Boltzmann sabiti (k (\displaystyle k) veya k B (\displaystyle k_(\rm (B)))) - sıcaklık ve enerji arasındaki ilişkiyi belirleyen fiziksel bir sabit. Adını, bu sabitin önemli bir rol oynadığı istatistiksel fiziğe büyük katkılarda bulunan Avusturyalı fizikçi Ludwig Boltzmann'dan almıştır. Uluslararası Birim Sistemindeki (SI) deneysel değeri:
k = 1,380 648 52 (79) × 10 − 23 (\displaystyle k=1(,)380\,648\,52(79)\times 10^(-23)) J/.Parantez içindeki sayılar miktar değerinin son basamaklarındaki standart hatayı gösterir.
Ansiklopedik YouTube
1 / 3
✪ Termal radyasyon. Stefan-Boltzmann yasası
✪ Boltzmann dağıtım modeli.
✪ Fizik. MKT: İdeal bir gaz için Mendeleev-Clapeyron denklemi. Foxford Çevrimiçi Öğrenim Merkezi
Altyazılar
Sıcaklık ve enerji arasındaki ilişki
Mutlak sıcaklıkta homojen bir ideal gazda T (\displaystyle T) Maxwell dağılımından aşağıdaki gibi her öteleme serbestlik derecesi başına enerji eşittir, k T / 2 (\displaystyle kT/2). Oda sıcaklığında (300o) bu enerji 2 , 07 × 10 − 21 (\displaystyle 2(,)07\times 10^(-21)) J veya 0,013 eV. Tek atomlu bir ideal gazda, her atomun üç uzaysal eksene karşılık gelen üç serbestlik derecesi vardır; bu, her atomun enerjisine sahip olduğu anlamına gelir. 3 2 k T (\displaystyle (\frac (3)(2))kT).
Termal enerjiyi bildiğimizde, atom kütlesinin kareköküyle ters orantılı olan atomların ortalama kare hızının kökünü hesaplayabiliriz. Oda sıcaklığında ortalama kare hız, helyum için 1370 m/s'den ksenon için 240 m/s'ye kadar değişir. Moleküler bir gaz durumunda durum daha karmaşık hale gelir; örneğin, iki atomlu bir gazın beş serbestlik derecesi vardır (düşük sıcaklıklarda, molekül içindeki atomların titreşimleri uyarılmadığında).
entropinin tanımı
Bir termodinamik sistemin entropisi, farklı mikro durumların sayısının doğal logaritması olarak tanımlanır. Z (\displaystyle Z) belirli bir makroskopik duruma karşılık gelir (örneğin, belirli bir toplam enerjiye sahip bir durum).
S = k ln Z . (\displaystyle S=k\ln Z.)Orantılılık faktörü k (\displaystyle k) ve Boltzmann sabitidir. Bu, mikroskobik () arasındaki ilişkiyi tanımlayan bir ifadedir. Z (\displaystyle Z)) ve makroskopik durumlar ( S (\displaystyle S)), istatistiksel mekaniğin temel fikrini ifade eder.
Varsayılan değer tespiti
17-21 Ekim 2011 tarihlerinde düzenlenen XXIV. Ağırlıklar ve Ölçüler Genel Konferansı, özellikle Uluslararası Birimler Sisteminin gelecekteki revizyonunun şu şekilde yapılması gerektiğinin önerildiği bir kararı kabul etti: Boltzmann sabitinin değerini sabitleyin, bundan sonra kesin kabul edilecektir Kesinlikle. Sonuç olarak idam edilecek bire bir aynı eşitlik k=1,380 6X⋅10 −23 J/K, burada X bir veya daha fazla anlamlı rakamı temsil eder ve bu rakam en doğru CODATA tavsiyelerine göre ayrıca belirlenecektir. Bu iddia edilen sabitleme, termodinamik sıcaklık kelvin birimini, değerini Boltzmann sabitinin değeriyle bağlayarak yeniden tanımlama arzusuyla ilişkilidir.
k = 1,38 · 10 - 23 J K'ye eşit bir katsayı olan Boltzmann sabiti, fizikteki önemli sayıda formülün bir parçasıdır. Adını moleküler kinetik teorisinin kurucularından biri olan Avusturyalı fizikçiden almıştır. Boltzmann sabitinin tanımını formüle edelim:
Tanım 1
Boltzmann sabiti enerji ve sıcaklık arasındaki ilişkiyi belirlemek için kullanılan fiziksel bir sabittir.
Tamamen katı bir cisimden enerjinin yayılmasıyla ilişkili olan Stefan-Boltzmann sabiti ile karıştırılmamalıdır.
Bu katsayıyı hesaplamak için çeşitli yöntemler vardır. Bu yazıda bunlardan ikisine bakacağız.
İdeal gaz denklemi yoluyla Boltzmann sabitini bulma
Bu sabit, ideal bir gazın durumunu tanımlayan denklem kullanılarak bulunabilir. Herhangi bir gazın T 0 = 273 K'dan T 1 = 373 K'ya ısıtılmasının, basıncında p 0 = 1.013 10 5 Pa'dan p 0 = 1.38 10 5 Pa'ya bir değişikliğe yol açtığı deneysel olarak belirlenebilir. Bu sadece havayla bile yapılabilen oldukça basit bir deneydir. Sıcaklığı ölçmek için bir termometre ve basınç - bir manometre kullanmanız gerekir. Herhangi bir gazın bir molündeki molekül sayısının yaklaşık olarak 6 · 10 23'e eşit olduğunu ve 1 atm basınçtaki hacminin V = 22,4 litreye eşit olduğunu hatırlamak önemlidir. Tüm bu parametreleri hesaba katarak Boltzmann sabiti k'yi hesaplamaya devam edebiliriz:
Bunu yapmak için, durum parametrelerini değiştirerek denklemi iki kez yazıyoruz.
Sonucu bilerek k parametresinin değerini bulabiliriz:
Boltzmann sabitini Brownian hareket formülüyle bulma
İkinci hesaplama yöntemi için de bir deney yapmamız gerekecek. Bunu yapmak için küçük bir ayna alıp elastik bir iplik kullanarak havaya asmanız gerekir. Ayna hava sisteminin kararlı (statik denge) durumda olduğunu varsayalım. Hava molekülleri esas olarak Brown parçacığı gibi davranan aynaya çarpıyor. Bununla birlikte, askıya alınmış durumu dikkate alındığında, süspansiyona (dikey olarak yönlendirilmiş diş) denk gelen belirli bir eksen etrafında dönme titreşimleri gözlemleyebiliriz. Şimdi aynanın yüzeyine bir ışık huzmesi yönlendirelim. Aynanın küçük hareketleri ve dönüşleri ile bile, ona yansıyan ışın gözle görülür şekilde değişecektir. Bu bize bir nesnenin dönme titreşimlerini ölçme fırsatı verir.
Burulma modülünü L olarak, aynanın dönme eksenine göre eylemsizlik momentini J olarak ve aynanın dönme açısını φ olarak göstererek, salınım denklemini aşağıdaki biçimde yazabiliriz:
Denklemdeki eksi, aynayı denge konumuna döndürme eğiliminde olan elastik kuvvetlerin momentinin yönü ile ilişkilidir. Şimdi her iki tarafı da φ ile çarpalım, sonucu entegre edelim ve şunu elde edelim:
Aşağıdaki denklem bu titreşimler için sağlanacak olan enerjinin korunumu yasasıdır (yani potansiyel enerji kinetik enerjiye dönüşecek veya tam tersi). Bu titreşimlerin harmonik olduğunu düşünebiliriz, dolayısıyla:
Daha önce formüllerden birini türetirken, enerjinin serbestlik dereceleri üzerinden düzgün dağılımı yasasını kullandık. Yani bunu şu şekilde yazabiliriz:
Daha önce de söylediğimiz gibi dönme açısı ölçülebilir. Yani, sıcaklık yaklaşık 290 K ise ve burulma modülü L ≈ 10 - 15 Nm ise; φ ≈ 4 · 10 - 6 ise ihtiyacımız olan katsayı değerini şu şekilde hesaplayabiliriz:
Dolayısıyla Brown hareketinin temellerini bilerek, makroparametreleri ölçerek Boltzmann sabitini bulabiliriz.
Boltzmann sabit değeri
İncelenmekte olan katsayının önemi, mikro dünyanın parametrelerini makro dünyayı tanımlayan parametrelerle, örneğin termodinamik sıcaklık ile moleküllerin öteleme hareketinin enerjisiyle ilişkilendirmek için kullanılabilmesidir:
Bu katsayı, bir molekülün ortalama enerjisi, ideal bir gazın durumu, gazların kinetik teorisi, Boltzmann-Maxwell dağılımı ve diğer birçok denklemde yer alır. Entropiyi belirlemek için Boltzmann sabitine de ihtiyaç vardır. Yarı iletkenlerin incelenmesinde, örneğin elektriksel iletkenliğin sıcaklığa bağımlılığını açıklayan denklemde önemli bir rol oynar.
örnek 1
Durum: Moleküllerde tüm serbestlik derecelerinin (dönme, öteleme, titreşim) uyarıldığını bilerek, T sıcaklığında N atomlu moleküllerden oluşan bir gaz molekülünün ortalama enerjisini hesaplayın. Tüm moleküllerin hacimsel olduğu kabul edilir.
Çözüm
Enerji, derecelerinin her biri için serbestlik derecelerine eşit olarak dağıtılır, bu da bu derecelerin aynı kinetik enerjiye sahip olacağı anlamına gelir. ε i = 1 2 k T'ye eşit olacaktır. Daha sonra ortalama enerjiyi hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:
ε = i 2 k T , burada i = m p o s t + m υ r + 2 m k o l öteleme dönme serbestlik derecelerinin toplamını temsil eder. K harfi Boltzmann sabitini ifade eder.
Molekülün serbestlik derecesi sayısını belirlemeye geçelim:
m p o s t = 3, m υ r = 3, bu da m k o l = 3 N - 6 anlamına gelir.
ben = 6 + 6 N-12 = 6 N-6; ε = 6 N - 6 2 k T = 3 N - 3 k T .
Cevap: bu koşullar altında molekülün ortalama enerjisi ε = 3 N - 3 k T'ye eşit olacaktır.
Örnek 2
Durum: normal koşullar altında yoğunluğu p'ye eşit olan iki ideal gazın karışımıdır. Her iki gazın μ 1, μ 2 molar kütlelerini bilmemiz koşuluyla, karışımdaki bir gazın konsantrasyonunun ne olacağını belirleyin.
Çözüm
Öncelikle karışımın toplam kütlesini hesaplayalım.
m = ρ V = N 1 m 01 + N 2 m 02 = n 1 V m 01 + n 2 V m 02 → ρ = n 1 m 01 + n 2 m 02.
m 01 parametresi, bir gaz molekülünün kütlesini, m 02 - diğerinin molekülünün kütlesini, n 2 - bir gazın moleküllerinin konsantrasyonunu, n 2 - ikincinin konsantrasyonunu belirtir. Karışımın yoğunluğu ρ'dur.
Şimdi bu denklemden birinci gazın konsantrasyonunu ifade ediyoruz:
n 1 = ρ - n 2 m 02 m 01; n 2 = n - n 1 → n 1 = ρ - (n - n 1) m 02 m 01 → n 1 = ρ - n m 02 + n 1 m 02 m 01 → n 1 m 01 - n 1 m 02 = ρ - n m 02 → n 1 (m 01 - m 02) = ρ - n m 02.
p = n k T → n = p k T .
Ortaya çıkan eşit değeri yerine koyalım:
n 1 (m 01 - m 02) = ρ - p k T m 02 → n 1 = ρ - p k T m 02 (m 01 - m 02) .
Gazların molar kütlelerini bildiğimiz için birinci ve ikinci gazın moleküllerinin kütlelerini bulabiliriz:
m 01 = μ 1 NA, m 02 = μ 2 NA.
Ayrıca gaz karışımının normal koşullar altında olduğunu da biliyoruz. basınç 1 at m ve sıcaklık 290 K'dir. Bu, sorunun çözülmüş olduğunu düşünebileceğimiz anlamına gelir.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Tam bir niceliksel bilim olarak fizik, belirli nicelikler arasında ilişkiler kuran denklemlere evrensel katsayılar olarak dahil edilen bir dizi çok önemli sabit olmadan yapamaz. Bunlar, bu tür ilişkilerin değişmez hale gelmesi ve fiziksel sistemlerin davranışını farklı ölçeklerde açıklayabilmesi sayesinde temel sabitlerdir.
Evrenimizin maddesinin doğasında var olan özellikleri karakterize eden parametreler arasında, en önemli denklemlerin birçoğunda yer alan Boltzmann sabiti yer alır. Ancak özelliklerine ve önemine geçmeden önce, adını taşıdığı bilim adamı hakkında birkaç söz söylemeden geçemeyeceğiz.
Ludwig Boltzmann: bilimsel başarılar
19. yüzyılın en büyük bilim adamlarından biri olan Avusturyalı Ludwig Boltzmann (1844-1906), istatistiksel mekaniğin yaratıcılarından biri olarak moleküler kinetik teorinin gelişimine önemli katkılarda bulundu. İdeal bir gazın tanımlanmasında istatistiksel bir yöntem olan ergodik hipotezin ve fiziksel kinetiğin temel denkleminin yazarıydı. Termodinamik (Boltzmann'ın H-teoremi, termodinamiğin ikinci yasası için istatistiksel prensip), radyasyon teorisi (Stefan-Boltzmann yasası) konularında çok çalıştı. Eserlerinde elektrodinamik, optik ve fiziğin diğer dallarına ait bazı konulara da değindi. Adı, aşağıda tartışılacak olan iki fiziksel sabitle ölümsüzleştirilmiştir.
Ludwig Boltzmann, maddenin atomik-moleküler yapısı teorisinin ikna edici ve tutarlı bir destekçisiydi. Birçok fizikçinin atomları ve molekülleri gereksiz bir soyutlama, en iyi ihtimalle hesaplamalara kolaylık sağlayan geleneksel bir araç olarak gördüğü dönemin bilim camiasında uzun yıllar boyunca bu fikirlerin yanlış anlaşılması ve reddedilmesiyle mücadele etmek zorunda kaldı. Acı verici bir hastalık ve muhafazakar meslektaşlarının saldırıları, Boltzmann'ı şiddetli bir depresyona sürükledi ve bu, dayanamayan seçkin bilim adamının intihar etmesine yol açtı. Boltzmann'ın büstünün üstündeki mezar anıtında, onun erdemlerinin tanınmasının bir işareti olarak, onun verimli bilimsel çalışmasının sonuçlarından biri olan S = k∙logW denklemi kazınmıştır. Bu denklemdeki k sabiti Boltzmann sabitidir.
Moleküllerin enerjisi ve maddenin sıcaklığı
Sıcaklık kavramı, belirli bir cismin ısınma derecesini karakterize etmeye yarar. Fizikte, bir maddenin parçacıklarının termal hareketinin enerji miktarını yansıtan bir ölçü olarak sıcaklıkla ilgili moleküler kinetik teorinin sonucuna dayanan mutlak bir sıcaklık ölçeği kullanılır (tabii ki maddenin ortalama kinetik enerjisi anlamına gelir). bir dizi parçacık).
CGS sisteminde kullanılan hem SI joule hem de erg, moleküllerin enerjisini ifade edemeyecek kadar büyük birimlerdi ve pratikte sıcaklığı bu şekilde ölçmek çok zordu. Uygun bir sıcaklık birimi derecedir ve ölçüm, bir maddenin değişen makroskobik özelliklerinin (örneğin hacim) kaydedilmesi yoluyla dolaylı olarak gerçekleştirilir.
Enerji ve sıcaklık arasında nasıl bir ilişki vardır?
Normale yakın sıcaklık ve basınçlarda gerçek maddenin durumlarını hesaplamak için ideal bir gaz modeli, yani moleküler boyutu belirli bir miktardaki gazın kapladığı hacimden ve aralarındaki mesafeden çok daha küçük olan bir gaz modeli başarıyla kullanılır. parçacıklar etkileşimlerinin yarıçapını önemli ölçüde aşar. Kinetik teorinin denklemlerine dayanarak, bu tür parçacıkların ortalama enerjisi E av = 3/2∙kT olarak belirlenir, burada E kinetik enerjidir, T sıcaklıktır ve 3/2∙k denklemin ortaya koyduğu orantı katsayısıdır. Boltzmann. Buradaki 3 sayısı, moleküllerin üç uzaysal boyutta öteleme hareketinin serbestlik derecesinin sayısını karakterize eder.
Daha sonra Avusturyalı fizikçinin onuruna Boltzmann sabiti olarak adlandırılan k değeri, bir joule veya erg'nin ne kadarının bir derece içerdiğini gösterir. Başka bir deyişle, değeri, tek atomlu bir ideal gazın bir parçacığının termal kaotik hareketinin enerjisinin, sıcaklıktaki 1 derecelik bir artışla ortalama olarak istatistiksel olarak ne kadar arttığını belirler.
Bir derece bir joule'den kaç kat daha küçüktür?
Bu sabitin sayısal değeri, örneğin mutlak sıcaklık ve basıncın ölçülmesi, ideal gaz denkleminin kullanılması veya Brownian hareket modelinin kullanılması gibi çeşitli yollarla elde edilebilir. Bu değerin teorik olarak türetilmesi mevcut bilgi düzeyinde mümkün değildir.
Boltzmann sabiti 1,38 × 10-23 J/K'ye eşittir (burada K, mutlak sıcaklık ölçeğinde bir derece olan kelvindir). 1 mol ideal gazdaki (22,4 litre) bir parçacık grubu için, enerjinin sıcaklığa ilişkin katsayısı (evrensel gaz sabiti), Boltzmann sabitinin Avogadro sayısı (bir moldeki molekül sayısı) ile çarpılmasıyla elde edilir: R = kN A ve 8,31 J/(mol∙kelvin)'dir. Bununla birlikte, ikincisinden farklı olarak Boltzmann sabiti, diğer önemli ilişkilere dahil olduğu ve aynı zamanda başka bir fiziksel sabiti belirlemeye hizmet ettiği için doğası gereği daha evrenseldir.
Moleküler enerjilerin istatistiksel dağılımı
Maddenin makroskopik durumları geniş bir parçacık topluluğunun davranışının sonucu olduğundan, bunlar istatistiksel yöntemler kullanılarak tanımlanır. İkincisi ayrıca gaz moleküllerinin enerji parametrelerinin nasıl dağıldığını bulmayı da içerir:
- Kinetik enerjilerin (ve hızların) Maxwell dağılımı. Denge durumundaki bir gazda çoğu molekülün, en olası v = √(2kT/m 0) hızına yakın hızlara sahip olduğunu gösterir; burada m 0, molekülün kütlesidir.
- Herhangi bir kuvvetin, örneğin Dünya'nın yerçekimi alanında bulunan gazlar için potansiyel enerjilerin Boltzmann dağılımı. Bu, iki faktör arasındaki ilişkiye bağlıdır: Dünya'ya olan çekim ve gaz parçacıklarının kaotik termal hareketi. Sonuç olarak, moleküllerin potansiyel enerjisi ne kadar düşükse (gezegenin yüzeyine yakınsa), konsantrasyonları o kadar yüksek olur.
Her iki istatistiksel yöntem, e - E/ kT üstel faktörünü içeren bir Maxwell-Boltzmann dağılımı halinde birleştirilir; burada E, kinetik ve potansiyel enerjilerin toplamıdır ve kT, Boltzmann sabiti tarafından kontrol edilen, termal hareketin zaten bilinen ortalama enerjisidir.
Sabit k ve entropi
Genel anlamda entropi, termodinamik bir sürecin tersinmezliğinin bir ölçüsü olarak tanımlanabilir. Bu geri döndürülemezlik, enerjinin dağılmasıyla - dağılmasıyla - ilişkilidir. Boltzmann tarafından önerilen istatistiksel yaklaşımda entropi, fiziksel bir sistemin durumunu değiştirmeden gerçekleştirilebileceği yolların sayısının bir fonksiyonudur: S = k∙lnW.
Burada k sabiti, sistem uygulama seçeneklerinin veya mikrodurumların bu sayısındaki (W) artışla birlikte entropi artışının ölçeğini belirtir. Bu formülü modern haline getiren Max Planck, k sabitine Boltzmann adının verilmesini önerdi.
Stefan-Boltzmann radyasyon yasası
Tamamen siyah bir cismin enerjik parlaklığının (birim yüzey başına radyasyon gücü) sıcaklığına nasıl bağlı olduğunu belirleyen fiziksel yasa, j = σT4 biçimindedir, yani vücut, sıcaklığının dördüncü kuvvetiyle orantılı olarak yayılır. Bu yasa, örneğin astrofizikte kullanılır, çünkü yıldızların radyasyonu karakteristik olarak kara cisim radyasyonuna yakındır.
Bu ilişkide olayın ölçeğini de kontrol eden başka bir sabit daha vardır. Bu, yaklaşık 5,67 × 10-8 W/(m 2 ∙K 4) olan Stefan-Boltzmann sabiti σ'dur. Boyutu kelvinleri içerir; bu da Boltzmann sabiti k'nin burada da dahil olduğu açıktır. Aslında σ değeri (2π 2 ∙k 4)/(15c 2 h 3) olarak tanımlanır; burada c ışık hızı ve h Planck sabitidir. Böylece Boltzmann sabiti, diğer dünya sabitleriyle birleştiğinde, yine enerji (güç) ve sıcaklığı (bu durumda radyasyonla ilişkili olarak) birbirine bağlayan bir miktar oluşturur.
Boltzmann sabitinin fiziksel özü
Boltzmann sabitinin temel sabitlerden biri olduğu yukarıda zaten belirtilmişti. Mesele sadece mikroskobik olayların moleküler düzeydeki özellikleri ile makrokozmosta gözlemlenen süreçlerin parametreleri arasında bir bağlantı kurmamıza izin vermesi değil. Ve bu sabit sadece bir dizi önemli denklemde yer almıyor.
Teorik olarak türetilebilecek herhangi bir fiziksel prensibin olup olmadığı şu anda bilinmiyor. Başka bir deyişle, verilen bir sabitin değerinin tam olarak bu olması gerektiği sonucu çıkmaz. Parçacıkların kinetik enerjilerine uyum ölçüsü olarak derece yerine başka nicelikler ve başka birimler kullanabilirdik, o zaman sabitin sayısal değeri farklı olurdu ama sabit bir değer olarak kalırdı. Bu türden diğer temel niceliklerin yanı sıra - sınırlayıcı hız c, Planck sabiti h, temel yük e, yerçekimi sabiti G - bilim, Boltzmann sabitini dünyamızın verili bir değeri olarak kabul eder ve onu fiziksel evrenin teorik bir tanımı için kullanır. içinde meydana gelen süreçler.
(k veya kB) sıcaklık ve enerji arasındaki ilişkiyi tanımlayan fiziksel bir sabittir. Adını istatistiksel fiziğe büyük katkılarda bulunan ve bu alanın kilit bir konum haline geldiği Avusturyalı fizikçi Ludwig Boltzmann'dan almıştır. SI sistemindeki deneysel değeriParantez içindeki sayılar miktar değerinin son basamaklarındaki standart hatayı gösterir. Prensip olarak Boltzmann sabiti mutlak sıcaklık ve diğer fiziksel sabitlerin tanımından elde edilebilir (bunu yapmak için ilk prensiplerden suyun üçlü noktasının sıcaklığını hesaplayabilmeniz gerekir). Ancak Boltzmann sabitini ilk ilkeleri kullanarak belirlemek, bu alandaki mevcut bilgi gelişimi göz önüne alındığında çok karmaşık ve gerçekçi değildir.
Boltzmann sabiti, sıcaklığı fizikte çok sık yapılan enerji birimleri cinsinden ölçerseniz gereksiz bir fiziksel sabittir. Aslında bu, anlamı tarihsel olarak gelişen, iyi tanımlanmış bir miktar - enerji ve derece arasındaki bağlantıdır.
entropinin tanımı
Bir termodinamik sistemin entropisi, belirli bir makroskobik duruma (örneğin, belirli bir toplam enerjiye sahip durumlar) karşılık gelen farklı Z mikrodurumlarının sayısının doğal logaritması olarak tanımlanır.
Orantılılık faktörü k ve Boltzmann sabitidir. Mikroskobik (Z) ve makroskobik (S) karakteristikler arasındaki ilişkiyi tanımlayan bu ifade, istatistiksel mekaniğin ana (merkez) fikrini ifade etmektedir.
