigtinių matmenų kūno, sąveikos jėgą. Tam reikia kiekvieną iš krūvių padalyti į mažus krūvius dq, kuriuos galima laikyti taškiniais krūviais, paimti juos poromis, apskaičiuoti sąveikos jėgą ir atlikti susidariusių jėgų vektorinį sudėjimą. Superpozicijos principas turi lauko interpretaciją: dviejų taškinių krūvių lauko stipris yra lygus intensyvumo, kurį sukuria kiekvienas iš krūvių, nesant kito, sumai. Apskritai superpozicijos principą įtempimų atžvilgiu galima parašyti taip: \[\overrightarrow(E)=\sum(\overrightarrow(E_i))\left(2\right).\] kur $(\overrightarrow(E))_i=\frac(1)(4\pi (\varepsilon )_0)\frac(q_i)(\varepsilon r^3_i)\overrightarrow(r_i)\ $ yra i-tasis taškinis krūvis, $\overrightarrow(r_i)\ $ yra spindulio vektorius, nubrėžtas nuo i-ojo krūvio iki erdvės taško. Išraiška (1) reiškia, kad bet kokio skaičiaus taškinių krūvių lauko stiprumas yra lygus kiekvieno taškinio krūvio lauko stiprių sumai, jei kitų nėra. Inžinerinė praktika patvirtino, kad superpozicijos principo laikomasi iki labai didelių lauko stiprių. Atomuose ir branduoliuose esantys laukai turi labai reikšmingą stiprumą ($(10)^(11)-(10)^(17)\frac(B)(m)$), bet net ir jiems superpozicijos principas. buvo naudojamas skaičiuojant atomų energijos lygius ir skaičiavimo duomenys labai tiksliai sutapo su eksperimentiniais duomenimis. Tačiau reikia pažymėti, kad esant labai mažiems atstumams ($\sim (10)^(-15)m$) ir itin stipriuose laukuose superpozicijos principas gali nepasitvirtinti. Taigi, pavyzdžiui, sunkiųjų branduolių paviršiuje stiprybės pasiekia $\sim (10)^(22)\frac(V)(m)$ superpozicijos principas yra įvykdytas, bet esant $(10) stiprumui )^(20)\frac(V )(m)$ kyla kvantiniai – mechaniniai sąveikos netiesiškumas. Jei krūvis paskirstomas nuolat (nereikia atsižvelgti į diskretiškumą), tada bendras lauko stiprumas nustatomas taip: \[\overrightarrow(E)=\int(d\overrightarrow(E))\ \left(3\right).\] (3) lygtyje integracija vykdoma per krūvio pasiskirstymo sritį. Jei krūviai paskirstomi išilgai linijos ($\tau =\frac(dq\ )(dl)-linear\ density\passiskirstymas\ mokestis$), tada integracija į (3) atliekama išilgai linijos. Jei krūviai yra paskirstyti paviršiuje, o paviršiaus pasiskirstymo tankis yra $\sigma =\frac(dq\ )(dS)$, tada integruokite per paviršių. Integracija atliekama pagal tūrį, jei kalbame apie tūrinį krūvio pasiskirstymą: $\rho =\frac(dq\ )(dV)$, kur $\rho$ yra tūrinio krūvio pasiskirstymo tankis. Superpozicijos principas iš esmės leidžia nustatyti $\overrightarrow(E)$ bet kuriam erdvės taškui pagal žinomą erdvinio krūvio pasiskirstymą. 1 pavyzdys Užduotis: Kvadrato, kurio kraštinė yra a, viršūnėse yra identiški taškiniai krūviai q. Nustatykite jėgą, kurią kiekvieną krūvį veikia kiti trys krūviai. Pavaizduokime jėgas, veikiančias vieną iš krūvių kvadrato viršūnėje (pasirinkimas nėra svarbus, nes krūviai vienodi) (1 pav.). Gautą jėgą, veikiančią krūvį $q_1$, užrašome taip: \[\overrightarrow(F)=(\overrightarrow(F))_(12)+(\overrightarrow(F))_(14)+(\overrightarrow(F))_(13)\ \left(1.1\right ).\] Jėgos $(\overrightarrow(F))_(12)$ ir $(\overrightarrow(F))_(14)$ yra vienodo dydžio ir jas galima rasti taip: \[\left|(\overrightarrow(F))_(12)\right|=\left|(\overrightarrow(F))_(14)\right|=k\frac(q^2)(a^2) )\ \left(1.2\right),\] kur $k = 9 (10)^9\frac(Nm^2)((C)^2).$ Rasime jėgos modulį $(\overrightarrow(F))_(13)$, taip pat pagal Kulono dėsnį, žinodami, kad kvadrato įstrižainė lygi: todėl turime: \[\left|(\overrightarrow(F))_(13)\right|=k\frac(q^2)(2a^2)\ \left(1.4\right)\] Nukreipkime OX ašį, kaip parodyta Fig. 1, projektuojame (1.1) lygtį, pakeičiame gautus jėgos modulius, gauname: Atsakymas: Jėga, veikianti kiekvieną krūvį kvadrato viršūnėse, yra lygi: $F=\frac(kq^2)(a^2)\left(\frac(2\sqrt(2)+1) (2)\dešinėje) .$ 2 pavyzdys Užduotis: elektros krūvis yra tolygiai paskirstytas plonu siūlu, kurio linijinis tankis yra vienodas $\tau$. Raskite lauko stiprumo išraišką $a$ atstumu nuo sriegio galo išilgai jo tęsinio. Siūlo ilgis yra $l$. Pasirinkite taškinį krūvį $dq$ ant sriegio ir iš Kulono dėsnio parašykite jam elektrostatinio lauko stiprumo išraišką: Tam tikrame taške visi įtempimo vektoriai yra nukreipti vienodai, išilgai X ašies, todėl turime: Kadangi krūvis, atsižvelgiant į problemos sąlygas, yra tolygiai paskirstytas per siūlą tiesiniu tankiu $\tau $, galime parašyti taip: Pakeiskime (2.4) į lygtį (2.1) ir integruokime: Atsakymas: Sriegio lauko stiprumas nurodytame taške apskaičiuojamas pagal formulę: $E=\frac(k\tau l)(a(l+a)).$ Laukų superpozicijos (perdengimo) principas yra suformuluotas taip: Jeigu tam tikrame erdvės taške įvairios įkrautos dalelės sukuria elektrinius laukus, kurių stiprumas ir pan., tai gautas lauko stiprumas šiame taške yra lygus: . Lauko superpozicijos principas galioja tuo atveju, kai kelių skirtingų krūvių sukurti laukai vienas kitam neturi jokios įtakos, tai yra elgiasi taip, lyg kitų laukų nebūtų. Patirtis rodo, kad įprasto intensyvumo laukuose, aptinkamuose gamtoje, taip iš tikrųjų atsitinka. Dėl superpozicijos principo norint rasti įkrautų dalelių sistemos lauko stiprumą bet kuriame taške, pakanka naudoti taškinio krūvio lauko stiprumo išraišką. Žemiau esančiame paveikslėlyje parodyta, kaip taške A nustatomas dviejų taškinių krūvių sukuriamas lauko stiprumas q 1
Ir q 2. Elektrinis laukas erdvėje dažniausiai vaizduojamas jėgos linijomis. Jėgos linijų sampratą M. Faradėjus pristatė studijuodamas magnetizmą. Šią koncepciją tuomet sukūrė J. Maxwellas, atlikdamas elektromagnetizmo tyrimus. Jėgos linija arba elektrinio lauko stiprumo linija yra linija, kurios liestinė kiekviename jos taške sutampa su jėgos, veikiančios teigiamą taškinį krūvį, esantį šiame lauko taške, kryptimi. Žemiau esančiuose paveikslėliuose pavaizduotos teigiamai įkrauto rutulio įtampos linijos (1 pav.); du skirtingai įkrauti kamuoliukai (2 pav.); du panašiai įkrauti rutuliukai (3 pav.) ir dvi plokštės, įkrautos skirtingų ženklų, tačiau absoliučia reikšme identiškais krūviais (4 pav.). Įtempimo linijos paskutiniame paveiksle yra beveik lygiagrečios erdvėje tarp plokščių, o jų tankis yra vienodas. Tai rodo, kad laukas šiame erdvės regione yra vienodas. Elektrinis laukas vadinamas vienalyčiu, jei jo stiprumas visuose erdvės taškuose yra vienodas. Elektrostatiniame lauke jėgos linijos nėra uždaros, jos visada prasideda teigiamais krūviais ir baigiasi neigiamais. Jos niekur nesikerta, lauko linijų sankirta rodytų lauko stiprumo krypties neapibrėžtumą susikirtimo taške. Lauko linijų tankis yra didesnis šalia įkrautų kūnų, kur lauko stiprumas yra didesnis. Įkrauto laidžiojo rutulio lauko stiprumas atstumu nuo rutulio centro viršija jo spindulį r ≥
R. nustatomas ta pačia formule kaip ir taško krūvio laukai Rutulio krūvis tolygiai paskirstomas jo paviršiuje. Laidžio rutulio viduje lauko stiprumas lygus nuliui.
Superpozicijos principas
Superpozicijos principo lauko interpretacija
2 apibrėžimas 
kilogramas. Elementaraus teigiamo krūvio nešėjas yra protonas. Jo masė 
kilogramas.
Bet kurių uždarų elektrinių krūvių algebrinė suma
sistema išlieka nepakitusi, kad ir kokie procesai vyktų
šioje sistemoje.
arba 
. Tada 
Kur
- vektorinė projekcija įjungta normalus
į svetainę dS. (vektorius
- vieneto vektorius, statmenas vietai dS). Didumas
Superpozicijos principo lauko interpretacija
Elektros lauko linijos.
Įkrauto kamuolio laukas.
. Tai liudija lauko linijų pasiskirstymas (1 pav.). A), panašus į taškinio krūvio intensyvumo linijų pasiskirstymą (1 pav.). b).
