Знак за подобие на правоъгълни триъгълници
Нека първо представим знака за подобие на правоъгълните триъгълници.
Теорема 1
Знак за подобие на правоъгълни триъгълници: два правоъгълни триъгълника са подобни, когато имат по един равен остър ъгъл (фиг. 1).
Фигура 1. Подобни правоъгълни триъгълници
Доказателство.
Нека ни се даде, че $\angle B=\angle B_1$. Тъй като триъгълниците са правоъгълни, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Следователно те са сходни според първия знак за сходството на триъгълниците.
Теоремата е доказана.
Теорема за височината в правоъгълен триъгълник
Теорема 2
Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, разделя триъгълника на два подобни правоъгълни триъгълника, всеки от които е подобен на дадения триъгълник.
Доказателство.
Нека ни е даден правоъгълен триъгълник $ABC$ с прав ъгъл $C$. Начертайте височината $CD$ (фиг. 2).
Фигура 2. Илюстрация на теорема 2
Нека докажем, че триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни на триъгълник $ABC$ и че триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни.
Тъй като $\angle ADC=(90)^0$, триъгълникът $ACD$ е правоъгълен. Триъгълниците $ACD$ и $ABC$ имат общ ъгъл $A$, следователно според теорема 1 триъгълниците $ACD$ и $ABC$ са подобни.
Тъй като $\angle BDC=(90)^0$, триъгълникът $BCD$ е правоъгълен. Триъгълниците $BCD$ и $ABC$ имат общ ъгъл $B$, следователно според теорема 1 триъгълниците $BCD$ и $ABC$ са подобни.
Помислете сега за триъгълниците $ACD$ и $BCD$
\[\ъгъл A=(90)^0-\ъгъл ACD\] \[\ъгъл BCD=(90)^0-\ъгъл ACD=\ъгъл A\]
Следователно, съгласно теорема 1, триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни.
Теоремата е доказана.
Средно пропорционално
Теорема 3
Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, е средната пропорционална за отсечките, на които височината разделя хипотенузата на този триъгълник.
Доказателство.
По теорема 2 имаме, че триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са сходни, следователно
Теоремата е доказана.
Теорема 4
Катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална стойност между хипотенузата и отсечката от хипотенузата, затворена между катета и височината, изтеглена от върха на ъгъла.
Доказателство.
При доказателството на теоремата ще използваме обозначението от фигура 2.
По теорема 2 имаме, че триъгълниците $ACD$ и $ABC$ са сходни, следователно
Теоремата е доказана.
Урок 40 В. б. а. з. C. пр.н.е. H. ac. A. V. Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на прав ъгъл, разделя триъгълника на 2 подобни правоъгълни триъгълника, всеки от които е подобен на даден триъгълник. Знак за подобие на правоъгълни триъгълници. Два правоъгълни триъгълника са подобни, ако всеки от тях има еднакъв остър ъгъл. Отсечката XY се нарича средно пропорционална (средна геометрична) за отсечките AB и CD, ако е свойство 1. Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, е средната пропорционална между проекциите на катетите върху хипотенузата. Свойство 2. Катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална между хипотенузата и проекцията на този катет върху хипотенузата.
Слайд 28от презентацията "Геометрия "Подобни триъгълници"". Размерът на архива с презентацията е 232 KB.Геометрия 8 клас
резюме на други презентации„Решение на задачи по Питагоровата теорема“ – Триъгълник ABC равнобедрен. Практическо приложение на Питагоровата теорема. ABCD е четириъгълник. Квадратна площ. Намерете слънцето. Доказателство. Основи на равнобедрен трапец. Помислете за Питагоровата теорема. Площ на четириъгълник. Правоъгълни триъгълници. Питагорова теорема. Квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катета.
"Намиране на площта на успоредник" - основа. Височина. Определяне на височината на паралелограма. Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници. Площта на паралелограма. Намерете площта на триъгълника. Имоти на района. устни упражнения. Намерете площта на паралелограма. Височини на паралелограма. Намерете периметъра на квадрата. Площ на триъгълник. Намерете площта на квадрата. Намерете площта на правоъгълника. Квадратна площ.
“Квадрат 8 клас” - Черен квадрат. Задачи за устна работа по периметъра на квадрата. Квадратна площ. Квадратни знаци. Площадът е сред нас. Квадратът е правоъгълник с равни страни. Квадрат. Чанта с квадратна основа. устни задачи. Колко квадратчета са показани на снимката. Квадратни имоти. Богат търговец. Задачи за устна работа на площта на площада. Периметърът на квадрат.
"Определяне на аксиална симетрия" - Точки, лежащи върху един и същ перпендикуляр. Начертайте две линии. Строителство. Сюжет точки. Улика. Фигури, които нямат аксиална симетрия. Линеен сегмент. Липсват координати. Фигура. Форми, които имат повече от две оси на симетрия. Симетрия. Симетрия в поезията. Изградете триъгълници. Оси на симетрия. Изграждане на сегмент. Изграждане на точка. Фигури с две оси на симетрия. народи. триъгълници. Пропорционалност.
„Определяне на подобни триъгълници“ – многоъгълници. пропорционални разфасовки. Съотношението на площите на подобни триъгълници. Два триъгълника се наричат подобни. Условия. Построете триъгълник с два ъгъла и ъглополовяща във върха. Да предположим, че трябва да определим разстоянието до полюса. Третият знак за сходството на триъгълниците. Нека построим триъгълник. ABC. Триъгълниците ABC и ABC имат три равни страни. Определяне на височината на обект.
„Решение на Питагоровата теорема“ – Части от прозорци. Най-простото доказателство. Хамурапи. Диагонал. Пълно доказателство. Доказателство чрез изваждане. питагорейци. Доказателство чрез метод на разлагане. История на теоремата. Диаметър. Доказателство по метода на допълнението. Доказателството на Епщайн. Кантор. триъгълници. последователи. Приложения на Питагоровата теорема. Питагорова теорема. Изявление на теоремата. Доказателство за Perigal. Приложение на теоремата.
Знак за подобие на правоъгълни триъгълници
Нека първо представим знака за подобие на правоъгълните триъгълници.
Теорема 1
Знак за подобие на правоъгълни триъгълници: два правоъгълни триъгълника са подобни, когато имат по един равен остър ъгъл (фиг. 1).
Фигура 1. Подобни правоъгълни триъгълници
Доказателство.
Нека ни се даде, че $\angle B=\angle B_1$. Тъй като триъгълниците са правоъгълни, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Следователно те са сходни според първия знак за сходството на триъгълниците.
Теоремата е доказана.
Теорема за височината в правоъгълен триъгълник
Теорема 2
Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, разделя триъгълника на два подобни правоъгълни триъгълника, всеки от които е подобен на дадения триъгълник.
Доказателство.
Нека ни е даден правоъгълен триъгълник $ABC$ с прав ъгъл $C$. Начертайте височината $CD$ (фиг. 2).
Фигура 2. Илюстрация на теорема 2
Нека докажем, че триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни на триъгълник $ABC$ и че триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни.
Тъй като $\angle ADC=(90)^0$, триъгълникът $ACD$ е правоъгълен. Триъгълниците $ACD$ и $ABC$ имат общ ъгъл $A$, следователно според теорема 1 триъгълниците $ACD$ и $ABC$ са подобни.
Тъй като $\angle BDC=(90)^0$, триъгълникът $BCD$ е правоъгълен. Триъгълниците $BCD$ и $ABC$ имат общ ъгъл $B$, следователно според теорема 1 триъгълниците $BCD$ и $ABC$ са подобни.
Помислете сега за триъгълниците $ACD$ и $BCD$
\[\ъгъл A=(90)^0-\ъгъл ACD\] \[\ъгъл BCD=(90)^0-\ъгъл ACD=\ъгъл A\]
Следователно, съгласно теорема 1, триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни.
Теоремата е доказана.
Средно пропорционално
Теорема 3
Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, е средната пропорционална за отсечките, на които височината разделя хипотенузата на този триъгълник.
Доказателство.
По теорема 2 имаме, че триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са сходни, следователно
Теоремата е доказана.
Теорема 4
Катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална стойност между хипотенузата и отсечката от хипотенузата, затворена между катета и височината, изтеглена от върха на ъгъла.
Доказателство.
При доказателството на теоремата ще използваме обозначението от фигура 2.
По теорема 2 имаме, че триъгълниците $ACD$ и $ABC$ са сходни, следователно
Теоремата е доказана.
Цели на урока:
- въвеждат понятието средно пропорционална (средна геометрична) на два отсечка;
- разгледайте проблема за пропорционалните отсечки в правоъгълен триъгълник: свойство на височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на прав ъгъл;
- да се формират умения на учениците за използване на изучаваната тема в процеса на решаване на задачи.
Тип урок:урок за изучаване на нов материал.
План:
- Организационен момент.
- Актуализация на знанията.
- Изучаване на свойството на височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на прав ъгъл:
- подготвителен етап;
- Въведение;
- асимилация. - Въвеждане на понятието средно пропорционално на два отсечка.
- Усвояване на концепцията за средната пропорция на два сегмента.
- Доказателство за последствията:
- височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, е средната пропорционална между отсечките, на които е разделена хипотенузата от тази височина;
- катета на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална между хипотенузата и отсечката на хипотенузата, затворена между катета и височината. - Разрешаване на проблем.
- Обобщавайки.
- Задаване на домашна работа.
По време на занятията
I. ОРГАНИЗАЦИЯ
Здравейте момчета, седнете. Всички готови ли са за урока?
Започваме работа.
II. АКТУАЛИЗИРАНЕ НА ЗНАНИЯТА
Каква важна математическа концепция научихте в предишните уроци? ( с концепцията за подобие на триъгълник)
- Нека си спомним кои два триъгълника се наричат подобни? (два триъгълника се наричат подобни, ако ъглите им са съответно равни и страните на единия триъгълник са пропорционални на сходните страни на другия триъгълник)
Какво използваме, за да докажем сходството на два триъгълника? (
- Избройте тези знаци. (формулирайте три знака за сходство на триъгълници)
III. ИЗУЧВАНЕ НА СВОЙСТВАТА НА ВИСОЧИНАТА НА ПРАВОЪГЪЛНИЯ ТРИЪГЪЛНИК, ИЗВЪРШЕН ОТ ВЪРХА НА ПРАВ ЪГЪЛ
а) подготвителен етап
- Момчета, моля вижте първия слайд. ( Приложение) Ето два правоъгълни триъгълника - и . и са височините и съответно. 
.
Задача 1. а)Определете дали и са подобни.
Какво използваме, за да докажем сходството на триъгълниците? ( признаци на сходство на триъгълници)
(първият знак, тъй като нищо не се знае за страните на триъгълниците в задачата)
. (Две двойки: 1. ∟B= ∟B1 (прави линии), 2. ∟A= ∟A 1)
- Направете заключение. ( по първия знак за сходство на триъгълници ~)
Задача 1. б)Определете дали и са подобни.
Какъв критерий за сходство ще използваме и защо? (първият знак, защото в задачата нищо не се знае за страните на триъгълниците)
Колко двойки равни ъгли трябва да намерим? Намерете тези двойки (тъй като триъгълниците са правоъгълни, една двойка равни ъгли е достатъчна: ∟A= ∟A 1)
- Направете заключение. (по първия признак на сходство на триъгълниците заключаваме, че тези триъгълници са подобни).
В резултат на разговора, слайд 1 изглежда така:
б) откриване на теоремата
Задача 2.
Определете дали и , и са подобни. В резултат на разговора се изграждат отговори, които се отразяват на слайда.
- Цифрата показва, че . Използвахме ли тази степенна мярка, когато отговаряхме на въпросите на задачите? ( Не, не е използван)
- Момчета, направете заключение: на кои триъгълници височината, изтеглена от върха на правия ъгъл, разделя правоъгълния триъгълник? (направете заключение)
- Възниква въпросът: тези два правоъгълни триъгълника, на които височината разделя правоъгълния триъгълник, ще бъдат ли подобни един на друг? Нека се опитаме да намерим двойки равни ъгли.
В резултат на разговора се изгражда запис:
- А сега нека направим пълно заключение. ( ЗАКЛЮЧЕНИЕ: височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, разделя триъгълника на две подобен
- Че. формулирахме и доказахме теорема за свойството на височината на правоъгълен триъгълник.
Нека да установим структурата на теоремата и да направим чертеж. Какво е дадено в теоремата и какво трябва да се докаже? Учениците записват в тетрадките си:
Нека докажем първата точка от теоремата за новия чертеж. Какъв критерий за сходство ще използваме и защо? (Първо, тъй като нищо не се знае за страните на триъгълниците в теоремата)
Колко двойки равни ъгли трябва да намерим? Намерете тези двойки. (В този случай една двойка е достатъчна: ∟A-general)
- Направете заключение. Триъгълниците са подобни. В резултат на това е показан пример за формулирането на теоремата
- Напишете сами втората и третата точка вкъщи.
в) усвояване на теоремата
- И така, формулирайте теоремата отново (Височината на правоъгълния триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, разделя триъгълника на две подобенправоъгълни триъгълници, всеки от които е подобен на този)
- Колко двойки подобни триъгълници в конструкцията "в правоъгълен триъгълник височината от върха на прав ъгъл" може да се намери по тази теорема? ( Три двойки)
На учениците се дава следната задача:
IV. ВЪВЕЖДАНЕ НА КОНЦЕПЦИЯТА ЗА СРЕДНАТА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ НА ДВА ЛИНИЯ
Сега ще научим нова концепция.
Внимание!
Определение.Линеен сегмент XYНаречен средно пропорционално (средно геометрична)между сегментите АБи CD, ако
(запишете в тетрадката).
V. АСОЦИАЦИЯ НА КОНЦЕПЦИЯТА ЗА СРЕДНАТА ПРОПОРЦИОНАЛНА НА ДВА ЛИНИЯ
Сега да преминем към следващия слайд.
Упражнение 1.Намерете дължината на средните пропорционални отсечки MN и KP, ако MN = 9 cm, KP = 16 cm.
- Какво е дадено в задачата? ( Два сегмента и техните дължини: MN = 9 cm, KP = 16 cm)
- Какво трябва да намерите? ( Дължината на средната пропорционална на тези сегменти)
- Каква е формулата за средната пропорционална и как я намираме?
(Заместваме данните във формулата и намираме дължината на средната опора.)
Задача номер 2.Намерете дължината на отсечката AB, ако средната пропорция на отсечките AB и CD е 90 cm и CD = 100 cm
- Какво е дадено в задачата? (дължината на отсечката CD = 100 cm и средната пропорция на отсечките AB и CD е 90 cm)
Какво трябва да се намери в проблема? ( Дължина на сегмент AB)
- Как ще решим проблема? (Нека да запишем формулата за средните пропорционални отсечки AB и CD, да изразим дължината на AB от нея и да заменим данните на задачата.)
VI. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- Браво момчета. И сега да се върнем към сходството на триъгълниците, доказано от нас в теоремата. Повторете теоремата. ( Височината на правоъгълния триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, разделя триъгълника на две подобенправоъгълни триъгълници, всеки от които е подобен на даден)
- Нека първо използваме сходството на триъгълници и . Какво следва от това? ( По дефиниция на сходството, страните са пропорционални на подобни страни)
- Какво равенство ще се получи при използване на основното свойство пропорция? ()
– Изразете CD и направете заключение (
;
.
Заключение: височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, е средната пропорционална между сегментите, на които е разделена хипотенузата от тази височина)
- А сега докажете сами, че катета на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална между хипотенузата и отсечката от хипотенузата, затворена между катета и височината. Ще намерим от - ... отсечките, на които е разделена хипотенузата с тази височина )
Краят на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална между ... (- ... хипотенузата и отсечката от хипотенузата, затворена между този крак и височината )
– Къде прилагаме заучените твърдения? ( При решаване на проблеми)
IX. ПОСТАВЯНЕ НА ДОМАШНАТА РАБОТА
d/z: No 571, No 572 (а, д), самостоятелна работа в тетрадка, теория.
Днес вашето внимание е поканено на още една презентация на удивителна и мистериозна тема - геометрията. В тази презентация ще ви запознаем с ново свойство на геометричните форми, по-специално концепцията за пропорционални сегменти в правоъгълни триъгълници.
Първо трябва да запомните какво е триъгълник? Това е най-простият многоъгълник, състоящ се от три върха, свързани с три сегмента. Правоъгълният триъгълник е триъгълник, в който един от ъглите е 90 градуса. Вече се запознахте с тях по-подробно в предишните ни учебни материали, представени на вашето внимание.
И така, връщайки се към днешната ни тема, ние обозначаваме по ред, че височината на правоъгълен триъгълник, начертан от ъгъл от 90 градуса, го разделя на два триъгълника, които са подобни както един на друг, така и на оригиналния. Всички чертежи и графики, които ви интересуват, са дадени в предложената презентация и ви препоръчваме да се позовавате на тях, придружаващи описаното обяснение.
Графичен пример за горната теза може да се види на втория слайд. Триъгълниците са подобни, защото имат два еднакви ъгъла. Ако посочите по-подробно, тогава височината, спусната до хипотенузата, образува с нея прав ъгъл, тоест вече има идентични ъгли и всеки от образуваните ъгли също има един общ ъгъл като оригинален. Резултатът е два ъгъла, равни един на друг. Тоест триъгълниците са подобни.
Нека също така да обозначим какво означава понятието „средно пропорционално“ или „средно геометрично“ само по себе си? Това е определен сегмент XY за отсечки AB и CD, когато е равен на корен квадратен от произведението на техните дължини.
От което следва също, че катета на правоъгълен триъгълник е средната геометрична стойност между хипотенузата и проекцията на този катет върху хипотенузата, тоест другия катет.
Друго свойство на правоъгълния триъгълник е, че неговата височина, изтеглена от ъгъл 90 o, е средната пропорционална между проекциите на катетите върху хипотенузата. Ако се обърнете към презентацията и другите материали, представени на вашето внимание, ще видите, че има доказателство за тази теза в много проста и достъпна форма. По-рано вече доказахме, че получените триъгълници са подобни един на друг и на оригиналния триъгълник. След това, използвайки съотношението на краката на тези геометрични фигури, стигаме до заключението, че височината на правоъгълния триъгълник е право пропорционална на корен квадратен от произведението на сегментите, които са се образували в резултат на намаляване на височината от прав ъгъл на оригиналния триъгълник.
Последното нещо в презентацията е, че катета на правоъгълен триъгълник е средната геометрична стойност за хипотенузата и нейния сегмент, разположен между катета и височината, изтеглена от ъгъл, равен на 90 градуса. Този случай трябва да се разглежда от страната, че тези триъгълници са подобни един на друг, а кракът на един от тях се получава от хипотенузата на другия. Но вие ще се запознаете с това по-подробно, като изучите предложените материали.
