Persegi genjang, dibangun di atas vektor, dihitung sebagai produk dari panjang vektor-vektor ini dan sinus sudut di antara keduanya. Jika yang diketahui hanya koordinat vektornya, maka harus digunakan metode koordinat untuk perhitungannya, termasuk menentukan sudut antar vektor.

Anda akan perlu

• - konsep vektor;
• - sifat-sifat vektor;
• - Koordinat Kartesius;
• - fungsi trigonometri.

instruksi

• Jika panjang vektor-vektor dan sudut antara vektor-vektor tersebut diketahui, maka untuk mencari luasnya genjang, dibangun di atas vektor, carilah hasil kali modulnya (panjang vektor) dengan sinus sudut antara keduanya S=│a│ │ b│ sin(α).
• Jika vektor-vektor diberikan dalam sistem koordinat kartesius, maka untuk mencari luasnya genjang dibangun di atasnya, lakukan hal berikut:
• Temukan koordinat vektor, jika tidak segera diberikan, dengan mengurangkan koordinat titik awal dari koordinat ujung vektor yang bersesuaian. Misalnya koordinat titik awal vektor adalah (1;-3;2) dan titik akhir (2;-4;-5), maka koordinat vektornya adalah (2-1;- 4+3;-5-2)=(1 ;-1;-7). Misalkan koordinat vektor a(x1;y1;z1), vektor b(x2;y2;z2).
• Tentukan panjang masing-masing vektor. Kuadratkan setiap koordinat vektor dan cari jumlah x1²+y1²+z1². Ambil akar kuadrat dari hasilnya. Untuk vektor kedua, lakukan prosedur yang sama. Jadi, kita mendapatkan │a│dan│b│.
• Temukan produk titik dari vektor-vektor tersebut. Caranya, kalikan koordinatnya dan tambahkan hasil kali │a b│= x1 x2+ y1 y2+ z1 z2.
• Tentukan kosinus sudut di antara keduanya, yang hasil kali skalar vektor-vektor yang diperoleh pada langkah 3 dibagi dengan hasil kali panjang vektor-vektor yang dihitung pada langkah 2 (Cos(α)= │a b│/(│a │ │b│)).
• Sinus sudut yang dihasilkan akan sama dengan akar kuadrat selisih antara angka 1 dan kuadrat kosinus sudut yang sama, dihitung pada langkah 4 (1-Cos²(α)).
• Hitung luasnya genjang, dibangun di atas vektor setelah menemukan hasil kali panjangnya, dihitung pada langkah 2, dan kalikan hasilnya dengan angka yang diperoleh setelah perhitungan pada langkah 5.
• Jika koordinat vektor diberikan pada bidang, koordinat z dibuang begitu saja selama perhitungan. Perhitungan ini merupakan ekspresi numerik dari perkalian vektor dua vektor.

Dalam pelajaran ini kita akan melihat dua operasi lagi dengan vektor: produk vektor dari vektor Dan produk campuran vektor (link langsung bagi yang membutuhkan). Tidak apa-apa, terkadang hal itu terjadi untuk kebahagiaan total produk skalar vektor, semakin banyak yang dibutuhkan. Ini adalah kecanduan vektor. Tampaknya kita memasuki hutan geometri analitik. Ini salah. Pada bagian matematika tingkat tinggi ini umumnya hanya terdapat sedikit kayu, kecuali mungkin cukup untuk Pinokio. Faktanya, materinya sangat umum dan sederhana - hampir tidak lebih rumit dari materi yang sama produk skalar, tugas-tugas tipikal bahkan akan lebih sedikit. Hal utama dalam geometri analitik, seperti yang diyakini atau sudah diyakini banyak orang, adalah JANGAN MEMBUAT KESALAHAN DALAM PERHITUNGAN. Ulangi seperti mantra dan Anda akan bahagia =)

Jika vektor bersinar di suatu tempat yang jauh, seperti kilat di cakrawala, tidak masalah, mulailah dengan pelajaran Vektor untuk boneka untuk memulihkan atau memperoleh kembali pengetahuan dasar tentang vektor. Pembaca yang lebih siap dapat mengenal informasi secara selektif; Saya mencoba mengumpulkan kumpulan contoh terlengkap yang sering ditemukan dalam kerja praktek

Apa yang akan membuatmu bahagia saat itu juga? Ketika saya masih kecil, saya bisa menyulap dua atau bahkan tiga bola. Itu berhasil dengan baik. Sekarang Anda tidak perlu melakukan juggling sama sekali, karena kami akan mempertimbangkannya hanya vektor spasial, dan vektor datar dengan dua koordinat akan diabaikan. Mengapa? Beginilah cara tindakan ini lahir - vektor dan produk campuran vektor didefinisikan dan bekerja dalam ruang tiga dimensi. Ini sudah lebih mudah!

Operasi ini, seperti halnya perkalian skalar, melibatkan dua vektor. Biarlah ini menjadi surat-surat yang tidak dapat binasa.

Tindakan itu sendiri dilambangkan dengan dengan cara berikut: . Ada pilihan lain, tapi saya terbiasa menyatakan perkalian vektor dari vektor dengan cara ini, dalam tanda kurung siku dengan tanda silang.

Dan segera pertanyaan: jika di produk skalar vektor dua vektor terlibat, dan di sini dua vektor juga dikalikan Apa bedanya? Perbedaan yang jelas, pertama-tama, terletak pada HASILnya:

Hasil perkalian skalar vektor adalah NOMOR:

Hasil perkalian silang vektor adalah VEKTOR: , yaitu kita mengalikan vektor-vektornya dan mendapatkan sebuah vektor lagi. Klub tertutup. Sebenarnya dari sinilah nama operasi tersebut berasal. Dalam literatur pendidikan yang berbeda, sebutannya juga bisa berbeda-beda, saya akan menggunakan surat itu.

Definisi perkalian silang

Pertama akan ada definisi dengan gambar, lalu komentar.

Definisi: Produk vektor non-kolinear vektor, diambil dalam urutan ini, disebut VEKTOR, panjang yang secara numerik sama dengan luas jajaran genjang, dibangun di atas vektor-vektor ini; vektor ortogonal terhadap vektor, dan diarahkan agar landasan mempunyai orientasi yang benar:

Mari kita uraikan definisinya sepotong demi sepotong, ada banyak hal menarik di sini!

Jadi, poin-poin penting berikut dapat disoroti:

1) Vektor asli, ditunjukkan dengan panah merah, menurut definisi tidak kolinear. Kasus vektor collinear akan lebih tepat untuk dibahas nanti.

2) Vektor diambil dalam urutan yang ditentukan secara ketat: – "a" dikalikan dengan "menjadi", bukan "menjadi" dengan "a". Hasil perkalian vektor adalah VECTOR, yang ditandai dengan warna biru. Jika vektor-vektor dikalikan dalam urutan terbalik, kita memperoleh vektor yang sama panjang dan berlawanan arah (warna raspberry). Artinya, kesetaraan itu benar .

3) Sekarang mari kita mengenal arti geometri perkalian vektor. Ini adalah poin yang sangat penting! PANJANG vektor biru (dan, oleh karena itu, vektor merah tua) secara numerik sama dengan AREA jajar genjang yang dibangun di atas vektor tersebut. Pada gambar, jajaran genjang ini diberi warna hitam.

Catatan : gambarnya skematis, dan tentu saja panjang nominal hasil kali vektor tidak sama dengan luas jajaran genjang.

Mari kita mengingat kembali salah satu rumus geometri: Luas jajar genjang sama dengan hasil kali sisi-sisi yang berdekatan dan sinus sudut di antara keduanya. Oleh karena itu, berdasarkan hal di atas, rumus menghitung PANJANG suatu produk vektor adalah valid:

Saya tekankan bahwa rumusnya adalah tentang PANJANG vektor, dan bukan tentang vektor itu sendiri. Apa arti praktisnya? Dan artinya dalam soal geometri analitik, luas jajar genjang sering ditemukan melalui konsep perkalian vektor:

Mari kita dapatkan rumus penting kedua. Diagonal jajar genjang (garis putus-putus merah) membaginya menjadi dua segitiga sama besar. Oleh karena itu, luas segitiga yang dibangun di atas vektor (arsir merah) dapat dicari dengan menggunakan rumus:

4) Fakta yang sama pentingnya adalah bahwa vektor tersebut ortogonal terhadap vektor, yaitu . Tentu saja, vektor yang arahnya berlawanan (panah raspberry) juga ortogonal terhadap vektor aslinya.

5) Vektor diarahkan sedemikian rupa dasar Memiliki Kanan orientasi. Dalam pelajaran tentang transisi ke dasar yang baru Saya berbicara dengan cukup detail tentang orientasi bidang, dan sekarang kita akan mengetahui apa itu orientasi ruang. Saya akan menjelaskannya dengan jari Anda tangan kanan. Gabungkan secara mental jari telunjuk dengan vektor dan jari tengah dengan vektor. Jari manis dan kelingking tekan ke telapak tangan Anda. Sebagai akibat ibu jari– produk vektor akan terlihat. Ini adalah basis yang berorientasi ke kanan (yang ini ada pada gambar). Sekarang ubah vektornya ( telunjuk dan jari tengah) di beberapa tempat, akibatnya ibu jari akan berputar, dan hasil kali vektor sudah terlihat ke bawah. Ini juga merupakan dasar yang berorientasi ke kanan. Anda mungkin mempunyai pertanyaan: basis manakah yang memiliki orientasi kiri? “Tetapkan” ke jari yang sama tangan kiri vektor, dan dapatkan basis kiri dan orientasi ruang kiri (dalam hal ini, ibu jari akan ditempatkan pada arah vektor bawah). Secara kiasan, pangkalan-pangkalan ini “memutar” atau mengarahkan ruang ke arah yang berbeda. Dan konsep ini tidak boleh dianggap sesuatu yang dibuat-buat atau abstrak - misalnya, orientasi ruang diubah oleh cermin paling biasa, dan jika Anda "menarik objek yang dipantulkan keluar dari kaca", maka secara umum itu adalah tidak akan mungkin untuk menggabungkannya dengan "asli". Ngomong-ngomong, dekatkan tiga jari ke cermin dan analisis pantulannya ;-)

...betapa bagusnya hal yang sekarang Anda ketahui berorientasi kanan dan kiri dasar, karena pernyataan beberapa dosen tentang perubahan orientasi itu menakutkan =)

Produk silang dari vektor-vektor collinear

Definisinya sudah dibahas secara detail, masih harus dicari tahu apa yang terjadi jika vektor-vektornya segaris. Jika vektor-vektornya segaris, maka vektor-vektor tersebut dapat ditempatkan pada satu garis lurus dan jajar genjang kita juga “melipat” menjadi satu garis lurus. Area seperti itu, seperti yang dikatakan para ahli matematika, merosot jajaran genjang sama dengan nol. Hal yang sama mengikuti rumus - sinus nol atau 180 derajat sama dengan nol, yang berarti luasnya nol

Jadi, jika , maka . Sebenarnya, hasil kali vektor itu sendiri sama dengan vektor nol, tetapi dalam praktiknya hal ini sering diabaikan dan ditulis sama dengan nol.

Kasus khusus adalah perkalian silang suatu vektor dengan dirinya sendiri:

Dengan menggunakan perkalian vektor, Anda dapat memeriksa kolinearitas vektor tiga dimensi, dan kami juga akan menganalisis masalah ini, antara lain.

Untuk memecahkan contoh-contoh praktis yang mungkin Anda perlukan tabel trigonometri untuk menemukan nilai sinus darinya.

Baiklah, mari kita nyalakan apinya:

Contoh 1

a) Tentukan panjang hasil kali vektor vektor-vektor jika

b) Tentukan luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor jika

Larutan: Bukan, ini bukan salah ketik, saya sengaja membuat data awal pada klausa sama. Karena desain solusinya akan berbeda!

a) Sesuai dengan kondisi yang perlu dicari panjang vektor (perkalian silang). Menurut rumus yang sesuai:

Menjawab:

Jika Anda ditanya tentang panjang, maka dalam jawabannya kami menunjukkan dimensi - satuan.

b) Sesuai dengan kondisi yang perlu dicari persegi jajaran genjang dibangun di atas vektor. Luas jajaran genjang ini secara numerik sama dengan panjang hasil kali vektor:

Menjawab:

Harap dicatat bahwa jawabannya tidak berbicara tentang perkalian vektor sama sekali; kami ditanya tentangnya luas gambar, oleh karena itu, dimensinya adalah satuan persegi.

Kami selalu melihat APA yang perlu kami temukan sesuai kondisi, dan berdasarkan itu kami merumuskannya jernih menjawab. Ini mungkin tampak seperti literalisme, tetapi ada banyak guru yang literalis, dan tugas tersebut memiliki peluang besar untuk dikembalikan untuk direvisi. Meskipun hal ini bukanlah sebuah argumen yang dibuat-buat - jika jawabannya salah, maka akan ada kesan bahwa orang tersebut tidak memahami hal-hal sederhana dan/atau belum memahami esensi tugas. Poin ini harus selalu dikendalikan ketika memecahkan masalah apa pun dalam matematika tingkat tinggi, dan juga dalam mata pelajaran lain.

Kemana perginya huruf besar “en”? Pada prinsipnya, ini bisa saja dilampirkan pada solusi, tetapi untuk mempersingkat entri, saya tidak melakukan ini. Saya harap semua orang memahami hal itu dan merupakan sebutan untuk hal yang sama.

Contoh populer untuk solusi DIY:

Contoh 2

Temukan luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Rumus untuk mencari luas segitiga melalui perkalian vektor diberikan dalam komentar definisi. Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran.

Dalam praktiknya, tugas ini sangat umum; segitiga umumnya dapat menyiksa Anda.

Untuk memecahkan masalah lain kita memerlukan:

Sifat-sifat hasil kali vektor dari vektor

Kami telah mempertimbangkan beberapa properti produk vektor, namun saya akan memasukkannya ke dalam daftar ini.

Untuk vektor sembarang dan bilangan sembarang, sifat-sifat berikut ini benar:

1) Dalam sumber informasi lain, item ini biasanya tidak disorot dalam propertinya, tetapi sangat penting dalam istilah praktis. Jadi biarkan saja.

2) – properti juga dibahas di atas, kadang-kadang disebut antikomutatif. Dengan kata lain, urutan vektor itu penting.

3) – asosiatif atau asosiatif hukum produk vektor. Konstanta dapat dengan mudah dipindahkan ke luar perkalian vektor. Sebenarnya, apa yang harus mereka lakukan di sana?

4) – distribusi atau distributif hukum produk vektor. Buka bracketnya juga tidak ada masalah.

Untuk mendemonstrasikannya, mari kita lihat contoh singkat:

Contoh 3

Temukan jika

Larutan: Kondisi tersebut sekali lagi mengharuskan mencari panjang hasil kali vektor. Mari kita melukis miniatur kita:

(1) Menurut hukum asosiatif, kita mengambil konstanta di luar lingkup perkalian vektor.

(2) Kita memindahkan konstanta ke luar modul, dan modul “memakan” tanda minus. Panjangnya tidak boleh negatif.

(3) Selebihnya jelas.

Menjawab:

Saatnya menambahkan lebih banyak kayu ke dalam api:

Contoh 4

Hitung luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Larutan: Mencari luas segitiga menggunakan rumus . Tangkapannya adalah bahwa vektor “tse” dan “de” disajikan sebagai jumlah dari vektor. Algoritme di sini standar dan agak mengingatkan pada contoh No. 3 dan 4 dari pelajaran Produk titik dari vektor. Untuk lebih jelasnya, kami akan membagi solusinya menjadi tiga tahap:

1) Pada langkah pertama, kita menyatakan perkalian vektor melalui perkalian vektor, pada kenyataannya, mari kita nyatakan suatu vektor dalam bentuk vektor. Belum ada kabar mengenai panjangnya!

(1) Substitusikan ekspresi vektor-vektor tersebut.

(2) Dengan menggunakan hukum distributif, kita membuka tanda kurung menurut aturan perkalian polinomial.

(3) Dengan menggunakan hukum asosiatif, kita memindahkan semua konstanta melampaui hasil kali vektor. Dengan sedikit pengalaman, langkah 2 dan 3 dapat dilakukan secara bersamaan.

(4) Suku pertama dan suku terakhir sama dengan nol (vektor nol) karena sifat bagus. Pada suku kedua kita menggunakan sifat antikomutatif suatu produk vektor:

(5) Kami menyajikan istilah serupa.

Hasilnya, vektor tersebut ternyata dinyatakan dalam vektor, yang ingin dicapai:

2) Pada langkah kedua, kita mencari panjang hasil kali vektor yang kita butuhkan. Tindakan ini mirip dengan Contoh 3:

3) Temukan luas segitiga yang diinginkan:

Tahapan 2-3 solusinya bisa saja ditulis dalam satu baris.

Menjawab:

Masalah yang dipertimbangkan cukup umum dalam pengujian, berikut adalah contoh penyelesaiannya sendiri:

Contoh 5

Temukan jika

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran. Mari kita lihat seberapa perhatian Anda saat mempelajari contoh sebelumnya ;-)

Produk silang vektor dalam koordinat

, ditentukan dalam dasar ortonormal, dinyatakan dengan rumus:

Rumusnya sangat sederhana: di baris atas determinan kita tulis vektor koordinatnya, di baris kedua dan ketiga kita “letakkan” koordinat vektornya, dan kita masukkan dalam urutan yang ketat– pertama koordinat vektor “ve”, kemudian koordinat vektor “double-ve”. Jika vektor perlu dikalikan dalam urutan yang berbeda, maka barisnya harus ditukar:

Contoh 10

Periksa apakah vektor-vektor ruang berikut ini segaris:
A)
B)

Larutan: Pemeriksaannya didasarkan pada salah satu pernyataan dalam pelajaran ini: jika vektor-vektornya segaris, maka hasil kali vektornya sama dengan nol (vektor nol): .

a) Temukan produk vektor:

Jadi, vektor-vektornya tidak segaris.

b) Temukan produk vektor:

Menjawab: a) tidak segaris, b)

Ini mungkin semua informasi dasar tentang perkalian vektor dari vektor.

Bagian ini tidak akan terlalu besar, karena hanya ada sedikit soal yang menggunakan perkalian campuran vektor. Faktanya, semuanya akan bergantung pada definisi, makna geometris, dan beberapa rumus kerja.

Hasil kali campuran vektor adalah hasil kali tiga buah vektor:

Jadi mereka berbaris seperti kereta api dan tidak sabar untuk diidentifikasi.

Pertama, sekali lagi, definisi dan gambarannya:

Definisi: Pekerjaan campuran non-koplanar vektor, diambil dalam urutan ini, ditelepon volume paralelepiped, dibangun di atas vektor-vektor tersebut, dilengkapi dengan tanda “+” jika basisnya di kanan, dan tanda “–” jika basisnya di kiri.

Mari kita menggambar. Garis yang tidak terlihat oleh kita digambar dengan garis putus-putus:

Mari selami definisinya:

2) Vektor diambil dalam urutan tertentu, yaitu penataan ulang vektor-vektor dalam produk, seperti yang Anda duga, bukannya terjadi tanpa konsekuensi.

3) Sebelum mengomentari makna geometris, saya akan mencatat fakta yang jelas: hasil kali campuran vektor adalah ANGKA: . Dalam literatur pendidikan, desainnya mungkin sedikit berbeda, saya biasa menyatakan hasil perkalian campuran dengan , dan hasil perhitungan dengan huruf “pe”.

A-priori produk campuran adalah volume parallelepiped, dibangun di atas vektor (gambar digambar dengan vektor merah dan garis hitam). Artinya, jumlahnya sama dengan volume suatu parallelepiped tertentu.

Catatan : Gambarnya skematis.

4) Jangan khawatir lagi mengenai konsep orientasi dasar dan ruang. Arti dari bagian terakhir adalah dapat ditambahkan tanda minus pada volume. Dengan kata sederhana, produk campuran bisa menjadi negatif: .

Langsung dari definisi berikut rumus untuk menghitung volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor.

Luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor sama dengan hasil kali panjang vektor-vektor tersebut dan sudut sudut yang terletak di antara vektor-vektor tersebut.

Ada baiknya jika kondisi memberikan panjang dari vektor yang sama. Namun, rumus luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor juga dapat diterapkan hanya setelah dilakukan perhitungan menggunakan koordinat.
Jika Anda beruntung dan kondisinya memberikan panjang vektor, maka Anda hanya perlu menerapkan rumus yang telah kita bahas secara detail di artikel. Luasnya akan sama dengan hasil kali modul dan sinus sudut di antara keduanya:

Mari kita perhatikan contoh penghitungan luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor.

Tugas: Jajar genjang dibangun di atas vektor dan . Hitunglah luas jika , dan sudut antara keduanya adalah 30°.
Mari kita nyatakan vektor melalui nilainya:

Mungkin Anda mempunyai pertanyaan - dari mana angka nol itu berasal? Perlu diingat bahwa kita bekerja dengan vektor, dan untuk mereka . perhatikan juga bahwa jika hasilnya berupa ekspresi, maka akan dikonversi menjadi. Sekarang kita melakukan perhitungan akhir:

Mari kita kembali ke soal ketika panjang vektor tidak ditentukan dalam kondisi. Jika jajaran genjang Anda terletak pada sistem koordinat Kartesius, Anda perlu melakukan hal berikut.

Perhitungan panjang sisi suatu bangun berdasarkan koordinat

Pertama, kita cari koordinat vektornya dan kurangi koordinat awal yang sesuai dari koordinat akhir. Misalkan koordinat vektor a adalah (x1;y1;z1), dan vektor b adalah (x3;y3;z3).
Sekarang kita mencari panjang masing-masing vektor. Untuk melakukan ini, setiap koordinat harus dikuadratkan, kemudian hasil yang diperoleh harus dijumlahkan dan akarnya diekstraksi dari bilangan akhir. Berdasarkan vektor kita akan dilakukan perhitungan sebagai berikut:


Sekarang kita perlu mencari produk skalar dari vektor-vektor kita. Untuk melakukan ini, koordinatnya dikalikan dan dijumlahkan.

Dengan mengetahui panjang vektor dan hasil kali skalarnya, kita dapat mencari kosinus sudut yang terletak di antara keduanya .
Sekarang kita dapat mencari sinus sudut yang sama:
Sekarang kita memiliki semua besaran yang diperlukan, dan kita dapat dengan mudah mencari luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor menggunakan rumus yang sudah diketahui.