Kare paralelkenar, üzerine inşa vektörler, bu vektörlerin uzunlukları ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımı olarak hesaplanır. Yalnızca vektörlerin koordinatları biliniyorsa, vektörler arasındaki açının belirlenmesi de dahil olmak üzere hesaplamalar için koordinat yöntemleri kullanılmalıdır.

İhtiyacın olacak

• - vektör kavramı;
• - vektörlerin özellikleri;
• - Kartezyen koordinatları;
• - trigonometrik fonksiyonlar.

Talimatlar

• Vektörlerin uzunlukları ve aralarındaki açı biliniyorsa alanı bulmak için paralelkenar, üzerine inşa vektörler, modüllerinin çarpımını (vektör uzunlukları) aralarındaki açının sinüsüyle bulun S=│a│ │ b│ sin(α).
• Vektörler Kartezyen koordinat sisteminde verilmişse, alanı bulmak için paralelkenar bunların üzerine kuruluysa aşağıdakileri yapın:
• Hemen verilmemişse, vektörlerin koordinatlarını, başlangıçların koordinatlarını, vektörlerin uçlarının karşılık gelen koordinatlarından çıkararak bulun. Örneğin, vektörün başlangıç ​​noktasının koordinatları (1;-3;2) ve son noktasının (2;-4;-5) koordinatları ise, vektörün koordinatları (2-1;-) olacaktır. 4+3;-5-2)=(1 ;-1;-7). a(x1;y1;z1) vektörünün ve b(x2;y2;z2) vektörünün koordinatları olsun.
• Her bir vektörün uzunluğunu bulun. Vektör koordinatlarının karesini alın ve x1²+y1²+z1² toplamlarını bulun. Sonucun karekökünü alın. İkinci vektör için aynı işlemi yapın. Böylece │a│ve│b│ elde ederiz.
• Vektörlerin nokta çarpımını bulun. Bunu yapmak için, karşılık gelen koordinatları çarpın ve │a b│= x1 x2+ y1 y2+ z1 z2 ürünlerini ekleyin.
• 3. adımda elde edilen vektörlerin skaler çarpımının 2. adımda hesaplanan vektörlerin uzunluklarının çarpımına bölünmesiyle aralarındaki açının kosinüsünü belirleyin (Cos(α)= │a b│/(│a) │ │ b│)).
• Ortaya çıkan açının sinüsü, 1 sayısı ile aynı açının kosinüsünün karesi arasındaki farkın 4. adımda hesaplanan farkının kareköküne eşit olacaktır (1-Cos²(α)).
• Alanı hesapla paralelkenar, üzerine inşa vektörler 2. adımda hesaplanan uzunluklarının çarpımını bulduktan sonra sonucu 5. adımda yapılan hesaplamalardan sonra elde edilen sayıyla çarpın.
• Vektörlerin koordinatlarının düzlemde verilmesi durumunda z koordinatı hesaplamalar sırasında basitçe atılır. Bu hesaplama iki vektörün vektör çarpımının sayısal ifadesidir.

Bu derste vektörlerle iki işleme daha bakacağız: vektörlerin vektör çarpımı Ve vektörlerin karışık çarpımı (İhtiyacı olanlar için hemen link). Sorun değil, bazen tam mutluluk için de olur vektörlerin skaler çarpımı giderek daha fazlasına ihtiyaç duyulmaktadır. Bu vektör bağımlılığıdır. Analitik geometri ormanına giriyormuşuz gibi görünebilir. Bu yanlış. Yüksek matematiğin bu bölümünde, belki Pinokyo'ya yetecek kadar olanın dışında, genellikle çok az tahta bulunur. Aslında materyal çok yaygın ve basittir; aynı materyalden neredeyse hiç karmaşık değildir. skaler çarpım hatta daha az tipik görev olacak. Analitik geometrideki en önemli şey, birçok kişinin ikna olacağı veya zaten ikna olduğu gibi, HESAPLAMALARDA HATA YAPMMAKTIR. Büyü gibi tekrarlayın, mutlu olacaksınız =)

Vektörler uzak bir yerde ufuktaki şimşek gibi parlıyorsa fark etmez, dersten başlayın Aptallar için vektörler vektörler hakkındaki temel bilgileri geri yüklemek veya yeniden edinmek. Daha hazırlıklı okuyucular bilgileri seçici olarak tanıyabilir; pratik çalışmalarda sıklıkla bulunan örneklerin en eksiksiz koleksiyonunu toplamaya çalıştım.

Seni hemen ne mutlu edecek? Küçükken iki hatta üç topla hokkabazlık yapabilirdim. İyi sonuç verdi. Şimdi dikkate alacağımız için hokkabazlık yapmanıza gerek kalmayacak. yalnızca uzaysal vektörler ve iki koordinatlı düz vektörler dışarıda bırakılacaktır. Neden? Bu eylemler böyle doğdu - vektör ve vektörlerin karışık çarpımı tanımlanır ve üç boyutlu uzayda çalışır. Zaten daha kolay!

Bu işlem, tıpkı skaler çarpım gibi, şunları içerir: iki vektör. Bunlar ölümsüz harfler olsun.

Eylemin kendisi ile gösterilir Aşağıdaki şekilde: . Başka seçenekler de var, ancak ben vektörlerin vektör çarpımını bu şekilde köşeli parantez içinde ve çarpı işaretiyle göstermeye alışkınım.

Ve hemen soru: eğer içerideyse vektörlerin skaler çarpımı iki vektör söz konusudur ve burada iki vektör de çarpılır, o zaman fark ne? Bariz fark, her şeyden önce SONUÇ'tadır:

Vektörlerin skaler çarpımının sonucu SAYI'dır:

Vektörlerin çapraz çarpımının sonucu VEKTÖRdür: yani vektörleri çarpıyoruz ve tekrar bir vektör elde ediyoruz. Kapalı kulüp. Aslında operasyonun adı da buradan geliyor. Farklı eğitim literatüründe tanımlamalar da farklılık gösterebilir; mektubu kullanacağım.

Çapraz çarpımın tanımı

Önce resimli bir tanım olacak, sonra yorumlar.

Tanım: Vektör çarpımı doğrusal olmayan vektörler, bu sıraya göre alındı VEKTÖR adı verilen, uzunluk sayısal olarak paralelkenarın alanına eşit, bu vektörler üzerine inşa edilmiş; vektör vektörlere dik, ve tabanın doğru yönelime sahip olacağı şekilde yönlendirilir:

Tanımı parça parça inceleyelim, burada pek çok ilginç şey var!

Dolayısıyla aşağıdaki önemli noktalar vurgulanabilir:

1) Tanım gereği kırmızı oklarla gösterilen orijinal vektörler doğrusal değil. Doğrusal vektörler durumunu biraz sonra ele almak uygun olacaktır.

2) Vektörler alınır kesin olarak tanımlanmış bir sırayla: – "a" "olmak" ile çarpılır, “a” ile “olmak” değil. Vektör çarpımının sonucu mavi renkle gösterilen VEKTÖR'dür. Vektörler ters sırada çarpılırsa eşit uzunlukta ve zıt yönde (ahududu rengi) bir vektör elde ederiz. Yani eşitlik doğrudur .

3) Şimdi vektör çarpımının geometrik anlamını tanıyalım. Bu çok önemli bir konu! Mavi vektörün (ve dolayısıyla kırmızı vektörün) UZUNLUĞU sayısal olarak vektörler üzerine oluşturulan paralelkenarın ALANI'na eşittir. Şekilde bu paralelkenar siyahla gölgelendirilmiştir.

Not : çizim şematiktir ve doğal olarak vektör ürününün nominal uzunluğu paralelkenarın alanına eşit değildir.

Geometrik formüllerden birini hatırlayalım: Paralelkenarın alanı, bitişik kenarların çarpımına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir.. Bu nedenle, yukarıdakilere dayanarak, bir vektör çarpımının UZUNLUĞUNU hesaplamak için kullanılan formül geçerlidir:

Formülün vektörün kendisi ile değil, vektörün UZUNLUĞU ile ilgili olduğunu vurguluyorum. Pratik anlamı nedir? Ve bunun anlamı, analitik geometri problemlerinde paralelkenarın alanının genellikle bir vektör çarpımı kavramı aracılığıyla bulunmasıdır:

İkinci önemli formülü elde edelim. Paralelkenarın köşegeni (kırmızı noktalı çizgi) onu iki eşit üçgene böler. Bu nedenle, vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanı (kırmızı gölgeli) aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

4) Eşit derecede önemli bir gerçek de vektörün vektörlere dik olmasıdır; . Elbette zıt yönlü vektör (ahududu oku) da orijinal vektörlere diktir.

5) Vektör şu şekilde yönlendirilir: temel Var Sağ oryantasyon. Konuyla ilgili derste yeni bir temele geçiş hakkında yeterince ayrıntılı konuştum düzlem yönelimi ve şimdi uzay yöneliminin ne olduğunu bulacağız. Parmaklarınla ​​açıklayacağım sağ el. Zihinsel olarak birleştirin işaret parmağı vektör ile ve orta parmak vektör ile. Yüzük parmağı ve küçük parmak avucunuza bastırın. Sonuç olarak baş parmak– vektör çarpımı yukarı bakacak. Bu sağ odaklı bir temeldir (şekildeki budur). Şimdi vektörleri değiştirin ( işaret ve orta parmaklar) bazı yerlerde sonuç olarak başparmak dönecek ve vektör çarpımı zaten aşağıya bakacak. Bu aynı zamanda sağ odaklı bir temeldir. Bir sorunuz olabilir: Hangi temelin sola yönelimi var? Aynı parmaklara “atama” sol el vektörleri kullanın ve uzayın sol tabanını ve sol yönelimini elde edin (bu durumda başparmak alt vektör yönünde konumlandırılacaktır). Mecazi anlamda konuşursak, bu tabanlar uzayı farklı yönlere "büküyor" veya yönlendiriyor. Ve bu kavram abartılı veya soyut bir şey olarak görülmemelidir - örneğin, uzayın yönelimi en sıradan ayna tarafından değiştirilir ve eğer "yansıyan nesneyi aynanın dışına çekerseniz", o zaman genel durumda onu “orijinal” ile birleştirmek mümkün olmayacak. Bu arada, üç parmağınızı aynaya doğru tutun ve yansımayı analiz edin ;-)

...şimdi bunu biliyor olman ne kadar iyi sağ ve sol odaklıçünkü bazı hocaların yönelim değişikliğine dair açıklamaları korkutucu =)

Doğrusal vektörlerin çapraz çarpımı

Tanım ayrıntılı olarak tartışıldı, vektörler eşdoğrusal olduğunda ne olacağını bulmaya devam ediyor. Vektörler eşdoğrusal ise, o zaman tek bir düz çizgiye yerleştirilebilirler ve paralelkenarımız da tek bir düz çizgi halinde "katlanır". Matematikçilerin dediği gibi bunun alanı, dejenere paralelkenar sıfıra eşittir. Aynı şey formülden de gelir - sıfır veya 180 derecenin sinüsü sıfıra eşittir, bu da alanın sıfır olduğu anlamına gelir

Böylece eğer öyleyse . Kesin olarak konuşursak, vektör çarpımının kendisi sıfır vektörüne eşittir, ancak pratikte bu genellikle ihmal edilir ve bunun basitçe sıfıra eşit olduğu yazılır.

Özel bir durum, bir vektörün kendisiyle çapraz çarpımıdır:

Vektör çarpımını kullanarak üç boyutlu vektörlerin eşdoğrusallığını kontrol edebilirsiniz; diğerlerinin yanı sıra bu sorunu da analiz edeceğiz.

İhtiyacınız olabilecek pratik örnekleri çözmek için trigonometrik tablo sinüslerin değerlerini ondan bulmak için.

Hadi ateşi yakalım:

örnek 1

a) Aşağıdaki durumlarda vektörlerin vektör çarpımının uzunluğunu bulunuz.

b) Vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanını bulun, eğer

Çözüm: Hayır, bu bir yazım hatası değil, cümlelerdeki başlangıç ​​verilerini bilinçli olarak aynı yaptım. Çünkü çözümlerin tasarımı farklı olacak!

a) Koşula göre bulmanız gerekir uzunluk vektör (çapraz çarpım). İlgili formüle göre:

Cevap:

Uzunluk hakkında soru sorulursa, cevapta boyut birimlerini belirtiriz.

b) Koşula göre bulmanız gerekir kare Vektörler üzerine kurulu paralelkenar. Bu paralelkenarın alanı sayısal olarak vektör ürününün uzunluğuna eşittir:

Cevap:

Lütfen cevabın vektör çarpımı hakkında hiçbir şekilde konuşmadığını unutmayın; bize şunu sordular: şeklin alanı buna göre boyut birim karedir.

Her zaman duruma göre NE bulmamız gerektiğine bakarız ve buna dayanarak formüle ederiz. temizlemek cevap. Bu, gerçekçilik gibi görünebilir, ancak öğretmenler arasında çok sayıda gerçekçilik vardır ve ödevin gözden geçirilmek üzere geri gönderilme şansı yüksektir. Her ne kadar bu çok abartılı bir kelime oyunu olmasa da - eğer cevap yanlışsa, o zaman kişinin basit şeyleri anlamadığı ve/veya görevin özünü anlamadığı izlenimi edinilir. Yüksek matematikte ve diğer konularda herhangi bir problemi çözerken bu noktanın daima kontrol altında tutulması gerekir.

Büyük “en” harfi nereye gitti? Prensip olarak çözüme ek olarak eklenebilirdi ama girişi kısaltmak için bunu yapmadım. Umarım herkes bunu anlar ve bu da aynı şeyin tanımıdır.

Kendin Yap çözümü için popüler bir örnek:

Örnek 2

Eğer vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanını bulun

Bir üçgenin alanını vektör çarpımı aracılığıyla bulma formülü, tanımın yorumlarında verilmiştir. Çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Pratikte bu görev gerçekten çok yaygındır; üçgenler genellikle size eziyet edebilir.

Diğer sorunları çözmek için ihtiyacımız olacak:

Vektörlerin vektör çarpımının özellikleri

Vektör çarpımının bazı özelliklerini zaten değerlendirdik, ancak bunları bu listeye dahil edeceğim.

Rastgele vektörler ve rastgele bir sayı için aşağıdaki özellikler doğrudur:

1) Diğer bilgi kaynaklarında bu madde genellikle özelliklerde vurgulanmaz ancak pratik açıdan çok önemlidir. Bırak olsun.

2) – mülkiyet de yukarıda tartışılmıştır, bazen denir antideğişme. Başka bir deyişle vektörlerin sırası önemlidir.

3) – ilişkisel veya çağrışımsal vektör çarpım yasaları. Sabitler kolaylıkla vektör çarpımının dışına taşınabilir. Gerçekten orada ne yapmaları gerekiyor?

4) – dağıtım veya dağıtıcı vektör çarpım yasaları. Braketlerin açılmasında da herhangi bir sorun yoktur.

Göstermek için kısa bir örneğe bakalım:

Örnek 3

Eğer varsa bul

Çözüm: Koşul yine vektör çarpımının uzunluğunu bulmayı gerektirir. Minyatürümüzü çizelim:

(1) Birleşim yasalarına göre sabitleri vektör çarpımının kapsamı dışında tutuyoruz.

(2) Sabiti modülün dışına alırız ve modül eksi işaretini “yer”. Uzunluk negatif olamaz.

(3) Gerisi açıktır.

Cevap:

Ateşe daha fazla odun eklemenin zamanı geldi:

Örnek 4

Aşağıdaki durumlarda vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanını hesaplayın:

Çözüm: Formülü kullanarak üçgenin alanını bulun . İşin püf noktası, "tse" ve "de" vektörlerinin kendilerinin vektörlerin toplamı olarak sunulmasıdır. Buradaki algoritma standarttır ve bir şekilde dersin 3 ve 4 numaralı örneklerini anımsatmaktadır. Vektörlerin nokta çarpımı. Netlik sağlamak için çözümü üç aşamaya ayıracağız:

1) İlk adımda vektör çarpımını vektör çarpımı üzerinden ifade ediyoruz, aslında, bir vektörü bir vektör cinsinden ifade edelim. Uzunluklarla ilgili henüz bir kelime yok!

(1) Vektörlerin ifadelerini değiştirin.

(2) Dağılım yasalarını kullanarak parantezleri polinomların çarpma kuralına göre açıyoruz.

(3) İlişkisel yasaları kullanarak tüm sabitleri vektör çarpımlarının ötesine taşırız. Biraz tecrübe ile 2. ve 3. adımlar aynı anda gerçekleştirilebilir.

(4) Nice özelliğinden dolayı ilk ve son terimler sıfıra (sıfır vektörü) eşittir. İkinci terimde bir vektör çarpımının antideğişme özelliğini kullanıyoruz:

(5) Benzer terimleri sunuyoruz.

Sonuç olarak, vektörün bir vektör aracılığıyla ifade edildiği ortaya çıktı; bu da başarılması gereken şeydi:

2) İkinci adımda ihtiyacımız olan vektör çarpımının uzunluğunu buluyoruz. Bu eylem Örnek 3'e benzer:

3) Gerekli üçgenin alanını bulun:

Çözümün 2-3. aşamaları tek satırda yazılabilirdi.

Cevap:

Göz önünde bulundurulan sorun testlerde oldukça yaygındır; işte bunu kendiniz çözmek için bir örnek:

Örnek 5

Eğer varsa bul

Dersin sonunda kısa bir çözüm ve cevap. Bakalım önceki örnekleri incelerken ne kadar dikkatli davranmışsınız ;-)

Koordinatlardaki vektörlerin çapraz çarpımı

ortonormal bazda belirtilen, formülle ifade edilir:

Formül gerçekten basit: Determinantın üst satırına koordinat vektörlerini yazıyoruz, ikinci ve üçüncü satırlara vektörlerin koordinatlarını "koyuyoruz" ve şunu koyuyoruz: sıkı bir düzende– önce “ve” vektörünün koordinatları, ardından “çift-ve” vektörünün koordinatları. Vektörlerin farklı bir sırayla çarpılması gerekiyorsa satırların yeri değiştirilmelidir:

Örnek 10

Aşağıdaki uzay vektörlerinin doğrusal olup olmadığını kontrol edin:
A)
B)

Çözüm: Kontrol, bu dersteki ifadelerden birine dayanmaktadır: eğer vektörler doğrusalsa, vektör çarpımları sıfıra eşittir (sıfır vektör): .

a) Vektör çarpımını bulun:

Bu nedenle vektörler doğrusal değildir.

b) Vektör çarpımını bulun:

Cevap: a) doğrusal değil, b)

Burada belki de vektörlerin vektör çarpımına ilişkin tüm temel bilgiler yer almaktadır.

Vektörlerin karma çarpımının kullanıldığı yerlerde çok az sorun olduğundan bu bölüm çok büyük olmayacaktır. Aslında her şey tanıma, geometrik anlama ve birkaç çalışma formülüne bağlı olacaktır.

Vektörlerin karışık bir çarpımı üç vektörün çarpımıdır:

Yani bir tren gibi sıraya girdiler ve kimliklerinin tespit edilmesi için sabırsızlanıyorlar.

Öncelikle yine bir tanım ve resim:

Tanım: Karma çalışma eş düzlemli olmayan vektörler, bu sıraya göre alındı, isminde paralel yüzlü hacim, bu vektörler üzerine kuruludur ve taban doğruysa “+” işaretiyle, taban soldaysa “–” işaretiyle donatılmıştır.

Çizimi yapalım. Bizim için görünmeyen çizgiler noktalı çizgilerle çizilir:

Tanıma geçelim:

2) Vektörler alınır belli bir sırayla yani çarpımdaki vektörlerin yeniden düzenlenmesi tahmin edebileceğiniz gibi sonuçsuz olmuyor.

3) Geometrik anlam hakkında yorum yapmadan önce bariz bir gerçeğe dikkat çekeceğim: vektörlerin karışık çarpımı bir SAYIdır: . Eğitim literatüründe tasarım biraz farklı olabilir; karma bir ürünü ve hesaplamaların sonucunu “pe” harfiyle belirtmeye alışkınım.

A-tarikatı karışık ürün paralelyüzlü hacmidir, vektörler üzerine inşa edilmiştir (şekil kırmızı vektörler ve siyah çizgilerle çizilmiştir). Yani sayı, belirli bir paralel yüzün hacmine eşittir.

Not : Çizim şematiktir.

4) Tabanın ve mekanın yönelimi kavramını bir daha dert etmeyelim. Son kısmın anlamı ise hacme eksi işareti eklenebilmesidir. Basit bir ifadeyle, karışık bir ürün negatif olabilir: .

Doğrudan tanımdan, vektörler üzerine kurulu bir paralel borunun hacmini hesaplamak için formül gelir.

Vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanı, bu vektörlerin uzunlukları ile aralarındaki açının açısının çarpımına eşittir.

Koşulların aynı vektörlerin uzunluklarını vermesi iyidir. Bununla birlikte, vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanı formülünün ancak koordinatlar kullanılarak yapılan hesaplamalardan sonra uygulanabileceği de olur.
Şanslıysanız ve koşullar vektörlerin uzunluklarını veriyorsa, makalede daha önce ayrıntılı olarak tartıştığımız formülü uygulamanız yeterlidir. Alan, modüllerin çarpımına ve aralarındaki açının sinüsüne eşit olacaktır:

Vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım.

Görev: Paralelkenar ve vektörleri üzerine kuruludur. Eğer alanını bulun ve aralarındaki açı 30° ise.
Vektörleri değerleri aracılığıyla ifade edelim:

Belki bir sorunuz var - sıfırlar nereden geliyor? Vektörlerle çalıştığımızı ve onlar için çalıştığımızı hatırlamakta fayda var. . ayrıca sonuç bir ifade ise, buna dönüştürüleceğini unutmayın. Şimdi son hesaplamaları yapıyoruz:

Koşullarda vektörlerin uzunlukları belirtilmediğinde soruna dönelim. Paralelkenarınız Kartezyen koordinat sisteminde yer alıyorsa aşağıdakileri yapmanız gerekecektir.

Koordinatlarla verilen bir şeklin kenar uzunluklarının hesaplanması

Öncelikle vektörlerin koordinatlarını buluyoruz ve karşılık gelen başlangıç ​​koordinatlarını bitiş koordinatlarından çıkarıyoruz. Diyelim ki a vektörünün koordinatları (x1;y1;z1) ve b vektörü (x3;y3;z3) olsun.
Şimdi her vektörün uzunluğunu buluyoruz. Bunu yapmak için, her koordinatın karesi alınmalı, ardından elde edilen sonuçlar eklenmeli ve son sayıdan kök çıkarılmalıdır. Vektörlerimize dayanarak aşağıdaki hesaplamalar yapılacaktır:


Şimdi vektörlerimizin skaler çarpımını bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için karşılık gelen koordinatlar çarpılır ve eklenir.

Vektörlerin uzunluklarını ve bunların skaler çarpımını alarak aralarındaki açının kosinüsünü bulabiliriz. .
Şimdi aynı açının sinüsünü bulabiliriz:
Artık gerekli tüm miktarlara sahibiz ve zaten bilinen formülü kullanarak vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanını kolayca bulabiliriz.