Fibonacci serisinin altıncı sayısı. Fibonacci sayıları: eğlenceli matematik gerçekleri

Matematiğin “tüm bilimlerin kraliçesi” olarak adlandırıldığını hiç duydunuz mu? Bu ifadeye katılıyor musunuz? Matematik sizin için bir ders kitabındaki sıkıcı problemler dizisi olarak kaldığı sürece, bu bilimin güzelliğini, çok yönlülüğünü ve hatta mizahını neredeyse hiç deneyimleyemezsiniz.

Ancak matematikte ortak olan şeyler ve olaylar hakkında ilginç gözlemler yapmaya yardımcı olan konular vardır. Ve hatta Evrenimizin yaratılışının gizem perdesini aşmaya çalışın. Dünyada matematik kullanılarak tanımlanabilecek ilginç modeller var.

Fibonacci sayılarına giriş

Fibonacci sayıları Sayı dizisinin elemanlarını adlandırın. İçinde, bir serideki her bir sonraki sayı, önceki iki sayının toplanmasıyla elde edilir.

Örnek dizi: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Bir dizi Fibonacci sayısını negatif değerlerle başlatabilirsiniz N. Üstelik bu durumda dizi iki yönlüdür (yani negatif ve pozitif sayıları kapsar) ve her iki yönde de sonsuza eğilimlidir.

Böyle bir diziye örnek: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

Bu durumda formül şöyle görünür:

F n = F n+1 - F n+2 ya da şunu yapabilirsiniz: F -n = (-1) n+1 Fn.

Şu anda "Fibonacci sayıları" olarak bildiğimiz şey, Avrupa'da kullanılmaya başlamadan çok önce eski Hint matematikçiler tarafından biliniyordu. Ve bu isim genellikle sürekli bir tarihi anekdottur. Fibonacci'nin yaşamı boyunca kendisine asla Fibonacci adını vermediği gerçeğiyle başlayalım - bu isim Pisa Leonardo'ya ölümünden yalnızca birkaç yüzyıl sonra uygulanmaya başlandı. Ama her şeyi sırayla konuşalım.

Pisalı Leonardo, diğer adıyla Fibonacci

Matematikçi olan ve daha sonra gelecek nesiller tarafından Orta Çağ'da Avrupa'nın ilk büyük matematikçisi olarak tanınan bir tüccarın oğlu. En azından Fibonacci sayıları sayesinde (ki bunların henüz bu şekilde adlandırılmadığını hatırlayalım). 13. yüzyılın başında “Liber abaci” (“Abaküs Kitabı”, 1202) adlı eserinde tanımladığı.

Babamla birlikte Doğu'ya seyahat ettim, Leonardo Arap öğretmenlerle matematik okudu (ve o günlerde onlar bu konuda ve diğer birçok bilimde en iyi uzmanlar arasındaydı). Antik Çağ ve Antik Hindistan matematikçilerinin Arapça tercümelerini okudu.

Okuduğu her şeyi derinlemesine anlayan ve kendi araştırmacı zekasını kullanan Fibonacci, yukarıda adı geçen “Abaküs Kitabı” da dahil olmak üzere matematik üzerine birçok bilimsel eser yazdı. Buna ek olarak şunu da oluşturdum:

"Practica geometriae" ("Geometri Pratiği", 1220);
"Flos" ("Çiçek", 1225 - kübik denklemler üzerine bir çalışma);
"Liber quadratorum" ("Kareler Kitabı", 1225 - belirsiz ikinci dereceden denklemlerle ilgili problemler).

Matematik turnuvalarının büyük bir hayranıydı, bu nedenle incelemelerinde çeşitli matematik problemlerinin analizine büyük önem verdi.

Leonardo'nun hayatı hakkında çok az biyografik bilgi kaldı. Matematik tarihine girdiği Fibonacci ismine gelince, bu isim ona ancak 19. yüzyılda verildi.

Fibonacci ve sorunları

Fibonacci'den sonra, sonraki yüzyıllarda matematikçiler arasında çok popüler olan çok sayıda problem kaldı. Fibonacci sayıları kullanılarak çözülen tavşan problemine bakacağız.

Tavşanlar sadece değerli kürkler değildir

Fibonacci şu koşulları belirledi: O kadar ilginç bir cinse ait bir çift yeni doğmuş tavşan (erkek ve dişi) var ve düzenli olarak (ikinci aydan itibaren) yavru üretiyorlar - her zaman bir yeni çift tavşan. Ayrıca tahmin edebileceğiniz gibi bir erkek ve bir kadın.

Bu şartlı tavşanlar kapalı bir alana yerleştirilir ve coşkuyla ürerler. Ayrıca gizemli bir tavşan hastalığından tek bir tavşanın ölmemesi de öngörülüyor.

Yılda kaç tavşan alacağımızı hesaplamamız gerekiyor.

1 ayın başında 1 çift tavşanımız var. Ayın sonunda çiftleşirler.
İkinci ay - zaten 2 çift tavşanımız var (bir çiftin ebeveynleri var + 1 çift onların yavruları).
Üçüncü ay: İlk çift yeni bir çift doğurur, ikinci çift çiftleşir. Toplam - 3 çift tavşan.
Dördüncü ay: Birinci çift yeni bir çift doğurur, ikinci çift vakit kaybetmeden yeni bir çift doğurur, üçüncü çift ise henüz çiftleşme aşamasındadır. Toplam - 5 çift tavşan.

Tavşan sayısı N ay = önceki aya ait tavşan çiftlerinin sayısı + yeni doğan çiftlerin sayısı (bundan 2 ay önce tavşan çiftlerinin olduğu sayıda tavşan çifti vardır). Ve tüm bunlar yukarıda verdiğimiz formülle açıklanmaktadır: F n = F n-1 + F n-2.

Böylece tekrarlayan bir (hakkında açıklama) elde ederiz. yineleme– aşağıda) sayı dizisi. Her bir sonraki sayının önceki ikisinin toplamına eşit olduğu:

1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377 <…>

Sıralamayı uzun süre devam ettirebilirsiniz: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Ancak belirli bir dönem - bir yıl - belirlediğimiz için, 12. "hamleden" elde edilen sonuçla ilgileniyoruz. Onlar. Dizinin 13. üyesi: 377.

Sorunun cevabı: Belirtilen tüm koşullar yerine getirilirse 377 tavşan elde edilecektir.

Fibonacci sayı dizisinin özelliklerinden biri çok ilginçtir. Bir seriden ardışık iki çift alıp büyük sayıyı küçük sayıya bölerseniz sonuç yavaş yavaş yaklaşacaktır. altın Oran(bununla ilgili daha fazla bilgiyi makalenin ilerleyen kısımlarında okuyabilirsiniz).

Matematiksel açıdan, "ilişkilerin sınırı bir n+1İle BİR altın orana eşit".

Daha fazla sayı teorisi problemi

7'ye bölünebilen bir sayı bulun. Ayrıca 2, 3, 4, 5, 6'ya bölerseniz kalan bir olur.
Kare sayısını bulun. Buna 5 eklerseniz veya 5 çıkarırsanız yine bir kare sayı elde edeceğiniz biliniyor.

Bu sorunların cevabını kendiniz aramanızı öneririz. Bu makalenin yorumlarına seçeneklerinizi bize bırakabilirsiniz. Daha sonra size hesaplamalarınızın doğru olup olmadığını söyleyeceğiz.

Özyinelemenin açıklaması

Özyineleme– bu nesneyi veya sürecin kendisini içeren bir nesnenin veya sürecin tanımı, açıklaması, görüntüsü. Yani özünde bir nesne veya süreç kendisinin bir parçasıdır.

Özyineleme matematik ve bilgisayar bilimlerinde, hatta sanatta ve popüler kültürde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Fibonacci sayıları bir yineleme ilişkisi kullanılarak belirlenir. Numara için n>2 n- e sayısı eşittir (n – 1) + (n – 2).

Altın oranın açıklaması

altın Oran- bir bütünün (örneğin bir parçanın) aşağıdaki prensibe göre ilişkili parçalara bölünmesi: daha büyük parça, tüm değerin (örneğin iki parçanın toplamı) olduğu gibi aynı şekilde daha küçük olanla ilişkilidir. daha büyük kısmına.

Altın oranın ilk sözü Öklid'in "Elementler" adlı eserinde (MÖ 300 civarında) bulunabilir. Düzenli bir dikdörtgen oluşturma bağlamında.

Bize tanıdık gelen terim, 1835'te Alman matematikçi Martin Ohm tarafından dolaşıma sokuldu.

Altın oranı yaklaşık olarak tanımlarsak, orantısal olarak iki eşit olmayan parçaya bölünmeyi temsil eder: yaklaşık %62 ve %38. Sayısal olarak altın oran sayıdır. 1,6180339887 .

Altın oran, güzel sanatlarda (Leonardo da Vinci ve diğer Rönesans ressamlarının tablolarında), mimaride, sinemada (S. Esenstein'ın "Battleship Potemkin") ve diğer alanlarda pratik uygulama alanı bulur. Uzun zamandır altın oranın en estetik oran olduğuna inanılıyordu. Bu görüş bugün hala popülerdir. Her ne kadar araştırma sonuçlarına göre görsel olarak çoğu insan bu oranı en başarılı seçenek olarak algılamıyor ve çok uzun (orantısız) olduğunu düşünüyor.

Bölüm uzunluğu İle = 1, A = 0,618, B = 0,382.
Davranış İleİle A = 1, 618.
Davranış İleİle B = 2,618

Şimdi Fibonacci sayılarına dönelim. Dizisinden ardışık iki terimi alalım. Büyük sayıyı küçük sayıya bölün ve yaklaşık 1,618 elde edin. Ve şimdi aynı daha büyük sayıyı ve serinin bir sonraki üyesini (yani daha da büyük bir sayıyı) kullanıyoruz - bunların oranı 0,618'in başında.

İşte bir örnek: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 ve 233/377 = 0,618

Bu arada, aynı deneyi dizinin başlangıcındaki sayılarla (örneğin 2, 3, 5) yapmaya çalışırsanız hiçbir şey işe yaramayacaktır. Neredeyse. Dizinin başlangıcında altın oran kuralına neredeyse hiç uyulmuyor. Ancak seri ilerledikçe ve sayılar arttıkça harika çalışıyor.

Ve Fibonacci sayıları serisinin tamamını hesaplamak için dizinin arka arkaya gelen üç terimini bilmek yeterlidir. Bunu kendiniz de görebilirsiniz!

Altın Dikdörtgen ve Fibonacci Spirali

Fibonacci sayıları ile altın oran arasındaki bir diğer ilginç paralellik de “altın dikdörtgen” olarak adlandırılan dikdörtgendir: kenarları 1,618'e 1 oranındadır. Ama 1,618 sayısının ne olduğunu zaten biliyoruz, değil mi?

Örneğin, Fibonacci serisinin ardışık iki terimini (8 ve 13) alalım ve şu parametrelerle bir dikdörtgen oluşturalım: genişlik = 8, uzunluk = 13.

Daha sonra büyük dikdörtgeni daha küçük olanlara böleceğiz. Zorunlu koşul: Dikdörtgenlerin kenar uzunlukları Fibonacci sayılarına uygun olmalıdır. Onlar. Büyük dikdörtgenin kenar uzunluğu, iki küçük dikdörtgenin kenarlarının toplamına eşit olmalıdır.

Bu şekildeki yapılma şekli (kolaylık olması açısından rakamlar Latin harfleriyle imzalanmıştır).

Bu arada dikdörtgenleri ters sırada oluşturabilirsiniz. Onlar. Kenarı 1 olan karelerle inşa etmeye başlayın. Yukarıda belirtilen ilkeye göre kenarları Fibonacci sayılarına eşit olan rakamlar tamamlanır. Teorik olarak bu sonsuza kadar devam ettirilebilir; sonuçta Fibonacci serisi biçimsel olarak sonsuzdur.

Şekilde elde edilen dikdörtgenlerin köşelerini düzgün bir çizgiyle birleştirirsek logaritmik bir spiral elde ederiz. Daha doğrusu özel durumu Fibonacci sarmalıdır. Özellikle sınırlarının olmaması ve şekil değiştirmemesi ile karakterize edilir.

Benzer bir sarmal doğada sıklıkla bulunur. Deniz tarağı kabukları en çarpıcı örneklerden biridir. Üstelik Dünya'dan görülebilen bazı galaksiler sarmal bir şekle sahiptir. Televizyondaki hava tahminlerine dikkat ederseniz uydudan fotoğraflandığında kasırgaların benzer bir spiral şekle sahip olduğunu fark etmiş olabilirsiniz.

DNA sarmalının aynı zamanda altın bölüm kuralına da uyması ilginçtir; karşılık gelen desen, kıvrımlarının aralıklarında görülebilir.

Bu kadar şaşırtıcı "tesadüfler" zihinleri heyecanlandırmaktan ve Evrenin yaşamındaki tüm olayların uyduğu tek bir algoritma hakkında konuşmaya yol açmaktan başka bir şey yapamaz. Şimdi bu yazıya neden bu şekilde isim verildiğini anlıyor musunuz? Peki matematik sizin için ne tür muhteşem dünyaların kapılarını açabilir?

Doğadaki Fibonacci sayıları

Fibonacci sayıları ile altın oran arasındaki bağlantı ilginç modeller ortaya koyuyor. O kadar merak uyandırıcı ki, doğada ve hatta tarihsel olaylar sırasında Fibonacci sayılarına benzer diziler bulmaya çalışmak cazip geliyor. Ve doğa gerçekten bu tür varsayımlara yol açıyor. Peki hayatımızdaki her şey matematik kullanılarak açıklanabilir ve anlatılabilir mi?

Fibonacci dizisi kullanılarak tanımlanabilecek canlılara örnekler:

bitkilerde yaprakların (ve dalların) düzeni - aralarındaki mesafeler Fibonacci sayılarıyla (filotaksis) ilişkilidir;

ayçiçeği tohumlarının düzenlenmesi (tohumlar farklı yönlerde bükülmüş iki sıra spiral halinde düzenlenmiştir: bir sıra saat yönünde, diğeri saat yönünün tersine);

çam kozalağı pullarının düzenlenmesi;
Çiçek yaprakları;
ananas hücreleri;
insan elindeki parmak falanjlarının uzunluklarının oranı (yaklaşık olarak), vb.

Kombinatorik sorunlar

Fibonacci sayıları kombinatorik problemlerin çözümünde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Kombinatorik belirlenmiş bir kümeden, numaralandırmadan vb. belirli sayıda öğenin seçimini inceleyen bir matematik dalıdır.

Lise düzeyi için tasarlanmış kombinatorik problem örneklerine bakalım (kaynak - http://www.problems.ru/).

Görev 1:

Lesha 10 basamaklı bir merdivene tırmanıyor. Bir anda ya bir adım atıyor ya da iki adım atlıyor. Lesha merdivenleri kaç farklı şekilde tırmanabilir?

Lesha'nın merdivenleri çıkabileceği yolların sayısı N adımlar, belirtelim ve n.Şunu takip ediyor 1 = 1, bir 2= 2 (sonuçta Lesha bir veya iki adım atlar).

Ayrıca Lesha'nın merdivenlerden yukarı atlaması da kabul edildi. n> 2 adımlar. Diyelim ki ilk seferde iki adım atladı. Bu, sorunun koşullarına göre başka bir yere atlaması gerektiği anlamına gelir. n – 2 adımlar. Daha sonra tırmanışı tamamlamanın yollarının sayısı şu şekilde tanımlanır: bir n–2. Lesha'nın ilk seferinde yalnızca bir adım atladığını varsayarsak, tırmanışı bitirmenin yollarının sayısını şu şekilde tanımlarız: bir n–1.

Buradan aşağıdaki eşitliği elde ederiz: a n = a n–1 + a n–2(tanıdık geliyor değil mi?).

Bildiğimizden beri 1 Ve bir 2 ve problemin koşullarına göre 10 adım olduğunu unutmayın, hepsini sırayla hesaplayın ve n: 3 = 3, 4 = 5, 5 = 8, 6 = 13, 7 = 21, 8 = 34, 9 = 55, 10 = 89.

Cevap: 89 yol.

Görev #2:

Sadece “a” ve “b” harflerinden oluşan ve üst üste iki “b” harfini içermemesi gereken 10 harf uzunluğundaki kelime sayısını bulmanız gerekiyor.

ile belirtelim BİR kelime sayısı uzunluğu N Yalnızca “a” ve “b” harflerinden oluşan ve üst üste iki “b” harfini içermeyen harfler. Araç, 1= 2, bir 2= 3.

Sırayla 1, bir 2, <…>, BİR her bir sonraki üyesini öncekiler üzerinden ifade edeceğiz. Bu nedenle, uzunluktaki kelime sayısı Nİçinde çift “b” harfi bulunmayan ve “a” harfiyle başlayan harfler bir n–1. Ve eğer kelime uzunsa N harfler “b” harfiyle başlıyor, böyle bir kelimedeki bir sonraki harfin “a” olması mantıklıdır (sonuçta sorunun koşullarına göre iki “b” olamaz). Bu nedenle, uzunluktaki kelime sayısı N bu durumda harfleri şu şekilde belirtiriz: bir n–2. Hem birinci hem de ikinci durumda, herhangi bir kelime (uzunluğu) n – 1 Ve n – 2 harfler sırasıyla) çift “b” olmadan.

Nedenini gerekçelendirebildik a n = a n–1 + a n–2.

Şimdi hesaplayalım 3= bir 2+ 1= 3 + 2 = 5, 4= 3+ bir 2= 5 + 3 = 8, <…>, 10= 9+ 8= 144. Ve tanıdık Fibonacci dizisini elde ederiz.

Cevap: 144.

Görev #3:

Hücrelere bölünmüş bir bant olduğunu hayal edin. Sağa doğru gider ve süresiz olarak sürer. Bandın ilk karesine bir çekirge yerleştirin. Kasetin hangi hücresinde olursa olsun, yalnızca sağa doğru hareket edebilir: ya bir hücre, ya da iki hücre. Bir çekirgenin kasetin başından sonuna kadar atlayabileceği kaç farklı yol vardır? N-th hücreleri?

Bir çekirgeyi kemer boyunca hareket ettirmenin yollarının sayısını belirtelim. N-th hücreleri gibi BİR. Bu durumda 1 = bir 2= 1. Ayrıca n+1Çekirge -'inci hücreye her iki yerden de girebilir. N-inci hücreye veya üzerinden atlayarak. Buradan bir n + 1 = bir n – 1 + BİR. Nerede BİR = Fn – 1.

Cevap: Fn – 1.

Benzer problemleri kendiniz oluşturabilir ve sınıf arkadaşlarınızla matematik derslerinde çözmeye çalışabilirsiniz.

Popüler kültürde Fibonacci sayıları

Elbette Fibonacci sayıları gibi sıra dışı bir fenomen dikkat çekmekten başka bir şey yapamaz. Bu kesinlikle doğrulanmış modelde hâlâ çekici ve hatta gizemli bir şeyler var. Fibonacci dizisinin, çeşitli türlerdeki modern popüler kültürün birçok eserinde bir şekilde "aydınlatılması" şaşırtıcı değil.

Size bunlardan bazılarını anlatacağız. Ve yine kendini aramaya çalışırsın. Eğer bulursanız yorumlarda bizimle paylaşın; biz de merak ediyoruz!

Fibonacci sayılarından Dan Brown'un en çok satan kitabı Da Vinci Şifresi'nde bahsedilmektedir: Fibonacci dizisi, kitabın ana karakterlerinin bir kasayı açmak için kullandığı kod görevi görmektedir.
2009 Amerikan filmi Bay Hiçkimse'de, bir bölümde bir evin adresi Fibonacci dizisinin bir parçası - 12358. Ayrıca başka bir bölümde ana karakterin esasen aynı olan ancak biraz bozuk olan bir telefon numarasını araması gerekiyor. (5 rakamından sonraki ekstra rakam) sırası: 123-581-1321.
2012 yapımı “Bağlantı” dizisinde otizm hastası bir çocuk olan ana karakter, dünyada meydana gelen olaylardaki kalıpları ayırt edebiliyor. Fibonacci sayıları dahil. Ve bu olayları da rakamlarla yönetin.
Cep telefonları için Java oyununun geliştiricileri Doom RPG, seviyelerden birine gizli bir kapı yerleştirdi. Onu açan kod Fibonacci dizisidir.
2012 yılında Rus rock grubu Splin, “Optical Deception” konsept albümünü çıkardı. Sekizinci parçanın adı “Fibonacci”. Grup lideri Alexander Vasiliev'in dizeleri Fibonacci sayıları dizisi üzerinde oynuyor. Ardışık dokuz terimin her birine karşılık gelen sayıda satır vardır (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Tren yola çıktı

1 Bir eklem koptu

1 Bir kolu titredi

2 İşte bu, eşyaları al

İşte bu, eşyaları al

3 Kaynar su talebi

Tren nehre gidiyor

Tren taygadan geçiyor<…>.

James Lyndon'ın bir limerick'i (belirli bir biçimde kısa bir şiir - belirli bir kafiye şemasına sahip, içerik olarak mizahi olan, ilk ve son satırların tekrarlandığı veya kısmen birbirinin kopyası olduğu genellikle beş satır) Fibonacci'ye bir referans kullanır mizahi bir motif olarak sekans:

Fibonacci'nin eşlerinin yoğun yiyecekleri

Bu sadece onların yararınaydı, başka bir şey değil.

Söylentiye göre eşler tartılıyordu,

Her biri önceki ikisine benziyor.

Özetleyelim

Umarız bugün size birçok ilginç ve faydalı şey anlatabilmişizdir. Örneğin artık çevrenizdeki doğada Fibonacci spiralini arayabilirsiniz. Belki de "hayatın, Evrenin ve genel olarak sırrını" çözebilecek kişi siz olacaksınız.

Kombinatorik problemlerini çözerken Fibonacci sayıları formülünü kullanın. Bu makalede açıklanan örneklere güvenebilirsiniz.

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Sakın kaybetme. Abone olun ve e-postanızdaki makaleye bir bağlantı alın.

Elbette matematiğin tüm bilimler arasında en önemlisi olduğu fikrine aşinasınız. Ancak çoğu kişi buna katılmayabilir çünkü... Bazen matematiğin sadece problemlerden, örneklerden ve benzeri sıkıcı şeylerden ibaret olduğu anlaşılıyor. Ancak matematik bize tanıdık şeyleri tamamen yabancı bir taraftan kolayca gösterebilir. Üstelik evrenin sırlarını bile açığa çıkarabilir. Nasıl? Fibonacci sayılarına bakalım.

Fibonacci sayıları nedir?

Fibonacci sayıları, her bir sonraki sayının önceki iki sayının toplanmasıyla oluştuğu sayısal bir dizinin öğeleridir; örneğin: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... Kural olarak, böyle bir dizi şu formülle yazılır: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2.

Fibonacci sayıları negatif "n" değerleriyle başlayabilir, ancak bu durumda dizi iki yönlü olacaktır - hem pozitif hem de negatif sayıları kapsayacak ve her iki yönde de sonsuza yönelecektir. Böyle bir diziye örnek olarak şunlar verilebilir: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, 34 ve formül şöyle olacaktır: F n = F n+1 - F n+2 veya F -n = (-1) n+1 Fn.

Fibonacci sayılarının yaratıcısı, Orta Çağ'da Avrupa'nın ilk matematikçilerinden biri olan Pisalı Leonardo'dur ve aslında Fibonacci olarak bilinir - bu takma adı ölümünden yıllar sonra almıştır.

Pisalı Leonardo yaşamı boyunca matematik turnuvalarına çok düşkündü, bu yüzden eserlerinde (“Liber abaci” / “Abaküs Kitabı”, 1202; “Practica geometriae” / “Geometri Pratiği”, 1220, “Flos” / “Çiçek”, 1225) - kübik denklemler ve "Liber quadratorum" / "Kareler Kitabı", 1225 - belirsiz ikinci dereceden denklemlerle ilgili problemler üzerine bir çalışma) her türlü matematik problemini sıklıkla analiz etti.

Fibonacci'nin yaşam yolu hakkında çok az şey biliniyor. Ancak kesin olan şey, onun problemlerinin sonraki yüzyıllarda matematik çevrelerinde büyük bir popülerliğe sahip olduğudur. Bunlardan birini daha ayrıntılı olarak ele alacağız.

Tavşanlarla ilgili Fibonacci problemi

Görevi tamamlamak için yazar aşağıdaki koşulları belirledi: ilginç bir özellik ile ayırt edilen bir çift yeni doğmuş tavşan (dişi ve erkek) var - yaşamın ikinci ayından itibaren yeni bir çift tavşan üretiyorlar - yine dişi ve Erkek. Tavşanlar kapalı alanlarda tutulur ve sürekli ürerler. Ve tek bir tavşan ölmez.

Görev: Bir yıldaki tavşan sayısını belirleyin.

Çözüm:

Sahibiz:

İlk ayın başında bir çift tavşan, ayın sonunda çiftleşir
İkinci ayda iki çift tavşan (ilk çift ve yavrular)
Üçüncü ayda üç çift tavşan (ilk çift, ilk çiftin önceki aydan yavruları ve yeni yavrular)
Dördüncü ayda beş çift tavşan (birinci çift, birinci çiftin birinci ve ikinci yavruları, birinci çiftin üçüncü yavruları ve ikinci çiftin ilk yavruları)

Aylık tavşan sayısı “n” = geçen ayki tavşan sayısı + yeni tavşan çifti sayısı, diğer bir deyişle yukarıdaki formül: F n = F n-1 + F n-2. Bu, her yeni sayının önceki iki sayının toplamına karşılık geldiği yinelenen bir sayı dizisiyle sonuçlanır (özyineleme hakkında daha sonra konuşacağız):

1 ay: 1 + 1 = 2

2 ay: 2 + 1 = 3

3 ay: 3 + 2 = 5

4 ay: 5 + 3 = 8

5 ay: 8 + 5 = 13

6 ay: 13 + 8 = 21

7. ay: 21 + 13 = 34

8. ay: 34 + 21 = 55

9 ay: 55 + 34 = 89

10. ay: 89 + 55 = 144

11. ay: 144 + 89 = 233

12 ay: 233+ 144 = 377

Ve bu sıralama süresiz olarak devam edebilir, ancak görevin bir yıl sonraki tavşan sayısını bulmak olduğu göz önüne alındığında sonuç 377 çifttir.

Burada şunu da belirtmekte fayda var ki Fibonacci sayılarının özelliklerinden biri de ardışık iki çifti karşılaştırıp büyük olanı küçük olana böldüğünüzde sonuç, aşağıda da bahsedeceğimiz altın orana doğru ilerleyecektir. .

Bu arada size Fibonacci sayılarıyla ilgili iki problem daha sunuyoruz:

Hakkında yalnızca 5 çıkarırsanız veya 5 eklerseniz yine bir kare sayı elde edeceğinizi bildiğimiz bir kare sayı belirleyin.
7'ye bölünebilen bir sayı belirleyin, ancak bu sayıyı 2, 3, 4, 5 veya 6'ya bölmenin 1 kalanını bırakması şartıyla.

Bu tür görevler sadece zihni geliştirmenin mükemmel bir yolu değil, aynı zamanda eğlenceli bir eğlence olacaktır. Ayrıca internette bilgi arayarak bu sorunların nasıl çözüldüğünü öğrenebilirsiniz. Onlara odaklanmayacağız, ancak hikayemize devam edeceğiz.

Özyineleme ve altın oran nedir?

Özyineleme

Özyineleme, verilen nesneyi veya işlemin kendisini içeren herhangi bir nesnenin veya işlemin açıklaması, tanımı veya görüntüsüdür. Başka bir deyişle, bir nesne veya süreç kendisinin bir parçası olarak adlandırılabilir.

Özyineleme sadece matematik biliminde değil aynı zamanda bilgisayar bilimi, popüler kültür ve sanatta da yaygın olarak kullanılmaktadır. Fibonacci sayıları için geçerli olmak üzere eğer sayı “n>2” ise “n” = (n-1)+(n-2) diyebiliriz.

altın Oran

Altın oran, bütünün şu prensibe göre birbiriyle ilişkili parçalara bölünmesidir: Toplam değerin daha büyük parçayla ilişkisi gibi, büyük olan da küçük olanla ilişkilidir.

Altın orandan ilk kez Öklid ("Elementler" adlı inceleme, yaklaşık MÖ 300) tarafından düzenli bir dikdörtgenin yapısından bahsedilmiştir. Ancak daha tanıdık bir kavram Alman matematikçi Martin Ohm tarafından ortaya atıldı.

Altın oran yaklaşık olarak %38 ve %68 gibi iki farklı parçaya orantısal olarak bölünerek temsil edilebilir. Altın oranın sayısal ifadesi yaklaşık olarak 1,6180339887'dir.

Uygulamada mimaride, güzel sanatlarda (eserlere bakın), sinemada ve diğer alanlarda altın oran kullanılmaktadır. Uzun bir süre, altın oran, şimdi olduğu gibi, estetik bir oran olarak kabul edildi, ancak çoğu insan bunu orantısız - uzun olarak algılıyor.

Aşağıdaki oranların rehberliğinde altın oranı kendiniz tahmin etmeye çalışabilirsiniz:

Segmentin uzunluğu a = 0,618
Segment uzunluğu b= 0,382
Segmentin uzunluğu c = 1
c ve a'nın oranı = 1,618
c ve b'nin oranı = 2,618

Şimdi altın oranı Fibonacci sayılarına uygulayalım: dizisinin iki komşu terimini alıp büyük olanı küçüğüne bölüyoruz. Yaklaşık 1.618 elde ediyoruz. Aynı büyük sayıyı alıp kendisinden sonraki daha büyük sayıya bölersek yaklaşık 0,618 elde ederiz. Kendiniz deneyin: 21 ve 34 veya başka sayılarla “oynayın”. Bu deneyi Fibonacci dizisinin ilk sayılarıyla yaparsak artık böyle bir sonuç olmayacaktır çünkü altın oran dizinin başında "işe yaramıyor". Bu arada, tüm Fibonacci sayılarını belirlemek için ardışık ilk üç sayıyı bilmeniz yeterlidir.

Ve sonuç olarak, biraz daha düşünmeye değer.

Altın Dikdörtgen ve Fibonacci Spirali

“Altın Dikdörtgen”, altın oran ile Fibonacci sayıları arasındaki bir diğer ilişkidir, çünkü... en boy oranı 1,618'e 1'dir (1,618 sayısını unutmayın!).

İşte bir örnek: Fibonacci dizisinden iki sayı alıyoruz, örneğin 8 ve 13 ve genişliği 8 cm, uzunluğu 13 cm olan bir dikdörtgen çiziyoruz.Daha sonra ana dikdörtgeni küçüklere bölüyoruz, ancak bunların uzunluk ve genişlik Fibonacci sayılarına karşılık gelmelidir - büyük dikdörtgenin bir kenarının uzunluğu, küçük olanın kenarının iki uzunluğuna eşit olmalıdır.

Bundan sonra, sahip olduğumuz tüm dikdörtgenlerin köşelerini düzgün bir çizgiyle birleştiriyoruz ve logaritmik spiralin özel bir durumunu - Fibonacci spirali - elde ediyoruz. Başlıca özellikleri sınırların olmaması ve şekil değişiklikleridir. Böyle bir sarmal doğada sıklıkla bulunabilir: En çarpıcı örnekler yumuşakça kabukları, uydu görüntülerindeki kasırgalar ve hatta bazı gökadalardır. Ama daha da ilginci, canlıların DNA'sı da aynı kurala uyuyor, çünkü onun spiral bir şekle sahip olduğunu hatırlıyor musunuz?

Bunlar ve daha birçok "rastgele" tesadüf, bugün bile bilim adamlarının bilincini heyecanlandırıyor ve Evrendeki her şeyin tek bir algoritmaya, üstelik matematiksel bir algoritmaya tabi olduğunu öne sürüyor. Ve bu bilim, çok sayıda tamamen sıkıcı sır ve gizemi gizler.

Ancak altın oranla yapılabileceklerin hepsi bu değil. Birini 0,618'e bölersek 1,618, karesini alırsak 2,618, küp yaparsak 4,236 elde ederiz. Bunlar Fibonacci genişleme oranlarıdır. Burada eksik olan tek sayı John Murphy tarafından önerilen 3.236'dır.

Uzmanlar tutarlılık hakkında ne düşünüyor?

Bazıları bu rakamların zaten tanıdık olduğunu söyleyebilir çünkü teknik analiz programlarında düzeltmelerin ve uzatmaların büyüklüğünü belirlemek için kullanılıyorlar. Ayrıca aynı seriler Eliot'un dalga teorisinde de önemli bir rol oynamaktadır. Bunlar onun sayısal temelidir.

Uzmanımız Nikolay, Vostok yatırım şirketinde kendini kanıtlamış bir portföy yöneticisidir.

— Nikolay, Fibonacci sayılarının ve türevlerinin çeşitli enstrümanların grafiklerinde görünmesinin tesadüf olduğunu mu düşünüyorsun? Peki “Fibonacci serisinin pratik uygulaması” gerçekleşiyor demek mümkün mü?
— Mistisizme karşı kötü bir tavrım var. Ve hatta daha fazlası borsa listelerinde. Her şeyin kendi nedenleri vardır. “Fibonacci Seviyeleri” kitabında altın oranın nerede göründüğünü çok güzel anlatmış, borsa kotasyon çizelgelerinde görünmesine şaşırmamıştı. Ama boşuna! Verdiği örneklerin birçoğunda Pi sayısı sıklıkla karşımıza çıkıyor. Fakat bazı nedenlerden dolayı fiyat oranlarına dahil edilmiyor.
— Yani Eliot'un dalga ilkesinin etkililiğine inanmıyorsun, öyle mi?
- Hayır, konu bu değil. Dalga prensibi bir şeydir. Sayısal oran farklıdır. Ve fiyat listelerinde görünmelerinin nedenleri üçüncü
— Hisse senedi grafiklerinde altın oranın ortaya çıkmasının sebepleri nelerdir sizce?
— Bu sorunun doğru cevabı size Nobel Ekonomi Ödülü'nü kazandırabilir. Şimdilik gerçek nedenleri tahmin edebiliyoruz. Açıkça doğayla uyum içinde değiller. Döviz fiyatlandırmasının birçok modeli vardır. Belirlenen olguyu açıklamazlar. Ancak bir olgunun doğasını anlamamak, bu olguyu inkar etmemelidir.
— Peki bu yasa bir gün açılırsa takas sürecini yok edebilecek mi?
— Aynı dalga teorisinin gösterdiği gibi, hisse senedi fiyatlarındaki değişim kanunu saf psikolojidir. Bana öyle geliyor ki bu yasayı bilmek hiçbir şeyi değiştirmeyecek ve borsayı yok edemeyecek.

Web yöneticisi Maxim'in blogu tarafından sağlanan materyal.

Matematiğin temel ilkelerinin çeşitli teorilerdeki örtüşmesi inanılmaz görünüyor. Belki bu bir fantezidir veya nihai sonuç için özelleştirilmiştir. Bekle ve gör. Daha önce olağandışı kabul edilen veya mümkün olmayan şeylerin çoğu: örneğin uzay araştırmaları sıradan hale geldi ve kimseyi şaşırtmıyor. Ayrıca anlaşılması güç olabilecek dalga teorisi zamanla daha ulaşılabilir ve anlaşılır hale gelecektir. Daha önce gereksiz olan şey, deneyimli bir analistin elinde gelecekteki davranışları tahmin etmek için güçlü bir araç haline gelecektir.

Doğadaki Fibonacci sayıları.

Bakmak

Şimdi Fibonacci dijital serisinin doğadaki her türlü desende yer aldığı gerçeğini nasıl çürütebileceğinizden bahsedelim.

Diğer iki sayıyı alıp Fibonacci sayılarıyla aynı mantıkla bir dizi oluşturalım. Yani dizinin bir sonraki üyesi önceki ikisinin toplamına eşittir. Örnek olarak iki sayıyı ele alalım: 6 ve 51. Şimdi 1860 ve 3009 olmak üzere iki sayıyla tamamlayacağımız bir dizi oluşturacağız. Bu sayıları bölerken altın orana yakın bir sayı elde ettiğimizi unutmayın.

Aynı zamanda diğer çiftleri bölerken elde edilen sayıların birinciden sonuncuya doğru azalması, bu seri sonsuza kadar devam ederse altın orana eşit bir sayı elde edeceğimizi söylememize olanak sağlıyor.

Dolayısıyla Fibonacci sayıları hiçbir şekilde öne çıkmıyor. Aynı işlemler sonucunda altın sayıyı veren, sonsuz sayıda olan başka sayı dizileri de vardır.

Fibonacci bir ezoterikçi değildi. Rakamlara herhangi bir mistisizm katmak istemiyordu, sadece tavşanlarla ilgili sıradan bir problemi çözüyordu. Ve probleminden yola çıkarak birinci, ikinci ve diğer aylarda üremeden sonra kaç tavşan olacağını gösteren bir dizi sayı yazdı. Bir yıl içinde aynı diziyi aldı. Ve bir ilişki yapmadım. Altın orandan ya da ilahi bir ilişkiden söz edilmiyordu. Bütün bunlar Rönesans sırasında ondan sonra icat edildi.

Matematikle karşılaştırıldığında Fibonacci'nin avantajları çok büyüktür. Sayı sistemini Araplardan alıp geçerliliğini kanıtladı. Zorlu ve uzun bir mücadeleydi. Roma sayı sisteminden: ağır ve saymak için elverişsiz. Fransız Devrimi'nden sonra ortadan kayboldu. Fibonacci'nin altın oranla hiçbir ilgisi yoktur.

Eserin metni görseller ve formüller olmadan yayınlanmaktadır.
Çalışmanın tam versiyonuna PDF formatında "Çalışma Dosyaları" sekmesinden ulaşılabilir.

giriiş

MATEMATİĞİN EN YÜKSEK AMACI, BİZİ ETRAFIMIZDAKİ KAOS İÇİNDE GİZLİ DÜZENİ BULMAKTIR.

Viner N.

Bir kişi hayatı boyunca bilgi için çabalar, etrafındaki dünyayı incelemeye çalışır. Ve gözlem sürecinde cevap gerektiren sorular ortaya çıkar. Cevaplar bulundu ama yeni sorular ortaya çıkıyor. Arkeolojik buluntularda, zaman ve mekan açısından birbirinden uzak uygarlık izlerinde tek ve aynı unsur bulunur - spiral şeklinde bir desen. Bazıları onu güneşin sembolü olarak görüyor ve efsanevi Atlantis'le ilişkilendiriyor ancak gerçek anlamı bilinmiyor. Bir galaksinin ve atmosferik kasırganın şekillerinin, bir sap üzerindeki yaprakların dizilişinin ve ayçiçeğindeki tohumların dizilişinin ortak noktası nedir? Bu modeller, 13. yüzyılın büyük İtalyan matematikçisi tarafından keşfedilen muhteşem Fibonacci dizisi olan "altın" sarmal olarak adlandırılan diziye kadar inmektedir.

Fibonacci sayılarının tarihi

Fibonacci sayılarının ne olduğunu ilk kez bir matematik öğretmeninden duydum. Ama ayrıca bu sayıların dizisinin nasıl bir araya geldiğini bilmiyordum. Bu dizinin aslında meşhur olduğu şey bu, insanı nasıl etkilediğini anlatmak istiyorum. Leonardo Fibonacci hakkında çok az şey biliniyor. Doğumunun kesin tarihi bile yoktur. 1170 yılında İtalya'nın Pisa şehrinde tüccar bir ailenin çocuğu olarak doğduğu biliniyor. Fibonacci'nin babası ticari konularda sık sık Cezayir'i ziyaret ediyordu ve Leonardo orada Arap öğretmenlerden matematik eğitimi alıyordu. Daha sonra birçok matematik eseri yazdı; bunlardan en ünlüsü, o zamanın neredeyse tüm aritmetik ve cebir bilgilerini içeren “Abaküs Kitabı” idi. 2

Fibonacci sayıları, çeşitli özelliklere sahip bir sayı dizisidir. Fibonacci bu sayı dizisini 1202 yılında tavşanlarla ilgili pratik bir problemi çözmeye çalışırken tesadüfen keşfetti. “Birisi, eğer tavşanların doğası gereği bir ay sonra bir çift tavşan doğacaksa, yıl içinde kaç çift tavşan doğacağını bulmak için her tarafı duvarla çevrili belirli bir yere bir çift tavşan yerleştirdi. Tavşanlar bir çift daha doğurur, tavşanlar da doğumdan sonraki ikinci aydan itibaren doğururlar." Sorunu çözerken, her bir tavşan çiftinin yaşamları boyunca iki çift daha doğurduğunu ve sonra öldüğünü hesaba kattı. Sayı dizisi şu şekilde ortaya çıktı: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Bu dizide her sonraki sayı, önceki iki sayının toplamına eşittir. Buna Fibonacci dizisi adı verildi. Dizinin matematiksel özellikleri

Bu diziyi araştırmak istedim ve bazı özelliklerini keşfettim. Bu model çok önemlidir. Dizi yavaş yavaş yaklaşık 1,618'lik belirli bir sabit orana yaklaşmaktadır ve herhangi bir sayının bir sonrakine oranı yaklaşık 0,618'dir.

Fibonacci sayılarının bir takım ilginç özelliklerini fark edebilirsiniz: iki komşu sayı göreceli olarak asaldır; her üç sayıdan biri çifttir; her on beşte biri sıfırla biter; her dörtte biri üçün katıdır. Fibonacci dizisinden herhangi bir 10 bitişik sayıyı seçip toplarsanız, her zaman 11'in katı olan bir sayı elde edersiniz. Ancak hepsi bu değil. Her toplam, 11 sayısının verilen dizinin yedinci terimiyle çarpımına eşittir. İşte ilginç bir özellik daha. Herhangi bir n için dizinin ilk n teriminin toplamı her zaman dizinin (n+ 2)'inci ve birinci terimleri arasındaki farka eşit olacaktır. Bu gerçek şu formülle ifade edilebilir: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. Şimdi elimizde şu numara var: tüm terimlerin toplamını bulmak

Verilen iki terim arasındaki dizide karşılık gelen (n+2)-x terimlerinin farkını bulmak yeterlidir. Örneğin, a 26 +…+a 40 = a 42 - a 27. Şimdi Fibonacci, Pisagor ve “altın oran” arasındaki bağlantıyı arayalım. İnsanoğlunun matematik dehasının en ünlü kanıtı Pisagor teoremidir: Herhangi bir dik üçgende hipotenüsün karesi dik kenarlarının karelerinin toplamına eşittir: c 2 =b 2 +a 2. Geometrik açıdan bakıldığında bir dik üçgenin tüm kenarlarını, üzerlerine inşa edilen üç karenin kenarları olarak düşünebiliriz. Pisagor teoremi, bir dik üçgenin kenarlarına inşa edilen karelerin toplam alanının, hipotenüs üzerine inşa edilen karenin alanına eşit olduğunu belirtir. Bir dik üçgenin kenarlarının uzunlukları tam sayı ise, Pisagor üçlüleri adı verilen üç sayıdan oluşan bir grup oluştururlar. Fibonacci dizisini kullanarak bu tür üçlüleri bulabilirsiniz. Diziden herhangi bir ardışık sayı alalım, örneğin 2, 3, 5 ve 8 ve aşağıdaki gibi üç sayı daha oluşturalım: 1) iki uç sayının çarpımı: 2*8=16; 2) çift çarpım ortadaki iki sayının kareleri: 2* (3*5)=30;3) iki ortalama sayının karelerinin toplamı: 3 2 +5 2 =34; 34 2 =30 2 +16 2. Bu yöntem ardışık dört Fibonacci sayısı için işe yarar. Fibonacci serisindeki ardışık üç sayı öngörülebilir bir şekilde davranır. İki uç noktayı çarpıp sonucu ortalama sayının karesiyle karşılaştırırsanız sonuç her zaman bir farklılık gösterecektir. Örneğin 5, 8 ve 13 sayıları için şunu elde ederiz: 5*13=8 2 +1. Bu özelliğe geometrik açıdan bakarsanız tuhaf bir şey fark edeceksiniz. Kareyi böl

8x8 boyutunda (toplamda 64 küçük kare) dört parçaya bölünmüş, kenar uzunlukları Fibonacci sayılarına eşit. Şimdi bu parçalardan 5x13 ölçülerinde bir dikdörtgen oluşturacağız. Alanı 65 küçük karedir. Fazladan kare nereden geliyor? Mesele şu ki, ideal bir dikdörtgen oluşmuyor, ancak toplamda bu ek alan birimini veren küçük boşluklar kalıyor. Pascal üçgeninin Fibonacci dizisiyle de bağlantısı var. Pascal üçgeninin çizgilerini alt alta yazmanız ve ardından elemanları çapraz olarak eklemeniz yeterlidir. Sonuç Fibonacci dizisidir.

Şimdi bir kenarı diğerinden 1,618 kat daha uzun olan altın bir dikdörtgen düşünün. İlk bakışta bize sıradan bir dikdörtgen gibi görünebilir. Ancak iki sıradan banka kartıyla basit bir deney yapalım. Birini yatay, diğerini dikey olarak alt tarafları aynı hizada olacak şekilde yerleştirelim. Yatay bir haritada çapraz bir çizgi çizip onu uzatırsak, bunun dikey haritanın sağ üst köşesinden tam olarak geçeceğini göreceğiz - hoş bir sürpriz. Belki bu bir tesadüftür, belki de bu dikdörtgenler ve “altın oranı” kullanan diğer geometrik şekiller özellikle göze hoş geliyor. Leonardo da Vinci şaheseri üzerinde çalışırken altın oranı düşündü mü? Bu pek olası görünmüyor. Ancak estetik ve matematik arasındaki bağlantıya büyük önem verdiği söylenebilir.

Doğadaki Fibonacci sayıları

Altın oranın güzellikle bağlantısı sadece insanın algı meselesi değildir. Görünüşe göre doğanın kendisi F. Kareleri sırayla "altın" bir dikdörtgene yazarsanız ve ardından her kareye bir yay çizerseniz, logaritmik spiral adı verilen zarif bir eğri elde edersiniz. Bu kesinlikle matematiksel bir merak değil. 5

Tam tersine, bu dikkate değer çizgi fiziksel dünyada sıklıkla bulunur: bir deniz kabuğunun kabuğundan galaksilerin kollarına ve çiçek açan bir gülün yapraklarından oluşan zarif sarmalda. Altın oran ile Fibonacci sayıları arasındaki bağlantılar çok sayıda ve şaşırtıcıdır. Gülden çok farklı görünen bir çiçeği, tohumları olan bir ayçiçeğini ele alalım. Gördüğümüz ilk şey, tohumların iki tür spiral şeklinde düzenlenmiş olmasıdır: saat yönünde ve saat yönünün tersine. Saat yönündeki spiralleri sayarsak, görünüşte sıradan iki sayı elde ederiz: 21 ve 34. Bitkilerin yapısında Fibonacci sayılarının bulunabileceği tek örnek bu değildir.

Doğa bize, Fibonacci sayılarıyla tanımlanan homojen nesnelerin düzenlenmesine ilişkin çok sayıda örnek verir. Küçük bitki parçalarının çeşitli spiral düzenlemelerinde genellikle iki spiral ailesi ayırt edilebilir. Bu ailelerden birinde spiraller saat yönünde kıvrılırken, diğerinde saat yönünün tersine kıvrılıyor. Bir ve diğer türdeki spiral sayıları genellikle bitişik Fibonacci sayıları olarak ortaya çıkar. Yani, genç bir çam dalı aldığımızda, iğnelerin sol alttan sağ üste doğru iki spiral oluşturduğunu fark etmek kolaydır. Pek çok kozalağın üzerinde tohumlar, koninin gövdesinin etrafına hafifçe dolanan üç spiral şeklinde düzenlenmiştir. Ters yönde dik bir şekilde kıvrılan beş spiral halinde bulunurlar. Büyük konilerde 5 ve 8'li, hatta 8 ve 13'lü spiralleri gözlemlemek mümkündür. Fibonacci spiralleri bir ananas üzerinde de açıkça görülebilir: genellikle 8 ve 13 tane vardır.

Hindiba sürgünü uzaya güçlü bir fırlatma yapar, durur, bir yaprak bırakır ama bu sefer ilkine göre daha kısadır, yine uzaya fırlatır ama daha az kuvvetle daha küçük boyutta bir yaprak fırlatır ve tekrar fırlatır. . Büyümesinin dürtüleri “altın” bölümle orantılı olarak giderek azalıyor. Fibonacci sayılarının devasa rolünü anlamak için etrafımızdaki doğanın güzelliğine bakmanız yeterli. Fibonacci sayıları miktarlarda bulunabilir

Büyüyen her bitkinin gövdesindeki dallar ve yaprak sayısı.

Bazı çiçeklerin yapraklarını sayalım - 3 yapraklı iris, 5 yapraklı çuha çiçeği, 13 yapraklı kanarya otu, 34 yapraklı peygamber çiçeği, 55 yapraklı aster vb. Bu bir tesadüf mü, yoksa doğanın bir kanunu mu? Civanperçemi saplarına ve çiçeklerine bakın. Böylece toplam Fibonacci dizisi, doğada bulunan “Altın” sayıların ortaya çıkış şeklini kolaylıkla yorumlayabilmektedir. Bu yasalar, bilincimiz ve onları kabul etme arzumuzdan bağımsız olarak işler. "Altın" simetri kalıpları, temel parçacıkların enerji geçişlerinde, bazı kimyasal bileşiklerin yapısında, gezegensel ve kozmik sistemlerde, canlı organizmaların gen yapılarında, bireysel insan organlarının ve vücudun yapısında kendini gösterir. bir bütündür ve aynı zamanda beynin biyoritimlerinde, işleyişinde ve görsel algıda da kendini gösterir.

Mimaride Fibonacci sayıları

“Altın Oran”, insanlık tarihi boyunca pek çok dikkat çekici mimari eserde de karşımıza çıkmaktadır. Antik Yunan ve eski Mısırlı matematikçilerin bu katsayıları Fibonacci'den çok önce bildikleri ve onlara "altın oran" adını verdikleri ortaya çıktı. Yunanlılar Parthenon'un inşasında “altın oran” ilkesini, Mısırlılar ise Büyük Giza Piramidi'ni kullanmışlardır. İnşaat teknolojisindeki ilerlemeler ve yeni malzemelerin geliştirilmesi, yirminci yüzyıl mimarları için yeni fırsatlar yarattı. Amerikalı Frank Lloyd Wright, organik mimarinin ana savunucularından biriydi. Ölümünden kısa bir süre önce New York'taki Solomon Guggenheim Müzesi'ni ters sarmal şeklinde tasarladı ve müzenin içi nautilus kabuğunu andırıyor. Polonyalı-İsrailli mimar Zvi Hecker de 1995'te tamamlanan Berlin'deki Heinz Galinski Okulu'nun tasarımında spiral yapılar kullandı. Hecker, merkezi bir daireye sahip bir ayçiçeği fikriyle başladı.

Tüm mimari unsurlar birbirinden farklıdır. Bina bir kombinasyondur

Sınırlı insan bilgisinin ve doğanın kontrollü kaosunun etkileşimini simgeleyen dik ve eşmerkezli spiraller. Mimarisi Güneş'in hareketini takip eden bir bitkiyi taklit ettiği için sınıflar gün boyu aydınlatılıyor.

Cambridge, Massachusetts'te (ABD) bulunan Quincy Park'ta “altın” spiral sıklıkla bulunabilir. Park, 1997 yılında sanatçı David Phillips tarafından tasarlandı ve Clay Matematik Enstitüsü'nün yakınında bulunuyor. Bu kurum matematiksel araştırmalar için ünlü bir merkezdir. Quincy Park'ta “altın” spiraller ve metal kıvrımlar, iki deniz kabuğu kabartması ve karekök sembollü bir kaya arasında dolaşabilirsiniz. İşaret “altın” oran hakkında bilgi içerir. Bisiklet park etmede bile F sembolü kullanılıyor.

Psikolojide Fibonacci sayıları

Psikolojide, kişinin yaşam yolunda ruhun yapısında ve işlevlerinde dönüşümlere işaret eden dönüm noktaları, krizler ve devrimler kaydedilmiştir. Eğer kişi bu krizleri başarıyla aşarsa, daha önce aklına bile gelmeyen yeni bir sınıfın sorunlarını çözme yeteneğine sahip olur.

Temel değişikliklerin varlığı, yaşam süresinin manevi niteliklerin gelişiminde belirleyici bir faktör olarak görülmesine neden olur. Sonuçta doğa bizim için zamanı cömertçe ölçmüyor, "ne kadar olursa olsun, çok şey olacak", ancak gelişim sürecinin gerçekleşmesi için yeterli:

vücut yapılarında;

Duygularda, düşünmede ve psikomotor becerilerde - edinilene kadar uyum mekanizmanın ortaya çıkması ve başlatılması için gerekli

yaratıcılık;

insanın enerji potansiyelinin yapısında.

Vücudun gelişimi durdurulamaz: Çocuk yetişkin olur. Yaratıcılık mekanizmasıyla her şey o kadar basit değil. Gelişimi durdurulabilir ve yönü değiştirilebilir.

Zamanı yakalama şansımız var mı? Şüphesiz. Ancak bunun için kendiniz üzerinde çok çalışmanız gerekiyor. Özgürce gelişen şey doğal olarak özel çaba gerektirmez: Çocuk özgürce gelişir ve bu devasa çalışmayı fark etmez, çünkü özgür gelişim süreci kendine karşı şiddet olmadan yaratılır.

Yaşam yolculuğunun anlamı gündelik bilinçte nasıl anlaşılır? Ortalama bir insan bunu şöyle görür: En altta doğum vardır, en üstte yaşamın en güzel anları vardır ve sonra her şey yokuş aşağı gider.

Bilge şöyle diyecek: her şey çok daha karmaşık. Yükselişi aşamalara ayırıyor: çocukluk, ergenlik, gençlik... Neden böyle? Herkes bunların yaşamın kapalı, ayrılmaz aşamaları olduğundan emin olmasına rağmen çok az kişi cevap verebilir.

Yaratıcılık mekanizmasının nasıl geliştiğini öğrenmek için V.V. Klimenko matematiği, yani Fibonacci sayılarının yasalarını ve “altın bölümün” oranını - doğa ve insan yaşamının yasalarını kullandı.

Fibonacci sayıları, yaşanılan yıl sayısına göre hayatımızı aşamalara ayırır: 0 - geri sayımın başlangıcı - çocuğun doğuşu. Hala sadece psikomotor becerilerden, düşünmeden, duygulardan, hayal gücünden değil, aynı zamanda operasyonel enerji potansiyelinden de yoksundur. O, yeni bir yaşamın, yeni bir uyumun başlangıcıdır;

1 - çocuk yürüme konusunda ustalaştı ve yakın çevresine hakim oluyor;

2 - sözlü talimatları kullanarak konuşmayı ve eylemleri anlar;

3 - kelimelerle hareket eder, sorular sorar;

5 - “zarafet çağı” - çocuğun dünyayı tüm bütünlüğüyle kucaklamasına zaten izin veren psikomotor, hafıza, hayal gücü ve duyguların uyumu;

8 - duygular ön plana çıkıyor. Hayal gücü onlara hizmet eder ve eleştirelliği sayesinde düşünme, yaşamın iç ve dış uyumunu desteklemeyi amaçlar;

13 - Miras sürecinde edinilen materyali dönüştürmeyi, kendi yeteneğini geliştirmeyi amaçlayan yetenek mekanizması çalışmaya başlar;

21 - yaratıcılık mekanizması bir uyum durumuna yaklaştı ve yetenekli çalışmalar yapılması için girişimlerde bulunuluyor;

34-düşüncenin, duyguların, hayal gücünün ve psikomotor becerilerin uyumu: ustaca çalışma yeteneği doğar;

55 - Bu yaşta insan, ruh-beden uyumu korunduğu takdirde yaratıcı olmaya hazırdır. Ve benzeri…

Fibonacci Sayılarının serifleri nelerdir? Yaşam yolu üzerindeki barajlara benzetilebilirler. Bu barajlar her birimizi bekliyor. Her şeyden önce, her birinin üstesinden gelmeniz ve ardından, bir gün parçalanıp bir sonraki serbest akışın yolunu açana kadar gelişim seviyenizi sabırla yükseltmeniz gerekir.

Artık yaşa bağlı gelişimin bu önemli noktalarının anlamını anladığımıza göre, tüm bunların nasıl gerçekleştiğini çözmeye çalışalım.

B1 yılıçocuk yürümeyi öğrenir. Bundan önce dünyayı kafasının ön tarafıyla deneyimliyordu. Artık dünyayı elleriyle tanıyor; olağanüstü bir insan ayrıcalığı. Hayvan uzayda hareket eder ve öğrenerek uzaya hakim olur ve yaşadığı bölgeye hakim olur.

2 yıl- Sözü anlar ve ona göre hareket eder. Bu demektir:

Çocuk minimum sayıda kelimeyi, anlamlarını ve eylem tarzlarını öğrenir;

Henüz çevreden ayrılmamış ve çevre ile bütünlük içinde kaynaşmış,

dolayısıyla başkasının talimatlarına göre hareket eder. Bu yaşta ebeveynlerine karşı en itaatkar ve hoş kişidir. Çocuk, şehvetli bir kişiden bilişsel bir kişiye dönüşür.

3 yıl- kişinin kendi sözünü kullanarak yaptığı eylem. Bu kişinin çevreden ayrılması çoktan gerçekleşmiş ve bağımsız hareket eden bir kişi olmayı öğreniyor. Buradan o:

çevreye ve ebeveynlere, anaokulu öğretmenlerine vb. bilinçli olarak karşı çıkıyor;

egemenliğinin farkına varır ve bağımsızlık mücadelesi verir;

yakın ve tanınmış kişileri kendi iradesine tabi kılmaya çalışır.

Artık bir çocuk için bir kelime bir eylemdir. Aktif kişinin başladığı yer burasıdır.

5 yıl- "zarafet çağı." O, uyumun kişileşmiş halidir. Oyunlar, danslar, ustaca hareketler - her şey, kişinin kendi gücüyle ustalaşmaya çalıştığı uyumla doyurulur. Uyumlu psikomotor davranış yeni bir durumun ortaya çıkmasına yardımcı olur. Bu nedenle çocuk psikomotor aktiviteye odaklanır ve en aktif eylemler için çaba gösterir.

Hassasiyet çalışması ürünlerinin hayata geçirilmesi şu şekilde gerçekleştirilir:

çevreyi ve kendimizi bu dünyanın bir parçası olarak gösterebilme yeteneği (duyarız, görürüz, dokunuruz, koklarız vb. - bu süreç için tüm duyularımız çalışır);

kendisi de dahil olmak üzere dış dünyayı tasarlama yeteneği

(ikinci doğanın yaratılması, hipotezler - bunu ve bunu yarın yapın, yeni bir makine yapın, bir sorunu çözün), eleştirel düşünmenin, duyguların ve hayal gücünün güçleriyle;

ikinci, insan yapımı bir doğa, faaliyet ürünleri yaratma yeteneği (planların gerçekleştirilmesi, belirli nesneler ve süreçlerle belirli zihinsel veya psikomotor eylemler).

5 yaşından sonra hayal gücü mekanizması öne çıkar ve diğerlerine hakim olmaya başlar. Çocuk, fantastik görüntüler yaratarak muazzam miktarda iş yapar ve masal ve mit dünyasında yaşar. Bir çocuğun hipertrofik hayal gücü yetişkinlerde şaşkınlığa neden olur çünkü hayal gücü gerçekliğe karşılık gelmez.

8 yıl— Çocuk aşağıdaki durumlarda açıkça aşağıdaki durumlarda duygular ön plana çıkar ve kişinin kendi duygu standartları (bilişsel, ahlaki, estetik) ortaya çıkar:

bilineni ve bilinmeyeni değerlendirir;

ahlaklıyı ahlaksızdan, ahlaklıyı ahlaksızdan ayırır;

hayatı tehdit eden şeylerden güzellik, kaostan uyum.

13 yıl— yaratıcılık mekanizması çalışmaya başlar. Ancak bu tam kapasite çalıştığı anlamına gelmiyor. Mekanizmanın unsurlarından biri öne çıkıyor ve diğerleri onun çalışmasına katkıda bulunuyor. Yapısını neredeyse sürekli yeniden inşa eden bu gelişim çağında uyum korunursa, gençlik bir sonraki baraja acısız bir şekilde ulaşacak, kendisi tarafından fark edilmeden onu aşacak ve bir devrimci çağında yaşayacaktır. Devrimci yaşta bir genç ileriye doğru yeni bir adım atmalıdır: en yakın toplumdan ayrılmalı ve onun içinde uyumlu bir yaşam ve faaliyet yaşamalıdır. Her birimizin önünde ortaya çıkan bu sorunu herkes çözemez.

21 yaşında. Eğer bir devrimci yaşamın ilk uyumlu zirvesini başarıyla aşmışsa, o zaman onun yetenek mekanizması yetenekli şeyleri gerçekleştirme kapasitesine sahiptir.

iş. Duygular (bilişsel, ahlaki veya estetik) bazen düşünceyi gölgede bırakır, ancak genel olarak tüm unsurlar uyumlu bir şekilde çalışır: duygular dünyaya açıktır ve mantıksal düşünme, bu zirveden itibaren şeyleri adlandırabilir ve ölçülerini bulabilir.

Normal olarak gelişen yaratıcılık mekanizması, belirli meyveleri almasına olanak sağlayacak bir duruma ulaşır. Çalışmaya başlar. Bu yaşlarda duygu mekanizması öne çıkar. Hayal ve onun ürünleri, duyular ve akıl tarafından değerlendirildikçe aralarında düşmanlık ortaya çıkar. Duygular kazanır. Bu yetenek yavaş yavaş güç kazanır ve çocuk onu kullanmaya başlar.

34 yıl- denge ve uyum, yeteneğin üretken etkinliği. Düşüncenin, duyguların ve hayal gücünün uyumu, optimum enerji potansiyeli ile doldurulan psikomotor beceriler ve bir bütün olarak mekanizma - mükemmel işler yapma fırsatı doğar.

55 yıl- kişi yaratıcı olabilir. Yaşamın üçüncü uyumlu zirvesi: düşünme, duyguların gücüne boyun eğdirir.

Fibonacci sayıları insan gelişiminin aşamalarını ifade eder. Bir kişinin bu yolu durmadan geçip geçmeyeceği, ebeveynlere ve öğretmenlere, eğitim sistemine ve ardından kendine ve kişinin nasıl öğrenip kendini aşacağına bağlıdır.

Yaşam yolunda kişi 7 ilişki nesnesini keşfeder:

Doğum gününden 2 yaşına kadar - yakın çevrenin fiziksel ve nesnel dünyasının keşfi.

2 ila 3 yaş arası - kendini keşfetme: "Ben kendimim."

3 ila 5 yaş arası - konuşma, kelimelerin aktif dünyası, uyum ve "Ben - Sen" sistemi.

5 ila 8 yaş arası - diğer insanların düşünce, duygu ve imge dünyasının keşfi - "Ben - Biz" sistemi.

8 ila 13 yaş arası - insanlığın dehaları ve yetenekleri tarafından çözülen görevler ve problemler dünyasının keşfi - "Ben - Maneviyat" sistemi.

13 ila 21 yaş arası - iyi bilinen sorunları bağımsız olarak çözme yeteneğinin keşfi, düşünceler, duygular ve hayal gücü aktif olarak çalışmaya başladığında "I - Noosfer" sistemi ortaya çıkar.

21 ila 34 yaş arası - yeni bir dünya veya onun parçalarını yaratma yeteneğinin keşfi - "Ben Yaratıcıyım" benlik kavramının farkındalığı.

Yaşam yolunun uzay-zamansal bir yapısı vardır. Birçok yaşam parametresi tarafından belirlenen yaş ve bireysel aşamalardan oluşur. Kişi, bir dereceye kadar hayatının koşullarına hakim olur, kendi tarihinin yaratıcısı ve toplum tarihinin yaratıcısı olur. Ancak hayata karşı gerçekten yaratıcı bir tutum hemen ortaya çıkmaz, hatta her insanda bile ortaya çıkmaz. Yaşam yolunun aşamaları arasında genetik bağlantılar vardır ve bu, onun doğal karakterini belirler. Buradan, prensip olarak gelecekteki gelişmeyi, erken aşamaları hakkındaki bilgilere dayanarak tahmin etmenin mümkün olduğu sonucu çıkmaktadır.

Astronomide Fibonacci sayıları

Astronomi tarihinden, 18. yüzyıl Alman gökbilimcisi I. Titius'un Fibonacci serisini kullanarak güneş sistemindeki gezegenler arasındaki mesafelerde bir düzen ve düzen bulduğu bilinmektedir. Ancak bir durum kanuna aykırı görünüyordu: Mars ile Jüpiter arasında gezegen yoktu. Ancak 19. yüzyılın başında Titius'un ölümünden sonra. Gökyüzünün bu bölümünün yoğun gözlemlenmesi, asteroit kuşağının keşfedilmesine yol açtı.

Çözüm

Araştırma sırasında hisse senedi fiyatlarının teknik analizinde Fibonacci sayılarının yaygın olarak kullanıldığını öğrendim. Fibonacci sayılarını pratikte kullanmanın en basit yollarından biri, örneğin fiyat değişikliği gibi belirli bir olayın gerçekleşeceği zaman aralıklarını belirlemektir. Analist, önceki benzer olaydan belirli sayıda Fibonacci günü veya haftasını (13,21,34,55 vb.) sayar ve bir tahmin yapar. Ama bunu anlamak benim için hala çok zor. Fibonacci, Orta Çağ'ın en büyük matematikçisi olmasına rağmen, Fibonacci'nin yegâne anıtları Pisa Kulesi'nin önündeki bir heykel ve onun adını taşıyan iki caddedir: biri Pisa'da, diğeri Floransa'da. Yine de gördüğüm ve okuduğum her şeyle bağlantılı olarak oldukça doğal sorular ortaya çıkıyor. Bu rakamlar nereden geldi? Evreni ideal hale getirmeye çalışan bu mimar kimdir? Sırada ne olacak? Bir sorunun cevabını bulduktan sonra bir sonraki soruyu alacaksınız. Eğer çözerseniz, iki yenisini alacaksınız. Onlarla ilgilendikten sonra üç tane daha ortaya çıkacak. Onları da çözdükten sonra, çözülmemiş beş tane olacak. Sonra sekiz, on üç vb. Unutmayın ki iki elin beş parmağı vardır; bunlardan ikisi iki falankstan, sekizi de üç parmaktan oluşur.

Edebiyat:

Voloshinov A.V. “Matematik ve Sanat”, M., Eğitim, 1992.

Vorobyov N.N. “Fibonacci Sayıları”, M., Nauka, 1984.

Stakhov A.P. “Da Vinci Şifresi ve Fibonacci Dizisi”, St. Petersburg formatı, 2006

F. Corvalan “Altın Oran. Güzelliğin matematiksel dili", M., De Agostini, 2014.

Maksimenko S.D. "Hayatın hassas dönemleri ve kodları."

"Fibonacci sayıları". Vikipedi