Hallottál már arról, hogy a matematikát „minden tudomány királynőjének” nevezik? Egyetértesz ezzel az állítással? Amíg a matematika unalmas feladatsor marad számodra egy tankönyvben, aligha tapasztalhatod meg ennek a tudománynak a szépségét, sokoldalúságát, sőt humorát.
De vannak olyan témák a matematikában, amelyek segítenek érdekes megfigyeléseket tenni a számunkra megszokott dolgokról és jelenségekről. És még az Univerzumunk létrejöttének rejtélyének fátylát is próbálja meg áthatolni. Vannak érdekes minták a világon, amelyek matematikával leírhatók.
A Fibonacci számok bemutatása
Fibonacci számok nevezd meg egy számsorozat elemeit. Ebben a sorozat minden következő számát a két előző szám összegzésével kapjuk.
Példasorozat: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…
Így írhatod:
F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2
Negatív értékekkel indíthat Fibonacci-számok sorozatát n. Ráadásul a sorozat ebben az esetben kétirányú (vagyis negatív és pozitív számokat takar), és mindkét irányban a végtelenbe hajlik.
Példa egy ilyen sorozatra: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.
A képlet ebben az esetben így néz ki:
F n = F n+1 - F n+2 vagy ezt teheted: F -n = (-1) n+1 Fn.
Amit ma „Fibonacci-számoknak” nevezünk, az ókori indiai matematikusok már jóval azelőtt ismerték, hogy Európában elkezdték volna használni. És ez a név általában egy folyamatos történelmi anekdota. Kezdjük azzal a ténnyel, hogy maga Fibonacci életében soha nem nevezte magát Fibonaccinak – ezt a nevet csak néhány évszázaddal halála után kezdték alkalmazni Pisai Leonardora. De beszéljünk mindent sorban.
Pisai Leonardo, más néven Fibonacci
Egy kereskedő fia, akiből matematikus lett, majd az utókor Európa első jelentős matematikusaként ismerték el a középkorban. Nem utolsósorban a Fibonacci-számoknak köszönhetően (amelyeket, emlékezzünk, még nem így hívták). Amelyet a 13. század elején írt le „Liber abaci” („Abakusz könyve”, 1202) című művében.
Apámmal utaztam keletre, Leonardo matematikát tanult arab tanárokkal (és akkoriban a legjobb szakemberek közé tartoztak ebben a kérdésben és sok más tudományban). Az ókor és az ókori India matematikusainak műveit olvasta arab fordításban.
Miután alaposan megértett mindent, amit olvasott, és saját kíváncsi elméjét használta, Fibonacci számos tudományos értekezést írt a matematikáról, köztük a fent említett „Abacus könyvet”. Ezen kívül létrehoztam:
- "Practica geometriae" ("A geometria gyakorlata", 1220);
- "Flos" ("Virág", 1225 - tanulmány a köbös egyenletekről);
- "Liber quadratorum" ("Négyzetek könyve", 1225 - problémák határozatlan másodfokú egyenletekkel).
Nagy rajongója volt a matematikai versenyeknek, ezért értekezéseiben nagy figyelmet fordított a különféle matematikai problémák elemzésére.
Nagyon kevés életrajzi adat maradt meg Leonardo életéről. Ami a Fibonacci nevet illeti, amellyel a matematika történetébe lépett, csak a XIX.
Fibonacci és problémái
Fibonacci után számos probléma maradt, amelyek a következő évszázadokban nagyon népszerűek voltak a matematikusok körében. Megnézzük a nyúlproblémát, amelyet Fibonacci számok segítségével oldanak meg.
A nyulak nemcsak értékes szőrme
Fibonacci a következő feltételeket szabta: van egy pár újszülött nyúl (hím és nőstény), olyan érdekes fajtából, hogy rendszeresen (a második hónaptól kezdve) hoz utódokat - mindig egy pár új nyúlat. Továbbá, ahogy sejtheti, egy hím és egy nőstény.
Ezek a feltételes nyulak zárt térben vannak elhelyezve, és lelkesedéssel szaporodnak. Azt is előírják, hogy egyetlen nyúl sem pusztul el valamilyen rejtélyes nyúlbetegségben.
Ki kell számolnunk, hány nyulat kapunk egy évben.
- 1 hónap elején van 1 pár nyúlunk. A hónap végén párosodnak.
- A második hónap - már van 2 pár nyulak (egy párnak vannak szülei + 1 pár az utóda).
- Harmadik hónap: Az első pár új párt szül, a második pár párosodik. Összesen - 3 pár nyúl.
- Negyedik hónap: Az első pár új párt szül, a második pár nem vesztegeti az időt, és új párat is szül, a harmadik pár még csak párosodik. Összesen - 5 pár nyúl.
A bent lévő nyulak száma n hónap = az előző hónap nyúlpárjainak száma + újszülött párok száma (annyi nyúlpár van, mint 2 hónappal korábban). És mindezt a fent már megadott képlet írja le: F n = F n-1 + F n-2.
Így kapunk egy ismétlődő (magyarázat kb rekurzió– lent) számsor. Ahol minden következő szám egyenlő az előző kettő összegével:
- 1 + 1 = 2
- 2 + 1 = 3
- 3 + 2 = 5
- 5 + 3 = 8
- 8 + 5 = 13
- 13 + 8 = 21
- 21 + 13 = 34
- 34 + 21 = 55
- 55 + 34 = 89
- 89 + 55 = 144
- 144 + 89 = 233
- 233+ 144 = 377 <…>
A sorozatot hosszan folytathatja: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. De mivel meghatározott időszakot - egy évet - határoztunk meg, a 12. „költözésen” kapott eredmény érdekel. Azok. A sorozat 13. tagja: 377.
A válasz a problémára: 377 nyulat kapunk, ha minden feltétel teljesül.
A Fibonacci-számsorozat egyik tulajdonsága nagyon érdekes. Ha egy sorozatból veszünk két egymást követő párt, és a nagyobb számot elosztjuk a kisebb számmal, az eredmény fokozatosan közeledik aranymetszés(erről később a cikkben olvashat).
Matematikai értelemben, "A kapcsolatok határa a n+1 Nak nek a n egyenlő az aranymetszés".
További számelméleti problémák
- Keress egy számot, amely osztható 7-tel. Ha elosztod 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal, a maradék egy lesz.
- Keresse meg a négyzetszámot. Ismeretes, hogy ha hozzáadunk 5-öt vagy kivonunk 5-öt, akkor ismét négyzetszámot kapunk.
Javasoljuk, hogy saját maga keressen választ ezekre a problémákra. A cikkhez fűzött megjegyzésekben megadhatja nekünk a lehetőségeit. És akkor megmondjuk, hogy helyesek voltak-e a számításai.
A rekurzió magyarázata
Rekurzió– egy objektum vagy folyamat meghatározása, leírása, képe, amely magát ezt az objektumot vagy folyamatot tartalmazza. Vagyis lényegében egy tárgy vagy folyamat önmaga része.
A rekurziót széles körben használják a matematikában és a számítástechnikában, sőt a művészetben és a populáris kultúrában is.
A Fibonacci-számok meghatározása ismétlődési reláció segítségével történik. Számért n>2 n- e szám egyenlő (n – 1) + (n – 2).
Az aranymetszés magyarázata
aranymetszés- egy egészet (például egy szegmenst) olyan részekre osztunk, amelyek a következő elv szerint kapcsolódnak egymáshoz: a nagyobb rész ugyanúgy kapcsolódik a kisebbhez, mint a teljes érték (például két szegmens összege) a nagyobb részhez.
Az aranymetszés első említése Eukleidésznél található az „Elemek” című értekezésében (kb. ie 300). Szabályos téglalap felépítésének keretében.
A számunkra ismerős kifejezést 1835-ben Martin Ohm német matematikus vezette be a forgalomba.
Ha az aranymetszetet hozzávetőlegesen írjuk le, akkor az arányos felosztást jelent két egyenlőtlen részre: körülbelül 62% és 38%. Számszerű értelemben az aranymetszés a szám 1,6180339887 .
Az aranymetszés gyakorlati alkalmazást talál a képzőművészetben (Leonardo da Vinci és más reneszánsz festők festményei), az építészetben, a moziban (S. Esenstein „Potemkin csatahajója”) és más területeken. Sokáig azt hitték, hogy az aranymetszés a legesztétikusabb arány. Ez a vélemény ma is népszerű. Bár a kutatási eredmények szerint vizuálisan a legtöbben nem ezt az arányt tartják a legsikeresebb lehetőségnek, és túlságosan elnyújtottnak (aránytalannak) tartják.
- Szakasz hossza Val vel = 1, A = 0,618, b = 0,382.
- Hozzáállás Val vel Nak nek A = 1, 618.
- Hozzáállás Val vel Nak nek b = 2,618
Most térjünk vissza a Fibonacci-számokhoz. Vegyünk két egymást követő tagot a sorozatából. Ossza el a nagyobb számot a kisebb számmal, és kap körülbelül 1,618-at. És most ugyanazt a nagyobb számot és a sorozat következő tagját használjuk (azaz még nagyobb számot) - arányuk 0,618 eleji.
Íme egy példa: 144, 233, 377.
233/144 = 1,618 és 233/377 = 0,618
Mellesleg, ha ugyanazt a kísérletet a sorozat elejétől kezdődő számokkal próbálja elvégezni (például 2, 3, 5), semmi sem fog működni. Majdnem. Az aranymetszés szabályát aligha követik a sorozat elején. De ahogy haladsz a sorozaton, és a számok nőnek, ez nagyszerűen működik.
És a Fibonacci-számok teljes sorozatának kiszámításához elegendő ismerni a sorozat három tagját, amelyek egymás után jönnek. Ezt saját szemeddel láthatod!
Arany téglalap és Fibonacci spirál
Egy másik érdekes párhuzam a Fibonacci-számok és az aranymetszés között az úgynevezett „arany téglalap”: oldalai 1,618:1 arányúak. De már tudjuk, mi az 1,618 szám, igaz?
Vegyük például a Fibonacci-sorozat két egymást követő tagját - 8-at és 13-at -, és készítsünk egy téglalapot a következő paraméterekkel: szélesség = 8, hosszúság = 13.
Ezután a nagy téglalapot kisebbekre osztjuk. Kötelező feltétel: a téglalapok oldalhosszának meg kell egyeznie a Fibonacci számokkal. Azok. A nagyobb téglalap oldalhosszának meg kell egyeznie a két kisebb téglalap oldalainak összegével.
Az ábrán látható módon (az egyszerűség kedvéért az ábrák latin betűkkel vannak aláírva).
A téglalapokat egyébként fordított sorrendben is elkészítheti. Azok. kezdje el az építést 1-es oldalú négyzetekkel. Amelyhez a fent leírt elv alapján a Fibonacci-számokkal egyenlő oldalú ábrákat kell kitölteni. Elméletileg ez a végtelenségig folytatható – elvégre a Fibonacci-sorozat formailag végtelen.
Ha az ábrán kapott téglalapok sarkait sima vonallal összekötjük, logaritmikus spirált kapunk. Illetve speciális esete a Fibonacci spirál. Különösen az a tény jellemzi, hogy nincsenek határai, és nem változtatja alakját.
Hasonló spirál gyakran megtalálható a természetben. A kagylóhéj az egyik legszembetűnőbb példa. Sőt, néhány galaxis, amely a Földről látható, spirális alakú. Ha odafigyel a tévében az időjárás-előrejelzésekre, akkor észrevehette, hogy a ciklonok hasonló spirál alakúak, ha műholdakról fényképezik őket.
Érdekes, hogy a DNS-spirál is engedelmeskedik az aranymetszet szabályának - a megfelelő mintázat látható a hajlítások intervallumában.
Az ilyen bámulatos „véletlenek” nem tehetik meg, hogy felizgatják az elméket, és arra adnak okot, hogy valami egyetlen algoritmusról beszéljenek, amelynek az Univerzum életében minden jelenség engedelmeskedik. Most már érted, miért hívják ezt a cikket így? És milyen csodálatos világokat nyithat meg előtted a matematika?
Fibonacci számok a természetben
A Fibonacci-számok és az aranymetszés kapcsolata érdekes mintákat sejtet. Annyira kíváncsi, hogy csábító a Fibonacci-számokhoz hasonló sorozatok keresése a természetben, sőt a történelmi események során is. És a természet valóban okot ad ilyen feltételezésekre. De vajon életünkben mindent meg lehet-e magyarázni és leírni matematikával?
Példák élőlényekre, amelyek leírhatók a Fibonacci-szekvenciával:
- a levelek (és ágak) elrendezése a növényekben - a köztük lévő távolságok korrelálnak a Fibonacci-számokkal (phyllotaxis);
- napraforgómagok elrendezése (a magvak két spirálsorban vannak elrendezve, amelyek különböző irányba csavarodnak: az egyik sor az óramutató járásával megegyező, a másik az óramutató járásával ellentétes irányban);
- fenyőtoboz pikkelyek elrendezése;
- virágszirom;
- ananász sejtek;
- az ujjak falánjai hosszának aránya az emberi kézen (körülbelül) stb.
Kombinatorikai problémák
A Fibonacci-számokat széles körben használják kombinatorikai feladatok megoldásában.
Kombinatorika a matematikának egy olyan ága, amely meghatározott számú elem kiválasztását vizsgálja egy kijelölt halmazból, felsorolásból stb.
Nézzünk példákat a középiskolai szintre tervezett kombinatorikai problémákra (forrás - http://www.problems.ru/).
1. feladat:
Lesha felmászik egy 10 lépcsős lépcsőn. Egyszerre felugrik egy vagy két lépést. Hányféleképpen tud Lesha felmászni a lépcsőn?
A lehetőségek száma, amelyekről Lesha fel tud mászni a lépcsőn n lépések, jelöljük és n. Ebből következik, hogy egy 1 = 1, a 2= 2 (végül is Lesha egy vagy két lépést ugrik).
Abban is megegyezés született, hogy Lesha felugrik a lépcsőn n> 2 lépések. Tegyük fel, hogy először ugrott két lépést. Ez azt jelenti, hogy a probléma körülményei szerint neki kell ugrani egy másikat n-2 lépések. Ezután a mászás teljesítésének számos módja a következőképpen van leírva a n–2. És ha feltételezzük, hogy amikor Lesha először csak egy lépést ugrott, akkor leírjuk a mászás befejezésének számos módját a n–1.
Innen a következő egyenlőséget kapjuk: a n = a n–1 + a n–2(ismerősnek tűnik, nem?).
Mióta tudjuk egy 1És a 2és ne feledje, hogy a probléma feltételei szerint 10 lépés van, számolja ki az összeset sorrendben és n: a 3 = 3, egy 4 = 5, egy 5 = 8, egy 6 = 13, a 7 = 21, egy 8 = 34, egy 9 = 55, egy 10 = 89.
Válasz: 89 módon.
2. feladat:
Meg kell találnia azoknak a 10 betűs szavaknak a számát, amelyek csak „a” és „b” betűkből állnak, és nem tartalmazhatnak két „b” betűt egymás után.
Jelöljük azzal a n szavak száma hossza n betűk, amelyek csak az „a” és „b” betűkből állnak, és nem tartalmaznak két „b” betűt egymás után. Eszközök, egy 1= 2, a 2= 3.
Sorban egy 1, a 2, <…>, a n minden következő tagját az előzőeken keresztül fogjuk kifejezni. Ezért a hosszúságú szavak száma az n azok a betűk, amelyek szintén nem tartalmaznak kettős „b” betűt, és „a” betűvel kezdődnek a n–1. És ha hosszú a szó n a betűk „b” betűvel kezdődnek, logikus, hogy egy ilyen szóban a következő betű „a” (elvégre nem lehet két „b” a probléma feltételei szerint). Ezért a hosszúságú szavak száma az n ebben az esetben a betűket jelöljük a n–2. Mind az első, mind a második esetben bármely szó (hosszúsága n – 1És n-2 betűket, illetve) dupla „b” nélkül.
Meg tudtuk indokolni, hogy miért a n = a n–1 + a n–2.
Most számoljunk a 3= a 2+ egy 1= 3 + 2 = 5, egy 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, egy 10= egy 9+ egy 8= 144. És megkapjuk az ismerős Fibonacci sorozatot.
Válasz: 144.
3. feladat:
Képzelje el, hogy van egy cellákra osztott szalag. Jobbra megy, és a végtelenségig tart. Helyezzen egy szöcskét a szalag első négyzetére. Bármelyik cellán is van a szalagon, csak jobbra mozoghat: vagy egy cellát, vagy kettőt. Hányféleképpen ugorhat egy szöcske a szalag elejétől a n-a sejtek?
Jelöljük a szöcske mozgatásának számos módját az öv mentén n-th sejtek, mint a n. Ebben az esetben egy 1 = a 2= 1. Benne is n+1 A szöcske a -edik cellába akár onnan is beléphet n-th cella, vagy átugorva rajta. Innen a n + 1 = a n – 1 + a n. Ahol a n = Fn – 1.
Válasz: Fn – 1.
Ön is létrehozhat hasonló problémákat, és megpróbálhatja megoldani őket a matematika órán az osztálytársaival.
Fibonacci számok a populáris kultúrában
Természetesen egy ilyen szokatlan jelenség, mint a Fibonacci-számok, nem vonhatja magára a figyelmet. Még mindig van valami vonzó, sőt titokzatos ebben a szigorúan ellenőrzött mintában. Nem meglepő, hogy a Fibonacci-szekvencia valahogy „megvilágosodott” a modern populáris kultúra számos művében, különféle műfajokban.
Ezek közül néhányról mesélünk. És megpróbálod újra keresni magad. Ha megtaláltad, oszd meg velünk kommentben – mi is kíváncsiak vagyunk!
- Fibonacci-számokat említ Dan Brown A Da Vinci-kód című bestseller: a Fibonacci-szekvencia a könyv főszereplői által használt kódként szolgál a széf kinyitásához.
- A 2009-es, Mr. Nobody című amerikai filmben az egyik epizódban egy ház címe a Fibonacci sorozat része - 12358. Ráadásul egy másik epizódban a főszereplőnek fel kell hívnia egy telefonszámot, amely lényegében ugyanaz, de kissé torz. (extra számjegy az 5-ös szám után) sorrend: 123-581-1321.
- A 2012-es „Kapcsolat” sorozatban a főszereplő, egy autista fiú képes felismerni a világban zajló események mintáit. Beleértve a Fibonacci-számokat is. És ezeket az eseményeket számokon keresztül is kezelheti.
- A Doom RPG mobiltelefonos java játék fejlesztői titkos ajtót helyeztek el az egyik pályán. A kód, amely megnyitja, a Fibonacci sorozat.
- 2012-ben az orosz Splin rockegyüttes kiadta az „Optical Deception” című konceptalbumot. A nyolcadik szám neve „Fibonacci”. A csoportvezető Alekszandr Vasziljev versei a Fibonacci-számok sorozatán játszanak. Mind a kilenc egymást követő taghoz megfelelő számú sor tartozik (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):
0 A vonat elindult
1 Az egyik ízület elpattant
1 Az egyik ujja remegett
2 Ez az, hozd a cuccot
Ez az, hozd a cuccot
3 Forró víz kérése
A vonat a folyóhoz megy
A vonat átmegy a tajgán<…>.
- James Lyndon limerickje (egy meghatározott formájú rövid költemény - általában ötsoros, meghatározott rímrendszerrel, humoros tartalommal, amelyben az első és az utolsó sor ismétlődik vagy részben megismétli egymást) szintén a Fibonaccira utal. sorozat humoros motívumként:
Fibonacci feleségeinek sűrű tápláléka
Ez csak az ő hasznukra volt, semmi másra.
A feleségek a pletykák szerint súlyt mértek,
Mindegyik olyan, mint az előző kettő.
Foglaljuk össze
Reméljük, hogy sok érdekes és hasznos dolgot tudtunk ma elmondani. Például most megkeresheti a Fibonacci spirált a körülötte lévő természetben. Talán te leszel az, aki képes lesz megfejteni „az élet, az Univerzum és általában a titkát”.
Használja a Fibonacci-számok képletét kombinatorikai feladatok megoldása során. Bízhat a cikkben leírt példákban.
blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.
Ne veszítsd el. Iratkozzon fel, és e-mailben megkapja a cikk linkjét.
Természetesen ismeri azt a gondolatot, hogy a matematika a legfontosabb tudományok közül. Ezzel azonban sokan nem értenek egyet, mert... néha úgy tűnik, hogy a matematika csak problémák, példák és hasonló unalmas dolgok. A matematika azonban könnyen megmutathat nekünk ismerős dolgokat egy teljesen ismeretlen oldalról. Sőt, még az univerzum titkait is felfedheti. Hogyan? Nézzük a Fibonacci-számokat.
Mik azok a Fibonacci-számok?
A Fibonacci-számok egy numerikus sorozat elemei, ahol minden következő a két előző összegzésével jön létre, például: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... Általában egy ilyen sorozatot a következő képlettel írunk fel: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2.
A Fibonacci-számok kezdődhetnek "n" negatív értékekkel, de ebben az esetben a sorozat kétirányú lesz - pozitív és negatív számokat is lefed, mindkét irányban a végtelenségig. Példa egy ilyen sorozatra: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, 34, és a képlet a következő lesz: F n = F n+1 - F n+2 vagy F -n = (-1) n+1 Fn.
A Fibonacci-számok megalkotója Európa egyik első középkori matematikusa, Pisai Leonardo, akit valójában Fibonacci néven ismernek – ezt a becenevet sok évvel halála után kapta.
Pisai Leonardo élete során nagyon szerette a matematikai versenyeket, ezért munkáiban ("Liber abaci" / "Abacus könyve", 1202; "Practica geometriae" / "Practice of Geometry", 1220, "Flos") / „Virág”, 1225) - egy tanulmány a köbegyenletekről és a "Liber quadratorum" / "Book of Squares", 1225 - a határozatlan másodfokú egyenletekkel kapcsolatos problémák) nagyon gyakran elemzett mindenféle matematikai problémát.
Fibonacci életútjáról nagyon keveset tudunk. De az biztos, hogy problémái a következő évszázadokban óriási népszerűségnek örvendtek a matematikai körökben. Ezek közül egyet a továbbiakban megvizsgálunk.
Fibonacci probléma nyulakkal
A feladat elvégzéséhez a szerző a következő feltételeket szabta: van egy újszülött nyúlpár (nőstény és hím), amelyet egy érdekes tulajdonság különböztet meg - a második élethónaptól új nyúlpárt hoznak létre - szintén nőstényt, ill. egy férfi. A nyulakat zárt helyen tartják, és folyamatosan szaporodnak. És egyetlen nyúl sem hal meg.
Feladat: határozza meg a nyulak számát egy évben.
Megoldás:
Nekünk van:
- Az első hónap elején egy pár nyúl, amely a hónap végén párosodik
- Két pár nyúl a második hónapban (első pár és utódok)
- Három pár nyúl a harmadik hónapban (az első pár, az előző hónap első párjának utódai és az új utódok)
- Öt pár nyúl a negyedik hónapban (az első pár, az első pár első és második utóda, az első pár harmadik utóda és a második pár első utóda)
Nyulak száma havonta „n” = nyulak száma az elmúlt hónapban + új nyúlpárok száma, más szóval a fenti képlet: F n = F n-1 + F n-2. Ez egy ismétlődő számsorozatot eredményez (a rekurzióról később lesz szó), ahol minden új szám az előző két szám összegének felel meg:
1 hónap: 1 + 1 = 2
2 hónap: 2 + 1 = 3
3 hónap: 3 + 2 = 5
4 hónap: 5 + 3 = 8
5 hónap: 8 + 5 = 13
6 hónap: 13 + 8 = 21
7. hónap: 21 + 13 = 34
8. hónap: 34 + 21 = 55
9 hónap: 55 + 34 = 89
10. hónap: 89 + 55 = 144
11. hónap: 144 + 89 = 233
12 hónap: 233+ 144 = 377
És ez a sorozat a végtelenségig folytatódhat, de tekintettel arra, hogy a feladat egy év után a nyulak számának megállapítása, az eredmény 377 pár.
Itt fontos megjegyezni azt is, hogy a Fibonacci-számok egyik tulajdonsága, hogy ha összehasonlítunk két egymást követő párt, majd a nagyobbat elosztjuk a kisebbel, akkor az eredmény az aranymetszés irányába mozdul el, amiről alább szintén szó lesz. .
Addig is kínálunk még két problémát a Fibonacci-számokkal kapcsolatban:
- Határozzon meg egy négyzetszámot, amelyről csak azt tudjuk, hogy ha kivon belőle 5-öt, vagy hozzáad 5-öt, akkor ismét négyzetszámot kap.
- Határozzon meg egy 7-tel osztható számot, de azzal a feltétellel, hogy ha 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel vagy 6-tal osztja, az 1 maradéka marad.
Az ilyen feladatok nemcsak az elme fejlesztésének kiváló módjai lesznek, hanem szórakoztató időtöltés is. Azt is megtudhatja, hogyan oldják meg ezeket a problémákat, ha információkat keres az interneten. Nem rájuk koncentrálunk, hanem folytatjuk történetünket.
Mi a rekurzió és az aranymetszés?
Rekurzió
A rekurzió bármely objektum vagy folyamat leírása, meghatározása vagy képe, amely magát az adott objektumot vagy folyamatot tartalmazza. Más szavakkal, egy tárgyat vagy folyamatot önmaga részének nevezhetünk.
A rekurziót nemcsak a matematikai tudományokban, hanem a számítástechnikában, a populáris kultúrában és a művészetben is széles körben alkalmazzák. Fibonacci számokra vonatkoztatva azt mondhatjuk, hogy ha a szám „n>2”, akkor „n” = (n-1)+(n-2).
aranymetszés
Az aranymetszés az egész felosztása olyan részekre, amelyek összefüggenek az elv szerint: a nagyobb ugyanúgy viszonyul a kisebbhez, mint az összérték a nagyobb részhez.
Az aranymetszést először Eukleidész említette (az „Elemek” című értekezése, kb. Kr. e. 300), egy szabályos téglalap felépítéséről beszélve. Egy ismertebb fogalmat azonban Martin Ohm német matematikus vezetett be.
Körülbelül az aranymetszés két különböző részre való arányos felosztásként ábrázolható, például 38% és 68%. Az aranymetszés számszerű kifejezése körülbelül 1,6180339887.
A gyakorlatban az aranymetszés az építészetben, a képzőművészetben (nézd meg az alkotásokat), a moziban és más területeken használatos. Sokáig, mint most is, az aranymetszés esztétikai aránynak számított, bár a legtöbben aránytalannak – megnyúltnak – érzékelik.
Megpróbálhatja saját maga megbecsülni az aranymetszetet, a következő arányok alapján:
- Az a szakasz hossza = 0,618
- A b szakasz hossza = 0,382
- A szakasz hossza c = 1
- c és a aránya = 1,618
- c és b aránya = 2,618
Most alkalmazzuk az aranymetszést a Fibonacci-számokra: vegyünk a sorozatának két szomszédos tagját, és a nagyobbat osztjuk a kisebbel. Körülbelül 1,618-at kapunk. Ha ugyanazt a nagyobb számot vesszük, és elosztjuk az utána következő nagyobb számmal, akkor körülbelül 0,618-at kapunk. Próbáld ki te is: „játssz” a 21-es és 34-es számokkal vagy másokkal. Ha ezt a kísérletet a Fibonacci sorozat első számaival hajtjuk végre, akkor ilyen eredmény már nem lesz, mert az aranymetszés "nem működik" a sorozat elején. Egyébként az összes Fibonacci-szám meghatározásához csak az első három egymást követő számot kell ismernie.
És a végére még egy kis elgondolkodtató.
Arany téglalap és Fibonacci spirál
Az „arany téglalap” egy másik kapcsolat az aranymetszés és a Fibonacci-számok között, mert... a képaránya 1,618:1 (emlékezz az 1,618 számra!).
Íme egy példa: a Fibonacci-sorozatból veszünk két számot, például 8-at és 13-at, és rajzolunk egy 8 cm széles és 13 cm hosszú téglalapot. Ezután a fő téglalapot kicsikre osztjuk, de azok a hossznak és a szélességnek meg kell felelnie a Fibonacci-számoknak - a nagy téglalap egyik élének hosszának meg kell egyeznie a kisebb élének két hosszával.
Ezután az összes rendelkezésünkre álló téglalap sarkait sima vonallal összekötjük, és egy speciális logaritmikus spirált kapunk - a Fibonacci spirált. Fő tulajdonságai a határok hiánya és az alakváltozások. Ilyen spirál gyakran megtalálható a természetben: a legszembetűnőbb példák a puhatestű-héjak, a műholdfelvételeken látható ciklonok, sőt számos galaxis. De ami még érdekesebb, hogy az élő szervezetek DNS-e is engedelmeskedik ugyanennek a szabálynak, mert emlékszel arra, hogy spirális alakú?
Ezek és még sok más „véletlenszerű” egybeesés még ma is izgatja a tudósok tudatát, és azt sugallja, hogy az Univerzumban minden egyetlen, ráadásul matematikai algoritmusnak van alávetve. És ez a tudomány rengeteg teljesen unalmas titkot és rejtélyt rejt.
Ez azonban nem minden, amit az aranymetszés segítségével meg lehet tenni. Ha elosztjuk az egyiket 0,618-cal, akkor 1,618-at kapunk, ha négyzetre emeljük, akkor 2,618-at, ha kockára tesszük, akkor 4,236-ot kapunk. Ezek a Fibonacci-tágulási arányok. Az egyetlen hiányzó szám itt a 3236, amelyet John Murphy javasolt.
Mit gondolnak a szakértők a következetességről?
Egyesek azt mondhatják, hogy ezek a számok már ismerősek, mert technikai elemző programokban használják őket a korrekciók és bővítések nagyságának meghatározására. Ráadásul ezek a sorozatok fontos szerepet játszanak Eliot hullámelméletében. Ezek képezik a numerikus alapját.
Szakértőnk, Nikolay a Vostok befektetési társaság bevált portfóliómenedzsere.
- — Nikolay, szerinted a Fibonacci-számok és származékai véletlenszerű megjelenése a különböző hangszerek listáin? És azt lehet mondani: „A Fibonacci sorozat gyakorlati alkalmazása” megtörténik?
- — Rossz hozzáállásom van a misztikához. És még inkább a tőzsdei grafikonokon. Mindennek megvan a maga oka. a „Fibonacci Levels” című könyvben szépen leírta, hol jelenik meg az aranymetszés, hogy nem lepődött meg, hogy megjelent a tőzsdei jegyzési grafikonokon. De hiába! Számos példájában gyakran szerepel a Pi szám. De valamiért nincs benne az árarányokban.
- – Tehát nem hisz Eliot hullámelvének hatékonyságában?
- - Nem, nem ez a lényeg. A hullám elve egy dolog. A számszerű arány más. Az ártáblázatokon való megjelenésük okai pedig a harmadikak
- — Ön szerint mi az oka annak, hogy az aranymetszés megjelenik a tőzsdei grafikonokon?
- — A kérdésre adott helyes válasz a közgazdasági Nobel-díjat is kiérdemelheti. Egyelőre sejthetjük a valódi okokat. Nyilvánvalóan nincsenek összhangban a természettel. Számos tőzsdei árképzési modell létezik. Nem magyarázzák meg a kijelölt jelenséget. De egy jelenség természetének meg nem értése nem tagadhatja meg a jelenséget mint olyat.
- — És ha ez a törvény valaha is megnyílik, képes lesz-e tönkretenni a cserefolyamatot?
- — Amint ugyanez a hullámelmélet mutatja, a részvényárfolyamok változásának törvénye tiszta pszichológia. Számomra úgy tűnik, hogy ennek a törvénynek a megismerése nem változtat semmin, és nem tudja tönkretenni a tőzsdét.
Az anyagot Maxim webmester blogja biztosította.
A matematika alapelveinek egybeesése számos elméletben hihetetlennek tűnik. Lehet, hogy ez fantázia, vagy a végeredményhez szabott. Várj és láss. Sok minden, ami korábban szokatlannak számított vagy nem volt lehetséges: az űrkutatás például mindennapossá vált, és senkit sem lep meg. Ezenkívül a hullámelmélet, amely talán érthetetlen, idővel elérhetőbbé és érthetőbbé válik. Ami korábban szükségtelen volt, az egy tapasztalt elemző kezében a jövőbeli viselkedés előrejelzésének hatékony eszközévé válik.
Fibonacci számok a természetben.
Néz
Most pedig beszéljünk arról, hogyan cáfolhatja meg azt a tényt, hogy a Fibonacci digitális sorozat bármilyen természeti mintában részt vesz.
Vegyünk bármely másik két számot, és készítsünk egy sorozatot a Fibonacci-számokkal megegyező logikával. Vagyis a sorozat következő tagja egyenlő az előző kettő összegével. Vegyünk például két számot: 6-ot és 51-et. Most összeállítunk egy sorozatot, amelyet két számmal, 1860-mal és 3009-el fogunk kiegészíteni. Figyeljük meg, hogy ezeknek a számoknak az elosztása során az aranymetszethez közeli számot kapunk.
Ugyanakkor a többi pár felosztása során kapott számok az elsőtől az utolsóig csökkentek, ami azt jelenti, hogy ha ez a sorozat a végtelenségig folytatódik, akkor az aranymetszésnek megfelelő számot kapunk.
Így a Fibonacci-számok semmiképpen sem tűnnek ki. Vannak más számsorozatok is, amelyekből végtelen szám van, amelyek ugyanazon műveletek eredményeként a phi arany számot adják.
Fibonacci nem volt ezoterikus. Nem akart semmi misztikát belevinni a számokba, egyszerűen egy hétköznapi problémát oldott meg a nyulakkal kapcsolatban. És írt egy számsort, ami a problémájából következett, az első, a második és a többi hónapban, hogy hány nyúl lesz a tenyésztés után. Egy éven belül megkapta ugyanazt a sorozatot. És nem csináltam kapcsolatot. Szó sem volt arany arányról vagy isteni kapcsolatról. Mindezt utána találták ki a reneszánsz idején.
A matematikához képest a Fibonacci előnyei óriásiak. A számrendszert az araboktól vette át, és bebizonyította annak érvényességét. Kemény és hosszú küzdelem volt. A római számrendszerből: nehéz és kényelmetlen a számoláshoz. A francia forradalom után eltűnt. Fibonaccinak semmi köze az aranymetszethez.
A mű szövegét képek és képletek nélkül közöljük.
A munka teljes verziója elérhető a "Munkafájlok" fülön PDF formátumban
A MATEMATIKA LEGMAGASABB CÉLJA A REJTETT REND MEGTALÁLÁSA A MINKET KÖRNYEZŐ KÁOSZBAN.
Viner N.
Az ember egész életében a tudásra törekszik, megpróbálja tanulmányozni az őt körülvevő világot. A megfigyelés során pedig olyan kérdések merülnek fel, amelyekre választ kell adni. A válaszok megvannak, de új kérdések merülnek fel. A régészeti leletekben, a civilizáció nyomaiban, egymástól időben és térben távol, egy és ugyanaz az elem található - egy spirál formájú minta. Vannak, akik a nap szimbólumának tartják, és a legendás Atlantiszhoz kötik, de valódi jelentése ismeretlen. Mi a közös a galaxis és a légköri ciklon alakjában, a levelek elrendezésében a száron és a magvak elrendezésében a napraforgóban? Ezek a minták az úgynevezett „arany” spirálhoz vezetnek, a csodálatos Fibonacci-sorozathoz, amelyet a 13. század nagy olasz matematikusa fedezett fel.
A Fibonacci-számok története
Egy matematikatanártól hallottam először arról, hogy mik azok a Fibonacci-számok. De emellett nem tudtam, hogyan áll össze ezeknek a számoknak a sorrendje. Ez az, amiről tulajdonképpen híres ez a sorozat, hogy milyen hatással van az emberre, el akarom mondani. Leonardo Fibonacciról keveset tudunk. Még a születésének pontos dátuma sincs. Ismeretes, hogy 1170-ben született egy kereskedő családban az olaszországi Pisa városában. Fibonacci apja gyakran járt Algériában kereskedelmi ügyekben, Leonardo ott matematikát tanult arab tanárokkal. Ezt követően számos matematikai művet írt, ezek közül a leghíresebb az „Abacus Book”, amely szinte az összes akkori számtani és algebrai információt tartalmazza. 2
A Fibonacci-számok olyan számsorozatok, amelyek számos tulajdonsággal rendelkeznek. Fibonacci véletlenül fedezte fel ezt a számsort, amikor 1202-ben egy nyulakkal kapcsolatos gyakorlati problémát próbált megoldani. „Valaki elhelyezett egy pár nyulat egy bizonyos helyre, minden oldalról fallal körülkerítve, hogy megtudja, hány pár nyúl születik az év során, ha a nyulak természete olyan, hogy egy hónap múlva egy pár a nyulak közül egy másik pár születik, a nyulak pedig a születésed utáni második hónaptól szülnek." A probléma megoldásánál figyelembe vette, hogy minden nyúlpár élete során még két párat hoz világra, majd elpusztul. Így jelent meg a számsor: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Ebben a sorozatban minden következő szám egyenlő az előző két szám összegével. Fibonacci-szekvenciának hívták. A sorozat matematikai tulajdonságai
Fel akartam fedezni ezt a sorozatot, és felfedeztem néhány tulajdonságát. Ennek a mintának nagy jelentősége van. A sorozat lassan közelít egy bizonyos állandó arányhoz, körülbelül 1,618-hoz, és bármely szám aránya a következőhöz képest körülbelül 0,618.
A Fibonacci-számoknak számos érdekes tulajdonsága figyelhető meg: két szomszédos szám viszonylag prímszámú; minden harmadik szám páros; minden tizenötödik nullára végződik; minden negyedik a három többszöröse. Ha kiválaszt 10 szomszédos számot a Fibonacci-sorozatból, és összeadja őket, mindig olyan számot kap, amely 11 többszöröse. De ez még nem minden. Mindegyik összeg egyenlő a 11-gyel, megszorozva az adott sorozat hetedik tagjával. Itt van egy másik érdekes funkció. Bármely n esetén a sorozat első tagjának összege mindig egyenlő lesz a sorozat (n+ 2)-edik és első tagja közötti különbséggel. Ez a tény a következő képlettel fejezhető ki: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. Most a következő trükk áll rendelkezésünkre: keressük meg az összes tag összegét
két adott tag közötti sorozatot, elég megtalálni a megfelelő (n+2)-x tagok különbségét. Például a 26 +…+a 40 = a 42 - a 27. Most pedig keressük a kapcsolatot Fibonacci, Pythagoras és az „aranymetszés” között. Az emberiség matematikai zsenialitásának leghíresebb bizonyítéka a Pitagorasz-tétel: bármely derékszögű háromszögben a hipotenusz négyzete egyenlő a lábai négyzeteinek összegével: c 2 =b 2 +a 2. Geometriai szempontból egy derékszögű háromszög összes oldalát tekinthetjük három, rájuk épített négyzet oldalának. A Pitagorasz-tétel kimondja, hogy a derékszögű háromszög oldalaira épített négyzetek összterülete megegyezik a hipotenuzusra épített négyzet területével. Ha egy derékszögű háromszög oldalainak hossza egész szám, akkor három számból álló csoportot alkotnak, amelyeket Pitagorasz-hármasoknak nevezünk. A Fibonacci-szekvencia segítségével ilyen hármasokat találhatunk. Vegyünk a sorozatból tetszőleges négy egymást követő számot, például 2-t, 3-at, 5-öt és 8-at, és alkossunk még három számot a következőképpen: 1) a két szélső szám szorzata: 2*8=16; 2) a kettős szorzat. a középen lévő két szám közül: 2* (3*5)=30;3) két átlagszám négyzetösszege: 3 2 +5 2 =34; 34 2 = 30 2 +16 2. Ez a módszer bármely négy egymást követő Fibonacci-számra működik. A Fibonacci-sorozat bármely három egymást követő száma megjósolható módon viselkedik. Ha a két szélsőt megszorozzuk, és az eredményt összehasonlítjuk az átlagos szám négyzetével, az eredmény mindig eggyel fog eltérni. Például az 5, 8 és 13 számokra a következőt kapjuk: 5*13=8 2 +1. Ha geometriai szempontból nézi ezt az ingatlant, akkor valami furcsa dologra lesz figyelmes. Oszd fel a négyzetet
8x8 méretű (összesen 64 kis négyzet) négy részre, az oldalak hossza megegyezik a Fibonacci számokkal. Most ezekből a részekből építünk egy 5x13 méretű téglalapot. Területe 65 kis négyzet. Honnan jön a plusz négyzet? A helyzet az, hogy nem jön létre ideális téglalap, hanem apró rések maradnak, amelyek összességében megadják ezt a plusz területegységet. Pascal háromszögének is van kapcsolata a Fibonacci sorozattal. Csak egymás alá kell írni a Pascal-háromszög sorait, majd átlósan össze kell adni az elemeket. Az eredmény a Fibonacci sorozat.
Most vegyünk egy arany téglalapot, amelynek egyik oldala 1,618-szor hosszabb, mint a másik. Első pillantásra közönséges téglalapnak tűnhet számunkra. Tegyünk azonban egy egyszerű kísérletet két közönséges bankkártyával. Az egyiket vízszintesen, a másikat függőlegesen helyezzük el úgy, hogy az alsó oldaluk egy vonalba kerüljön. Ha rajzolunk egy átlós vonalat egy vízszintes térképen, és meghosszabbítjuk, látni fogjuk, hogy pontosan áthalad a függőleges térkép jobb felső sarkán – kellemes meglepetés. Lehet, hogy ez véletlen, vagy ezek a téglalapok és egyéb geometriai formák, amelyek az „aranymetszés”-t használják, különösen kellemesek a szemnek. Gondolt-e Leonardo da Vinci az aranymetszésre, miközben remekművén dolgozott? Ez valószínűtlennek tűnik. Az azonban vitatható, hogy nagy jelentőséget tulajdonított az esztétika és a matematika kapcsolatának.
Fibonacci számok a természetben
Az aranymetszés és a szépség kapcsolata nem csupán emberi felfogás kérdése. Úgy tűnik, hogy a természet sajátos szerepet tulajdonított F. Ha egymás után négyzeteket ír be egy „arany” téglalapba, majd minden négyzetbe rajzol egy ívet, akkor egy elegáns görbét kap, amelyet logaritmikus spirálnak neveznek. Ez egyáltalán nem matematikai érdekesség. 5
Éppen ellenkezőleg, ez a figyelemre méltó vonal gyakran megtalálható a fizikai világban: a nautilus héjától a galaxisok karjaiig, és a virágzó rózsa szirmainak elegáns spiráljában. Az aranymetszés és a Fibonacci-számok közötti összefüggés számos és meglepő. Tekintsünk egy virágot, amely nagyon különbözik a rózsától – egy magos napraforgót. Az első dolog, amit látunk, az az, hogy a magok kétféle spirálban vannak elrendezve: az óramutató járásával megegyezően és azzal ellentétes irányban. Ha megszámoljuk az óramutató járásával megegyező irányú spirálokat, két közönségesnek tűnő számot kapunk: 21-et és 34-et. Nem ez az egyetlen példa, ahol Fibonacci-számok találhatók a növények szerkezetében.
A természet számos példát ad nekünk a Fibonacci-számokkal leírt homogén objektumok elrendezésére. Az apró növényi részek különböző spirális elrendezésében általában két spirálcsaládot lehet megkülönböztetni. Az egyik ilyen családban a spirálok az óramutató járásával megegyező irányba, míg a másikban az óramutató járásával ellentétes irányba görbülnek. Az egyik és másik típusú spirálok számai gyakran egymás melletti Fibonacci-számok. Tehát egy fiatal fenyőágat véve könnyen észrevehető, hogy a tűk két spirált alkotnak, balról lentről jobbra felfelé haladva. Sok tobozban a magok három spirálban helyezkednek el, finoman kanyarogva a kúp szára körül. Öt spirálban helyezkednek el, meredeken kanyarogva az ellenkező irányba. A nagy kúpokban 5 és 8, sőt 8 és 13 spirál is megfigyelhető. Fibonacci spirálok is jól láthatóak egy ananászon: általában 8 és 13 van belőlük.
A cikóriahajtás erős kilökődést hajt végre a térbe, megáll, kienged egy levelet, de ez az idő rövidebb, mint az első, ismét kilökődik a térbe, de kisebb erővel, egy még kisebb méretű levelet enged ki és ismét kilökődik . Növekedési impulzusai fokozatosan csökkennek az „arany” metszet arányában. Ahhoz, hogy értékeljük a Fibonacci-számok óriási szerepét, csak meg kell nézni a minket körülvevő természet szépségét. A Fibonacci-számok mennyiségben találhatók
ágak az egyes növekvő növények szárán és a szirmok számában.
Számoljuk meg néhány virág szirmait - írisz 3 szirmával, kankalin 5 szirmával, parlagfű 13 szirmával, búzavirág 34 szirmával, őszirózsa 55 szirmával stb. Ez véletlen egybeesés, vagy a természet törvénye? Nézd meg a cickafark szárát és virágait. Így a teljes Fibonacci-sorozat könnyen értelmezheti a természetben fellelhető „arany” számok megnyilvánulási mintáját. Ezek a törvények tudatunktól és attól függetlenül működnek, hogy elfogadjuk-e őket vagy sem. Az „arany” szimmetria mintái az elemi részecskék energiaátmeneteiben, egyes kémiai vegyületek szerkezetében, bolygó- és kozmikus rendszerekben, élő szervezetek génszerkezetében, az egyes emberi szervek és a test felépítésében nyilvánulnak meg. egy egész, és az agy bioritmusában és működésében, valamint a vizuális észlelésben is megnyilvánulnak.
Fibonacci számok az építészetben
Az „arany arány” számos figyelemre méltó építészeti alkotásban is megmutatkozik az emberiség történelme során. Kiderült, hogy az ókori görög és ókori egyiptomi matematikusok már jóval Fibonacci előtt ismerték ezeket az együtthatókat, és „aranymetszésnek” nevezték őket. A görögök az „aranymetszés” elvét használták a Parthenon építésekor, az egyiptomiak pedig a gízai nagy piramist. Az építési technológia fejlődése és az új anyagok fejlesztése új lehetőségeket nyitott meg a huszadik századi építészek előtt. Az amerikai Frank Lloyd Wright az organikus építészet egyik fő támogatója volt. Halála előtt nem sokkal ő tervezte a New York-i Solomon Guggenheim Múzeumot, amely egy fordított spirál, és a múzeum belseje egy nautilus kagylóra emlékeztet. A lengyel-izraeli építész, Zvi Hecker szintén spirális szerkezeteket használt az 1995-ben elkészült berlini Heinz Galinski Iskola tervezésénél. Hecker egy központi körrel rendelkező napraforgó ötletéből indult ki, honnan
Minden építészeti elem eltér egymástól. Az épület egy kombináció
merőleges és koncentrikus spirálok, amelyek a korlátozott emberi tudás és a természet irányított káoszának kölcsönhatását szimbolizálják. Építészete egy növényt utánoz, amely követi a Nap mozgását, így a tantermek egész nap megvilágítva vannak.
A Massachusetts állambeli Cambridge-ben (USA) található Quincy Parkban gyakran megtalálható az „arany” spirál. A parkot 1997-ben David Phillips művész tervezte, és a Clay Mathematical Institute közelében található. Ez az intézmény a matematikai kutatás elismert központja. A Quincy Parkban „arany” spirálok és fém ívek, két kagyló domborművei és egy négyzetgyökjellel ellátott szikla között sétálhatunk. A tábla információkat tartalmaz az „arany” arányról. Még a kerékpárparkoló is az F szimbólumot használja.
Fibonacci számok a pszichológiában
A pszichológiában olyan fordulópontokat, válságokat és forradalmakat figyeltek meg, amelyek az ember életútjában a lélek szerkezetének és funkcióinak átalakulását jelzik. Ha valaki sikeresen túljut ezeken a válságokon, akkor képessé válik egy olyan új osztály problémáinak megoldására, amelyekre korábban nem is gondolt.
Az alapvető változások jelenléte okot ad arra, hogy az életidőt döntő tényezőnek tekintsük a lelki tulajdonságok fejlődésében. Hiszen a természet nem nagyvonalúan méri fel nekünk az időt, „bármennyi lesz, annyi lesz”, hanem éppen annyit, hogy a fejlesztési folyamat megvalósuljon:
a testszerkezetekben;
érzésekben, gondolkodásban és pszichomotoros készségekben – amíg el nem sajátítják harmónia szükséges a mechanizmus kialakulásához és elindításához
kreativitás;
az emberi energiapotenciál szerkezetében.
A test fejlődését nem lehet megállítani: a gyermek felnőtté válik. A kreativitás mechanizmusával minden nem olyan egyszerű. Fejlődése megállítható, iránya változtatható.
Van esély utolérni az időt? Kétségtelenül. Ehhez azonban sokat kell dolgoznod magadon. Ami szabadon fejlődik, az természetesen nem igényel különösebb erőfeszítést: a gyermek szabadon fejlődik, és nem veszi észre ezt a hatalmas munkát, mert a szabad fejlődés folyamata önmaga elleni erőszak nélkül jön létre.
Hogyan érthető meg az életút értelme a mindennapi tudatban? Az átlagember ezt így látja: alul a születés, felül az élet fényereje, aztán minden lefelé megy.
A bölcs azt mondja: minden sokkal bonyolultabb. A felemelkedést szakaszokra osztja: gyermekkor, serdülőkor, ifjúság... Miért van ez így? Kevesen tudnak válaszolni, pedig mindenki biztos abban, hogy ezek az élet zárt, szerves szakaszai.
Hogy megtudja, hogyan fejlődik a kreativitás mechanizmusa, V.V. Klimenko a matematikát használta, nevezetesen a Fibonacci-számok törvényeit és az „aranymetszet” arányát - a természet és az emberi élet törvényeit.
A Fibonacci számok életünket szakaszokra osztják a leélt évek száma szerint: 0 - a visszaszámlálás kezdete - a gyermek megszületik. Még mindig nem csak a pszichomotoros készségek, a gondolkodás, az érzések, a képzelet, hanem a működési energiapotenciál is hiányzik. Ő egy új élet, egy új harmónia kezdete;
1 - a gyermek elsajátította a járást és elsajátítja közvetlen környezetét;
2 - érti a beszédet és a cselekményeket verbális utasítások segítségével;
3 - szavakon keresztül cselekszik, kérdéseket tesz fel;
5 - „kegyelem kora” - a pszichomotoros, a memória, a képzelet és az érzések harmóniája, amely már lehetővé teszi a gyermek számára, hogy teljes épségében átölelje a világot;
8 - az érzések előtérbe kerülnek. A képzelet szolgálja őket, és a gondolkodás kritikusságán keresztül az élet belső és külső harmóniájának támogatására irányul;
13 - a tehetség mechanizmusa működni kezd, amelynek célja az öröklési folyamat során megszerzett anyag átalakítása, a saját tehetség fejlesztése;
21 - a kreativitás mechanizmusa megközelítette a harmónia állapotát, és kísérletek történnek tehetséges munka elvégzésére;
34 – a gondolkodás, az érzések, a képzelet és a pszichomotoros készségek harmóniája: megszületik a zseniális munkavégzés képessége;
55 - ebben a korban, feltéve, hogy a lélek és a test harmóniája megmarad, az ember készen áll arra, hogy teremtővé váljon. Stb…
Mik azok a Fibonacci számok serifjei? Az életút mentén lévő gátakhoz hasonlíthatók. Ezek a gátak mindannyiunkra várnak. Mindenekelőtt mindegyiket le kell győzni, majd türelmesen emelni a fejlettségi szintjét, amíg egy szép napon szét nem esik, megnyitva az utat a következő felé a szabad áramlás számára.
Most, hogy megértettük az életkorral összefüggő fejlődés e kulcsfontosságú pontjainak jelentését, próbáljuk meg megfejteni, hogyan történik mindez.
B1 év a gyerek uralja a sétát. Ezt megelőzően a feje elejével tapasztalta meg a világot. Most a kezével ismeri meg a világot – ez egy kivételes emberi kiváltság. Az állat mozog a térben, és a tanulással uralja a teret és a területet, ahol él.
2 év- érti a szót és annak megfelelően cselekszik. Ez azt jelenti:
a gyermek megtanul egy minimális számú szót - jelentést és cselekvési módot;
még nem különült el a környezettől, és integritásba olvadt a környezettel,
ezért valaki más utasításai szerint cselekszik. Ebben a korban ő a legengedelmesebb és legkedvesebb a szülei számára. Érzéki emberből a gyermek kognitív személlyé válik.
3 év- cselekvés a saját szavával. Ennek az embernek a környezettől való elszakadása már megtörtént - és megtanulja, hogy önállóan cselekvő ember legyen. Innen ő:
tudatosan szembeszáll a környezettel és a szülőkkel, óvodapedagógusokkal stb.;
megvalósítja szuverenitását és harcol a függetlenségért;
közeli és ismert embereket próbál akaratának alárendelni.
Most egy gyerek számára a szó cselekvés. Itt kezdődik az aktív ember.
5 év- „kegyelem kora”. Ő a harmónia megszemélyesítője. Játékok, tánc, ügyes mozdulatok - minden harmóniával telített, amelyet az ember saját erejével próbál elsajátítani. A harmonikus pszichomotoros viselkedés segít egy új állapot kialakításában. Ezért a gyermek a pszichomotoros tevékenységre összpontosít, és a legaktívabb cselekvésekre törekszik.
Az érzékenységi munka termékeinek materializálása a következő módon történik:
az a képesség, hogy a környezetet és önmagunkat e világ részeként jelenítsük meg (hallunk, látunk, tapintunk, szagolunk stb. – minden érzékszerv erre a folyamatra dolgozik);
képes megtervezni a külvilágot, beleértve önmagát is
(második természet létrehozása, hipotézisek - holnap csinálj ezt-azt, építs új gépet, oldj meg egy problémát), a kritikai gondolkodás, az érzések és a képzelet erőivel;
egy második, ember alkotta természet, tevékenységi termékek létrehozásának képessége (tervek megvalósítása, konkrét mentális vagy pszichomotoros cselekvések meghatározott tárgyakkal és folyamatokkal).
5 év elteltével a képzelőerő előjön, és elkezdi uralni a többieket. A gyermek rengeteg munkát végez, fantasztikus képeket alkot, és a mesék és mítoszok világában él. A gyermek hipertrófiás képzelőereje meglepetést okoz a felnőttekben, mert a képzelet nem felel meg a valóságnak.
8 év– az érzések előtérbe kerülnek, és az érzések saját mércéi (kognitív, erkölcsi, esztétikai) akkor keletkeznek, amikor a gyermek félreérthetetlenül:
értékeli az ismertet és az ismeretlent;
megkülönbözteti az erkölcsöt az erkölcstelentől, az erkölcsöst az erkölcstelentől;
szépség abból, ami az életet fenyegeti, harmónia a káoszból.
13 év— működni kezd a kreativitás mechanizmusa. De ez nem jelenti azt, hogy teljes kapacitással működik. A mechanizmus egyik eleme előtérbe kerül, az összes többi pedig hozzájárul a működéséhez. Ha ebben a fejlődési korszakban megmarad a harmónia, amely szinte folyamatosan újjáépíti szerkezetét, akkor a fiatalság fájdalommentesen eléri a következő gátat, észrevétlenül legyőzi azt, és forradalmár korában él. A forradalmár korában egy fiatalnak új lépést kell tennie előre: el kell válnia a legközelebbi társadalomtól, és abban harmonikus életet és tevékenységet kell folytatnia. Nem mindenki tudja megoldani ezt a mindannyiunk előtt felmerülő problémát.
21 éves. Ha egy forradalmár sikeresen túljutott az élet első harmonikus csúcsán, akkor tehetségének mechanizmusa képes tehetséges teljesítményre.
munka. Az érzések (kognitív, morális vagy esztétikai) néha beárnyékolják a gondolkodást, de általában minden elem harmonikusan működik: az érzések nyitottak a világra, a logikus gondolkodás pedig erről a csúcsról képes megnevezni és mérni a dolgokat.
A kreativitás normálisan fejlődő mechanizmusa olyan állapotba kerül, amely lehetővé teszi bizonyos gyümölcsök befogadását. Elkezd dolgozni. Ebben a korban az érzések mechanizmusa jön elő. Ahogy a képzeletet és termékeit az érzékek és az elme értékeli, ellentét alakul ki közöttük. Az érzelmek győznek. Ez a képesség fokozatosan erősödik, és a fiú elkezdi használni.
34 év- egyensúly és harmónia, a tehetség produktív eredményessége. A gondolkodás, az érzések és a képzelet harmóniája, az optimális energiapotenciállal feltöltődő pszichomotoros készségek és a mechanizmus egésze - megszületik a briliáns munka elvégzésének lehetősége.
55 év- az ember alkotóvá válhat. Az élet harmadik harmonikus csúcsa: a gondolkodás leigázza az érzések erejét.
A Fibonacci számok az emberi fejlődés szakaszaira utalnak. Az, hogy egy személy megállás nélkül végigmegy-e ezen az úton, a szülőktől és a tanároktól, az oktatási rendszertől, majd önmagától és attól függ, hogy az ember hogyan tanul meg és győzi le önmagát.
Az élet útján az ember 7 kapcsolati tárgyat fedez fel:
Születésnaptól 2 éves korig - a közvetlen környezet fizikai és tárgyi világának felfedezése.
2-3 éves korig - önfelfedezés: „Önmagam vagyok.”
3-5 éves korig - beszéd, a szavak aktív világa, a harmónia és az „én - Te” rendszer.
5-8 éves korig - mások gondolatai, érzései és képei világának felfedezése - az „én - mi” rendszer.
8-13 éves korig - az emberiség zsenijei és tehetségei által megoldott feladatok és problémák világának felfedezése - az „én - Spirituális” rendszer.
13 és 21 év között - a jól ismert problémák önálló megoldásának képességének felfedezése, amikor a gondolatok, az érzések és a képzelet aktívan működni kezd, megjelenik az „én - nooszféra” rendszer.
21 és 34 éves kor között - egy új világ vagy annak töredékei létrehozásának képességének felfedezése - az „én vagyok a Teremtő” énkép tudatosítása.
Az életút időbeli térszerkezetű. Életkorból és egyéni fázisokból áll, amelyeket számos életparaméter határoz meg. Az ember bizonyos mértékig úrrá lesz élete körülményein, történelmének és társadalomtörténetének alkotójává válik. Az igazán kreatív életszemlélet azonban nem jelenik meg azonnal és nem is minden emberben. Az életút fázisai között genetikai összefüggések vannak, és ez határozza meg annak természetes jellegét. Ebből következik, hogy elvileg a jövőbeli fejlődés előrejelzése a korai szakaszaira vonatkozó ismeretek alapján lehetséges.
Fibonacci számok a csillagászatban
A csillagászat történetéből ismert, hogy I. Titius, a 18. századi német csillagász a Fibonacci-sorozatot felhasználva talált mintát és rendet a Naprendszer bolygói közötti távolságokban. Egy eset azonban ellentmondani látszott a törvénynek: a Mars és a Jupiter között nem volt bolygó. De Titius halála után a 19. század elején. az ég ezen részének koncentrált megfigyelése vezetett az aszteroidaöv felfedezéséhez.
Következtetés
A kutatás során rájöttem, hogy a Fibonacci számokat széles körben használják a részvényárfolyamok technikai elemzésében. A Fibonacci-számok gyakorlati használatának egyik legegyszerűbb módja az, hogy meghatározzuk azokat az időintervallumokat, amelyek után egy adott esemény bekövetkezik, például árváltozás. Az elemző megszámol bizonyos számú Fibonacci-napot vagy hetet (13,21,34,55 stb.) az előző hasonló eseményből, és előrejelzést készít. De ezt még mindig túl nehéz kitalálni. Bár Fibonacci a középkor legnagyobb matematikusa volt, Fibonacci egyetlen emlékműve a pisai ferde torony előtti szobor és két, a nevét viselő utca: az egyik Pisában, a másik Firenzében. Pedig mindazzal kapcsolatban, amit láttam és olvastam, egészen természetes kérdések merülnek fel. Honnan jöttek ezek a számok? Ki ez a világegyetem építésze, aki megpróbálta ideálissá tenni? Mi lesz ezután? Ha megtalálta a választ egy kérdésre, megkapja a következőt. Ha megoldod, kapsz két újat. Ha megbirkózik velük, megjelenik még három. Ha ezeket is megoldotta, akkor öt megoldatlan marad. Aztán nyolc, tizenhárom stb. Ne felejtsük el, hogy két kéznek öt ujja van, amelyek közül kettő két ujjból áll, és nyolc a háromból.
Irodalom:
Voloshinov A.V. „Matematika és művészet”, M., Oktatás, 1992.
Vorobjov N.N. „Fibonacci-számok”, M., Nauka, 1984.
Sztakhov A.P. „A Da Vinci-kód és a Fibonacci-sorozat”, szentpétervári formátum, 2006
F. Corvalan „Az aranymetszés. A szépség matematikai nyelve", M., De Agostini, 2014.
Maksimenko S.D. "Az élet érzékeny időszakai és kódjaik."
"Fibonacci számok". Wikipédia
