τετράγωνο παραλληλόγραμμο, χτισμένο σε φορείς, υπολογίζεται ως το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του ημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας. Εάν είναι γνωστές μόνο οι συντεταγμένες των διανυσμάτων, τότε πρέπει να χρησιμοποιηθούν μέθοδοι συντεταγμένων για υπολογισμούς, συμπεριλαμβανομένου του προσδιορισμού της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων.
Θα χρειαστείτε
- - έννοια του διανύσματος.
- - ιδιότητες των διανυσμάτων.
- - Καρτεσιανές συντεταγμένες;
- - τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Οδηγίες
- Αν είναι γνωστά τα μήκη των διανυσμάτων και η μεταξύ τους γωνία, τότε για να βρεθεί το εμβαδόν παραλληλόγραμμο, χτισμένο σε φορείς, να βρείτε το γινόμενο των μονάδων τους (διανυσματικά μήκη) με το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας S=│a│ │ b│ sin(α).
- Αν τα διανύσματα δίνονται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, τότε για να βρεθεί η περιοχή παραλληλόγραμμοχτισμένο πάνω τους, κάντε τα εξής:
- Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων, αν δεν δίνονται αμέσως, αφαιρώντας τις συντεταγμένες από τις αρχές από τις αντίστοιχες συντεταγμένες των άκρων των διανυσμάτων. Για παράδειγμα, εάν οι συντεταγμένες του σημείου έναρξης του διανύσματος είναι (1;-3;2) και το τελικό σημείο (2;-4;-5), τότε οι συντεταγμένες του διανύσματος θα είναι (2-1;- 4+3;-5-2)=(1 ;-1;-7). Έστω οι συντεταγμένες του διανύσματος a(x1;y1;z1), του διανύσματος b(x2;y2;z2).
- Να βρείτε τα μήκη καθενός από τα διανύσματα. Τετραγωνίστε καθεμία από τις συντεταγμένες του διανύσματος και βρείτε το άθροισμά τους x1²+y1²+z1². Πάρτε την τετραγωνική ρίζα του αποτελέσματος. Για το δεύτερο διάνυσμα, κάντε την ίδια διαδικασία. Έτσι, παίρνουμε │a│και│b│.
- Βρείτε το γινόμενο με τελείες των διανυσμάτων. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάστε τις αντίστοιχες συντεταγμένες τους και προσθέστε τα γινόμενα │a b│= x1 x2+ y1 y2+ z1 z2.
- Προσδιορίστε το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας, για το οποίο το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων που λήφθηκαν στο βήμα 3 διαιρείται με το γινόμενο των μηκών των διανυσμάτων που υπολογίστηκαν στο βήμα 2 (Cos(α)= │a b│/(│a │ │ β│)).
- Το ημίτονο της γωνίας που προκύπτει θα είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα της διαφοράς μεταξύ του αριθμού 1 και του τετραγώνου του συνημιτόνου της ίδιας γωνίας, που υπολογίζεται στο βήμα 4 (1-Cos²(α)).
- Υπολογίστε την περιοχή παραλληλόγραμμο, χτισμένο σε φορείςέχοντας βρει το γινόμενο των μηκών τους, που υπολογίζεται στο βήμα 2, και πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με τον αριθμό που προκύπτει μετά τους υπολογισμούς στο βήμα 5.
- Στην περίπτωση που οι συντεταγμένες των διανυσμάτων δίνονται στο επίπεδο, η συντεταγμένη z απλώς απορρίπτεται κατά τους υπολογισμούς. Αυτός ο υπολογισμός είναι μια αριθμητική έκφραση του διανυσματικού γινομένου δύο διανυσμάτων.
Σε αυτό το μάθημα θα δούμε δύο ακόμη πράξεις με διανύσματα: διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτωνΚαι μικτό γινόμενο διανυσμάτων (άμεσος σύνδεσμος για όσους το χρειάζονται). Δεν πειράζει, μερικές φορές συμβαίνει ότι για πλήρη ευτυχία, επιπλέον κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων, απαιτούνται όλο και περισσότερα. Αυτό είναι διανυσματικός εθισμός. Μπορεί να φαίνεται ότι μπαίνουμε στη ζούγκλα της αναλυτικής γεωμετρίας. Αυτό είναι λάθος. Σε αυτό το τμήμα των ανώτερων μαθηματικών υπάρχει γενικά λίγο ξύλο, εκτός ίσως από αρκετό για τον Πινόκιο. Στην πραγματικότητα, το υλικό είναι πολύ κοινό και απλό - δύσκολα πιο περίπλοκο από το ίδιο κλιμακωτό προϊόν, θα υπάρχουν ακόμη λιγότερες τυπικές εργασίες. Το κυριότερο στην αναλυτική γεωμετρία, όπως πολλοί θα πειστούν ή έχουν ήδη πειστεί, είναι ΝΑ ΜΗ ΚΑΝΟΥΜΕ ΛΑΘΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ. Επαναλάβετε σαν ξόρκι και θα είστε χαρούμενοι =)
Αν τα διανύσματα αστράφτουν κάπου μακριά, σαν αστραπή στον ορίζοντα, δεν πειράζει, ξεκινήστε με το μάθημα Διανύσματα για ανδρείκελανα επαναφέρουν ή να αποκτήσουν εκ νέου βασικές γνώσεις για τα διανύσματα. Οι πιο προετοιμασμένοι αναγνώστες μπορούν να εξοικειωθούν με τις πληροφορίες επιλεκτικά· προσπάθησα να συγκεντρώσω την πληρέστερη συλλογή παραδειγμάτων που βρίσκονται συχνά στην πρακτική εργασία
Τι θα σας κάνει ευτυχισμένο αμέσως; Όταν ήμουν μικρός, μπορούσα να κάνω ταχυδακτυλουργικά δύο ή και τρεις μπάλες. Λειτουργούσε καλά. Τώρα δεν θα χρειαστεί να κάνετε ταχυδακτυλουργίες, αφού θα εξετάσουμε μόνο χωρικά διανύσματα, και επίπεδα διανύσματα με δύο συντεταγμένες θα παραμείνουν εκτός. Γιατί; Έτσι γεννήθηκαν αυτές οι ενέργειες - το διάνυσμα και το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων ορίζονται και λειτουργούν σε τρισδιάστατο χώρο. Είναι ήδη πιο εύκολο!
Αυτή η λειτουργία, όπως και το βαθμωτό προϊόν, περιλαμβάνει δύο διανύσματα. Ας είναι αυτά άφθαρτα γράμματα.
Η ίδια η δράση συμβολίζεται μεμε τον εξής τρόπο: . Υπάρχουν και άλλες επιλογές, αλλά έχω συνηθίσει να δηλώνω το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων με αυτόν τον τρόπο, σε αγκύλες με σταυρό.
Και αμέσως ερώτηση: εάν μέσα κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτωνεμπλέκονται δύο διανύσματα, και εδώ πολλαπλασιάζονται επίσης δύο διανύσματα, τότε ποιά είναι η διαφορά? Η προφανής διαφορά είναι, πρώτα απ' όλα, στο ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ:
Το αποτέλεσμα του βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι NUMBER:
Το αποτέλεσμα του διασταυρούμενου γινομένου των διανυσμάτων είναι ΔΙΑΝΥΣΜΑ: , δηλαδή πολλαπλασιάζουμε τα διανύσματα και παίρνουμε πάλι διάνυσμα. Κλειστό κλαμπ. Στην πραγματικότητα, από αυτό προέρχεται το όνομα της επέμβασης. Σε διαφορετική εκπαιδευτική βιβλιογραφία, οι ονομασίες μπορεί επίσης να διαφέρουν· θα χρησιμοποιήσω το γράμμα.
Ορισμός διασταυρούμενου προϊόντος
Πρώτα θα υπάρχει ορισμός με εικόνα και μετά σχόλια.
Ορισμός: Διανυσματικό προϊόν μη γραμμικόφορείς, λαμβάνονται με αυτή τη σειρά, που ονομάζεται VECTOR, μήκοςπου είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου, βασισμένο σε αυτά τα διανύσματα. διάνυσμα ορθογώνιο προς διανύσματα, και κατευθύνεται έτσι ώστε η βάση να έχει σωστό προσανατολισμό: 
Ας αναλύσουμε τον ορισμό κομμάτι-κομμάτι, υπάρχουν πολλά ενδιαφέροντα πράγματα εδώ!
Έτσι, μπορούν να επισημανθούν τα ακόλουθα σημαντικά σημεία:
1) Τα αρχικά διανύσματα, που υποδεικνύονται με κόκκινα βέλη, εξ ορισμού όχι συγγραμμική. Θα είναι σκόπιμο να εξετάσουμε την περίπτωση των συγγραμμικών διανυσμάτων λίγο αργότερα.
2) Λαμβάνονται διανύσματα με αυστηρά καθορισμένη σειρά: – Το "a" πολλαπλασιάζεται με το "be", όχι «είναι» με «α». Το αποτέλεσμα του διανυσματικού πολλαπλασιασμούείναι VECTOR, το οποίο υποδεικνύεται με μπλε χρώμα. Αν τα διανύσματα πολλαπλασιαστούν με αντίστροφη σειρά, λαμβάνουμε ένα διάνυσμα ίσο σε μήκος και αντίθετο σε φορά (χρώμα βατόμουρου). Δηλαδή η ισότητα είναι αληθινή 
.
3) Τώρα ας εξοικειωθούμε με τη γεωμετρική σημασία του διανυσματικού γινομένου. Αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό σημείο! Το ΜΗΚΟΣ του μπλε διανύσματος (και, επομένως, του πορφυρού διανύσματος) είναι αριθμητικά ίσο με το ΕΜΒΑΔΟ του παραλληλογράμμου που είναι χτισμένο στα διανύσματα. Στο σχήμα, αυτό το παραλληλόγραμμο είναι σκιασμένο μαύρο.
Σημείωση : το σχέδιο είναι σχηματικό και, φυσικά, το ονομαστικό μήκος του γινομένου του διανύσματος δεν είναι ίσο με την περιοχή του παραλληλογράμμου.
Ας θυμηθούμε έναν από τους γεωμετρικούς τύπους: Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο των παρακείμενων πλευρών και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους. Επομένως, με βάση τα παραπάνω, ισχύει ο τύπος για τον υπολογισμό του ΜΗΚΟΥΣ ενός διανυσματικού γινομένου:
Τονίζω ότι ο τύπος αφορά το ΜΗΚΟΣ του διανύσματος και όχι το ίδιο το διάνυσμα. Ποιο είναι το πρακτικό νόημα; Και το νόημα είναι ότι σε προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας, η περιοχή ενός παραλληλογράμμου βρίσκεται συχνά μέσω της έννοιας ενός διανυσματικού γινομένου:
Ας πάρουμε τον δεύτερο σημαντικό τύπο. Η διαγώνιος ενός παραλληλογράμμου (κόκκινη διακεκομμένη γραμμή) το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα. Επομένως, η περιοχή ενός τριγώνου που βασίζεται σε διανύσματα (κόκκινη σκίαση) μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
4) Ένα εξίσου σημαντικό γεγονός είναι ότι το διάνυσμα είναι ορθογώνιο ως προς τα διανύσματα, δηλαδή 
. Φυσικά, το αντίθετα κατευθυνόμενο διάνυσμα (βέλος βατόμουρου) είναι επίσης ορθογώνιο με τα αρχικά διανύσματα.
5) Το διάνυσμα κατευθύνεται έτσι ώστε βάσηΕχει σωστάπροσανατολισμός. Στο μάθημα για μετάβαση σε νέα βάσηΜίλησα με αρκετή λεπτομέρεια για επίπεδο προσανατολισμό, και τώρα θα καταλάβουμε τι είναι ο διαστημικός προσανατολισμός. Θα σου εξηγήσω στα δάχτυλά σου δεξί χέρι. Συνδυάστε διανοητικά δείκτηςμε διάνυσμα και μεσαίο δάχτυλομε διάνυσμα. Δαχτυλίδι και μικρό δάχτυλοπιέστε το στην παλάμη σας. Σαν άποτέλεσμα αντίχειρας– το διανυσματικό προϊόν θα αναζητήσει. Αυτή είναι μια βάση προσανατολισμένη στα δεξιά (είναι αυτή στο σχήμα). Τώρα αλλάξτε τα διανύσματα ( δείκτη και μεσαία δάχτυλα) σε ορισμένα σημεία, ως αποτέλεσμα ο αντίχειρας θα γυρίσει και το διανυσματικό γινόμενο θα κοιτάζει ήδη προς τα κάτω. Αυτή είναι επίσης μια βάση προσανατολισμένη προς τα δεξιά. Μπορεί να έχετε μια ερώτηση: ποια βάση έχει αριστερό προσανατολισμό; "Ανάθεση" στα ίδια δάχτυλα αριστερόχειραςδιανύσματα και λάβετε την αριστερή βάση και τον αριστερό προσανατολισμό του χώρου (σε αυτή την περίπτωση, ο αντίχειρας θα βρίσκεται στην κατεύθυνση του κάτω διανύσματος). Μεταφορικά, αυτές οι βάσεις «στρίβουν» ή προσανατολίζουν το χώρο σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Και αυτή η έννοια δεν πρέπει να θεωρείται κάτι τραβηγμένο ή αφηρημένο - για παράδειγμα, ο προσανατολισμός του χώρου αλλάζει από τον πιο συνηθισμένο καθρέφτη και αν "τραβήξετε το ανακλώμενο αντικείμενο έξω από το γυαλί", τότε στη γενική περίπτωση δεν θα είναι δυνατός ο συνδυασμός του με το "πρωτότυπο". Παρεμπιπτόντως, κρατήστε τρία δάχτυλα στον καθρέφτη και αναλύστε την αντανάκλαση ;-)
...πόσο καλό είναι αυτό που ξέρεις τώρα δεξιά και αριστεράβάσεις, γιατί οι δηλώσεις ορισμένων εισηγητών για αλλαγή προσανατολισμού είναι τρομακτικές =)
Διασταυρούμενο γινόμενο συγγραμμικών διανυσμάτων
Ο ορισμός έχει συζητηθεί λεπτομερώς, μένει να μάθουμε τι συμβαίνει όταν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά. Εάν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, τότε μπορούν να τοποθετηθούν σε μία ευθεία και το παραλληλόγραμμό μας επίσης «διπλώνεται» σε μία ευθεία. Η περιοχή τέτοιων, όπως λένε οι μαθηματικοί, εκφυλισμένοςπαραλληλόγραμμο είναι ίσο με μηδέν. Το ίδιο προκύπτει από τον τύπο - το ημίτονο του μηδέν ή των 180 μοιρών είναι ίσο με μηδέν, που σημαίνει ότι η περιοχή είναι μηδέν
Έτσι, εάν , τότε 
. Αυστηρά μιλώντας, το ίδιο το διανυσματικό γινόμενο είναι ίσο με το μηδενικό διάνυσμα, αλλά στην πράξη αυτό συχνά αγνοείται και γράφουν ότι είναι απλώς ίσο με μηδέν.
Μια ειδική περίπτωση είναι το διασταυρούμενο γινόμενο ενός διανύσματος με τον εαυτό του:
Χρησιμοποιώντας το διανυσματικό γινόμενο, μπορείτε να ελέγξετε τη συγγραμμικότητα των τρισδιάστατων διανυσμάτων και θα αναλύσουμε επίσης αυτό το πρόβλημα, μεταξύ άλλων.
Για να λύσετε πρακτικά παραδείγματα μπορεί να χρειαστείτε τριγωνομετρικός πίνακαςνα βρείτε τις τιμές των ημιτόνων από αυτό.
Λοιπόν, ας ανάψουμε τη φωτιά:
Παράδειγμα 1
α) Να βρείτε το μήκος του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων αν 
β) Βρείτε το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα αν 
Λύση: Όχι, δεν πρόκειται για τυπογραφικό λάθος, σκόπιμα έκανα τα ίδια τα αρχικά δεδομένα στις ρήτρες. Γιατί ο σχεδιασμός των λύσεων θα είναι διαφορετικός!
α) Σύμφωνα με την προϋπόθεση, πρέπει να βρείτε μήκοςδιάνυσμα (σταυρό γινόμενο). Σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:
Απάντηση:
Αν ερωτηθήκατε για το μήκος, τότε στην απάντηση αναφέρουμε τη διάσταση - μονάδες.
β) Σύμφωνα με την προϋπόθεση, πρέπει να βρείτε τετράγωνοπαραλληλόγραμμο που βασίζεται σε διανύσματα. Το εμβαδόν αυτού του παραλληλογράμμου είναι αριθμητικά ίσο με το μήκος του διανυσματικού γινομένου:
Απάντηση:
Σημειώστε ότι η απάντηση δεν μιλάει καθόλου για το διανυσματικό γινόμενο· μας ρωτήθηκε περιοχή του σχήματος, κατά συνέπεια, η διάσταση είναι τετράγωνες μονάδες.
Πάντα κοιτάμε ΤΙ πρέπει να βρούμε ανάλογα με την συνθήκη και, με βάση αυτό, διατυπώνουμε Σαφήαπάντηση. Μπορεί να φαίνεται σαν κυριολεξία, αλλά υπάρχουν πολλοί κυριολεκτικοί μεταξύ των δασκάλων και η εργασία έχει πολλές πιθανότητες να επιστραφεί για αναθεώρηση. Αν και δεν πρόκειται για μια ιδιαίτερα τραβηγμένη κουβέντα - εάν η απάντηση είναι λανθασμένη, τότε έχει την εντύπωση ότι το άτομο δεν καταλαβαίνει απλά πράγματα ή/και δεν έχει κατανοήσει την ουσία της εργασίας. Αυτό το σημείο πρέπει πάντα να διατηρείται υπό έλεγχο κατά την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος στα ανώτερα μαθηματικά, αλλά και σε άλλα μαθήματα.
Πού πήγε το μεγάλο γράμμα «en»; Κατ 'αρχήν, θα μπορούσε να είχε προσαρτηθεί επιπλέον στη λύση, αλλά για να συντομεύσω την καταχώρηση, δεν το έκανα. Ελπίζω να το καταλάβουν όλοι και να είναι χαρακτηρισμός για το ίδιο πράγμα.
Ένα δημοφιλές παράδειγμα για μια λύση DIY:
Παράδειγμα 2
Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε διανύσματα αν 
Ο τύπος για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου μέσω του διανυσματικού γινόμενου δίνεται στα σχόλια του ορισμού. Η λύση και η απάντηση βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος.
Στην πράξη, η εργασία είναι πολύ συνηθισμένη· τα τρίγωνα γενικά μπορούν να σας βασανίσουν.
Για να λύσουμε άλλα προβλήματα θα χρειαστούμε:
Ιδιότητες του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων
Έχουμε ήδη εξετάσει ορισμένες ιδιότητες του διανυσματικού προϊόντος, ωστόσο, θα τις συμπεριλάβω σε αυτήν τη λίστα.
Για αυθαίρετα διανύσματα και έναν αυθαίρετο αριθμό, ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
1) Σε άλλες πηγές πληροφοριών, αυτό το στοιχείο συνήθως δεν επισημαίνεται στις ιδιότητες, αλλά είναι πολύ σημαντικό από πρακτική άποψη. Ας είναι λοιπόν.
2) 
– το ακίνητο συζητείται επίσης παραπάνω, μερικές φορές ονομάζεται αντιμεταθετικότητα. Με άλλα λόγια, η σειρά των διανυσμάτων έχει σημασία.
3) – συνειρμικός ή προσεταιριστικήνόμοι διανυσματικών προϊόντων. Οι σταθερές μπορούν εύκολα να μετακινηθούν έξω από το διανυσματικό γινόμενο. Αλήθεια, τι να κάνουν εκεί;
4) – διανομή ή διανεμητικόςνόμοι διανυσματικών προϊόντων. Δεν υπάρχουν προβλήματα ούτε με το άνοιγμα των στηριγμάτων.
Για να το αποδείξουμε, ας δούμε ένα σύντομο παράδειγμα:
Παράδειγμα 3
Βρείτε αν 
Λύση:Η συνθήκη απαιτεί πάλι την εύρεση του μήκους του γινομένου του διανύσματος. Ας ζωγραφίσουμε τη μινιατούρα μας: 
(1) Σύμφωνα με τους συνειρμικούς νόμους, παίρνουμε τις σταθερές εκτός του πεδίου εφαρμογής του διανυσματικού γινομένου.
(2) Παίρνουμε τη σταθερά έξω από το δομοστοιχείο και η ενότητα «τρώει» το σύμβολο μείον. Το μήκος δεν μπορεί να είναι αρνητικό.
(3) Τα υπόλοιπα είναι ξεκάθαρα.
Απάντηση: 
Ήρθε η ώρα να προσθέσουμε κι άλλα ξύλα στη φωτιά:
Παράδειγμα 4
Υπολογίστε το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε διανύσματα αν 
Λύση: Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου χρησιμοποιώντας τον τύπο 
. Το πρόβλημα είναι ότι τα διανύσματα «tse» και «de» παρουσιάζονται τα ίδια ως αθροίσματα διανυσμάτων. Ο αλγόριθμος εδώ είναι τυπικός και θυμίζει κάπως τα παραδείγματα Νο. 3 και 4 του μαθήματος Σημείο γινόμενο διανυσμάτων. Για λόγους σαφήνειας, θα χωρίσουμε τη λύση σε τρία στάδια:
1) Στο πρώτο βήμα, εκφράζουμε το διανυσματικό γινόμενο μέσω του γινομένου του διανύσματος, στην πραγματικότητα, ας εκφράσουμε ένα διάνυσμα ως διάνυσμα. Καμία λέξη ακόμα για το μήκος!
(1) Αντικαταστήστε τις εκφράσεις των διανυσμάτων.
(2) Χρησιμοποιώντας νόμους διανομής, ανοίγουμε τις αγκύλες σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των πολυωνύμων.
(3) Χρησιμοποιώντας συνειρμικούς νόμους, μετακινούμε όλες τις σταθερές πέρα από τα διανυσματικά γινόμενα. Με λίγη εμπειρία, τα βήματα 2 και 3 μπορούν να εκτελεστούν ταυτόχρονα.
(4) Ο πρώτος και ο τελευταίος όρος είναι ίσοι με μηδέν (μηδενικό διάνυσμα) λόγω της ωραίας ιδιότητας. Στον δεύτερο όρο χρησιμοποιούμε την ιδιότητα της αντιμεταλλαξιμότητας ενός προϊόντος διανύσματος:
(5) Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους.
Ως αποτέλεσμα, το διάνυσμα αποδείχθηκε ότι εκφράζεται μέσω ενός διανύσματος, το οποίο ήταν αυτό που έπρεπε να επιτευχθεί: 
2) Στο δεύτερο βήμα, βρίσκουμε το μήκος του διανυσματικού γινόμενου που χρειαζόμαστε. Αυτή η ενέργεια είναι παρόμοια με το Παράδειγμα 3: 
3) Βρείτε το εμβαδόν του απαιτούμενου τριγώνου: 
Τα στάδια 2-3 της λύσης θα μπορούσαν να είχαν γραφτεί σε μία γραμμή.
Απάντηση:
Το πρόβλημα που εξετάζεται είναι αρκετά κοινό στις δοκιμές, εδώ είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας:
Παράδειγμα 5
Βρείτε αν
Μια σύντομη λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος. Ας δούμε πόσο προσεκτικοί ήσουν όταν μελετούσες τα προηγούμενα παραδείγματα ;-)
Διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων σε συντεταγμένες
, καθορίζεται σε ορθοκανονική βάση, εκφράζεται με τον τύπο:
Ο τύπος είναι πραγματικά απλός: στην επάνω γραμμή της ορίζουσας γράφουμε τα διανύσματα συντεταγμένων, στη δεύτερη και τρίτη γραμμή «βάζουμε» τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και βάζουμε με αυστηρή σειρά– πρώτα οι συντεταγμένες του διανύσματος «ve» και μετά οι συντεταγμένες του διανύσματος «double-ve». Εάν τα διανύσματα πρέπει να πολλαπλασιαστούν με διαφορετική σειρά, τότε οι σειρές πρέπει να αλλάξουν: 
Παράδειγμα 10
Ελέγξτε εάν τα ακόλουθα διανύσματα διαστήματος είναι συγγραμμικά:
ΕΝΑ)
σι) 
Λύση: Ο έλεγχος βασίζεται σε μία από τις προτάσεις σε αυτό το μάθημα: αν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, τότε το διανυσματικό γινόμενο τους είναι ίσο με μηδέν (μηδέν διάνυσμα): 
.
α) Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο: 
Έτσι, τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.
β) Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο: 
Απάντηση: α) όχι συγγραμμικό, β)
Εδώ, ίσως, υπάρχουν όλες οι βασικές πληροφορίες για το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων.
Αυτό το τμήμα δεν θα είναι πολύ μεγάλο, καθώς υπάρχουν λίγα προβλήματα όπου χρησιμοποιείται το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων. Στην πραγματικότητα, όλα θα εξαρτηθούν από τον ορισμό, τη γεωμετρική σημασία και μερικές φόρμουλες εργασίας.
Ένα μικτό γινόμενο διανυσμάτων είναι το γινόμενο τριών διανυσμάτων:
Έτσι παρατάχθηκαν σαν τρένο και ανυπομονούν να αναγνωριστούν.
Πρώτα, πάλι, ένας ορισμός και μια εικόνα:
Ορισμός: Μικτή εργασία μη ομοεπίπεδηφορείς, λαμβάνονται με αυτή τη σειρά, που ονομάζεται όγκος παραλληλεπίπεδου, χτισμένο σε αυτά τα διανύσματα, εξοπλισμένο με ένα σύμβολο «+» εάν η βάση είναι σωστή και ένα σύμβολο «–» εάν η βάση είναι αριστερά.
Ας κάνουμε το σχέδιο. Οι αόρατες σε εμάς γραμμές σχεδιάζονται με διακεκομμένες γραμμές: 
Ας βουτήξουμε στον ορισμό:
2) Λαμβάνονται διανύσματα με μια ορισμένη σειρά, δηλαδή, η αναδιάταξη των διανυσμάτων στο γινόμενο, όπως μπορείτε να μαντέψετε, δεν συμβαίνει χωρίς συνέπειες.
3) Πριν σχολιάσω τη γεωμετρική σημασία, θα σημειώσω ένα προφανές γεγονός: το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ΑΡΙΘΜΟΣ: . Στην εκπαιδευτική βιβλιογραφία, ο σχεδιασμός μπορεί να είναι ελαφρώς διαφορετικός· έχω συνηθίσει να δηλώνω ένα μικτό προϊόν με , και το αποτέλεσμα των υπολογισμών με το γράμμα "pe".
Α-πριό το μικτό προϊόν είναι ο όγκος του παραλληλεπίπεδου, χτισμένο σε διανύσματα (το σχήμα σχεδιάζεται με κόκκινα διανύσματα και μαύρες γραμμές). Δηλαδή, ο αριθμός είναι ίσος με τον όγκο ενός δεδομένου παραλληλεπίπεδου.
Σημείωση : Το σχέδιο είναι σχηματικό.
4) Ας μην ανησυχούμε ξανά για την έννοια του προσανατολισμού της βάσης και του χώρου. Το νόημα του τελευταίου μέρους είναι ότι μπορεί να προστεθεί ένα σύμβολο μείον στον τόμο. Με απλά λόγια, ένα μικτό προϊόν μπορεί να είναι αρνητικό: .
Ακριβώς από τον ορισμό ακολουθεί ο τύπος για τον υπολογισμό του όγκου ενός παραλληλεπίπεδου που βασίζεται σε διανύσματα.
Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και τη γωνία της γωνίας που βρίσκεται μεταξύ τους.
Είναι καλό όταν οι συνθήκες δίνουν τα μήκη αυτών των ίδιων διανυσμάτων. Ωστόσο, συμβαίνει επίσης ότι ο τύπος για την περιοχή ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα μπορεί να εφαρμοστεί μόνο μετά από υπολογισμούς χρησιμοποιώντας συντεταγμένες.
Εάν είστε τυχεροί και οι συνθήκες δίνουν τα μήκη των διανυσμάτων, τότε απλά πρέπει να εφαρμόσετε τον τύπο, τον οποίο έχουμε ήδη συζητήσει λεπτομερώς στο άρθρο. Το εμβαδόν θα είναι ίσο με το γινόμενο των μονάδων και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους:
Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα υπολογισμού του εμβαδού ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα.
Εργο:Το παραλληλόγραμμο είναι χτισμένο στα διανύσματα και . Βρείτε το εμβαδόν if , και η γωνία μεταξύ τους είναι 30°.
Ας εκφράσουμε τα διανύσματα μέσω των τιμών τους:
Ίσως έχετε μια ερώτηση - από πού προέρχονται τα μηδενικά; Αξίζει να θυμηθούμε ότι εργαζόμαστε με διανύσματα και για αυτούς 
. Σημειώστε επίσης ότι εάν το αποτέλεσμα είναι , θα μετατραπεί σε . Τώρα κάνουμε τους τελικούς υπολογισμούς:
Ας επιστρέψουμε στο πρόβλημα όταν τα μήκη των διανυσμάτων δεν καθορίζονται στις συνθήκες. Εάν το παραλληλόγραμμό σας βρίσκεται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, τότε θα χρειαστεί να κάνετε τα εξής.
Υπολογισμός των μηκών των πλευρών ενός σχήματος που δίνονται με συντεταγμένες
Αρχικά, βρίσκουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και αφαιρούμε τις αντίστοιχες συντεταγμένες της αρχής από τις συντεταγμένες τέλους. Ας υποθέσουμε ότι οι συντεταγμένες του διανύσματος a είναι (x1;y1;z1), και το διάνυσμα b είναι (x3;y3;z3).
Τώρα βρίσκουμε το μήκος κάθε διανύσματος. Για να γίνει αυτό, κάθε συντεταγμένη πρέπει να τετραγωνιστεί, στη συνέχεια να προστεθούν τα αποτελέσματα και να εξαχθεί η ρίζα από τον τελικό αριθμό. Με βάση τα διανύσματά μας θα γίνουν οι ακόλουθοι υπολογισμοί: 
Τώρα πρέπει να βρούμε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων μας. Για να γίνει αυτό, οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους πολλαπλασιάζονται και προστίθενται.
Έχοντας τα μήκη των διανυσμάτων και το βαθμωτό γινόμενο τους, μπορούμε να βρούμε το συνημίτονο της γωνίας που βρίσκεται μεταξύ τους 
.
Τώρα μπορούμε να βρούμε το ημίτονο της ίδιας γωνίας: 
Τώρα έχουμε όλες τις απαραίτητες ποσότητες και μπορούμε εύκολα να βρούμε την περιοχή ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα χρησιμοποιώντας τον ήδη γνωστό τύπο.
