Kesişen akorlar teoremi. İ

Ön izleme:

İlgili ders:

"Kesişen akorların bölümlerinin çarpımı üzerine teorem»

konu : geometri

8. sınıf

öğretmen b: Herat Ludmila Vasilyevna

Okul : MOBU "Druzhbinskaya orta okulu" Sol-Iletsk bölgesi, Orenburg bölgesi

Ders türü: Yeni bilginin "keşfi" dersi.

Çalışma biçimleri: bireysel, önden, grup.

Öğretme teknikleri:sözlü, görsel, pratik, problemli.

Teçhizat: bilgisayar sınıfı, multimedya projektörü,

Bildiri (kartlar), sunum.

Dersin Hedefleri:

• eğitici- kesişen akorların ürünü üzerindeki teoremi inceleyin ve problem çözmede uygulamasını gösterin.

Yazılı açı teoreminin uygulanması ve sonuçları ile ilgili problem çözme becerilerini geliştirmek.

• gelişmekte - sınıfta öğrencilerin yaratıcı ve zihinsel aktivitelerini geliştirmek; bağımsızlık, esneklik, değerlendirme eylemleri yeteneği, genelleme gibi okul çocuklarının kişiliğinin entelektüel niteliklerini geliştirmek; kolektif becerilerin oluşumuna katkıda bulunmak ve bağımsız iş; düşüncelerini açık ve net bir şekilde ifade etme yeteneğini geliştirmek.
• eğitici - bilgi teknolojisi kullanımı (bilgisayar kullanarak) yoluyla öğrencilere konuya ilgi uyandırmak; matematiksel kayıtları doğru ve yetkin bir şekilde gerçekleştirme becerisini oluşturmak, problem için bir resim çizmek.

Eğitim faaliyetleri, öğrencileri pozisyondan transfer ederek pedagojik çalışmanın etkinliğini, verimliliğini artırmayı amaçlamaktadır. nesne pozisyonda öğretmenin faaliyetleri doktrinin konusu , her çocuğun potansiyelinin gelişimine, içerdiği olanakların açıklanmasına katkıda bulunur.

Özneliğin yetiştirilmesi (gelişmesi) ancak faaliyetlerde mümkündür,hangi konunun dahil olduğu, hangi kendisi: a) hedefler belirler; b) amaca ulaşmak için gönüllü çabayı yoğunlaştırır; c) çalışmalarının ilerlemesini ve sonuçlarını yansıtır. Yansıma kişisel gelişim için en güçlü araçtır(kişiliğin kendi kendini inşa etmesi).

Öğrencinin öznelliğinin gelişimi sorunutek seferlik önlemlerle tamamen çözülemez. Bu kalite gelişiröğrenciyi eğitimsel ve bilişsel sürece dahil ederek tutarlı bir şekilde aktivite (ideal olarak her derste) yaptığı kendisini uygulayarak kendi çabaları, onların kendi başına, minimum dış yardımla, tüm eylemler mantıksal sıralarında. Ders, öğrencilere işin 4 aşamasının tümü ve sonuçların gerekliliklerini tam olarak karşılayarak yansıma sağlar.aktivite yaklaşımı eğitimde.

Dersin önerilen tasarımı ve bilgisayar teknolojisinin kullanımı yoluyla, geliştirme hedefleri takip edilir:

• entelektüel kültür;
• Bilgi kültürü;
• Öz-örgütlenme kültürleri;
• Araştırma kültürü;

Öğrencilerin etkinlikleri, öğrencilere içsel amaç-güdüler sağlayacak şekilde düzenlenmelidir; arama ihtiyacı, eğitim ve öğretimin en önemli görevidir, bunun için başarı durumları, olumlu duygulara neden olan arama durumları yaratmak gerekir.

Ders planı

1. Yazılı açı teoreminin ispatı (3 durum); kart çalışması,

Hazır çizimlere göre problemlerin çözümü.

2. Çiftler halinde çalışın.

3. Kesişen akorların bölümlerinin ürünü üzerinde teoremin incelenmesi.

4. Teoremi düzeltmek için problem çözme.

Dersler sırasında.

1. Öğrencilerin çalışılan konu hakkındaki bilgilerini güncellemek.

Teoremleri ispatlamak için üç öğrenci tahtaya çağrılır, iki öğrenci görev kartı alır, kalan öğrenciler hazır çizimler üzerinde problem çözer. Öğrenciler bitmiş çizimler üzerindeki problemleri çözdükten sonra teoremlerin ispatı tüm sınıf tarafından duyulur.

1 numaralı kart..

1. Eksik kelimeleri giriniz "Köşesi …………….. üzerindeyse ve açının kenarları …………………………….." ise, açı yazılı olarak adlandırılır.

2. Şekilde gösterilen yazılı açıları bulun ve yazın:

3. ABC açısının derece ölçüsü ABC = 270 ise şekilde gösterilen ABC açısının derece ölçüsünü bulun..

Kart numarası 2.

1. Eksik kelimeleri girin: “Yazılan açı …………… ile ölçülür.”.

1. Verilen: OA=AB. AB yayının derece ölçüsünü bulun.

Hazır çizimlere göre problemlerin çözümü.

Şekil 1. Şekil 2'yi bulun. Şekil 3. Şekil 4. Şek.5.

AOD, ACD ABC Bul BCD Bul BAC Bul BCD Bul

II. Çiftler halinde çalışın.

Teoremin kesişen akorların segmentleri üzerindeki kanıtı bir problem şeklinde gerçekleştirilir:

Bir dairenin iki AB ve CD kirişinin E noktasında kesiştiğini kanıtlayın.

AE * BE = CE * DE

Görevin çiftler halinde bağımsız olarak çözülmesi ve ardından çözümünün tartışılması önerilir. Defterlere ve tahtaya teoremin ispatının ana hatlarını yazın.

Anahat planı

a) ACE İKİ (A = D, BC yayına dayalı yazılı açılar olarak;

AEC = Dikey olarak DEB).

Tartışma konuları:

CAB ve CDB açıları hakkında ne söyleyebilirsiniz? AEC ve DEB açıları hakkında?

ACE ve DBE üçgenleri nelerdir? Teğet akorların parçaları olan kenarlarının oranı nedir?

Oranların temel özelliği kullanılarak iki oranın eşitliğinden hangi eşitlik yazılabilir?

IV. İncelenen materyalin konsolidasyonu.

Problemi çözün: RT ve KM çemberinin kirişleri E noktasında kesişiyor.

KE = 4cm, TE = 6cm, PE = 2cm.

Çözüm: AE * BE = CE * DE

AE * 4 = 2 * 6

AE = 3cm.

666 b. x*x =16*9

X * x \u003d 144

X = 12

V. Yansıma. (üç renkte çıkartma kullanarak)

VI. Ödev.

sayfa 71, No. 666 a, c; 667.

\[(\Büyük(\text(Merkezi ve Yazılı Açılar)))\]

Tanımlar

Merkez açı, köşesi dairenin merkezinde bulunan bir açıdır.

Yazılı bir açı, köşesi daire üzerinde bulunan bir açıdır.

Bir dairenin yayının derece ölçüsü, üzerine oturan merkez açının derece ölçüsüdür.

teorem

Bir yazılı açının ölçüsü, kestiği yayın ölçüsünün yarısıdır.

Kanıt

Kanıtlamayı iki aşamada gerçekleştireceğiz: ilk olarak, yazılan açının kenarlarından birinin bir çap içerdiği durum için ifadenin geçerliliğini kanıtlıyoruz. \(B\) noktası yazılı açının \(ABC\) tepe noktası ve \(BC\) dairenin çapı olsun:

\(AOB\) üçgeni ikizkenardır, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) dıştadır, o zaman \(\Açı AOC = \Açı OAB + \Açı ABO = 2\ABC açısı\), nerede \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Şimdi rastgele bir yazılı açı \(ABC\) düşünün. Yazılı açının tepe noktasından daire çapını \(BD\) çizin. İki durum mümkündür:

1) çap, açıyı iki açıya böler \(\angle ABD, \angle CBD\) (ki teorem yukarıda kanıtlandığı gibi her biri için doğrudur, bu nedenle bunların toplamı olan orijinal açı için de geçerlidir) iki ve bu nedenle yaslandıkları yayların toplamının yarısına, yani yaslandıkları yayın yarısına eşittir). Pirinç. 1.

2) çap, açıyı iki açıya bölmedi, o zaman iki yeni yazılı açımız var \(\angle ABD, \angle CBD\) , hangi tarafı çapı içerir, bu nedenle, teorem onlar için doğrudur, o zaman orijinal açı için de geçerlidir (bu, bu iki açının farkına eşittir, yani üzerinde durduğu yayların yarı farkına eşittir, yani üzerinde durduğu yayın yarısına eşittir). dinlenir). Pirinç. 2.

Sonuçlar

1. Aynı yaya göre yazılı açılar eşittir.

2. Yarım daireye dayalı bir yazılı açı dik açıdır.

3. Bir yazılı açı, aynı yaya göre merkez açının yarısına eşittir.

\[(\Büyük(\text(Çembere teğet)))\]

Tanımlar

Bir çizginin ve bir dairenin üç tür karşılıklı düzenlemesi vardır:

1) \(a\) doğrusu çemberi iki noktada kesiyor. Böyle bir çizgiye sekant denir. Bu durumda, dairenin merkezinden düz çizgiye \(d\) uzaklığı, dairenin yarıçapından \(R\) küçüktür (Şekil 3).

2) \(b\) doğrusu çemberi bir noktada kesiyor. Böyle bir düz çizgiye teğet denir ve ortak noktalarına \(B\) teğet noktası denir. Bu durumda \(d=R\) (Şekil 4).

teorem

1. Çemberin teğeti, temas noktasına çizilen yarıçapa diktir.

2. Doğru, çemberin yarıçapının sonundan geçiyorsa ve bu yarıçapa dik ise çembere teğettir.

Sonuç

Bir noktadan çembere çizilen teğetlerin parçaları eşittir.

Kanıt

\(K\) noktasından daireye iki teğet \(KA\) ve \(KB\) çizin:

Yani yarıçap olarak \(OA\perp KA, OB\perp KB\) olur. dik üçgenler\(\triangle KAO\) ve \(\triangle KBO\) bacak ve hipotenüs açısından eşittir, dolayısıyla \(KA=KB\) .

Sonuç

\(O\) çemberinin merkezi, aynı \(K\) noktasından çizilen iki tanjant tarafından oluşturulan \(AKB\) açısının açıortayı üzerinde bulunur.

\[(\Large(\text(Açılarla ilgili teoremler)))\]

Sekantlar arasındaki açı ile ilgili teorem

Aynı noktadan çizilen iki kesen arasındaki açı, kestikleri daha büyük ve daha küçük yayların derece ölçülerinin yarısına eşittir.

Kanıt

\(M\) şekilde gösterildiği gibi iki sekantın çizildiği bir nokta olsun:

bunu gösterelim \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\angle DAB\), \(MAD\) üçgeninin dış köşesidir, o zaman \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), nerede \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\), ancak \(\angle DAB\) ve \(\angle MDA\) açıları yazılır, o zaman \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), kanıtlanacaktı.

Kesişen akorlar arasındaki açı teoremi

Kesişen iki kiriş arasındaki açı, kestikleri yayların derece ölçülerinin toplamının yarısına eşittir: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Kanıt

\(\angle BMA = \angle CMD\) dikey olarak.

\(AMD\) üçgeninden: \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Ancak \(\ AMD açısı = 180^\circ - \açı CMD\), nereden sonuca varıyoruz \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ gülümse\üzer(CD)).\]

Bir akor ve bir teğet arasındaki açı ile ilgili teorem

Teğet noktasından geçen kiriş ile teğet arasındaki açı, kiriş tarafından çıkarılan yayın derece ölçüsünün yarısına eşittir.

Kanıt

\(a\) doğrusu daireye \(A\) noktasında temas etsin, \(AB\) bu dairenin kirişi olsun, \(O\) merkezi olsun. \(OB\) içeren doğrunun \(M\) noktasında \(a\) ile kesişmesine izin verin. bunu kanıtlayalım \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

\(\angle OAB = \alpha\) belirtin. \(OA\) ve \(OB\) yarıçap olduğundan, \(OA = OB\) ve \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Böylece, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

\(OA\) teğet noktasına çizilen yarıçap olduğundan, o zaman \(OA\perp a\) , yani \(\angle OAM = 90^\circ\) , bu nedenle, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Eşit kirişlerle daraltılmış yaylar üzerine teorem

Eşit kirişler, eşit yayları, daha küçük yarım daireleri temsil eder.

Ve tam tersi: eşit yaylar, eşit kirişler tarafından daraltılır.

Kanıt

1) \(AB=CD\) olsun. Yayın daha küçük yarım dairelerinin olduğunu kanıtlayalım.

Üç tarafta, bu nedenle, \(\angle AOB=\angle COD\) . Ama o zamandan beri \(\angle AOB, \angle COD\) - yaylara dayalı merkezi açılar \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) sırasıyla \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Eğer \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), o zamanlar \(\üçgen AOB=\üçgen KOİ\) iki kenar boyunca \(AO=BO=CO=DO\) ve aralarındaki açı \(\angle AOB=\angle COD\) . Bu nedenle, \(AB=CD\) .

teorem

Bir yarıçap bir kirişi ikiye bölüyorsa, ona diktir.

Bunun tersi de doğrudur: yarıçap kirişe dik ise, kesişme noktası onu ikiye böler.

Kanıt

1) \(AN=NB\) olsun. \(OQ\perp AB\) olduğunu ispatlayalım.

\(\triangle AOB\) düşünün: ikizkenardır, çünkü \(OA=OB\) – daire yarıçapı. Çünkü \(ON\) tabana çizilen medyandır, o zaman aynı zamanda yüksekliktir, dolayısıyla \(ON\perp AB\) .

2) \(OQ\perp AB\) olsun. \(AN=NB\) olduğunu ispatlayalım.

Benzer şekilde, \(\triangle AOB\) ikizkenardır, \(ON\) yüksekliktir, dolayısıyla \(ON\) medyandır. Bu nedenle, \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Segmentlerin uzunlukları ile ilgili teoremler)))\]

Akor bölümlerinin çarpımı üzerine teorem

Bir dairenin iki kirişi kesişiyorsa, bir kirişin bölümlerinin çarpımı, diğer kirişin bölümlerinin çarpımına eşittir.

Kanıt

\(AB\) ve \(CD\) akorları \(E\) noktasında kesişsin.

\(ADE\) ve \(CBE\) üçgenlerini düşünün. Bu üçgenlerde, \(1\) ve \(2\) açıları eşittir, çünkü bunlar yazılıdır ve aynı yaya \(BD\) ve \(3\) ve \(4\) açılarına dayanır. dikey olarak eşittir. \(ADE\) ve \(CBE\) üçgenleri benzerdir (ilk üçgen benzerlik kriterine göre).

Sonra \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), nereden \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Tanjant ve sekant teoremi

Bir teğet parçasının karesi, kesen ve dış kısmının çarpımına eşittir.

Kanıt

Teğetin \(M\) noktasından geçmesine ve \(A\) noktasındaki daireye dokunmasına izin verin. Kesen \(M\) noktasından geçsin ve daireyi \(B\) ve \(C\) noktalarında kessin, böylece \(MB)< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

\(MBA\) ve \(MCA\) üçgenlerini düşünün: \(\angle M\) geneldir, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Bir tanjant ve bir sekant arasındaki açı teoremine göre, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Böylece, \(MBA\) ve \(MCA\) üçgenleri iki açıdan benzerdir.

\(MBA\) ve \(MCA\) üçgenlerinin benzerliğinden şunu elde ederiz: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\)\(MB\cdot MC = MA^2\) ile eşdeğerdir.

Sonuç

\(O\) noktasından çizilen kesenin çarpımı ve dış kısmı, \(O\) noktasından çizilen kesenin seçimine bağlı değildir.

İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemesi yalnızca bilgi amaçlıdır ve sunumun tam kapsamını temsil etmeyebilir. Bu işle ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Hedef:öğrenme motivasyonunu artırmak; hesaplama becerileri, yaratıcılık, bir takımda çalışma yeteneği geliştirmek.

ders ilerlemesi

Bilgi güncellemesi. Bugün çember hakkında konuşmaya devam edeceğiz. Size dairenin tanımını hatırlatmama izin verin: daire nedir?

Daire dairenin merkezi olarak adlandırılan, düzlemin bir noktasından belirli bir uzaklıkta bulunan düzlemin tüm noktalarından oluşan bir çizgidir.

Slayt bir daire gösterir, merkezi işaretlenir - O noktası, iki segment çizilir: OA ve CB. OA segmenti, dairenin merkezini daire üzerindeki bir nokta ile birleştirir. Buna RADIUS denir (Latince yarıçapında - “tekerlekte konuştu”). CB segmenti dairenin iki noktasını birleştirir ve merkezinden geçer. Bu, dairenin çapıdır (Yunancadan çevrilmiştir - “çap”).

Ayrıca bir dairenin kirişinin tanımına da ihtiyacımız var - bu dairenin iki noktasını birleştiren bir segmenttir (şekilde - DE kirişi).

soruyu öğrenelim bir çizgi ve bir daire arasındaki ilişki hakkında.

Bir sonraki soru ve asıl soru bu olacak: Kesişen kirişlerin, sekantların ve teğetlerin sahip olduğu özellikleri öğrenin.

Bu özellikleri matematik derslerinde ispatlayacaksınız ve görevimiz, hem Birleşik Devlet Sınavı şeklinde hem de GIA şeklinde sınavlarda yaygın olarak kullanıldığından, problem çözerken bu özelliklerin nasıl uygulanacağını öğrenmektir.

Takımlar için görev.

• P noktasında kesişen KM ve NF akorlarının özelliklerini çizin ve yazın.
• KM tanjantının ve KF sekantının özelliklerini çizin ve yazın.
• Sekant KM ve MF'nin özelliklerini çizin ve yazın.

Şekildeki verileri kullanarak x'i bulun. Slayt 5-6

Kim daha hızlı, daha doğru. Müteakip tartışma ve tüm sorunların çözümünün doğrulanması ile. Yanıt verenler ekipleri için ödül puanları kazanır.

Peki, şimdi daha ciddi sorunlara geçelim. Dikkatinize üç blok sunulmaktadır: kesişen akorlar, tanjant ve sekant, iki sekant. Her bloktan bir problemin çözümünü ayrıntılı olarak analiz edelim.

(Detaylı kaydı No. 4, No. 7, No. 12 olan karar inceleniyor)

2. Problem çözme üzerine çalıştay

a) Kesişen akorlar

1. E, AB ve CD akorlarının kesişme noktasıdır. AE=4, AB=10, CE:ED=1:6. CD'yi bulun.

Karar:

2. E, AB ve CD akorlarının kesişme noktasıdır. AB=17, CD=18, ED=2CE. AE ve BE'yi bulun.

Karar:

3. E, AB ve CD akorlarının kesişme noktasıdır. AB=10, CD=11, BE=CE+1. CE'yi bulun.

Karar:

4. E, AB ve CD akorlarının kesişme noktasıdır. ED=2AE, CE=DE-1, BE=10. CD'yi bulun.

Karar:

b) Teğet ve sekant

5. Bir noktadan çembere bir teğet ve bir kesen çizilir. Tanjant 6, sekant 18'dir. Sekantın iç segmentini belirleyin.

Karar:

6. Bir noktadan çembere bir teğet ve bir kesen çizilir. Sekantın iç kesiminden 4 kat küçük ve dış kesimden 4 kat büyük olduğu biliniyorsa tanjantı bulun.

Karar:

7. Bir noktadan çembere bir teğet ve bir kesen çizilir. İç kesiminin dıştakiyle 3:1 ilişkili olduğu ve teğetin uzunluğunun 12 olduğu biliniyorsa keseyi bulun.

Karar:

8. Bir noktadan çembere bir teğet ve bir kesen çizilir. İç kesiminin 12 ve teğetin uzunluğunun 8 olduğu biliniyorsa, kesenin dış bölümünü bulun.

Karar:

9. Bir noktadan çıkan tanjant ve kesen sırasıyla 12 ve 24'tür. Kesen merkezden 12 uzaktaysa dairenin yarıçapını belirleyin.

Karar:

c) İki sekans

10. Çembere bir noktadan iç segmentleri sırasıyla 8 ve 16'ya eşit olan iki sekant çizilir. İkinci sekantın dış segmenti, birincinin dış segmentinden 1 eksiktir. Her bir sekantın uzunluğunu bulun.

Karar:

11. Çembere bir noktadan iki sekant çizilir. Birinci sekantın dış segmenti, iç segmenti ile 1:3 olarak ilişkilidir. İkinci sekantın dış segmenti, birincinin dış segmentinden 1 eksiktir ve iç segmenti ile 1:8 oranında ilişkilidir. Her bir sekantın uzunluğunu bulun.

Karar:

12. Dairenin dışında, merkezinden 7 uzaklıkta bulunan A noktasından, daireyi B ve C noktalarında kesen bir doğru çizilir. AB = 3, BC ise dairenin yarıçapının uzunluğunu bulun. = 5.

Karar:

13. A noktasından daireye 12 cm uzunluğunda bir kesen ve kesenin iç parçasının bir bileşeni olan bir tanjant çizilir. Teğetin uzunluğunu bulun.

Karar:

1. 10,5; 17,5
2. 12;18

3. Bilginin pekiştirilmesi

Aşağıdaki istasyonları ziyaret ederek zihninizin labirentlerinde kısa bir yolculuğa çıkacak kadar bilgi sahibi olduğunuza inanıyorum:

• Düşünmek!
• Karar vermek!
• Bana cevap ver!

İstasyonda en fazla 6 dakika kalabilirsiniz. Sorunun her doğru çözümü için ekip teşvik puanları alır.

Takımlara rota sayfaları verilir:

Rota sayfası

istasyon	Görev numaraları	karar işareti
Karar vermek!	№1, №3
Düşünmek!	№5, №8
Bana cevap ver!	№10, №11

getirmek isterim dersimizin sonuçları:

Yeni bilgilere ek olarak, umarım birbirinizi daha iyi tanımışsınızdır, ekip çalışması konusunda deneyim kazanmışsınızdır. Edinilen bilginin hayatta bir yerlerde uygulama bulduğunu düşünüyor musunuz?

Şair G. Longfellow aynı zamanda bir matematikçiydi. Belki de bu yüzden, “Kavang” adlı romanında kullandığı matematiksel kavramları süsleyen canlı görüntüler, bazı teoremleri ve uygulamalarını bir ömür boyu yakalamayı mümkün kılıyor. Romanda şu sorunu okuyoruz:

“Suyun yüzeyinden bir karış yükselen zambak, taze bir esinti altında, önceki yerinden iki arşın gölün yüzeyine dokundu; bu temelde gölün derinliğini belirlemek gerekiyordu ”(1 açıklık 10 inç, 2 arşın 21 inç).

Ve bu problem, kesişen akorların özelliği temelinde çözülür. Çizime bakın, gölün derinliğinin ne kadar olduğu anlaşılacaktır.

Karar:

Belediye Özerk Genel Eğitim Kurumu

45 numaralı ortaokul

Bir konuyla ilgili bir dersin geliştirilmesi

"Kesişen akorların parçaları üzerinde teorem",

geometri 8. sınıf

birinci kategori

MAOU orta öğretim okulu №45, Kaliningrad

Borisova Alla Nikolaevna

Kaliningrad

2016 – 2017 eğitim öğretim yılı

Eğitim kurumu - Kaliningrad şehrinin 45 numaralı belediye özerk eğitim kurumu orta öğretim okulu

Şey - matematik (geometri)

Sınıf – 8

Ders – "Kesişen akorların segmentlerinde teorem"

Eğitimsel ve metodolojik destek:

Geometri, 7 - 9: eğitim kurumları için ders kitabı / L. S. Atanasyan ve diğerleri, - 17. baskı, - M.: Eğitim, 2015

Çalışma kitabı "Geometri, 8. Sınıf", yazarlar L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, Yu.A. Glazkov, I.I. Yudina / eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / - M. Education, 2016

İşin multimedya bileşeninin gerçekleştirildiği programlara ilişkin veriler - Microsoft Office güç noktası 2010

Hedef: kesişen akorların segmentleri teoremi ile tanışın ve problemleri çözmek için uygulama becerilerini geliştirin.

Dersin Hedefleri:

eğitici:

“Merkezi ve yazılı açılar” konusundaki teorik bilgileri sistematize etmek ve bu konudaki problem çözme becerilerini geliştirmek;

kesişen akorların parçaları üzerinde teoremi formüle eder ve ispatlar;

geometrik problemleri çözerken teoremi uygular;

geliştirme:

konuya bilişsel ilginin gelişimi.

anahtar ve konu yetkinliklerinin oluşumu.

yaratıcı yeteneklerin gelişimi.

öğrencilerin bağımsız çalışma ve çiftler halinde çalışma becerilerini geliştirmek.

eğitici:

bilişsel aktivite eğitimi, iletişim kültürü, sorumluluk, görsel hafızanın bağımsız gelişimi;

öğrencileri bağımsızlık, merak, matematik çalışmasına karşı bilinçli bir tutum konusunda eğitmek;

yöntemlerin, araçların ve eğitim biçimlerinin seçiminin doğrulanması;

ders sırasında yüksek bir sonuç elde etmeyi amaçlayan yöntemlerin, araçların ve biçimlerin makul bir kombinasyonu ve oranı yoluyla öğrenmeyi optimize edin.

Ders için ekipman ve malzemeler : projektör, ekran, derse eşlik edecek sunum.

Ders türü: birleşik.

Ders yapısı:

1) Öğrenciler dersin konusu ve hedefleri hakkında bilgilendirilir, bu konunun önemi vurgulanır.(1 numaralı slayt).

2) Ders planı duyurulur.

1. Doğrulama ödev.

2. Tekrarlama.

3. Yeni bilginin keşfi.

4. Sabitleme.

II . Ev ödevi kontrol ediliyor.

1) üç öğrenci kendilerini tahtada kanıtlıyoryazılı açı teoremi.

Birinci öğrenci - durum 1;
İkinci öğrenci - durum 2;
Üçüncü öğrenci durum 3'tür.

2) Geri kalanlar, kapsanan materyali tekrarlamak için bu sırada sözlü olarak çalışır.

1. Teorik araştırma (önden)(2 numaralı slayt) .

Cümleyi bitir:

Bir açıya merkezi denir, eğer ...

Bir açı yazılı olarak adlandırılır, eğer ...

Merkez açı ölçülür...

Yazılı açı ölçülür...

Yazılı açılar eşittir...

dayalı bir yazılı açı yarım daire...

2. Bitmiş çizimlerdeki problemleri çözme(slayt numarası 3) .

Öğretmen şu anda bazı öğrenciler için ödev çözümünü bireysel olarak kontrol eder.

Teoremlerin ispatı, bitmiş çizimlerdeki problemlerin çözümlerinin doğruluğu kontrol edildikten sonra tüm sınıf tarafından duyulur.

II I. Yeni malzemenin tanıtımı.

1) Çiftler halinde çalışın.Öğrencileri yeni materyal algısına hazırlamak için problem 1'i çözün(slayt numarası 4).

2) Teoremi, kesişen akorların segmentleri üzerinde bir problem şeklinde kanıtlıyoruz.(slayt numarası 5).

Tartışma konuları(slayt numarası 6) :

CAB ve CDB açıları hakkında ne söyleyebilirsiniz?

Köşeler hakkında AEC ve DEB ?

ACE ve DBE üçgenleri nelerdir?

Teğet akorların parçaları olan kenarlarının oranı nedir?

Oranın temel özelliği kullanılarak iki oranın eşitliğinden hangi eşitlik yazılabilir?

Kanıtladığınız ifadeyi formüle etmeye çalışın. Tahtada ve defterlerde, kesişen akorların bölümlerine teoremin ispatının formülünü ve özetini yazın. Kurula bir kişi çağrılır.(slayt numarası 7).

İ V. Beden eğitimi.

Bir öğrenci tahtaya gelir ve sorar: basit egzersizler boyun, kollar ve sırt için.

V . İncelenen materyalin konsolidasyonu.

1) Birincil sabitleme.

1 öğrenciyorum ilekarar verir№ 667 Masada

Karar.

1) AVA 1 - dikdörtgen, yazılı açıdan beriANCAK 1 VA yarım daire üzerinde durmaktadır.

2) 5 = 3 yazılı olarak ve bir yaya dayalıAB 1 .

3) 1 = 90° -5, 4 = 90°–3 ama3 = 5, yani1= 4.

4) ANCAK 1 BB 1 - ikizkenar, sonraM.Ö. = B 1 İle .

5) Kesişen akorların bölümlerinin çarpımı üzerindeki teorem ile

klima 1 C \u003d M.Ö. 1 İLE.

6) (cm);

Cevap:

2) Kendin Yap Çözümü görevler.

1. 1. grup öğrenci ("zayıf" öğrenciler). kendi başına karar verNo. 93, 94 (“Çalışma Kitabı”, yazar L.S. Atanasyan, 2015), öğretmen gerekirse öğrencilere tavsiyelerde bulunur, öğrencilerin ödevlerinin sonuçlarını analiz eder

2. 2. grup öğrenci (diğer öğrenciler). Standart olmayan bir görev üzerinde çalışın. Bağımsız çalışırlar (gerekirse bir öğretmenin veya sınıf arkadaşının yardımını kullanırlar). Bir öğrenci katlanır tahta üzerinde çalışıyor. İş kontrolü tamamlandıktan sonra.

Görev .
akorlarAB veCD bir noktada kesişmekS , ne zamanAS:SB = 2:3, DS = 12 santimetre,SC=5cm , bulmakAB .
Karar .

Oran olduğundan beriAS:SB = 2:3 , sonra uzunluğuna izin verAS = 2x, SB = 3x
Akorların özelliğine göreAS ∙ SB = CS ∙ SD , o zamanlar
2x ∙ 3x = 5 ∙ 12
6x 2 = 60
X 2 = 10
x = √10.

Neresi
AB=AS+SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10 Cevap : 5√10

VI . Dersi özetleme, etkinliklerin yansıması

Dersi özetlemek, öğrencileri etkinliklerini kendi değerlendirmeleri için harekete geçirmek;

Peki bugün sınıfta ne öğrendin?

Bugün sınıfta ne öğrendin?

5 puanlık bir sistemde ders için etkinliğinizi değerlendirin.

Bir dersi derecelendirmek.

VIII . Ödev

s.71 (öğrenme teorisi),

№ 659, 661, 666 (b, c).

Önce daire ile daire arasındaki farkı anlayalım. Bu farkı görmek için her iki rakamın da ne olduğunu düşünmek yeterlidir. Bu, düzlemde tek bir merkezi noktadan eşit uzaklıkta bulunan sonsuz sayıda noktadır. Ama eğer daire oluşursa iç boşluk, o zaman daireye ait değil. Bir dairenin hem onu ​​çevreleyen bir daire (o-daire (g)ness) hem de dairenin içinde bulunan sayılamayan sayıda nokta olduğu ortaya çıktı.

Daire üzerinde bulunan herhangi bir L noktası için OL=R eşitliği geçerlidir. (OL parçasının uzunluğu, dairenin yarıçapına eşittir).

Bir çember üzerinde iki noktayı birleştiren doğru parçası akor.

Bir dairenin merkezinden doğrudan geçen bir akor, çap bu daire (D) . Çap şu formül kullanılarak hesaplanabilir: D=2R

çevre formülle hesaplanır: C=2\pi R

Bir dairenin alanı: S=\pi R^(2)

bir dairenin yayı iki noktası arasında bulunan kısmına denir. Bu iki nokta bir dairenin iki yayını tanımlar. Akor CD'si iki yaydan oluşur: CMD ve CLD. Aynı akorlar aynı yaylara karşılık gelir.

Orta köşe iki yarıçap arasındaki açıdır.

yay uzunluğu formül kullanılarak bulunabilir:

1. Derece kullanma: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Bir radyan ölçüsü kullanma: CD = \alpha R

Kordona dik olan çap, kirişi ve yaydığı yayları ikiye böler.

Dairenin AB ve CD kirişleri N noktasında kesişiyorsa, N noktası ile ayrılan kirişlerin parçalarının ürünleri birbirine eşittir.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

daireye teğet

Bir daireye teğet Bir daire ile ortak bir noktası olan düz bir çizgiyi çağırmak gelenekseldir.

Bir doğrunun iki ortak noktası varsa buna denir. sekant.

Temas noktasında bir yarıçap çizerseniz, daireye teğet olana dik olacaktır.

Bu noktadan çemberimize iki teğet çizelim. Teğetlerin parçalarının birbirine eşit olacağı ve dairenin merkezinin bu noktada tepe noktası ile açının ortaortayı üzerinde yer alacağı ortaya çıktı.

AC=CB

Şimdi noktamızdan çembere bir teğet ve bir sekant çizelim. Teğet segmentinin uzunluğunun karesinin, tüm sekant segmentinin dış kısmı ile ürününe eşit olacağını elde ederiz.

AC^(2) = CD \cdot BC

Şu sonuca varabiliriz: birinci sekantın bir tamsayı bölümünün dış kısmı ile çarpımı, ikinci sekantın bir tamsayı bölümünün dış kısmı ile ürününe eşittir.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Bir dairedeki açılar

Merkez açının ve üzerinde durduğu yayın derece ölçüleri eşittir.

\açı KOİ = \cup CD = \alpha ^(\circ)

yazılı açı köşesi çember üzerinde olan ve kenarlarında kirişler bulunan bir açıdır.

Bu yayın yarısına eşit olduğu için yayın boyutunu bilerek hesaplayabilirsiniz.

\açı AOB = 2 \açı ADB

Çapa göre, yazılı açı, düz.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Aynı yaya yaslanan yazılı açılar aynıdır.

Aynı kirişe dayalı yazılı açılar aynıdır veya toplamları 180^ (\circ)'ye eşittir.

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Aynı çember üzerinde, aynı açılara ve belirli bir tabana sahip üçgenlerin köşeleri vardır.

Daire içinde köşesi olan ve iki kiriş arasında bulunan bir açı, verilen ve dikey açıların içindeki daire yaylarının açısal değerlerinin toplamının yarısına eşittir.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \sağ)

Köşesi dairenin dışında olan ve iki sekant arasında bulunan bir açı, bir dairenin açının içindeki yayların açısal büyüklüklerindeki farkın yarısına eşittir.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \sağ)

yazılı daire

yazılı daireçokgenin kenarlarına teğet bir dairedir.

Çokgenin açılarının açıortaylarının kesiştiği noktada merkezi bulunur.

Her çokgene bir daire yazılamaz.

Yazılı bir daireye sahip bir çokgenin alanı aşağıdaki formülle bulunur:

S = pr,

p çokgenin yarı çevresidir,

r, yazılı dairenin yarıçapıdır.

Yazılı dairenin yarıçapı şu şekildedir:

r = \frac(S)(p)

Çember dışbükey bir dörtgen içine yazılırsa, karşılıklı kenarların uzunluklarının toplamı aynı olacaktır. Ve bunun tersi: bir dışbükey dörtgen içinde bir daire çizilir, eğer içindeki karşılıklı kenarların uzunluklarının toplamları aynıysa.

AB+DC=AD+BC

Üçgenlerin herhangi birine bir daire çizmek mümkündür. Sadece bir tane. Şeklin iç açılarının açıortaylarının kesiştiği noktada, bu yazılı dairenin merkezi yer alacaktır.

Yazılı dairenin yarıçapı aşağıdaki formülle hesaplanır:

r = \frac(S)(p) ,

burada p = \frac(a + b + c)(2)

çevrelenmiş daire

Bir çokgenin her köşesinden bir daire geçiyorsa, böyle bir daireye denir. bir çokgenle çevrelenmiş.

Sınırlandırılmış dairenin merkezi, bu şeklin kenarlarının dik açıortaylarının kesişme noktasında olacaktır.

Yarıçap, çokgenin herhangi bir 3 köşesi tarafından tanımlanan bir üçgenin etrafını çevreleyen bir dairenin yarıçapı olarak hesaplanarak bulunabilir.

Şu koşul vardır: bir daire, ancak karşı açılarının toplamı 180^( \circ)'ye eşitse bir dörtgenin çevresine çizilebilir.

\açı A + \açı C = \açı B + \açı D = 180^ (\circ)

Herhangi bir üçgenin yanında bir daire ve sadece bir tane tanımlamak mümkündür. Böyle bir dairenin merkezi, üçgenin kenarlarının dik açıortaylarının kesiştiği noktada bulunacaktır.

Sınırlandırılmış dairenin yarıçapı aşağıdaki formüllerle hesaplanabilir:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a, b, c üçgenin kenar uzunluklarıdır,

S, üçgenin alanıdır.

Ptolemy teoremi

Son olarak, Ptolemy'nin teoremini düşünün.

Ptolemy'nin teoremi, köşegenlerin çarpımının, yazılı bir dörtgenin karşılıklı kenarlarının ürünlerinin toplamına özdeş olduğunu belirtir.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD