Bir dik üçgenin en küçük yüksekliğini bulma formülü. sağ üçgen

sağ üçgen açılarından birinin doğru olduğu yani 90 dereceye eşit olduğu üçgendir.

Dik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. c veya AB)
Dik açıya bitişik kenara bacak denir. Her bir dik üçgenin iki bacağı vardır (şu şekilde gösterilir): a ve b veya AC ve BC)

Bir dik üçgenin formülleri ve özellikleri

Formül tanımları:

(yukarıdaki resme bakın)

bir, b- bir dik üçgenin bacakları

c- hipotenüs

α, β - bir üçgenin dar açıları

S- Meydan

h- dik açının tepe noktasından hipotenüse düşen yükseklik

m bir a karşı köşeden ( α )

m b- medyan yana çekilmiş b karşı köşeden ( β )

mc- medyan yana çekilmiş c karşı köşeden ( γ )

AT sağ üçgen her iki bacak hipotenüsten daha küçüktür(Formül 1 ve 2). Bu özellik Pisagor teoreminin bir sonucudur.

Dar açılardan herhangi birinin kosinüsü birden az (Formül 3 ve 4). Bu özellik öncekinden sonra gelir. Bacaklardan herhangi biri hipotenüsten küçük olduğundan, bacağın hipotenüse oranı her zaman birden küçüktür.

Hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir (Pisagor teoremi). (Formül 5). Bu özellik sürekli problem çözmede kullanılır.

Dik üçgenin alanı bacakların çarpımının yarısına eşittir (Formül 6)

Kare medyanların toplamı bacaklara, ortancanın hipotenüsün beş karesine ve hipotenüsün beş karesinin dörde bölünmesine eşittir (Formül 7). Yukarıdakilere ek olarak, orada 5 formül daha, bu nedenle, medyanın özelliklerini daha ayrıntılı olarak açıklayan " Bir dik üçgenin medyanı" dersini de öğrenmeniz önerilir.

Yükseklik bir dik üçgen, bacakların çarpımının hipotenüse bölünmesine eşittir (Formül 8)

Bacakların kareleri, hipotenüse düşen yüksekliğin karesiyle ters orantılıdır (Formül 9). Bu özdeşlik aynı zamanda Pisagor teoreminin sonuçlarından biridir.

Hipotenüsün uzunluğuçevrelenmiş dairenin çapına (iki yarıçap) eşittir (Formül 10). Bir dik üçgenin hipotenüsü çevrelenmiş dairenin çapıdır. Bu özellik genellikle problem çözmede kullanılır.

yazılı yarıçap içinde sağ üçgen çevreler Bu üçgenin bacaklarının toplamından hipotenüsün uzunluğunu içeren ifadenin yarısı olarak bulunabilir. Veya belirli bir üçgenin tüm kenarlarının (çevre) toplamına bölünen bacakların ürünü olarak. (Formül 11)
bir açının sinüsü zıt bu köşe bacaktan hipotenüse(sinüs tanımı gereği). (Formül 12). Bu özellik, problem çözerken kullanılır. Kenarların boyutlarını bilerek, oluşturdukları açıyı bulabilirsiniz.

Bir dik üçgende A açısının (α, alpha) kosinüsü şuna eşit olacaktır: ilişki bitişik bu köşe bacaktan hipotenüse(sinüs tanımı gereği). (Formül 13)

Üçgenler.

Temel konseptler.

Üçgen- bu, bir düz çizgi üzerinde uzanmayan üç parça ve üç noktadan oluşan bir rakamdır.

Segmentler denir partiler, ve noktalar zirveler.

açıların toplamıüçgen 180º'ye eşittir.

Üçgenin yüksekliği.

Üçgen Yüksekliği bir tepe noktasından karşı tarafa çizilen bir diktir.

Dar açılı bir üçgende yükseklik üçgenin içindedir (Şekil 1).

Bir dik üçgende, bacaklar üçgenin yükseklikleridir (Şekil 2).

Geniş bir üçgende yükseklik üçgenin dışından geçer (Şekil 3).

Üçgen yükseklik özellikleri:

Bir üçgenin açıortayı.

Bir üçgenin açıortayı- bu, tepe noktasının köşesini ikiye bölen ve tepe noktasını karşı taraftaki bir noktaya bağlayan bir parçadır (Şekil 5).

Bisektör özellikleri:

Bir üçgenin medyanı.

üçgen ortanca- bu, tepe noktasını karşı tarafın ortasına bağlayan bir segmenttir (Şekil 9a).

Medyanın uzunluğu aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

2b 2 + 2c 2 - a 2
m bir 2 = ——————
4

nerede m bir- medyan yana çekilmiş a.

Bir dik üçgende, hipotenüse çizilen medyan, hipotenüsün yarısıdır:

c
mc = —
2

nerede mc hipotenüse çizilen medyandır c(Şekil 9c)

Bir üçgenin medyanları bir noktada kesişir (üçgenin kütle merkezinde) ve bu noktaya yukarıdan sayılarak 2:1 oranında bölünür. Yani, tepe noktasından merkeze doğru olan doğru parçası, üçgenin merkezinden kenarına doğru olan parçanın iki katıdır (Şekil 9c).

Bir üçgenin üç medyanı, onu eşit alanlı altı üçgene böler.

Üçgenin orta çizgisi.

Üçgenin orta çizgisi- bu, iki tarafının orta noktalarını birleştiren bir segmenttir (Şekil 10).

Bir üçgenin orta çizgisi üçüncü kenara paraleldir ve yarısına eşittir.

Üçgenin dış köşesi.

dış köşeüçgen komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir (Şek. 11).

Bir üçgenin dış açısı komşu olmayan açılardan büyüktür.

Sağ üçgen.

sağ üçgen- bu dik açıya sahip bir üçgendir (Şek. 12).

Bir dik üçgenin dik açının karşısındaki kenarına denir hipotenüs.

Diğer iki taraf denir bacaklar.

Bir dik üçgende orantılı parçalar.

1) Bir dik üçgende, dik açıdan çizilen yükseklik üç benzer üçgen oluşturur: ABC, ACH ve HCB (Şekil 14a). Buna göre yüksekliğin oluşturduğu açılar A ve B açılarına eşittir.

Şekil 14a

İkizkenar üçgen.

İkizkenar üçgen- bu, iki tarafın eşit olduğu bir üçgendir (Şekil 13).

Bu eşit kenarlara denir taraf, ve üçüncü temelüçgen.

İkizkenar üçgende taban açıları eşittir. (Üçgenimizde A açısı C açısına eşittir).

Bir ikizkenar üçgende, tabana çizilen medyan, üçgenin hem açıortayı hem de yüksekliğidir.

Eşkenar üçgen.

Eşkenar üçgen, tüm kenarların eşit olduğu bir üçgendir (Şekil 14).

Eşkenar üçgenin özellikleri:

Üçgenlerin dikkat çekici özellikleri.

Üçgenler, bu şekillerle ilgili sorunları başarıyla çözmenize yardımcı olacak orijinal özelliklere sahiptir. Bu özelliklerden bazıları yukarıda özetlenmiştir. Ancak, onlara birkaç harika özellik daha ekleyerek bunları tekrarlıyoruz:

1) 90º, 30º ve 60º açıları olan bir dik üçgende, bacak b, 30º'lik açının karşısında yatan, eşittir hipotenüsün yarısı. Bacaka daha fazla bacakb√3 kez (Şek. 15 a). Örneğin, b'nin bacağı 5 ise, o zaman hipotenüs c mutlaka 10'a eşit ve bacak a 5√3'e eşittir.

2) Açıları 90º, 45º ve 45º olan dik açılı bir ikizkenar üçgende hipotenüs, bacağın √2 katıdır (Şekil 15). b). Örneğin, bacaklar 5 ise, hipotenüs 5√2'dir.

3) Üçgenin orta çizgisi paralel kenarın yarısına eşittir (Şekil 15). ile). Örneğin, bir üçgenin bir kenarı 10 ise, ona paralel orta çizgi 5'tir.

4) Bir dik üçgende, hipotenüse çizilen medyan, hipotenüsün yarısına eşittir (Şekil 9c): mc= c/2.

5) Bir noktada kesişen bir üçgenin ortancaları bu noktaya 2:1 oranında bölünür. Yani, tepe noktasından medyanların kesişme noktasına kadar olan segment, medyanların kesişme noktasından üçgenin kenarına kadar olan segmentin iki katıdır (Şekil 9c)

6) Bir dik üçgende, hipotenüsün orta noktası, çevrelenmiş dairenin merkezidir (Şekil 15). d).

Üçgenlerin eşitlik belirtileri.

Eşitliğin ilk işareti: Bir üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı diğer üçgenin iki kenarına ve aralarındaki açıya eşitse, bu üçgenler eştir.

Eşitliğin ikinci işareti: Bir üçgenin kenar ve ona bitişik açıları diğer üçgenin kenarına ve ona bitişik açılara eşitse, bu üçgenler eştir.

Üçüncü eşitlik işareti: Bir üçgenin üç kenarı diğer bir üçgenin üç kenarına eşitse, bu üçgenler eştir.

Üçgen eşitsizliği.

Herhangi bir üçgende her bir kenar diğer iki kenarın toplamından küçüktür.

Pisagor teoremi.

Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir:

c 2 = a 2 + b 2 .

Bir üçgenin alanı.

1) Bir üçgenin alanı, kenarının çarpımının yarısına ve bu kenara çizilen yüksekliğe eşittir:

Ah
S = ——
2

2) Bir üçgenin alanı, herhangi iki kenarının çarpımının yarısına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir:

1
S = — AB · AC · günah A
2

Bir daire etrafında çevrelenmiş bir üçgen.

Tüm kenarlarına dokunuyorsa, bir daireye üçgen içinde yazılı denir (Şekil 16). a).

Bir daire içinde yazılı üçgen.

Bir üçgen, tüm köşeleri ile dokunursa, bir daire içinde yazılı olarak adlandırılır (Şekil 17). a).

Bir dik üçgenin dar açısının sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjantı (Şek. 18).

Sinüs dar açı x zıt hipotenüse kateter.
Şu şekilde gösterilir: günahx.

Kosinüs dar açı x sağ üçgen orandır bitişik hipotenüse kateter.
Aşağıdaki gibi gösterilir: çünkü x.

Teğet dar açı x karşı bacağın bitişik bacağa oranıdır.
Şu şekilde gösterilir: tgx.

Kotanjant dar açı x bitişik bacağın karşı bacağa oranıdır.
Şu şekilde gösterilir: ctgx.

Tüzük:

Bacak karşı köşesi x, hipotenüs ve günahın ürününe eşittir x:

b=c günah x

Köşeye bitişik bacak x, hipotenüsün ürününe eşittir ve cos x:

bir = cçünkü x

Bacak karşı köşesi x, ikinci ayağın ürününe eşittir ve tg x:

b = bir tg x

Köşeye bitişik bacak x, ikinci ayağın ürününe eşittir ve ctg x:

a = b ctg x.

Herhangi bir dar açı için x:

günah (90° - x) = çünkü x

çünkü (90° - x) = günah x

(ABC) ve şekilde gösterilen özellikleri. Bir dik üçgenin hipotenüsü vardır, yani dik açının karşısındaki kenar.

İpucu 1: Bir dik üçgende yükseklik nasıl bulunur

Dik açı oluşturan kenarlara bacak denir. yan çizim AD, DC ve BD, DC- bacaklar ve yanlar AC ve GB- hipotenüs.

Teorem 1. Açısı 30° olan dik açılı bir üçgende, bu açının karşısındaki bacak hipotenüsün yarısına kadar yırtılır.

AB- hipotenüs;

AD ve DB

Üçgen
Bir teorem var:
yorum sistemi CACKLE

Çözüm: 1) Herhangi bir dikdörtgenin köşegenleri eşittir Doğru 2) Bir üçgende bir dar açı varsa, bu üçgen dar açılıdır. Doğru değil. Üçgen türleri. Üç açısı da darsa, yani 90 ° 'den küçükse bir üçgene dar açılı denir 3) Nokta üzerindeyse.

Veya başka bir gönderide,

Pisagor teoremine göre

Bir dik üçgen formülünde yükseklik nedir

Bir dik üçgenin yüksekliği

Hipotenüse çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, problem ifadesindeki verilere bağlı olarak şu veya bu şekilde bulunabilir.

Veya başka bir gönderide,

BK ve KC, bacakların hipotenüs üzerindeki çıkıntılarıdır (yüksekliğin hipotenüsü böldüğü bölümler).

Hipotenüse çizilen yükseklik, bir dik üçgenin alanından bulunabilir. Bir üçgenin alanını bulmak için formülü uygularsak

(bir kenarın çarpımının yarısı ve bu kenara çizilen yükseklik) hipotenüse ve hipotenüse çizilen yüksekliği elde ederiz:

Buradan yüksekliği, üçgenin alanının iki katının hipotenüsün uzunluğuna oranı olarak bulabiliriz:

Bir dik üçgenin alanı, bacakların çarpımının yarısı olduğundan:

Yani hipotenüse çizilen yüksekliğin uzunluğu, bacakların çarpımının hipotenüse oranına eşittir. Bacakların uzunluklarını a ve b ile, hipotenüsün c ile uzunluğunu gösterirsek, formül şu şekilde yeniden yazılabilir:

Bir dik üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin yarıçapı hipotenüsün yarısına eşit olduğundan, yüksekliğin uzunluğu, çevrelenmiş dairenin bacakları ve yarıçapı cinsinden ifade edilebilir:

Hipotenüse çizilen yükseklik iki tane daha dik üçgen oluşturduğundan, uzunluğu dik üçgendeki oranlardan bulunabilir.

ABK dik üçgeninden

Sağ üçgenden ACK

Bir dik üçgenin yüksekliğinin uzunluğu, bacakların uzunlukları cinsinden ifade edilebilir. Gibi

Pisagor teoremine göre

Denklemin her iki tarafının karesini alırsak:

Bir dik üçgenin yüksekliğini bacaklarla ilişkilendirmek için başka bir formül elde edebilirsiniz:

Bir dik üçgen formülünde yükseklik nedir

Sağ üçgen. Orta seviye.

Gücünüzü test etmek ve Birleşik Devlet Sınavı veya OGE için ne kadar hazır olduğunuzu öğrenmek ister misiniz?

Ana dik üçgen teoremi Pisagor teoremidir.

Pisagor teoremi

Bu arada, bacakların ve hipotenüsün ne olduğunu iyi hatırlıyor musun? Değilse, resme bakın - bilginizi tazeleyin

Pisagor teoremini zaten birçok kez kullanmış olmanız oldukça olasıdır, ancak böyle bir teoremin neden doğru olduğunu hiç merak ettiniz mi? Nasıl kanıtlayacaksın? Eski Yunanlılar gibi yapalım. Kenarları olan bir kare çizelim.

Kenarlarını ne kadar kurnazca uzunluklara böldüğümüzü görüyorsunuz ve!

Şimdi işaretli noktaları birleştirelim

Ancak burada başka bir şeye dikkat çektik, ancak resme kendiniz bakın ve nedenini düşünün.

Daha büyük karenin alanı nedir? Doğru şekilde, . Peki ya daha küçük alan? Kesinlikle, . Dört köşenin toplam alanı kalır. İki tanesini alıp hipotenüslerle birbirine yaslandığımızı düşünün. Ne oldu? İki dikdörtgen. Yani, "kesimler" alanı eşittir.

Şimdi hepsini bir araya getirelim.

Böylece Pisagor'u ziyaret ettik - teoremini eski bir şekilde kanıtladık.

Dik üçgen ve trigonometri

Bir dik üçgen için aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:

Dar açının sinüsü, karşı bacağın hipotenüse oranına eşittir.

Dar açının kosinüsü, bitişik bacağın hipotenüse oranına eşittir.

Dar açının tanjantı, karşı bacağın bitişik bacağa oranına eşittir.

Dar açının kotanjantı, bitişik bacağın karşı bacağa oranına eşittir.

Ve bir kez daha, tüm bunlar bir tabak şeklinde:

Çok kullanışlı bir şey fark ettiniz mi? Plakaya dikkatlice bakın.

Çok rahat!

Dik üçgenlerin eşitlik belirtileri

II. Bacak ve hipotenüs ile

III. Hipotenüs ve dar açı ile

IV. Bacak ve dar açı boyunca

Dikkat! Burada bacakların "karşılık gelen" olması çok önemlidir. Örneğin, şöyle giderse:

O ZAMAN ÜÇGENLER EŞİT DEĞİLDİR, aynı akut açıya sahip olmalarına rağmen.

gerek Her iki üçgende de bacak bitişikti veya her ikisinde de - zıttı.

Dik üçgenlerin eşitlik işaretlerinin, üçgenlerin normal eşitlik işaretlerinden nasıl farklı olduğunu fark ettiniz mi? “Üçgen” konusuna bir göz atın ve “sıradan” üçgenlerin eşitliği için üç öğesinin eşitliğine ihtiyacınız olduğuna dikkat edin: iki kenar ve aralarında bir açı, iki açı ve aralarında bir kenar, veya üç taraf. Ancak dik açılı üçgenlerin eşitliği için sadece iki karşılık gelen eleman yeterlidir. Harika, değil mi?

Sağ üçgenlerin benzerlik belirtileri ile yaklaşık olarak aynı durum.

Dik üçgenlerin benzerlik belirtileri

III. Bacak ve hipotenüs ile

Bir dik üçgende medyan

Bir dik üçgen yerine tam bir dikdörtgen düşünün.

Bir köşegen çizin ve köşegenlerin kesiştiği noktayı düşünün. Bir dikdörtgenin köşegenleri hakkında ne biliyorsun?

Çapraz kesişim noktası ortalar Köşegenler eşittir

Ve bundan ne çıkar?

öyle oldu yani

Bu gerçeği hatırla! Çok yardımcı olur!

Daha da şaşırtıcı olan, bunun tersinin de doğru olmasıdır.

Hipotenüse çizilen medyanın hipotenüsün yarısına eşit olduğu gerçeğinden ne fayda elde edilebilir? resime bakalım

Yakından bak. elimizde: yani noktadan üçgenin üç köşesine olan mesafeler eşit çıktı. Ama bir üçgende sadece bir nokta vardır, o üçgenin üç köşesinin yaklaşık olarak eşit olduğu mesafeler ve bu tarif edilen ÇEVRİMİN MERKEZİ'dir. Peki ne oldu?

O zaman bununla başlayalım "ayrıca. ".

Ama benzer üçgenlerde tüm açılar eşittir!

Aynı şey hakkında söylenebilir ve

Şimdi birlikte çizelim:

Her ikisinin de aynı keskin köşeleri var!

Bu "üçlü" benzerlikten ne yararlanılabilir?

Peki, örneğin - Bir dik üçgenin yüksekliği için iki formül.

İlgili tarafların ilişkilerini yazıyoruz:

Yüksekliği bulmak için oranı çözeriz ve İlk formül "Dik üçgende yükseklik":

İkincisi nasıl alınır?

Ve şimdi üçgenlerin benzerliğini uyguluyoruz ve.

Öyleyse, benzerliği uygulayalım: .

Ne olacak şimdi?

Yine oranı çözüyoruz ve ikinci formülü elde ediyoruz. "Bir dik üçgende yükseklik":

Bu formüllerin her ikisi de çok iyi hatırlanmalıdır ve hangisinin uygulanması daha uygundur. Onları tekrar yazalım.

Peki, şimdi, bu bilgiyi başkalarıyla uygulayarak ve birleştirerek, herhangi bir sorunu dik üçgenle çözeceksiniz!

Yorumlar

Kaynak sayfaya bir dofollow bağlantısı varsa, materyallerin onaysız dağıtımına izin verilir.

Gizlilik Politikası

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Hipotenüse bırakılan bir dik üçgenin yükseklik özelliği

Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara açıklama

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

Gerekli olması durumunda - yasaya, yargı düzenine, yasal işlemlere ve / veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarının kamuya açık taleplerine veya taleplerine dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı amaçları için gerekli veya uygun olduğunu belirlersek sizinle ilgili bilgileri ifşa edebiliriz. Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefine aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinizi korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik uygulamalarını iletiriz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uygularız.

Mesaj için teşekkürler!

Yorumunuz kabul edildi, moderasyondan sonra bu sayfada yayınlanacaktır.

Kesimin altında nelerin gizlendiğini bilmek ve OGE ve KULLANIM için hazırlanmak için özel materyaller almak ister misiniz? bir e-posta bırakın

Bir dik üçgenin özellikleri

Bir dik üçgen düşünün (ABC) ve şekilde gösterilen özellikleri. Bir dik üçgenin hipotenüsü vardır, yani dik açının karşısındaki kenar. Dik açı oluşturan kenarlara bacak denir. yan çizim AD, DC ve BD, DC- bacaklar ve yanlar AC ve GB- hipotenüs.

Bir dik üçgenin eşitlik belirtileri:

Teorem 1. Bir dik üçgenin hipotenüsü ve bacağı, başka bir üçgenin hipotenüsüne ve bacağına benzerse, bu üçgenler eşittir.

Teorem 2. Bir dik üçgenin iki ayağı başka bir üçgenin iki ayağına eşitse, bu üçgenler eştir.

Teorem 3. Bir dik üçgenin hipotenüsü ve bir dar açısı, başka bir üçgenin hipotenüsüne ve bir dar açısına benzerse, bu üçgenler eştir.

Teorem 4. Bir dik üçgenin ayağı ve komşu (karşıt) dar açısı, başka bir üçgenin ayağına ve bitişik (karşı) dar açısına eşitse, bu üçgenler eştir.

30 ° 'lik bir açının karşısındaki bacağın özellikleri:

Teorem 1.

Dik üçgende yükseklik

Açısı 30° olan dik açılı bir üçgende, bu açının karşısındaki bacak hipotenüsün yarısına kadar yırtılır.

Teorem 2. Bir dik üçgende bacak hipotenüsün yarısına eşitse, karşı açı 30°'dir.

Yükseklik dik açının tepe noktasından hipotenüse çekilirse, böyle bir üçgen gidene benzer ve diğerine benzer iki küçük üçgene bölünür. Bundan aşağıdaki sonuçlar çıkar:

Yükseklik, iki hipotenüs segmentinin geometrik ortalamasıdır (ortalama orantılı).
Üçgenin her ayağı, hipotenüs ve bitişik bölümlerle orantılı ortalamadır.

Bir dik üçgende, bacaklar yükseklik görevi görür. Ortocenter, üçgenin yüksekliklerinin kesiştiği noktadır. Şeklin dik açısının üst kısmı ile çakışmaktadır.

hC- üçgenin dik açısından çıkan yükseklik;

AB- hipotenüs;

AD ve DB- hipotenüsü yüksekliğe bölerken ortaya çıkan segmentler.

"Geometri" disiplinindeki referansları görüntülemeye geri dön

Üçgen aynı doğru üzerinde olmayan üç noktadan (köşeler) ve bu noktaları birleştiren üç doğru parçasından oluşan geometrik şekildir. Bir dik üçgen, 90 ° açılardan birine (dik açı) sahip bir üçgendir.
Bir teorem var: bir dik üçgenin dar açılarının toplamı 90° dir.
yorum sistemi CACKLE

Anahtar Kelimeler:üçgen, dikdörtgen, bacak, hipotenüs, Pisagor teoremi, daire

Üçgen denir dikdörtgen eğer doğru bir açıya sahipse.
Bir dik üçgenin birbirine dik iki kenarı vardır. bacaklar; üçüncü taraf denir hipotenüs.

Dikey ve eğik hipotenüsün özelliklerine göre, bacakların her biri daha uzundur (ancak toplamlarından daha azdır).
Bir dik üçgenin iki dar açısının toplamı dik açıya eşittir.
Bir dik üçgenin iki yüksekliği bacaklarıyla çakışır. Bu nedenle, dikkat çekici dört noktadan biri üçgenin dik açısının köşelerine düşer.
Bir dik üçgenin çevrelenmiş çemberinin merkezi, hipotenüsün orta noktasında yer alır.
Dik açının tepe noktasından hipotenüse çizilen bir dik üçgenin medyanı, bu üçgenin çevrelediği çemberin yarıçapıdır.

Rastgele bir ABC dik üçgeni düşünün ve dik açısının C köşesinden bir CD = hc yüksekliği çizin.

Verilen üçgeni ACD ve BCD olmak üzere iki dik üçgene bölecektir; bu üçgenlerin her birinin ABC üçgeni ile ortak bir dar açısı vardır ve bu nedenle ABC üçgenine benzer.

ABC, ACD ve BCD üçgenlerinin hepsi birbirine benzer.

Üçgenlerin benzerliğinden aşağıdaki ilişkiler belirlenir:

$$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
c = ac + bc;
$$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
$$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Pisagor teoremi Bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi kuran Öklid geometrisinin temel teoremlerinden biri.

Geometrik ifade. Bir dik üçgende hipotenüs üzerine kurulan karenin alanı, bacaklar üzerine kurulan karelerin alanlarının toplamına eşittir.

Cebirsel formülasyon. Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir.
Yani, c ile üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu ve a ve b ile bacakların uzunluklarını belirtmek:
a2 + b2 = c2

Ters Pisagor teoremi.

Bir dik üçgenin yüksekliği

a, b ve c pozitif sayılarının herhangi bir üçlüsü için
a2 + b2 = c2,
bacakları a ve b ve hipotenüsü c olan bir dik üçgen var.

Dik üçgenlerin eşitlik belirtileri:

bacak ve hipotenüs boyunca;
iki ayak üzerinde;
bacak ve akut açı boyunca;
hipotenüs ve dar açı.

Ayrıca bakınız:
Üçgen Alan, İkizkenar Üçgen, Eşkenar Üçgen

Geometri. 8 Sınıf. Ölçek 4. Seçenek 1 .

AD : CD=CD : B.D. Dolayısıyla CD2 = AD ∙ B.D. Onlar söylüyor:

AD : AC=AC : AB. Dolayısıyla AC2 = AB ∙ AD. Onlar söylüyor:

BD : M.Ö.=M.Ö. : AB. Dolayısıyla BC2 = AB ∙ B.D.

Sorunları çözmek:

A) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm

2. Hipotenüse çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, hipotenüsü 9 ve 36 segmentlerine böler.

Bu yüksekliğin uzunluğunu belirleyin.

A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.

A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.

A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.

A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.

8. Bir dik üçgenin ayağı 30'dur.

Dik üçgende yükseklik nasıl bulunur?

Bu üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı 17 ise, dik açının tepe noktasından hipotenüse olan uzaklığı bulun.

A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.

10.

A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.

A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.

12.

A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.

Cevapları kontrol et!

D8.04.1. Bir dik üçgende orantılı parçalar

Geometri. 8 Sınıf. Ölçek 4. Seçenek 1 .

Δ ABC'de ∠ACV = 90°. AC ve BC bacakları, AB hipotenüsü.

CD, hipotenüse çizilen üçgenin yüksekliğidir.

AC bacağının hipotenüs üzerindeki AD izdüşümü,

BC bacağının hipotenüs üzerine BD izdüşümü.

Altitude CD, ABC üçgenini kendisine (ve birbirine) benzer iki üçgene böler: Δ ADC ve Δ CDB.

Benzer Δ ADC ve Δ CDB'nin kenarlarının orantılılığından aşağıdaki gibidir:

AD : CD=CD : B.D.

Hipotenüse düşen bir dik üçgenin yüksekliğinin özelliği.

Dolayısıyla CD2 = AD ∙ B.D. Onlar söylüyor: hipotenüse çizilen bir dik üçgenin yüksekliği,bacakların hipotenüs üzerindeki izdüşümleri arasındaki ortalama orantısal değerdir.

Δ ADC ve Δ ACB'nin benzerliğinden şu sonuç çıkar:

AD : AC=AC : AB. Dolayısıyla AC2 = AB ∙ AD. Onlar söylüyor: her bacak, tüm hipotenüs ile bu bacağın hipotenüs üzerindeki izdüşümü arasındaki ortalama orantısal değerdir.

Benzer şekilde, Δ CDB ve Δ ACB'nin benzerliğinden şu sonuç çıkar:

BD : M.Ö.=M.Ö. : AB. Dolayısıyla BC2 = AB ∙ B.D.

Sorunları çözmek:

1. Hipotenüsü 25 cm ve 81 cm'lik parçalara ayırırsa, hipotenüse çizilen dik üçgenin yüksekliğini bulun.

A) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm

2. Hipotenüse çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, hipotenüsü 9 ve 36 numaralı parçalara böler. Bu yüksekliğin uzunluğunu belirleyin.

A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.

4. Hipotenüse çizilen dik üçgenin yüksekliği 22, bacaklardan birinin izdüşümü 16'dır. Diğer bacağın izdüşümünü bulun.

A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.

5. Bir dik üçgenin ayağı 18'dir ve hipotenüs üzerindeki izdüşümü 12'dir. Hipotenüsü bulun.

A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.

6. Hipotenüs 32'dir. Hipotenüs üzerindeki izdüşümü 2 olan bacağı bulun.

A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.

7. Bir dik üçgenin hipotenüsü 45'tir. Hipotenüse izdüşümü 9 olan bacağı bulun.

8. Bir dik üçgenin bacağı 30'dur. Bu üçgenin çevresinde çevrelenen dairenin yarıçapı 17 ise, dik açının tepe noktasından hipotenüse olan mesafeyi bulun.

A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.

10. Bir dik üçgenin hipotenüsü 41'dir ve bacaklardan birinin izdüşümü 16'dır. Dik açının tepe noktasından hipotenüse çizilen yüksekliğin uzunluğunu bulun.

A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.

A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.

12. Bacakların hipotenüs üzerindeki izdüşümlerindeki fark 15'tir ve dik açının tepe noktasından hipotenüse olan mesafe 4'tür. Çevrelenmiş dairenin yarıçapını bulun.

A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.

Aslında, her şey o kadar da korkutucu değil. Elbette yazıda sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın "gerçek" tanımına bakılmalıdır. Ama gerçekten istemiyorsun, değil mi? Sevinebiliriz: bir dik üçgenle ilgili sorunları çözmek için aşağıdaki basit şeyleri doldurmanız yeterlidir:

Peki açı? Köşenin karşısında bir bacak var mı, yani karşı bacak (köşe için)? Elbette var! Bu bir katet!

Ama açı ne olacak? Yakından bak. Hangi bacak köşeye bitişik? Tabii ki, kedi. Böylece, açı için bacak bitişiktir ve

Ve şimdi, dikkat! Bakın elimizde ne var:

Ne kadar harika olduğunu görün:

Şimdi teğet ve kotanjanta geçelim.

Şimdi nasıl kelimelere dökelim? Köşeye göre bacak nedir? Karşısında, elbette - köşenin karşısında "yatar". Ve katet? Köşeye bitişik. Peki ne elde ettik?

Pay ve paydanın nasıl ters çevrildiğini gördün mü?

Ve şimdi yine köşeler ve değiş tokuş yapıldı:

Özet

Öğrendiklerimizi kısaca yazalım.

Pisagor teoremi:

Ana dik üçgen teoremi Pisagor teoremidir.

Pisagor teoremi

Bu arada, bacakların ve hipotenüsün ne olduğunu iyi hatırlıyor musun? Değilse, resme bakın - bilginizi tazeleyin

Kenarlarını ne kadar kurnazca uzunluklara böldüğümüzü görüyorsunuz ve!

Şimdi işaretli noktaları birleştirelim

Ancak burada başka bir şeye dikkat çektik, ancak resme kendiniz bakın ve nedenini düşünün.

Daha büyük karenin alanı nedir?

Doğru şekilde, .

Peki ya daha küçük alan?

Kesinlikle, .

Dört köşenin toplam alanı kalır. İki tanesini alıp hipotenüslerle birbirine yaslandığımızı düşünün.

Ne oldu? İki dikdörtgen. Yani, "kesimler" alanı eşittir.

Şimdi hepsini bir araya getirelim.

dönüştürelim:

Böylece Pisagor'u ziyaret ettik - teoremini eski bir şekilde kanıtladık.

Dik üçgen ve trigonometri

Bir dik üçgen için aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:

Dar açının sinüsü, karşı bacağın hipotenüse oranına eşittir.

Dar açının kosinüsü, bitişik bacağın hipotenüse oranına eşittir.

Dar açının tanjantı, karşı bacağın bitişik bacağa oranına eşittir.

Dar açının kotanjantı, bitişik bacağın karşı bacağa oranına eşittir.

Ve bir kez daha, tüm bunlar bir tabak şeklinde:

Çok rahat!

Dik üçgenlerin eşitlik belirtileri

I. İki ayak üzerinde

II. Bacak ve hipotenüs ile

III. Hipotenüs ve dar açı ile

IV. Bacak ve dar açı boyunca

Dikkat! Burada bacakların "karşılık gelen" olması çok önemlidir. Örneğin, şöyle giderse:

O ZAMAN ÜÇGENLER EŞİT DEĞİLDİR, aynı akut açıya sahip olmalarına rağmen.

gerek her iki üçgende de bacak bitişikti veya her ikisinde de - zıttı.

Dik üçgenlerin eşitlik işaretlerinin, üçgenlerin normal eşitlik işaretlerinden nasıl farklı olduğunu fark ettiniz mi?

“Konuya bakın ve “sıradan” üçgenlerin eşitliği için, üç öğesinin eşitliğine ihtiyacınız olduğuna dikkat edin: iki taraf ve aralarında bir açı, iki açı ve aralarında bir taraf veya üç taraf.

Ancak dik açılı üçgenlerin eşitliği için sadece iki karşılık gelen eleman yeterlidir. Harika, değil mi?

Sağ üçgenlerin benzerlik belirtileri ile yaklaşık olarak aynı durum.

Dik üçgenlerin benzerlik belirtileri

I. Akut köşe

II. iki ayak üzerinde

III. Bacak ve hipotenüs ile

Bir dik üçgende medyan

Neden böyle?

Bir dik üçgen yerine tam bir dikdörtgen düşünün.

Bir köşegen çizelim ve bir nokta düşünelim - köşegenlerin kesişme noktası. Bir dikdörtgenin köşegenleri hakkında ne biliyorsun?

Ve bundan ne çıkar?

öyle oldu yani

- ortanca:

Bu gerçeği hatırla! Çok yardımcı olur!

Daha da şaşırtıcı olan, bunun tersinin de doğru olmasıdır.

Hipotenüse çizilen medyanın hipotenüsün yarısına eşit olduğu gerçeğinden ne fayda elde edilebilir? resime bakalım

Bu "ayrıca..." ile başlayalım.

i'ye bakalım.

Ama benzer üçgenlerde tüm açılar eşittir!

Aynı şey hakkında söylenebilir ve

Şimdi birlikte çizelim:

Bu "üçlü" benzerlikten ne yararlanılabilir?

Peki, örneğin - bir dik üçgenin yüksekliği için iki formül.

İlgili tarafların ilişkilerini yazıyoruz:

Yüksekliği bulmak için oranı çözeriz ve ilk formül "Bir dik üçgende yükseklik":

Peki, şimdi, bu bilgiyi başkalarıyla uygulayarak ve birleştirerek, herhangi bir sorunu dik üçgenle çözeceksiniz!

Öyleyse, benzerliği uygulayalım: .

Ne olacak şimdi?

Yine oranı çözüyoruz ve ikinci formülü elde ediyoruz:

Bu formüllerin her ikisi de çok iyi hatırlanmalıdır ve hangisinin uygulanması daha uygundur.

Onları tekrar yazalım.

Pisagor teoremi:

Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir:

Dik üçgenlerin eşitlik belirtileri:

iki ayak üzerinde:
bacak ve hipotenüs boyunca: veya
bacak ve bitişik dar açı boyunca: veya
bacak boyunca ve zıt dar açı boyunca: veya
hipotenüs ve dar açı ile: veya.

Dik üçgenlerin benzerlik belirtileri:

bir keskin köşe: veya
iki bacağın orantılılığından:
bacak ve hipotenüsün orantılılığından: veya.

Bir dik üçgende sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant

Bir dik üçgenin dar açısının sinüsü, karşı bacağın hipotenüse oranıdır:
Bir dik üçgenin dar açısının kosinüsü, bitişik bacağın hipotenüse oranıdır:
Bir dik üçgenin dar açısının tanjantı, karşı bacağın bitişik olana oranıdır:
Bir dik üçgenin dar açısının kotanjantı, bitişik bacağın zıt tarafa oranıdır:.

Bir dik üçgenin yüksekliği: veya.

Bir dik üçgende, dik açının tepesinden çizilen medyan, hipotenüsün yarısına eşittir: .

Bir dik üçgenin alanı:

kateterler aracılığıyla:

Mülkiyet: 1. Herhangi bir dik üçgende, dik açıdan (hipotenüse) düşürülen yükseklik, dik üçgeni benzer üç üçgene böler.

Mülkiyet: 2. Hipotenüse indirilmiş dik açılı bir üçgenin yüksekliği, bacakların hipotenüs üzerindeki izdüşümlerinin geometrik ortalamasına (veya yüksekliğin hipotenüsü böldüğü bölümlerin geometrik ortalamasına) eşittir.

Mülkiyet: 3. Bacak, hipotenüsün geometrik ortalamasına ve bu bacağın hipotenüs üzerindeki izdüşümüne eşittir.

Mülkiyet: 4. 30 derecelik bir açıya karşı bacak hipotenüsün yarısına eşittir.

Formül 1.

formül 2. hipotenüs nerede; , paten.

Mülkiyet: 5. Bir dik üçgende, hipotenüse çizilen medyan, hipotenüsün yarısına ve çevrelenmiş dairenin yarıçapına eşittir.

Özellik: 6. Bir dik üçgenin kenarları ve açıları arasındaki bağımlılık:

44. Kosinüs teoremi. Sonuçlar: bir paralelkenarın köşegenleri ve kenarları arasındaki bağlantı; üçgen tipinin belirlenmesi; bir üçgenin medyanının uzunluğunu hesaplamak için formül; bir üçgenin açısının kosinüsünü hesaplama.

İş bitimi -

Bu konu şunlara aittir:

Sınıf. Kolokyum Temel Planimetri Programı

Bitişik açıların özelliği.. iki açının tanımı, eğer bir kenarı diğer ikisinde ortaksa düz bir çizgi oluşturuyorsa bitişiktir..

Bu konuyla ilgili ek materyale ihtiyacınız varsa veya aradığınızı bulamadıysanız, çalışma veritabanımızdaki aramayı kullanmanızı öneririz:

Alınan malzeme ile ne yapacağız:

Bu materyalin sizin için yararlı olduğu ortaya çıktıysa, sosyal ağlarda sayfanıza kaydedebilirsiniz: