Ο έκτος αριθμός στη σειρά Fibonacci. Αριθμοί Fibonacci: διασκεδαστικά μαθηματικά γεγονότα

Έχετε ακούσει ποτέ ότι τα μαθηματικά αποκαλούνται η «βασίλισσα όλων των επιστημών»; Συμφωνείτε με αυτή τη δήλωση; Όσο τα μαθηματικά παραμένουν για εσάς ένα σύνολο βαρετών προβλημάτων σε ένα σχολικό βιβλίο, δύσκολα μπορείτε να ζήσετε την ομορφιά, την ευελιξία και ακόμη και το χιούμορ αυτής της επιστήμης.

Υπάρχουν όμως θέματα στα μαθηματικά που βοηθούν να κάνουμε ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις για πράγματα και φαινόμενα που είναι κοινά σε εμάς. Και μάλιστα προσπαθήστε να διεισδύσετε στο πέπλο του μυστηρίου της δημιουργίας του Σύμπαντος μας. Υπάρχουν ενδιαφέροντα μοτίβα στον κόσμο που μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας τα μαθηματικά.

Παρουσιάζοντας τους αριθμούς Fibonacci

Αριθμοί Fibonacciονομάστε τα στοιχεία μιας αριθμητικής ακολουθίας. Σε αυτό, κάθε επόμενος αριθμός σε μια σειρά προκύπτει αθροίζοντας τους δύο προηγούμενους αριθμούς.

Παραδείγματα ακολουθίας: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Μπορείτε να το γράψετε ως εξής:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Μπορείτε να ξεκινήσετε μια σειρά αριθμών Fibonacci με αρνητικές τιμές n. Επιπλέον, η ακολουθία σε αυτή την περίπτωση είναι αμφίδρομη (δηλαδή καλύπτει αρνητικούς και θετικούς αριθμούς) και τείνει προς το άπειρο και προς τις δύο κατευθύνσεις.

Ένα παράδειγμα τέτοιας ακολουθίας: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

Ο τύπος σε αυτή την περίπτωση μοιάζει με αυτό:

F n = F n+1 - F n+2ή αλλιώς μπορείτε να το κάνετε αυτό: F -n = (-1) n+1 Fn.

Αυτό που σήμερα γνωρίζουμε ως «αριθμοί Fibonacci» ήταν γνωστό στους αρχαίους Ινδούς μαθηματικούς πολύ πριν αρχίσουν να χρησιμοποιούνται στην Ευρώπη. Και αυτό το όνομα είναι γενικά ένα συνεχές ιστορικό ανέκδοτο. Ας ξεκινήσουμε με το γεγονός ότι ο ίδιος ο Φιμπονάτσι δεν αποκάλεσε ποτέ τον εαυτό του Φιμπονάτσι κατά τη διάρκεια της ζωής του - αυτό το όνομα άρχισε να εφαρμόζεται στον Λεονάρντο της Πίζας μόνο αρκετούς αιώνες μετά το θάνατό του. Αλλά ας μιλήσουμε για όλα με τη σειρά.

Ο Λεονάρντο της Πίζας, γνωστός και ως Φιμπονάτσι

Ο γιος ενός εμπόρου που έγινε μαθηματικός, και στη συνέχεια έλαβε την αναγνώριση από τους μεταγενέστερους ως ο πρώτος σημαντικός μαθηματικός της Ευρώπης κατά τον Μεσαίωνα. Χάρη στους αριθμούς Fibonacci (οι οποίοι, ας θυμηθούμε, δεν ονομάζονταν ακόμη έτσι). Το οποίο περιέγραψε στις αρχές του 13ου αιώνα στο έργο του «Liber abaci» («Βιβλίο του Άβακου», 1202).

Ταξίδεψα με τον πατέρα μου στην Ανατολή, ο Λεονάρντο σπούδασε μαθηματικά με Άραβες δασκάλους (και εκείνες τις μέρες ήταν από τους καλύτερους ειδικούς σε αυτό το θέμα και σε πολλές άλλες επιστήμες). Διάβασε έργα μαθηματικών της Αρχαιότητας και της Αρχαίας Ινδίας σε αραβικές μεταφράσεις.

Έχοντας κατανοήσει πλήρως όλα όσα είχε διαβάσει και χρησιμοποιώντας το δικό του περίεργο μυαλό, ο Φιμπονάτσι έγραψε αρκετές επιστημονικές πραγματείες για τα μαθηματικά, συμπεριλαμβανομένου του προαναφερθέντος «Βιβλίο του Άβακα». Εκτός από αυτό δημιούργησα:

"Practica geometriae" ("Practica of Geometry", 1220);
"Flos" ("Flower", 1225 - μια μελέτη για τις κυβικές εξισώσεις).
"Liber quadratorum" ("Βιβλίο των τετραγώνων", 1225 - προβλήματα σε αόριστες τετραγωνικές εξισώσεις).

Ήταν μεγάλος λάτρης των μαθηματικών τουρνουά, έτσι στις πραγματείες του έδινε μεγάλη προσοχή στην ανάλυση διαφόρων μαθηματικών προβλημάτων.

Ελάχιστα βιογραφικά στοιχεία έχουν απομείνει για τη ζωή του Λεονάρντο. Όσο για το όνομα Fibonacci, με το οποίο μπήκε στην ιστορία των μαθηματικών, του ανατέθηκε μόνο τον 19ο αιώνα.

Ο Φιμπονάτσι και τα προβλήματά του

Μετά τον Φιμπονάτσι παρέμεινε ένας μεγάλος αριθμός προβλημάτων που ήταν πολύ δημοφιλή μεταξύ των μαθηματικών στους επόμενους αιώνες. Θα εξετάσουμε το πρόβλημα του κουνελιού, το οποίο λύνεται χρησιμοποιώντας αριθμούς Fibonacci.

Τα κουνέλια δεν είναι μόνο πολύτιμη γούνα

Ο Fibonacci έθεσε τους εξής όρους: υπάρχει ένα ζευγάρι νεογέννητων κουνελιών (αρσενικά και θηλυκά) μιας τόσο ενδιαφέρουσας ράτσας που τακτικά (ξεκινώντας από τον δεύτερο μήνα) παράγουν απογόνους - πάντα ένα νέο ζευγάρι κουνελιών. Επίσης, όπως μπορείτε να μαντέψετε, ένα αρσενικό και ένα θηλυκό.

Αυτά τα κουνέλια υπό όρους τοποθετούνται σε περιορισμένο χώρο και αναπαράγονται με ενθουσιασμό. Επίσης ορίζεται ότι ούτε ένα κουνέλι δεν πεθαίνει από κάποια μυστηριώδη ασθένεια κουνελιού.

Πρέπει να υπολογίσουμε πόσα κουνέλια θα έχουμε σε ένα χρόνο.

Στην αρχή του 1 μήνα έχουμε 1 ζευγάρι κουνέλια. Στο τέλος του μήνα ζευγαρώνουν.
Ο δεύτερος μήνας - έχουμε ήδη 2 ζευγάρια κουνελιών (ένα ζευγάρι έχει γονείς + 1 ζευγάρι είναι ο απόγονός του).
Τρίτος μήνας: Το πρώτο ζευγάρι γεννά ένα νέο ζευγάρι, το δεύτερο ζευγάρι ζευγαρώνει. Σύνολο - 3 ζεύγη κουνελιών.
Τέταρτος μήνας: Το πρώτο ζευγάρι γεννά ένα νέο ζευγάρι, το δεύτερο ζευγάρι δεν χάνει χρόνο και επίσης γεννά ένα νέο ζευγάρι, το τρίτο ζευγάρι εξακολουθεί μόνο να ζευγαρώνει. Σύνολο - 5 ζεύγη κουνελιών.

Αριθμός κουνελιών μέσα nος μήνας = αριθμός ζευγών κουνελιών από τον προηγούμενο μήνα + αριθμός νεογέννητων ζευγών (υπάρχουν ο ίδιος αριθμός ζευγών κουνελιών με τα ζευγάρια κουνελιών 2 μήνες πριν). Και όλα αυτά περιγράφονται από τον τύπο που έχουμε ήδη δώσει παραπάνω: F n = F n-1 + F n-2.

Έτσι, λαμβάνουμε μια επαναλαμβανόμενη (επεξήγηση για αναδρομή– παρακάτω) ακολουθία αριθμών. Στην οποία κάθε επόμενος αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων:

1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377 <…>

Μπορείτε να συνεχίσετε την ακολουθία για μεγάλο χρονικό διάστημα: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Αλλά δεδομένου ότι έχουμε ορίσει μια συγκεκριμένη περίοδο - ένα έτος, μας ενδιαφέρει το αποτέλεσμα που λήφθηκε στη 12η "κίνηση". Εκείνοι. 13ο μέλος της ακολουθίας: 377.

Η απάντηση στο πρόβλημα: 377 κουνέλια θα ληφθούν εάν πληρούνται όλες οι αναφερόμενες προϋποθέσεις.

Μια από τις ιδιότητες της ακολουθίας αριθμών Fibonacci είναι πολύ ενδιαφέρουσα. Εάν πάρετε δύο διαδοχικά ζεύγη από μια σειρά και διαιρέσετε τον μεγαλύτερο αριθμό με τον μικρότερο αριθμό, το αποτέλεσμα θα πλησιάσει σταδιακά Χρυσή αναλογία(μπορείτε να διαβάσετε περισσότερα σχετικά αργότερα στο άρθρο).

Με μαθηματικούς όρους, «το όριο των σχέσεων ένα ν+1Προς την a nίση με τη χρυσή τομή".

Περισσότερα προβλήματα θεωρίας αριθμών

Βρείτε έναν αριθμό που μπορεί να διαιρεθεί με το 7. Επίσης, αν τον διαιρέσετε με το 2, 3, 4, 5, 6, το υπόλοιπο θα είναι ένα.
Βρείτε τον τετράγωνο αριθμό. Είναι γνωστό ότι αν προσθέσετε 5 σε αυτό ή αφαιρέσετε 5, θα πάρετε πάλι έναν τετράγωνο αριθμό.

Σας προτείνουμε να αναζητήσετε μόνοι σας απαντήσεις σε αυτά τα προβλήματα. Μπορείτε να μας αφήσετε τις επιλογές σας στα σχόλια αυτού του άρθρου. Και μετά θα σας πούμε αν οι υπολογισμοί σας ήταν σωστοί.

Επεξήγηση της αναδρομής

Αναδρομή– ορισμός, περιγραφή, εικόνα ενός αντικειμένου ή μιας διαδικασίας που περιέχει αυτό το αντικείμενο ή τη διεργασία η ίδια. Δηλαδή, στην ουσία, ένα αντικείμενο ή μια διαδικασία είναι μέρος του εαυτού του.

Η αναδρομή χρησιμοποιείται ευρέως στα μαθηματικά και την επιστήμη των υπολογιστών, ακόμη και στην τέχνη και τον λαϊκό πολιτισμό.

Οι αριθμοί Fibonacci προσδιορίζονται χρησιμοποιώντας μια σχέση επανάληψης. Για τον αριθμό n>2 n-Ο αριθμός e είναι ίσος (n – 1) + (n – 2).

Επεξήγηση της χρυσής τομής

Χρυσή αναλογία- η διαίρεση ενός συνόλου (για παράδειγμα, ενός τμήματος) σε μέρη που σχετίζονται σύμφωνα με την ακόλουθη αρχή: το μεγαλύτερο μέρος σχετίζεται με το μικρότερο με τον ίδιο τρόπο όπως ολόκληρη η τιμή (για παράδειγμα, το άθροισμα δύο τμημάτων) στο μεγαλύτερο μέρος.

Η πρώτη αναφορά της χρυσής τομής βρίσκεται στον Ευκλείδη στην πραγματεία του «Στοιχεία» (περίπου 300 π.Χ.). Στα πλαίσια κατασκευής κανονικού ορθογωνίου.

Ο γνωστός σε εμάς όρος εισήχθη στην κυκλοφορία το 1835 από τον Γερμανό μαθηματικό Μάρτιν Ομ.

Αν περιγράψουμε τη χρυσή τομή κατά προσέγγιση, αντιπροσωπεύει μια αναλογική διαίρεση σε δύο άνισα μέρη: περίπου 62% και 38%. Αριθμητικά, η χρυσή τομή είναι ο αριθμός 1,6180339887 .

Η χρυσή τομή βρίσκει πρακτική εφαρμογή στις καλές τέχνες (πίνακες του Λεονάρντο ντα Βίντσι και άλλων ζωγράφων της Αναγέννησης), στην αρχιτεκτονική, στον κινηματογράφο («Θωρηκτό Ποτέμκιν» του Σ. Έσενσταϊν) και σε άλλους τομείς. Για πολύ καιρό πίστευαν ότι η χρυσή τομή είναι η πιο αισθητική αναλογία. Αυτή η άποψη είναι ακόμα δημοφιλής σήμερα. Αν και, σύμφωνα με τα αποτελέσματα της έρευνας, οπτικά οι περισσότεροι άνθρωποι δεν αντιλαμβάνονται αυτή την αναλογία ως την πιο επιτυχημένη επιλογή και τη θεωρούν πολύ επιμήκη (δυσανάλογη).

Μήκος τμήματος Με = 1, ΕΝΑ = 0,618, σι = 0,382.
Στάση ΜεΠρος την ΕΝΑ = 1, 618.
Στάση ΜεΠρος την σι = 2,618

Τώρα ας επιστρέψουμε στους αριθμούς Fibonacci. Ας πάρουμε δύο διαδοχικούς όρους από τη σειρά του. Διαιρέστε τον μεγαλύτερο αριθμό με τον μικρότερο αριθμό και λάβετε περίπου 1.618. Και τώρα χρησιμοποιούμε τον ίδιο μεγαλύτερο αριθμό και το επόμενο μέλος της σειράς (δηλαδή, έναν ακόμη μεγαλύτερο αριθμό) - ο λόγος τους είναι πρώιμος 0,618.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 και 233/377 = 0,618

Παρεμπιπτόντως, αν προσπαθήσετε να κάνετε το ίδιο πείραμα με αριθμούς από την αρχή της ακολουθίας (για παράδειγμα, 2, 3, 5), τίποτα δεν θα λειτουργήσει. Σχεδόν. Ο κανόνας της χρυσής αναλογίας μετά βίας ακολουθείται για την αρχή της ακολουθίας. Αλλά καθώς προχωράτε στη σειρά και οι αριθμοί αυξάνονται, λειτουργεί εξαιρετικά.

Και για να υπολογίσουμε ολόκληρη τη σειρά των αριθμών Fibonacci, αρκεί να γνωρίζουμε τρεις όρους της ακολουθίας, που έρχονται ο ένας μετά τον άλλο. Μπορείτε να το δείτε μόνοι σας!

Χρυσό Ορθογώνιο και Σπείρα Φιμπονάτσι

Ένας άλλος ενδιαφέρον παραλληλισμός μεταξύ των αριθμών Fibonacci και της χρυσής αναλογίας είναι το λεγόμενο «χρυσό ορθογώνιο»: οι πλευρές του είναι σε αναλογία 1,618 προς 1. Αλλά γνωρίζουμε ήδη ποιος είναι ο αριθμός 1,618, σωστά;

Για παράδειγμα, ας πάρουμε δύο διαδοχικούς όρους της σειράς Fibonacci - 8 και 13 - και ας κατασκευάσουμε ένα ορθογώνιο με τις ακόλουθες παραμέτρους: πλάτος = 8, μήκος = 13.

Και μετά θα χωρίσουμε το μεγάλο ορθογώνιο σε μικρότερα. Υποχρεωτική προϋπόθεση: τα μήκη των πλευρών των ορθογωνίων πρέπει να αντιστοιχούν στους αριθμούς Fibonacci. Εκείνοι. Το μήκος της πλευράς του μεγαλύτερου ορθογωνίου πρέπει να είναι ίσο με το άθροισμα των πλευρών των δύο μικρότερων ορθογωνίων.

Ο τρόπος που γίνεται σε αυτό το σχήμα (για ευκολία, οι φιγούρες υπογράφονται με λατινικά γράμματα).

Παρεμπιπτόντως, μπορείτε να δημιουργήσετε ορθογώνια με αντίστροφη σειρά. Εκείνοι. ξεκινήστε να χτίζετε με τετράγωνα με πλευρά 1. Στο οποίο, με γνώμονα την αρχή που αναφέρθηκε παραπάνω, συμπληρώνονται σχήματα με πλευρές ίσες με τους αριθμούς Fibonacci. Θεωρητικά, αυτό μπορεί να συνεχιστεί επ 'αόριστον - τελικά, η σειρά Fibonacci είναι τυπικά άπειρη.

Εάν συνδέσουμε τις γωνίες των ορθογωνίων που λαμβάνονται στο σχήμα με μια ομαλή γραμμή, παίρνουμε μια λογαριθμική σπείρα. Ή μάλλον, η ειδική του περίπτωση είναι η σπείρα Fibonacci. Χαρακτηρίζεται, ειδικότερα, από το γεγονός ότι δεν έχει όρια και δεν αλλάζει σχήμα.

Μια παρόμοια σπείρα συναντάται συχνά στη φύση. Τα κοχύλια από αχιβάδα είναι ένα από τα πιο εντυπωσιακά παραδείγματα. Επιπλέον, ορισμένοι γαλαξίες που μπορούν να φανούν από τη Γη έχουν σπειροειδές σχήμα. Αν προσέξετε τις μετεωρολογικές προβλέψεις στην τηλεόραση, ίσως έχετε παρατηρήσει ότι οι κυκλώνες έχουν παρόμοιο σπειροειδές σχήμα όταν φωτογραφίζονται από δορυφόρους.

Είναι περίεργο ότι η έλικα του DNA υπακούει επίσης στον κανόνα της χρυσής τομής - το αντίστοιχο σχέδιο φαίνεται στα διαστήματα των στροφών της.

Τέτοιες εκπληκτικές «συμπτώσεις» δεν μπορούν παρά να ενθουσιάσουν τα μυαλά και να δώσουν αφορμή για να μιλήσουμε για κάποιον ενιαίο αλγόριθμο στον οποίο υπακούουν όλα τα φαινόμενα στη ζωή του Σύμπαντος. Τώρα καταλαβαίνετε γιατί αυτό το άρθρο ονομάζεται έτσι; Και τι είδους καταπληκτικούς κόσμους μπορούν να σας ανοίξουν τα μαθηματικά;

Αριθμοί Fibonacci στη φύση

Η σύνδεση μεταξύ των αριθμών Fibonacci και της χρυσής αναλογίας υποδηλώνει ενδιαφέροντα μοτίβα. Τόσο περίεργο που είναι δελεαστικό να προσπαθήσουμε να βρούμε ακολουθίες παρόμοιες με τους αριθμούς Fibonacci στη φύση και ακόμη και κατά τη διάρκεια ιστορικών γεγονότων. Και η φύση γεννά πραγματικά τέτοιες υποθέσεις. Αλλά όλα στη ζωή μας μπορούν να εξηγηθούν και να περιγραφούν χρησιμοποιώντας τα μαθηματικά;

Παραδείγματα ζωντανών όντων που μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας την ακολουθία Fibonacci:

η διάταξη των φύλλων (και των κλαδιών) στα φυτά - οι αποστάσεις μεταξύ τους συσχετίζονται με τους αριθμούς Fibonacci (φυλλοταξία).

διάταξη ηλιόσπορων (οι σπόροι είναι διατεταγμένοι σε δύο σειρές σπειρών στριμμένων σε διαφορετικές κατευθύνσεις: μια σειρά δεξιόστροφα, η άλλη αριστερόστροφα).

διάταξη ζυγών κώνου πεύκου.
πέταλα λουλουδιού;
κύτταρα ανανά?
αναλογία των μηκών των φαλαγγών των δακτύλων στο ανθρώπινο χέρι (περίπου) κ.λπ.

Προβλήματα συνδυαστικής

Οι αριθμοί Fibonacci χρησιμοποιούνται ευρέως στην επίλυση προβλημάτων συνδυαστικής.

Συνδυαστικήείναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από ένα καθορισμένο σύνολο, απαρίθμηση κ.λπ.

Ας δούμε παραδείγματα προβλημάτων συνδυαστικής που έχουν σχεδιαστεί για το γυμνάσιο (πηγή - http://www.problems.ru/).

Εργασία #1:

Η Lesha ανεβαίνει μια σκάλα 10 σκαλοπατιών. Κάποια στιγμή πηδά είτε ένα σκαλί είτε δύο σκαλιά. Με πόσους τρόπους μπορεί η Lesha να ανέβει τις σκάλες;

Ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους η Lesha μπορεί να ανέβει τις σκάλες nβήματα, ας υποδηλώσουμε και ν.Από αυτό προκύπτει ότι Α'1 = 1, Α2= 2 (εξάλλου, η Lesha πηδά είτε ένα είτε δύο βήματα).

Συμφωνείται επίσης ότι η Lesha πηδήξει τις σκάλες από n> 2 βήματα. Ας πούμε ότι πήδηξε δύο βήματα την πρώτη φορά. Αυτό σημαίνει, σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, πρέπει να πηδήξει άλλο n – 2βήματα. Στη συνέχεια, ο αριθμός των τρόπων ολοκλήρωσης της ανάβασης περιγράφεται ως ένα n–2. Και αν υποθέσουμε ότι την πρώτη φορά που η Lesha πήδηξε μόνο ένα βήμα, τότε περιγράφουμε τον αριθμό των τρόπων για να τελειώσει η ανάβαση ως ένα n–1.

Από εδώ παίρνουμε την ακόλουθη ισότητα: a n = a n–1 + a n–2(φαίνεται οικείο, έτσι δεν είναι;).

Αφού ξέρουμε Α'1Και Α2και να θυμάστε ότι σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος υπάρχουν 10 βήματα, υπολογίστε όλα με τη σειρά και ν: α 3 = 3, α 4 = 5, α 5 = 8, α 6 = 13, α 7 = 21, α 8 = 34, α 9 = 55, ένα 10 = 89.

Απάντηση: 89 τρόποι.

Εργασία #2:

Πρέπει να βρείτε τον αριθμό των λέξεων μήκους 10 γραμμάτων που αποτελούνται μόνο από τα γράμματα "a" και "b" και δεν πρέπει να περιέχουν δύο γράμματα "b" στη σειρά.

Ας υποδηλώσουμε με a nαριθμός λέξεων μήκος nγράμματα που αποτελούνται μόνο από τα γράμματα «α» και «β» και δεν περιέχουν δύο γράμματα «β» στη σειρά. Που σημαίνει, Α'1= 2, Α2= 3.

Σε ακολουθία Α'1, Α2, <…>, a nθα εκφράσουμε κάθε επόμενο μέλος του μέσα από τα προηγούμενα. Επομένως, ο αριθμός των λέξεων μήκους είναι nγράμματα που επίσης δεν περιέχουν διπλό γράμμα «β» και ξεκινούν με το γράμμα «α» είναι ένα n–1. Κι αν η λέξη είναι μεγάλη nτα γράμματα αρχίζουν με το γράμμα "b", είναι λογικό το επόμενο γράμμα σε μια τέτοια λέξη να είναι "a" (εξάλλου, δεν μπορούν να υπάρχουν δύο "b" σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος). Επομένως, ο αριθμός των λέξεων μήκους είναι nσε αυτή την περίπτωση συμβολίζουμε τα γράμματα ως ένα n–2. Και στην πρώτη και στη δεύτερη περίπτωση, οποιαδήποτε λέξη (μήκος του n – 1Και n – 2γράμματα αντίστοιχα) χωρίς διπλό «β».

Μπορέσαμε να δικαιολογήσουμε το γιατί a n = a n–1 + a n–2.

Ας υπολογίσουμε τώρα α 3= Α2+ Α'1= 3 + 2 = 5, α 4= α 3+ Α2= 5 + 3 = 8, <…>, ένα 10= α 9+ α 8= 144. Και παίρνουμε τη γνωστή ακολουθία Fibonacci.

Απάντηση: 144.

Εργασία #3:

Φανταστείτε ότι υπάρχει μια ταινία χωρισμένη σε κελιά. Πάει δεξιά και διαρκεί επ' αόριστον. Τοποθετήστε μια ακρίδα στο πρώτο τετράγωνο της ταινίας. Σε όποιο κελί της ταινίας κι αν βρίσκεται, μπορεί να κινηθεί μόνο προς τα δεξιά: είτε ένα κελί είτε δύο. Πόσοι τρόποι υπάρχουν με τους οποίους μια ακρίδα μπορεί να πηδήξει από την αρχή της ταινίας μέχρι n-ο κύτταρο;

Ας υποδηλώσουμε τον αριθμό των τρόπων για να μετακινήσετε μια ακρίδα κατά μήκος της ζώνης n-ου κελιά όπως a n. Σε αυτήν την περίπτωση Α'1 = Α2= 1. Επίσης σε n+1Η ακρίδα μπορεί να μπει στο -ο κελί είτε από n-ο κελί, ή πηδώντας από πάνω του. Από εδώ a n + 1 = α ν – 1 + a n. Οπου a n = Fn – 1.

Απάντηση: Fn – 1.

Μπορείτε να δημιουργήσετε παρόμοια προβλήματα μόνοι σας και να προσπαθήσετε να τα λύσετε στα μαθήματα μαθηματικών με τους συμμαθητές σας.

Οι αριθμοί Fibonacci στη λαϊκή κουλτούρα

Φυσικά, ένα τόσο ασυνήθιστο φαινόμενο όπως οι αριθμοί Fibonacci δεν μπορεί παρά να τραβήξει την προσοχή. Υπάρχει ακόμα κάτι ελκυστικό και ακόμη και μυστηριώδες σε αυτό το αυστηρά επαληθευμένο μοτίβο. Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η ακολουθία Φιμπονάτσι έχει με κάποιο τρόπο «φωτίσει» σε πολλά έργα της σύγχρονης λαϊκής κουλτούρας διαφόρων ειδών.

Θα σας πούμε για μερικά από αυτά. Και προσπαθείς να ξαναψάξεις τον εαυτό σου. Αν το βρείτε, μοιραστείτε το μαζί μας στα σχόλια – κι εμείς είμαστε περίεργοι!

Οι αριθμοί Φιμπονάτσι αναφέρονται στο μπεστ σέλερ του Νταν Μπράουν Ο Κώδικας Ντα Βίντσι: η ακολουθία Φιμπονάτσι χρησιμεύει ως ο κωδικός που χρησιμοποιούν οι κύριοι χαρακτήρες του βιβλίου για να ανοίξουν ένα χρηματοκιβώτιο.
Στην αμερικανική ταινία του 2009 Mr. Nobody, σε ένα επεισόδιο η διεύθυνση ενός σπιτιού είναι μέρος της ακολουθίας Fibonacci - 12358. Επιπλέον, σε ένα άλλο επεισόδιο ο κύριος χαρακτήρας πρέπει να καλέσει έναν αριθμό τηλεφώνου, ο οποίος είναι ουσιαστικά ο ίδιος, αλλά ελαφρώς παραμορφωμένος (επιπλέον ψηφίο μετά τον αριθμό 5) ακολουθία: 123-581-1321.
Στη σειρά «Σύνδεση» του 2012, ο κύριος χαρακτήρας, ένα αγόρι που πάσχει από αυτισμό, είναι σε θέση να διακρίνει μοτίβα σε γεγονότα που συμβαίνουν στον κόσμο. Συμπεριλαμβανομένων των αριθμών Fibonacci. Και διαχειριστείτε αυτά τα συμβάντα και μέσω αριθμών.
Οι προγραμματιστές του παιχνιδιού java για κινητά τηλέφωνα Doom RPG τοποθέτησαν μια μυστική πόρτα σε ένα από τα επίπεδα. Ο κώδικας που το ανοίγει είναι η ακολουθία Fibonacci.
Το 2012, το ρωσικό ροκ συγκρότημα Splin κυκλοφόρησε το concept άλμπουμ "Optical Deception". Το όγδοο κομμάτι ονομάζεται "Fibonacci". Οι στίχοι του αρχηγού της ομάδας Alexander Vasiliev παίζουν με την ακολουθία των αριθμών Fibonacci. Για κάθε έναν από τους εννέα διαδοχικούς όρους υπάρχει ένας αντίστοιχος αριθμός γραμμών (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Το τρένο ξεκίνησε

1 Η μία άρθρωση έσπασε

1 Το ένα μανίκι έτρεμε

2 Αυτό είναι όλο, πάρτε τα πράγματα

Αυτό είναι όλο, πάρτε τα πράγματα

3 Αίτημα για βραστό νερό

Το τρένο πηγαίνει στο ποτάμι

Το τρένο περνά μέσα από την τάιγκα<…>.

Ένα λίμερικ (ένα σύντομο ποίημα συγκεκριμένης μορφής - συνήθως πέντε στίχοι, με συγκεκριμένο σχήμα ομοιοκαταληξίας, χιουμοριστικό σε περιεχόμενο, στο οποίο η πρώτη και η τελευταία γραμμή επαναλαμβάνονται ή αντιγράφουν εν μέρει η μία την άλλη) του Τζέιμς Λίντον χρησιμοποιεί επίσης μια αναφορά στον Φιμπονάτσι η ακολουθία ως χιουμοριστικό μοτίβο:

Το πυκνό φαγητό των συζύγων του Φιμπονάτσι

Ήταν μόνο προς όφελός τους, τίποτα άλλο.

Οι σύζυγοι ζύγισαν, σύμφωνα με φήμες,

Το καθένα είναι σαν τα δύο προηγούμενα.

Ας το συνοψίσουμε

Ελπίζουμε ότι μπορέσαμε να σας πούμε πολλά ενδιαφέροντα και χρήσιμα πράγματα σήμερα. Για παράδειγμα, μπορείτε τώρα να αναζητήσετε τη σπείρα Fibonacci στη φύση γύρω σας. Ίσως είστε εσείς που θα μπορέσετε να ξετυλίξετε «το μυστικό της ζωής, του Σύμπαντος και γενικά».

Χρησιμοποιήστε τον τύπο για τους αριθμούς Fibonacci όταν λύνετε προβλήματα συνδυαστικής. Μπορείτε να βασιστείτε στα παραδείγματα που περιγράφονται σε αυτό το άρθρο.

blog.site, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην αρχική πηγή.

Μην το χάσεις.Εγγραφείτε και λάβετε έναν σύνδεσμο για το άρθρο στο email σας.

Γνωρίζετε, φυσικά, την ιδέα ότι τα μαθηματικά είναι η πιο σημαντική από όλες τις επιστήμες. Πολλοί όμως μπορεί να διαφωνούν με αυτό, γιατί... μερικές φορές φαίνεται ότι τα μαθηματικά είναι απλώς προβλήματα, παραδείγματα και παρόμοια βαρετά πράγματα. Ωστόσο, τα μαθηματικά μπορούν εύκολα να μας δείξουν οικεία πράγματα από μια εντελώς άγνωστη πλευρά. Επιπλέον, μπορεί ακόμη και να αποκαλύψει τα μυστικά του σύμπαντος. Πως? Ας δούμε τους αριθμούς Fibonacci.

Τι είναι οι αριθμοί Fibonacci;

Οι αριθμοί Fibonacci είναι στοιχεία μιας αριθμητικής ακολουθίας, όπου κάθε επόμενος είναι αθροίζοντας τους δύο προηγούμενους, για παράδειγμα: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... Κατά κανόνα, μια τέτοια ακολουθία γράφεται με τον τύπο: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2.

Οι αριθμοί Fibonacci μπορούν να ξεκινούν με αρνητικές τιμές του "n", αλλά σε αυτήν την περίπτωση η ακολουθία θα είναι αμφίδρομη - θα καλύπτει τόσο θετικούς όσο και αρνητικούς αριθμούς, τείνοντας στο άπειρο και στις δύο κατευθύνσεις. Ένα παράδειγμα τέτοιας ακολουθίας θα ήταν: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, 34, και ο τύπος θα είναι: F n = F n+1 - F n+2 ή F -n = (-1) n+1 Fn.

Ο δημιουργός των αριθμών Fibonacci είναι ένας από τους πρώτους μαθηματικούς της Ευρώπης του Μεσαίωνα με το όνομα Leonardo της Πίζας, ο οποίος, στην πραγματικότητα, είναι γνωστός ως Fibonacci - έλαβε αυτό το ψευδώνυμο πολλά χρόνια μετά τον θάνατό του.

Κατά τη διάρκεια της ζωής του, ο Λεονάρντο της Πίζας αγαπούσε πολύ τα μαθηματικά τουρνουά, γι' αυτό και στα έργα του («Liber abaci» / «Book of Abacus», 1202· «Practica geometriae» / «Practica of Geometry», 1220, «Flos» / "Flower", 1225) - μια μελέτη για τις κυβικές εξισώσεις και το "Liber quadratorum" / "Book of Squares", 1225 - προβλήματα σχετικά με αόριστες τετραγωνικές εξισώσεις) πολύ συχνά ανέλυε όλα τα είδη μαθηματικών προβλημάτων.

Πολύ λίγα είναι γνωστά για την πορεία ζωής του ίδιου του Φιμπονάτσι. Το σίγουρο όμως είναι ότι τα προβλήματά του γνώρισαν τεράστια δημοτικότητα στους μαθηματικούς κύκλους στους επόμενους αιώνες. Θα εξετάσουμε περαιτέρω ένα από αυτά.

Πρόβλημα Fibonacci με κουνέλια

Για να ολοκληρώσει την εργασία, ο συγγραφέας έθεσε τις ακόλουθες προϋποθέσεις: υπάρχει ένα ζευγάρι νεογέννητων κουνελιών (θηλυκά και αρσενικά), που διακρίνονται από ένα ενδιαφέρον χαρακτηριστικό - από τον δεύτερο μήνα της ζωής τους, παράγουν ένα νέο ζευγάρι κουνελιών - επίσης ένα θηλυκό και ένα αρσενικό. Τα κουνέλια διατηρούνται σε περιορισμένους χώρους και αναπαράγονται συνεχώς. Και δεν πεθαίνει ούτε ένα κουνέλι.

Εργο: προσδιορίστε τον αριθμό των κουνελιών σε ένα έτος.

Λύση:

Εχουμε:

Ένα ζευγάρι κουνέλια στην αρχή του πρώτου μήνα, τα οποία ζευγαρώνουν στο τέλος του μήνα
Δύο ζευγάρια κουνελιών τον δεύτερο μήνα (πρώτο ζευγάρι και απόγονος)
Τρία ζευγάρια κουνελιών τον τρίτο μήνα (το πρώτο ζευγάρι, ο απόγονος του πρώτου ζευγαριού από τον προηγούμενο μήνα και ο νέος απόγονος)
Πέντε ζεύγη κουνελιών τον τέταρτο μήνα (το πρώτο ζευγάρι, ο πρώτος και δεύτερος απόγονος του πρώτου ζεύγους, ο τρίτος απόγονος του πρώτου ζεύγους και ο πρώτος απόγονος του δεύτερου ζεύγους)

Αριθμός κουνελιών ανά μήνα "n" = αριθμός κουνελιών τον προηγούμενο μήνα + αριθμός νέων ζευγών κουνελιών, με άλλα λόγια, ο παραπάνω τύπος: F n = F n-1 + F n-2. Αυτό οδηγεί σε μια επαναλαμβανόμενη ακολουθία αριθμών (θα μιλήσουμε για την αναδρομή αργότερα), όπου κάθε νέος αριθμός αντιστοιχεί στο άθροισμα των δύο προηγούμενων αριθμών:

1 μήνας: 1 + 1 = 2

2 μήνες: 2 + 1 = 3

3 μήνες: 3 + 2 = 5

4 μήνες: 5 + 3 = 8

5 μήνες: 8 + 5 = 13

6 μήνες: 13 + 8 = 21

7ος μήνας: 21 + 13 = 34

8ος μήνας: 34 + 21 = 55

9 μηνών: 55 + 34 = 89

10ος μήνας: 89 + 55 = 144

11ος μήνας: 144 + 89 = 233

12 μήνες: 233+ 144 = 377

Και αυτή η σειρά μπορεί να συνεχιστεί επ 'αόριστον, αλλά δεδομένου ότι το καθήκον είναι να μάθουμε τον αριθμό των κουνελιών μετά από ένα χρόνο, το αποτέλεσμα είναι 377 ζεύγη.

Είναι επίσης σημαντικό να σημειωθεί εδώ ότι μία από τις ιδιότητες των αριθμών Fibonacci είναι ότι εάν συγκρίνετε δύο διαδοχικά ζεύγη και στη συνέχεια διαιρέσετε το μεγαλύτερο με το μικρότερο, το αποτέλεσμα θα κινηθεί προς τη χρυσή τομή, για την οποία θα μιλήσουμε επίσης παρακάτω .

Στο μεταξύ, σας προσφέρουμε δύο ακόμη προβλήματα στους αριθμούς Fibonacci:

Προσδιορίστε έναν τετράγωνο αριθμό, για τον οποίο ξέρουμε μόνο ότι αν του αφαιρέσετε το 5 ή του προσθέσετε 5, θα πάρετε ξανά έναν τετράγωνο αριθμό.
Προσδιορίστε έναν αριθμό που διαιρείται με το 7, αλλά με την προϋπόθεση ότι η διαίρεση του με το 2, 3, 4, 5 ή 6 αφήνει ένα υπόλοιπο 1.

Τέτοιες εργασίες δεν θα είναι μόνο ένας εξαιρετικός τρόπος για να αναπτύξετε το μυαλό, αλλά και ένα διασκεδαστικό χόμπι. Μπορείτε επίσης να μάθετε πώς επιλύονται αυτά τα προβλήματα αναζητώντας πληροφορίες στο Διαδίκτυο. Δεν θα επικεντρωθούμε σε αυτά, αλλά θα συνεχίσουμε την ιστορία μας.

Τι είναι η αναδρομή και η χρυσή τομή;

Αναδρομή

Η αναδρομή είναι μια περιγραφή, ορισμός ή εικόνα οποιουδήποτε αντικειμένου ή διεργασίας, που περιέχει το ίδιο το συγκεκριμένο αντικείμενο ή διεργασία. Με άλλα λόγια, ένα αντικείμενο ή μια διαδικασία μπορεί να ονομαστεί μέρος του εαυτού του.

Η αναδρομή χρησιμοποιείται ευρέως όχι μόνο στη μαθηματική επιστήμη, αλλά και στην επιστήμη των υπολογιστών, τη λαϊκή κουλτούρα και την τέχνη. Εφαρμόζεται στους αριθμούς Fibonacci, μπορούμε να πούμε ότι εάν ο αριθμός είναι "n>2", τότε "n" = (n-1)+(n-2).

Χρυσή αναλογία

Η χρυσή τομή είναι η διαίρεση του συνόλου σε μέρη που σχετίζονται σύμφωνα με την αρχή: το μεγαλύτερο σχετίζεται με το μικρότερο με τον ίδιο τρόπο που η συνολική αξία σχετίζεται με το μεγαλύτερο μέρος.

Η χρυσή τομή αναφέρθηκε για πρώτη φορά από τον Ευκλείδη (η πραγματεία «Στοιχεία», περίπου το 300 π.Χ.), μιλώντας για την κατασκευή ενός κανονικού ορθογωνίου. Ωστόσο, μια πιο οικεία έννοια εισήχθη από τον Γερμανό μαθηματικό Martin Ohm.

Κατά προσέγγιση, η χρυσή τομή μπορεί να αναπαρασταθεί ως αναλογική διαίρεση σε δύο διαφορετικά μέρη, για παράδειγμα, 38% και 68%. Η αριθμητική έκφραση της χρυσής αναλογίας είναι περίπου 1,6180339887.

Στην πράξη, η χρυσή τομή χρησιμοποιείται στην αρχιτεκτονική, τις καλές τέχνες (δείτε τα έργα), τον κινηματογράφο και άλλους τομείς. Για πολύ καιρό, όπως και τώρα, η χρυσή τομή θεωρούνταν αισθητική αναλογία, αν και οι περισσότεροι την αντιλαμβάνονται ως δυσανάλογη - επιμήκη.

Μπορείτε να δοκιμάσετε να εκτιμήσετε τη χρυσή αναλογία μόνοι σας, καθοδηγούμενοι από τις ακόλουθες αναλογίες:

Μήκος τμήματος a = 0,618
Μήκος τμήματος b= 0,382
Μήκος του τμήματος c = 1
Αναλογία c και a = 1,618
Λόγος c και b = 2,618

Τώρα ας εφαρμόσουμε τη χρυσή τομή στους αριθμούς Fibonacci: παίρνουμε δύο γειτονικούς όρους της ακολουθίας του και διαιρούμε τον μεγαλύτερο με τον μικρότερο. Παίρνουμε περίπου 1.618. Αν πάρουμε τον ίδιο μεγαλύτερο αριθμό και τον διαιρέσουμε με τον επόμενο μεγαλύτερο αριθμό μετά από αυτόν, θα έχουμε περίπου 0,618. Δοκιμάστε το μόνοι σας: «παίξτε» με τους αριθμούς 21 και 34 ή κάποιους άλλους. Εάν πραγματοποιήσουμε αυτό το πείραμα με τους πρώτους αριθμούς της ακολουθίας Fibonacci, τότε τέτοιο αποτέλεσμα δεν θα υπάρχει πλέον, γιατί η χρυσή τομή «δεν λειτουργεί» στην αρχή της σειράς. Παρεμπιπτόντως, για να προσδιορίσετε όλους τους αριθμούς Fibonacci, χρειάζεται μόνο να γνωρίζετε τους τρεις πρώτους διαδοχικούς αριθμούς.

Και εν κατακλείδι, λίγη ακόμα τροφή για σκέψη.

Χρυσό Ορθογώνιο και Σπείρα Φιμπονάτσι

Το "Χρυσό Ορθογώνιο" είναι μια άλλη σχέση μεταξύ της χρυσής αναλογίας και των αριθμών Fibonacci, επειδή... ο λόγος διαστάσεων του είναι 1,618 προς 1 (θυμηθείτε τον αριθμό 1,618!).

Ακολουθεί ένα παράδειγμα: παίρνουμε δύο αριθμούς από την ακολουθία Fibonacci, για παράδειγμα 8 και 13, και σχεδιάζουμε ένα ορθογώνιο με πλάτος 8 cm και μήκος 13 cm. Στη συνέχεια, χωρίζουμε το κύριο ορθογώνιο σε μικρά, αλλά Το μήκος και το πλάτος πρέπει να αντιστοιχούν στους αριθμούς Fibonacci - το μήκος μιας άκρης του μεγάλου ορθογωνίου πρέπει να ισούται με δύο μήκη της άκρης του μικρότερου.

Μετά από αυτό, συνδέουμε τις γωνίες όλων των ορθογωνίων που έχουμε με μια ομαλή γραμμή και παίρνουμε μια ειδική περίπτωση μιας λογαριθμικής σπείρας - τη σπείρα Fibonacci. Οι κύριες ιδιότητές του είναι η απουσία ορίων και οι αλλαγές στο σχήμα. Μια τέτοια σπείρα μπορεί συχνά να βρεθεί στη φύση: τα πιο εντυπωσιακά παραδείγματα είναι τα κοχύλια μαλακίων, οι κυκλώνες σε δορυφορικές εικόνες, ακόμη και ένας αριθμός γαλαξιών. Αλλά αυτό που είναι πιο ενδιαφέρον είναι ότι το DNA των ζωντανών οργανισμών υπακούει επίσης στον ίδιο κανόνα, επειδή θυμάστε ότι έχει σπειροειδές σχήμα;

Αυτές και πολλές άλλες «τυχαίες» συμπτώσεις ακόμη και σήμερα διεγείρουν τη συνείδηση των επιστημόνων και υποδηλώνουν ότι τα πάντα στο Σύμπαν υπόκεινται σε έναν μόνο αλγόριθμο, επιπλέον, σε έναν μαθηματικό. Και αυτή η επιστήμη κρύβει έναν τεράστιο αριθμό εντελώς βαρετών μυστικών και μυστηρίων.

Ωστόσο, αυτό δεν είναι το μόνο που μπορεί να γίνει με τη χρυσή τομή. Αν διαιρέσουμε το ένα με το 0,618, παίρνουμε 1,618, αν το τετραγωνίσουμε, παίρνουμε 2,618, αν το κάνουμε κύβους, παίρνουμε 4,236. Αυτοί είναι οι λόγοι επέκτασης Fibonacci. Ο μόνος αριθμός που λείπει εδώ είναι το 3.236, το οποίο προτάθηκε από τον John Murphy.

Τι πιστεύουν οι ειδικοί για τη συνέπεια;

Κάποιοι θα μπορούσαν να πουν ότι αυτοί οι αριθμοί είναι ήδη γνωστοί επειδή χρησιμοποιούνται σε προγράμματα τεχνικής ανάλυσης για τον προσδιορισμό του μεγέθους των διορθώσεων και των επεκτάσεων. Επιπλέον, αυτές οι ίδιες σειρές παίζουν σημαντικό ρόλο στην κυματική θεωρία του Έλιοτ. Αποτελούν την αριθμητική του βάση.

Ο ειδικός μας Nikolay είναι αποδεδειγμένος διαχειριστής χαρτοφυλακίου στην επενδυτική εταιρεία Vostok.

— Νικολάι, πιστεύεις ότι η εμφάνιση των αριθμών Φιμπονάτσι και των παραγώγων τους στους πίνακες διαφόρων οργάνων είναι τυχαία; Και είναι δυνατόν να πούμε: «Η πρακτική εφαρμογή της σειράς Fibonacci» λαμβάνει χώρα;
— Έχω κακή στάση απέναντι στον μυστικισμό. Και ακόμη περισσότερο στα γραφήματα του χρηματιστηρίου. Όλα έχουν τους λόγους τους. στο βιβλίο «Επίπεδα Fibonacci» περιέγραψε όμορφα πού εμφανίζεται η χρυσή τομή, ότι δεν εξεπλάγη που εμφανίστηκε στα διαγράμματα τιμών χρηματιστηρίου. Αλλά μάταια! Σε πολλά από τα παραδείγματα που έδωσε, ο αριθμός Pi εμφανίζεται συχνά. Αλλά για κάποιο λόγο δεν περιλαμβάνεται στις αναλογίες τιμής.
— Άρα δεν πιστεύετε στην αποτελεσματικότητα της αρχής του κύματος του Έλιοτ;
- Όχι, δεν είναι αυτό το θέμα. Η αρχή του κύματος είναι ένα πράγμα. Η αριθμητική αναλογία είναι διαφορετική. Και οι λόγοι για την εμφάνισή τους στα διαγράμματα τιμών είναι οι τρίτοι
— Ποιοι είναι, κατά τη γνώμη σας, οι λόγοι για την εμφάνιση της χρυσής τομής στα διαγράμματα μετοχών;
— Η σωστή απάντηση σε αυτήν την ερώτηση μπορεί να σας αποφέρει το Νόμπελ Οικονομικών. Προς το παρόν μπορούμε να μαντέψουμε τους αληθινούς λόγους. Προφανώς δεν είναι σε αρμονία με τη φύση. Υπάρχουν πολλά μοντέλα τιμολόγησης ανταλλαγής. Δεν εξηγούν το χαρακτηρισμένο φαινόμενο. Αλλά η μη κατανόηση της φύσης ενός φαινομένου δεν πρέπει να αρνείται το φαινόμενο αυτό καθαυτό.
— Και αν ποτέ ανοίξει αυτός ο νόμος, θα μπορέσει να καταστρέψει τη διαδικασία ανταλλαγής;
— Όπως δείχνει η ίδια κυματική θεωρία, ο νόμος των μεταβολών στις τιμές των μετοχών είναι καθαρή ψυχολογία. Μου φαίνεται ότι η γνώση αυτού του νόμου δεν θα αλλάξει τίποτα και δεν θα μπορέσει να καταστρέψει το χρηματιστήριο.

Το υλικό παρέχεται από το blog του webmaster Maxim.

Η σύμπτωση των θεμελιωδών αρχών των μαθηματικών σε μια ποικιλία θεωριών φαίνεται απίστευτη. Ίσως είναι φανταστικό ή προσαρμοσμένο για το τελικό αποτέλεσμα. Περίμενε και θα δεις. Πολλά από αυτά που προηγουμένως θεωρούνταν ασυνήθιστα ή δεν ήταν δυνατά: η εξερεύνηση του διαστήματος, για παράδειγμα, έχει γίνει συνηθισμένη και δεν εκπλήσσει κανέναν. Επίσης, η κυματική θεωρία, η οποία μπορεί να είναι ακατανόητη, θα γίνει πιο προσιτή και κατανοητή με την πάροδο του χρόνου. Αυτό που ήταν προηγουμένως περιττό θα γίνει, στα χέρια ενός έμπειρου αναλυτή, ένα ισχυρό εργαλείο για την πρόβλεψη της μελλοντικής συμπεριφοράς.

Αριθμοί Fibonacci στη φύση.

Κοίτα

Τώρα, ας μιλήσουμε για το πώς μπορείτε να αντικρούσετε το γεγονός ότι η ψηφιακή σειρά Fibonacci εμπλέκεται σε οποιαδήποτε μοτίβα στη φύση.

Ας πάρουμε άλλους δύο αριθμούς και ας φτιάξουμε μια ακολουθία με την ίδια λογική με τους αριθμούς Fibonacci. Δηλαδή, το επόμενο μέλος της ακολουθίας είναι ίσο με το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Για παράδειγμα, ας πάρουμε δύο αριθμούς: 6 και 51. Τώρα θα φτιάξουμε μια ακολουθία που θα συμπληρώσουμε με δύο αριθμούς 1860 και 3009. Σημειώστε ότι όταν διαιρούμε αυτούς τους αριθμούς, παίρνουμε έναν αριθμό κοντά στη χρυσή τομή.

Ταυτόχρονα, οι αριθμοί που προέκυψαν κατά τη διαίρεση άλλων ζευγών μειώθηκαν από το πρώτο στο τελευταίο, γεγονός που μας επιτρέπει να πούμε ότι εάν αυτή η σειρά συνεχιστεί επ 'αόριστον, τότε θα πάρουμε έναν αριθμό ίσο με τη χρυσή τομή.

Έτσι, οι αριθμοί Fibonacci δεν ξεχωρίζουν με κανέναν τρόπο. Υπάρχουν και άλλες ακολουθίες αριθμών, από τις οποίες υπάρχει ένας άπειρος αριθμός, που ως αποτέλεσμα των ίδιων πράξεων δίνουν τον χρυσό αριθμό φι.

Ο Φιμπονάτσι δεν ήταν εσωτεριστής. Δεν ήθελε να βάλει κανένα μυστικισμό στους αριθμούς, απλά έλυνε ένα συνηθισμένο πρόβλημα σχετικά με τα κουνέλια. Και έγραψε μια σειρά αριθμών που ακολούθησαν από το πρόβλημά του, τον πρώτο, τον δεύτερο και άλλους μήνες, πόσα κουνέλια θα υπήρχαν μετά την αναπαραγωγή. Μέσα σε ένα χρόνο, έλαβε την ίδια σειρά. Και δεν έκανα σχέση. Δεν έγινε λόγος για χρυσή αναλογία ή θεϊκή σχέση. Όλα αυτά επινοήθηκαν μετά από αυτόν κατά την Αναγέννηση.

Σε σύγκριση με τα μαθηματικά, τα πλεονεκτήματα του Fibonacci είναι τεράστια. Υιοθέτησε το σύστημα αριθμών από τους Άραβες και απέδειξε την εγκυρότητά του. Ήταν ένας σκληρός και μακροχρόνιος αγώνας. Από το ρωμαϊκό αριθμητικό σύστημα: βαρύ και άβολο για μέτρηση. Εξαφανίστηκε μετά τη Γαλλική Επανάσταση. Ο Φιμπονάτσι δεν έχει καμία σχέση με τη χρυσή τομή.

Το κείμενο της εργασίας αναρτάται χωρίς εικόνες και τύπους.
Η πλήρης έκδοση του έργου είναι διαθέσιμη στην καρτέλα «Αρχεία εργασίας» σε μορφή PDF

Εισαγωγή

Ο ΥΨΗΛΟΤΕΡΟΣ ΣΚΟΠΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΝΑΙ ΝΑ ΒΡΕΙ ΤΗΝ ΚΡΥΦΗ ΤΑΞΗ ΣΤΟ ΧΑΟΣ ΠΟΥ ΜΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΕΙ.

Βάινερ Ν.

Ένα άτομο προσπαθεί για γνώση σε όλη του τη ζωή, προσπαθώντας να μελετήσει τον κόσμο γύρω του. Και στη διαδικασία της παρατήρησης προκύπτουν ερωτήματα που απαιτούν απαντήσεις. Οι απαντήσεις βρίσκονται, αλλά προκύπτουν νέα ερωτήματα. Σε αρχαιολογικά ευρήματα, σε ίχνη πολιτισμού, απομακρυσμένα μεταξύ τους σε χρόνο και χώρο, εντοπίζεται ένα και το αυτό στοιχείο - ένα σχέδιο σε μορφή σπείρας. Κάποιοι το θεωρούν σύμβολο του ήλιου και το συνδέουν με τη θρυλική Ατλαντίδα, αλλά η πραγματική του σημασία είναι άγνωστη. Τι κοινό έχουν τα σχήματα ενός γαλαξία και ενός ατμοσφαιρικού κυκλώνα, η διάταξη των φύλλων σε ένα στέλεχος και η διάταξη των σπόρων σε έναν ηλίανθο; Αυτά τα μοτίβα καταλήγουν στη λεγόμενη «χρυσή» σπείρα, την εκπληκτική ακολουθία Fibonacci που ανακάλυψε ο μεγάλος Ιταλός μαθηματικός του 13ου αιώνα.

Ιστορία των αριθμών Fibonacci

Για πρώτη φορά άκουσα για το τι είναι οι αριθμοί Fibonacci από έναν καθηγητή μαθηματικών. Αλλά, εκτός αυτού, δεν ήξερα πώς συνήλθε η σειρά αυτών των αριθμών. Για αυτό είναι πραγματικά διάσημη αυτή η σειρά, πώς επηρεάζει έναν άνθρωπο, θέλω να σας πω. Λίγα είναι γνωστά για τον Λεονάρντο Φιμπονάτσι. Δεν υπάρχει καν ακριβής ημερομηνία γέννησής του. Είναι γνωστό ότι γεννήθηκε το 1170 σε οικογένεια εμπόρων στην πόλη της Πίζας της Ιταλίας. Ο πατέρας του Φιμπονάτσι επισκεπτόταν συχνά την Αλγερία για εμπορικά θέματα και ο Λεονάρντο σπούδασε μαθηματικά εκεί με Άραβες δασκάλους. Στη συνέχεια, έγραψε πολλά μαθηματικά έργα, το πιο διάσημο από τα οποία είναι το «Βιβλίο του Άβακα», το οποίο περιέχει σχεδόν όλες τις αριθμητικές και αλγεβρικές πληροφορίες εκείνης της εποχής. 2

Οι αριθμοί Fibonacci είναι μια ακολουθία αριθμών που έχουν έναν αριθμό ιδιοτήτων. Ο Fibonacci ανακάλυψε αυτή την αριθμητική ακολουθία τυχαία όταν προσπαθούσε να λύσει ένα πρακτικό πρόβλημα σχετικά με τα κουνέλια το 1202. «Κάποιος τοποθέτησε ένα ζευγάρι κουνέλια σε ένα συγκεκριμένο μέρος, περιφραγμένο από όλες τις πλευρές από έναν τοίχο, για να μάθει πόσα ζευγάρια κουνελιών θα γεννιούνταν κατά τη διάρκεια του έτους, εάν η φύση των κουνελιών είναι τέτοια που μετά από ένα μήνα ένα ζευγάρι των κουνελιών γεννά ένα άλλο ζευγάρι, και τα κουνέλια γεννούν από τους δεύτερους μήνες μετά τη γέννησή σας». Κατά την επίλυση του προβλήματος, έλαβε υπόψη ότι κάθε ζευγάρι κουνελιών γεννά δύο ακόμη ζευγάρια σε όλη τους τη ζωή και μετά πεθαίνει. Έτσι εμφανίστηκε η ακολουθία των αριθμών: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Σε αυτήν την ακολουθία, κάθε επόμενος αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Ονομάστηκε ακολουθία Fibonacci. Μαθηματικές ιδιότητες της ακολουθίας

Ήθελα να εξερευνήσω αυτήν την ακολουθία και ανακάλυψα μερικές από τις ιδιότητές της. Αυτό το μοτίβο έχει μεγάλη σημασία. Η ακολουθία προσεγγίζει αργά μια ορισμένη σταθερή αναλογία περίπου 1,618 και η αναλογία οποιουδήποτε αριθμού προς τον επόμενο είναι περίπου 0,618.

Μπορείτε να παρατηρήσετε μια σειρά από ενδιαφέρουσες ιδιότητες των αριθμών Fibonacci: δύο γειτονικοί αριθμοί είναι σχετικά πρώτοι. κάθε τρίτος αριθμός είναι ζυγός. κάθε δέκατο πέμπτο τελειώνει σε μηδέν. κάθε τέταρτο είναι πολλαπλάσιο των τριών. Εάν επιλέξετε οποιουσδήποτε 10 γειτονικούς αριθμούς από την ακολουθία Fibonacci και τους προσθέσετε μαζί, θα λαμβάνετε πάντα έναν αριθμό που είναι πολλαπλάσιο του 11. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό. Κάθε άθροισμα είναι ίσο με τον αριθμό 11 πολλαπλασιασμένο με τον έβδομο όρο της δεδομένης ακολουθίας. Εδώ είναι ένα άλλο ενδιαφέρον χαρακτηριστικό. Για οποιοδήποτε n, το άθροισμα των πρώτων όρων της ακολουθίας θα είναι πάντα ίσο με τη διαφορά μεταξύ του (n+ 2)ου και των πρώτων όρων της ακολουθίας. Αυτό το γεγονός μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. Τώρα έχουμε το εξής κόλπο στη διάθεσή μας: να βρούμε το άθροισμα όλων των όρων

ακολουθία μεταξύ δύο δεδομένων όρων, αρκεί να βρούμε τη διαφορά των αντίστοιχων (n+2)-x όρων. Για παράδειγμα, ένα 26 +…+a 40 = a 42 - a 27. Τώρα ας αναζητήσουμε τη σύνδεση μεταξύ του Fibonacci, του Πυθαγόρα και της «χρυσής τομής». Η πιο διάσημη απόδειξη της μαθηματικής ιδιοφυΐας της ανθρωπότητας είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα: σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών της: c 2 =b 2 +a 2. Από γεωμετρική άποψη, μπορούμε να θεωρήσουμε όλες τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου ως τις πλευρές τριών τετραγώνων που είναι κατασκευασμένα πάνω τους. Το Πυθαγόρειο θεώρημα δηλώνει ότι το συνολικό εμβαδόν των τετραγώνων που χτίζονται στις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το εμβαδόν του τετραγώνου που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα. Αν τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ακέραιοι, τότε σχηματίζουν μια ομάδα τριών αριθμών που ονομάζονται Πυθαγόρεια τριπλέτες. Χρησιμοποιώντας την ακολουθία Fibonacci μπορείτε να βρείτε τέτοιες τρίδυμες. Ας πάρουμε τέσσερις διαδοχικούς αριθμούς από την ακολουθία, για παράδειγμα, 2, 3, 5 και 8, και ας κατασκευάσουμε τρεις ακόμη αριθμούς ως εξής: 1) το γινόμενο των δύο ακραίων αριθμών: 2*8=16, 2) το διπλό γινόμενο από τους δύο αριθμούς στη μέση: 2* (3*5)=30;3) το άθροισμα των τετραγώνων δύο μέσων αριθμών: 3 2 +5 2 =34; 34 2 =30 2 +16 2. Αυτή η μέθοδος λειτουργεί για τέσσερις διαδοχικούς αριθμούς Fibonacci. Τυχόν τρεις διαδοχικοί αριθμοί στη σειρά Fibonacci συμπεριφέρονται με προβλέψιμο τρόπο. Εάν πολλαπλασιάσετε τα δύο ακραία και συγκρίνετε το αποτέλεσμα με το τετράγωνο του μέσου αριθμού, το αποτέλεσμα θα διαφέρει πάντα κατά ένα. Για παράδειγμα, για τους αριθμούς 5, 8 και 13 παίρνουμε: 5*13=8 2 +1. Αν δείτε αυτό το ακίνητο από γεωμετρική σκοπιά, θα παρατηρήσετε κάτι περίεργο. Χωρίστε το τετράγωνο

Διαστάσεις 8x8 (64 μικρά τετράγωνα συνολικά) σε τέσσερα μέρη, με τα μήκη των πλευρών να είναι ίσα με τους αριθμούς Fibonacci. Τώρα από αυτά τα μέρη θα φτιάξουμε ένα ορθογώνιο διαστάσεων 5x13. Η έκτασή του είναι 65 μικρά τετράγωνα. Από πού προέρχεται το επιπλέον τετράγωνο; Το θέμα είναι ότι δεν σχηματίζεται ένα ιδανικό ορθογώνιο, αλλά παραμένουν μικροσκοπικά κενά, τα οποία συνολικά δίνουν αυτή την πρόσθετη μονάδα εμβαδού. Το τρίγωνο του Πασκάλ έχει επίσης μια σύνδεση με την ακολουθία Fibonacci. Απλά πρέπει να γράψετε τις γραμμές του τριγώνου του Πασκάλ η μία κάτω από την άλλη και στη συνέχεια να προσθέσετε τα στοιχεία διαγώνια. Το αποτέλεσμα είναι η ακολουθία Fibonacci.

Τώρα σκεφτείτε ένα χρυσό ορθογώνιο, η μία πλευρά του οποίου είναι 1.618 φορές μεγαλύτερη από την άλλη. Με την πρώτη ματιά, μπορεί να μας φαίνεται σαν ένα συνηθισμένο παραλληλόγραμμο. Ωστόσο, ας κάνουμε ένα απλό πείραμα με δύο συνηθισμένες τραπεζικές κάρτες. Ας τοποθετήσουμε το ένα οριζόντια και το άλλο κάθετα ώστε οι κάτω πλευρές τους να είναι στην ίδια γραμμή. Αν σχεδιάσουμε μια διαγώνια γραμμή σε έναν οριζόντιο χάρτη και την επεκτείνουμε, θα δούμε ότι θα περάσει ακριβώς από την πάνω δεξιά γωνία του κατακόρυφου χάρτη - μια ευχάριστη έκπληξη. Ίσως πρόκειται για ατύχημα ή ίσως αυτά τα ορθογώνια και άλλα γεωμετρικά σχήματα που χρησιμοποιούν τη «χρυσή τομή» είναι ιδιαίτερα ευχάριστα στο μάτι. Σκέφτηκε ο Λεονάρντο ντα Βίντσι τη χρυσή τομή όταν εργαζόταν πάνω στο αριστούργημά του; Αυτό φαίνεται απίθανο. Ωστόσο, μπορεί να υποστηριχθεί ότι έδωσε μεγάλη σημασία στη σύνδεση αισθητικής και μαθηματικών.

Αριθμοί Fibonacci στη φύση

Η σύνδεση της χρυσής τομής με την ομορφιά δεν είναι μόνο θέμα ανθρώπινης αντίληψης. Φαίνεται ότι η ίδια η φύση έχει διαθέσει έναν ιδιαίτερο ρόλο στον F. Εάν εγγράψετε τετράγωνα διαδοχικά σε ένα «χρυσό» ορθογώνιο και στη συνέχεια σχεδιάσετε ένα τόξο σε κάθε τετράγωνο, θα έχετε μια κομψή καμπύλη που ονομάζεται λογαριθμική σπείρα. Δεν είναι καθόλου μαθηματική περιέργεια. 5

Αντίθετα, αυτή η αξιοσημείωτη γραμμή συναντάται συχνά στον φυσικό κόσμο: από το κέλυφος ενός ναυτίλου μέχρι τους βραχίονες των γαλαξιών και στην κομψή σπείρα των πετάλων ενός ανθισμένου τριαντάφυλλου. Οι συνδέσεις μεταξύ της χρυσής τομής και των αριθμών Fibonacci είναι πολλές και εκπληκτικές. Ας εξετάσουμε ένα λουλούδι που μοιάζει πολύ διαφορετικό από ένα τριαντάφυλλο - έναν ηλίανθο με σπόρους. Το πρώτο πράγμα που βλέπουμε είναι ότι οι σπόροι είναι διατεταγμένοι σε δύο τύπους σπειρών: δεξιόστροφα και αριστερόστροφα. Αν μετρήσουμε τις δεξιόστροφες σπείρες, παίρνουμε δύο φαινομενικά συνηθισμένους αριθμούς: 21 και 34. Αυτό δεν είναι το μόνο παράδειγμα όπου οι αριθμοί Fibonacci μπορούν να βρεθούν στη δομή των φυτών.

Η φύση μας δίνει πολλά παραδείγματα της διάταξης ομοιογενών αντικειμένων που περιγράφονται από αριθμούς Fibonacci. Στις διάφορες σπειροειδείς διατάξεις μικρών τμημάτων φυτών, συνήθως διακρίνονται δύο οικογένειες σπειρών. Σε μία από αυτές τις οικογένειες οι σπείρες κυρτώνουν δεξιόστροφα, ενώ στην άλλη λυγίζουν αριστερόστροφα. Οι αριθμοί των σπειρών του ενός και του άλλου τύπου συχνά αποδεικνύονται γειτονικοί αριθμοί Fibonacci. Έτσι, παίρνοντας ένα νεαρό κλαδί πεύκου, είναι εύκολο να παρατηρήσετε ότι οι βελόνες σχηματίζουν δύο σπείρες, που πηγαίνουν από κάτω αριστερά προς τα πάνω δεξιά. Σε πολλούς κώνους, οι σπόροι είναι διατεταγμένοι σε τρεις σπείρες, τυλίγοντας απαλά γύρω από το στέλεχος του κώνου. Βρίσκονται σε πέντε σπείρες, που τυλίγονται απότομα προς την αντίθετη κατεύθυνση. Σε μεγάλους κώνους είναι δυνατό να παρατηρηθούν 5 και 8, ακόμη και 8 και 13 σπείρες. Οι σπείρες Fibonacci είναι επίσης καθαρά ορατές σε έναν ανανά: υπάρχουν συνήθως 8 και 13 από αυτές.

Ο βλαστός κιχωρίου κάνει μια ισχυρή εκτόξευση στο κενό, σταματά, απελευθερώνει ένα φύλλο, αλλά αυτός ο χρόνος είναι μικρότερος από τον πρώτο, εκτινάσσεται πάλι στο κενό, αλλά με λιγότερη δύναμη, απελευθερώνει ένα φύλλο ακόμη μικρότερου μεγέθους και εκτοξεύεται ξανά. . Οι παρορμήσεις της ανάπτυξής του μειώνονται σταδιακά ανάλογα με τη «χρυσή» τομή. Για να εκτιμήσετε τον τεράστιο ρόλο των αριθμών Fibonacci, πρέπει απλώς να κοιτάξετε την ομορφιά της φύσης γύρω μας. Οι αριθμοί Fibonacci μπορούν να βρεθούν σε ποσότητες

κλαδιά στο στέλεχος κάθε αναπτυσσόμενου φυτού και στον αριθμό των πετάλων.

Ας μετρήσουμε τα πέταλα μερικών λουλουδιών - ίριδα με τα 3 πέταλά της, primrose με 5 πέταλα, αμβροσία με 13 πέταλα, αραβοσιτέλαιο με 34 πέταλα, αστέρα με 55 πέταλα κ.λπ. Είναι σύμπτωση αυτό ή είναι νόμος της φύσης; Κοιτάξτε τους μίσχους και τα λουλούδια του αχύρου. Έτσι, η συνολική ακολουθία Fibonacci μπορεί εύκολα να ερμηνεύσει το μοτίβο των εκδηλώσεων των «Χρυσών» αριθμών που βρίσκονται στη φύση. Αυτοί οι νόμοι λειτουργούν ανεξάρτητα από τη συνείδησή μας και την επιθυμία να τους αποδεχθούμε ή όχι. Τα πρότυπα της «χρυσής» συμμετρίας εκδηλώνονται στις ενεργειακές μεταπτώσεις στοιχειωδών σωματιδίων, στη δομή ορισμένων χημικών ενώσεων, σε πλανητικά και κοσμικά συστήματα, στις γονιδιακές δομές των ζωντανών οργανισμών, στη δομή μεμονωμένων ανθρώπινων οργάνων και του σώματος όπως ένα σύνολο, και επίσης εκδηλώνονται στους βιορυθμούς και τη λειτουργία του εγκεφάλου και την οπτική αντίληψη.

Οι αριθμοί Fibonacci στην αρχιτεκτονική

Η «Χρυσή Αναλογία» είναι επίσης εμφανής σε πολλές αξιόλογες αρχιτεκτονικές δημιουργίες σε όλη την ανθρώπινη ιστορία. Αποδεικνύεται ότι οι αρχαίοι Έλληνες και οι αρχαίοι Αιγύπτιοι μαθηματικοί γνώριζαν αυτούς τους συντελεστές πολύ πριν από τον Φιμπονάτσι και τους ονόμασαν «χρυσή τομή». Οι Έλληνες χρησιμοποίησαν την αρχή της «χρυσής τομής» στην κατασκευή του Παρθενώνα και οι Αιγύπτιοι τη Μεγάλη Πυραμίδα της Γκίζας. Η πρόοδος στην κατασκευαστική τεχνολογία και η ανάπτυξη νέων υλικών άνοιξαν νέες ευκαιρίες για τους αρχιτέκτονες του εικοστού αιώνα. Ο Αμερικανός Frank Lloyd Wright ήταν ένας από τους κύριους υποστηρικτές της οργανικής αρχιτεκτονικής. Λίγο πριν από το θάνατό του σχεδίασε το Μουσείο Solomon Guggenheim στη Νέα Υόρκη, το οποίο είναι μια ανεστραμμένη σπείρα και το εσωτερικό του μουσείου θυμίζει κέλυφος ναυτίλου. Ο Πολωνο-Ισραηλινός αρχιτέκτονας Zvi Hecker χρησιμοποίησε επίσης σπειροειδείς κατασκευές στο σχέδιό του για τη Σχολή Heinz Galinski στο Βερολίνο, που ολοκληρώθηκε το 1995. Ο Hecker ξεκίνησε με την ιδέα ενός ηλίανθου με κεντρικό κύκλο, από όπου

Όλα τα αρχιτεκτονικά στοιχεία αποκλίνουν. Το κτίριο είναι ένας συνδυασμός

ορθογώνιες και ομόκεντρες σπείρες, που συμβολίζουν την αλληλεπίδραση περιορισμένης ανθρώπινης γνώσης και το ελεγχόμενο χάος της φύσης. Η αρχιτεκτονική του μιμείται ένα φυτό που ακολουθεί την κίνηση του Ήλιου, έτσι οι αίθουσες διδασκαλίας φωτίζονται καθ' όλη τη διάρκεια της ημέρας.

Στο Quincy Park, που βρίσκεται στο Cambridge της Μασαχουσέτης (ΗΠΑ), μπορεί συχνά να βρεθεί η «χρυσή» σπείρα. Το πάρκο σχεδιάστηκε το 1997 από τον καλλιτέχνη David Phillips και βρίσκεται κοντά στο Μαθηματικό Ινστιτούτο Clay. Αυτό το ίδρυμα είναι ένα διάσημο κέντρο μαθηματικής έρευνας. Στο Quincy Park, μπορείτε να περπατήσετε ανάμεσα σε «χρυσές» σπείρες και μεταλλικές καμπύλες, ανάγλυφα από δύο κοχύλια και έναν βράχο με σύμβολο τετραγωνικής ρίζας. Η πινακίδα περιέχει πληροφορίες για τη «χρυσή» αναλογία. Ακόμη και η στάθμευση ποδηλάτων χρησιμοποιεί το σύμβολο F.

Οι αριθμοί Fibonacci στην ψυχολογία

Στην ψυχολογία, έχουν σημειωθεί σημεία καμπής, κρίσεις και επαναστάσεις που σηματοδοτούν μετασχηματισμούς στη δομή και τις λειτουργίες της ψυχής στην πορεία της ζωής ενός ατόμου. Εάν ένα άτομο ξεπεράσει με επιτυχία αυτές τις κρίσεις, τότε γίνεται ικανός να λύσει προβλήματα μιας νέας τάξης που δεν είχε καν σκεφτεί πριν.

Η παρουσία θεμελιωδών αλλαγών δίνει λόγο να θεωρηθεί ο χρόνος ζωής ως καθοριστικός παράγοντας για την ανάπτυξη πνευματικών ιδιοτήτων. Εξάλλου, η φύση δεν μετράει γενναιόδωρα τον χρόνο για εμάς, «όσο και αν είναι, τόσο θα είναι», αλλά αρκεί για να υλοποιηθεί η διαδικασία ανάπτυξης:

στις δομές του σώματος?

στα συναισθήματα, τη σκέψη και τις ψυχοκινητικές δεξιότητες – μέχρι να αποκτήσουν αρμονίααπαραίτητο για την ανάδυση και εκτόξευση του μηχανισμού

δημιουργικότητα?

στη δομή του ανθρώπινου ενεργειακού δυναμικού.

Η ανάπτυξη του σώματος δεν μπορεί να σταματήσει: το παιδί γίνεται ενήλικας. Με τον μηχανισμό της δημιουργικότητας δεν είναι όλα τόσο απλά. Η ανάπτυξή του μπορεί να σταματήσει και η κατεύθυνση του να αλλάξει.

Υπάρχει περίπτωση να προλάβω τον χρόνο; Αναμφίβολα. Αλλά για αυτό πρέπει να κάνετε πολλή δουλειά στον εαυτό σας. Αυτό που αναπτύσσεται ελεύθερα, φυσικά, δεν απαιτεί ιδιαίτερες προσπάθειες: το παιδί αναπτύσσεται ελεύθερα και δεν παρατηρεί αυτό το τεράστιο έργο, επειδή η διαδικασία της ελεύθερης ανάπτυξης δημιουργείται χωρίς βία εναντίον του εαυτού του.

Πώς γίνεται κατανοητό το νόημα του ταξιδιού της ζωής στην καθημερινή συνείδηση; Ο μέσος άνθρωπος το βλέπει έτσι: στο κάτω μέρος υπάρχει η γέννηση, στην κορυφή υπάρχει η ακμή της ζωής και μετά όλα πηγαίνουν προς τα κάτω.

Ο σοφός θα πει: όλα είναι πολύ πιο περίπλοκα. Χωρίζει την ανάβαση σε στάδια: παιδική ηλικία, εφηβεία, νεότητα... Γιατί είναι έτσι; Λίγοι είναι σε θέση να απαντήσουν, αν και όλοι είναι σίγουροι ότι πρόκειται για κλειστά, αναπόσπαστα στάδια της ζωής.

Για να μάθετε πώς αναπτύσσεται ο μηχανισμός της δημιουργικότητας, ο V.V. Ο Klimenko χρησιμοποίησε μαθηματικά, δηλαδή τους νόμους των αριθμών Fibonacci και την αναλογία της «χρυσής τομής» - τους νόμους της φύσης και της ανθρώπινης ζωής.

Οι αριθμοί Fibonacci χωρίζουν τη ζωή μας σε στάδια ανάλογα με τον αριθμό των ετών που ζήσαμε: 0 - η αρχή της αντίστροφης μέτρησης - το παιδί γεννιέται. Του λείπουν ακόμη όχι μόνο ψυχοκινητικές δεξιότητες, σκέψη, συναισθήματα, φαντασία, αλλά και λειτουργικές ενεργειακές δυνατότητες. Είναι η αρχή μιας νέας ζωής, μιας νέας αρμονίας.

1 - το παιδί έχει κατακτήσει το περπάτημα και κυριαρχεί στο άμεσο περιβάλλον του.

2 - κατανοεί την ομιλία και ενεργεί χρησιμοποιώντας λεκτικές οδηγίες.

3 - ενεργεί με λέξεις, κάνει ερωτήσεις.

5 - "ηλικία της χάρης" - αρμονία ψυχοκινητικής, μνήμης, φαντασίας και συναισθημάτων, που ήδη επιτρέπουν στο παιδί να αγκαλιάσει τον κόσμο με όλη του την ακεραιότητά του.

8 - τα συναισθήματα έρχονται στο προσκήνιο. Υπηρετούνται από τη φαντασία και η σκέψη, μέσω της κρισιμότητας της, στοχεύει στην υποστήριξη της εσωτερικής και εξωτερικής αρμονίας της ζωής.

13 - ο μηχανισμός του ταλέντου αρχίζει να λειτουργεί, με στόχο τη μετατροπή του υλικού που αποκτήθηκε στη διαδικασία της κληρονομιάς, την ανάπτυξη του δικού του ταλέντου.

21 - ο μηχανισμός της δημιουργικότητας έχει πλησιάσει σε κατάσταση αρμονίας και γίνονται προσπάθειες να εκτελεστούν ταλαντούχα έργα.

34—αρμονία σκέψης, συναισθημάτων, φαντασίας και ψυχοκινητικών δεξιοτήτων: γεννιέται η ικανότητα να δουλεύεις έξυπνα.

55 - σε αυτή την ηλικία, εφόσον διατηρηθεί η αρμονία της ψυχής και του σώματος, ένα άτομο είναι έτοιμο να γίνει δημιουργός. Και ούτω καθεξής…

Τι είναι οι σειρές αριθμών Fibonacci; Μπορούν να συγκριθούν με φράγματα κατά μήκος της διαδρομής της ζωής. Αυτά τα φράγματα περιμένουν τον καθένα μας. Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να ξεπεράσετε κάθε ένα από αυτά και, στη συνέχεια, να ανεβάσετε υπομονετικά το επίπεδο ανάπτυξής σας μέχρι μια ωραία μέρα να καταρρεύσει, ανοίγοντας το δρόμο στην επόμενη για ελεύθερη ροή.

Τώρα που καταλαβαίνουμε τη σημασία αυτών των βασικών σημείων της ανάπτυξης που σχετίζεται με την ηλικία, ας προσπαθήσουμε να αποκρυπτογραφήσουμε πώς συμβαίνουν όλα αυτά.

Β1 έτοςτο παιδί κυριαρχεί στο περπάτημα. Πριν από αυτό, βίωσε τον κόσμο με το μπροστινό μέρος του κεφαλιού του. Τώρα γνωρίζει τον κόσμο με τα χέρια του — ένα εξαιρετικό ανθρώπινο προνόμιο. Το ζώο κινείται στο διάστημα και αυτός, μαθαίνοντας, κυριαρχεί στον χώρο και κυριαρχεί στην περιοχή στην οποία ζει.

2 χρόνια- κατανοεί τη λέξη και ενεργεί σύμφωνα με αυτήν. Αυτό σημαίνει ότι:

το παιδί μαθαίνει έναν ελάχιστο αριθμό λέξεων - έννοιες και τρόπους δράσης.

δεν έχει ακόμη διαχωριστεί από το περιβάλλον και είναι συγχωνευμένο στην ακεραιότητα με το περιβάλλον,

επομένως ενεργεί σύμφωνα με τις οδηγίες κάποιου άλλου. Σε αυτή την ηλικία είναι ο πιο υπάκουος και ευχάριστος στους γονείς του. Από αισθησιακό άτομο, ένα παιδί μετατρέπεται σε γνωστικό άτομο.

3 χρόνια- δράση χρησιμοποιώντας τη δική του λέξη. Ο διαχωρισμός αυτού του ατόμου από το περιβάλλον έχει ήδη συμβεί - και μαθαίνει να είναι άτομο που ενεργεί ανεξάρτητα. Από εδώ αυτός:

αντιτίθεται συνειδητά στο περιβάλλον και στους γονείς, νηπιαγωγούς κ.λπ.

συνειδητοποιεί την κυριαρχία του και αγωνίζεται για ανεξαρτησία·

προσπαθεί να υποτάξει στη θέλησή του κοντινούς και γνωστούς ανθρώπους.

Τώρα για ένα παιδί, μια λέξη είναι πράξη. Εδώ ξεκινά το ενεργό άτομο.

5 χρόνια- «Ηλικία της Χάριτος». Είναι η προσωποποίηση της αρμονίας. Παιχνίδια, χορός, επιδέξιες κινήσεις - όλα είναι κορεσμένα με αρμονία, την οποία ένα άτομο προσπαθεί να κυριαρχήσει με τη δική του δύναμη. Η αρμονική ψυχοκινητική συμπεριφορά βοηθά στη δημιουργία μιας νέας κατάστασης. Επομένως, το παιδί επικεντρώνεται στην ψυχοκινητική δραστηριότητα και προσπαθεί για τις πιο δραστήριες ενέργειες.

Η υλοποίηση των προϊόντων της εργασίας ευαισθησίας πραγματοποιείται μέσω:

την ικανότητα να εμφανίζουμε το περιβάλλον και τον εαυτό μας ως μέρος αυτού του κόσμου (ακούμε, βλέπουμε, αγγίζουμε, μυρίζουμε κ.λπ. - όλες οι αισθήσεις λειτουργούν για αυτή τη διαδικασία).

ικανότητα σχεδιασμού του εξωτερικού κόσμου, συμπεριλαμβανομένου του εαυτού μας

(δημιουργία δεύτερης φύσης, υποθέσεις - κάντε αυτό και αυτό αύριο, κατασκευάστε μια νέα μηχανή, λύστε ένα πρόβλημα), με τις δυνάμεις της κριτικής σκέψης, των συναισθημάτων και της φαντασίας.

την ικανότητα δημιουργίας μιας δεύτερης, ανθρωπογενούς φύσης, προϊόντων δραστηριότητας (πραγματοποίηση σχεδίων, συγκεκριμένες νοητικές ή ψυχοκινητικές ενέργειες με συγκεκριμένα αντικείμενα και διαδικασίες).

Μετά από 5 χρόνια, ο μηχανισμός της φαντασίας βγαίνει μπροστά και αρχίζει να κυριαρχεί στους άλλους. Το παιδί κάνει τρομερή δουλειά, δημιουργώντας φανταστικές εικόνες και ζει στον κόσμο των παραμυθιών και των μύθων. Η υπερτροφική φαντασία ενός παιδιού προκαλεί έκπληξη στους ενήλικες, γιατί η φαντασία δεν ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα.

8 χρόνια— τα συναισθήματα έρχονται στο προσκήνιο και τα δικά του πρότυπα συναισθημάτων (γνωστικά, ηθικά, αισθητικά) προκύπτουν όταν το παιδί αναμφισβήτητα:

αξιολογεί το γνωστό και το άγνωστο.

διακρίνει το ηθικό από το ανήθικο, το ηθικό από το ανήθικο.

ομορφιά από αυτό που απειλεί τη ζωή, αρμονία από το χάος.

13 χρόνια— ο μηχανισμός της δημιουργικότητας αρχίζει να λειτουργεί. Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι λειτουργεί με πλήρη δυναμικότητα. Ένα από τα στοιχεία του μηχανισμού έρχεται στο προσκήνιο και όλα τα άλλα συμβάλλουν στο έργο του. Εάν σε αυτήν την εποχή της αναπτυξιακής περιόδου διατηρηθεί η αρμονία, η οποία σχεδόν συνεχώς ξαναχτίζει τη δομή της, τότε η νεολαία θα φτάσει ανώδυνα στο επόμενο φράγμα, απαρατήρητη από μόνος του θα το ξεπεράσει και θα ζήσει στην ηλικία του επαναστάτη. Στην ηλικία ενός επαναστάτη, ένας νέος πρέπει να κάνει ένα νέο βήμα προς τα εμπρός: να χωριστεί από την πλησιέστερη κοινωνία και να ζήσει μια αρμονική ζωή και δραστηριότητα σε αυτήν. Δεν μπορούν όλοι να λύσουν αυτό το πρόβλημα που εμφανίζεται μπροστά στον καθένα μας.

21 χρονών.Εάν ένας επαναστάτης έχει ξεπεράσει με επιτυχία την πρώτη αρμονική κορυφή της ζωής, τότε ο μηχανισμός του ταλέντου του είναι ικανός να αποδίδει ταλαντούχους

δουλειά. Τα συναισθήματα (γνωστικά, ηθικά ή αισθητικά) μερικές φορές επισκιάζουν τη σκέψη, αλλά γενικά όλα τα στοιχεία λειτουργούν αρμονικά: τα συναισθήματα είναι ανοιχτά στον κόσμο και η λογική σκέψη μπορεί να ονομάσει και να βρει μέτρα από αυτήν την κορυφή.

Ο μηχανισμός της δημιουργικότητας, που αναπτύσσεται κανονικά, φτάνει σε μια κατάσταση που του επιτρέπει να λαμβάνει ορισμένους καρπούς. Αρχίζει να δουλεύει. Σε αυτή την ηλικία μπαίνει μπροστά ο μηχανισμός των συναισθημάτων. Καθώς η φαντασία και τα προϊόντα της αξιολογούνται από τις αισθήσεις και το μυαλό, δημιουργείται ανταγωνισμός μεταξύ τους. Τα συναισθήματα κερδίζουν. Αυτή η ικανότητα αποκτά σταδιακά δύναμη και το αγόρι αρχίζει να τη χρησιμοποιεί.

34 ετών- ισορροπία και αρμονία, παραγωγική αποτελεσματικότητα ταλέντου. Η αρμονία της σκέψης, των συναισθημάτων και της φαντασίας, οι ψυχοκινητικές δεξιότητες, οι οποίες αναπληρώνονται με το βέλτιστο ενεργειακό δυναμικό και ο μηχανισμός στο σύνολό του - γεννιέται η ευκαιρία να εκτελέσετε λαμπρό έργο.

55 ετών- ένα άτομο μπορεί να γίνει δημιουργός. Η τρίτη αρμονική κορυφή της ζωής: η σκέψη υποτάσσει τη δύναμη των συναισθημάτων.

Οι αριθμοί Fibonacci αναφέρονται στα στάδια της ανθρώπινης ανάπτυξης. Το αν ένα άτομο θα περάσει από αυτό το μονοπάτι χωρίς να σταματήσει εξαρτάται από τους γονείς και τους δασκάλους, το εκπαιδευτικό σύστημα και, στη συνέχεια - από τον εαυτό του και από το πώς ένα άτομο θα μάθει και θα ξεπεράσει τον εαυτό του.

Στο μονοπάτι της ζωής, ένα άτομο ανακαλύπτει 7 αντικείμενα σχέσης:

Από γενέθλια έως 2 χρόνια - ανακάλυψη του φυσικού και αντικειμενικού κόσμου του άμεσου περιβάλλοντος.

Από 2 έως 3 χρόνια - αυτο-ανακάλυψη: "Είμαι ο εαυτός μου".

Από 3 έως 5 ετών - ομιλία, ο ενεργός κόσμος των λέξεων, η αρμονία και το σύστημα "Εγώ - Εσύ".

Από 5 έως 8 ετών - ανακάλυψη του κόσμου των σκέψεων, των συναισθημάτων και των εικόνων των άλλων - το σύστημα "Εγώ - Εμείς".

Από 8 έως 13 ετών - ανακάλυψη του κόσμου των καθηκόντων και των προβλημάτων που λύθηκαν από τις ιδιοφυΐες και τα ταλέντα της ανθρωπότητας - το σύστημα "Εγώ - Πνευματικότητα".

Από 13 έως 21 ετών - η ανακάλυψη της ικανότητας να επιλύει ανεξάρτητα γνωστά προβλήματα, όταν οι σκέψεις, τα συναισθήματα και η φαντασία αρχίζουν να λειτουργούν ενεργά, προκύπτει το σύστημα "I - Noosphere".

Από 21 έως 34 ετών - ανακάλυψη της ικανότητας δημιουργίας ενός νέου κόσμου ή των θραυσμάτων του - επίγνωση της αυτο-αντίληψης "Είμαι ο Δημιουργός".

Η διαδρομή της ζωής έχει χωροχρονική δομή. Αποτελείται από ηλικία και μεμονωμένες φάσεις, που καθορίζονται από πολλές παραμέτρους ζωής. Ένα άτομο κυριαρχεί, ως ένα βαθμό, στις συνθήκες της ζωής του, γίνεται ο δημιουργός της ιστορίας του και ο δημιουργός της ιστορίας της κοινωνίας. Μια πραγματικά δημιουργική στάση ζωής, όμως, δεν εμφανίζεται αμέσως και ούτε καν σε κάθε άνθρωπο. Υπάρχουν γενετικές συνδέσεις μεταξύ των φάσεων της διαδρομής της ζωής, και αυτό καθορίζει τον φυσικό της χαρακτήρα. Από αυτό προκύπτει ότι, κατ' αρχήν, είναι δυνατό να προβλεφθεί η μελλοντική εξέλιξη με βάση τη γνώση σχετικά με τις πρώτες φάσεις της.

Οι αριθμοί Fibonacci στην αστρονομία

Από την ιστορία της αστρονομίας είναι γνωστό ότι ο I. Titius, Γερμανός αστρονόμος του 18ου αιώνα, χρησιμοποιώντας τη σειρά Fibonacci, βρήκε ένα μοτίβο και μια τάξη στις αποστάσεις μεταξύ των πλανητών του ηλιακού συστήματος. Αλλά μια περίπτωση φαινόταν να έρχεται σε αντίθεση με το νόμο: δεν υπήρχε πλανήτης μεταξύ του Άρη και του Δία. Αλλά μετά τον θάνατο του Τίτιου στις αρχές του 19ου αιώνα. Η συγκεντρωμένη παρατήρηση αυτού του τμήματος του ουρανού οδήγησε στην ανακάλυψη της ζώνης των αστεροειδών.

συμπέρασμα

Κατά τη διάρκεια της έρευνας, ανακάλυψα ότι οι αριθμοί Fibonacci χρησιμοποιούνται ευρέως στην τεχνική ανάλυση των τιμών των μετοχών. Ένας από τους απλούστερους τρόπους για να χρησιμοποιήσετε τους αριθμούς Fibonacci στην πράξη είναι να καθορίσετε τα χρονικά διαστήματα μετά τα οποία θα συμβεί ένα συγκεκριμένο γεγονός, για παράδειγμα, μια αλλαγή τιμής. Ο αναλυτής μετράει έναν ορισμένο αριθμό ημερών ή εβδομάδων Fibonacci (13,21,34,55 κ.λπ.) από το προηγούμενο παρόμοιο γεγονός και κάνει μια πρόβλεψη. Αλλά αυτό είναι ακόμα πολύ δύσκολο για μένα να το καταλάβω. Αν και ο Φιμπονάτσι ήταν ο μεγαλύτερος μαθηματικός του Μεσαίωνα, τα μόνα μνημεία του Φιμπονάτσι είναι ένα άγαλμα μπροστά από τον Πύργο της Πίζας και δύο δρόμοι που φέρουν το όνομά του: ο ένας στην Πίζα και ο άλλος στη Φλωρεντία. Κι όμως, σε σχέση με όλα όσα έχω δει και διαβάσει, προκύπτουν φυσιολογικά ερωτήματα. Από πού προήλθαν αυτοί οι αριθμοί; Ποιος είναι αυτός ο αρχιτέκτονας του σύμπαντος που προσπάθησε να το κάνει ιδανικό; Τι θα ακολουθήσει; Αφού βρείτε την απάντηση σε μια ερώτηση, θα λάβετε την επόμενη. Αν το λύσετε, θα πάρετε δύο νέα. Μόλις τα αντιμετωπίσετε, θα εμφανιστούν άλλα τρία. Έχοντας λύσει και αυτά, θα έχετε πέντε άλυτα. Μετά οκτώ, δεκατρείς κ.λπ. Μην ξεχνάτε ότι δύο χέρια έχουν πέντε δάχτυλα, τα δύο από τα οποία αποτελούνται από δύο φάλαγγες και οκτώ από τρία.

Βιβλιογραφία:

Voloshinov A.V. «Μαθηματικά και Τέχνη», Μ., Εκπαίδευση, 1992.

Vorobyov N.N. “Fibonacci Numbers”, M., Nauka, 1984.

Stakhov A.P. «The Da Vinci Code and the Fibonacci Series», μορφή St. Petersburg, 2006

F. Corvalan «The Golden Ratio. Μαθηματική γλώσσα της ομορφιάς», M., De Agostini, 2014.

Maksimenko S.D. «Ευαίσθητες περίοδοι ζωής και οι κώδικές τους».

«Αριθμοί Fibonacci». Βικιπαίδεια