مختصات انتهای بخش. توسعه درس: «معرفی مختصات دکارتی در فضا

• مختصات نقطه وسط قطعه.

اهداف درس

• افق مفاهیم خود را گسترش دهید.
• با تعاریف جدید آشنا شوید و برخی را که قبلاً مطالعه کرده اید به خاطر بسپارید.
• یاد بگیرید که در هنگام حل مسائل از خصوصیات اشکال استفاده کنید.
• رشدی - برای توسعه توجه دانش آموزان، پشتکار، پشتکار، تفکر منطقی، گفتار ریاضی.
• آموزشی - از طریق درس، نگرش توجه نسبت به یکدیگر را پرورش دهید، توانایی گوش دادن به رفقا، کمک متقابل و استقلال را القا کنید.

اهداف درس

• مهارت حل مسئله دانش آموزان را آزمایش کنید.

طرح درس

1. معرفی.
2. تکرار مطالبی که قبلا مطالعه شده است.
3. مختصات نقطه وسط قطعه.
4. مشکلات منطقی

معرفی

قبل از رفتن به مطالب مربوط به خود موضوع، می خواهم کمی در مورد یک بخش نه تنها به عنوان یک تعریف ریاضی صحبت کنم. بسیاری از دانشمندان تلاش کرده اند به بخش متفاوت نگاه کنید، چیز غیرعادی در او دید. برخی با استعداد هنرمندانی که اشکال هندسی می‌سازند، حال و هوا و احساسات را منتقل می‌کنند.

نظریه های زیادی در مورد اینکه رنگ چگونه بر خلق و خوی ما تأثیر می گذارد و چرا وجود دارد.

رنگ را می توان احساس کرد و ارتباط نزدیکی با احساسات ما دارد. رنگ طبیعت، معماری، گیاهان، لباسی که ما را احاطه کرده است به تدریج بر روحیه ما تأثیر می گذارد.

به گفته متخصصان، رنگ ها می توانند روی افراد تأثیر بگذارند.

• قرمزرنگ می تواند روحیه شما را بالا ببرد و به شما قدرت بدهد.
• رنگ صورتیرنگ نماد صلح و آرامش است.
• نارنجیرنگی گرم و بی قرار است که انرژی می دهد و روحیه را بالا می برد.
• در امپراتوری چین رنگ زردچنان رنگ مقدسی در نظر گرفته می شد که فقط امپراتور می توانست لباس زرد بپوشد. مصریان و مایاها زرد را رنگ خورشید می دانستند و به قدرت حفظ حیات آن احترام می گذاشتند. گل‌های زرد می‌توانند در مواقعی که احساس خوبی ندارید، نیرو و شادی به ارمغان بیاورند.
• سبز- رنگ شفابخش باعث ایجاد احساس تعادل و هماهنگی می شود.
• آبیخلاقیت را افزایش می دهد.
• بنفش- رنگ تفکر، معنویت و آرامش. با شهود و مراقبت از دیگران همراه است.
• سفیدمعمولا رنگ پاکی و معصومیت در نظر گرفته می شود. همچنین با الهام، بینش، معنویت و عشق همراه است.

اما افراد زیادی هستند و نظرات بسیار زیادی وجود دارد. هر کس حقیقت خود را دارد.

همچنین یک نظریه جالب در مورد نحوه اتصال آن وجود دارد شکل یک خط یا قطعه با کاراکتر آن.

شکل، مانند رنگ، ویژگی یک شی است. فرم- اینها خطوط بیرونی یک شی قابل مشاهده است که جنبه های فضایی آن را منعکس می کند (فرم، ترجمه از لاتین - ظاهر خارجی). هر چیزی که ما را احاطه کرده است شکل خاصی دارد. درک و به تصویر کشیدن ساختار ساختاری و محتوای معنایی آن وظیفه هنرمند است. و ما به عنوان بیننده باید بتوانیم تصویر را بخوانیم، ماهیت و معنای اشکال مختلف را رمزگشایی کنیم. روی یک ورق کاغذ و صفحه کامپیوتر، با بسته شدن یک خط، شکلی تشکیل می شود. بنابراین، ماهیت فرم بستگی به ماهیت خطی دارد که توسط آن تشکیل شده است.

کدام یک از این خطوط می تواند بیانگر آرامش، خشم، بی تفاوتی، هیجان، شادی باشد؟

در این مورد نمی توان پاسخ روشنی داشت. به عنوان مثال، یک خط خاردار می تواند خشم، خوشحالی یا شادی وحشی را در مرز بی پروایی بیان کند.

چه حالت یا احساسی با هر یک از این خطوط مطابقت دارد؟

چگونه یک فرم به ماهیت خطی که توسط آن تشکیل می شود بستگی دارد؟

تکرار مطالبی که قبلا مطالعه شده است

در فضای

دو نقطه دلخواه A1 (x 1 ;y 1 ;z 1) و A2 (x 2 ;y 2 ;z 2) وجود دارد. سپس نقطه وسط قطعه A1A2 نقطه خواهد بود بابا مختصات x، y، z، جایی که

تقسیم یک بخش در یک نسبت معین

اگر x 1 و y 1 مختصات نقطه A و x 2 و y 2 مختصات نقطه B باشند، آنگاه مختصات x و y نقطه C که قطعه AB را نسبت به تقسیم می کند با فرمول تعیین می شود.

مساحت یک مثلث بر اساس مختصات شناخته شده رئوس آن A(x 1، y 1)، B(x 2، y 2)، C(x 3، y 3) با فرمول محاسبه می شود.

عدد به دست آمده با استفاده از این فرمول باید به صورت قدر مطلق در نظر گرفته شود.

مثال شماره 1

نقطه وسط قطعه AB را پیدا کنید.

پاسخ:مختصات وسط پاره عبارتند از (1.5;2)

مثال شماره 2.

نقطه وسط قطعه AB را پیدا کنید.

پاسخ:مختصات وسط قطعه برابر است با (21;0)

مثال شماره 3.

مختصات نقطه C را در صورت AC=5.5 و CB=19.5 بیابید.

A(1;7)، B(43;-4)

پاسخ:مختصات نقطه C(10.24;4.58)

وظایف

وظیفه شماره 1

نقطه میانی بخش DB را پیدا کنید.

وظیفه شماره 2.

وسط سی دی قطعه را پیدا کنید.

مجسمه ها چگونه ساخته می شوند.

در مورد بسیاری از مجسمه سازان مشهور گفته می شود که وقتی از آنها پرسیده شد که چگونه می توانند چنین مجسمه های شگفت انگیزی بسازند، پاسخ این بود: "من یک قطعه سنگ مرمر را برمی دارم و هر چیز غیر ضروری را از آن جدا می کنم." این را می توانید در کتاب های مختلف درباره میکل آنژ، درباره توروالدسن، درباره رودن بخوانید.

به همین ترتیب، می توانید هر شکل هندسی مسطح محدودی را بدست آورید: باید مربعی را که در آن قرار دارد بردارید و سپس تمام موارد غیر ضروری را قطع کنید. با این حال، لازم است که نه بلافاصله، بلکه به تدریج، در هر مرحله یک قطعه به شکل دایره را دور بریزید. در این حالت خود دایره دور ریخته می شود و مرز آن - دایره - در شکل باقی می ماند.

در نگاه اول به نظر می رسد که از این طریق فقط می توان ارقامی از نوع خاصی را به دست آورد. اما نکته اصلی این است که آنها نه یک یا دو دایره، بلکه یک نامتناهی، یا دقیق تر، مجموعه ای از دایره های قابل شمارش را کنار می گذارند. به این ترتیب می توانید هر رقمی را بدست آورید. برای قانع شدن در این مورد، کافی است در نظر بگیریم که مجموعه دایره هایی که شعاع و هر دو مختصات مرکز برای آنها منطقی است، قابل شمارش است.

و حالا برای به دست آوردن هر شکل کافی است مربع حاوی آن (یک بلوک سنگ مرمر) را برداریم و تمام دایره هایی از نوع بالا را که حاوی یک نقطه از شکل مورد نیاز ما نیستند، بکشیم. اگر دایره ها را نه از یک مربع، بلکه از کل صفحه پرتاب کنید، با استفاده از تکنیک توصیف شده می توانید ارقام نامحدودی به دست آورید.

سوالات

1. سگمنت چیست؟
   
2. بخش از چه چیزی تشکیل شده است؟
3. چگونه می توان نقطه میانی یک قطعه را پیدا کرد؟

فهرست منابع استفاده شده

1. Kuznetsov A.V.، معلم ریاضیات (کلاس 5-9)، کیف
2. “آزمون یکپارچه دولتی 2006. ریاضیات. مواد آموزشی و آموزشی برای آماده سازی دانش آموزان / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. Mazur K. I. "حل مسائل اصلی مسابقه در ریاضیات مجموعه ویرایش شده توسط M. I. Skanavi"
4. L. S. Atanasyan، V. F. Butuzov، S. B. Kadomtsev، E. G. Poznyak، I. I. Yudina "هندسه، 7-9: کتاب درسی برای موسسات آموزشی"

روی درس کار کردیم

Kuznetsov A.V.

پوتورناک اس.ا.

تاتیانا پروسنیاکوا

معرفی مختصات دکارتی در فضا. فاصله بین نقاط مختصات نقطه وسط قطعه.

اهداف درس:

آموزشی: مفهوم سیستم مختصات و مختصات یک نقطه در فضا را در نظر بگیرید. فرمول فاصله را در مختصات بدست آورید. فرمول مختصات نقطه وسط پاره را بدست آورید.

آموزشی: توسعه تخیل فضایی دانش آموزان؛ به توسعه حل مسئله و توسعه تفکر منطقی دانش آموزان کمک می کند.

آموزشی: پرورش فعالیت های شناختی، احساس مسئولیت، فرهنگ ارتباط، فرهنگ گفتگو.

تجهیزات: لوازم طراحی، ارائه، مرکز طراحی دیجیتال

نوع درس: درس یادگیری مطالب جدید

ساختار درس:

زمان سازماندهی

به روز رسانی دانش پایه

یادگیری مطالب جدید.

به روز رسانی دانش جدید

خلاصه درس.

در طول کلاس ها

پیامی از تاریخ" سیستم مختصات دکارتی"(یادگیرنده)

هنگام حل یک مسئله هندسی، فیزیکی، شیمیایی، می توانید از سیستم های مختصات مختلفی استفاده کنید: مستطیل، قطبی، استوانه ای، کروی.

در دوره آموزش عمومی سیستم مختصات مستطیلی در هواپیما و در فضا مورد بررسی قرار می گیرد. در غیر این صورت، به نام رنه دکارت، فیلسوف دانشمند فرانسوی (1596 - 1650)، که اولین مختصات را وارد هندسه کرد، به آن سیستم مختصات دکارتی می گویند.

(داستان دانش آموز در مورد رنه دکارت.)

رنه دکارت در سال 1596 در شهر لاه در جنوب فرانسه در خانواده ای اصیل به دنیا آمد. پدرم می خواست رنه را افسر کند. برای این کار در سال 1613 رنه را به پاریس فرستاد. دکارت مجبور شد سال‌های زیادی را در ارتش سپری کند و در لشکرکشی‌های هلند، آلمان، مجارستان، جمهوری چک، ایتالیا و در محاصره قلعه هوگنوتی لاروشالی شرکت کند. اما رنه به فلسفه، فیزیک و ریاضیات علاقه داشت. به زودی پس از ورود خود به پاریس، او با شاگرد ویتا، ریاضیدان برجسته آن زمان - مرسن، و سپس دیگر ریاضیدانان در فرانسه آشنا شد. دکارت زمانی که در ارتش بود تمام اوقات فراغت خود را به ریاضیات اختصاص داد. او جبر آلمانی و ریاضیات فرانسوی و یونانی خواند.

پس از تصرف لاروشالی در سال 1628، دکارت ارتش را ترک کرد. او برای اجرای برنامه های گسترده خود برای کارهای علمی، زندگی انفرادی دارد.

دکارت بزرگترین فیلسوف و ریاضیدان زمان خود بود. معروف ترین اثر دکارت هندسه اوست. دکارت سیستم مختصاتی را معرفی کرد که امروزه همه از آن استفاده می کنند. او تناظری بین اعداد و پاره خط برقرار کرد و بدین ترتیب روش جبری را وارد هندسه کرد. این اکتشافات دکارت انگیزه زیادی به توسعه هندسه و سایر شاخه های ریاضیات و اپتیک داد. به تصویر کشیدن وابستگی کمیت ها به صورت گرافیکی به صفحه مختصات، اعداد - به عنوان بخش، و انجام عملیات حسابی بر روی قطعات و سایر کمیت های هندسی و همچنین توابع مختلف امکان پذیر شد. این یک روش کاملاً جدید بود که با زیبایی، ظرافت و سادگی متمایز می شد.

تکرار. سیستم مختصات مستطیلی در یک هواپیما.

سوالات:

سیستم مختصات در هواپیما به چه چیزی گفته می شود؟

مختصات یک نقطه در صفحه چگونه تعیین می شود؟

مختصات مبدا چیست؟

فرمول مختصات نقطه وسط یک پاره و فاصله بین نقاط یک صفحه چیست؟

یادگیری مطالب جدید:

یک سیستم مختصات مستطیلی در فضا، سه خط مختصات متقابل عمود بر هم با مبدأ مشترک است. مبدا مشترک با حرف مشخص می شودO.

اوه - محور آبسیسا،

Oy – محور رده‌بندی،

در بارهz- محور اعمال

سه هواپیما که از محورهای مختصات Ox و Oy، Oy و O عبور می کنندz، در بارهzو Ox را صفحات مختصات می گویند: Oxy، Oyz، در بارهzایکس.

در یک سیستم مختصات مستطیلی، هر نقطه M در فضا با سه عدد اعداد - مختصات آن مرتبط است.

M(x,y,z) که در آن x ابسیسا است، y مختصات است،z- اعمال کنید

سیستم مختصات در فضا

مختصات نقطه

فاصله بین نقاط

1 (ایکس 1 ;y 1 ;z 1 ) و A 2 (ایکس 2 ;y 2 ;z 2 )

سپس فاصله بین نقاط A 1 و A 2 به این صورت محاسبه می شود:

مختصات نقطه میانی قطعه در فضا

دو نقطه دلخواه A وجود دارد 1 (ایکس 1 ;y 1 ;z 1 ) و A 2 (ایکس 2 ;y 2 ;z 2 ). سپس نقطه وسط قطعه A 1 آ 2 یک نقطه C با مختصات x، y، z، که در آن وجود خواهد داشت

کسب مهارت حل:

1) مختصات برآمدگی های متعامد نقاط را بیابیدآ (1، 3، 4) و

ب (5، -6، 2) به:

یک هواپیمااکسی ; ب) هواپیمااویز ; ج) محورگاو نر ; د) محوراوز .

پاسخ: الف) (1، 3، 0)، (5، -6، 0); ب) (0، 3، 4)، (0، -6، 2); ج) (1، 0، 0)، (5، 0، 0)؛

د) (0، 0، 4)، (0، 0، 2).

2) نقطه در چه فاصله ای قرار داردآ (1، -2، 3) از صفحه مختصات:

آ)اکسی ; ب)Oxz ; V)اویز ?

پاسخ: الف) 3; ب) 2; در 1

3) مختصات وسط پاره را پیدا کنید:

آ)AB ، اگرآ (1، 2، 3) وب (-1، 0، 1); ب)سی دی ، اگرسی (3، 3، 0) وD (3, -1, 2).

پاسخ: الف) (1، 1، 2); ب) (3، 1، 1).

5. تکالیف: کتاب درسی A.V. Pogorelov "هندسه 10-11" ص 23 - 25، ص 53 پاسخ سوالات شماره 1 - 3. №7, №10(1)

6. خلاصه درس.

جدول

روی سطح

در فضای

تعریف. سیستم مختصات مجموعه ای از دو محور مختصات متقاطع است، نقطه ای که این محورها در آن تلاقی می کنند - مبدا - و بخش های واحد در هر یک از محورها.

تعریف. یک سیستم مختصات مجموعه ای از سه محور مختصات است، نقطه ای که این محورها در آن تلاقی می کنند - مبدا مختصات - و بخش های واحد در هر یک از محورها.

2 محور،

OU - محور ارتین،

OX - محور آبسیسا

3 محور،

محور OX - آبسیسا،

OU – محور ارتین،

OZ - محور اپلیکاتور.

OX عمود بر OA است

OX عمود بر OU است،

OX عمود بر OZ است،

Op-amp عمود بر OZ است

(O;O)

(OOO)

جهت، تک بخش

فاصله بین نقاط

فاصله بین نقاط

مختصات نقطه وسط قطعه.

مختصات نقطه وسط قطعه

سوالات:

سیستم مختصات دکارتی چگونه معرفی می شود؟ از چه چیزی تشکیل شده است؟

مختصات یک نقطه در فضا چگونه تعیین می شود؟

مختصات نقطه تقاطع محورهای مختصات چقدر است؟

فاصله مبدا تا نقطه معین چقدر است؟

فرمول مختصات وسط یک پاره و فاصله بین نقاط در فضا چیست؟

ارزیابی دانش آموز

7. انعکاس

در درس

متوجه شدم…

یاد گرفتم…

خوشم می آید…

به نظرم سخت بود...

حالت من…

ادبیات.

A.V. پوگورلوف. کتاب درسی 10-11. M. "روشنگری"، 2010.

است. پتراکوف باشگاه های ریاضی در پایه های 8-10. م، "روشنگری"، 1987

یک گروه کامل از وظایف (شامل انواع مشکلات امتحانی) در ارتباط با صفحه مختصات وجود دارد. اینها مسائلی هستند که از ابتدایی‌ترین آنها را شامل می‌شود که به صورت شفاهی حل می‌شوند (تعیین مختصات یا انتزاعی یک نقطه معین، یا یک نقطه متقارن به یک نقطه معین، و موارد دیگر)، و به کارهایی ختم می‌شوند که نیاز به دانش، درک و درک باکیفیت دارند. مهارت های خوب (مشکلات مربوط به ضریب زاویه ای یک خط مستقیم).

به تدریج همه آنها را در نظر خواهیم گرفت. در این مقاله با اصول اولیه شروع می کنیم. اینها کارهای ساده ای برای تعیین هستند: آبسیسا و مختصات یک نقطه، طول یک پاره، نقطه میانی یک پاره، سینوس یا کسینوس شیب یک خط مستقیم.اکثر مردم علاقه ای به این کارها نخواهند داشت. اما بیان آنها را ضروری می دانم.

واقعیت این است که همه به مدرسه نمی روند. بسیاری از افراد 3 تا 4 سال یا بیشتر پس از فارغ التحصیلی در آزمون یکپارچه دولتی شرکت می کنند و به طور مبهم به یاد می آورند که ابسیسا و دستور العمل چیست. ما همچنین سایر وظایف مربوط به هواپیمای مختصات را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد، آن را از دست ندهید، در به روز رسانی وبلاگ مشترک شوید. اکنون nیک نظریه کوچک

بیایید نقطه A را در صفحه مختصات با مختصات x=6، y=3 بسازیم.

می گویند انتزاع نقطه الف برابر با شش است، ترتیب نقطه الف برابر با سه است.

به بیان ساده، محور ox محور آبسیسا است، محور y محور مختصات است.

یعنی ابسیسا نقطه ای در محور x است که نقطه ای در صفحه مختصات به آن داده می شود. مختصات نقطه ای در محور y است که نقطه مشخص شده به آن تابیده می شود.

طول یک قطعه در صفحه مختصات

فرمول تعیین طول یک قطعه در صورتی که مختصات انتهای آن مشخص باشد:

همانطور که می بینید، طول یک قطعه، طول هیپوتانوس در یک مثلث قائم الزاویه با پاهای مساوی است.

X B - X A و U B - U A

* * *

وسط بخش. مختصات او

فرمول یافتن مختصات نقطه میانی یک پاره:

معادله خطی که از دو نقطه داده شده می گذرد

فرمول معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد به شکل زیر است:

که در آن (x 1; y 1) و (x 2;y 2 ) مختصات نقاط داده شده.

با جایگزینی مقادیر مختصات به فرمول، به شکل زیر کاهش می یابد:

y = kx + b، که در آن k شیب خط است

هنگام حل گروه دیگری از مسائل مربوط به صفحه مختصات به این اطلاعات نیاز خواهیم داشت. مقاله ای در این مورد وجود خواهد داشت، آن را از دست ندهید!

چه چیز دیگری می توانید اضافه کنید؟

زاویه تمایل یک خط مستقیم (یا پاره) زاویه بین محور oX و این خط مستقیم است که از 0 تا 180 درجه متغیر است.

بیایید وظایف را در نظر بگیریم.

از نقطه (6;8) یک عمود بر روی محور ارتین انداخته می شود. ترتیب قاعده عمود را پیدا کنید.

قاعده عمود بر روی محور مختصات (0;8) خواهد بود. ترتیب برابر با هشت است.

جواب: 8

فاصله از نقطه را پیدا کنید آبا مختصات (6;8) به ترتیب.

فاصله نقطه A تا محور ارتجاعی برابر با آبسیسا نقطه A است.

پاسخ: 6.

آ(6;8) نسبت به محور گاو نر.

یک نقطه متقارن با نقطه A نسبت به محور oX دارای مختصات (6;– 8) است.

ترتیب برابر با منهای هشت است.

پاسخ: - 8

ترتیب یک نقطه متقارن با نقطه را پیدا کنید آ(6;8) نسبت به مبدأ.

یک نقطه متقارن با نقطه A نسبت به مبدا دارای مختصات (– 6;– 8) است.

ترتیب آن - 8 است.

پاسخ: -8

ابسیسا نقطه وسط قطعه اتصال دهنده نقاط را پیدا کنیدO(0;0) و آ(6;8).

برای حل مسئله باید مختصات وسط قطعه را پیدا کرد. مختصات انتهای قطعه ما (0;0) و (6;8) است.

ما با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم:

ما (3;4) گرفتیم. آبسیسا برابر با سه است.

جواب: 3

*آبسیسا وسط یک قطعه را می توان بدون محاسبه با استفاده از فرمول با ساختن این قطعه بر روی یک صفحه مختصات روی یک ورق کاغذ در مربع تعیین کرد. تعیین وسط بخش توسط سلول ها آسان خواهد بود.

ابسیسا نقطه وسط قطعه اتصال دهنده نقاط را پیدا کنید آ(6;8) و ب(–2;2).

برای حل مسئله باید مختصات وسط قطعه را پیدا کرد. مختصات انتهای بخش ما (2;2-) و (6;8) است.

ما با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم:

ما (2;5) گرفتیم. آبسیسا برابر با دو است.

جواب: 2

*آبسیسا وسط یک قطعه را می توان بدون محاسبه با استفاده از فرمول با ساختن این قطعه بر روی یک صفحه مختصات روی یک ورق کاغذ در مربع تعیین کرد.

طول پاره ای که نقاط (0;0) و (6;8) را به هم وصل می کند را بیابید.

طول قطعه در مختصات داده شده انتهای آن با فرمول محاسبه می شود:

در مورد ما O(0;0) و A(6;8) داریم. به معنای،

*ترتیب مختصات هنگام تفریق مهم نیست. می توانید انتزاع و ترتیب نقطه A را از ابسیسا و ترتیب نقطه O کم کنید:

جواب: 10

کسینوس شیب قطعه اتصال نقاط را پیدا کنید O(0;0) و آ(6;8)، با محور x.

زاویه تمایل یک قطعه، زاویه بین این قطعه و محور oX است.

از نقطه A عمود بر محور oX پایین می آوریم:

یعنی زاویه تمایل یک قطعه، زاویه استSAIدر مثلث قائم الزاویه ABO

کسینوس یک زاویه تند در مثلث قائم الزاویه است

نسبت پای مجاور به هیپوتانوز

ما باید هیپوتانوس را پیدا کنیمOA.

طبق قضیه فیثاغورث:در مثلث قائم الزاویه، مربع هیپوتنوس برابر است با مجموع مربع های پاها.

بنابراین کسینوس زاویه شیب 0.6 است

پاسخ: 0.6

از نقطه (6;8) یک عمود بر روی محور آبسیسا انداخته می شود. آبسیسا قاعده عمود را پیدا کنید.

یک خط مستقیم به موازات محور آبسیسا از طریق نقطه (6;8) کشیده شده است. ترتیب نقطه تلاقی آن با محور را پیدا کنید OU.

فاصله از نقطه را پیدا کنید آبا مختصات (6;8) به محور آبسیسا.

فاصله از نقطه را پیدا کنید آبا مختصات (6;8) به مبدا.

فرض کنید A(X 1؛ y 1) و B(x 2؛ y 2) دو نقطه دلخواه و C (x؛ y) نقطه وسط قطعه AB باشد. بیایید مختصات x، y نقطه C را پیدا کنیم.

اجازه دهید ابتدا موردی را در نظر بگیریم که قطعه AB با محور y موازی نباشد، یعنی X 1 X 2. اجازه دهید خطوط مستقیم را از طریق نقاط A، B، C، موازی با محور y رسم کنیم (شکل 173). آنها محور x را در نقاط A 1 (X 1; 0)، B 1 (X 2; 0)، C 1 (x; 0) قطع می کنند. بر اساس قضیه تالس، نقطه C 1 نقطه وسط قطعه A 1 B 1 خواهد بود.

از آنجایی که نقطه C 1 وسط بخش AiBi است، پس A 1 C 1 = B 1 C 1 است که به معنی Ix - X 1 I = Ix - X 2 I است. نتیجه می شود که یا x - x 1 = x - x 2 ، یا (x - x 1) = -(x-x 2).
تساوی اول غیرممکن است، زیرا x 1 x 2. بنابراین مورد دوم درست است. و از این فرمول بدست می آوریم

اگر x 1 = x 2، یعنی قطعه AB با محور y موازی باشد، هر سه نقطه A 1، B 1، C 1 دارای آبسیس یکسان هستند. این بدان معنی است که فرمول در این مورد درست باقی می ماند.
ترتیب نقطه C نیز به همین ترتیب یافت می شود. از طریق نقاط A، B، C، خطوط مستقیم به موازات محور x رسم می شوند. فرمول معلوم می شود

مسئله (15). سه راس متوازی الاضلاع ABCD داده می شود: A (1; 0)، B (2; 3)، C (3; 2). مختصات راس چهارم D و نقاط تقاطع قطرها را بیابید.

راه حل. نقطه تلاقی مورب ها نقطه وسط هر یک از آنهاست. بنابراین، نقطه میانی قطعه AC است، به این معنی که دارای مختصات است

حال با دانستن مختصات نقطه تقاطع مورب ها مختصات x و y راس چهارم D را می یابیم. با استفاده از این که نقطه تلاقی مورب ها نقطه وسط قطعه BD است، داریم:

A. V. Pogorelov، هندسه برای کلاس های 7-11، کتاب درسی برای موسسات آموزشی

پس از کار پر زحمت، ناگهان متوجه شدم که اندازه صفحات وب بسیار بزرگ است، و اگر همه چیز به همین منوال ادامه پیدا کند، می توانم بی سر و صدا وحشی شوم =) بنابراین، یک مقاله کوتاه به یک مسئله هندسی بسیار رایج اختصاص داده شده است - در مورد تقسیم بندی در این زمینهو به عنوان یک مورد خاص در مورد تقسیم یک بخش به نصف.

به هر دلیلی، این وظیفه در دروس دیگر نمی گنجید، اما اکنون فرصتی عالی برای در نظر گرفتن جزئیات و با آرامش آن وجود دارد. خبر خوب این است که ما از بردارها فاصله می گیریم و روی نقاط و بخش ها تمرکز می کنیم.

فرمول های تقسیم بندی در این رابطه

مفهوم تقسیم بندی در این رابطه

اغلب نیازی نیست که اصلاً منتظر چیزی باشید که وعده داده شده است؛ بیایید فوراً به چند نکته و بدیهی است که باورنکردنی آن را بررسی کنیم:

مسئله مورد بررسی هم برای بخش هایی از صفحه و هم برای بخش هایی از فضا معتبر است. یعنی قطعه نمایشی را می توان به دلخواه در یک هواپیما یا در فضا قرار داد. برای سهولت در توضیح آن را به صورت افقی کشیدم.

با این بخش چه کنیم؟ این بار برای برش. یکی در حال کاهش بودجه است، یکی در حال قطع کردن همسر، یکی در حال بریدن هیزم است و ما شروع به تقسیم این بخش به دو قسمت می کنیم. بخش با استفاده از یک نقطه خاص به دو قسمت تقسیم می شود که البته مستقیماً روی آن قرار دارد:

در این مثال، نقطه قطعه را به گونه ای تقسیم می کند که طول آن نصف قطعه باشد. همچنین می‌توانید بگویید که یک نقطه یک بخش را به نسبت ("یک به دو") تقسیم می‌کند، که از رأس شمارش می‌کند.

در زبان خشک ریاضی این واقعیت به صورت زیر نوشته می شود: یا بیشتر به صورت نسبت معمول: . نسبت بخش ها معمولا با حرف یونانی "لامبدا" نشان داده می شود، در این مورد: .

به راحتی می توان نسبت را به ترتیب متفاوتی نوشت: - این نماد به این معنی است که طول قطعه دو برابر قطعه است، اما این هیچ اهمیت اساسی برای حل مسائل ندارد. می تواند این گونه باشد، یا می تواند این گونه باشد.

البته، بخش را می توان به راحتی از جنبه های دیگر تقسیم کرد و برای تقویت مفهوم، مثال دوم:

در اینجا نسبت زیر معتبر است: . اگر نسبت را برعکس کنیم، به دست می آید: .

بعد از اینکه فهمیدیم تقسیم یک بخش از این نظر به چه معناست، به بررسی مشکلات عملی می‌رویم.

اگر دو نقطه از صفحه مشخص باشد، مختصات نقطه ای که بخش را نسبت به آن تقسیم می کند با فرمول های زیر بیان می شود:

این فرمول ها از کجا آمده اند؟ در دوره هندسه تحلیلی، این فرمول ها دقیقاً با استفاده از بردارها مشتق می شوند (بدون آنها کجا خواهیم بود؟ =)). علاوه بر این، آنها نه تنها برای سیستم مختصات دکارتی، بلکه برای یک سیستم مختصات وابسته دلخواه نیز معتبر هستند (به درس مراجعه کنید وابستگی خطی (غیر) بردارها. اساس بردارها). این یک وظیفه جهانی است.

مثال 1

در صورت مشخص بودن نقاط، مختصات نقطه تقسیم بخش را در رابطه بیابید

راه حل: در این مشکل با استفاده از فرمول های تقسیم بخش در این رابطه، به این نکته پی می بریم:

پاسخ:

به تکنیک محاسبه توجه کنید: ابتدا باید صورت و مخرج را جداگانه محاسبه کنید. نتیجه اغلب (اما نه همیشه) یک کسری سه یا چهار طبقه است. پس از این، از ساختار چند طبقه کسری خلاص می شویم و ساده سازی های نهایی را انجام می دهیم.

این کار نیازی به طراحی ندارد، اما انجام آن به صورت پیش نویس همیشه مفید است:

در واقع، رابطه ارضا می شود، یعنی قطعه سه برابر کوتاهتر از بخش است. اگر نسبت واضح نباشد، آنگاه می توان بخش ها را همیشه به طرز احمقانه ای با یک خط کش معمولی اندازه گیری کرد.

به همان اندازه ارزشمند است راه حل دوم: در آن شمارش معکوس از یک نقطه شروع می شود و رابطه زیر منصفانه است: (به زبان انسان، یک قطعه سه برابر یک قطعه است). طبق فرمول های تقسیم یک بخش از این نظر:

پاسخ:

لطفاً توجه داشته باشید که در فرمول ها لازم است مختصات نقطه را به مکان اول منتقل کنید ، زیرا تریلر کوچک با آن شروع شد.

همچنین واضح است که روش دوم به دلیل محاسبات ساده تر، منطقی تر است. اما هنوز، این مشکل اغلب به روش "سنتی" حل می شود. به عنوان مثال، اگر طبق شرط یک بخش داده شود، فرض می شود که شما یک نسبت را تشکیل می دهید، اگر یک بخش داده شود، آنگاه نسبت به طور ضمنی گفته می شود.

و من روش دوم را به این دلیل ارائه کردم که اغلب آنها سعی می کنند عمداً شرایط مشکل را اشتباه بگیرند. به همین دلیل است که انجام یک نقشه خام به منظور اولاً تجزیه و تحلیل صحیح شرایط و ثانیاً برای اهداف تأیید بسیار مهم است. حیف است در چنین کار ساده ای اشتباه کنید.

مثال 2

امتیاز داده می شود . پیدا کردن:

الف) نقطه ای که بخش را نسبت به ;
ب) نقطه ای که بخش را نسبت به .

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

گاهی اوقات مشکلاتی وجود دارد که یکی از انتهای بخش ناشناخته است:

مثال 3

نقطه متعلق به بخش است. مشخص است که طول یک قطعه دو برابر یک قطعه است. نقطه اگر .

راه حل: از شرط نتیجه می شود که نقطه با شمارش از راس، قطعه را در نسبت تقسیم می کند، یعنی نسبت معتبر است: . طبق فرمول های تقسیم یک بخش از این نظر:

اکنون مختصات نقطه : را نمی دانیم، اما این مشکل خاصی نیست، زیرا می توان آنها را به راحتی از فرمول های بالا بیان کرد. بیان آن به صورت کلی هزینه ای ندارد؛ جایگزین کردن اعداد خاص و محاسبه دقیق محاسبات بسیار ساده تر است:

پاسخ:

برای بررسی، می‌توانید انتهای بخش را بگیرید و با استفاده از فرمول‌ها به ترتیب مستقیم، مطمئن شوید که رابطه واقعاً به یک نقطه منجر می‌شود. و، البته، البته، یک نقاشی اضافی نخواهد بود. و برای اینکه در نهایت شما را در مورد مزایای یک دفترچه شطرنجی، یک مداد ساده و یک خط کش متقاعد کنم، یک مشکل پیچیده را برای شما پیشنهاد می کنم که خودتان آن را حل کنید:

مثال 4

نقطه . بخش یک و نیم برابر کوتاهتر از بخش است. اگر مختصات نقاط مشخص باشد نقطه ای را پیدا کنید .

راه حل در پایان درس است. ضمناً این تنها نیست، اگر مسیری متفاوت از نمونه را دنبال کنید، اشتباه نمی شود، نکته اصلی این است که پاسخ ها مطابقت داشته باشند.

برای بخش های فضایی همه چیز دقیقاً یکسان خواهد بود، فقط یک مختصات دیگر اضافه می شود.

اگر دو نقطه در فضا مشخص باشد، مختصات نقطه ای که بخش را نسبت به آن تقسیم می کند با فرمول های زیر بیان می شود:
.

مثال 5

امتیاز داده می شود. مختصات یک نقطه متعلق به پاره را در صورت معلوم بودن آن بیابید .

راه حل: شرط دلالت بر رابطه دارد: . این مثال از یک آزمون واقعی گرفته شده است و نویسنده آن به خود اجازه می دهد کمی شوخی کند (در صورت تصادف) - منطقی تر بود که نسبت را در شرایط به این صورت بنویسید: .

طبق فرمول مختصات نقطه میانی قطعه:

پاسخ:

طراحی های سه بعدی برای اهداف بازرسی بسیار دشوارتر است. با این حال، همیشه می‌توانید یک نقشه شماتیک ایجاد کنید تا حداقل شرایط را درک کنید - کدام بخش‌ها باید با هم مرتبط شوند.

در مورد کسرها در پاسخ، تعجب نکنید، این یک چیز رایج است. بارها گفته ام، اما آن را تکرار می کنم: در ریاضیات بالاتر مرسوم است که از کسرهای معمولی و نامناسب استفاده می شود. پاسخ در فرم موجود است انجام خواهد شد، اما گزینه با کسرهای نامناسب استانداردتر است.

کار گرم کردن برای راه حل مستقل:

مثال 6

امتیاز داده می شود. مختصات نقطه را بیابید در صورتی که مشخص شود که بخش را در نسبت تقسیم می کند.

راه حل و پاسخ در پایان درس است. اگر پیمایش نسبت ها دشوار است، یک نقشه شماتیک ایجاد کنید.

در کارهای مستقل و آزمایشی، نمونه های در نظر گرفته شده هم به تنهایی و هم به عنوان بخشی جدایی ناپذیر از کارهای بزرگتر یافت می شوند. از این نظر، مشکل یافتن مرکز ثقل مثلث معمولی است.

من در تجزیه و تحلیل نوع کار که در آن یکی از انتهای بخش ناشناخته است، اهمیت چندانی نمی بینم، زیرا همه چیز شبیه حالت مسطح خواهد بود، به جز اینکه محاسبات کمی بیشتر وجود دارد. بیایید سال های مدرسه خود را بهتر به یاد بیاوریم:

فرمول مختصات نقطه میانی یک قطعه

حتی خوانندگان آموزش ندیده نیز می توانند به یاد بیاورند که چگونه یک بخش را به نصف تقسیم کنند. مسئله تقسیم یک پاره به دو قسمت مساوی یک مورد خاص از تقسیم یک قطعه از این نظر است. اره دو دستی به دموکراتیک ترین روش کار می کند و هر همسایه پشت میز همان چوب را دریافت می کند:

در این ساعت بزرگ، طبل ها می کوبیدند و از نسبت قابل توجهی استقبال می کردند. و فرمول های کلی به طور معجزه آسایی به چیزی آشنا و ساده تبدیل شده است:

یک نکته راحت این واقعیت است که مختصات انتهای بخش را می توان بدون درد مرتب کرد:

در فرمول های کلی، چنین اتاق مجللی، همانطور که می دانید، کار نمی کند. و در اینجا نیاز خاصی به آن وجود ندارد، بنابراین یک چیز کوچک خوب است.

در مورد فضایی، یک قیاس آشکار وجود دارد. اگر انتهای یک قطعه داده شود، مختصات نقطه میانی آن با فرمول های زیر بیان می شود:

مثال 7

متوازی الاضلاع با مختصات رئوس آن تعریف می شود. نقطه تقاطع قطرهای آن را پیدا کنید.

راه حل: کسانی که تمایل دارند می توانند نقاشی را تکمیل کنند. من به خصوص گرافیتی را به کسانی که درس هندسه مدرسه خود را به کلی فراموش کرده اند توصیه می کنم.

با توجه به ویژگی معروف، قطرهای متوازی الاضلاع بر نقطه تقاطع آنها به نصف تقسیم می شوند، بنابراین مشکل را می توان به دو روش حل کرد.

روش یک: رئوس مخالف را در نظر بگیرید . با استفاده از فرمول های تقسیم یک قطعه به نصف، وسط قطر را پیدا می کنیم: